Chapterبەش 2 · Lectureوانە 2.5

Inequalities with Fractions (Rational Inequalities)لاسەنگە ڕێژەییەکان

Why you may never multiply an inequality by $x-2$ , and two safe methods instead: one fraction compared with 0 (method A) and multiplying by the squares of the denominators (method B). Both are correct and give the same answer: slide 14's Examples 1 and 2 solved both ways and compared, with sign tables, the rules for the ends, and corrected solutions.

بۆچی هەرگیز نابێت لە $x-2$ بدەیت و دوو ڕێگای سەلامەت لە جیاتی ئەوە: یەک بەراورد لەگەڵ 0 (ڕێگای A) و لێکدان لە دووجای (ڕێگای B). هەردوو ڕێگاکە دروستن و هەمان وەڵام دەدەن: نموونەکانی 1 و 2ی سلایدی ⁦14⁩ بە هەردوو ڕێگا و بەراوردکردنیان، لەگەڵ ، یاساکانی سنوور و چارەسەری ڕاستکراوە.

14 min read15 خولەک خوێندنەوە · 17 stepsهەنگاو

What you will learnچی فێر دەبیت

Explain why multiplying by an expression of unknown sign is wrong.
Solve a rational inequality by making one fraction and using a sign chart (method A).
Solve it by multiplying by the squares of the denominators (method B) and know its trap.
Compare the two methods and explain why they always give the same answer.
Decide which ends belong to the answer and write it as a union of intervals.

ڕوونی بکەیتەوە بۆچی لێکدان لە کە هێماکەی نەزانراوە هەڵەیە.
چارەسەر بکەیت بە کردنی بە یەک و بەکارهێنانی (ڕێگای A).
بە لێکدان لە دووجای چارەسەری بکەیت (ڕێگای B) و تەڵەکەی بناسیت.
دوو ڕێگاکە بەراورد بکەیت و ڕوونی بکەیتەوە بۆچی هەمیشە هەمان وەڵام دەدەن.
بڕیار بدەیت کام سنوور دەچێتە ناو وەڵامەوە و وەک بینووسیت.

Inequalities with fractionsلاسەنگە ڕێژەییەکان

A has x in a . Slide 14 starts with one: $\frac{1}{x-2}>\frac{2}{x+3}$ . Two facts decide everything that follows.

xـی لە هەیە. سلایدی ⁦14⁩ بە یەکێکیان دەست پێدەکات: $\frac{1}{x-2}>\frac{2}{x+3}$ . دوو ڕاستی هەموو ئەوەی دواتر دێت دیاری دەکەن.

Definitionپێناسە

An with x in a , such as $\frac{1}{x-2}>\frac{2}{x+3}$ . Never multiply by an expression whose sign you do not know: move everything to one side, make one fraction and use a .

کە x لە هەیە، وەک $\frac{1}{x-2}>\frac{2}{x+3}$ . هەرگیز لە دەربڕینێک مەدە کە هێماکەی نازانیت: هەموو شتێک بگوازەرەوە بۆ یەک لا، بیکە بە یەک کەرت و بەکار بهێنە.

A denominator can never be 0. Here $x\ne 2$ and $x\ne -3$ : for these numbers the fractions do not exist, so they can never be in the answer.
You may not multiply both sides by $x-2$ or $x+3$ . The slide warns about this, and the next screen shows why.

هەرگیز ناتوانێت 0 بێت. لێرەدا $x\ne 2$ و $x\ne -3$ : بۆ ئەم ژمارانە بوونیان نییە، بۆیە هەرگیز ناچنە ناو وەڵامەکەوە.
نابێت هەردوو لا لە $x-2$ یان $x+3$ بدەیت. سلایدەکە ئاگاداری ئەمە دەکاتەوە و شاشەی داهاتوو پیشان دەدات بۆچی.

Why you must not multiply by $x-2$ بۆچی نابێت لە $x-2$ بدەیت

With an equation you could multiply both sides by $(x-2)(x+3)$ . With an inequality you cannot, because the sign of $x-2$ depends on x. For $x>2$ it is positive and the sign would stay; for $x<2$ it is negative and the sign would have to turn round. We do not know x yet, so we cannot know which to do.

لە دەتوانیت هەردوو لا لە $(x-2)(x+3)$ بدەیت. لە ناتوانیت، چونکە هێمای $x-2$ بەندە بە xـەوە. بۆ $x>2$ موجەبە و هێماکە وەک خۆی دەمێنێتەوە؛ بۆ $x<2$ سالبە و هێماکە دەبێت پێچەوانە بکرێتەوە. هێشتا x نازانین، بۆیە نازانین کامیان بکەین.

The sign of

x-2

changes at 2, so multiplying by it is unsafe.هێمای

x-2

لە 2دا دەگۆڕێت، بۆیە لێکدان لێی سەلامەت نییە.CêIT

What goes wrongچی بە هەڵەدا دەچێت

Try it anyway: cross-multiplying gives $x+3>2(x-2)$ , so $x<7$ . But $x=0$ is less than 7 and $\frac{1}{0-2}=-\frac12$ is not greater than $\frac{2}{0+3}=\frac23$ . The wrong method lets in numbers that are not solutions — even 2 and $-3$ , where the fractions do not exist.

با هەر تاقی بکەینەوە: لێکدان بە شێوەی خاچ $x+3>2(x-2)$ دەدات، واتە $x<7$ . بەڵام $x=0$ لە 7 بچووکترە و $\frac{1}{0-2}=-\frac12$ لە $\frac{2}{0+3}=\frac23$ گەورەتر نییە. ڕێگا هەڵەکە ژمارەی وا وەردەگرێت کە شیکار نین — تەنانەت 2 و $-3$ ، کە تێیاندا بوونیان نییە.

Two safe methodsدوو ڕێگای سەلامەت

There are two safe ways. Both are correct and always give the same answer; you will compare them after Example 1. Both end with the sign chart you know from Quadratic inequalities.

دوو ڕێگای سەلامەت هەن. هەردووکیان دروستن و هەمیشە هەمان وەڵام دەدەن؛ دوای نموونەی 1 بەراوردیان دەکەین. هەردووکیان بەو کۆتایی دێن کە لە لاسەنگە پلەدووەکان دەیناسیت.

