Set Notation and the Number Sets ℕ ℤ ℚ ℝ ℂهێماکانی کۆمەڵە و کۆمەڵەکانی ژمارە ℕ ℤ ℚ ℝ ℂ

A set is a collection of different objects, its elements. Books name a set with a capital letter and write its elements between braces, separated by commas: $A = \{2, 4, 6, 8\}$, read “A is the set two, four, six, eight”. The sign $\in$ says that something belongs to a set: $4 \in A$, “4 is an element of A” or simply “4 is in A”. With a stroke through it, $5 \notin A$, “5 is not an element of A”. Rules and examples: Writing sets and elements.

کۆمەڵە کۆمەڵێک شتی جیاوازە کە پێیان دەوترێت ئەندامەکان (Element). کتێبەکان کۆمەڵەیەک بە پیتێکی گەورە ناو دەنێن و ئەندامەکانی لە نێوان کەوانەی لوولدا دەنووسن و بە کۆما لێکیان جیا دەکەنەوە: $A = \{2, 4, 6, 8\}$، دەخوێنرێتەوە «A کۆمەڵەی 2، 4، 6 و 8ـە». نیشانەی $\in$ دەڵێت شتێک لە ناو کۆمەڵەیەکدایە: $4 \in A$، «4 ئەندامێکی Aـیە» یان بە کورتی «4 لە Aـدایە». بە هێڵێکی لار بەسەریدا، $5 \notin A$، «5 ئەندامی A نییە». یاسا و نموونەکان: نووسینی کۆمەڵەکان و ئەندامەکان.

Why write a rule? Think of a class of 30 students and the group of those who are older than 20. If only four of them are, a list is quick: $A = \{\text{Ali}, \text{Sara}, \text{Karim}, \text{Dilan}\}$. In a university with 500 such students, nobody wants to write 500 names. And a set that never ends, such as all the natural numbers above 5, can never be written out in full. So instead of naming the elements, you write the rule that decides which ones belong.

بۆچی یاسایەک بنووسین؟ پۆلێکی ⁦30⁩ خوێندکار بهێنە بەرچاوت و گرووپی ئەوانەی تەمەنیان لە ⁦20⁩ زیاترە. ئەگەر تەنیا چواریان وابن، لیستکردن خێرایە: $A = \{\text{Ali}, \text{Sara}, \text{Karim}, \text{Dilan}\}$. لە زانکۆیەکدا کە ⁦500⁩ خوێندکاری لەو جۆرەی هەیە، کەس نایەوێت ⁦500⁩ ناو بنووسێت. کۆمەڵەیەک کە هەرگیز کۆتایی نایەت، وەک هەموو ژمارە سروشتییەکانی (Natural number) سەرووی 5، هەرگیز بە تەواوی نانووسرێت. بۆیە لە جیاتی ناوهێنانی ئەندامەکان، ئەو یاسایە دەنووسیت کە بڕیار دەدات کامیان دەچنە ناو کۆمەڵەکەوە.

Instead of a list, set-builder notation gives a rule: $\{x \in \mathbb{R} \mid x > 0\}$. Read it from the left: “the set of all x in R such that x is greater than 0”, that is, every positive real number. Before the separator stand the variable and often where it comes from; after it stands the condition. The separator is a vertical bar $\mid$, a colon $:$ or, in some handouts, a semicolon $;$. All three are read “such that”: $\{x \mid x > 0\}$, $\{x : x > 0\}$ and $\{x\,;\,x > 0\}$ are one set (Two ways to write a set).

