Limits, Derivatives and Integrals: lim, dy/dx, ∂ and ∫ئامانجەکان، مشتەقەکان و تەواوکارییەکان: lim، ⁦dy/dx⁩، ∂ و ∫

$\lim_{x \to a} f(x) = L$ is read “the limit of f of x, as x approaches a, is L”; in Kurdish ئامانجی fـی x، کاتێک x لە a نزیک دەبێتەوە، یەکسانە بە L. “lim” is short for limit. Under it, $x \to a$ says where x is going: the arrow is read “approaches” or “tends to” (One arrow, four jobs). The limit is the value that $f(x)$ comes as close as you like to while x comes close to a. What happens exactly at a does not matter: $f(a)$ may be different, or not defined at all.

$\lim_{x \to a} f(x) = L$ دەخوێنرێتەوە «ئامانجی fـی x، کاتێک x لە a نزیک دەبێتەوە، یەکسانە بە L». «lim» کورتکراوەی limitـە. لە ژێریدا $x \to a$ دەڵێت x بەرەو کوێ دەچێت: تیرەکە «نزیک دەبێتەوە لە» دەخوێنرێتەوە (یەک تیر، چوار کار). ئامانج ئەو نرخەیە کە fـی x هەتا بتەوێت لێی نزیک دەبێتەوە کاتێک x لە a نزیک دەبێتەوە. ئەوەی ڕێک لە aـدا ڕوو دەدات گرنگ نییە: لەوانەیە $f(a)$ جیاواز بێت، یان هەر پێناسە نەکرابێت.

In the animation, $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ has no value at 2 (it would be $0/0$), yet from both sides $f(x)$ settles at 4: $\lim_{x \to 2} f(x) = 4$ (The classic trap).

لە ئەنیمەیشنەکەدا $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$ لە 2ـدا هیچ نرخێکی نییە (دەبووە $0/0$)، بەڵام لە هەردوو لاوە fـی x لە 4 دەگیرسێتەوە: $\lim_{x \to 2} f(x) = 4$ (تەڵە ناسراوەکە).

A small sign on a shows the side: $x \to a^{-}$, “x approaches a from the left” (from smaller values), and $x \to a^{+}$, “from the right”. The minus and the plus are not powers and do not make a negative number. When the two sides give different values, the limit does not exist, written DNE; Kurdish exam papers write بوونی نییە. A statement such as $\lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} = +\infty$ says that $\frac{1}{x}$ grows without end: there is no number limit, because $\infty$ is not a number (Infinity).

نیشانەیەکی بچووک لەسەر a لاکە پیشان دەدات: $x \to a^{-}$ واتە «x لە لای چەپەوە لە a نزیک دەبێتەوە» (لە نرخی بچووکترەوە). $x \to a^{+}$ واتە «لە لای ڕاستەوە». سالب و موجەبەکە توان (Exponent) نین و ژمارەکە سالب ناکەن. کاتێک دوو لاکە دوو نرخی جیاواز بدەن، ئامانجەکە بوونی نییە، کە بە DNE دەنووسرێت؛ پرسیارەکانی تاقیکردنەوەی کوردی دەنووسن «بوونی نییە». ڕستەیەکی وەک $\lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x} = +\infty$ دەڵێت $\frac{1}{x}$ بێ کۆتایی گەورە دەبێت: ئامانجی ژمارەیی نییە، چونکە $\infty$ ژمارە نییە (بێسنوور).

At the ends of the number line, $x \to \infty$ reads “as x grows without end”. Statistics books write $F(-\infty) = \lim_{x \to -\infty} F(x) = 0$ and $F(\infty) = 1$; $F(\infty)$ is only a short form of the limit (Properties of every CDF).

لە کۆتاییەکانی هێڵی ژمارەکاندا (Number line)، $x \to \infty$ دەخوێنرێتەوە «کاتێک x بێ کۆتایی گەورە دەبێت». کتێبەکانی ئامار دەنووسن $F(-\infty) = \lim_{x \to -\infty} F(x) = 0$ و $F(\infty) = 1$؛ $F(\infty)$ تەنیا کورتکراوەی ئامانجەکەیە (تایبەتمەندییەکانی هەموو نەخشەی دابەشبوونی کەڵەکەبوو).

