Logic Symbols and Boolean Algebraهێماکانی لۆجیک و جەبری بوول

Logic works with statements, also called propositions: sentences that are either true or false. Books name them with small letters, usually p, q and r: p = “Erbil is in Kurdistan” is true, q = $7 < 4$ is false. A question or an order is not a statement, and neither is $x > 3$ while x is unknown. The two truth values are written T and F, or 1 and 0 in logic design and in code; some books write $\top$ and $\bot$ (Propositions and symbols).

لۆجیک لەگەڵ گوزارەکان کار دەکات: ڕستەیەک کە یان ڕاستە یان هەڵە. کتێبەکان بە پیتی بچووک ناویان دەنێن، بە زۆری $p$، $q$ و $r$: p = «هەولێر لە کوردستانە» ڕاستە، q = $7 < 4$ هەڵەیە. پرسیار و فەرمان گوزارە نین، هەروەها $x > 3$ـیش گوزارە نییە مادام x نەزانراوە. دوو نرخی ڕاستی بە T و F دەنووسرێن، یان بە 1 و 0 لە دیزاینی لۆجیکی دیجیتاڵ (Digital logic) و لە کۆددا؛ هەندێک کتێب $\top$ و $\bot$ دەنووسن (گوزارەکان و هێماکان).

The negation of p is true when p is false and false when p is true. Books write it $\lnot p$ (the AI course and most logic books), $\sim p$ (OpenStax and older books), $p^{\prime}$ or $\overline{p}$ (logic design, where $\overline{A}$ is NOT A), and !p or not p in code. Read every one “not p”; in Kurdish نا p or وا نییە کە p. Two NOTs cancel: $\lnot\lnot p = p$. The tilde has other jobs too ($\sim$: one sign, four jobs).

نەفیی (Negation) p ڕاستە کاتێک p هەڵە بێت و هەڵەیە کاتێک p ڕاست بێت. کتێبەکان بەم شێوانە دەینووسن: $\lnot p$ (کۆرسی ژیریی دەستکرد (Artificial intelligence) و زۆربەی کتێبەکانی لۆجیک)، $\sim p$ (OpenStax و کتێبی کۆنتر)، $p^{\prime}$ یان $\overline{p}$ (دیزاینی لۆجیکی دیجیتاڵ، کە تێیدا $\overline{A}$ واتە NOT A)، هەروەها !p یان not p لە کۆددا. هەموویان «نا p» یان «وا نییە کە p» دەخوێنرێنەوە. دوو NOT یەکتر لادەبەن: $\lnot\lnot p = p$. تیلدا کاری تریشی هەیە ($\sim$: یەک نیشانە، چوار کار).

A long bar covers a whole group: $\overline{A + B}$ is NOT (A OR B), which is not the same as $\overline{A} + \overline{B}$ (A bar over a whole group). You may meet a table header printed $A^{-}$ for NOT A; the usual forms are $\overline{A}$ and $A^{\prime}$ (The NOT gate).

هێڵێکی درێژ گرووپێکی تەواو دادەپۆشێت: $\overline{A + B}$ واتە ⁦NOT (A OR B)⁩، کە هەمان $\overline{A} + \overline{B}$ نییە (هێڵێک بەسەر گرووپێکی تەواودا). لەوانەیە سەردێڕی خشتەیەک ببینیت کە $A^{-}$ بۆ NOT A چاپ کردووە؛ شێوە باوەکان $\overline{A}$ و $A^{\prime}$ـن (گەیتی NOT).

AND, OR and NOT are the basic logical operators. $p \land q$, “p and q”, is true only when both are true; books also write $p \,\&\, q$, $p \cdot q$ or simply $pq$. $p \lor q$, “p or q”, is true when at least one is true, including when both are: the “or” of logic always allows both. Other spellings are $p + q$ in logic design and p || q or p or q in code. In Kurdish: p و q and p یان q (The five connectives).