Method A and method Bڕێگای A و ڕێگای B
Stepهەنگاو	Method A: one fractionڕێگای A: یەک	Method B: multiply by squaresڕێگای B: لێکدان لە دووجاکان
Ideaبیرۆکە	Move everything to one side and make one fraction; compare it with 0.هەموو شتێک بگوازەرەوە بۆ یەک لا و بیکە بە یەک ؛ لەگەڵ 0 بەراوردی بکە.	Multiply both sides by the squares of the denominators. A square is positive (it is never 0 for an allowed x), so the sign stays.هەردوو لا لە دووجای بدە. دووجا موجەبە (بۆ هەر نرخێکی ڕێگەپێدراوی x هەرگیز 0 نییە)، بۆیە هێماکە وەک خۆی دەمێنێتەوە.
Thenپاشان	Zeros of the numerator and of the denominator; sign chart of the fraction.سفرەکانی و ؛ .	Factor the polynomial; sign chart of the product. ؛ لێکدانەکە.
Used byبەکارهاتووە لە	Standard textbooks; the student's Kurdish notes.کتێبە ستاندەردەکان؛ تێبینییە کوردییەکانی خوێندکارەکە.	The lecturer's answer sheets and the board.وەرەقەی وەڵامەکان و تەختەی مامۆستا.

Quick checkپشکنینی خێراWhy may you multiply both sides of

\frac{1}{x-2}>\frac{2}{x+3}

by

(x-2)^2(x+3)^2

?بۆچی دەتوانیت هەردوو لای

\frac{1}{x-2}>\frac{2}{x+3}

لە

(x-2)^2(x+3)^2

بدەیت؟Because it is smaller than 1چونکە لە 1 بچووکترەIt is positive for every allowed x, so the sign staysبۆ هەموو نرخێکی ڕێگەپێدراوی x موجەبە، بۆیە هێماکە وەک خۆی دەمێنێتەوەSquares cancel the fractions completelyدووجاکان کەرتەکان بە تەواوی لادەبەن

Example 1, method A: one fractionنموونەی 1، ڕێگای A: یەک کەرت

Here is Example 1 by method A, step by step. The step names come from a student's Kurdish notes on this exercise.

ئەمە نموونەی 1ـە بە ڕێگای A، هەنگاو بە هەنگاو. ناوی هەنگاوەکان لە تێبینییە کوردییەکانی خوێندکارێکەوە وەرگیراون بۆ ئەم پرسیارە.

From two fractions to oneلە دوو کەرتەوە بۆ یەک

Zero on the rightسفر لە لای ڕاست
Move the right side to the left.
بەشی ڕاست بخەرە چەپ.
$\frac{1}{x-2}-\frac{2}{x+3}>0$
Common denominatorژێرەی هاوبەش
Give both fractions the same denominator $(x-2)(x+3)$ .
هاوبەش دروست بکە: $(x-2)(x+3)$ .
$\frac{1(x+3)}{(x-2)(x+3)}-\frac{2(x-2)}{(x+3)(x-2)}>0$
One fractionیەک کەرت
Write them as one fraction.
بیانکە بە یەک .
$\frac{1(x+3)-2(x-2)}{(x-2)(x+3)}>0$
Simplifyسادە بکەرەوە
Simplify the numerator: watch the sign, $-2\cdot(-2)=+4$ .
سادە بکەرەوە: ئاگاداری هێما بە، $-2\cdot(-2)=+4$ .
$\frac{x+3-2x+4}{(x-2)(x+3)}>0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{-x+7}{(x-2)(x+3)}>0$
Zerosسفرەکان
Set the numerator and the denominator equal to zero, and solve: $-x+7=0$ , $x-2=0$ , $x+3=0$ give $x=7$ , $x=2$ , $x=-3$ .
و یەکسان بکە بە سفر و چارەسەریان بکە: $-x+7=0$ ، $x-2=0$ و $x+3=0$ دەدەن $x=7$ ، $x=2$ و $x=-3$ .
Number lineهێڵی ژمارەکان
Put the numbers on the number line from small to large, left to right: $-3,\ 2,\ 7$ . They cut it into four intervals.
ژمارەکان لە بچووکەوە بەرەو گەورە، لە چەپەوە بەرەو ڕاست، بخە سەر : $-3,\ 2,\ 7$ . هێڵەکە دەکەن بە چوار .

Example 1: the sign tableنموونەی 1: خشتەی هێماکان

Take one test number in each interval — “a number in that interval”: $-4$ , 0, 4 and 8. Work out each factor there; only its sign matters.

لە هەر ژمارەیەکی تاقیکردنەوە وەربگرە — «ژمارەیەک لەو نێوانە»: $-4$ ، 0، 4 و 8. هەر کۆلکەیەک لەوێدا حیساب بکە؛ تەنها هێماکەی گرنگە.

Signs of each factor and of the quotientهێمای هەر کۆلکەیەک و هێمای ئەنجامی دابەشکردن
Factorکۆلکە	$x<-3$ (−4) $x<-3$ ⁦(−4)⁩	$-3<x<2$ (0) $-3<x<2$ ⁦(0)⁩	$2<x<7$ (4) $2<x<7$ ⁦(4)⁩	$x>7$ (8) $x>7$ ⁦(8)⁩
$-x+7$	$-(-4)+7=11$ (+)	$7$ (+)	$3$ (+)	$-1$ (−)
$x-2$	$-6$ (−)	$-2$ (−)	$2$ (+)	$6$ (+)
$x+3$	$-1$ (−)	$3$ (+)	$7$ (+)	$11$ (+)
quotientئەنجامی دابەشکردن	+	−	+	−

Animation. The fraction (−x + 7)/((x − 2)(x + 3)) > 0 above a number line from −6 to 10 with open dots at −3 and 2 (orange: denominator zeros) and at 7 (green: numerator zero). A marker walks to −4, 0, 4 and 8. At each stop the signs of −x + 7, x − 2 and x + 3 appear in a table, then the sign of the quotient with a tick or a cross, and the interval is tinted. Last frame: (−∞, −3) and (2, 7) are painted and the answer (−∞, −3) ∪ (2, 7) appears. — A test number walks through the four intervals.ژمارەیەکی تاقیکردنەوە بە چوار تێدەپەڕێت.CêIT

Example 1: choosing the answerنموونەی 1: هەڵبژاردنی وەڵام

The question asks for > 0, so only the positive intervals are taken: $x<-3$ and $2<x<7$ .

