Equals, Not Equal, Approximately and Other Relationsیەکسان، یەکسان نییە، نزیکەی یەکسان و پەیوەندییەکانی تر

The sign $=$ is the most common sign in mathematics. It joins a left side and a right side and says that both have the same value: $2 + 3 = 5$. Read it “equals” or “is equal to”; in Kurdish یەکسانە بە. A formula with $=$ is a sentence, so it can be true or false: $2 + 3 = 5$ is true and $2 + 3 = 6$ is false (Phrase or sentence).

هێمای یەکسان ($=$) باوترین هێمای بیرکارییە. لای چەپ و لای ڕاست بەیەکەوە دەبەستێت و دەڵێت هەردووکیان هەمان نرخیان هەیە: $2 + 3 = 5$. بە کوردی دەخوێنرێتەوە «یەکسانە بە» و بە ئینگلیزی equals یان is equal to. فۆرمولەیەک (Formula) کە $=$ـی تێدا بێت ڕستەیە، بۆیە دەشێت ڕاست یان هەڵە بێت: $2 + 3 = 5$ ڕاستە و $2 + 3 = 6$ هەڵەیە (دەستەواژە یان ڕستە).

The sign is not very old. In 1557 the Welsh mathematician Robert Recorde, in his book The Whetstone of Witte, was tired of writing “is equal to” again and again. He drew two parallel lines of the same length instead, because, he explained, no two things are more equal than that. His lines were much longer than ours, but the idea has not changed.

ئەم هێمایە زۆر کۆن نییە. لە ساڵی ⁦1557⁩ـدا بیرکارزانی وێڵزی، ڕۆبێرت ڕیکۆرد، لە کتێبەکەیدا بە ناوی The Whetstone of Witte لە دووپاتە نووسینی «is equal to» ماندوو بوو. لە جیاتی ئەوە دوو هێڵی تەریب (Parallel) و هاودرێژی کێشا، چونکە بە ڕوونکردنەوەی خۆی، هیچ دوو شتێک لەوە یەکسانتر نین. هێڵەکانی ئەو زۆر لە هی ئێمە درێژتر بوون، بەڵام بیرۆکەکە نەگۆڕاوە.

One line may hold several equals signs. $a = b = c$ means $a = b$ and $b = c$, so all three are the same number. Books use such chains to show working: in $(3 + 4) \times 2 = 7 \times 2 = 14$ every part is 14, because the brackets are worked out first (Brackets: do this first).

دەشێت یەک دێڕ چەند هێمای یەکسانی تێدا بێت. $a = b = c$ واتە $a = b$ و $b = c$، کەواتە هەر سێکیان هەمان ژمارەن. کتێبەکان بەم زنجیرانە هەنگاوەکانی کار پیشان دەدەن: لە $(3 + 4) \times 2 = 7 \times 2 = 14$ـدا هەموو بەشێک دەکاتە ⁦14⁩، چونکە یەکەم جار ناو کەوانەکان حیساب دەکرێت (کەوانە: یەکەم جار ئەمە بکە).

A very common mistake is to use $=$ like the key of a calculator, as “and the answer is”: $3 + 4 = 7 \times 2 = 14$. Read it as a sentence and it claims $3 + 4 = 14$, which is false. Write a true chain, or put one step on each line.

هەڵەیەکی زۆر باو ئەوەیە کە $=$ وەک دوگمەی (Key) حاسیبەیەک (Calculator) بەکار بهێنرێت، بە واتای «و وەڵامەکە ئەمەیە»: $3 + 4 = 7 \times 2 = 14$. وەک ڕستە بیخوێنەرەوە، دەڵێت $3 + 4 = 14$، کە هەڵەیە. زنجیرەیەکی ڕاست بنووسە، یان هەر هەنگاوێک لە دێڕێکی جیادا بنووسە.

A stroke through a sign means “not”. $a \ne b$ reads “a is not equal to b”, in Kurdish a یەکسان نییە بە b. It appears in dozens of CêIT lessons, for example in $x \ne 2$, “every number except 2” (Answers in two pieces), and in “a matrix has an inverse only when $\det A \ne 0$” (Invertible or singular). The same stroke turns other signs round: $\not<$ “not less than”, $\notin$ “is not an element of”, $\not\equiv$ “not identical”.