AND، OR و NOT سێ کارپێکەری لۆجیکیی (Logical operator) بنەڕەتین. $p \land q$، «p و q»، تەنیا کاتێک ڕاستە کە هەردووکیان ڕاست بن؛ کتێبەکان $p \,\&\, q$، $p \cdot q$ یان بە سادەیی $pq$ـیش دەنووسن. $p \lor q$، «p یان q»، ڕاستە کاتێک لانیکەم یەکێکیان ڕاست بێت، لەوانە کاتێک هەردووکیان ڕاستن: «یان»ـی لۆجیک هەمیشە ڕێگە بە هەردووکیان دەدات. شێوەکانی تری نووسینی $p + q$ـە لە دیزاینی لۆجیکی دیجیتاڵدا و p || q یان p or q لە کۆددا (پێنج بەستەرەکە).

A memory trick: $\land$ looks like the $\cap$ of intersection and $\lor$ like the $\cup$ of union. It is no accident: “x is in $A \cap B$” means $x \in A \land x \in B$, and NOT matches the complement (The same laws in sets and in logic).

فێڵێک بۆ لەبیرکردن: $\land$ لە $\cap$ـی یەکتربڕین (Intersection) دەچێت و $\lor$ لە $\cup$ـی یەکگرتن (Union). ئەمە ڕێکەوت نییە: «x لە $A \cap B$ـدایە» واتە $x \in A \land x \in B$. NOTـیش هاوتای تەواوکەرە (Complement) (هەمان یاساکان لە کۆمەڵەکان و لە لۆجیکدا).

Everyday “or” sometimes means “only one”: “tea or coffee with the meal”. Logic calls that exclusive or, XOR: $p \oplus q$ is true when exactly one of p and q is true. Books also write $p \veebar q$, rectangular gate symbols carry the mark =1, and for True and False Python’s p != q (or p ^ q) does the job. Its partner XNOR, $\overline{A \oplus B}$ or $A \odot B$, is true when both are the same (The XOR gate). In Kurdish: یان p یان q، نەک هەردووکیان.

«یان»ـی ڕۆژانە هەندێک جار واتای «تەنیا یەکێکیان» دەدات: «چا یان قاوە لەگەڵ ژەمەکە». لۆجیک بەمە دەڵێت «یان»ـی تایبەت (exclusive or)، واتە XOR: $p \oplus q$ ڕاستە کاتێک تەنیا یەکێک لە p و q ڕاست بێت. کتێبەکان $p \veebar q$ـیش دەنووسن، هێما لاکێشەییەکانی گەیتەکان نیشانەی =1 هەڵدەگرن و بۆ True و False لە Pythonـدا p != q (یان p ^ q) ئەو کارە دەکات. هاوڕێکەی XNOR، $\overline{A \oplus B}$ یان $A \odot B$، ڕاستە کاتێک هەردووکیان وەک یەک بن (گەیتی XOR). بە کوردی: «یان p یان q، نەک هەردووکیان».

$p \to q$ is the implication “if p then q”, also read “p implies q”; in Kurdish ئەگەر p ئەوا q. Many books use the double arrow $p \Rightarrow q$, and older ones write $p \supset q$, which has nothing to do with supersets here. Watch the animation fill the truth table: the implication is false only when p is true and q is false. When p is false, nothing was promised, so it counts as true (Implication).

$p \to q$ گوزارەی مەرجییە: «ئەگەر p ئەوا q»، کە «$p$، $q$ دەگەیەنێت»ـیش دەخوێنرێتەوە. زۆر کتێب تیری دووهێڵی $p \Rightarrow q$ بەکار دەهێنن و کتێبە کۆنەکان $p \supset q$ دەنووسن، کە لێرەدا هیچ پەیوەندیی بە ژوورکۆمەڵەوە (Superset) نییە. سەیری ئەنیمەیشنەکە بکە کە خشتەی ڕاستییەکە پڕ دەکاتەوە: گوزارەی مەرجی تەنیا کاتێک هەڵەیە کە p ڕاست بێت و q هەڵە بێت. کاتێک p هەڵە بێت، هیچ بەڵێنێک نەدراوە، بۆیە بە ڕاست دادەنرێت (گوزارەی مەرجی).