پرسیارەکە > 0 دەخوازێت، بۆیە تەنها وەردەگیرێن: $x<-3$ و $2<x<7$ .

Now the ends. $-3$ and 2 make a denominator 0, so the fraction does not exist there: they are never in the answer, whatever the sign says. 7 makes the fraction equal to 0, and $0>0$ is false, so 7 is left out too. All three ends are open.

ئێستا سنوورەکان. $-3$ و 2 یەکێک لە دەکەنە 0، بۆیە لەوێدا بوونی نییە: هەرگیز ناچنە ناو وەڵامەوە، هێماکە هەرچی بڵێت. 7 دەکاتە 0 و $0>0$ هەڵەیە، بۆیە 7ـیش تێدا نییە. هەر سێ سنوورەکە پڕنەکراون.

x\in(-\infty,-3)\cup(2,7)

Write a unionیەکگرتن بنووسە

The answer sheet and the board write the solution set as $\text{S.S}=\{(-\infty,-3),(2,7)\}$ : a set whose two elements are intervals. The solution set is a set of numbers, so join the two intervals with a union: $(-\infty,-3)\cup(2,7)$ (see unions of intervals).

وەرەقەی وەڵامەکان و تەختەکە بەم شێوەیە دەنووسن: $\text{S.S}=\{(-\infty,-3),(2,7)\}$ : کە دوو . ژمارەیە، بۆیە دوو بە ببەستەوە: $(-\infty,-3)\cup(2,7)$ (بڕوانە یەکگرتنی ماوەکان).

Quick checkپشکنینی خێراIf the question were

\frac{1}{x-2}\ge\frac{2}{x+3}

, which end would change?ئەگەر پرسیارەکە

\frac{1}{x-2}\ge\frac{2}{x+3}

بووایە، کام سنوور دەگۆڕا؟2 would be included2 دەچووە ناوەوە7 would be included:

(-\infty,-3)\cup(2,7]

7 دەچووە ناوەوە:

(-\infty,-3)\cup(2,7]

Nothing would changeهیچ ناگۆڕێت

Example 1, method B: multiply by the squaresنموونەی 1، ڕێگای B: لێکدان لە دووجاکان

The lecturer solved Example 1 on the board and on the answer sheet like this:

مامۆستاکە نموونەی 1ی لەسەر تەختەکە و لە وەرەقەی وەڵامەکاندا بەم شێوەیە چارەسەر کرد:

\begin{aligned} (x-2)^2(x+3)^2\cdot\frac{1}{x-2} &> \frac{2}{x+3}\cdot(x-2)^2(x+3)^2 \\ (x-2)(x+3)^2 &> 2(x-2)^2(x+3) \\ (x-2)(x+3)^2-2(x-2)^2(x+3) &> 0 \\ (x-2)(x+3)\,\big[(x+3)-2(x-2)\big] &> 0 \\ (x-2)(x+3)(-x+7) &> 0 \end{aligned}

The lecturer's test numbers

-4

, 0, 3, 8 and the values of the product.ژمارەکانی تاقیکردنەوەی مامۆستا (

-4

، 0، 3 و ⁦8⁩) و نرخی لێکدانەکە.CêIT

The four tests of method Bچوار تاقیکردنەوەکەی ڕێگای B
Testتاقیکردنەوە	Substitutionجێگرتنەوەی x	Valueئەنجام	> 0 ?> 0 ؟
$-4$	$(-4-2)(-4+3)(-(-4)+7)=(-6)(-1)(11)$	$66$	✓
$0$	$(0-2)(0+3)(0+7)=(-2)(3)(7)$	$-42$	✗
$3$	$(3-2)(3+3)(-3+7)=(1)(6)(4)$	$24$	✓
$8$	$(8-2)(8+3)(-8+7)=(6)(11)(-1)$	$-66$	✗

The answer is again $(-\infty,-3)\cup(2,7)$ . The lecturer tested 3 in $(2,7)$ and the student tested 4: any number inside an interval works. On the board the first test was written $(-4-2)(-4+3)(+4+7)$ ; the last bracket is $-x+7$ with $x=-4$ , that is $-(-4)+7=11$ — write the substitution out to avoid sign slips.

وەڵامەکە دیسان $(-\infty,-3)\cup(2,7)$ ـە. مامۆستاکە 3ی لە $(2,7)$ دا تاقی کردەوە و خوێندکارەکە 4ی: هەر ژمارەیەک لە ناو کار دەکات. لەسەر تەختەکە یەکەم تاقیکردنەوە بەم شێوەیە نووسرا: $(-4-2)(-4+3)(+4+7)$ ؛ کەوانەی کۆتایی $-x+7$ ـە بە $x=-4$ ، واتە $-(-4)+7=11$ — جێگرتنەوەکە بە تەواوی بنووسە بۆ ئەوەی هەڵەی هێما نەکەیت.

Quick checkپشکنینی خێراThe lecturer tests 3 in the interval

(2,7)

and the student tests 4. Who is right?مامۆستاکە 3 لە

(2,7)

تاقی دەکاتەوە و خوێندکارەکە 4. کامیان ڕاستە؟Both: the sign is the same everywhere inside the intervalهەردووکیان: هێما لە هەموو شوێنێکی ناو ماوەکەدا یەکەOnly 3, because it is closer to 2تەنها 3، چونکە لە 2 نزیکترەOnly 4, because it is in the middleتەنها 4، چونکە لە ناوەڕاستدایە

Method A or method B?ڕێگای A یان ڕێگای B؟

Both methods are correct. Example 1 gave $(-\infty,-3)\cup(2,7)$ both ways, and Example 2 below does the same. Each one is safe for its own reason: method A never multiplies by anything that contains x, and method B multiplies only by a square, which is positive wherever the inequality makes sense.

هەردوو ڕێگاکە دروستن. نموونەی 1 بە هەردوو ڕێگا $(-\infty,-3)\cup(2,7)$ ـی دا و نموونەی 2ـیش لە خوارەوە هەمان شت دەکات. هەر یەکەیان بە هۆکاری خۆی سەلامەتە: ڕێگای A هەرگیز لە هیچ شتێک نادات کە xـی تێدا بێت و ڕێگای B تەنها لە دووجایەک دەدات کە لە هەر شوێنێک واتای هەبێت موجەبە.

