Chapterبەش 4 · Lectureوانە 4.2

Trigonometric Identitiesهاوئەنجامە سێگۆشەییەکان

The eight basic identities of the notes and where they come from: Pythagoras on the unit circle, the sum and difference formulas, and the double-angle forms — with both worked examples of the notes, including the homework proof.

هەشت بنەڕەتییەکەی تێبینییەکان و ئەوەی لە کوێوە دێن: فیساغۆرس لەسەر ، یاساکانی کۆ و جیاوازی و شێوەکانی دوو هێندەی گۆشە — لەگەڵ هەردوو نموونە چارەسەرکراوەکەی تێبینییەکان، ئەرکی ماڵەوەش.

10 min read11 خولەک خوێندنەوە · 15 stepsهەنگاو

What you will learnچی فێر دەبیت

Tell an identity from an equation.
Derive identities 2, 3, 7 and 8 from identity 1 and the sum formulas.
Use the sum and difference formulas to find exact values such as $\sin75^\circ$ .
Prove simple identities step by step and explain where an absolute value comes from.

لە جیا بکەیتەوە.
2، 3، 7 و 8 لە 1 و یاساکانی کۆوە دەربهێنیت.
یاساکانی کۆ و جیاوازی بەکار بهێنیت بۆ دۆزینەوەی نرخی ورد، وەک $\sin75^\circ$ .
سادەکان هەنگاو بە هەنگاو بسەلمێنیت و ڕوونی بکەیتەوە لە کوێوە دێت.

Equation or identity?هاوکێشە یان هاوئەنجام؟

The equation $\sin\theta=\frac12$ is true only for some angles ( $\frac{\pi}{6}$ , $\frac{5\pi}{6}$ and the angles a full turn away from them). The equation $\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$ is different: it is true for every angle. An equation that is true for every value where both sides are defined is called an identity.

$\sin\theta=\frac12$ تەنها بۆ هەندێک گۆشە ڕاستە ( $\frac{\pi}{6}$ ، $\frac{5\pi}{6}$ و ئەو گۆشانەی سووڕانەوەیەکی تەواو لێیانەوە دوورن). $\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$ جیاوازە: بۆ هەموو گۆشەیەک ڕاستە. کە بۆ هەموو ئەو نرخانەی هەردوو لاکەی تێیدا پێناسە کراون ڕاست بێت، پێی دەوترێت .

Definitionپێناسە

An between trigonometric functions that holds for every angle where both sides are defined.

لە نێوان کە بۆ هەموو گۆشەیەک ڕاستە کە هەردوو لاکەی تێیدا پێناسە کرابن.

Everyday analogyنموونەیەک لە ژیانی ڕۆژانەوە

From the bazaar to the citadel there are two roads: a short steep one and a longer flat one. Both always end at the same place. An identity is like that: two expressions that look different but always give the same value, so you may take whichever road is easier for the job in front of you.

لە بازاڕەوە بۆ قەڵا دوو ڕێگا هەیە: یەکێکی کورت و هەوراز و یەکێکی درێژتر و تەخت. هەردووکیان هەمیشە دەگەنە هەمان شوێن. وایە: دوو کە جیاواز دەردەکەون بەڵام هەمیشە هەمان نرخ دەدەن، بۆیە دەتوانیت ئەو ڕێگایە بگریت کە بۆ کارەکەی بەردەستت ئاسانترە.

Where the analogy stops workingسنووری ئەم نموونەیە

Some roads close at certain points: an identity with $\tan$ or $\sec$ says nothing where $\cos\theta=0$ , because one side is undefined there.

هەندێک ڕێگا لە هەندێک شوێندا دادەخرێن: کە $\tan$ یان $\sec$ ـی تێدا بێت لەو شوێنانەی $\cos\theta=0$ ـە هیچ ناڵێت، چونکە لایەکی پێناسە نەکراوە.

Quick checkپشکنینی خێراWhich one is an identity?کامیان ؟

\cos^2\theta+\sin^2\theta=1

\cos^2\theta+\sin^2\theta=1

\sin\theta=\frac12

\sin\theta=\frac12

\tan\theta=1

\tan\theta=1

\cos\theta=0

\cos\theta=0

The eight basic identitiesهەشت هاوئەنجامە بنەڕەتییەکە

The notes list eight basic identities. You do not have to learn them as eight separate facts: they grow from two roots — the unit circle (identity 1) and the sum formulas (identities 4 and 5).

