Exponents and Logarithms: eˣ, log, ln, lg and lbتوانەکان و لۆگاریتمەکان: eˣ، log، ln، lg و lb

Many students stop when they see $\log$ in a formula. The key idea is short: a logarithm is an exponent. $2^3 = 8$ and $\log_2 8 = 3$ say one fact in two ways. The first says “2 to the power 3 is 8”. The second asks the question the other way round: “2 to which power gives 8?” The answer is 3. Watch the numbers move from one form to the other.

زۆر قوتابی کاتێک $\log$ لە فۆرمولەیەکدا (Formula) دەبینن دەوەستن. بیرۆکە سەرەکییەکە کورتە: لۆگاریتم توانێکە. $2^3 = 8$ و $\log_2 8 = 3$ یەک ڕاستی بە دوو شێوە دەڵێن. یەکەمیان دەڵێت «2 بە توانی 3 دەکاتە 8». دووەمیان پرسیارەکە بە پێچەوانەوە دەکات: «2 بە چ توانێک دەکاتە 8؟». وەڵامەکەی 3ـە. سەیر بکە ژمارەکان چۆن لە شێوەیەکەوە دەچنە شێوەکەی تر.

$\log_a x$ has three parts. log is the name of the function, printed upright. The small, lowered a is the base. The x after the name is the number you take the log of (also called the argument); it must be positive. The value of the whole $\log_a x$ is an exponent: the power you put on a to get x. Say it “log base a of x” or “the logarithm of x to the base a”.

$\log_a x$ سێ بەشی هەیە. log ناوی نەخشەکە و بە پیتی ڕاست چاپ دەکرێت. aـی بچووک کە کەمێک نزمترە بنچینەیە. x، کە لە دوای ناوەکە دێت، ئەو ژمارەیەیە کە لۆگاریتمەکەی دەدۆزینەوە و دەبێت موجەب بێت. نرخی تەواوی $\log_a x$ توانێکە: ئەو توانەی دەیخەیتە سەر a تا x بەدەست بێت. بیخوێنەوە «لۆگاریتمی x بە بنچینەی a» (log base a of x).

When the base has two digits, LaTeX needs braces: \log_{10} x. Without them, \log_10 x puts only the 1 down and prints log₁0x. A logarithm of 0 or of a negative number does not exist: no power of a positive base gives 0 or a negative number (Definition).

کاتێک بنچینە لە دوو تاکژمارە (Digit) پێکدێت، LaTeX پێویستی بە کەوانەی لوولە: \log_{10} x. بەبێ ئەوان، \log_10 x تەنیا 1 دادەبەزێنێت و ⁦log₁0x⁩ چاپ دەکات. لۆگاریتمی 0 و ژمارە سالبەکان (Negative number) بوونی نییە: هیچ توانێکی بنچینەیەکی موجەب 0 یان ژمارەیەکی سالب نادات (پێناسە).

The letter e is a fixed number, about 2.71828, just as $\pi$ is about 3.14159. It is called Euler's number: Leonhard Euler began to use the letter e for it in 1727–1728, and it first appeared in print in 1736. $e^x$ is read “e to the x”. It is the natural exponential function. When the exponent is long, books write $\exp$ instead, so the formula stays on one line: $e^{-z^2/2} = \exp(-z^2/2)$ is part of the bell curve of statistics (The bell curve).

پیتی e ژمارەیەکی جێگیرە، نزیکەی ⁦2.71828⁩، هەروەک $\pi$ نزیکەی ⁦3.14159⁩ـە. ئەمە ژمارەی eـە، کە بە ئینگلیزی پێی دەڵێن Euler's number: لیۆنارد ئۆیلەر لە ⁦1727–1728⁩ـەوە پیتی eـی بۆ بەکار هێنا و ئەم پیتە یەکەم جار لە ⁦1736⁩ چاپ کرا. $e^x$ دەخوێنرێتەوە «e بە توانی x» (e to the x) و نەخشەی توانیی (Exponential function) سروشتییە. کاتێک توان درێژ بێت، کتێبەکان لە جیاتی ئەوە $\exp$ دەنووسن تا فۆرمولەکە لەسەر یەک دێڕ بمێنێتەوە: $e^{-z^2/2} = \exp(-z^2/2)$ بەشێکە لە چەماوەی زەنگیی ئامار (چەماوەی زەنگی).

