Chapterبەش 2 · Lectureوانە 2.3

Powers, Roots, Absolute Value, Factorial, Floor and Ceilingتوانەکان، ڕەگەکان، نرخی ڕووت، فاکتۆریێل، نەخشەی گەورەترین ژمارەی تەواو و نەخشەی بچووکترین ژمارەی تەواو

How to read and say $a^n$ (squared, cubed, to the n), negative and fraction exponents, $\sqrt{\ }$ , $\sqrt[3]{\ }$ and $\sqrt[n]{\ }$ , the absolute value $|x|$ and the other jobs of vertical bars, $n!$ with $0! = 1$ , and floor $\lfloor x \rfloor$ and ceiling $\lceil x \rceil$ , with links to the lessons that teach the maths behind each symbol.

چۆن $a^n$ بخوێنیتەوە (دووجا، سێجا، بە توانی n)، سالب و کەرتی، $\sqrt{\ }$ ، $\sqrt[3]{\ }$ و $\sqrt[n]{\ }$ ، $|x|$ و کارەکانی تری هێڵی ستوونی، $n!$ لەگەڵ $0! = 1$ ، $\lfloor x \rfloor$ و $\lceil x \rceil$ ، لەگەڵ بەستەر بۆ ئەو وانانەی بیرکاریی پشت هەر فێر دەکەن.

12 min read13 خولەک خوێندنەوە · 12 stepsهەنگاو

What you will learnچی فێر دەبیت

Name the base and the exponent of a power and say $x^2$ , $x^3$ and $x^n$ in English and Kurdish.
Read zero, negative and fraction exponents: $2^0 = 1$ , $2^{-3} = \frac{1}{8}$ , $9^{1/2} = 3$ .
Read root signs and know that $\sqrt{x}$ is never negative.
Read $|x|$ and tell it from the other bars: $|A|$ , $|S|$ , $P(A \mid B)$ , $\|v\|$ .
Read and compute $n!$ , $\lfloor x \rfloor$ and $\lceil x \rceil$ , also for negative x.

و بناسیت و $x^2$ ، $x^3$ و $x^n$ بە ئینگلیزی و کوردی بخوێنیتەوە.
سفر، سالب و کەرتی بخوێنیتەوە: $2^0 = 1$ ، $2^{-3} = \frac{1}{8}$ ، $9^{1/2} = 3$ .
ڕەگ بخوێنیتەوە و بزانیت $\sqrt{x}$ هەرگیز سالب نییە.
$|x|$ بخوێنیتەوە و لە هێڵەکانی تر جیای بکەیتەوە: $|A|$ ، $|S|$ ، $P(A \mid B)$ ، $\|v\|$ .
$n!$ ، $\lfloor x \rfloor$ و $\lceil x \rceil$ بخوێنیتەوە و هەژماریان بکەیت، بۆ xـی سالبیش.

Powers: base and exponentتوانەکان: بنچینە و توان

In $a^n$ the big $a$ is the base and the small raised $n$ is the exponent, or power. The exponent says how many times the base is multiplied by itself: $2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32$ . Say $a^n$ as “a to the n” or “a to the power n”.

لە $a^n$ ـدا $a$ ـی گەورە و $n$ ـی بچووکی بەرز . دەڵێت چەند جار لە خۆی دەدرێت: $2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32$ . $a^n$ بخوێنەوە «a بە توانی n» یان «a توانی n».

Animation. First 3² is labelled: 3 is the base, 2 the exponent, said “three squared”, 3 × 3. Then a square of tiles is built row by row until it holds 9 tiles with sides of 3. Then a cube is built layer by layer until it holds 27 blocks with edges of 3: 3³, “three cubed”. The last frame lists x² “x squared”, x³ “x cubed” and xⁿ “x to the n”. — Squared: a square of tiles. Cubed: a cube of blocks.دووجا: چوارگۆشەیەک لە کاشی. سێجا: شەشپاڵوویەک لە شەشپاڵووی بچووک.CêIT

Symbol	Say itخوێندنەوە
$x^2$	“x squared”«x دووجا» (x squared)
$x^3$	“x cubed”«x سێجا» (x cubed)
$x^4$	“x to the fourth (power)”«x بە توانی 4» (x to the fourth)
$x^n$	“x to the n”, “x to the power n”«x بە توانی n» (x to the n)

A square with sides of 3 holds $3^2 = 9$ tiles and a cube with edges of 3 holds $3^3 = 27$ blocks: that is why we say “squared” and “cubed”. You may also hear x توانی دوو for $x^2$ . Typed on one line it is x^2 (calculators, Excel, LaTeX) or x**2 (Powers with **), and Java writes Math.pow(x, 2) (Math.pow); plain text may use superscript digits, as in O(n²) or 2¹⁶ = 65,536 (Superscripts).