هێڵێکی لار بە سەر هێمایەکدا واتای «نا» دەدات. $a \ne b$ دەخوێنرێتەوە «a یەکسان نییە بە b» (a is not equal to b). لە دەیان وانەی CêITـدا دەبینرێت، بۆ نموونە لە $x \ne 2$ـدا، واتە «هەموو ژمارەیەک جگە لە 2» (وەڵامی دوو پارچەیی)، هەروەها لە «ماتریکسێک (Matrix) تەنیا کاتێک پێچەوانەی هەیە کە $\det A \ne 0$ بێت» (پێچەوانەدار یان بێپێچەوانە). هەمان هێڵی لار هێماکانی تریش پێچەوانە دەکاتەوە: $\not<$ «بچووکتر نییە لە»، $\notin$ «ئەندامی (Element) … نییە»، $\not\equiv$ «هاوئەنجام نییە».

Learn the code forms where you use them: Python, MATLAB, SQL and PHP. Saying them in English is practised in Saying operators in words.

شێوەکانی کۆد لەو شوێنانە فێر ببە کە بەکاریان دەهێنیت: Python، MATLAB، SQL و PHP. وتنیان بە ئینگلیزی لە Saying operators in wordsـدا ڕاهێنانی لەسەر دەکرێت.

$\approx$ reads “is approximately equal to”, or simply “is about”; in Kurdish نزیکەی یەکسانە بە. The two sides are close, but not exactly the same. You write it after rounding: $\pi \approx 3.14$, $\frac{1}{3} \approx 0.333$, $\sqrt{2} \approx 1.414$. It is in dozens of CêIT lessons: sizes and speeds in IT ($10^{12}\ \text{B} \approx 931\ \text{GiB}$), results in statistics and rounded decimals in calculus.

$\approx$ دەخوێنرێتەوە «نزیکەی یەکسانە (Approximately equal) بە» (is approximately equal to). هەردوو لا نزیکی یەکن، بەڵام ڕێک وەک یەک نین. دوای نزیککردنەوە دەینووسیت: $\pi \approx 3.14$، $\frac{1}{3} \approx 0.333$، $\sqrt{2} \approx 1.414$. لە دەیان وانەی CêITـدا هەیە: قەبارە و خێرایی لە تەکنەلۆژیای زانیاریدا (Information technology) ($10^{12}\ \text{B} \approx 931\ \text{GiB}$)، ئەنجامەکانی ئامار (Statistics) و ژمارە دەییە نزیککراوەکان لە کالکولەسدا.

So $\pi = 3.14$ is false: keep $\approx$ once you have rounded. Some books print $\simeq$ for “about”, or a wavy $\sim$ for “roughly”, as in $\sim 10^{6}$ (about a million). How to round is taught in Why we round.

کەواتە $\pi = 3.14$ هەڵەیە: دوای نزیککردنەوە، $\approx$ بهێڵەرەوە. هەندێک کتێب بۆ «نزیکەی» $\simeq$ چاپ دەکەن، یان $\sim$ـی شەپۆلی بۆ «بە نزیکەیی»، وەک $\sim 10^{6}$ (نزیکەی ملیۆنێک). چۆنیەتیی نزیککردنەوە لە بۆچی نزیک دەکەینەوەـدا دەخوێنرێت.

Three bars make a stronger claim. Identity: $2(x + 3) \equiv 2x + 6$ is true for every x, while the equation $2x = 6$ is true only when $x = 3$ (Equation or identity?). Read $\equiv$ “is identical to”; one common way to say it in Kurdish is هاوئەنجامە لەگەڵ. Many books write identities with a plain $=$. In logic design, “NAND $\equiv$ negative-OR” says two gates do exactly the same job (Negative gates).

