Chapterبەش 2 · Lectureوانە 2.2

Intervals and the Number Lineماوەکان و هێڵی ژمارەکان

An interval is one unbroken piece of the number line. Open, closed and half-open intervals, intervals that run to infinity, unions of intervals, the $]a,b[$ notation, and how to move between an inequality, an interval and a picture.

پارچەیەکی نەپچڕاوی . ، ، ، ، ، نووسینی $]a,b[$ و گواستنەوە لە نێوان ، و وێنەدا.

10 min read11 خولەک خوێندنەوە · 12 stepsهەنگاو

What you will learnچی فێر دەبیت

Read, write and draw open, closed and half-open intervals.
Write intervals that run to $\infty$ and explain why $\infty$ always gets a round bracket.
Move between an inequality, an interval and a number-line picture.
Join two pieces with $\cup$ and read the $]a,b[$ notation.

، و بخوێنیتەوە، بنووسیت و بیانکێشیت.
بنووسیت و ڕوونی بکەیتەوە بۆچی $\infty$ هەمیشە کەوانەی خڕی دەبێت.
لە نێوان ، و وێنەی سەر بگوازیتەوە.
دوو پارچە بە $\cup$ ببەستیتەوە و نووسینی $]a,b[$ بخوێنیتەوە.

Why we need intervalsبۆچی ماوەکانمان پێویستە

Solve $x+2=5$ and you get one number: 3. Now solve $x+2>5$ . Every number bigger than 3 works: 3.1, 4, 10, 1000, even 3.0001. There are infinitely many, so we cannot list them. Instead we name the whole piece of the at once.

ئەگەر $x+2=5$ چارەسەر بکەیت، یەک ژمارە دەدۆزیتەوە: 3. ئێستا $x+2>5$ چارەسەر بکە. هەموو ژمارەیەکی گەورەتر لە 3 ڕاستە: ⁦3.1⁩، 4، ⁦10⁩، ⁦1000⁩، تەنانەت ⁦3.0001⁩. ژمارەکان کۆتاییان نییە، بۆیە ناتوانین یەک بە یەک بیاننووسین. لە جیاتی ئەوە ناوی هەموو ئەو پارچەیەی بە یەکجار دەنووسین.

Definitionپێناسە

All the real numbers between two end points, as one unbroken piece of the . A round bracket leaves the end point out; a square bracket keeps it in.

هەموو نێوان دوو خاڵی کۆتایی، وەک یەک پارچەی نەپچڕاو لەسەر . کەوانەی خڕ خاڵی کۆتایی لاوە دەنێت؛ کەوانەی چوارگۆشە دەیهێڵێتەوە.

An interval has no gaps. Between any two of its numbers, every real number in between is in it too. That is why we write the answers of most as intervals.

هیچ کونێکی تێدا نییە. لە نێوان هەر دوو ژمارەیەکیدا، هەموو نێوانیان تێدایە. بۆیە وەڵامی زۆربەی بە شێوەی دەنووسرێت.

A stretch of roadپارچەیەک لە ڕێگا

Think of the road from Erbil to Shaqlawa. “Somewhere on this road” means every point of it, not only the villages you can name. Whether the two cities themselves count is a separate question — that is exactly what the brackets of an interval answer.

بیر لە ڕێگای هەولێر بۆ شەقڵاوە بکەرەوە. «شوێنێک لەسەر ئەم ڕێگایە» واتە هەموو خاڵێکی ڕێگاکە، نەک تەنها ئەو گوندانەی ناویان دەزانیت. ئایا خودی دوو شارەکە دەژمێردرێن یان نا، پرسیارێکی ترە. کەوانەکانی وەڵامی ئەم پرسیارە دەدەنەوە.

Where the analogy stops workingسنووری ئەم نموونەیە

A road has two ends and a width, and you can only walk so far. An interval is a piece of a line with no width, it contains infinitely many numbers, and with $\infty$ it can go on for ever in one direction.

ڕێگا دوو سەر و پانییەکی هەیە و تەنها تا شوێنێک دەتوانیت بڕۆیت. پارچەیەکی هێڵێکە کە هیچ پانییەکی نییە، ژمارەی بێکۆتایی لەخۆ دەگرێت و بە $\infty$ دەتوانێت بەرەو لایەک بۆ هەمیشە درێژ ببێتەوە.