چوارگۆشەیەک بە لای 3 $3^2 = 9$ کاشی دەگرێت و شەشپاڵوویەک بە لێواری 3 $3^3 = 27$ شەشپاڵووی بچووک: بۆیە دەڵێین «دووجا» و «سێجا». لەوانەیە بۆ $x^2$ «x توانی دوو»ـش ببیستیت. لە یەک دێڕدا دەنووسرێت x^2 (، Excel، LaTeX) یان x**2 (توان بە **) و Java دەنووسێت Math.pow(x, 2) (⁦Math.pow⁩)؛ دەقی ئاسایی دەشێت بەکار بهێنێت، وەک ⁦O(n²)⁩ یان ⁦2¹⁶ = 65,536⁩ (ژوورنووسەکان).

Zero, negative and fraction exponentsتوانی سفر، سالب و کەرتی

Exponents do not have to be positive whole numbers. Follow the pattern in the picture: each step down divides by 2. It shows why $2^0 = 1$ and why a negative exponent makes a fraction.

پێویست ناکات تەنیا 1، 2، 3 و هتد بن. شوێن ئەو ڕێچکەیە بکەوە کە وێنەکە پیشانی دەدات: هەر هەنگاوێک بۆ خوارەوە بەسەر 2دا دابەش دەکات. پیشان دەدات بۆچی $2^0 = 1$ و بۆچی سالب دروست دەکات.

Exponent down by 1, value divided by 2: so

2^0 = 1

and

2^{-1} = \tfrac{1}{2}

. 1 کەم دەبێتەوە و نرخ دابەشی 2 دەبێت: بۆیە

2^0 = 1

و

2^{-1} = \tfrac{1}{2}

.CêIT

$a^0 = 1$ for every $a \ne 0$ : “a to the zero is one”.
$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ : $2^{-3} = \frac{1}{8}$ , “two to the minus three”. So $a^{-1} = \frac{1}{a}$ , the reciprocal of a.
$a^{1/n} = \sqrt[n]{a}$ : $9^{1/2} = \sqrt{9} = 3$ , “nine to the one half”, and $8^{2/3} = (\sqrt[3]{8})^2 = 4$ .

$a^0 = 1$ بۆ هەموو $a \ne 0$ : «a بە توانی سفر یەکسانە بە یەک».
$a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ : $2^{-3} = \frac{1}{8}$ ، «2 بە توانی $-3$ ». کەواتە $a^{-1} = \frac{1}{a}$ ، a.
$a^{1/n} = \sqrt[n]{a}$ : $9^{1/2} = \sqrt{9} = 3$ ، «9 بە توانی یەک لەسەر دوو» و $8^{2/3} = (\sqrt[3]{8})^2 = 4$ .

Careful: on a function, a raised $-1$ is not a power. $f^{-1}$ is the inverse function, not $\frac{1}{f}$ (Function notation). The rules for computing with powers are taught in the lesson on exponential functions.

ئاگادار بە: لەسەر ، $-1$ ـی بەرز نییە. $f^{-1}$ ، نەک $\frac{1}{f}$ (نووسینی نەخشەیی). یاساکانی هەژمارکردن بە لە وانەی نەخشە توانییەکان فێر دەکرێن.

Roots: $\sqrt{x}$ , $\sqrt[3]{x}$ and $\sqrt[n]{x}$ ڕەگەکان: $\sqrt{x}$ ، $\sqrt[3]{x}$ و $\sqrt[n]{x}$

The root sign $\sqrt{\ }$ undoes a power. $\sqrt{9} = 3$ because $3^2 = 9$ : say “the square root of nine”. A small number in the hook says which root: $\sqrt[3]{8} = 2$ , “the cube root of eight”, because $2^3 = 8$ , and $\sqrt[n]{a}$ is “the n-th root of a”. With no small number, it is the square root.

ڕەگ $\sqrt{\ }$ کاری هەڵدەوەشێنێتەوە. $\sqrt{9} = 3$ ، چونکە $3^2 = 9$ : بڵێ « 9». ژمارە بچووکەکەی ناو قولابەکە دەڵێت کام ڕەگ: $\sqrt[3]{8} = 2$ ، « 8»، چونکە $2^3 = 8$ . $\sqrt[n]{a}$ واتە «ڕەگی nـەمی a». ئەگەر ژمارەی بچووک نەبوو، .