The capital Greek delta Δ means “change in”: $\Delta x = x_2 - x_1$, read “delta x”; in Kurdish دێلتا x or گۆڕانی x. The slope of a line is $\frac{\Delta y}{\Delta x}$, “delta y over delta x”: how much y changes for each step in x (Slope and intercept). Now shrink the step, as in the animation: the slopes 4, 3, 2.5 and 2.1 come closer to 2. That last value is the derivative, $\frac{dy}{dx} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$: a d is a Δ that has become too small to see.

پیتی گەورەی یۆنانیی Δ (دێلتا) واتە «گۆڕانی»: $\Delta x = x_2 - x_1$، دەخوێنرێتەوە «دێلتا x» یان «گۆڕانی x». لاریی (Slope) هێڵێک $\frac{\Delta y}{\Delta x}$ـە، «دێلتا y لەسەر دێلتا x»: y چەند دەگۆڕێت بۆ هەر هەنگاوێکی x (لاری). ئێستا هەنگاوەکە بچووک بکەرەوە، وەک لە ئەنیمەیشنەکەدا: لارییەکانی 4، 3، ⁦2.5⁩ و ⁦2.1⁩ لە 2 نزیک دەبنەوە. ئەو دوایین نرخە مشتەقەکەیە، $\frac{dy}{dx} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x}$: بەم شێوەیە d هەمان Δـیە کاتێک ئەوەندە بچووک دەبێت کە نابینرێت.

Δ is simply the Greek D, the first letter of the Latin differentia, “difference”; it was not chosen for its triangle shape (Why one letter?). So it marks a change in many subjects: $\Delta E$ is a change of value in simulated annealing, $\Delta V = I \times R$ a drop in voltage in drone batteries, and some matrix books call the determinant $\Delta = ad - bc$ (Vectors and matrices).

Δ بە سادەیی Dـی یۆنانییە، پیتی یەکەمی وشەی لاتینیی differentia، واتە «جیاوازی»؛ لەبەر شێوە سێگۆشەییەکەی هەڵنەبژێردراوە (بۆچی یەک پیت؟). بۆیە لە زۆر بابەتدا گۆڕان دیاری دەکات: $\Delta E$ لە simulated annealingـدا گۆڕانی نرخە، $\Delta V = I \times R$ لە پاترییەکانی درۆنـدا دابەزینی ڤۆڵتیەیە (Voltage)، هەروەها هەندێک کتێبی ماتریکس (Matrix) ناوی دیتەرمینانت (Determinant) دەنێن $\Delta = ad - bc$ (ئاڕاستەبڕ و ماتریکسەکان).

The derivative of $y = f(x)$, how fast y changes as x changes, has several spellings that all mean the same: $f^{\prime}(x)$ “f prime of x” (Lagrange’s notation), $y^{\prime}$ “y prime”, $\frac{dy}{dx}$ “dee y by dee x” (Leibniz’s notation), $\frac{d}{dx}f(x)$ “d by d x of f of x”, and $\dot{y}$ “y dot” (Newton’s notation, used in physics when the variable is time). In Kurdish, CêIT reads them مشتەقی y بە پێی x, or letter by letter f پرایمی x; you may also hear بە نیسبەت x for “with respect to x”.

مشتەقی $y = f(x)$، واتە y چەند خێرا دەگۆڕێت کاتێک x دەگۆڕێت، چەند شێوەیەکی نووسینی هەیە کە هەموویان هەمان واتایان هەیە: $f^{\prime}(x)$ «f پرایمی x» (نووسینی Lagrange)، $y^{\prime}$ «y پرایم»، $\frac{dy}{dx}$ «dy لەسەر dx» (نووسینی Leibniz)، $\frac{d}{dx}f(x)$ «مشتەقی fـی x بە پێی x» و $\dot{y}$ «y خاڵ» (نووسینی Newton، لە فیزیادا بەکار دێت کاتێک گۆڕاوەکە (Variable) کاتە). بە کوردی CêIT دەیانخوێنێتەوە «مشتەقی y بە پێی x»، یان پیت بە پیت «f پرایمی x»؛ لەوانەیە «بە نیسبەت x»ـیش ببیستیت لە جیاتی «بە پێی x».