Do not mix e up with the E of E-notation. A calculator shows $6.02 \times 10^{23}$ as 6.02E23, and code writes 6.02e23 or 2e3 (= 2000.0): there E or e means “times ten to the power” (E-notation). In code the number e is math.e in Python, Math.E in Java and exp(1) in MATLAB; $e^x$ is math.exp(x), Math.exp(x) or exp(x). An exponential function has a constant base: $e^x$ and $2^x$ are exponential, but $x^x$ is not (Is x to the x exponential?).

e لەگەڵ Eـی شێوازی E تێکەڵ مەکە. حاسیبە ژمارەی $6.02 \times 10^{23}$ وەک ⁦6.02E23⁩ پیشان دەدات و کۆد ⁦6.02e23⁩ یان ⁦2e3 (= 2000.0)⁩ دەنووسێت: لەوێدا E یان e واتە «جاران ⁦10⁩ بە توانی…» (E لە ناو ژمارەدا). لە کۆددا ژمارەی e لە Pythonـدا math.eـە، لە Javaـدا Math.E و لە MATLABـدا exp(1)؛ $e^x$ دەبێتە math.exp(x)، Math.exp(x) یان exp(x). نەخشەیەکی توانی بنچینەیەکی جێگیری هەیە: $e^x$ و $2^x$ توانین، بەڵام $x^x$ نا (ئایا x بە توانی x نەخشەی توانییە؟).

Three bases are so common that their logarithms have names with the base built in. $\ln x$ is the natural logarithm, base e: say “L N x” or “the natural log of x”. $\lg x$ is the common logarithm, base 10, and $\operatorname{lb} x$ is the binary logarithm, base 2: say “log base 10 of x” and “log base 2 of x”. lg and lb are the names recommended by ISO 80000-2, the international standard for mathematical signs.

سێ بنچینە ئەوەندە باون کە لۆگاریتمەکانیان ناوی تایبەتیان هەیە و بنچینەکە لە ناو ناوەکەدایە. $\ln x$ لۆگاریتمی سروشتییە (Natural logarithm)، بە بنچینەی e: بیخوێنەوە «لۆگاریتمی سروشتیی x» (L N x، natural log of x). $\lg x$ لۆگاریتمی دەییە (Common logarithm)، بە بنچینەی ⁦10⁩ و $\operatorname{lb} x$ لۆگاریتمی دووانییە (Binary logarithm)، بە بنچینەی 2: بیانخوێنەوە «لۆگاریتمی دەیی x» و «لۆگاریتمی دووانیی x». lg و lb ئەو ناوانەن کە ⁦ISO 80000-2⁩، ستانداردی نێودەوڵەتیی هێماکانی بیرکاری، پێشنیاریان دەکات.

Careful: some computer-science books, among them well-known algorithms textbooks, write $\lg n$ for $\log_2 n$, and German books write ld for base 2. When a book uses lg, look at its notation page or test a value: if $\lg 8 = 3$, the base is 2.

ئاگاداربە: هەندێک کتێبی زانستی کۆمپیوتەر، لەوانە کتێبە ناسراوەکانی ئەلگۆریزمەکان (Algorithm)، $\lg n$ بۆ $\log_2 n$ دەنووسن و کتێبە ئەڵمانییەکان ld بۆ بنچینە 2 بەکار دەهێنن. کاتێک کتێبێک lg بەکار دەهێنێت، سەیری لاپەڕەی هێماکانی کتێبەکە بکە یان نرخێک تاقی بکەرەوە: ئەگەر $\lg 8 = 3$ بێت، بنچینەکە 2ـە.

When a book writes only $\log x$, the base depends on who wrote it. School books, calculators, Excel, statistics and engineering mean base 10; the statistics lessons of CêIT use it for the geometric mean and for Sturges' rule (The geometric mean with logs, The number of classes). Many university maths books and the languages Python, MATLAB, Java and C mean base e. Computer science means base 2: a binary search of n items needs about $\log n$ looks (Logarithmic time).