Open, closed and half-open intervalsماوەی کراوە، ماوەی داخراو و ماوەی نیوەکراوە

The lecture defines intervals for two real numbers $a$ and $b$ with $a<b$ . These two numbers are the ends of the interval. The only question is whether each end is included.

وانەکە بەم شێوەیە پێناسە دەکات: دوو وەردەگرین، $a$ و $b$ ، بە مەرجێک $a<b$ بێت. ئەم دوو ژمارەیە سنوورەکانی . تاکە پرسیار ئەوەیە: ئایا هەر سنوورێک تێیدایە یان نا.

\begin{aligned} (a,b) &= \{x \mid a<x<b\} \\ [a,b] &= \{x \mid a\le x\le b\} \\ [a,b) &= \{x \mid a\le x<b\} \\ (a,b] &= \{x \mid a<x\le b\} \end{aligned}

Which ends are included?کام سنوور تێدایە؟
Interval	Nameناو	Is a in it?a تێیدایە؟	Is b in it?b تێیدایە؟
$(a,b)$	open interval	noنەخێر	noنەخێر
$[a,b]$	closed interval	yesبەڵێ	yesبەڵێ
$[a,b)$	half-open interval	yesبەڵێ	noنەخێر
$(a,b]$	half-open interval	noنەخێر	yesبەڵێ

A filled dot means the end is in the interval; an open dot means it is not.خاڵی پڕکراو واتە سنوورەکە لە ؛ خاڵی پڕنەکراو واتە تێیدا نییە.CêIT

Semicolons and the condition a < bهێمای «;» و مەرجی ⁦a < b⁩

The slide once writes $[a;\,b)$ with semicolons. In countries that use a decimal comma (2,5 for two and a half), books separate the ends with a semicolon so that $[2;\,5)$ cannot be misread. It means exactly the same as $[a,b)$ . The slide also needs $a<b$ : with $a=b$ , $(a,a)$ would contain no number at all (the ) and $[a,a]$ would be the single number a.

سلایدەکە جارێک $[a;\,b)$ بە هێمای «;» دەنووسێت. لەو وڵاتانەی کۆما وەک بەکاردێنن (⁦2,5⁩ بۆ دوو و نیو)، کتێبەکان سنوورەکان بە «;» لێک جیا دەکەنەوە بۆ ئەوەی $[2;\,5)$ بە هەڵە نەخوێنرێتەوە. واتاکەی ڕێک وەک $[a,b)$ ـە. هەروەها سلایدەکە مەرجی $a<b$ دادەنێت: ئەگەر $a=b$ بێت، $(a,a)$ هیچ ژمارەیەکی تێدا نابێت () و $[a,a]$ تەنها ژمارەی a دەبێت.

Brackets and dots on the number lineکەوانە و خاڵ لەسەر هێڵی ژمارەکان

Three ways of writing say the same thing about an end. Learn them as one rule:

سێ شێوەی نووسین هەمان شت دەربارەی سنوورێک دەڵێن. وەک یەک یاسا فێریان بە:

One rule, three notationsیەک یاسا، سێ شێوەی نووسین
In interval notationلە نووسینی	On the number lineلەسەر	In the inequalityلە	Meaningواتا
$[\;\;]$	filled dot ●خاڵی پڕکراو ●	$\le\;\;\ge$	the end is includedسنوورەکە تێدایە
$(\;\;)$	open dot ○خاڵی پڕنەکراو ○	$<\;\;>$	the end is left outسنوورەکە تێدا نییە

Drawing an intervalکێشانی ماوەیەک

Mark the endsسنوورەکان دیاری بکە
Draw a number line and mark the two ends.
بکێشە و دوو سنوورەکە دیاری بکە.
Choose the dotsخاڵەکان هەڵبژێرە
Put a filled dot on an end that is included and an open dot on an end that is left out.
لەسەر سنوورێک کە تێدایە خاڵی پڕکراو دابنێ و لەسەر سنوورێک کە تێدا نییە خاڵی پڕنەکراو.
Shadeڕەنگی بکە
Shade the line between the dots. For $[-1,4)$ : a filled dot at $-1$ , an open dot at 4, shading between them.
هێڵەکە لە نێوان خاڵەکاندا ڕەنگ بکە. بۆ $[-1,4)$ : خاڵی پڕکراو لە $-1$ ، خاڵی پڕنەکراو لە 4 و نێوانیان ڕەنگکراو.