Take the derivative again and add another prime: $f^{\prime\prime}(x)$, “f double prime of x”, is the second derivative, and $f^{\prime\prime\prime}(x)$, “f triple prime”, the third. From the fourth on, books write the number in brackets, $f^{(4)}(x)$, “the fourth derivative of f”: the brackets show that it is not a power, since $f^{4}$ could mean f to the fourth. In Leibniz’s notation the second derivative is $\frac{d^2y}{dx^2}$, read “d two y by d x squared” (you may also hear “d squared y by d x squared”): the 2s count derivatives, and nothing is squared. Newton writes $\ddot{y}$, “y double dot”.

مشتەق دووپاتە وەربگرە و پرایمێکی تر زیاد بکە: $f^{\prime\prime}(x)$، «f دوو پرایمی x»، مشتەقی دووەمە و $f^{\prime\prime\prime}(x)$، «f سێ پرایم»، سێیەمە. لە چوارەمەوە کتێبەکان ژمارەکە لە ناو کەوانەدا دەنووسن، $f^{(4)}(x)$، «مشتەقی چوارەمی f»: کەوانەکان پیشان دەدەن کە توان نییە، چونکە $f^{4}$ لەوانەیە واتای «f توانی چوار» بدات. بە نووسینی Leibniz مشتەقی دووەم $\frac{d^2y}{dx^2}$ـە، دەخوێنرێتەوە «d دوو y لەسەر dx دووجا» (لەوانەیە «d دووجا y لەسەر dx دووجا»ـیش ببیستیت): 2ـەکان مشتەقەکان دەژمێرن و هیچ شتێک دووجا نەکراوە. Newton $\ddot{y}$ دەنووسێت، «y دوو خاڵ».

When a function has several inputs, such as the height $f(x, y)$ of a hill at the point (x, y), each input gets its own derivative. The curly $\partial$ marks a partial derivative: $\frac{\partial f}{\partial x}$, read “partial f by partial x” or “del f by del x”, is how fast f changes when only x moves and y stays fixed; it is also written $f_x$. In Kurdish: مشتەقی بەشەکیی f بە پێی x. Put all the partial derivatives together and you get the gradient $\nabla f$, read “nabla f”, “del f” or “grad f”: an arrow that points the steepest way uphill. Machine-learning books step against it to make an error smaller.

کاتێک نەخشەیەک چەند نێوخستەیەکی (Input) هەبێت، وەک بەرزیی گردێک $f(x, y)$ لە خاڵی ⁦(x, y)⁩ـدا، هەر نێوخستەیەک مشتەقی تایبەتی خۆی هەیە. $\partial$ـی چەماوە نیشانەی مشتەقی بەشەکییە (Partial derivative): $\frac{\partial f}{\partial x}$، دەخوێنرێتەوە «مشتەقی بەشەکیی f بە پێی x»، ئەوەیە کە f چەند خێرا دەگۆڕێت کاتێک تەنیا x دەجووڵێت و y جێگیر دەمێنێت؛ بە $f_x$ـیش دەنووسرێت. هەموو مشتەقە بەشەکییەکان پێکەوە دابنێ و گرادیەنت (Gradient (vector)) $\nabla f$ دەبینیت، دەخوێنرێتەوە «نابلا f»: تیرێک کە ئاڕاستەی لێژترین ڕێگای سەرەوە پیشان دەدات. کتێبەکانی فێربوونی ئامێر (Machine learning) بە پێچەوانەکەیدا هەنگاو دەنێن تا هەڵەیەک کەم بکەنەوە.

A function of one variable needs only d: the density is $f(x) = \frac{dF}{dx} = F^{\prime}(x)$. Some statistics handouts write $\frac{\partial F(x)}{\partial x}$ for it; read it as $\frac{dF}{dx}$ (The CDF of a continuous variable).

