Brackets and the Order of Operationsکەوانەکان و پێشینەیی کارپێکەرەکان

What is $2 + 3 \times 4$? Work from left to right and you get $5 \times 4 = 20$. Multiply first and you get $2 + 12 = 14$. An expression is only useful if everyone gets the same answer, so mathematicians agreed on one order. The agreed answer is 14.

$2 + 3 \times 4$ چەندە؟ ئەگەر لە چەپەوە بۆ ڕاست بڕۆیت، $5 \times 4 = 20$ دەردەچێت. ئەگەر یەکەم جار لێک بدەیت، $2 + 12 = 14$ دەردەچێت. دەربڕینێکی جەبری تەنیا کاتێک بەسوودە کە هەموو کەس هەمان وەڵام وەربگرێت، بۆیە بیرکارزانان لەسەر یەک ڕیزبەندی ڕێک کەوتوون. وەڵامە ڕێککەوتووەکە ⁦14⁩ـە.

This agreed order is the order of operations; programmers call it operator precedence. In Kurdish school maths it is called ڕیزکردنی کردارەکان. A simple shop calculator that works out each key at once shows 20; a scientific calculator, Excel, Python, Java and almost every other programming language show 14.

ئەم ڕیزبەندییە ڕێککەوتووە پێشینەیی کارپێکەرەکانە (Operator precedence)؛ لە بیرکاریی قوتابخانەدا ناوی «ڕیزکردنی کردارەکان»ـە. حاسیبەیەکی سادەی دوکان کە هەر دوگمەیەک (Key) دەستبەجێ ئەنجام دەدات ⁦20⁩ پیشان دەدات؛ حاسیبەیەکی زانستی، Excel، Python، Java و نزیکەی هەموو زمانەکانی بەرنامەسازیی (Programming language) تر ⁦14⁩ پیشان دەدەن.

Brackets say “work this out first”. Three shapes are used, and in arithmetic they all mean the same:

کەوانە دەڵێت «یەکەم جار ئەمە ئەنجام بدە». سێ شێوە بەکار دێن و لە ژمێرکاریدا هەموویان هەمان واتایان هەیە:

With brackets inside brackets, start with the innermost pair and work outwards, like peeling an onion: $2 \times [10 - (3 + 4)] = 2 \times [10 - 7] = 2 \times 3 = 6$. Books change the shape at each level so you can see which pairs belong together, and worked solutions nest them the same way (for example in Example 1, method A). Braces have a second job too: they hold the members of a set, $\{1, 2, 3\}$ (Set notation).

کاتێک کەوانە لە ناو کەوانەدا بێت، لە ناوەوەترین جووتەوە دەست پێ بکە و بەرەو دەرەوە بڕۆ، وەک پاککردنی پیاز: $2 \times [10 - (3 + 4)] = 2 \times [10 - 7] = 2 \times 3 = 6$. کتێبەکان لە هەر ئاستێکدا شێوەی کەوانە دەگۆڕن بۆ ئەوەی بزانیت کام جووت پێکەوەن و شیکارە نووسراوەکانیش هەروا دەیانخەنە ناو یەکتر (بۆ نموونە لە نموونەی 1، ڕێگای A). کەوانەی لوول کارێکی تریشی هەیە: ئەندامەکانی (Element) کۆمەڵەیەک (Set) هەڵدەگرێت، $\{1, 2, 3\}$ (هێماکانی کۆمەڵە).

Some symbols group things without showing any brackets. A fraction bar keeps everything above it together and everything below it together: $\frac{8 + 4}{2 + 1} = \frac{12}{3} = 4$. The bar of a root sign covers everything under it: $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$, not $3 + 4 = 7$. A raised exponent is one group too: $2^{1 + 2} = 2^3 = 8$.

هەندێک هێما بێ پیشاندانی کەوانە شتەکان کۆ دەکەنەوە. هێڵی کەرت هەموو ئەوەی لە سەرەوەیەتی پێکەوە دەهێڵێتەوە و هەموو ئەوەی لە خوارەوەیەتیش پێکەوە: $\frac{8 + 4}{2 + 1} = \frac{12}{3} = 4$. هێڵی سەر هێمای ڕەگ هەموو ئەوەی ژێری دادەپۆشێت: $\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$، نەک $3 + 4 = 7$. توانێکی بەرزیش یەک پارچەیە: $2^{1 + 2} = 2^3 = 8$.

