Function Notation: f(x), Arrows, Inverses and Compositionنووسینی نەخشەیی: $f(x)$، تیرەکان، پێچەوانە و ئاوێتەکردن

$f(x)$ is read “f of x”. f is the name of the function, the x inside the brackets is the input, and $f(x)$ is the output: the value that f gives for that x. So $f(x) = x^2 - 3x$ says “f of x equals x squared minus three x”. In Kurdish, CêIT says fـی x; you may also hear نرخی f لە x (the value of f at x). Many books give the output its own letter: $y = f(x)$.

$f(x)$ دەخوێنرێتەوە «fـی x» (f of x). f ناوی نەخشەکەیە، x کە لە ناو کەوانەکەدایە نێوخستەیە (Input) و $f(x)$ دەرخستەیە (Output): ئەو نرخەی f بۆ ئەو xـە دەیدات. کەواتە $f(x) = x^2 - 3x$ دەڵێت «fـی x یەکسانە بە x دووجا کەم ⁦3x⁩». لەوانەیە «نرخی f لە x»ـیش ببیستیت. زۆر کتێب پیتێکی تایبەت دەدەنە دەرخستەکە: $y = f(x)$.

The brackets do not mean multiplication: $f(x)$ is never f times x. To find a value, put the input in place of every x, inside brackets: $f(2) = (2)^2 - 3(2) = -2$, and $f(a + h) = (a + h)^2 - 3(a + h)$, which is not $f(a) + h$. The notation is in 28 CêIT lessons, from Notation and other names to the probability function $f(x) = P(X = x)$ (The pmf).

کەوانەکان واتای لێکدان نادەن: $f(x)$ هەرگیز f جاران x نییە. بۆ دۆزینەوەی نرخێک، نێوخستەکە لە جێگەی هەموو xـێک دابنێ، لە ناو کەوانەدا: $f(2) = (2)^2 - 3(2) = -2$ و $f(a + h) = (a + h)^2 - 3(a + h)$، کە هەمان $f(a) + h$ نییە. نووسینە نەخشەییەکە (Function notation) لە ⁦28⁩ وانەی CêITـدا هەیە، لە شێوەی نووسین و ناوەکانی ترـەوە تا نەخشەی بارستەی ئەگەر (Probability mass function) $f(x) = P(X = x)$ (نەخشەی بارستەی ئەگەر).

Books often name a function together with its two sets: $f: X \to Y$, read “f maps X to Y” or “f is a function from X to Y”; in Kurdish f، کۆمەڵەی X دەبات بۆ ناو کۆمەڵەی Y. X is the set of inputs and Y is the set where the outputs land. Some handouts put the name on the arrow instead: $X \xrightarrow{f} Y$.

کتێبەکان زۆرجار نەخشەیەک لەگەڵ هەردوو کۆمەڵەکانی (Set) ناو دەبەن: $f: X \to Y$، کە دەخوێنرێتەوە «f، کۆمەڵەی X دەبات بۆ ناو کۆمەڵەی Y» (f maps X to Y). X کۆمەڵەی نێوخستەکانە و Y ئەو کۆمەڵەیە کە دەرخستەکان تێیدا دەنیشنەوە. هەندێک مەلزەمە ناوەکە لەسەر تیرەکە دەنووسن: $X \xrightarrow{f} Y$.

The rule comes with a different arrow, $\mapsto$, which has a small bar at its tail: $x \mapsto x^2$ is read “x maps to x squared”; one common way to say it in Kurdish is x دەبێتە x دووجا. Together: $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R},\ x \mapsto x^2$. Books also call a function a mapping, a transformation or an operator; all three mean the same idea (Notation and other names).

یاساکە بە تیرێکی تر دێت، $\mapsto$، کە هێڵێکی بچووکی لە کلکدایە: $x \mapsto x^2$ بە ئینگلیزی x maps to x squared دەخوێنرێتەوە؛ شێوەیەکی باوی وتنی بە کوردی «x دەبێتە x دووجا»ـیە. پێکەوە: $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R},\ x \mapsto x^2$. کتێبەکان بە نەخشە دەڵێن mapping، transformation یان operatorـیش؛ هەر سێکیان هەمان بیرۆکەن (شێوەی نووسین و ناوەکانی تر).

A function $f: X \to Y$ comes with three sets, and each has a name and a short written form (Inputs that are allowed, outputs that are reached):

هەر نەخشەیەک $f: X \to Y$ سێ کۆمەڵەی لەگەڵە و هەریەکەیان ناو و شێوەیەکی کورتی نووسینی هەیە (نێوخستەکانی ڕێگەپێدراو و دەرخستەکانی بەدەستهاتوو):

Domains and ranges are often intervals, such as $D_f = [-2, 2]$ or $R_f = [0, +\infty)$ (One set, four ways). The graph of f is a set of pairs: $\{(x, f(x)) \mid x \in D_f\}$, read “the set of pairs x, f of x, such that x is in the domain of f”.