لە جیاتی لیستێک، شێوەی وەسفیی کۆمەڵە یاسایەک دەدات: $\{x \in \mathbb{R} \mid x > 0\}$. لە چەپەوە بیخوێنەوە: «کۆمەڵەی هەموو ئەو xـانەی لە $\mathbb{R}$ـدان، بە جۆرێک کە x گەورەترە لە 0»، واتە هەموو ژمارەی ڕاستیی (Real number) موجەب. پێش جیاکەرەوەکە گۆڕاوەکە (Variable) دێت و زۆرجار ئەوەی لە کوێوە هاتووە؛ دوای ئەویش مەرجەکە (Condition) دێت. جیاکەرەوەکە هێڵێکی ستوونی $\mid$، دوو خاڵ $:$ یان لە هەندێک مەلزەمەدا خاڵبۆر $;$ـە. هەر سێکیان «بە جۆرێک کە» دەخوێنرێنەوە: $\{x \mid x > 0\}$، $\{x : x > 0\}$ و $\{x\,;\,x > 0\}$ یەک کۆمەڵەن (دوو ڕێگا بۆ نووسینی کۆمەڵەیەک).

The same bar has other jobs. In $P(A \mid B)$ it means “given” (Statistics symbols), and a pair of bars measures or counts, as in $|x|$ and $|A|$ (Vertical bars with other jobs). Inside braces, right after a variable, one bar is always “such that”.

هەمان هێڵ کاری تریشی هەیە. لە $P(A \mid B)$ـدا واتە «بە مەرجی» (هێماکانی ئامار)، جووتێک هێڵیش دەپێوێت یان دەژمێرێت، وەک لە $|x|$ و $|A|$ـدا (هێڵی ستوونی بە کاری تر). لە ناو کەوانەی لوولدا و ڕاستەوخۆ دوای گۆڕاوێک، یەک هێڵ هەمیشە «بە جۆرێک کە»ـیە.

All together: “A is the set of all natural numbers x such that x is greater than 5.” Now test the numbers one at a time: 5 fails, because 5 is not greater than 5; 6 passes; 7 passes; and every larger number passes too. So $A = \{6, 7, 8, 9, 10, \dots\}$. One short rule holds infinitely many elements. It does not even matter whether $\mathbb{N}$ starts at 0 or at 1 (Does N start at 0 or at 1?): 0 and 1 both fail the condition.

هەمووی پێکەوە: «A کۆمەڵەی هەموو ئەو xـانەیە کە لە $\mathbb{N}$ـدان، بە جۆرێک کە x گەورەترە لە 5.» ئێستا ژمارەکان یەک بە یەک تاقی بکەرەوە: 5 دەرناچێت، چونکە 5 لە 5 گەورەتر نییە؛ 6 دەردەچێت؛ 7 دەردەچێت و هەموو ژمارەیەکی گەورەتریش دەردەچێت. بۆیە $A = \{6, 7, 8, 9, 10, \dots\}$. یەک یاسای کورت ژمارەیەکی بێکۆتا لە ئەندامەکان لەخۆ دەگرێت. تەنانەت گرنگ نییە $\mathbb{N}$ لە 0 دەست پێدەکات یان لە 1 (ئایا $\mathbb{N}$ لە 0 دەست پێدەکات یان لە 1؟): 0 و 1 هەردووکیان لە مەرجەکەدا دەرناچن.

The elements of a set can be anything: students, cities, books. Go back to the class: let $S$ be the set of its 30 students. The students who are older than 20 then make this set:

ئەندامەکانی کۆمەڵەیەک دەکرێت هەر شتێک بن: خوێندکار، شار، کتێب. بگەڕێوە بۆ پۆلەکە: با $S$ کۆمەڵەی ⁦30⁩ خوێندکارەکەی بێت. ئینجا ئەو خوێندکارانەی تەمەنیان لە ⁦20⁩ زیاترە ئەم کۆمەڵەیە پێکدەهێنن:

Some books write the age of student x as $a_x$ (“a sub x”), a letter with a subscript. Then the set is $A = \{x \in S \mid a_x > 20\}$: the same set, written more briefly.

هەندێک کتێب تەمەنی خوێندکاری x بە $a_x$ دەنووسن (a sub x)، واتە پیتێک لەگەڵ ژێرنووسێکدا (Subscript). ئینجا کۆمەڵەکە دەبێتە $A = \{x \in S \mid a_x > 20\}$: هەمان کۆمەڵەیە، تەنیا کورتتر نووسراوە.