The arrow points one way. “If it rains, the street is wet” does not say “if the street is wet, it rained”: $q \to p$, the converse, is a different statement. Inside formulas the arrow stays $\to$; in Kurdish sentences CêIT writes «←» for “then” (One arrow, four jobs).

تیرەکە تەنیا یەک ئاڕاستەی هەیە. «ئەگەر باران ببارێت، شەقامەکە تەڕ دەبێت» نالێت «ئەگەر شەقامەکە تەڕ بێت، باران باریوە»: $q \to p$، کە پێچەوانەکەیەتی، ڕستەیەکی ترە. لە ناو فۆرمولەکاندا (Formula) تیرەکە $\to$ دەمێنێتەوە؛ لە ڕستەی کوردیدا CêIT بۆ «ئەوا» «←» دەنووسێت (یەک تیر، چوار کار).

$p \leftrightarrow q$, the biconditional, says the rule works both ways: “p if and only if q”, shortened to “p iff q”; in Kurdish p ئەگەر و تەنیا ئەگەر q. It is true when p and q have the same truth value, so it means $(p \to q) \land (q \to p)$. Books write $\leftrightarrow$, $\Leftrightarrow$, the long $\iff$ or $\equiv$ (Biconditional).

$p \leftrightarrow q$، واتە گوزارەی دوومەرجی (Biconditional)، دەڵێت یاساکە بە هەردوو ئاڕاستەدا کار دەکات: «p ئەگەر و تەنیا ئەگەر q»، بە کورتی «p iff q». ڕاستە کاتێک p و q هەمان نرخی ڕاستییان هەبێت، بۆیە واتای $(p \to q) \land (q \to p)$ دەدات. کتێبەکان $\leftrightarrow$، $\Leftrightarrow$، $\iff$ـی درێژ یان $\equiv$ دەنووسن (گوزارەی دوومەرجی).

Definitions are full of “iff”: a function is one-to-one iff different inputs always give different outputs (One-to-one functions). An “iff” is a two-way street; an “if” is one way.

پێناسەکان پڕن لە «iff»: نەخشەیەک (Function) یەک بۆ یەکە ئەگەر و تەنیا ئەگەر نێوخستەی (Input) جیاواز هەمیشە دەرخستەی (Output) جیاواز بدات (نەخشە یەک بۆ یەکەکان). «ئەگەر و تەنیا ئەگەر» شەقامێکی دوو ئاڕاستەیە؛ «ئەگەر» یەک ئاڕاستەیە.

Worked solutions join their lines with arrows. $\Rightarrow$ means “so” or “therefore”: the next line follows from this one. $\iff$ means “is the same as”: each line follows from the other, so no answer is lost or added. So $2x + 1 = 7 \iff 2x = 6 \iff x = 3$, but $x = 3 \Rightarrow x^2 = 9$ works one way only, because $x^2 = 9$ also allows $x = -3$. Do not write “or” where you mean $\Rightarrow$: “$a > b$ or $a + c > b + c$” says something quite different from $a > b \Rightarrow a + c > b + c$ (Adding the same number to both sides).

شیکارە کارکراوەکان دێڕەکانیان بە تیر پێکەوە دەبەستن. $\Rightarrow$ واتە «کەواتە»: دێڕی دواتر لەم دێڕەوە دێت. $\iff$ واتە «هەمان شتە»: هەر دێڕێک لە ئەوی ترەوە دێت، بۆیە هیچ وەڵامێک ون نابێت و زیادیش نابێت. کەواتە $2x + 1 = 7 \iff 2x = 6 \iff x = 3$، بەڵام $x = 3 \Rightarrow x^2 = 9$ تەنیا بە یەک ئاڕاستە کار دەکات، چونکە $x^2 = 9$ ڕێگە بە $x = -3$ـیش دەدات. لە جیاتی $\Rightarrow$ «یان» مەنووسە: «$a > b$ یان $a + c > b + c$» شتێکی زۆر جیاواز لە $a > b \Rightarrow a + c > b + c$ دەڵێت (زیادکردنی هەمان ژمارە بۆ هەردوو لا).