Intervals without an end: $\infty$ ماوە بێسنوورەکان: $\infty$

Many answers have no right end, or no left end. $x>2$ contains 3, 100, a million and so on, without stopping. We write the missing end with the symbol $\infty$ () on the right or $-\infty$ on the left.

زۆر وەڵام سنووری ڕاستیان نییە، یان سنووری چەپیان نییە. $x>2$ ژمارەکانی 3، ⁦100⁩، یەک ملیۆن و هتد لەخۆ دەگرێت و هەرگیز ناوەستێت. سنووری ونبوو بە هێمای $\infty$ () لە لای ڕاست یان $-\infty$ لە لای چەپ دەنووسین.

The five unbounded intervalsپێنج
Inequality	Interval	In wordsبە وشە
$x>a$	$(a,\infty)$	every number bigger than aهەموو ژمارەیەکی گەورەتر لە a
$x\ge a$	$[a,\infty)$	a and every number bigger than aa و هەموو ژمارەیەکی گەورەتر لە a
$x<b$	$(-\infty,b)$	every number smaller than bهەموو ژمارەیەکی بچووکتر لە b
$x\le b$	$(-\infty,b]$	b and every number smaller than bb و هەموو ژمارەیەکی بچووکتر لە b
any real xهەر	$(-\infty,\infty)=\mathbb{R}$	the whole number lineهەموو

Animation on a number line from 0 to 10. It starts with [2, 5] (two filled dots), then 5 becomes an open dot: [2, 5). Then 2 becomes open: (2, 5). The right end moves to 8, then the shading runs off to the right with an arrow: (2, ∞), x > 2. Finally the dot at 2 is filled: [2, ∞), x ≥ 2, while the ∞ side keeps its round bracket. — Watch the brackets change with the dots. The $\infty$ end is always round.سەیری گۆڕانی کەوانەکان لەگەڵ خاڵەکاندا بکە. لای $\infty$ هەمیشە خڕە.CêIT

One answer, three ways to write itیەک وەڵام، سێ شێوەی نووسین

Every interval can be written as an inequality, in interval notation and as a picture on the number line. You need to move between them in every direction. Here are all nine kinds side by side.

هەر دەتوانرێت وەک ، بە نووسینی و وەک وێنەیەک لەسەر بنووسرێت. پێویستە بتوانیت بە هەموو ئاڕاستەیەک لە نێوانیاندا بگوازیتەوە. ئەمە هەر نۆ جۆرەکەیە لە تەنیشت یەکتر.

All nine kinds of interval: four with two ends, five with

\infty

.هەر نۆ جۆری : چواریان دوو سنووریان هەیە و پێنجیان

\infty

ـیان تێدایە.CêIT

Three worked translationsسێ نموونەی گواستنەوە

Inequality → interval → pictureلاسەنگە ← ماوە ← وێنە
$x\ge -2$ : the end $-2$ is included ( $\ge$ ) and there is no right end. Interval: $[-2,\infty)$ . Picture: a filled dot at $-2$ and shading to the right.
$x\ge -2$ : سنووری $-2$ تێدایە ( $\ge$ ) و سنووری ڕاستی نییە. : $[-2,\infty)$ . وێنە: خاڵی پڕکراو لە $-2$ و ڕەنگکردن بەرەو ڕاست.
A double inequalityلاسەنگەیەکی ئاوێتە
$-1<x\le 3$ : $-1$ is left out, 3 is included. Interval: $(-1,3]$ .
$-1<x\le 3$ : $-1$ تێدا نییە و 3 تێدایە. : $(-1,3]$ .
Picture → inequality → intervalوێنە ← لاسەنگە ← ماوە
A picture with an open dot at 0 and shading to the left: every number smaller than 0. Inequality: $x<0$ . Interval: $(-\infty,0)$ .
وێنەیەک بە خاڵی پڕنەکراو لە 0 و ڕەنگکردن بەرەو چەپ: هەموو ژمارەیەکی بچووکتر لە 0. : $x<0$ . : $(-\infty,0)$ .