نەخشەیەک بە یەک گۆڕاو تەنیا پێویستی بە dـیە: نەخشەی چڕیی ئەگەر $f(x) = \frac{dF}{dx} = F^{\prime}(x)$ـە. هەندێک مەلزەمەی ئامار بۆ ئەمە $\frac{\partial F(x)}{\partial x}$ دەنووسن؛ وەک $\frac{dF}{dx}$ بیخوێنەوە (نەخشەی دابەشبوونی کەڵەکەبووی گۆڕاوی بەردەوام).

Five similar signs mean different things. d, an ordinary letter, upright in careful printing: a tiny change, in $dx$ and $\frac{dy}{dx}$. ∂, the curly d, “partial”: a partial derivative. δ, small Greek delta: a small change or error in some books, and the δ of the ε–δ definition of a limit. Δ, capital delta: a change, $\Delta x$. ∇, nabla, an upside-down Δ: the gradient. And △ is a triangle, as in $\triangle ABC$ (Look-alikes).

پێنج نیشانەی لێکچوو واتای جیاوازیان هەیە. d، پیتێکی ئاسایی کە لە چاپی ورددا ستوونی دەنووسرێت، نەک لار: گۆڕانێکی زۆر بچووک، لە $dx$ و $\frac{dy}{dx}$ـدا. ∂، dـی چەماوە، «بەشەکی»: مشتەقی بەشەکی. δ، دێلتای بچووکی یۆنانی: لە هەندێک کتێبدا گۆڕان یان هەڵەیەکی بچووک، هەروەها δـی پێناسەی ⁦ε–δ⁩ـی ئامانج. Δ، دێلتای گەورە: گۆڕان، $\Delta x$. ∇، نابلا، Δـیەکی سەرەوخوار: گرادیەنت. △ـیش سێگۆشەیە، وەک لە $\triangle ABC$ـدا (لێکچووەکان).

In LaTeX: d, \partial, \delta, \Delta, \nabla, \triangle. Each is a different Unicode character, so choose the right one when you type (Same look, different characters).

لە LaTeXـدا: d، \partial، \delta، \Delta، \nabla، \triangle. هەریەکەیان پیتێکی جیاوازی Unicodeـە، بۆیە کاتێک دەنووسیت دروستەکەی هەڵبژێرە (هەمان شێوە، نووسەکانی جیاواز).

The integral sign $\int$ is a tall S, for “sum”. Read the whole expression from the left: $\int_a^b f(x)\,dx$, “the integral from a to b of f of x, dx”; in Kurdish تەواوکاریی fـی x لە aـەوە تا b، بە پێی x. At the bottom of the sign stands the lower limit a, at the top the upper limit b; then comes the function being integrated, the integrand, and last $dx$, which names the variable that moves. With limits it is a definite integral, a number; without limits, $\int f(x)\,dx = F(x) + C$ is an indefinite integral, a family of functions with the constant of integration C (Areas from antiderivatives).

هێمای تەواوکاری $\int$ Sـێکی درێژە، بۆ «کۆ». هەموو دەربڕینەکە لە چەپەوە بخوێنەوە: $\int_a^b f(x)\,dx$، «تەواوکاریی fـی x لە aـەوە تا b، بە پێی x». لە خوارەوەی هێماکە سنووری خوارەوە a دێت و لە سەرەوەی سنووری سەرەوە b؛ پاشان ئەو نەخشەیەی تەواوکاریی بۆ دەکرێت (integrand) و لە کۆتاییدا $dx$، کە ناوی ئەو گۆڕاوە دەڵێت کە دەگۆڕێت. بە سنوورەکانەوە تەواوکاریی سنووردارە (Definite integral)، ژمارەیەک؛ بەبێ سنوور، $\int f(x)\,dx = F(x) + C$ تەواوکاریی بێسنوورە (Indefinite integral)، خێزانێک لە نەخشەکان لەگەڵ نەگۆڕی تەواوکاری (Constant of integration) C (ڕووبەر لە ڕێگەی پێچەوانەی مشتەق).