The two methods side by sideدوو ڕێگاکە لە تەنیشت یەکتر
Compareبەراورد	Method A: one fractionڕێگای A: یەک	Method B: multiply by squaresڕێگای B: لێکدان لە دووجاکان
The algebraکاری جەبری	A common denominator, then simplify the numerator. هاوبەش، پاشان سادەکردنەوەی .	Cancel, take out the common factor and simplify; the product has a higher degree (degree 3 in Example 1).لابردن، دەرهێنانی کۆلکەی هاوبەش و سادەکردنەوە؛ لێکدانەکە پلەی بەرزترە (لە نموونەی 1دا پلە ⁦3⁩).
The endsسنوورەکان	Numerator zeros and denominator zeros stay easy to tell apart.سفرەکانی و سفرەکانی بە ئاسانی لێک جیا دەکرێنەوە.	Denominator zeros become zeros of the product: remove them yourself.سفرەکانی دەبنە سفری لێکدانەکە: خۆت لایان ببە.
Good forباشە بۆ	The standard textbook method and a safe default.ڕێگای ستاندەردی کتێبەکان و هەڵبژاردەیەکی سەلامەت.	Short work when the common factor is easy to see; the lecturer also uses it for absolute value inequalities with fractions.کورتە کاتێک کۆلکە هاوبەشەکە بە ئاسانی دیارە؛ مامۆستاکە بۆ لەگەڵ بەکاری دێنێت.
Example 1نموونەی 1	$(-\infty,-3)\cup(2,7)$	$(-\infty,-3)\cup(2,7)$

Use whichever you find easier — but in an exam, write which method you use and keep the denominator zeros out of the answer. Method B returns in Absolute value inequalities with fractions.

کامیانت پێ ئاسانترە ئەوە بەکاربهێنە — بەڵام لە تاقیکردنەوەدا بنووسە کام ڕێگا بەکاردێنیت و سفرەکانی لە وەڵامەکەدا دامەنێ. ڕێگای B لە لاسەنگەکانی نرخی ڕووت لەگەڵ کەرتەکاندا دووبارە دەردەکەوێتەوە.

Method A or method B?ڕێگای A یان ڕێگای B؟

Why the two methods always agreeبۆچی دوو ڕێگاکە هەمیشە یەک دەگرنەوە

They are closer than they look. Method A ends with the fraction $\frac{-x+7}{(x-2)(x+3)}$ . Method B ends with the product $(x-2)(x+3)(-x+7)$ : the same numerator times the same denominator. A quotient $\frac{N}{D}$ and a product $N\cdot D$ always have the same sign — both are positive when $N$ and $D$ have the same sign, both negative otherwise — so the two sign charts are identical.

ئەم دوو ڕێگایە لەوە نزیکترن کە دەردەکەون. ڕێگای A بە $\frac{-x+7}{(x-2)(x+3)}$ کۆتایی دێت. ڕێگای B بە لێکدانی $(x-2)(x+3)(-x+7)$ کۆتایی دێت: هەمان جارانی هەمان . ئەنجامی دابەشکردنی $\frac{N}{D}$ و لێکدانی $N\cdot D$ هەمیشە هەمان هێمایان هەیە — ئەگەر $N$ و $D$ هەمان هێمایان هەبێت هەردووکیان موجەبن، ئەگەر نا هەردووکیان سالبن — بۆیە هەردوو ڕێک وەک یەکن.

Quick checkپشکنینی خێراMethod B turns Example 1 into

(x-2)(x+3)(-x+7)>0

. How is this product related to method A's fraction

\frac{-x+7}{(x-2)(x+3)}

?ڕێگای B نموونەی 1 دەکات بە

(x-2)(x+3)(-x+7)>0

. ئەم لێکدانە چ پەیوەندییەکی بە ڕێگای A هەیە،

\frac{-x+7}{(x-2)(x+3)}

؟It is unrelated; only method A is correctهیچ پەیوەندییەکی نییە؛ تەنها ڕێگای A دروستەIt has the opposite sign, so the answers are differentهێمای پێچەوانەی هەیە، بۆیە وەڵامەکان جیاوازنIt is the numerator times the denominator, so it has the same sign wherever the fraction existsسەرە جارانی ژێرەیە، بۆیە لە هەر شوێنێک کەرتەکە هەبێت هەمان هێمای هەیە

Example 2 (homework): $\frac{5}{5x-1}>\frac{2}{2x+1}$ نموونەی 2 (ڕاهێنانی ماڵەوە): $\frac{5}{5x-1}>\frac{2}{2x+1}$

Method A again. Move the right side to the left, give both fractions the denominator $(5x-1)(2x+1)$ and simplify the numerator:

دیسان ڕێگای A. بەشی ڕاست بخەرە چەپ، $(5x-1)(2x+1)$ بدە بە هەردوو و سادە بکەرەوە:

\begin{aligned} \frac{5}{5x-1}-\frac{2}{2x+1} &> 0 \\ \frac{5(2x+1)-2(5x-1)}{(5x-1)(2x+1)} &> 0 \\ \frac{10x+5-10x+2}{(5x-1)(2x+1)} &> 0 \\ \frac{7}{(5x-1)(2x+1)} &> 0 \end{aligned}

Example 2 (homework): $\frac{5}{5x-1}>\frac{2}{2x+1}$ نموونەی 2 (ڕاهێنانی ماڵەوە): $\frac{5}{5x-1}>\frac{2}{2x+1}$

Example 2: sign table and answerنموونەی 2: خشتەی هێماکان و وەڵام

Zeros of the denominator: $5x-1=0$ gives $x=\tfrac15$ and $2x+1=0$ gives $x=-\tfrac12$ . Turn the fractions into decimals so you can place them easily: 0.2 and $-0.5$ . Test $-1$ , 0 and 1:

سفرەکانی : $5x-1=0$ دەکاتە $x=\tfrac15$ و $2x+1=0$ دەکاتە $x=-\tfrac12$ . بکە بە ژمارەی دەیی تا بە ئاسانی بیانخەیتە سەر : ⁦0.2⁩ و $-0.5$ . ژمارەکانی $-1$ ، 0 و 1 تاقی بکەرەوە:

Sign table of Example 2 نموونەی 2
Factorکۆلکە	$x<-\tfrac12$ (−1) $x<-\tfrac12$ ⁦(−1)⁩	$-\tfrac12<x<\tfrac15$ (0) $-\tfrac12<x<\tfrac15$ ⁦(0)⁩	$x>\tfrac15$ (1) $x>\tfrac15$ ⁦(1)⁩
$5x-1$	$-6$ (−)	$-1$ (−)	$4$ (+)
$2x+1$	$-1$ (−)	$1$ (+)	$3$ (+)
quotientئەنجامی دابەشکردن	+ ✓	− ✗	+ ✓

The answer of Example 2: two unbounded pieces.وەڵامی نموونەی 2: دوو .CêIT

Keep the positive intervals: $x\in(-\infty,-\tfrac12)\cup(\tfrac15,\infty)$ . The student's notes end with “ $\infty+$ ”; the usual way is $+\infty$ or simply $\infty$ .