$A \subseteq B$ says that every element of A is also in B: “A is a subset of B” or “A is contained in B”. Seen from the other side, B is a superset of A: $B \supseteq A$, “B contains A”. A stroke denies it: $A \nsubseteq B$, “A is not a subset of B”, as soon as one element of A is missing from B (Subsets). CêIT’s database lessons use ⊇ between kinds of keys: super key ⊇ candidate key ⊇ primary key (Database keys).

$A \subseteq B$ دەڵێت هەموو ئەندامێکی A لە Bـیشدا هەیە: «A ژێرکۆمەڵەی (Subset) Bـیە» یان «A لە ناو Bـدایە». لە لاکەی ترەوە، B ژوورکۆمەڵەی (Superset) Aـیە: $B \supseteq A$، «B، Aـی لەخۆ گرتووە». هێڵێکی لار ڕەتی دەکاتەوە: $A \nsubseteq B$، «A ژێرکۆمەڵەی B نییە»، هەر کاتێک یەک ئەندامی A لە Bـدا نەبێت (ژێرکۆمەڵەکان). وانەکانی بنکەدراوەی (Database) CêIT لە نێوان جۆرەکانی کلیلدا (Key) ⊇ بەکار دەهێنن: کلیلی باڵا (Super key) ⊇ کلیلی پاڵێوراو (Candidate key) ⊇ کلیلی سەرەکی (Primary key) (کلیلەکانی بنکەدراوە).

Take care with $\subset$, the sign with no line under it. Many books, CêIT’s calculus lessons among them, use it for a proper subset, one smaller than B, so that $\subseteq$ and $\subset$ work like $\le$ and $<$. Other books use $\subset$ for any subset and write a proper subset $\subsetneq$. You may meet both habits in one course: $A \subseteq B$ on one page, $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ on the next. Check the book’s list of symbols (Proper subsets).

ئاگاداری $\subset$ بە، ئەو نیشانەیەی هێڵی لە ژێردا نییە. زۆر کتێب، لەوانە وانەکانی کالکولەسی CêIT، بۆ ژێرکۆمەڵەی ڕاست و پاک (Proper subset) بەکاری دەهێنن، واتە ژێرکۆمەڵەیەک کە لە B بچووکترە، بەم شێوەیە $\subseteq$ و $\subset$ وەک $\le$ و $<$ کار دەکەن. هەندێک کتێبی تر $\subset$ بۆ هەر ژێرکۆمەڵەیەک بەکار دەهێنن و ژێرکۆمەڵەی ڕاست و پاک بە $\subsetneq$ دەنووسن. لەوانەیە هەردوو نەریت لە یەک کۆرسدا ببینیت: $A \subseteq B$ لە پەڕەیەکدا و $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R}$ لە پەڕەی دواتردا. سەیری لیستی هێماکانی کتێبەکە بکە (ژێرکۆمەڵە ڕاست و پاکەکان).

Three signs make a new set from A and B. $A \cup B$, “A union B”, holds everything that is in A or in B or in both; the sign is open at the top like the U of union. $A \cap B$, “A intersect B” or “A intersection B”, holds what A and B share. $A \setminus B$, “A minus B” or “A without B”, holds what is in A but not in B; many books, and CêIT’s calculus lessons, write it $A - B$. The order matters: $A \setminus B \ne B \setminus A$.

سێ نیشانە لە A و B کۆمەڵەیەکی نوێ دروست دەکەن. $A \cup B$، «یەکگرتنی (Union) A و B»، هەموو ئەو شتانەی تێدایە کە لە A یان لە B یان لە هەردووکیاندان؛ نیشانەکە لە سەرەوە کراوەیە وەک پیتی U لە وشەی union. $A \cap B$، «یەکتربڕینی (Intersection) A و B»، ئەوەی تێدایە کە A و B تێیدا هاوبەشن. $A \setminus B$، «A کەم B» یان «A بەبێ B»، ئەوەی تێدایە کە لە Aـدایە و لە Bـدا نییە؛ زۆر کتێب و وانەکانی کالکولەسی CêIT بە $A - B$ دەینووسن. ڕیزبەندی گرنگە: $A \setminus B \ne B \setminus A$.