کاتێک کتێبێک تەنیا $\log x$ دەنووسێت، بنچینەکە بەندە بەوەی کێ نووسیویەتی. کتێبی قوتابخانە، حاسیبە، Excel، ئامار و ئەندازیاری مەبەستیان بنچینە ⁦10⁩ـە؛ وانەکانی ئاماری CêIT بۆ ناوەندی ئەندازەیی (Geometric mean) و یاسای Sturges بەکاری دەهێنن (ناوەندی ئەندازەیی بە لۆگاریتم، ژمارەی پۆلەکان). زۆر کتێبی بیرکاریی زانکۆ و زمانەکانی Python، MATLAB، Java و C مەبەستیان بنچینە eـیە. زانستی کۆمپیوتەر مەبەستی بنچینە 2ـە: گەڕانی دووانی (Binary search) بۆ n دانە نزیکەی $\log n$ سەیرکردنی پێویستە (کاتی لۆگاریتمی).

Here the same word gives different answers. Ask a calculator or Excel for $\log 100$ and you get 2. Ask Python, MATLAB or Java and you get 4.605…, because there log is ln. Every tool has separate names for the other bases:

لێرەدا هەمان وشە وەڵامی جیاواز دەدات. ئەگەر لە حاسیبە یان Excel داوای $\log 100$ بکەیت، 2 وەردەگریت. ئەگەر لە Python، MATLAB یان Java داوای بکەیت، ⁦4.605⁩… وەردەگریت، چونکە لەوێ log هەمان lnـە. هەر ئامرازێک ناوی جیاوازی بۆ بنچینەکانی تر هەیە:

Java has no log2; it divides two natural logs, the change-of-base rule. The code itself is taught in the programming lessons: Logarithms in MATLAB, the math module, the Math class and Change of base with a calculator or Python.

Java log2ـی نییە؛ دوو لۆگاریتمی سروشتی بەسەر یەکدا دابەش دەکات، کە یاسای گۆڕینی بنچینەیە. خودی کۆدەکە لە وانەکانی بەرنامەسازیدا (Programming) فێر دەکرێت: لۆگاریتمەکان لە MATLAB، مۆدیوڵی math، پۆلی Math و گۆڕینی بنچینە بە حاسیبە یان Python.

A scientific calculator has two log keys: log for base 10 and ln for base e. After SHIFT (or 2nd), the same keys give $10^x$ and $e^x$, the inverses of log and ln, which are printed above them. Many newer models also have a key with two boxes, log□□, for any base: put 2 in the first box and 16 in the second to get $\log_2 16 = 4$. On most modern calculators you press the key first and then the number; some older ones want the number first.

حاسیبەیەکی زانستی دوو دوگمەی لۆگاریتمی هەیە: log بۆ بنچینەی ⁦10⁩ و ln بۆ بنچینەی e. لە دوای SHIFT (یان ⁦2nd⁩)، هەمان دوگمەکان $10^x$ و $e^x$ دەدەن، کە پێچەوانەی log و lnـن و لە سەرەوەیان نووسراون. زۆر مۆدێلی نوێ دوگمەیەکی دوو چوارگۆشەییشیان هەیە، log□□، بۆ هەر بنچینەیەک: 2 لە چوارگۆشەی یەکەم و ⁦16⁩ لە دووەمدا بنووسە تا $\log_2 16 = 4$ بەدەست بێت. لە زۆربەی حاسیبەکانی نوێدا سەرەتا دوگمەکە دادەگریت و پاشان ژمارەکە؛ هەندێکی کۆن سەرەتا ژمارەکەیان دەوێت.

No log□□ key? Use the change-of-base rule with the log key: $\log_2 16 = \frac{\log 16}{\log 2} \approx \frac{1.2041}{0.3010} \approx 4$ (Change of base).

ئەگەر حاسیبەکەت دوگمەی log□□ـی نییە، یاسای گۆڕینی بنچینە لەگەڵ دوگمەی log بەکار بهێنە: $\log_2 16 = \frac{\log 16}{\log 2} \approx \frac{1.2041}{0.3010} \approx 4$ (گۆڕینی بنچینە).