Answers in two pieces: the union $\cup$ وەڵامی دوو پارچەیی: یەکگرتن $\cup$

Some answers are two separate pieces. In Inequalities with fractions the answer of $\frac{1}{x-2}>\frac{2}{x+3}$ is: $x<-3$ or $2<x<7$ . We join the pieces with the union sign $\cup$ :

هەندێک وەڵام دوو پارچەی جیاوازن. لە لاسەنگە ڕێژەییەکان وەڵامی $\frac{1}{x-2}>\frac{2}{x+3}$ ئەمەیە: $x<-3$ یان $2<x<7$ . دوو پارچەکە بە هێمای $\cup$ بە یەکەوە دەبەستین:

(-\infty,-3)\cup(2,7)

$\cup$ means “or”: a number is in the union when it is in at least one of the pieces. $-5$ is in it (first piece), 4 is in it (second piece), 0 is not (in neither piece). This is the same union you meet for sets in Set operations.

$\cup$ واتە «یان»: ژمارەیەک لە هەیە ئەگەر لانیکەم لە یەکێک لە پارچەکاندا هەبێت. $-5$ تێیدایە (پارچەی یەکەم)، 4 تێیدایە (پارچەی دووەم)، 0 تێیدا نییە (لە هیچ کامیاندا نییە). ئەمە هەمان کە لە وانەی یەکگرتن و یەکتربڕین دەیبینیت.

Two pieces, one answer: the union of two intervals.دوو پارچە، یەک وەڵام: دوو .CêIT

A very common union: “every real number except 2”. That is $x\ne 2$ , written $(-\infty,2)\cup(2,\infty)$ . You will need it whenever 2 makes a denominator zero.

زۆر باو: «هەموو جگە لە 2». ئەمە $x\ne 2$ ـە و بەم شێوەیە دەنووسرێت: $(-\infty,2)\cup(2,\infty)$ . هەر کاتێک 2 بکاتە سفر پێویستت پێی دەبێت.

The $]a,b[$ notationنووسینی $]a,b[$

Some books and teachers show a left-out end with a bracket that turns away from the interval: $]a,b[$ means $(a,b)$ and $[a,b[$ means $[a,b)$ . The style was introduced by the French Bourbaki group of mathematicians and is common in France and other European countries; the ISO standard for mathematical signs lists both styles. You will also meet it in students' notes, for example $x\in\,]-\infty,-\tfrac12[\,\cup\,]\tfrac15,+\infty[$ .

هەندێک کتێب و مامۆستا سنوورێکی دەرەوە بە کەوانەیەک پیشان دەدەن کە ڕووی لە دەرەوەی : $]a,b[$ واتە $(a,b)$ و $[a,b[$ واتە $[a,b)$ . ئەم شێوازە گرووپی بیرکاریزانانی فەڕەنسیی Bourbaki دایانهێنا و لە فەڕەنسا و وڵاتانی تری ئەوروپا باوە؛ ستانداردی ISO بۆ هێماکانی بیرکاری هەردوو شێوازەکەی تێدایە. لە تێبینییەکانی خوێندکارانیشدا دەیبینیت، بۆ نموونە $x\in\,]-\infty,-\tfrac12[\,\cup\,]\tfrac15,+\infty[$ .

The same intervals in both notationsهەمان بە هەردوو شێوە
Round bracketsکەوانەی خڕ	Reversed bracketsکەوانەی پێچەوانە	Meaningواتا
$(a,b)$	$]a,b[$	$a<x<b$
$[a,b)$	$[a,b[$	$a\le x<b$
$(a,b]$	$]a,b]$	$a<x\le b$
$(a,\infty)$	$]a,+\infty[$	$x>a$
$(-\infty,b]$	$]-\infty,b]$	$x\le b$

Why does it exist? $(a,b)$ has a second meaning: the point with coordinates a and b, an . $]a,b[$ can never be confused with a point. This course uses round brackets, but read both.

بۆچی ئەم شێوازە هەیە؟ $(a,b)$ واتایەکی تریشی هەیە: ئەو خاڵەی a و bن، واتە . $]a,b[$ هەرگیز لەگەڵ خاڵێک تێکەڵ نابێت. ئەم کۆرسە کەوانەی خڕ بەکاردێنێت، بەڵام فێری خوێندنەوەی هەردووکیان بە.

Intervals in programmingماوەکان لە بەرنامەسازیدا

Intervals in codeماوەکان لە کۆددا

Programmers meet half-open intervals every day. In Python, range(a, b) gives the of $[a,b)$ : the start is included, the stop is left out. Half-open ranges fit together with no gap and no overlap — range(0, 5) and range(5, 10) together give 0 to 9 — and range(a, b) has exactly $b-a$ numbers. Python can also test a double inequality directly, as 2 <= x < 5 (see chained comparisons). Loops with range() are taught in The for loop and range().

