Inequalities, Infinity and Intervalsلاسەنگەکان، بێسنوور و ماوەکان

The signs $<$, $>$, $\le$ and $\ge$ compare two numbers. A statement made with one of them is an inequality (لاسەنگە). They appear in dozens of CêIT lessons; the rules for working with them are taught in Inequalities and their four symbols. This screen is about their names and how to say and type them.

هێماکان $<$، $>$، $\le$ و $\ge$ دوو ژمارە بەراورد دەکەن. ڕستەیەک کە بە یەکێکیان دروست کرابێت لاسەنگەیە. لە دەیان وانەی CêITـدا دەبینرێن؛ یاساکانی کارکردن پێیان لە لاسەنگەکان و چوار هێماکەیانـدا دەخوێنرێن. ئەم شاشەیە باسی ناو، خوێندنەوە و نووسینیان دەکات.

Remember the shape, not the words: the open side faces the bigger number and the point faces the smaller one. Many teachers draw a hungry crocodile that always opens its mouth towards the bigger meal. $3 < 7$ and $7 > 3$ say the same thing from opposite ends.

شێوەکەت لەبیر بێت، نەک وشەکان: لای کراوە ڕووی لە ژمارە گەورەکەیە و نووکەکەی ڕووی لە بچووکەکەیە. زۆر مامۆستا تیمساحێکی برسی دەکێشن کە هەمیشە دەمی بەرەو خواردنە گەورەکە دەکاتەوە. $3 < 7$ و $7 > 3$ هەمان شت لە دوو سەری پێچەوانەوە دەڵێن.

The exact meaning: $a < b$ means that $b - a$ is positive, $b - a \in \mathbb{R}^{+}$; on the number line a lies to the left of b (Comparing numbers). Rules are read the same way: “if $a, b \in \mathbb{R}^{+}$ and $a < b$, then $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$” is “if a and b are positive real numbers and a is less than b, then one over a is greater than one over b” (Reciprocals).

واتای ورد: $a < b$ واتە $b - a$ موجەبە، $b - a \in \mathbb{R}^{+}$؛ لەسەر هێڵی ژمارەکان a لە لای چەپی bـیە (بەراوردکردنی ژمارەکان). یاساکانیش بەم شێوەیە دەخوێنرێنەوە: «ئەگەر $a, b \in \mathbb{R}^{+}$ و $a < b$، ئەوا $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$» واتە «ئەگەر a و b ژمارە ڕاستییەکان (Real number) موجەب بن و a لە b بچووکتر بێت، ئەوا 1 لەسەر a لە 1 لەسەر b گەورەترە» (هەڵگەڕاوەکان).

In a Kurdish sentence with words on both sides, computers draw the sign mirrored, so that it still faces the right way when you read from the right. Inside a formula nothing changes: $x < 5$ is read from its left end, in every language (Formulas run left to right).

لە ڕستەیەکی کوردیدا کە وشە لە هەردوو لای هێماکە بێت، کۆمپیوتەر (Computer) هێماکە پێچەوانە دەکێشێت، بۆ ئەوەی کاتێک لە ڕاستەوە دەخوێنیتەوە هێشتا ڕووی ڕاست بێت. لە ناو فۆرمولەیەکدا (Formula) هیچ ناگۆڕێت: $x < 5$ بە هەموو زمانێک لە سەری چەپیەوە دەخوێنرێتەوە (فۆرمولەکان لە چەپەوە بۆ ڕاست دەڕۆن).

Word problems in English hide the signs in everyday words. Learn these clues:

پرسیارە وشەییەکانی ئینگلیزی هێماکان لە ناو وشەی ڕۆژانەدا دەشارنەوە. ئەم نیشانانە فێر ببە:

Watch the edge: “at least 18” includes 18 itself ($a \ge 18$), but “more than 18” does not ($a > 18$).

ئاگاداری سنوورەکە بە: «لانیکەم ⁦18⁩» خودی ⁦18⁩ دەگرێتەوە ($a \ge 18$)، بەڵام «زیاتر لە ⁦18⁩» نایگرێتەوە ($a > 18$).