The small number says which root; the bar covers the whole radicand.ژمارە بچووکەکە دەڵێت کام ڕەگ؛ هێڵەکە هەموو ژێری دادەپۆشێت.CêIT

Two facts to remember. $\sqrt{x}$ always means the non-negative root: $\sqrt{9} = 3$ , never $-3$ . When an equation has two answers, books write $\pm$ : $x^2 = 9$ gives $x = \pm\sqrt{9} = \pm 3$ . And the bar of the sign is a hidden bracket (Hidden brackets). Code writes sqrt(9). More in Square roots and cube roots.

دوو ڕاستی لەبیر بێت. $\sqrt{x}$ هەمیشە واتای ڕەگە نا-سالبەکە دەدات: $\sqrt{9} = 3$ ، هەرگیز $-3$ . کاتێک دوو وەڵامی هەبێت، کتێبەکان $\pm$ دەنووسن: $x^2 = 9$ دەدات $x = \pm\sqrt{9} = \pm 3$ . هەروەها هێڵی سەر کەوانەیەکی شاراوەیە (کەوانەی شاراوە). کۆد دەنووسێت sqrt(9). زیاتر لە ڕەگی دووجا و ڕەگی سێجا.

Absolute value: $|x|$ نرخی ڕووت: $|x|$

Two vertical bars around a number give its absolute value: its distance from 0 on the number line, so the sign is dropped. $|-7| = 7$ , $|7| = 7$ , $|0| = 0$ . Say $|x|$ as “the absolute value of x”; British books also call it “the modulus of x”.

دوو هێڵی ستوونی لە دەوری ژمارەیەک دەدەن: دوورییەکەی لە 0 لەسەر ، بۆیە نیشانەکەی ( $+$ یان $-$ ) لادەبرێت. $|-7| = 7$ ، $|7| = 7$ ، $|0| = 0$ . $|x|$ بخوێنەوە « x»؛ کتێبە بەریتانییەکان پێی دەڵێن the modulus of x.

|x|

is a distance:

-4

and 4 are both 4 steps from 0.

|x|

دوورییە:

-4

و 4 هەردووکیان 4 هەنگاو لە 0ـەوە دوورن.CêIT

|x| = \begin{cases} x, & \text{if } x \ge 0 \\ -x, & \text{if } x < 0 \end{cases}

In statistics, $|X_i - \bar{X}|$ is the distance of a value from the mean, the heart of the mean deviation. Code writes abs(x).

لە ، $|X_i - \bar{X}|$ دووریی نرخێکە لە ، کرۆکی لادانی نێوانەیی. کۆد دەنووسێت abs(x).

Absolute value: $|x|$ نرخی ڕووت: $|x|$

$|x| = 3$ means $x = \pm 3$ $|x| = 3$ واتە $x = \pm 3$

Because $|x|$ is a distance, a statement about it describes points on both sides of 0. Read the double arrow $\iff$ “if and only if”: the two sides mean exactly the same (Logic symbols):

چونکە $|x|$ دوورییە، هەر ڕستەیەک لەبارەی خاڵەکانی هەردوو لای 0 دەدوێت. تیرە دووسەرەکەی $\iff$ بخوێنەوە «ئەگەر و تەنیا ئەگەر»: هەردوو لا ڕێک هەمان واتایان هەیە (هێماکانی لۆجیک):

$|x| = r \iff x = \pm r$ : x is exactly r away from 0. For $r = 3$ : $x = 3$ or $x = -3$ .
$|x| < r \iff -r < x < r$ : x is closer than r to 0; for $r = 3$ , between $-3$ and 3.
$|x| > r \iff x < -r$ or $x > r$ : x is farther than r from 0, outside on both sides.

$|x| = r \iff x = \pm r$ : x ڕێک r لە 0ـەوە دوورە. بۆ $r = 3$ : $x = 3$ یان $x = -3$ .
$|x| < r \iff -r < x < r$ : x لە r نزیکترە لە 0؛ بۆ $r = 3$ ، لە نێوان $-3$ و 3ـدایە.
$|x| > r \iff x < -r$ یان $x > r$ : x لە r دوورترە لە 0، لە دەرەوە لە هەردوو لا.

Equal: two points. Less: the middle. Greater: the two outsides.یەکسان: دوو خاڵ. بچووکتر: ناوەڕاست. گەورەتر: هەردوو دەرەوە.CêIT

Solving such equations and inequalities step by step is taught in The theorem: three cases.