بەرنامەسازان هەموو ڕۆژێک دەبینن. لە Pythonـدا range(a, b) $[a,b)$ دەدات: سەرەتاکە تێدایە و کۆتاییەکە تێدا نییە. بێ کون و بێ دووبارەبوونەوە بە یەکەوە دەلکێن — range(0, 5) و range(5, 10) پێکەوە 0 تا 9 دەدەن — و range(a, b) ڕێک $b-a$ ژمارەی تێدایە. Python دەتوانێت ڕاستەوخۆ تاقی بکاتەوە، وەک 2 <= x < 5 (بڕوانە بەراوردکردنی زنجیرەیی). range() لە وانەی خولی for و range() بە تەواوی فێر دەبیت.

PYTHONType in a terminalلە تێرمیناڵدا بینووسە

print(list(range(2, 6)))
x = 4.5
print(2 <= x < 5)

Common mistakesهەڵە باوەکان

Mistakeهەڵە	Fixڕاستکردنەوە
$[3,\infty]$ — a square bracket at $\infty$ . $[3,\infty]$ — کەوانەی چوارگۆشە لە لای $\infty$ .	$\infty$ is not a number: always $[3,\infty)$ . $\infty$ ژمارە نییە: هەمیشە $[3,\infty)$ .
$(5,2)$ — the larger number first. $(5,2)$ — ژمارە گەورەکە لە پێشەوە.	Smaller end on the left: $(2,5)$ .سنووری بچووکتر لە لای چەپ: $(2,5)$ .
A filled dot for $<$ or $>$ .خاڵی پڕکراو بۆ $<$ یان $>$ .	Strict signs get an open dot and a round bracket.هێمای بێ یەکسانی خاڵی پڕنەکراو و کەوانەی خڕی دەبێت.
Writing $\{(-\infty,-3),(2,7)\}$ .نووسینی $\{(-\infty,-3),(2,7)\}$ .	Join pieces with $\cup$ : $(-\infty,-3)\cup(2,7)$ .پارچەکان بە $\cup$ ببەستەوە: $(-\infty,-3)\cup(2,7)$ .
Thinking $(2,3)$ has no numbers, or only 2.5.وا بیرکردنەوە کە $(2,3)$ هیچ ژمارەیەکی تێدا نییە، یان تەنها ⁦2.5⁩.	It contains infinitely many numbers between 2 and 3.ژمارەی بێکۆتایی لە نێوان 2 و 3دا لەخۆ دەگرێت.
Reading the interval $(2,3)$ as the point $(2,3)$ .خوێندنەوەی $(2,3)$ وەک خاڵی $(2,3)$ .	Check the context: an answer of an inequality is an interval.سەیری دەوروبەرەکە بکە: وەڵامی .

Exercisesڕاهێنانەکان

ExerciseڕاهێنانInequality → intervalلاسەنگە ← ماوە

Write each set as an interval (or a union of intervals): (a) $-4\le x\le 1$ (b) $x>0$ (c) $3<x\le 9$ (d) $x\le -1$ (e) $x\ne 5$

هەر یەکێک وەک (یان چەند ) بنووسە: (أ) $-4\le x\le 1$ (ب) $x>0$ (ج) $3<x\le 9$ (د) $x\le -1$ (هـ) $x\ne 5$

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

$\text{(a) }[-4,1]$
$\text{(b) }(0,\infty)$
$\text{(c) }(3,9]$
$\text{(d) }(-\infty,-1]$
$\text{(e) }(-\infty,5)\cup(5,\infty)$ — every number except 5

$\text{(a) }[-4,1]$
$\text{(b) }(0,\infty)$
$\text{(c) }(3,9]$
$\text{(d) }(-\infty,-1]$
$\text{(e) }(-\infty,5)\cup(5,\infty)$ — هەموو ژمارەیەک جگە لە 5

ExerciseڕاهێنانInterval → inequalityماوە ← لاسەنگە

Write each interval as an inequality: (a) $[0,10)$ (b) $(-\infty,2]$ (c) $(-3,3)$ (d) $(-\infty,1]\cup[3,\infty)$