بوارەکان و مەوداکان زۆرجار ماوەکانن (Interval)، وەک $D_f = [-2, 2]$ یان $R_f = [0, +\infty)$ (یەک کۆمەڵە، چوار شێوەی نووسین). هێڵکاریی نەخشەی (Graph of a function) f کۆمەڵەیەک لە جووتە ڕێکخراوەکانە (Ordered pair): $\{(x, f(x)) \mid x \in D_f\}$، کە دەخوێنرێتەوە «کۆمەڵەی جووتەکانی x و fـی x، بە جۆرێک کە x ئەندامی (Element) بواری fـە».

The arrow $\to$ appears in many CêIT lessons, and its job changes with the subject. Read the subject before you read the arrow:

تیری $\to$ لە زۆر وانەی CêITـدا دەبینرێت و کارەکەی بە پێی بابەتەکە دەگۆڕێت. پێش ئەوەی تیرەکە بخوێنیتەوە، سەیری بابەتەکە بکە:

In a Kurdish sentence CêIT writes the arrow for “then, leads to” as «←», so that it points the way Kurdish is read: «input ← output». Inside a formula the arrow always stays $\to$, because formulas run left to right (Formulas run left to right).

لە ڕستەیەکی کوردیدا CêIT تیری «پاشان، دەبێتە» بە «←» دەنووسێت، تاکو ڕووی لەو ئاڕاستەیە بێت کە کوردی پێی دەخوێنرێتەوە: «نێوخستە ← دەرخستە». لە ناو فۆرمولەیەکدا (Formula) تیرەکە هەمیشە $\to$ دەمێنێتەوە، چونکە فۆرمولەکان لە چەپەوە بۆ ڕاست دەڕۆن (فۆرمولەکان لە چەپەوە بۆ ڕاست دەڕۆن).

$f^{-1}$ is read “f inverse”; in Kurdish پێچەوانەی f. It is the function that undoes f: if $f(3) = 6$, then $f^{-1}(6) = 3$. Here the raised $-1$ is not an exponent, so $f^{-1}(x) \ne \frac{1}{f(x)}$. The reciprocal is written $\frac{1}{f(x)}$ or $(f(x))^{-1}$, with the brackets around the value.

$f^{-1}$ دەخوێنرێتەوە «پێچەوانەی f» (f inverse). ئەو نەخشەیەیە کە کاری f هەڵدەوەشێنێتەوە: ئەگەر $f(3) = 6$، ئەوا $f^{-1}(6) = 3$. لێرەدا $-1$ـی بەرز توان (Exponent) نییە، بۆیە $f^{-1}(x) \ne \frac{1}{f(x)}$. هەڵگەڕاوەکە (Reciprocal) بە $\frac{1}{f(x)}$ یان $(f(x))^{-1}$ دەنووسرێت، بە کەوانە بە دەوری نرخەکەدا.

Only a one-to-one function has an inverse: no two inputs share an output. Handouts shorten one-to-one to “1-1”, read “one-to-one” (One-to-one functions). The raised $-1$ has three jobs in CêIT (Superscripts): the inverse function $f^{-1}$, also $\sin^{-1} x = \arcsin x$ (Read the $-1$ carefully); the inverse matrix $A^{-1}$ (Vectors and matrices); and a real power of a number, $10^{-1} = \frac{1}{10}$ (Negative exponents).

تەنیا نەخشەیەکی یەک بۆ یەک (One-to-one function) پێچەوانەی هەیە: هیچ دوو نێوخستەیەک هەمان دەرخستە بەش ناکەن. مەلزەمەکان «one-to-one» کورت دەکەنەوە بە «⁦1-1⁩» و دەخوێنرێتەوە «یەک بۆ یەک» (نەخشە یەک بۆ یەکەکان). $-1$ـی بەرز لە CêITـدا سێ کاری هەیە (ژوورنووسەکان): پێچەوانەی نەخشە (Inverse function) $f^{-1}$، هەروەها $\sin^{-1} x = \arcsin x$ ($-1$ بە وردی بخوێنەوە)؛ پێچەوانەی ماتریکس (Inverse of a matrix) $A^{-1}$ (ئاڕاستەبڕەکان و ماتریکسەکان)؛ هەروەها توانێکی ڕاستەقینە لەسەر ژمارەیەک، $10^{-1} = \frac{1}{10}$ (توانەکانی سالب).