چۆنیەتی شیکارکردنیان هەنگاو بە هەنگاو لە تیۆرەمەکە: سێ حاڵەت فێر دەکرێت.

Vertical bars with other jobsهێڵی ستوونی بە کاری تر

Vertical bars are not always absolute value. Look at what stands between them:

هێڵی ستوونی هەمیشە نییە. سەیری ئەوە بکە کە لە نێوانیاندایە:

Symbol	Say itخوێندنەوە	Meaningواتا
$\|-7\| = 7$	“the absolute value of minus seven”بڵێ « $-7$ »	distance from 0, never negative (Absolute value)دووری لە 0، هەرگیز سالب نییە (نرخی ڕووت)
$\|A\|$ , $\det A$	“the determinant of A”بڵێ « A»	a number from a square matrix; it can be negative: $\|[-2]\| = -2$ (A $1 \times 1$ matrix, Determinant bars)ژمارەیەک لە چوارگۆشە؛ دەشێت سالب بێت: $\|[-2]\| = -2$ (ماتریکسێکی $1 \times 1$ ، هێڵەکانی دیتەرمینانت)
$\|S\|$ , $n(S)$	“the number of elements of S”بڵێ « S»	for $S = \{a, b, c\}$ , $\|S\| = 3$ (Set notation)بۆ $S = \{a, b, c\}$ ، $\|S\| = 3$ (هێماکانی کۆمەڵە)
$P(A \mid B)$	“the probability of A given B”« A بە مەرجی B»	one bar that means “given” (Statistics symbols)یەک هێڵ بە واتای «بە مەرجی» (هێماکانی ئامار)
$\\|v\\|$	“the length of v”, “the norm of v”بڵێ « v»	double bars: the length of a vector (Vectors and matrices)دوو هێڵی جووت: درێژیی (ئاڕاستەبڕەکان و ماتریکسەکان)

Same bars, five different jobs: read what is inside.هەمان هێڵ، پێنج کاری جیاواز: سەیری ناوەوە بکە.CêIT

Factorial: $n!$ فاکتۆریێل: $n!$

An exclamation mark after a whole number is the factorial: multiply all the whole numbers from n down to 1. $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ . Say it “five factorial”; in Kurdish فاکتۆریێلی 5 or 5 فاکتۆریێل. It is not an excited “five!”.

نیشانەی سەرسوڕمان لە دوای موجەب : هەموو لە nـەوە تا 1 لێک بدە. $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ . بیخوێنەوە « 5» یان «5 ». «پێنج!»ـێکی بە هاوار نییە.

n!

counts the orders of n things.

n!

ژمارەی ڕیزبەندییەکانی n شت دەژمێرێت.CêIT

By definition $0! = 1$ : an empty product is 1, and there is exactly one way to arrange nothing (Why zero factorial is 1). Factorials grow fast: $10! = 3\,628\,800$ , and $70!$ is already bigger than $10^{100}$ . You meet $n!$ in counting (Arranging everything), in recursion (A classic recursive function), in determinants, and as math.factorial(5) in Python or factorial(5) in MATLAB (MATLAB functions).

بە پێناسە $0! = 1$ : بەتاڵ 1ـە و ڕێک یەک ڕێگا هەیە بۆ ڕیزکردنی هیچ (بۆچی فاکتۆریێلی سفر 1ـە). خێرا گەورە دەبن: $10! = 3\,628\,800$ و $70!$ لە $10^{100}$ گەورەترە. $n!$ لە ژماردندا (ڕیزکردنی هەموو شتەکان)، لە (فاکتۆریێل بە خۆبانگکردنەوە)، لە و وەک math.factorial(5) لە Python یان factorial(5) لە MATLAB (فاکتۆریێل لە MATLAB) دەبینیت.

Floor $\lfloor x \rfloor$ and ceiling $\lceil x \rceil$ نەخشەی گەورەترین ژمارەی تەواو $\lfloor x \rfloor$ و نەخشەی بچووکترین ژمارەی تەواو $\lceil x \rceil$

The floor $\lfloor x \rfloor$ is the greatest whole number that is not above x: go down, to the left on the number line. The ceiling $\lceil x \rceil$ goes up, to the right. A whole number stays where it is. Say “the floor of x” and “the ceiling of x”. The animation slides x along a number line.

$\lfloor x \rfloor$ گەورەترین کە لە x گەورەتر نەبێت: بڕۆ بۆ خوارەوە، بۆ لای چەپی . $\lceil x \rceil$ دەچێتە سەرەوە، بۆ لای ڕاست. لە جێی خۆی دەمێنێتەوە. بە ئینگلیزی دەڵێن the floor of x و the ceiling of x؛ لەوانەیە «فلۆری x» و «سیلینگی x»ـش ببیستیت. وێنە جووڵاوەکە x بەسەر دەجووڵێنێت.