Typed on one line, the hidden brackets must become real ones: (8 + 4)/(2 + 1), sqrt(9 + 16), 2^(1 + 2). Forgetting them causes the classic average mistake: 70 + 90 + 80/3 divides only the 80 (Formulas in Excel, Python's precedence traps).

کاتێک لە یەک دێڕدا دەنووسرێن، کەوانە شاراوەکان دەبێت ببنە کەوانەی ڕاستەقینە: (8 + 4)/(2 + 1)، sqrt(9 + 16)، 2^(1 + 2). لەبیرکردنیان هەڵە باوەکەی هەژمارکردنی ناوەند (Mean) دروست دەکات: 70 + 90 + 80/3 تەنیا ⁦80⁩ دابەش دەکات (فۆرمولەکان لە Excel، تەڵەکانی ڕیزبەندی لە Python).

Here is the whole rule, from first to last:

ئەمە هەموو یاساکەیە، لە یەکەمەوە تا کۆتایی:

Countries remember the same rule with different words: PEMDAS in the USA (Parentheses, Exponents, Multiplication and Division, Addition and Subtraction), BODMAS or BIDMAS in the UK and many Commonwealth countries (Brackets, Orders or Indices, that is powers, …) and BEDMAS in Canada and New Zealand. German schools say “dot before line”: the dot signs · and : come before the line signs + and −.

وڵاتان هەمان یاسا بە وشەی جیاواز لەبەر دەکەن: PEMDAS لە ئەمریکا (Parentheses، Exponents، Multiplication و Division، Addition و Subtraction)، BODMAS یان BIDMAS لە بەریتانیا و زۆر وڵاتی کۆمەنوێڵس (Brackets، Orders یان Indices واتە توانەکان، …) و BEDMAS لە کەنەدا و نیوزیلەندا. قوتابخانەکانی ئەڵمانیا دەڵێن «خاڵ پێش هێڵ»: هێماکانی خاڵداری · و : پێش هێماکانی هێڵداری + و − دێن.

Multiplication and division share one step, and so do addition and subtraction. On one step, go from left to right, whichever sign comes first: $12 \div 3 \times 2 = 4 \times 2 = 8$ and $8 - 3 + 2 = 5 + 2 = 7$.

لێکدان و دابەشکردن لە یەک پلەدان، کۆکردنەوە و لێدەرکردنیش هەروا. لە یەک پلەدا لە چەپەوە بۆ ڕاست بڕۆ، هەر هێمایەک یەکەم جار هات: $12 \div 3 \times 2 = 4 \times 2 = 8$ و $8 - 3 + 2 = 5 + 2 = 7$.

This is where memory words mislead. PEMDAS does not mean “M before D”, and BODMAS does not mean “D before M” or “A before S”. Multiplying first in $12 \div 3 \times 2$ gives $12 \div 6 = 2$, and adding first in $8 - 3 + 2$ gives 3. Both are wrong.

لێرەدایە کە وشە یارمەتیدەرەکانی لەبەرکردن هەڵەت پێ دەکەن. PEMDAS واتای «M پێش D» نییە و BODMAS واتای «D پێش M» یان «A پێش S» نییە. ئەگەر لە $12 \div 3 \times 2$ـدا یەکەم جار لێک بدەیت، $12 \div 6 = 2$ دەردەچێت و ئەگەر لە $8 - 3 + 2$ـدا یەکەم جار کۆ بکەیتەوە، 3 دەردەچێت. هەردووکیان هەڵەن.

The animation works out $7 + 3 \times (5 - 1)^2 \div 6$ one step at a time. At each step the part done next is highlighted: the bracket, then the power, then $\times$ and $\div$ from left to right, and last the $+$.

وێنە جووڵاوەکە $7 + 3 \times (5 - 1)^2 \div 6$ هەنگاو بە هەنگاو ئەنجام دەدات. لە هەر هەنگاوێکدا ئەو بەشەی دواتر ئەنجام دەدرێت ڕەنگ دەکرێت: کەوانەکە، پاشان توانەکە، پاشان $\times$ و $\div$ لە چەپەوە بۆ ڕاست و لە کۆتاییدا $+$.