$(f \circ g)(x)$ means $f(g(x))$: first g works on x, then f works on the result. Read it “f of g of x”, “f after g” or “f circle g”; in Kurdish f لە دوای g. The function written next to x works first, so you read the order from the right (Definition and notation).

$(f \circ g)(x)$ واتە $f(g(x))$: یەکەم g لەسەر x کار دەکات، پاشان f لەسەر ئەنجامەکە کار دەکات. دەخوێنرێتەوە «f لە دوای g» (f of g of x، f after g، f circle g). ئەو نەخشەیەی لە تەنیشت xـەوە نووسراوە یەکەم کار دەکات، بۆیە ڕیزبەندییەکە لە ڕاستەوە دەخوێنیتەوە (پێناسە و نووسین).

With $g(x) = x + 1$ and $f(x) = x^2$: $(f \circ g)(2) = f(3) = 9$, but $(g \circ f)(2) = g(4) = 5$. The order matters: $f \circ g \ne g \circ f$ (The order matters). The Kurdistan Region's grade-12 exams write the ring as the letter o, even for three functions: $k = f \text{ o } g \text{ o } h$ means $k(x) = f(g(h(x)))$, with h first and f last.

بە $g(x) = x + 1$ و $f(x) = x^2$: $(f \circ g)(2) = f(3) = 9$، بەڵام $(g \circ f)(2) = g(4) = 5$. ڕیزبەندی گرنگە: $f \circ g \ne g \circ f$ (ڕیزبەندی گرنگە). تاقیکردنەوەکانی پۆلی دوازدەی هەرێمی کوردستان بازنەکە بە پیتی o دەنووسن، تەنانەت بۆ سێ نەخشە: $k = f \text{ o } g \text{ o } h$ واتە $k(x) = f(g(h(x)))$، یەکەم h و لە کۆتاییدا f.

Small marks between function names are easy to misread. $f \circ g$ (a ring on the line) is composition. $f \cdot g$ (a dot) is the product of the outputs: $(f \cdot g)(x) = f(x)\,g(x)$. A smaller circle up high after a number, $30^\circ$, is degrees (Degrees). Kurdish exam papers use the letter o for the ring: $f \text{ o } g$ is $f \circ g$.

نیشانە بچووکەکانی نێوان ناوی نەخشەکان بە ئاسانی بە هەڵە دەخوێنرێنەوە. $f \circ g$ (بازنەیەک لەسەر هێڵەکە) ئاوێتەکردنی نەخشەکانە (Composition of functions). $f \cdot g$ (خاڵێک) ئەنجامی لێکدانی (Multiplication) دەرخستەکانە: $(f \cdot g)(x) = f(x)\,g(x)$. بازنەیەکی بچووکتر لە سەرەوە دوای ژمارەیەک، $30^\circ$، پلەیە (Degree) (پلەکان). پرسیارنامەکانی تاقیکردنەوەی کوردی پیتی o بۆ بازنەکە بەکار دەهێنن: $f \text{ o } g$ هەمان $f \circ g$ـە.

The four operations on functions all keep the input in ordinary brackets after the name: $(f + g)(x) = f(x) + g(x)$, $(f - g)(x)$, $(f \cdot g)(x)$ and $\left(\frac{f}{g}\right)(x)$, read “f plus g of x” and so on (The four operations). You may meet handouts that print $(f+g)_x$, $(f \circ g)_{(x)}$, “F+g” or “F.g”: read them as $(f + g)(x)$, $(f \circ g)(x)$ and $f \cdot g$. A capital F is a different name from f, and the input never goes into a subscript.

هەر چوار کارە ژمێرەییەکانی (Arithmetic operation) سەر نەخشەکان نێوخستەکە لە کەوانەی ئاسایی دوای ناوەکەدا دەهێڵنەوە: $(f + g)(x) = f(x) + g(x)$، $(f - g)(x)$، $(f \cdot g)(x)$ و $\left(\frac{f}{g}\right)(x)$، کە دەخوێنرێنەوە «f کۆ gـی x» و هتد (کۆکردنەوە، لێدەرکردن، لێکدان و دابەشکردن). لەوانەیە مەلزەمەیەک ببینیت کە $(f+g)_x$، $(f \circ g)_{(x)}$، «⁦F+g⁩» یان «⁦F.g⁩» چاپ دەکات: وەک $(f + g)(x)$، $(f \circ g)(x)$ و $f \cdot g$ بیانخوێنەرەوە. Fـی گەورە ناوێکی جیاوازە لە fـی بچووک و نێوخستە هەرگیز ناچێتە ناو ژێرنووسێکەوە (Subscript).