Animation of a number line from −3 to 4. A point x moves to 2.3, 2.8, 3, 0.5, −0.6 and −2.5. Each time a blue arrow goes left to the floor and an orange arrow goes right to the ceiling: ⌊2.3⌋ = 2 and ⌈2.3⌉ = 3; ⌊2.8⌋ = 2 and ⌈2.8⌉ = 3; at 3 both are 3; ⌊0.5⌋ = 0 and ⌈0.5⌉ = 1; ⌊−0.6⌋ = −1 and ⌈−0.6⌉ = 0; ⌊−2.5⌋ = −3 and ⌈−2.5⌉ = −2. — Floor: jump left to a whole number. Ceiling: jump right.: باز بۆ چەپ بۆ . : باز بۆ ڕاست.CêIT

xنرخی x	$\lfloor x \rfloor$ $\lfloor x \rfloor$	$\lceil x \rceil$ $\lceil x \rceil$
$2.3$	$2$	$3$
$5$	$5$	$5$
$-0.6$	$-1$	$0$
$-2.5$	$-3$	$-2$

Mind the shapes: the floor has its little bars at the bottom, the ceiling at the top, like the floor and the ceiling of a room. Older books write the floor as $[x]$ (Gauss, 1808) or $[\![x]\!]$ ; the shapes $\lfloor\ \rfloor$ and $\lceil\ \rceil$ come from Kenneth Iverson (1962). Graphs and more examples: The floor function.

سەیری شێوەکان بکە: هێڵە بچووکەکانی لە خوارەوەیە و لە سەرەوە، وەک زەوی و بنمیچی ژوورێک. کتێبە کۆنەکان بە $[x]$ (گاوس، ⁦1808⁩) یان $[\![x]\!]$ دەنووسن؛ شێوەکانی $\lfloor\ \rfloor$ و $\lceil\ \rceil$ لە کێنێس ئایڤەرسنەوە هاتوون ⁦(1962)⁩. و نموونەی زیاتر: نەخشەی گەورەترین ژمارەی تەواو.

Floor $\lfloor x \rfloor$ and ceiling $\lceil x \rceil$ نەخشەی گەورەترین ژمارەی تەواو $\lfloor x \rfloor$ و نەخشەی بچووکترین ژمارەی تەواو $\lceil x \rceil$

Floor, cutting off and roundingنەخشەی گەورەترین ژمارەی تەواو، بڕینەوە و نزیککردنەوە

The floor is not the same as cutting off the decimals (truncation). Cutting off always moves toward 0, the floor always moves down. For positive numbers they agree; for negative numbers they do not: $\lfloor -2.7 \rfloor = -3$ , but cutting off gives $-2$ . Rounding is different again: it goes to the nearest whole number.

وەک فڕێدانی ژمارەکانی دوای () نییە. هەمیشە بەرەو 0 دەچێت، هەمیشە بەرەو خوارەوە. بۆ یەک دەگرنەوە؛ بۆ نا: $\lfloor -2.7 \rfloor = -3$ ، بەڵام $-2$ دەدات. جیاوازە: بۆ نزیکترین دەچێت.

Floor: always left. Ceiling: always right. Cutting off: always toward 0.: هەمیشە بەرەو چەپ. : هەمیشە بەرەو ڕاست. : هەمیشە بەرەو 0.CêIT

For $x = -2.7$ بۆ $x = -2.7$	Python	Java	MATLAB	Resultئەنجام
floor $\lfloor x \rfloor$ $\lfloor x \rfloor$	`math.floor(x)`	`Math.floor(x)`	`floor(x)`	$-3$
ceiling $\lceil x \rceil$ $\lceil x \rceil$	`math.ceil(x)`	`Math.ceil(x)`	`ceil(x)`	$-2$
cut off	`int(x)`	`(int) x`	`fix(x)`	$-2$

Programs use the floor all the time: Python's // divides and then floors (-7 // 2 is $-4$ , while Java's -7 / 2 cuts off to $-3$ , Dividing negative numbers); binary search needs at most $\lfloor \log_2 n \rfloor + 1$ looks (How many steps?); 47 results at 10 per page need $\lceil 47/10 \rceil = 5$ pages (Floor and ceiling in programs). Rounding rules: Rounding, truncating, floor and ceiling.