سێ هێڵ قسەیەکی بەهێزتر دەکەن. هاوئەنجام: $2(x + 3) \equiv 2x + 6$ بۆ هەموو xـێک ڕاستە، بەڵام هاوکێشەکە $2x = 6$ تەنیا کاتێک ڕاستە کە $x = 3$ بێت (هاوکێشە یان هاوئەنجام؟). $\equiv$ بە ئینگلیزی is identical to دەخوێنرێتەوە؛ شێوەیەکی باوی وتنی بە کوردی «هاوئەنجامە لەگەڵ»ـە. زۆر کتێب هاوئەنجامەکان بە $=$ـی ئاسایی دەنووسن. لە دیزاینی لۆجیکی دیجیتاڵدا (Digital logic)، «NAND $\equiv$ ⁦negative-OR⁩» دەڵێت دوو گەیتەکان (Logic gate) ڕێک هەمان کار دەکەن (گەیتی ⁦Negative-OR⁩ و گەیتی ⁦Negative-AND⁩).

Congruence: $17 \equiv 2 \pmod 5$ reads “17 is congruent to 2 modulo 5”: both leave the same remainder when divided by 5, because $17 = 3 \times 5 + 2$. This is the maths behind % in code (Notation in computing). Definition: $:=$ (also printed $\coloneqq$ or $\stackrel{\text{def}}{=}$) reads “is defined as”: the left side is a new name for the right side, as in $f(x) := x^2 + 1$. In Kurdish: بە پێناسە یەکسانە بە. Nothing is solved; a name is given. Some reference books, such as NIST's DLMF, use $\equiv$ for “is defined as” too, so check the book's list of symbols.

پاشماوەی یەکسان ⁦(mod)⁩: $17 \equiv 2 \pmod 5$ بە ئینگلیزی 17 is congruent to 2 modulo 5 دەخوێنرێتەوە: هەردووکیان لە دابەشکردن (Division) بەسەر 5ـدا هەمان پاشماوە دەدەن، چونکە $17 = 3 \times 5 + 2$. ئەمە بیرکاریی پشت %ـە لە کۆددا (هێماکان لە کۆمپیوتەردا). پێناسە: $:=$ (کە بە $\coloneqq$ یان $\stackrel{\text{def}}{=}$ـیش چاپ دەکرێت) دەخوێنرێتەوە «بە پێناسە یەکسانە بە»: لای چەپ ناوێکی نوێیە بۆ لای ڕاست، وەک $f(x) := x^2 + 1$. هیچ شتێک شیکار ناکرێت؛ تەنیا ناوێک دەدرێت. هەندێک کتێبی سەرچاوە، وەک DLMFـی NIST، $\equiv$ـیش بە واتای «بە پێناسە یەکسانە بە» بەکار دەهێنن، بۆیە سەیری لیستی هێماکانی کتێبەکە بکە.

In algebra, $=$ states that two sides are equal. In most programming languages (Python, Java, C, PHP, JavaScript, MATLAB) a single = does something else: it stores the value of the right side in the variable on the left. To ask whether two values are equal, code writes ==, which gives True or False. So $x = x + 1$ is impossible in algebra, but in code x = x + 1 simply adds 1 to x.

لە جەبردا (Algebra) $=$ دەڵێت دوو لا یەکسانن. لە زۆربەی زمانەکانی بەرنامەسازیدا (Python، Java، C، PHP، JavaScript، MATLAB) =ـی تاک کارێکی تر دەکات: نرخی لای ڕاست لە گۆڕاوی لای چەپدا هەڵدەگرێت. بۆ ئەوەی بپرسیت ئایا دوو نرخ یەکسانن، کۆد == دەنووسێت، کە True یان False دەدات. بۆیە $x = x + 1$ لە جەبردا مەحاڵە، بەڵام لە کۆددا x = x + 1 تەنیا 1 دەخاتە سەر x.

Pseudocode avoids the clash with an arrow: total ← 0 means “store 0 in total” (Pseudocode). Pascal stores with :=; in Python 3.8 and later the “walrus” := stores a value inside an expression. PHP and JavaScript add ===: same value and same type (PHP). In Excel, = starts a formula, and inside it = compares: =A1=B1 gives TRUE or FALSE. More: “=” in algebra and in programming, = or == in Java.