وەربگرە: $x\in(-\infty,-\tfrac12)\cup(\tfrac15,\infty)$ . تێبینییەکانی خوێندکارەکە بە « $\infty+$ » کۆتایی دێن؛ شێوە باوەکە $+\infty$ یان تەنها $\infty$ ـە.

Which ends belong to the answer?کام سنوور دەچێتە ناو وەڵام؟

Two rules settle every end of a rational inequality:

دوو یاسا هەموو سنوورێکی یەکلا دەکەنەوە:

Zeros of the denominator: never. The fraction does not exist there. Always an open dot and a round bracket — even for $\le$ and $\ge$ .
Zeros of the numerator: only with $\le$ or $\ge$ . There the fraction is 0, so it counts when the question allows “or equal”.

سفرەکانی : هەرگیز. لەوێدا بوونی نییە. هەمیشە خاڵی پڕنەکراو و کەوانەی خڕ — تەنانەت بۆ $\le$ و $\ge$ .
سفرەکانی : تەنها لەگەڵ $\le$ یان $\ge$ . لەوێدا 0ـە، بۆیە کاتێک دەژمێردرێت کە پرسیارەکە «یان یەکسان» ڕێگە بدات.

Example: $\frac{x-4}{x+1}\le 0$ . Zeros 4 (numerator) and $-1$ (denominator). Test $-2$ : $\frac{-6}{-1}=6$ (+); test 0: $-4$ (−); test 5: $\tfrac16$ (+). Keep the negative interval; 4 is included ( $0\le 0$ ), $-1$ is not: $(-1,4]$ .

نموونە: $\frac{x-4}{x+1}\le 0$ . سفرەکان 4 () و $-1$ (). تاقیکردنەوەی $-2$ : $\frac{-6}{-1}=6$ ⁦(+)⁩؛ تاقیکردنەوەی 0: $-4$ ⁦(−)⁩؛ تاقیکردنەوەی 5: $\tfrac16$ ⁦(+)⁩. وەربگرە؛ 4 تێدایە ( $0\le 0$ ) و $-1$ تێدا نییە: $(-1,4]$ .

Method B forgets the denominatorsڕێگای B ژێرەکان لەبیر دەکات

Method B needs extra care here. After multiplying by the squares, the product $(x-2)(x+3)(-x+7)$ is 0 at 2 and $-3$ , while the original fractions do not exist there. For $\frac{1}{x-2}\ge\frac{2}{x+3}$ , the product rule alone gives $(-\infty,-3]\cup[2,7]$ ; you must remove the denominator zeros yourself: $(-\infty,-3)\cup(2,7]$ .

ڕێگای B لێرەدا ئاگاداریی زیاتری دەوێت. دوای لێکدان لە دووجاکان، لێکدانی $(x-2)(x+3)(-x+7)$ لە 2 و $-3$ دا 0ـە، لە کاتێکدا لەوێدا بوونیان نییە. بۆ $\frac{1}{x-2}\ge\frac{2}{x+3}$ ، تەنها یاسای لێکدان $(-\infty,-3]\cup[2,7]$ دەدات؛ دەبێت خۆت سفرەکانی لاببەیت: $(-\infty,-3)\cup(2,7]$ .

Quick checkپشکنینی خێراSolve

\frac{x-1}{x+3}\ge 0

.

\frac{x-1}{x+3}\ge 0

چارەسەر بکە.

(-\infty,-3)\cup[1,\infty)

(-\infty,-3)\cup[1,\infty)

(-\infty,-3]\cup[1,\infty)

(-\infty,-3]\cup[1,\infty)

(-3,1]

(-3,1]

Check and correct solutionsچارەسەرەکان تاقی بکەرەوە و ڕاستیان بکەرەوە

ExerciseڕاهێنانA homework solutionچارەسەرێکی ڕاهێنانی ماڵەوە

Here is a homework solution of Example 2, retyped. Is it right?

ئەمە چارەسەرێکی ڕاهێنانی ماڵەوەیە بۆ نموونەی 2، دووبارە نووسراوەتەوە. ئایا ڕاستە؟

$\frac{5}{5x-1}-\frac{2}{2x+1}>0$
$\frac{5(2x+1)-2(5x-1)}{(5x-1)(2x+1)}>0$
$\frac{10x+5-10x+2}{(5x-1)(2x+1)}=\frac{7}{(5x-1)(2x+1)}>0$
$5x-1=0\Rightarrow x=\tfrac15$ ; $2x+1=0\Rightarrow x=-\tfrac12$
Sign chart: $+\;|\;-\;|\;+$
Solution: $x\in\,]-\infty,-\tfrac12[\,\cup\,]\tfrac15,+\infty[$

$\frac{5}{5x-1}-\frac{2}{2x+1}>0$
$\frac{5(2x+1)-2(5x-1)}{(5x-1)(2x+1)}>0$
$\frac{10x+5-10x+2}{(5x-1)(2x+1)}=\frac{7}{(5x-1)(2x+1)}>0$
$5x-1=0\Rightarrow x=\tfrac15$ ؛ $2x+1=0\Rightarrow x=-\tfrac12$
: $+\;|\;-\;|\;+$
وەڵام: $x\in\,]-\infty,-\tfrac12[\,\cup\,]\tfrac15,+\infty[$

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

Yes, it is correct. It uses method A, and the answer in reversed-bracket notation is the same as $(-\infty,-\tfrac12)\cup(\tfrac15,\infty)$ (see reversed brackets).

بەڵێ، ڕاستە. ڕێگای A بەکاردێنێت و وەڵامەکە بە نووسینی کەوانەی پێچەوانە هەمان $(-\infty,-\tfrac12)\cup(\tfrac15,\infty)$ ـە (بڕوانە کەوانەی پێچەوانە).