A large left brace holds one function with several rules. Each line has a rule and, on its right, a condition that says when that rule is used. Here is a ticket price in dinars for a visitor of age a:

کەوانەیەکی لوولی گەورە لە لای چەپ یەک نەخشە بە چەند یاسایەکەوە هەڵدەگرێت. هەر دێڕێک یاسایەک و لە لای ڕاستییەوە مەرجێکی هەیە کە دەڵێت ئەو یاسایە کەی بەکار دێت. ئەمە نرخی بلیتێکە بە دینار بۆ سەردانکەرێک کە تەمەنی a ساڵە:

Read it “p of a equals 0 if a is less than 6, 2000 if a is at least 6 and less than 18, and 5000 if a is 18 or more”. In Kurdish each condition starts with ئەگەر (if), and “otherwise” is لە حاڵەتەکانی تردا. Each input fits exactly one line, so $p(18) = 5000$. Many books leave out the word “if” and write only the condition, sometimes after a comma. CêIT uses braces for $|x|$, floor and the cumulative distribution function (Piecewise functions, The step formula).

بیخوێنەوە «pـی a یەکسانە بە 0 ئەگەر a لە 6 بچووکتر بێت، ⁦2000⁩ ئەگەر a لانیکەم 6 بێت و لە ⁦18⁩ بچووکتر بێت و ⁦5000⁩ ئەگەر ⁦a 18⁩ یان زیاتر بێت». هەر مەرجێک بە «ئەگەر» دەست پێدەکات و otherwise واتە «لە حاڵەتەکانی تردا». هەر نێوخستەیەک ڕێک لە یەک دێڕدا جێی دەبێتەوە، بۆیە $p(18) = 5000$. زۆر کتێب وشەی «ئەگەر» نانووسن و تەنیا مەرجەکە دەنووسن، هەندێک جار دوای کۆمایەک. CêIT کەوانەی لوول بۆ $|x|$، نەخشەی گەورەترین ژمارەی تەواو (Floor function) و نەخشەی دابەشبوونی کەڵەکەبوو (Cumulative distribution function) بەکار دەهێنێت (نەخشە ڕێسا پەلدارەکان، فۆرمولەی پلیکانەیی).

Some functions have names of several letters, written upright: $\max(a, b)$ gives the larger number and $\min(a, b)$ the smaller one, so $\max(3, -7) = 3$; $\operatorname{sgn}(x)$, “sign of x”, gives $-1$, $0$ or $1$. CêIT uses max for $|x| = \max(x, -x)$ (The max form) and for the GDPR fine (Fines). A function can also take several inputs, separated by commas: the area of a rectangle is $A(l, w) = lw$, so $A(5, 3) = 15$.

هەندێک نەخشە ناوێکی چەند پیتی هەیە کە ڕاست دەنووسرێت (نەک لار): $\max(a, b)$ ژمارە گەورەکە دەدات و $\min(a, b)$ بچووکەکە، بۆیە $\max(3, -7) = 3$؛ $\operatorname{sgn}(x)$، «هێمای x»، $-1$، $0$ یان $1$ دەدات. CêIT max بۆ $|x| = \max(x, -x)$ (شێوەی max) و بۆ سزای GDPR بەکار دەهێنێت (سزاکان). نەخشەیەک دەتوانێت چەند نێوخستەیەکی هەبێت کە بە کۆما لێک جیا دەکرێنەوە: ڕووبەری لاکێشەیەک $A(l, w) = lw$ـە، بۆیە $A(5, 3) = 15$.

Programs write functions the same way: a name, the inputs in brackets and a rule. Python writes def f(x): return x**2 + 1 (Your first function); MATLAB writes the anonymous function f = @(x) x.^2 + 1 (Anonymous functions). Mobile apps even describe the screen as a function of the state, $\text{UI} = f(\text{state})$ (Declarative UI).

بەرنامەکان (Program) کردارەکان بە هەمان شێوە دەنووسن: ناوێک، نێوخستەکان لە ناو کەوانەدا و یاسایەک. Python دەنووسێت def f(x): return x**2 + 1 (یەکەم کرداری خۆت)؛ MATLAB کردارە بێناوەکە (Anonymous function) f = @(x) x.^2 + 1 دەنووسێت (کردارە بێناوەکان). ئەپەکانی مۆبایل تەنانەت شاشەکە وەک نەخشەیەکی دۆخ (State) وەسف دەکەن، $\text{UI} = f(\text{state})$ (نێوبەستەی وەسفی).