نیمچەکۆد بە تیرێک لەم تێکەڵبوونە خۆی دەپارێزێت: total ← 0 واتە «0 لە total هەڵبگرە» (نیمچەکۆد). Pascal بە := هەڵدەگرێت؛ لە ⁦Python 3.8⁩ـەوە := (walrus) نرخێک لە ناو دەربڕینێکدا (Expression) هەڵدەگرێت. PHP و JavaScript ===ـیش زیاد دەکەن: هەمان نرخ و هەمان جۆر (PHP). لە Excelـدا فۆرمولە بە = دەست پێدەکات و لە ناویدا = بەراورد دەکات: =A1=B1 TRUE یان FALSE دەدات. زیاتر: «=» لە جەبر و لە بەرنامەسازیدا، = یان == لە Javaـدا.

$y \propto x$ reads “y is proportional to x”, in Kurdish y هاوڕێژەیە لەگەڵ x: y is always the same number times x, $y = kx$. Double x and y doubles too. Bread at 250 dinars a loaf: n loaves cost $C = 250n$, so $C \propto n$. This is direct variation.

$y \propto x$ دەخوێنرێتەوە «y هاوڕێژەیە لەگەڵ x» (y is proportional to x): y هەمیشە هەمان ژمارەیە جاران x، واتە $y = kx$. x دوو هێندە بکە، yـیش دوو هێندە دەبێت. نان هەر دانەیەک بە ⁦250⁩ دینار: n دانە نان $C = 250n$ تێدەچێت، کەواتە $C \propto n$. ئەمە گۆڕانی ڕاستەوخۆـە.

$y \propto \frac{1}{x}$ reads “y is inversely proportional to x”: when x doubles, y halves, because $xy = k$ stays the same. This is inverse variation (you may also meet the name پەیوەندیی پێچەوانە). Sharing 60 000 dinars between n friends gives each $s = \frac{60\,000}{n}$. Do not copy $\propto$ as the Greek letter $\alpha$ (alpha): $\propto$ is wider and open on the right.

$y \propto \frac{1}{x}$ دەخوێنرێتەوە «y پێچەوانە هاوڕێژەیە لەگەڵ x»: کاتێک x دوو هێندە دەبێت، y نیوە دەبێت، چونکە $xy = k$ وەک خۆی دەمێنێتەوە. ئەمە گۆڕانی پێچەوانەـە (لەوانەیە ناوی «پەیوەندیی پێچەوانە»ـش ببینیت). دابەشکردنی ⁦60 000⁩ دینار بەسەر n هاوڕێدا بەشی هەریەکەیان دەکاتە $s = \frac{60\,000}{n}$. $\propto$ وەک پیتی یۆنانیی $\alpha$ (ئەلفا) مەنووسە: $\propto$ پانترە و لای ڕاستی کراوەیە.

The tilde $\sim$ is a busy sign. Look at the subject before you read it:

تیلدا $\sim$ هێمایەک زۆر بەکارهاتووە. پێش ئەوەی بیخوێنیتەوە سەیری بابەتەکە بکە:

Four more signs you will meet in science and engineering books and in worked answers:

چوار هێمایەکی تر کە لە کتێبی زانست و ئەندازیاری و لە وەڵامی کارکراودا دەیانبینیت:

$\ll$ and $\gg$ are the strict signs $<$ and $>$ doubled; the signs of order themselves are in Inequalities and intervals. Instead of $\therefore$, many solutions simply write “so” or an arrow $\Rightarrow$ (Small words around formulas, Signs between the steps).

$\ll$ و $\gg$ هێماکان $<$ و $>$ـن بە دووپاتەیی؛ خودی هێماکانی ڕیزبەندی لە لاسەنگەکان و ماوەکانـدان. زۆر وەڵام لە جیاتی $\therefore$ تەنیا «کەواتە» یان تیری $\Rightarrow$ دەنووسن (وشە بچووکەکانی دەوروبەری فۆرمولەکان، هێماکانی نێوان هەنگاوەکان).