$2 < x \le 5$ is two inequalities in one: $2 < x$ and $x \le 5$. It is true only when both parts are true. Read it “x is greater than 2 and less than or equal to 5”, or from the left, “2 is less than x, which is less than or equal to 5”. In Kurdish: x لە 2 گەورەترە و لە 5 بچووکترە یان یەکسانە پێی. A chain points one way: write $2 < x \le 5$, never a mixed chain such as $2 < x > 5$.

$2 < x \le 5$ دوو لاسەنگەیە لە یەکدا: $2 < x$ و $x \le 5$. تەنیا کاتێک ڕاستە کە هەردوو بەشەکە ڕاست بن (لاسەنگەی ئاوێتە (Compound inequality)). بیخوێنەوە «x لە 2 گەورەترە و لە 5 بچووکترە یان یەکسانە پێی». بە ئینگلیزی: x is greater than 2 and less than or equal to 5. زنجیرە یەک ئاڕاستەی هەیە: $2 < x \le 5$ بنووسە، هەرگیز زنجیرەی تێکەڵی وەک $2 < x > 5$ مەنووسە.

Any inequality can be read from either end if you turn the sign round: $x \ge 2$ is the same as $2 \le x$. A stroke through the sign means “not”: $a \not< b$, “a is not less than b”, means $a \ge b$ for real numbers. More in Chains and Double inequalities; Python can test a chain directly: 2 < x <= 5 (Chained comparisons).

هەر لاسەنگەیەک دەتوانرێت لە هەردوو سەرەوە بخوێنرێتەوە ئەگەر هێماکە وەربگەڕێنیت: $x \ge 2$ هەمان $2 \le x$ـە. هێڵێکی لار بە سەر هێماکەدا واتە «نا»: $a \not< b$، «a لە b بچووکتر نییە»، بۆ ژمارە ڕاستییەکان واتە $a \ge b$. زیاتر لە زنجیرە و لاسەنگە ئاوێتەکان؛ Python دەتوانێت ڕاستەوخۆ زنجیرەیەک تاقی بکاتەوە: 2 < x <= 5 (بەراوردی زنجیرەیی).

$\infty$ is read “infinity” (Kurdish بێسنوور), $+\infty$ “plus infinity” and $-\infty$ “minus infinity”. It is not a number: it says “this goes on without end”. You can never reach it, so on the real number line it is never included: $[3, +\infty)$, never $[3, \infty]$ (Intervals without an end). The Kurdistan Region's grade-12 exams print it with its sign, $+\infty$; many books write plain $\infty$.

$\infty$ دەخوێنرێتەوە «بێسنوور» (infinity)، $+\infty$ «بێسنووری موجەب» و $-\infty$ «بێسنووری سالب». ژمارە نییە: دەڵێت «ئەمە بێ کۆتایی بەردەوام دەبێت». هەرگیز ناگەیتە ئەوێ، بۆیە لەسەر هێڵی ژمارەکان هەرگیز ناگیرێتەوە: $[3, +\infty)$، هەرگیز $[3, \infty]$ نا (ماوە بێسنوورەکان). تاقیکردنەوەکانی پۆلی دوازدەی هەرێمی کوردستان بە هێماکەیەوە چاپی دەکەن، $+\infty$؛ زۆر کتێب تەنیا $\infty$ دەنووسن.

The same sign does other jobs in CêIT: the start values $-\infty$ and $+\infty$ of alpha-beta pruning (Python's float('inf')), the “many” end of a relationship line (Reading the line) and the target of limits such as $x \to \infty$ (Limits). Doing arithmetic with $\infty$ as if it were a number is a classic mistake (Common mistakes).

هەمان هێما لە CêITـدا کاری تریش دەکات: نرخە سەرەتاییەکانی $-\infty$ و $+\infty$ لە بڕینی ئەلفا-بێتا (float('inf')ـی Python)، سەری «زۆر»ی هێڵی پەیوەندییەک (خوێندنەوەی هێڵەکە) و ئەو ئاڕاستەیەی لە ئامانجەکاندا (Limit) دەنووسرێت، وەک $x \to \infty$ (ئامانجەکان). ئەنجامدانی کاری ژمێرەیی (Arithmetic operation) بە $\infty$ وەک ئەوەی ژمارە بێت هەڵەیەکی ناسراوە (هەڵە باوەکان).