In probability, where events are sets, $\cup$ is said “or” and $\cap$ “and” (Or, and, not). Every operation with worked examples: All the operations at a glance.

لە ئەگەردا، کە ڕووداوەکان کۆمەڵەکانن، $\cup$ بە «یان» و $\cap$ بە «و» دەخوێنرێنەوە (یان، و، نا). هەموو کارەکانی کۆمەڵە (Set operation) بە نموونەی کارکراوەوە: هەموو کارەکانی کۆمەڵە بە یەک نیگا.

The complement of A holds everything in the universal set U that is not in A. Books write it three ways: $A^{c}$, “A complement”, in CêIT’s calculus and probability lessons; $A^{\prime}$, “A prime”, in many statistics books; and $\overline{A}$, “A bar”, in logic design, where it means NOT A. Some books also write $\complement A$. All are the same set, $U \setminus A$, and one handout may even switch between $A^{c}$ and $A^{\prime}$.

تەواوکەری A هەموو ئەو شتانەی کۆمەڵەی گشتی (Universal set) U لەخۆ دەگرێت کە لە Aـدا نین. کتێبەکان بە سێ شێوە دەینووسن: $A^{c}$، «تەواوکەری A»، لە وانەکانی کالکولەس و ئەگەری CêITـدا؛ $A^{\prime}$، «A پرایم»، لە زۆر کتێبی ئاماردا (Statistics)؛ هەروەها $\overline{A}$، «A بار»، لە دیزاینی لۆجیکی دیجیتاڵدا (Digital logic)، کە واتای NOT A دەدات. هەندێک کتێبیش $\complement A$ دەنووسن. هەموویان هەمان کۆمەڵەن: $U \setminus A$. تەنانەت لەوانەیە یەک مەلزەمە لە نێوان $A^{c}$ و $A^{\prime}$ـدا بگۆڕێت.

The answer depends on U: with $U = \{1, 2, \dots, 7\}$ and $A = \{1, 2, 3\}$, $A^{c} = \{4, 5, 6, 7\}$ (Complement). When the whole is another set A and $B \subseteq A$, “the complement of B in A” is $A \setminus B$, often still written $B^{c}$. Do not confuse the bar with the mean: over data, $\bar{x}$ is an average (Marks on letters).

وەڵامەکە بە U بەستراوە: بە $U = \{1, 2, \dots, 7\}$ و $A = \{1, 2, 3\}$، $A^{c} = \{4, 5, 6, 7\}$ (تەواوکەر). کاتێک هەموو شتەکە کۆمەڵەیەکی ترە وەک A و $B \subseteq A$، «تەواوکەری B لە Aـدا» دەکاتە $A \setminus B$ و زۆرجار هێشتا بە $B^{c}$ دەنووسرێت. هێڵەکە لەگەڵ ناوەند (Mean) تێکەڵ مەکە: لەسەر داتا، $\bar{x}$ ناوەندە (نیشانەکانی سەر پیت).

The empty set has no elements. It is written $\emptyset$, read “the empty set” or “the null set”, or $\{\,\}$. Three look-alikes are not empty: $\{\emptyset\}$ holds one element, an empty box inside a box; $\{0\}$ holds the number 0; and 0 itself is a number, not a set. The sign $\emptyset$ is neither the Greek letter φ nor the letter Ø of Danish and Norwegian, although André Weil modelled it on Ø in 1939 (The empty set).