Towers are built from the top. $2^{3^2}$ means $2^{(3^2)} = 2^9 = 512$: work out the top exponent first. It is not $(2^3)^2 = 8^2 = 64$.

تاوەری توانەکان لە سەرەوە دروست دەکرێت. $2^{3^2}$ واتە $2^{(3^2)} = 2^9 = 512$: یەکەم جار توانی سەرەوە ئەنجام بدە. واتای $(2^3)^2 = 8^2 = 64$ نییە.

A minus sign in front waits for the power. In $-3^2$ only the 3 is squared: $-3^2 = -(3^2) = -9$. To square $-3$, books write brackets: $(-3)^2 = 9$. Read $-3^2$ as “the opposite of three squared” and $(-3)^2$ as “minus three, squared”.

هێمای کەم لە پێشەوە چاوەڕێی توان دەکات. لە $-3^2$ـدا تەنیا 3 دووجا دەکرێت: $-3^2 = -(3^2) = -9$. بۆ دووجاکردنی $-3$، کتێبەکان کەوانە دەنووسن: $(-3)^2 = 9$. $-3^2$ بخوێنەوە «پێچەوانەی دووجای 3» و $(-3)^2$ «دووجای $(-3)$».

This line goes viral online every few years. After the bracket it looks like $6 \div 2 \times 3$, but there is no $\times$ in it: between 2 and the bracket stands an invisible times (The invisible times sign). Two habits read it differently:

ئەم دێڕە هەر چەند ساڵ جارێک لە ئینتەرنێتدا بڵاو دەبێتەوە. لە دوای کەوانەکە وەک $6 \div 2 \times 3$ دەردەکەوێت، بەڵام هیچ $\times$ـێکی تێدا نییە: لە نێوان 2 و کەوانەکەدا لێکدانی شاراوە (Implicit multiplication) هەیە (هێمای جارانی نەبینراو). دوو خوو بە دوو شێوە دەیخوێننەوە:

Both habits are in use, and even calculators disagree: some models show 9, others 1. So the honest answer is that the line is badly written. Careful writers use a fraction bar instead: $\frac{6}{2}(1 + 2) = 9$ or $\frac{6}{2(1 + 2)} = 1$. Do the same in your own work.

هەردوو خووەکە بەکار دێن و تەنانەت حاسیبەکانیش ڕێک ناکەون: هەندێک جۆر 9 پیشان دەدەن و هەندێکی تر 1. کەواتە وەڵامە ڕاستگۆیانەکە ئەوەیە کە دێڕەکە خراپ نووسراوە. نووسەرە وردەکان لە جیاتیی ئەوە هێڵی کەرت بەکار دەهێنن: $\frac{6}{2}(1 + 2) = 9$ یان $\frac{6}{2(1 + 2)} = 1$. لە کاری خۆتدا هەمان شت بکە.

Machines have their own precedence tables, and they do not always agree:

ئامێرەکان خشتەی پێشینەیی کارپێکەرەکانی خۆیان هەیە و هەمیشە ڕێک ناکەون:

Excel applies the negation sign before the power, so =-3^2 is 9 (but =0-3^2 is $-9$, because there the minus is a subtraction). Excel and MATLAB build towers from the left, Python from the top, like the book. Python writes powers as **; its ^ is XOR, a logic operator (XOR), as in Java, which has no power operator at all and writes Math.pow(2, 3) (Powers in Java). JavaScript refuses to guess: -3 ** 2 is an error until you add brackets. Details: Python, MATLAB, Excel, Java.

Excel هێمای کەم پێش توان ئەنجام دەدات، بۆیە =-3^2 دەکاتە 9 (بەڵام =0-3^2 دەکاتە $-9$، چونکە لەوێدا کەمەکە لێدەرکردنە). Excel و MATLAB تاوەر لە چەپەوە دروست دەکەن، Python لە سەرەوە، وەک کتێب. Python توان بە ** دەنووسێت؛ ^ـی ئەو XORـە، کارپێکەرێکی (Operator) لۆجیکی (XOR)، وەک Java کە هیچ کارپێکەرێکی توانی نییە و Math.pow(2, 3) دەنووسێت (توان لە Javaـدا). JavaScript مەزەندە ناکات: -3 ** 2 هەڵەیە تا کەوانە زیاد دەکەیت. وردەکاری: Python، MATLAB، Excel، Java.