ExerciseڕاهێنانCross-multiplyingلێکدان بە شێوەی خاچ

A student wrote: $\frac{1}{x-2}>\frac{2}{x+3}\Rightarrow x+3>2(x-2)\Rightarrow x<7$ , answer $(-\infty,7)$ . Find a number in this answer that is not a solution, and name the wrong step.

خوێندکارێک نووسیویەتی: $\frac{1}{x-2}>\frac{2}{x+3}\Rightarrow x+3>2(x-2)\Rightarrow x<7$ ، وەڵام $(-\infty,7)$ . ژمارەیەک لەم وەڵامەدا بدۆزەرەوە کە شیکار نییە و هەنگاوە هەڵەکە دیاری بکە.

Hintئاماژە

Try $x=0$ in the original inequality.

$x=0$ لە تاقی بکەرەوە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

For example 0: $\frac{1}{-2}=-0.5$ is not greater than $\frac23$ . Also 2 and $-3$ are in $(-\infty,7)$ but the fractions do not exist there. The wrong step is the first one: multiplying by $(x-2)(x+3)$ , whose sign is unknown. The right answer is $(-\infty,-3)\cup(2,7)$ .

بۆ نموونە 0: $\frac{1}{-2}=-0.5$ لە $\frac23$ گەورەتر نییە. هەروەها 2 و $-3$ لە $(-\infty,7)$ دان بەڵام لەوێدا بوونیان نییە. هەنگاوە هەڵەکە یەکەمیانە: لێکدان لە $(x-2)(x+3)$ کە هێماکەی نەزانراوە. وەڵامی دروست $(-\infty,-3)\cup(2,7)$ ـە.

ExerciseڕاهێنانA closed bracket at a denominator zeroکەوانەی داخراو لە سفری ژێرە

Someone answers $\frac{x-4}{x+1}\le 0$ with $[-1,4]$ . What is wrong?

کەسێک وەڵامی $\frac{x-4}{x+1}\le 0$ بە $[-1,4]$ دەداتەوە. چی هەڵەیە؟

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

$x=-1$ makes the denominator 0, so the fraction does not exist there. Even with $\le$ it must be open: $(-1,4]$ .

$x=-1$ دەکاتە 0، بۆیە لەوێدا بوونی نییە. تەنانەت لەگەڵ $\le$ دەبێت کراوە بێت: $(-1,4]$ .

ExerciseڕاهێنانThe wrong intervalsماوەکان هەڵە

For $\frac{7}{(5x-1)(2x+1)}>0$ a student answers $(-\tfrac12,\tfrac15)$ . What went wrong?

بۆ $\frac{7}{(5x-1)(2x+1)}>0$ خوێندکارێک وەڵام دەداتەوە $(-\tfrac12,\tfrac15)$ . چی بە هەڵەدا چوو؟

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

That is the interval where the quotient is negative (test 0 gives $-7$ ). The question asks for $>0$ , so the answer is the two outer intervals: $(-\infty,-\tfrac12)\cup(\tfrac15,\infty)$ .

ئەوە ئەو کە ئەنجامی دابەشکردن تێیدا سالبە (تاقیکردنەوەی 0 دەکاتە $-7$ ). پرسیارەکە $>0$ دەخوازێت، بۆیە وەڵامەکە دوو : $(-\infty,-\tfrac12)\cup(\tfrac15,\infty)$ .

Common mistakesهەڵە باوەکان

Mistakeهەڵە	Fixڕاستکردنەوە
Multiplying both sides by $x-2$ (or cross-multiplying).لێکدانی هەردوو لا لە $x-2$ (یان لێکدان بە شێوەی خاچ).	Its sign is unknown. Use method A (one fraction) or method B (squares).هێماکەی نەزانراوە. ڕێگای A (یەک ) یان ڕێگای B (دووجاکان) بەکاربهێنە.
Putting a denominator zero in the answer.دانانی سفرێکی لە ناو وەڵامدا.	Denominator zeros are always open, even for $\le$ and $\ge$ .سفرەکانی هەمیشە کراوەن، تەنانەت بۆ $\le$ و $\ge$ .
Comparing with a number other than 0 in the sign chart.بەراوردکردن لەگەڵ ژمارەیەکی جیا لە 0 لە .	First move everything to one side so that the other side is 0.سەرەتا هەموو شتێک بگوازەرەوە بۆ یەک لا تا لاکەی تر 0 بێت.
Sign slips in the numerator: $-2(x-2)=-2x-4$ .هەڵەی هێما لە : $-2(x-2)=-2x-4$ .	$-2\cdot(-2)=+4$ , so $-2(x-2)=-2x+4$ . $-2\cdot(-2)=+4$ ، بۆیە $-2(x-2)=-2x+4$ .
Writing the answer as $\{(-\infty,-3),(2,7)\}$ .نووسینی وەڵام وەک $\{(-\infty,-3),(2,7)\}$ .	Join the pieces with $\cup$ : $(-\infty,-3)\cup(2,7)$ .پارچەکان بە $\cup$ ببەستەوە: $(-\infty,-3)\cup(2,7)$ .
Forgetting, in method B, that the product is 0 where the fractions do not exist.لەبیرکردنی ئەوەی لە ڕێگای B لێکدانەکە لەو شوێنانە 0ـە کە بوونیان نییە.	Remove the denominator zeros from the final answer yourself.خۆت سفرەکانی لە وەڵامی کۆتایی لاببە.

Exercisesڕاهێنانەکان

ExerciseڕاهێنانExample 2 by method Bنموونەی 2 بە ڕێگای B

Solve $\frac{5}{5x-1}>\frac{2}{2x+1}$ the lecturer's way: multiply both sides by $(5x-1)^2(2x+1)^2$ .

$\frac{5}{5x-1}>\frac{2}{2x+1}$ بە ڕێگای مامۆستاکە چارەسەر بکە: هەردوو لا لە $(5x-1)^2(2x+1)^2$ بدە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

\begin{aligned} 5(5x-1)(2x+1)^2 &> 2(5x-1)^2(2x+1) \\ 5(5x-1)(2x+1)^2-2(5x-1)^2(2x+1) &> 0 \\ (5x-1)(2x+1)\big[5(2x+1)-2(5x-1)\big] &> 0 \\ (5x-1)(2x+1)\,[10x+5-10x+2] &> 0 \\ (5x-1)(14x+7) &> 0 \end{aligned}

ExerciseڕاهێنانLess than zeroبچووکتر لە سفر

Solve $\frac{x+1}{x-3}<0$ .