هەمیشە بەکار دەهێنن: //ـی Python دابەش دەکات و پاشان بەرەو خوار دەیبات (-7 // 2 دەکاتە $-4$ ، بەڵام -7 / 2ـی Java دەیبڕێتەوە بۆ $-3$ ، دابەشکردنی ژمارە سالبەکان)؛ لانیزۆر پێویستی بە $\lfloor \log_2 n \rfloor + 1$ سەیرکردن هەیە (چەند هەنگاو؟)؛ ⁦47⁩ ئەنجام بە ⁦10⁩ لە هەر لاپەڕەیەک پێویستی بە $\lceil 47/10 \rceil = 5$ لاپەڕە هەیە (لە بەرنامەکاندا). یاساکانی : نزیککردنەوە و بڕینەوە.

Common mistakesهەڵە باوەکان

Mistakeهەڵە	Why it is wrongبۆچی هەڵەیە	Do thisئەمە بکە
Reading $x^2$ as $2x$ خوێندنەوەی $x^2$ وەک $2x$	$x^2 = x \times x$ $x^2 = x \times x$	For $x = 3$ : 9, not 6بۆ $x = 3$ : 9، نەک 6
$2^{-3} = -8$ $2^{-3} = -8$	A negative exponent makes a fraction, not a negative number سالب دروست دەکات، نەک	$2^{-3} = \frac{1}{8}$ $2^{-3} = \frac{1}{8}$
$\sqrt{9} = \pm 3$ $\sqrt{9} = \pm 3$	$\sqrt{\ }$ means the non-negative root $\sqrt{\ }$ واتە ڕەگە نا-سالبەکە	3; it is $x^2 = 9$ that has $\pm 3$ 3؛ ئەوە $x^2 = 9$ ـە کە $\pm 3$ ـی هەیە
$\|[-2]\| = 2$ for a matrix $\|[-2]\| = 2$ بۆ	Around a matrix the bars mean determinantلە دەوری هێڵەکان واتای دەدەن	$-2$ ; write $\det[-2]$ to be clear $-2$ ؛ بۆ ڕوونی بنووسە $\det[-2]$
$0! = 0$ $0! = 0$	$0!$ is 1 by definition $0!$ بە پێناسە 1ـە	$0! = 1$ $0! = 1$
Reading `!=` in code as a factorialخوێندنەوەی `!=` لە کۆددا وەک	In code `!` means NOT, and `!=` means “is not equal to”لە کۆددا `!` واتە NOT و `!=` واتە «یەکسان نییە بە»	Read `a != b` as “a is not equal to b”`a != b` بخوێنەوە «a یەکسان نییە بە b»
$\lfloor -2.5 \rfloor = -2$ $\lfloor -2.5 \rfloor = -2$	The floor goes down, to the left دەچێتە خوارەوە، بۆ چەپ	$-3$ $-3$
Mixing up $\lfloor\ \rfloor$ and $\lceil\ \rceil$ تێکەڵکردنی $\lfloor\ \rfloor$ و $\lceil\ \rceil$	Floor: bars at the bottom; ceiling: bars at the top: هێڵەکان لە خوارەوە؛ : لە سەرەوە	Floor goes down, ceiling goes up بۆ خوارەوە، بۆ سەرەوە

Practiceڕاهێنان

ExerciseڕاهێنانRead it and work it outبیخوێنەوە و ئەنجامی بدە

Read each one aloud in English and Kurdish, then find its value: (a) $2^{-2}$ (b) $27^{1/3}$ (c) $|-7|$ (d) $4!$ (e) $\lfloor -2.5 \rfloor$ .

هەر یەکەیان بە ئینگلیزی و کوردی بە دەنگی بەرز بخوێنەوە، پاشان نرخەکەی بدۆزەرەوە: ⁦(a)⁩ $2^{-2}$ ⁦(b)⁩ $27^{1/3}$ ⁦(c)⁩ $|-7|$ ⁦(d)⁩ $4!$ ⁦(e)⁩ $\lfloor -2.5 \rfloor$ .

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

\begin{aligned} \text{(a)}\ & 2^{-2} = \tfrac{1}{4} \\ \text{(b)}\ & 27^{1/3} = \sqrt[3]{27} = 3 \\ \text{(c)}\ & |-7| = 7 \\ \text{(d)}\ & 4! = 24 \\ \text{(e)}\ & \lfloor -2.5 \rfloor = -3 \end{aligned}

ExerciseڕاهێنانWhich bars?کام هێڵ؟

Say what the bars mean in each line: (a) $|x - 3| < 1$ (b) $\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = -2$ (c) $|\{2, 4, 6\}| = 3$ (d) $P(R \mid C)$ , where R is “rain” and C is “clouds”.