Why does the number line never end? Because there is no largest number, and a short proof shows it. Suppose some number $n$ were the largest. But $n + 1$ is a number too, and $n + 1 > n$, so $n$ was not the largest after all. This happens for every $n$ you pick, so a largest number cannot exist. The proof assumes the opposite of what we want and shows that it breaks: a proof by contradiction.

بۆچی هێڵی ژمارەکان هەرگیز کۆتایی نایەت؟ چونکە گەورەترین ژمارە بوونی نییە و سەلماندنێکی کورت ئەمە پیشان دەدات. گریمان ژمارەیەکی $n$ گەورەترین ژمارە بێت. بەڵام $n + 1$ـیش ژمارەیە و $n + 1 > n$، کەواتە $n$ گەورەترین نەبوو. ئەمە بۆ هەر $n$ـێک ڕوو دەدات کە هەڵیدەبژێریت، بۆیە گەورەترین ژمارە ناتوانێت بوونی هەبێت. ئەم سەلماندنە پێچەوانەی ئەوە وەردەگرێت کە دەمانەوێت و پیشان دەدات کە ئەو پێچەوانەیە دەڕووخێت (proof by contradiction).

Among the integers and the real numbers, the same proof with $n - 1$ shows there is no smallest number either, so the line runs on to $-\infty$ on the left and $+\infty$ on the right. A computer is different: a Java int stops at 2147483647, and adding 1 wraps round to -2147483648 (Overflow). A Python integer has no fixed largest value; it can grow until the memory runs out (Powers with **).

لە ناو ژمارە تەواوەکان (Integer) و ژمارە ڕاستییەکاندا، هەمان سەلماندن بە $n - 1$ پیشان دەدات کە بچووکترین ژمارەش نییە، بۆیە هێڵەکە لە لای چەپ بەرەو $-\infty$ و لە لای ڕاست بەرەو $+\infty$ بەردەوام دەبێت. کۆمپیوتەر جیاوازە: intـی Java لە 2147483647 دەوەستێت و زیادکردنی 1 دەیگەڕێنێتەوە بۆ -2147483648 (سەرڕێژبوون). ژمارەی تەواوی Python هیچ گەورەترین نرخێکی جێگیری نییە؛ دەتوانێت گەورە بێت تا بیرگە (Memory) پڕ دەبێت (بەرزکردنەوە بۆ توان بە **).

The same set of numbers, “every number above 2, up to and including 5”, can be written four ways, and books use all of them: an inequality, an interval with round brackets, an interval with reversed brackets, and set-builder notation; and it can be drawn on a number line.

هەمان کۆمەڵەی ژمارەکان، «هەموو ژمارەیەکی سەرووی 2، تا 5 بە خودی 5ـیشەوە»، بە چوار شێوە دەنووسرێت و کتێبەکان هەموویان بەکار دەهێنن: لاسەنگەیەک، ماوەیەک بە کەوانەی خڕ، ماوەیەک بە کەوانەی پێچەوانە و شێوەی وەسفیی کۆمەڵە؛ هەروەها لەسەر هێڵی ژمارەکان دەکێشرێت.

Round bracket = open dot = left out; square bracket = filled dot = included. Some Kurdish solutions call the dots پڕکراو (filled) and پڕکراو نییە (not filled), and say the shading goes بەرەو ڕاست (to the right) or بەرەو چەپ (to the left). Read $(2, 5]$ “the interval from 2 to 5, open at 2, closed at 5”. Its kind is a half-open interval; $(a, b)$ is open and $[a, b]$ closed. Python's range(2, 6) gives the whole numbers of $[2, 6)$: 2, 3, 4 and 5 (Intervals in programming). The rules and all nine kinds are in One answer, three ways; set-builder notation is read in Set notation.