$\frac{x+1}{x-3}<0$ چارەسەر بکە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

Zeros $-1$ and 3. Test $-2$ : $\frac{-1}{-5}$ (+); 0: $-\tfrac13$ (−); 4: 5 (+). Negative between them, both ends open: $(-1,3)$ .

سفرەکان $-1$ و 3. تاقیکردنەوەی $-2$ : $\frac{-1}{-5}$ ⁦(+)⁩؛ 0: $-\tfrac13$ ⁦(−)⁩؛ ⁦4: 5 (+)⁩. لە نێوانیاندا سالبە و هەردوو سنوور کراوەن: $(-1,3)$ .

ExerciseڕاهێنانMove the 1 firstسەرەتا 1 بگوازەرەوە

Solve $\frac{3}{x-1}\le 1$ .

$\frac{3}{x-1}\le 1$ چارەسەر بکە.

Hintئاماژە

Do not multiply by $x-1$ . Subtract 1 and make one fraction.

لە $x-1$ مەدە. 1 دەربکە و بیکە بە یەک .

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

\frac{3}{x-1}-1\le 0 \;\Longrightarrow\; \frac{3-(x-1)}{x-1}\le 0 \;\Longrightarrow\; \frac{4-x}{x-1}\le 0

ExerciseڕاهێنانGreater than or equalگەورەتر یان یەکسان

Solve $\frac{2x}{x+2}\ge 1$ .

$\frac{2x}{x+2}\ge 1$ چارەسەر بکە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

$\frac{2x}{x+2}-1=\frac{x-2}{x+2}\ge 0$ . Zeros 2 and $-2$ . Positive outside them; 2 included, $-2$ never: $(-\infty,-2)\cup[2,\infty)$ .

$\frac{2x}{x+2}-1=\frac{x-2}{x+2}\ge 0$ . سفرەکان 2 و $-2$ . لە دەرەوەیان موجەبە؛ 2 تێدایە و $-2$ هەرگیز: $(-\infty,-2)\cup[2,\infty)$ .

Exerciseڕاهێنانx on both sidesx لە هەردوو لا

Solve $\frac{x}{x-1}>2$ .

$\frac{x}{x-1}>2$ چارەسەر بکە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

$\frac{x}{x-1}-2=\frac{x-2x+2}{x-1}=\frac{2-x}{x-1}>0$ . Zeros 2 and 1. Test 0: $-2$ (−); 1.5: 1 (+); 3: $-\tfrac12$ (−). Answer: $(1,2)$ .

$\frac{x}{x-1}-2=\frac{x-2x+2}{x-1}=\frac{2-x}{x-1}>0$ . سفرەکان 2 و 1. تاقیکردنەوەی 0: $-2$ ⁦(−)⁩؛ ⁦1.5: 1 (+)⁩؛ 3: $-\tfrac12$ ⁦(−)⁩. وەڵام: $(1,2)$ .

ExerciseڕاهێنانThree factorsسێ کۆلکە

Solve $\frac{(x-2)(x+1)}{x-4}\ge 0$ .

$\frac{(x-2)(x+1)}{x-4}\ge 0$ چارەسەر بکە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

Zeros $-1$ , 2 (numerator) and 4 (denominator). Tests $-2$ : $\frac{(-4)(-1)}{-6}$ (−); 0: $\frac{(-2)(1)}{-4}$ (+); 3: $\frac{(1)(4)}{-1}$ (−); 5: $\frac{(3)(6)}{1}$ (+). Answer: $[-1,2]\cup(4,\infty)$ .

سفرەکان $-1$ ، 2 () و 4 (). تاقیکردنەوەکان $-2$ : $\frac{(-4)(-1)}{-6}$ ⁦(−)⁩؛ 0: $\frac{(-2)(1)}{-4}$ ⁦(+)⁩؛ 3: $\frac{(1)(4)}{-1}$ ⁦(−)⁩؛ 5: $\frac{(3)(6)}{1}$ ⁦(+)⁩. وەڵام: $[-1,2]\cup(4,\infty)$ .

ExerciseڕاهێنانDo not flip fractionsکەرتەکان هەڵمەگێڕەوە

Solve $\frac{1}{x}<\frac12$ . Why is “so $x>2$ ” wrong?

$\frac{1}{x}<\frac12$ چارەسەر بکە. بۆچی «کەواتە $x>2$ » هەڵەیە؟

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

$\frac1x-\frac12=\frac{2-x}{2x}<0$ . Zeros 2 and 0. Test $-1$ : $\frac{3}{-2}$ (−); 1: $\tfrac12$ (+); 3: $-\tfrac16$ (−). Answer: $(-\infty,0)\cup(2,\infty)$ . “ $x>2$ ” forgets every negative x, for example $x=-1$ : $\frac{1}{-1}=-1<\frac12$ ✓. Taking reciprocals is only safe when both sides have the same sign (see reciprocals).

$\frac1x-\frac12=\frac{2-x}{2x}<0$ . سفرەکان 2 و 0. تاقیکردنەوەی $-1$ : $\frac{3}{-2}$ ⁦(−)⁩؛ 1: $\tfrac12$ ⁦(+)⁩؛ 3: $-\tfrac16$ ⁦(−)⁩. وەڵام: $(-\infty,0)\cup(2,\infty)$ . « $x>2$ » هەموو نرخە سالبەکانی x لەبیر دەکات، بۆ نموونە $x=-1$ : $\frac{1}{-1}=-1<\frac12$ ✓. هەڵگێڕانەوەی تەنها کاتێک سەلامەتە کە هەردوو لا هەمان هێمایان هەبێت (بڕوانە پێچەوانەی ژمارەکان).

Summaryپوختە

Never multiply an inequality by an expression whose sign you do not know, such as $x-2$ .
Method A: move everything to one side, make one fraction, find the zeros of numerator and denominator, use a sign chart.
Method B: multiply by the squares of the denominators (positive), then solve the polynomial inequality — and remove the denominator zeros.
Both methods are correct and always agree: B's product is A's numerator times A's denominator, and $N\cdot D$ has the same sign as $\frac ND$ .
Denominator zeros are never in the answer; numerator zeros only with $\le$ or $\ge$ .
Example 1: $(-\infty,-3)\cup(2,7)$ . Example 2: $(-\infty,-\tfrac12)\cup(\tfrac15,\infty)$ .