بڵێ هێڵەکان لە هەر دێڕێکدا واتای چییە: ⁦(a)⁩ $|x - 3| < 1$ ⁦(b)⁩ $\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = -2$ ⁦(c)⁩ $|\{2, 4, 6\}| = 3$ ⁦(d)⁩ $P(R \mid C)$ ، R واتە «باران» و C واتە «هەور».

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

(a) Absolute value: x is less than 1 away from 3.
(b) Determinant: $1 \cdot 4 - 2 \cdot 3 = -2$ , which may be negative.
(c) The number of elements: the set has 3 members.
(d) “Given”: the probability of rain when we already know there are clouds.

⁦(a)⁩ : x کەمتر لە 1 لە 3ـەوە دوورە.
⁦(b)⁩ : $1 \cdot 4 - 2 \cdot 3 = -2$ ، کە دەشێت سالب بێت.
⁦(c)⁩ : 3 هەیە.
⁦(d)⁩ «بە مەرجی»: باران کاتێک دەزانین هەور هەیە.

ExerciseڕاهێنانFix the mistakesهەڵەکان ڕاست بکەرەوە

Each line has a mistake. Write it correctly: (a) $\sqrt{25} = \pm 5$ (b) $3^{-2} = -9$ (c) $-4^2 = 16$ (d) $\lceil 2.1 \rceil = 2$ .

هەر دێڕێک هەڵەیەکی تێدایە. بە دروستی بینووسەوە: ⁦(a)⁩ $\sqrt{25} = \pm 5$ ⁦(b)⁩ $3^{-2} = -9$ ⁦(c)⁩ $-4^2 = 16$ ⁦(d)⁩ $\lceil 2.1 \rceil = 2$ .

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

\text{(a) } \sqrt{25} = 5 \qquad \text{(b) } 3^{-2} = \tfrac{1}{9} \qquad \text{(c) } -4^2 = -16 \qquad \text{(d) } \lceil 2.1 \rceil = 3

Summaryپوختە

$a^n$ : base a, exponent n; “a to the n”, «a بە توانی n»; $x^2$ “x squared”, $x^3$ “x cubed”.
$a^0 = 1$ , $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ , $a^{1/n} = \sqrt[n]{a}$ ; on a function, $f^{-1}$ is the inverse.
$\sqrt{x}$ is never negative; the small number in $\sqrt[n]{x}$ says which root.
$|x|$ is the distance from 0; $|x| = r$ means $x = \pm r$ .
Bars can also mean a determinant $|A|$ , a number of elements $|S|$ , “given” $P(A \mid B)$ or a length $\|v\|$ .
$n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 1$ , “n factorial”, and $0! = 1$ .
$\lfloor x \rfloor$ goes down, $\lceil x \rceil$ goes up; cutting off goes toward 0.
All these symbols, with their readings, are in the Symbol dictionary: Powers, roots and bars.

$a^n$ : a، n؛ «a بە توانی n»؛ $x^2$ «x دووجا»، $x^3$ «x سێجا».
$a^0 = 1$ ، $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ ، $a^{1/n} = \sqrt[n]{a}$ ؛ لەسەر ، $f^{-1}$ .
$\sqrt{x}$ هەرگیز سالب نییە؛ ژمارە بچووکەکەی $\sqrt[n]{x}$ دەڵێت کام ڕەگ.
$|x|$ دوورییە لە 0؛ $|x| = r$ واتە $x = \pm r$ .
هێڵەکان دەشێت واتای $|A|$ ، $|S|$ ، «بە مەرجی» $P(A \mid B)$ یان درێژی $\|v\|$ بدەن.
$n! = n \times (n-1) \times \cdots \times 1$ ، « n» و $0! = 1$ .
$\lfloor x \rfloor$ بۆ خوارەوە، $\lceil x \rceil$ بۆ سەرەوە؛ بەرەو 0.
هەموو ئەم نیشانانە، لەگەڵ خوێندنەوەکانیان، لە فەرهەنگی هەن: توانەکان، ڕەگ و هێڵی ستوونی.

The symbols of this lesson and how to say them. ئەم وانەیە و چۆنیەتیی خوێندنەوەیان.CêIT

Review questionsپرسیارەکانی پێداچوونەوە

How do you say

x^3

and

\sqrt[3]{x}

?

x^3

و

\sqrt[3]{x}

چۆن دەخوێنیتەوە؟

“x cubed” and “the cube root of x”; in Kurdish x سێجا and ڕەگی سێجای x.