کۆمەڵەی بەتاڵ (Empty set) هیچ ئەندامێکی تێدا نییە. بە $\emptyset$ دەنووسرێت و دەخوێنرێتەوە «کۆمەڵەی بەتاڵ»، یان بە $\{\,\}$. سێ لێکچوو بەتاڵ نین: $\{\emptyset\}$ یەک ئەندامی تێدایە، سندووقێکی بەتاڵ لە ناو سندووقێکدا؛ $\{0\}$ ژمارە 0ـی تێدایە؛ خودی 0ـیش ژمارەیە، نەک کۆمەڵە. نیشانەی $\emptyset$ نە پیتی یۆنانیی φـیە و نە پیتی Øـی زمانی دانیمارکی و نەرویجی، هەرچەندە André Weil لە ساڵی ⁦1939⁩ـدا لە سەر شێوەی Ø دروستی کرد (کۆمەڵەی بەتاڵ).

The number of elements, the cardinality, is written $|A|$ or $n(A)$ (some books write $\#A$), read “the number of elements of A”. So $|\{2, 4, 6\}| = 3$, $|\emptyset| = 0$ and $|\{\emptyset\}| = 1$. Around a number the same bars mean a distance: $|-7| = 7$ (Vertical bars with other jobs).

ژمارەی ئەندامەکان (Cardinality of a set) بە $|A|$ یان $n(A)$ دەنووسرێت (هەندێک کتێب $\#A$ دەنووسن) و دەخوێنرێتەوە «ژمارەی ئەندامەکانی A». کەواتە $|\{2, 4, 6\}| = 3$، $|\emptyset| = 0$ و $|\{\emptyset\}| = 1$. لە دەوری ژمارەیەکدا هەمان هێڵەکان واتای دووری دەدەن: $|-7| = 7$ (هێڵی ستوونی بە کاری تر).

$A \times B$, “A cross B”, is the Cartesian product: every ordered pair $(a, b)$ with a from A and b from B. Pairs use round brackets and keep their order, $(1, 2) \ne (2, 1)$; with $A = \{1, 2\}$ and $B = \{x, y, z\}$ there are $2 \times 3 = 6$ pairs (Ordered pairs and the Cartesian product). The same $(2, 5)$ can also be a point on a graph or the open interval from 2 to 5 (One set, four ways); the subject tells you which.

$A \times B$، «لێکدانی دیکارتیی (Cartesian product) A و B» (A cross B)، هەموو جووتە ڕێکخراوەکانی (Ordered pair) $(a, b)$ـە کە a لە A و b لە Bـەوە بێت. جووتەکان کەوانەی خڕ بەکار دەهێنن و ڕیزبەندییان دەپارێزن، $(1, 2) \ne (2, 1)$؛ بە $A = \{1, 2\}$ و $B = \{x, y, z\}$، $2 \times 3 = 6$ جووت هەیە (جووتە ڕێکخراوەکان و لێکدانی دیکارتی). هەمان $(2, 5)$ دەکرێت خاڵێک بێت لەسەر هێڵکارییەک، یان ماوەی کراوەی (Open interval) 2 تا 5 (یەک کۆمەڵە، چوار شێوە)؛ بابەتەکە پێت دەڵێت کامیانە.

$\mathcal{P}(A)$, “the power set of A”, is the set of all subsets of A, also written $2^{A}$. For $A = \{1, 2\}$, $\mathcal{P}(A) = \{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1, 2\}\}$. A set with n elements has $2^{n}$ subsets, which explains the 2.

$\mathcal{P}(A)$، «کۆمەڵەی ژێرکۆمەڵەکانی (Power set) A»، کۆمەڵەی هەموو ژێرکۆمەڵەکانی Aـیە، کە بە $2^{A}$ـیش دەنووسرێت. بۆ $A = \{1, 2\}$، $\mathcal{P}(A) = \{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1, 2\}\}$. کۆمەڵەیەک کە n ئەندامی هەبێت، $2^{n}$ ژێرکۆمەڵەی هەیە، ئەمەش هۆی ئەو 2ـیەیە.