More signs of proofs: $\therefore$ “therefore” and $\because$ “because” ($\therefore$ and $\because$); $\blacksquare$ or $\square$, also written QED, marks the end of a proof; $\vdash$ “proves” means a sentence can be derived with rules, and $\models$ “entails” means it is true in every case where the left side is true (Queries and entailment).

هێمای تری سەلماندنەکان (Proof): $\therefore$ «کەواتە» و $\because$ «چونکە» ($\therefore$ و $\because$)؛ $\blacksquare$ یان $\square$، کە بە QEDـیش دەنووسرێت، کۆتایی سەلماندنێک پیشان دەدات؛ $\vdash$ «دەسەلمێنێت» واتە ڕستەیەک بە یاساکان دەردەهێنرێت و $\models$ «لێی دەکەوێتەوە» (لێکەوتنەوە (Entailment)) واتە لە هەموو ئەو حاڵەتانەدا ڕاستە کە لای چەپ تێیاندا ڕاستە (پرسەکان و لێکەوتنەوە).

Two turned letters say “how many”. $\forall$ (an upside-down A, for “all”) is read “for all”, “for every” or “for each”: $\forall x \in \mathbb{R},\ x^2 \ge 0$, “for every real x, x squared is at least 0”; in Kurdish بۆ هەموو x. $\exists$ (a turned E, for “exists”) is read “there exists” or “there is at least one”: $\exists n \in \mathbb{N},\ n > 100$, “there is a natural number n greater than 100”. $\exists!$ means “there is exactly one” and $\nexists$ “there is no”. These signs are called quantifiers; Kurdish has no settled word for the name yet.

دوو پیتی هەڵگەڕاوە دەڵێن «چەند». $\forall$ (Aـیەکی سەرەوخوار، بۆ all) دەخوێنرێتەوە «بۆ هەموو»: $\forall x \in \mathbb{R},\ x^2 \ge 0$، «بۆ هەموو x لە $\mathbb{R}$ـدا، x دووجا گەورەترە لە 0 یان یەکسانە پێی». $\exists$ (Eـیەکی هەڵگەڕاوە، بۆ exists) دەخوێنرێتەوە «هەیە» یان «لانیکەم یەک … هەیە»: $\exists n \in \mathbb{N},\ n > 100$، «لانیکەم یەک n لە $\mathbb{N}$ـدا هەیە کە لە ⁦100⁩ گەورەترە». $\exists!$ واتە «تەنیا یەک … هەیە» و $\nexists$ واتە «هیچ … نییە». بەم نیشانانە دەوترێت quantifier؛ هێشتا وشەیەکی جێگیری کوردی بۆ ناوەکەیان نییە.

Definitions use them: a function gives every x exactly one y, $\forall x \in X\ \exists!\, y \in Y: f(x) = y$ (Notation and other names), and database queries use them too (Formulas, quantifiers and implication). To deny “all”, one counterexample is enough: $\lnot \forall x\, P(x)$ is the same as $\exists x\, \lnot P(x)$, “not all” is “some are not”.

پێناسەکان بەکاریان دەهێنن: نەخشەیەک بە هەموو xـێک تەنیا یەک y دەدات، $\forall x \in X\ \exists!\, y \in Y: f(x) = y$ (شێوەی نووسین و ناوەکانی تر)؛ پرسیارەکانی بنکەدراوەیش (Database) بەکاریان دەهێنن (فۆرمولەکان، quantifier و گوزارەی مەرجی). بۆ ڕەتکردنەوەی «هەموو»، یەک نموونەی پێچەوانە بەسە: $\lnot \forall x\, P(x)$ هەمان $\exists x\, \lnot P(x)$ـە، «وا نییە کە هەموو» واتە «هەندێکیان نا».