«x سێجا» (x cubed) و « x» (the cube root of x).

Can

|A|

be negative?ئایا

|A|

دەشێت سالب بێت؟

Not when A is a number: then $|A|$ is its absolute value, 0 or more. When A is a matrix, $|A|$ is its determinant, which can be negative.

ئەگەر A ژمارە بێت، نا: ئەوکات $|A|$ ، سفر یان زیاتر. ئەگەر A بێت، $|A|$ ، کە دەشێت سالب بێت.

What are

\lfloor 7.9 \rfloor

and

\lceil 7.1 \rceil

?

\lfloor 7.9 \rfloor

و

\lceil 7.1 \rceil

چەندن؟

7 and 8: the floor goes down, the ceiling goes up.

7 و 8: بۆ خوارەوە، بۆ سەرەوە.

Lesson complete!وانەکە تەواو بوو!

Well done. Review the key terms, then go on to the next lesson.دەستخۆش. سەیرێکی زاراوە سەرەکییەکان بکەرەوە، پاشان بڕۆ بۆ وانەی داهاتوو.

Key termsزاراوە سەرەکییەکان

Next lessonوانەی داهاتوو

Equals, Not Equal, Approximately and Other Relationsیەکسان، یەکسان نییە، نزیکەی یەکسان و پەیوەندییەکانی تر

Related lecturesوانە پەیوەندیدارەکان

References and further readingسەرچاوەکان و خوێندنەوەی زیاتر

This lecture is a first edition. The Kurdish text and terminology are waiting for review by Kurdish IT teachers.ئەم وانەیە چاپی یەکەمە. دەقە کوردییەکە و زاراوەکانی چاوەڕێی پێداچوونەوەی مامۆستایانی کوردی بواری IT ن.

Powers, Roots, Absolute Value, Factorial, Floor and Ceilingتوانەکان، ڕەگەکان، نرخی ڕووت، فاکتۆریێل، نەخشەی گەورەترین ژمارەی تەواو و نەخشەی بچووکترین ژمارەی تەواو

What you will learnچی فێر دەبیت

Powers: base and exponentتوانەکان: بنچینە و توان

Zero, negative and fraction exponentsتوانی سفر، سالب و کەرتی

Roots: x\sqrt{x}x​, x3\sqrt[3]{x}3x​ and xn\sqrt[n]{x}nx​ڕەگەکان: x\sqrt{x}x​، x3\sqrt[3]{x}3x​ و xn\sqrt[n]{x}nx​

Absolute value: ∣x∣|x|∣x∣نرخی ڕووت: ∣x∣|x|∣x∣

∣x∣=3|x| = 3∣x∣=3 means x=±3x = \pm 3x=±3∣x∣=3|x| = 3∣x∣=3 واتە x=±3x = \pm 3x=±3

Vertical bars with other jobsهێڵی ستوونی بە کاری تر

Factorial: n!n!n!فاکتۆریێل: n!n!n!

Floor ⌊x⌋\lfloor x \rfloor⌊x⌋ and ceiling ⌈x⌉\lceil x \rceil⌈x⌉نەخشەی گەورەترین ژمارەی تەواو ⌊x⌋\lfloor x \rfloor⌊x⌋ و نەخشەی بچووکترین ژمارەی تەواو ⌈x⌉\lceil x \rceil⌈x⌉

Floor, cutting off and roundingنەخشەی گەورەترین ژمارەی تەواو، بڕینەوە و نزیککردنەوە

Common mistakesهەڵە باوەکان

Practiceڕاهێنان

Summaryپوختە

Lesson complete!وانەکە تەواو بوو!

Key termsزاراوە سەرەکییەکان

Related lecturesوانە پەیوەندیدارەکان

Roots: $\sqrt{x}$ , $\sqrt[3]{x}$ and $\sqrt[n]{x}$ ڕەگەکان: $\sqrt{x}$ ، $\sqrt[3]{x}$ و $\sqrt[n]{x}$

Absolute value: $|x|$ نرخی ڕووت: $|x|$

$|x| = 3$ means $x = \pm 3$ $|x| = 3$ واتە $x = \pm 3$

Factorial: $n!$ فاکتۆریێل: $n!$

Floor $\lfloor x \rfloor$ and ceiling $\lceil x \rceil$ نەخشەی گەورەترین ژمارەی تەواو $\lfloor x \rfloor$ و نەخشەی بچووکترین ژمارەی تەواو $\lceil x \rceil$