The letter after d is only a name: $\int_0^1 x^2\,dx = \int_0^1 t^2\,dt$, just like the index of Σ (The index is only a counter). That is why statistics writes $F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(u)\,du$: the u keeps the inside apart from the upper limit x. And $P(a < X < b) = \int_a^b f(x)\,dx$ is the area under the density between a and b.

پیتەکەی دوای d تەنیا ناوێکە: $\int_0^1 x^2\,dx = \int_0^1 t^2\,dt$، ڕێک وەک ئیندێکسی (Index) Σ (ئیندێکس تەنیا بۆ ژماردنە). بۆیە ئامار دەنووسێت $F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(u)\,du$: uـەکە ناوەوە لە سنووری سەرەوەی x جیا دەکاتەوە. هەروەها $P(a < X < b) = \int_a^b f(x)\,dx$ ڕووبەری ژێر نەخشەی چڕیی ئەگەرە لە نێوان a و bـدا.

The notation tells its own story. Cut the area under f between a and b into n thin rectangles of width $\Delta x$; their total area is a sum, $\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x$. Make the rectangles thinner and thinner: the sum comes closer to the exact area, and the notation changes with it. Σ becomes the tall S ∫, $\Delta x$ becomes $dx$, and the separate $x_i$ become every x between a and b (Σ: the parts of a sum, Why an integral is an area).

نووسینەکە چیرۆکی خۆی دەگێڕێتەوە. ڕووبەری ژێر f لە نێوان a و bـدا بکە بە n لاکێشەی باریک بە پانیی $\Delta x$؛ کۆی ڕووبەرەکانیان کۆیەکە، $\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x$. لاکێشەکان باریکتر و باریکتر بکە: کۆکە لە ڕووبەرە وردەکە نزیکتر دەبێتەوە و نووسینەکەش لەگەڵیدا دەگۆڕێت. Σ دەبێتە Sـە درێژەکەی ∫، $\Delta x$ دەبێتە $dx$ و $x_i$ـە جیاکان دەبنە هەموو xـێک لە نێوان a و bـدا (Σ: بەشەکانی کۆ، بۆچی تەواوکاری ڕووبەرە).

When the answer is found, books write the evaluation bracket $\big[F(x)\big]_a^b$, or a bar, $F(x)\Big|_a^b$, read “F of x, evaluated from a to b”. Both mean $F(b) - F(a)$: top minus bottom. An example from a probability lesson: $\int_1^2 \frac{x^2}{9}\,dx = \left[\frac{x^3}{27}\right]_1^2 = \frac{8}{27} - \frac{1}{27} = \frac{7}{27}$.

کاتێک وەڵامەکە دۆزرایەوە، کتێبەکان کەوانەی نرخاندن $\big[F(x)\big]_a^b$ یان هێڵێک دەنووسن، $F(x)\Big|_a^b$، کە دەخوێنرێتەوە «Fـی x، لە aـەوە تا b». هەردووکیان واتە $F(b) - F(a)$: سەرەوە کەم خوارەوە. نموونەیەک لە وانەیەکی ئەگەر (Probability): $\int_1^2 \frac{x^2}{9}\,dx = \left[\frac{x^3}{27}\right]_1^2 = \frac{8}{27} - \frac{1}{27} = \frac{7}{27}$.

Some signs you only need to recognise: $\iint$ and $\iiint$, double and triple integrals over an area or a volume, and $\oint$, an integral around a closed path. And in statistics $\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1$, “the integral of f from minus infinity to infinity is 1”: the whole area under a density is 1.

هەندێک هێما تەنیا پێویستە بیانناسیتەوە: $\iint$ و $\iiint$، تەواوکارییەکانی دووانە و سیانە لەسەر ڕووبەرێک یان قەبارەیەک، هەروەها $\oint$، تەواوکارییەک بە دەوری ڕێگایەکی داخراودا. لە ئاماردا $\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1$، «تەواوکاریی f لە بێسنووری (Infinity) سالبەوە تا بێسنوور یەکسانە بە 1»: هەموو ڕووبەری ژێر نەخشەی چڕیی ئەگەرێک 1ـە.