Some lecture handouts write the base as a small letter before a capital Log: ${}_a\mathrm{Log}(x)$, ${}_e\mathrm{Log}(x)$ and ${}_a\mathrm{Log}(\sin x)$. They mean exactly $\log_a x$, $\ln x$ and $\log_a(\sin x)$. Read them “log base a of x” and so on, but when you write, use the book form: the base small and after log (Writing logarithms correctly).

هەندێک مەلزەمە بنچینە بە پیتێکی بچووک پێش Logـێکی گەورە دەنووسن: ${}_a\mathrm{Log}(x)$، ${}_e\mathrm{Log}(x)$ و ${}_a\mathrm{Log}(\sin x)$. ڕێک واتای $\log_a x$، $\ln x$ و $\log_a(\sin x)$ دەدەن. بیانخوێنەوە «لۆگاریتمی x بە بنچینەی a» و هتد، بەڵام کاتێک خۆت دەنووسیت شێوەی کتێب بەکار بهێنە: بنچینە بچووک و لە دوای log (نووسینی دروستی لۆگاریتمەکان).

Statistics books and handouts usually mean base 10 when they write log: $\log G = \frac{\sum F \log X}{\sum F}$ for the geometric mean, and $\log 120 = 2.0792$. The natural log of the same number is $\ln 120 = 4.7875$, so check which key you pressed.

کتێب و مەلزەمەکانی ئامار کاتێک log دەنووسن زۆربەی جار مەبەستیان بنچینە ⁦10⁩ـە: $\log G = \frac{\sum F \log X}{\sum F}$ بۆ ناوەندی ئەندازەیی و $\log 120 = 2.0792$. لۆگاریتمی سروشتیی هەمان ژمارە $\ln 120 = 4.7875$ـە، بۆیە بپشکنە کام دوگمەت داگرتووە.

A function name takes only the next piece of a formula. So $\log x + 1$ means $(\log x) + 1$; for the log of $x + 1$, write brackets: $\log(x + 1)$. A small number on the name is a power of the result: $\log^2 x = (\log x)^2$. That is not $\log x^2$, which means $\log(x^2) = 2\log x$. $\log \log x$ means $\log(\log x)$, the log taken twice; some running times in computer science use it. The same habit holds for $\sin^2 x$ (Powers and inverses on sin).

ناوی نەخشەیەک تەنیا پارچەی دواتری فۆرمولەیەک دەگرێت. بۆیە $\log x + 1$ واتە $(\log x) + 1$؛ بۆ لۆگاریتمی $x + 1$ کەوانە بنووسە: $\log(x + 1)$. ژمارەیەکی بچووک لەسەر ناوەکە توانی ئەنجامەکەیە: $\log^2 x = (\log x)^2$. ئەمە هەمان $\log x^2$ نییە، کە واتە $\log(x^2) = 2\log x$. $\log \log x$ واتە $\log(\log x)$، واتە لۆگاریتم دوو جار؛ هەندێک کاتی کارکردن لە زانستی کۆمپیوتەردا بەکاری دەهێنن. هەمان نەریت بۆ $\sin^2 x$ـیش ڕاستە (توان و پێچەوانە لەسەر sin).

The grade-12 maths exams of the Kurdistan Region (2024–25) write logarithms in Latin letters and left to right, inside Kurdish text: $\ln(x + 2)$, $e^{\ln(x+2)}$ and $\log_{25} 0.04$. Read such a formula piece by piece, from the outside in. In $e^{\ln(x+2)}$ the whole $\ln(x + 2)$ sits up in the exponent.

پرسیارنامەکانی تاقیکردنەوەی بیرکاریی پۆلی ⁦12⁩ـی هەرێمی کوردستان ⁦(2024–25)⁩ لۆگاریتمەکان بە پیتی لاتینی و لە چەپەوە بۆ ڕاست لە ناو دەقی کوردیدا دەنووسن: $\ln(x + 2)$، $e^{\ln(x+2)}$ و $\log_{25} 0.04$. فۆرمولەیەک وەها پارچە بە پارچە بخوێنەوە، لە دەرەوە بەرەو ناوەوە. لە $e^{\ln(x+2)}$ـدا هەموو $\ln(x + 2)$ لە توانەکەدایە.