کەوانەی خڕ = خاڵی پڕنەکراو = دەرەوە؛ کەوانەی چوارگۆشە = خاڵی پڕکراو = تێدایە. هەندێک شیکاری کوردی دەڵێن خاڵەکە «پڕکراو»ـە یان «پڕکراو نییە» و ڕەنگکردنەکە «بەرەو ڕاست» یان «بەرەو چەپ» دەڕوات. $(2, 5]$ دەخوێنرێتەوە «ماوەی 2 تا 5، لای 2 کراوە و لای 5 داخراو». جۆرەکەی ماوەی نیوەکراوەیە (Half-open interval)؛ $(a, b)$ ماوەی کراوەیە (Open interval) و $[a, b]$ ماوەی داخراوە (Closed interval). range(2, 6)ـی Python ژمارە تەواوەکانی ناو $[2, 6)$ دەدات: 2، 3، 4 و 5 (ماوەکان لە بەرنامەسازیدا). یاساکان و هەر نۆ جۆرەکە لە یەک وەڵام، سێ شێوەـدان؛ شێوەی وەسفیی کۆمەڵە لە هێماکانی کۆمەڵەـدا دەخوێنرێتەوە.

In the Kurdistan Region's grade-12 maths exams (2024–2025) and in some Kurdish worked solutions, a left-out end is shown by a bracket turned away from the numbers: $]0, 2\pi[$, $]-\infty, 1[$, $[1, +\infty[$. This French style was made popular by the Bourbaki group of mathematicians, and the international standard for mathematical signs lists it beside round brackets. Read it exactly like round brackets: $]2, 5]$ is $(2, 5]$. It has one advantage: $(2, 5)$ can also mean a point, but $]2, 5[$ cannot.

لە تاقیکردنەوەکانی بیرکاریی پۆلی دوازدەی هەرێمی کوردستاندا ⁦(2024–2025)⁩ و لە هەندێک شیکاری کوردیدا، سەرێکی دەرەوە بە کەوانەیەک پیشان دەدرێت کە ڕووی لە ژمارەکان وەرگێڕاوە: $]0, 2\pi[$، $]-\infty, 1[$، $[1, +\infty[$. ئەم شێوە فەرەنسییە گرووپی بیرکارزانانی بۆرباکی بڵاویان کردەوە و ستانداردی نێودەوڵەتیی هێماکانی بیرکاری لە تەنیشت کەوانەی خڕەوە ناوی دەهێنێت. ڕێک وەک کەوانەی خڕ بیخوێنەوە: $]2, 5]$ هەمان $(2, 5]$ـە. سوودێکی هەیە: $(2, 5)$ دەشێت خاڵێکیش بێت، بەڵام $]2, 5[$ هەرگیز خاڵ نییە.

Inside a formula the brackets never change direction: $]a, b[$ looks the same in a Kurdish, Arabic or English book. Some handouts separate the ends with a semicolon, $[a;\,b)$, as countries with a decimal comma do; it means $[a, b)$. More examples: The reversed-bracket notation.

لە ناو فۆرمولەیەکدا کەوانەکان هەرگیز ئاڕاستە ناگۆڕن: $]a, b[$ لە کتێبی کوردی، عەرەبی و ئینگلیزیدا هەر وەک یەکە. هەندێک مەلزەمە دوو سەرەکە بە خاڵبۆر (Semicolon) لێک جیا دەکەنەوە، $[a;\,b)$، وەک ئەو وڵاتانەی ژمارەی دەیی بە شێوەی ⁦2,5⁩ دەنووسن؛ واتای $[a, b)$ـە. نموونەی زیاتر: نووسینی کەوانەی پێچەوانە.

Some answers are two pieces of the line. Join them with the union sign $\cup$, read “union” or simply “or” (Kurdish یەکگرتن): $(-\infty, 5) \cup (5, +\infty)$ is every real number except 5, the same as $x \ne 5$. US textbooks write domains this way, for example $(-\infty, 5) \cup (5, \infty)$, $[0, \infty)$ and $(-\infty, \infty)$. Pieces in the reversed-bracket style are joined with $\cup$ in the same way: $]-\infty, 5[ \cup ]5, +\infty[$.