هەر وەک بنووسە: (أ) $[0,10)$ (ب) $(-\infty,2]$ (ج) $(-3,3)$ (د) $(-\infty,1]\cup[3,\infty)$

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

$\text{(a) }0\le x<10$
$\text{(b) }x\le 2$
$\text{(c) }-3<x<3$
$\text{(d) }x\le 1$ or $x\ge 3$

$\text{(a) }0\le x<10$
$\text{(b) }x\le 2$
$\text{(c) }-3<x<3$
$\text{(d) }x\le 1$ یان $x\ge 3$

ExerciseڕاهێنانWhole numbers in an intervalژمارە تەواوەکان لە ماوەیەکدا

Which are in $(-2,3]$ ?

کام لە $(-2,3]$ دان؟

Hintئاماژە

Round bracket at $-2$ , square bracket at 3.

کەوانەی خڕ لە $-2$ و کەوانەی چوارگۆشە لە 3.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

$-1, 0, 1, 2, 3$ . The open end $-2$ is left out; the closed end 3 is included.

$-1, 0, 1, 2, 3$ . سنووری کراوەی $-2$ تێدا نییە؛ سنووری داخراوی 3 تێدایە.

ExerciseڕاهێنانDescribe the pictureوێنەکە وەسف بکە

Describe how to draw $(-1,4]$ on a number line, and give two numbers that are in it and two that are not.

ڕوونی بکەرەوە $(-1,4]$ چۆن لەسەر دەکێشرێت و دوو ژمارە بنووسە کە تێیدان و دوو ژمارە کە تێیدا نین.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

Open dot at $-1$ , filled dot at 4, shading between. In it: for example 0 and 4. Not in it: for example $-1$ and 5.

خاڵی پڕنەکراو لە $-1$ ، خاڵی پڕکراو لە 4 و ڕەنگکردن لە نێوانیاندا. تێیدان: بۆ نموونە 0 و 4. تێیدا نین: بۆ نموونە $-1$ و 5.

ExerciseڕاهێنانReversed bracketsکەوانەی پێچەوانە

Rewrite with round brackets: (a) $[-3,12[$ (b) $]1,3[$ (c) $]-\infty,-\tfrac12[\,\cup\,]\tfrac15,+\infty[$

بە کەوانەی خڕ بینووسەرەوە: (أ) $[-3,12[$ (ب) $]1,3[$ (ج) $]-\infty,-\tfrac12[\,\cup\,]\tfrac15,+\infty[$

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

$\text{(a) }[-3,12)$
$\text{(b) }(1,3)$
$\text{(c) }(-\infty,-\tfrac12)\cup(\tfrac15,\infty)$

$\text{(a) }[-3,12)$
$\text{(b) }(1,3)$
$\text{(c) }(-\infty,-\tfrac12)\cup(\tfrac15,\infty)$

Summaryپوختە

An is one unbroken piece of the number line; it contains infinitely many numbers.
Square bracket = filled dot = $\le$ or $\ge$ = included. Round bracket = open dot = $<$ or $>$ = left out.
$(a,b)$ open, $[a,b]$ closed, $[a,b)$ and $(a,b]$ half-open.
$\infty$ and $-\infty$ are not numbers: they always get a round bracket.
Two pieces are joined with $\cup$ (“or”); write the smaller number first.
$]a,b[$ is another way to write $(a,b)$ .

پارچەیەکی نەپچڕاوی و ژمارەی بێکۆتایی لەخۆ دەگرێت.
کەوانەی چوارگۆشە = خاڵی پڕکراو = $\le$ یان $\ge$ = تێدایە. کەوانەی خڕ = خاڵی پڕنەکراو = $<$ یان $>$ = تێدا نییە.
$(a,b)$ کراوە، $[a,b]$ داخراو، $[a,b)$ و $(a,b]$ نیوەکراوە.
$\infty$ و $-\infty$ ژمارە نین: هەمیشە کەوانەی خڕیان دەبێت.
دوو پارچە بە $\cup$ («یان») دەبەسترێن؛ ژمارە بچووکەکە لە پێشەوە بنووسە.
$]a,b[$ شێوەیەکی ترە بۆ نووسینی $(a,b)$ .

Review questionsپرسیارەکانی پێداچوونەوە

What is the difference between

[1,4]

and

(1,4)

?جیاوازیی نێوان

[1,4]

و

(1,4)

چییە؟

$[1,4]$ contains 1 and 4; $(1,4)$ contains every number between them but not 1 and 4 themselves.