Logic design writes logic like algebra, with 0 and 1: Boolean algebra. A product is AND: $AB$ or $A \cdot B$. A sum is OR: $A + B$. A bar or a prime is NOT, the complement: $\overline{A}$ or $A^{\prime}$, and a bar over a group, as in $\overline{AB}$ (NAND), covers the whole group. So $X = A\overline{B} + C$ reads “X equals A AND NOT B, OR C”. NOT comes first, then AND, then OR, just as multiplication comes before addition (+ means OR, · means AND).

دیزاینی لۆجیکی دیجیتاڵ لۆجیک وەک جەبر دەنووسێت، بە 0 و 1: جەبری بوول. نووسینی پیتەکان بە دوای یەکدا، $AB$، یان $A \cdot B$ واتە AND. نیشانەی کۆ، $A + B$، واتە OR. هێڵێک لەسەر پیتەکە یان پرایم واتە NOT، واتە تەواوکەر (Complement): $\overline{A}$ یان $A^{\prime}$؛ هێڵێکیش لەسەر گرووپێک، وەک $\overline{AB}$ ⁦(NAND)⁩، هەموو گرووپەکە دادەپۆشێت. کەواتە $X = A\overline{B} + C$ دەخوێنرێتەوە «X یەکسانە بە A AND NOT B، OR C». سەرەتا NOT، پاشان AND، پاشان OR، هەروەک لێکدان (Multiplication) پێش کۆکردنەوە (Addition) دێت (+ واتە OR، · واتە AND).

Because + is OR, $1 + 1 = 1$: one input that is on is enough. Arithmetic gives 2 and binary addition gives $10_2$; mixing them up is a classic slip, even in careful reports (OR is not binary addition). Gate drawings carry the same ideas: in the rectangular IEC style a box marked & is AND, ≥1 is OR and =1 is XOR (Two ways to draw gates). Kurdish texts keep the gate names in Latin letters (AND, OR, NOT), and you may see the gate drawings called هێمای لۆجیکانە, “logic symbols”.

چونکە + واتە OR، $1 + 1 = 1$: یەک نێوخستەی هەڵکراو بەسە. ژمێرکاری 2 دەدات و کۆکردنەوەی دووانی (Binary addition) $10_2$ دەدات؛ تێکەڵکردنیان هەڵەیەکی باوە، تەنانەت لە ڕاپۆرتی وردیشدا (OR کۆکردنەوەی دووانی نییە). وێنەی گەیتەکانیش هەمان بیرۆکە هەڵدەگرن: لە شێوازی لاکێشەیی IECـدا سندووقێک بە نیشانەی & واتە AND، ≥1 واتە OR و =1 واتە XOR (دوو ڕێگا بۆ کێشانی گەیتەکان). لە دەقی کوردیدا ناوی گەیتەکان بە پیتی لاتینی دەمێننەوە، وەک گەیتی OR (OR gate)؛ لەوانەیە بە وێنەکانیشیان بوترێت «هێمای لۆجیکانە».

Programming languages type logic with keyboard signs, and each language has its own set:

زمانەکانی بەرنامەسازی (Programming language) لۆجیک بە نیشانەکانی کیبۆرد (Keyboard) دەنووسن و هەر زمانێک کۆمەڵە نیشانەیەکی تایبەتی خۆی هەیە:

Two more traps: ^ is XOR in Python, C, Java and PHP but a power in MATLAB and Excel (Notation in computing); and &&, ||, and and or stop as soon as the answer is known (Stop as soon as the answer is known, Python stops as soon as it knows). MATLAB’s operators are in Combining conditions, SQL’s in Combining conditions: AND, OR, NOT.

دوو تەڵەی تر: ^ لە Python، C، Java و PHPـدا XORـە، بەڵام لە MATLAB و Excelـدا توانە (Exponent) (هێماکان لە کۆمپیوتەردا)؛ هەروەها &&، ||، and و or هەر کە وەڵامەکە زانرا دەوەستن (هەڵسەنگاندنی کورتبڕ، Python هەر کە زانی دەوەستێت). کارپێکەرەکانی MATLAB لە تێکەڵکردنی مەرجەکانـدان و هی SQL لە تێکەڵکردنی مەرجەکان: AND، OR، NOTـدا.