On an ordinary number line from 0 to 10 000, the numbers 1, 10 and 100 are squeezed into one corner. A log scale puts each number at its logarithm instead: 1, 10, 100, 1000 and 10 000 sit at equal steps, because their common logarithms are 0, 1, 2, 3 and 4. Multiplying by 10 has become adding 1.

لەسەر هێڵی ژمارەکان (Number line) لە 0 تا ⁦10 000⁩، ژمارەکانی 1، ⁦10⁩ و ⁦100⁩ لە سووچێکدا پەستێنراون. پێوەری لۆگاریتمی هەر ژمارەیەک لە شوێنی لۆگاریتمەکەی دادەنێت: 1، ⁦10⁩، ⁦100⁩، ⁦1000⁩ و ⁦10 000⁩ بە هەنگاوی یەکسان دادەنرێن، چونکە لۆگاریتمی دەیی ئەم ژمارانە بە ڕیز 0، 1، 2، 3 و 4ـە. لێکدان (Multiplication) بە ⁦10⁩ بووە بە کۆکردنەوەی (Addition) 1.

You meet log scales in sound levels (+10 dB means 10 times the sound power), in pH (one step is a tenfold change in acidity) and in earthquake magnitudes. CêIT draws Moore's law on a log scale (Moore's law), and MATLAB's semilogy draws one axis this way (More chart types). Inside formulas the same trick turns a product into a sum: $\log(ab) = \log a + \log b$ (A logarithm turns $\Pi$ into $\Sigma$).

پێوەری لۆگاریتمی لە ئاستی دەنگدا دەبینیت (⁦+10 dB⁩ واتە ⁦10⁩ هێندەی هێزی دەنگ)، لە pHـدا (هەر هەنگاوێک واتە ترشێتی ⁦10⁩ جار زیاتر یان کەمتر دەبێت) و لە پێوانەی بوومەلەرزەدا. CêIT یاسای مور لەسەر پێوەری لۆگاریتمی دەکێشێت (یاسای مور) و semilogyـی MATLAB یەک تەوەرە (Axis) بەم شێوەیە دەکێشێت (جۆرەکانی تری هێڵکاری). لە ناو فۆرمولەکاندا هەمان فێڵ لێکدانێک دەکاتە کۆ: $\log(ab) = \log a + \log b$ (لۆگاریتم $\Pi$ دەکاتە $\Sigma$).

Logarithms were invented to make long multiplications quick. John Napier published them in 1614, and in 1617 Henry Briggs printed the first table of base-10 logarithms: the logs of 1 to 1000, to 14 digits. To multiply two numbers, people looked up their logs, added them and looked the sum up backwards. A slide rule did the same with two log scales that slide past each other, and engineers used it until pocket calculators replaced it in the 1970s. Base 10 fits our decimal numbers, so these tables made it the common logarithm, and calculators kept the name log for it.

لۆگاریتمەکان داهێنران تا لێکدانی درێژ خێرا بکەن. جۆن نەیپیەر لە ⁦1614⁩ بڵاوی کردنەوە و لە ⁦1617⁩ هێنری بریگز یەکەم خشتەی لۆگاریتمەکانی بە بنچینەی ⁦10⁩ چاپ کرد: لۆگاریتمەکانی 1 تا ⁦1000⁩، بە ⁦14⁩ تاکژمارە. بۆ لێکدانی دوو ژمارە، خەڵک لۆگاریتمەکانیان لە خشتەکەدا دەدۆزییەوە، کۆیان دەکردنەوە و پاشان ژمارەی ئەو کۆیەیان بە پێچەوانەوە دەدۆزییەوە. ڕاستەی خلیسکێن (slide rule) هەمان کاری بە دوو پێوەری لۆگاریتمی دەکرد کە بەسەر یەکدا دەخزێن و ئەندازیاران تا ساڵانی ⁦1970⁩ بەکاریان دەهێنا، تا حاسیبەکانی گیرفان جێیان گرتەوە. بنچینە ⁦10⁩ لەگەڵ ژمارەکانماندا دەگونجێت، کە لەسەر ⁦10⁩ بنیات نراون، بۆیە ئەم خشتانە کردیانە لۆگاریتمی دەیی و حاسیبەکان ناوی logـیان بۆ هێشتەوە.