Five letters name the families of numbers, and each family contains the one before it: $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}$. Say them as letters (“N”, “Z”, “Q”, “R”, “C”) or by their names in the table. The letters have reasons: $\mathbb{Z}$ comes from the German Zahl, “number”, and $\mathbb{Q}$ from quotient, a fraction $p/q$. What each family holds is taught in Sets inside sets.

پێنج پیت ناوی خێزانەکانی ژمارە دەنێن و هەر خێزانێک ئەوەی پێش خۆی لەخۆ دەگرێت: $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}$. وەک پیت بیانخوێنەوە («ئێن»، «زێد»، «کیو»، «ئار»، «سی») یان بە ناوەکانیان لە خشتەکەدا. پیتەکان هۆیان هەیە: $\mathbb{Z}$ لە وشەی ئەڵمانیی Zahlـەوە هاتووە کە واتای «ژمارە» دەدات. $\mathbb{Q}$ـیش لە quotientـەوە هاتووە، واتە کەرتی (Fraction) $p/q$. هەر خێزانێک چی تێدایە: کۆمەڵەکان لە ناو کۆمەڵەکاندا.

Printed books use blackboard bold, capitals with a double stroke: $\mathbb{N}\ \mathbb{Z}\ \mathbb{Q}\ \mathbb{R}\ \mathbb{C}$. The style began as a way to write bold letters on a blackboard; the standard ISO 80000-2 accepts it as well as ordinary bold R. You may also meet handouts that simply write the plain capitals N, Z, Q, R and C. All of them mean the same sets, but a plain R can clash with a set that a problem calls R, so draw the double stroke when you write by hand.

کتێبە چاپکراوەکان پیتی دووهێڵی (blackboard bold) بەکار دەهێنن، پیتی گەورە بە هێڵێکی دووانەوە: $\mathbb{N}\ \mathbb{Z}\ \mathbb{Q}\ \mathbb{R}\ \mathbb{C}$. ئەم شێوازە وەک ڕێگایەک بۆ نووسینی پیتی تۆخ لەسەر تەختەڕەش دەستی پێکرد؛ ستانداردی ⁦ISO 80000-2⁩ هەم ئەم شێوازە و هەم پیتی تۆخی ئاسایی R وەردەگرێت. لەوانەیە مەلزەمەش ببینیت کە بە سادەیی پیتە گەورە ئاساییەکان دەنووسێت: N Z Q R C. هەموویان هەمان کۆمەڵەکان دەگەیەنن، بەڵام Rـی سادە لەوانەیە لەگەڵ کۆمەڵەیەک تێکەڵ بێت کە پرسیارێک ناوی ناوە R، بۆیە کاتێک بە دەست دەنووسیت هێڵە دووانەکە بکێشە.

Small marks change the set: $\mathbb{Z}^{+}$ and $\mathbb{Z}^{-}$ are the positive and the negative integers, $\mathbb{R}^{+}$ the positive reals and $\mathbb{R} \setminus \{0\}$, “R without zero”, every real number except 0. Books differ on whether 0 belongs to $\mathbb{R}^{+}$, so look for a definition such as $\mathbb{R}^{+} = (0, +\infty)$. Some handouts call the irrational numbers “Ir”; books write $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ or $\mathbb{I}$ (Irrational numbers).

نیشانەی بچووک کۆمەڵەکە دەگۆڕن: $\mathbb{Z}^{+}$ واتە ژمارەی تەواوی موجەب و $\mathbb{Z}^{-}$ واتە ژمارەی تەواوی سالب؛ $\mathbb{R}^{+}$ واتە ژمارەی ڕاستیی موجەب و $\mathbb{R} \setminus \{0\}$، «R بەبێ سفر»، واتە هەموو ژمارە ڕاستییەکان جگە لە 0. کتێبەکان جیاوازن لەوەی ئایا 0 لە $\mathbb{R}^{+}$ـدایە یان نا، بۆیە بەدوای پێناسەیەکی وەک $\mathbb{R}^{+} = (0, +\infty)$ـدا بگەڕێ. هەندێک مەلزەمە بە ژمارە ناڕێژەییەکان دەڵێن «Ir»؛ کتێبەکان $\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}$ یان $\mathbb{I}$ دەنووسن (ژمارە ناڕێژەییەکان).