$[1,4]$ ژمارەکانی 1 و 4 لەخۆ دەگرێت؛ $(1,4)$ هەموو ژمارەکانی نێوانیان لەخۆ دەگرێت بەڵام خودی 1 و 4 نا.

Why is

[2,\infty]

wrong?بۆچی

[2,\infty]

هەڵەیە؟

$\infty$ is not a number, so it cannot be included. Write $[2,\infty)$ .

$\infty$ ژمارە نییە، بۆیە ناتوانێت تێدا بێت. $[2,\infty)$ بنووسە.

Videoڤیدیۆ

Watch a videoسەیری ڤیدیۆیەک بکە

A video that viewers liked a lot and praised in their comments, chosen for this lesson.ڤیدیۆیەک کە بینەران زۆریان پێ خۆش بووە و لە کۆمێنتەکانیاندا ستایشیان کردووە، بۆ ئەم وانەیە هەڵبژێردراوە.

Interval NotationThe Organic Chemistry Tutor · Englishئینگلیزی · 1.1M viewsبینین · 18K likesلایک
How to write the answer of an inequality on a number line and in interval notation, with round and square brackets, infinity and unions.
چۆن وەڵامی لەسەر نیشان دەدەیت و بە شێوەی دەینووسیت، بە کەوانەی خڕ و چوارگۆشە، و .
10:50; 2:29 x < 3, 3:47 x <= -1, 4:43 compound inequalities, 7:12 "x < -2 or x >= 5" written as a union.
ڤیدیۆکە ⁦10:50⁩ خولەکە؛ ⁦2:29⁩ $x < 3$ ، ⁦3:47⁩ $x \le -1$ ، ⁦4:43⁩ ، ⁦7:12⁩ « $x < -2$ یان $x \ge 5$ » کە وەک دەنووسرێت.

Lesson complete!وانەکە تەواو بوو!

Well done. Review the key terms, then go on to the next lesson.دەستخۆش. سەیرێکی زاراوە سەرەکییەکان بکەرەوە، پاشان بڕۆ بۆ وانەی داهاتوو.

Key termsزاراوە سەرەکییەکان

Next lessonوانەی داهاتوو

Solving Linear and Double Inequalitiesچارەسەرکردنی لاسەنگە هێڵییەکان و لاسەنگە ئاوێتەکان

Related lecturesوانە پەیوەندیدارەکان

References and further readingسەرچاوەکان و خوێندنەوەی زیاتر

This lecture is a first edition. The Kurdish text and terminology are waiting for review by Kurdish IT teachers.ئەم وانەیە چاپی یەکەمە. دەقە کوردییەکە و زاراوەکانی چاوەڕێی پێداچوونەوەی مامۆستایانی کوردی بواری IT ن.

Intervals and the Number Lineماوەکان و هێڵی ژمارەکان

What you will learnچی فێر دەبیت

Why we need intervalsبۆچی ماوەکانمان پێویستە

Open, closed and half-open intervalsماوەی کراوە، ماوەی داخراو و ماوەی نیوەکراوە

Brackets and dots on the number lineکەوانە و خاڵ لەسەر هێڵی ژمارەکان

Intervals without an end: ∞\infty∞ماوە بێسنوورەکان: ∞\infty∞

One answer, three ways to write itیەک وەڵام، سێ شێوەی نووسین

Answers in two pieces: the union ∪\cup∪وەڵامی دوو پارچەیی: یەکگرتن ∪\cup∪

The ]a,b[]a,b[]a,b[ notationنووسینی ]a,b[]a,b[]a,b[

Intervals in programmingماوەکان لە بەرنامەسازیدا

Common mistakesهەڵە باوەکان

Exercisesڕاهێنانەکان

Summaryپوختە

Watch a videoسەیری ڤیدیۆیەک بکە

Lesson complete!وانەکە تەواو بوو!

Key termsزاراوە سەرەکییەکان

Related lecturesوانە پەیوەندیدارەکان

Intervals without an end: $\infty$ ماوە بێسنوورەکان: $\infty$

Answers in two pieces: the union $\cup$ وەڵامی دوو پارچەیی: یەکگرتن $\cup$

The $]a,b[$ notationنووسینی $]a,b[$