هەرگیز لە مەدە کە هێماکەی نازانیت، وەک $x-2$ .
ڕێگای A: هەموو شتێک بگوازەرەوە بۆ یەک لا، بیکە بە یەک ، سفرەکانی و بدۆزەرەوە و بەکاربهێنە.
ڕێگای B: لە دووجای بدە (موجەبن)، پاشان چارەسەر بکە — و سفرەکانی لاببە.
هەردوو ڕێگاکە دروستن و هەمیشە یەک دەگرنەوە: لێکدانەکەی B بریتییە لە جارانی A و $N\cdot D$ هەمان هێمای $\frac ND$ ـی هەیە.
سفرەکانی هەرگیز لە وەڵامدا نین؛ سفرەکانی تەنها لەگەڵ $\le$ یان $\ge$ .
نموونەی 1: $(-\infty,-3)\cup(2,7)$ . نموونەی 2: $(-\infty,-\tfrac12)\cup(\tfrac15,\infty)$ .

Review questionsپرسیارەکانی پێداچوونەوە

Why is cross-multiplying wrong for

\frac{1}{x-2}>\frac{2}{x+3}

?بۆچی لێکدان بە شێوەی خاچ بۆ

\frac{1}{x-2}>\frac{2}{x+3}

هەڵەیە؟

It multiplies by $(x-2)(x+3)$ , which is negative for some x. There the sign should turn round, but cross-multiplying never turns it.

لە $(x-2)(x+3)$ دەدات کە بۆ هەندێک نرخی x سالبە. لەوێدا هێماکە دەبوو پێچەوانە ببێتەوە، بەڵام لێکدان بە شێوەی خاچ هەرگیز پێچەوانەی ناکاتەوە.

Can a zero of the numerator be in the answer?ئایا سفرێکی سەرە دەتوانێت لە وەڵامدا بێت؟

Yes, when the inequality is $\le$ or $\ge$ : there the fraction equals 0.

بەڵێ، کاتێک $\le$ یان $\ge$ بێت: لەوێدا یەکسانە بە 0.

Videoڤیدیۆ

Watch a videoسەیری ڤیدیۆیەک بکە

A video that viewers liked a lot and praised in their comments, chosen for this lesson.ڤیدیۆیەک کە بینەران زۆریان پێ خۆش بووە و لە کۆمێنتەکانیاندا ستایشیان کردووە، بۆ ئەم وانەیە هەڵبژێردراوە.

How to solve a rational rational inequality (be careful)bprp math basics · Englishئینگلیزی · 149K viewsبینین · 4.1K likesلایک
Why you must not multiply an inequality by a denominator of unknown sign, and the safe way: one fraction and a sign chart.
بۆچی نابێت لە لێک بدەیت کە هێماکەی نازانیت، هەروەها ڕێگا بێمەترسییەکە: یەک و .
Chapters: 0:55 x^2 > 3x+4, 3:13 the rational inequality x^2/(3x+4) > 1, 7:37 why the answers differ.
بەشەکان: ⁦0:55⁩ $x^2 > 3x+4$ ، ⁦3:13⁩ $\frac{x^2}{3x+4} > 1$ ، ⁦7:37⁩ بۆچی وەڵامەکان جیاوازن.

Lesson complete!وانەکە تەواو بوو!

Well done. Review the key terms, then go on to the next lesson.دەستخۆش. سەیرێکی زاراوە سەرەکییەکان بکەرەوە، پاشان بڕۆ بۆ وانەی داهاتوو.

Key termsزاراوە سەرەکییەکان

Next lessonوانەی داهاتوو

Absolute Valueنرخی ڕووت

Related lecturesوانە پەیوەندیدارەکان

References and further readingسەرچاوەکان و خوێندنەوەی زیاتر

This lecture is a first edition. The Kurdish text and terminology are waiting for review by Kurdish IT teachers.ئەم وانەیە چاپی یەکەمە. دەقە کوردییەکە و زاراوەکانی چاوەڕێی پێداچوونەوەی مامۆستایانی کوردی بواری IT ن.

Inequalities with Fractions (Rational Inequalities)لاسەنگە ڕێژەییەکان

What you will learnچی فێر دەبیت

Inequalities with fractionsلاسەنگە ڕێژەییەکان

Why you must not multiply by x−2x-2x−2بۆچی نابێت لە x−2x-2x−2 بدەیت

Two safe methodsدوو ڕێگای سەلامەت

Example 1, method A: one fractionنموونەی 1، ڕێگای A: یەک کەرت

Example 1: the sign tableنموونەی 1: خشتەی هێماکان

Example 1: choosing the answerنموونەی 1: هەڵبژاردنی وەڵام

Example 1, method B: multiply by the squaresنموونەی 1، ڕێگای B: لێکدان لە دووجاکان

Method A or method B?ڕێگای A یان ڕێگای B؟

Why the two methods always agreeبۆچی دوو ڕێگاکە هەمیشە یەک دەگرنەوە

Example 2 (homework): 55x−1>22x+1\frac{5}{5x-1}>\frac{2}{2x+1}5x−15​>2x+12​نموونەی 2 (ڕاهێنانی ماڵەوە): 55x−1>22x+1\frac{5}{5x-1}>\frac{2}{2x+1}5x−15​>2x+12​

Example 2: sign table and answerنموونەی 2: خشتەی هێماکان و وەڵام

Which ends belong to the answer?کام سنوور دەچێتە ناو وەڵام؟

Check and correct solutionsچارەسەرەکان تاقی بکەرەوە و ڕاستیان بکەرەوە

Common mistakesهەڵە باوەکان

Exercisesڕاهێنانەکان

Summaryپوختە

Watch a videoسەیری ڤیدیۆیەک بکە

Lesson complete!وانەکە تەواو بوو!

Key termsزاراوە سەرەکییەکان

Related lecturesوانە پەیوەندیدارەکان

Why you must not multiply by $x-2$ بۆچی نابێت لە $x-2$ بدەیت

Example 2 (homework): $\frac{5}{5x-1}>\frac{2}{2x+1}$ نموونەی 2 (ڕاهێنانی ماڵەوە): $\frac{5}{5x-1}>\frac{2}{2x+1}$