Books disagree, and each is right inside its own pages. The international standard ISO 80000-2, and most of computer science, start at 0: $\mathbb{N} = \{0, 1, 2, \dots\}$. Many school and university books, the NIST Digital Library of Mathematical Functions (DLMF) and CêIT’s calculus course start at 1: $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}$. To leave no doubt, books add a mark: $\mathbb{N}_0$ for “with 0”; $\mathbb{N}^{*}$, $\mathbb{N}_1$ or $\mathbb{Z}^{+}$ for “from 1”. The numbers 0, 1, 2, … are also called the whole numbers.

کتێبەکان لەسەر ئەمە ڕێک نین و هەریەکەیان لە ناو پەڕەکانی خۆیدا ڕاستە. ستانداردی نێودەوڵەتیی ⁦ISO 80000-2⁩ و زۆربەی زانستی کۆمپیوتەر لە 0ـەوە دەست پێ دەکەن: $\mathbb{N} = \{0, 1, 2, \dots\}$. زۆر کتێبی قوتابخانە و زانکۆ، DLMF (NIST Digital Library of Mathematical Functions) و کۆرسی کالکولەسی CêIT لە 1ـەوە دەست پێ دەکەن: $\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\}$. بۆ ئەوەی هیچ گومانێک نەمێنێت، کتێبەکان نیشانەیەک زیاد دەکەن: $\mathbb{N}_0$ بۆ «لەگەڵ 0»؛ $\mathbb{N}^{*}$، $\mathbb{N}_1$ یان $\mathbb{Z}^{+}$ بۆ «لە 1ـەوە». بە ژمارەکانی $0, 1, 2, \dots$ دەوترێت ژمارە تەواوە نانەرێنییەکانیش (Whole number).

So before you use $\mathbb{N}$ in an answer, check the book’s first chapter or its list of symbols (Natural numbers). Code leaves no doubt: Python’s range(5) gives 0, 1, 2, 3, 4, and positions in a list start at 0.

کەواتە پێش ئەوەی $\mathbb{N}$ لە وەڵامێکدا بەکار بهێنیت، سەیری بەشی یەکەمی کتێبەکە یان لیستی هێماکانی بکە (ژمارە سروشتییەکان). کۆد هیچ گومانێک ناهێڵێت: range(5)ـی Python ژمارەکانی 0، 1، 2، 3، 4 دەدات و شوێنەکانی ناو لیستێک (List) لە 0ـەوە دەست پێ دەکەن.

Python’s sets follow the maths closely, with keyboard signs instead of maths symbols. Braces hold the elements, in tests membership, and |, &, - and ^ combine sets:

کۆمەڵەکانی Python زۆر لە بیرکاری دەچن، بەڵام نیشانەی کیبۆرد (Keyboard) لە جیاتی هێماکانی بیرکاری بەکار دەهێنن. کەوانەی لوول ئەندامەکان هەڵدەگرێت، in ئەندامێتی دەپشکنێت و |، &، - و ^ کۆمەڵەکان پێکەوە دەبەستن:

More practice: Union, intersection and difference. Databases use the same ideas: SQL’s UNION, INTERSECT and EXCEPT and relational algebra’s $\cup$, $\cap$ and $-$ work on whole tables (Union, intersection and difference).

ڕاهێنانی زیاتر: یەکگرتن، یەکتربڕین و جیاوازیی کۆمەڵە. بنکەدراوەکانیش هەمان بیرۆکە بەکار دەهێنن: UNION، INTERSECT و EXCEPTـی SQL و $\cup$، $\cap$ و $-$ـی جەبری پەیوەندیدار (Relational algebra) لەسەر خشتەکان (Table) بە تەواوی کار دەکەن (یەکگرتن، یەکتربڕین و جیاوازیی کۆمەڵە).