هەندێک وەڵام دوو پارچەی هێڵەکەن. بە هێمای یەکگرتن، $\cup$، بەیەکەوەیان ببەستە، کە «یەکگرتن» یان بە سادەیی «یان» دەخوێنرێتەوە: $(-\infty, 5) \cup (5, +\infty)$ هەموو ژمارەیەکی ڕاستییە جگە لە 5، هەمان $x \ne 5$. کتێبەکانی ئەمریکا بوارەکان (Domain) بەم شێوەیە دەنووسن، بۆ نموونە $(-\infty, 5) \cup (5, \infty)$، $[0, \infty)$ و $(-\infty, \infty)$. پارچەکانی شێوەی کەوانەی پێچەوانەش بە هەمان شێوە بە $\cup$ دەبەسترێنەوە: $]-\infty, 5[ \cup ]5, +\infty[$.

You may meet answers written as a list in braces: $\mathrm{S.S} = \{(-\infty, -3), (2, 7)\}$. Read it as the union $(-\infty, -3) \cup (2, 7)$: a set whose elements are two intervals is a different thing (Union, not a list). Braces around one interval, $\{[-3, 12)\}$, are not needed: write $[-3, 12)$. But $\{5, -2\}$, two separate numbers, is a correct set. S.S stands for solution set; some Kurdish solutions end with ئەنجام (the result) instead.

لەوانەیە وەڵامی وەک لیستێک لە ناو کەوانەی لوولدا ببینیت: $\mathrm{S.S} = \{(-\infty, -3), (2, 7)\}$. وەک یەکگرتنی $(-\infty, -3) \cup (2, 7)$ بیخوێنەرەوە: کۆمەڵەیەک کە ئەندامەکانی (Element) دوو ماوەن شتێکی ترە (یەکگرتن، نەک لیست). کەوانەی لوول بە دەوری یەک ماوەدا، $\{[-3, 12)\}$، پێویست نییە: بنووسە $[-3, 12)$. بەڵام $\{5, -2\}$، دوو ژمارەی جیا، کۆمەڵەیەک دروستە. ⁦S.S⁩ کورتکراوەی کۆمەڵەی شیکارە (Solution set) (solution set)؛ هەندێک شیکاری کوردی لە جیاتی ئەوە بە «ئەنجام» کۆتایی دێن.

To solve an inequality such as $\frac{x + 2}{x - 4} < 0$, teachers draw a sign table. The columns are the intervals between the zeros. The next row holds one test number from each interval (some Kurdish solutions head it ژمارەیەک لەو نێوانە, “a number in that interval”). Then each factor gets its sign, $+$ or $-$, and in those tables the row for the whole fraction is called دابەش (the quotient). ✓ marks the intervals that make the inequality true and ✗ the others.

بۆ شیکارکردنی لاسەنگەیەک وەک $\frac{x + 2}{x - 4} < 0$، مامۆستایان خشتەیەکی هێماکان دەکێشن. ستوونەکان ئەو ماوەکانن کە لە نێوان سفرەکاندان. ڕیزی دواتر لە هەر ماوەیەک یەک ژمارەی تاقیکردنەوەی تێدایە (هەندێک شیکاری کوردی ناوی دەنێن «ژمارەیەک لەو نێوانە»). پاشان هەر کۆلکەیەک هێماکەی وەردەگرێت ($+$ یان $-$). لەو خشتانەدا ڕیزی هەموو کەرتەکە (Fraction) ناوی «دابەش»ـە. ✓ ئەو ماوەکان نیشان دەدات کە لاسەنگەکە ڕاست دەکەن و ✗ ئەوانی تر.

The answer is the ✓ column: $(-2, 4)$, or $]-2, 4[$. Both ends are open: $-2$ makes the fraction 0, which is not less than 0, and 4 makes the bottom 0, which is never allowed. Building such a table is taught in The sign-chart method and Inequalities with fractions.

ئەنجامەکە ستوونی ✓ـە: $(-2, 4)$، یان $]-2, 4[$. هەردوو سەر کراوەن: $-2$ کەرتەکە دەکاتە 0 کە لە 0 بچووکتر نییە و 4 ژێرە (Denominator) دەکاتە 0 کە هەرگیز ڕێگەپێدراو نییە. دروستکردنی ئەم خشتەیە لە ڕێگای خشتەی هێماکان و لاسەنگەکان بە کەرتەوەـدا فێر دەکرێت.