تێبینییەکان هەشت بنەڕەتی دەنووسن. پێویست ناکات وەک هەشت ڕاستیی جیاواز لەبەریان بکەیت: لە دوو ڕەگەوە دێن — ( ⁦1⁩) و یاساکانی کۆ ( 4 و ⁦5⁩).

The basic identities of the notes and their roots بنەڕەتییەکانی تێبینییەکان و ڕەگەکانیان
No.ژ.	Identity	Where it comes fromلە کوێوە دێت
1	$\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$	The unit circle: $x^2+y^2=1$ : $x^2+y^2=1$
2	$\sec^2\theta=1+\tan^2\theta$	Identity 1 divided by $\cos^2\theta$ 1 دابەشی $\cos^2\theta$ بکە
3	$\csc^2\theta=1+\cot^2\theta$	Identity 1 divided by $\sin^2\theta$ 1 دابەشی $\sin^2\theta$ بکە
4	$\cos(x\pm y)=\cos x\cos y\mp\sin x\sin y$	Sum and difference formulaیاسای کۆ و جیاوازی
5	$\sin(x\pm y)=\sin x\cos y\pm\cos x\sin y$	Sum and difference formulaیاسای کۆ و جیاوازی
6	$\tan(x\pm y)=\frac{\tan x\pm\tan y}{1\mp\tan x\tan y}$	Identity 5 divided by identity 4 5 دابەشی 4 بکە
7	$\cos^2\theta=\frac12(1+\cos2\theta)$	Identity 4 with $x=y=\theta$ , then identity 1 4 بە $x=y=\theta$ ، پاشان 1
8	$\sin^2\theta=\frac12(1-\cos2\theta)$	Identity 4 with $x=y=\theta$ , then identity 1 4 بە $x=y=\theta$ ، پاشان 1

You can test any of them yourself: put in an angle such as $\theta=\frac{\pi}{3}$ and compare the two sides. The next screens show where each one comes from.

دەتوانیت خۆت هەریەکەیان تاقی بکەیتەوە: گۆشەیەک وەک $\theta=\frac{\pi}{3}$ دابنێ و هەردوو لاکە بەراورد بکە. شاشەکانی داهاتوو پیشان دەدەن هەریەکەیان لە کوێوە دێت.

Quick checkپشکنینی خێراWhich identity is the root of identities 2 and 3?کام ڕەگی 2 و 3ـە؟

\cos^2\theta=\frac12(1+\cos2\theta)

\cos^2\theta=\frac12(1+\cos2\theta)

\sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y

\sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y

\cos^2\theta+\sin^2\theta=1

\cos^2\theta+\sin^2\theta=1

Identity 1: the Pythagorean identityهاوئەنجامی 1: هاوئەنجامی فیساغۆرس

Draw the right triangle under the point $P=(\cos\theta,\sin\theta)$ of the unit circle. Its legs are $\cos\theta$ and $\sin\theta$ and its hypotenuse is the radius, 1. Pythagoras' theorem gives identity 1 at once. (You met it in the trigonometric functions lesson.)

سێگۆشە گۆشەوەستاوەکەی ژێر خاڵی $P=(\cos\theta,\sin\theta)$ ـی بکێشە. دوو لاکەی $\cos\theta$ و $\sin\theta$ ـن و ژێکەی نیوەتیرەکەیە، واتە 1. فیساغۆرس یەکسەر 1 دەدات. (پێشتر لە وانەی نەخشە سێگۆشەییەکاندا ناسیوتە.)

Identity 1 is Pythagoras' theorem in the unit circle. 1 هەمان فیساغۆرسە لە ناو .CêIT

\cos^2\theta+\sin^2\theta=1

Quick checkپشکنینی خێراIf

\sin\theta=\frac{12}{13}

, what is

\cos^2\theta

?ئەگەر

\sin\theta=\frac{12}{13}

بێت،

\cos^2\theta

چەندە؟

\frac{144}{169}

\frac{144}{169}

\frac{25}{169}

\frac{25}{169}

\frac{5}{13}

\frac{5}{13}

\frac{1}{13}

\frac{1}{13}

Basic Trigonometric Identities: Pythagorean Identities and Cofunction IdentitiesProfessor Dave Explains · Englishئینگلیزی · 192K viewsبینین · 3.7K likesلایک · Partبەشی 1:13–3:06 (ofلە 5:25)
Why sin²θ + cos²θ = 1 follows from a right triangle, and how dividing it gives the identities with tan, sec, cot and csc.
بۆچی $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ لە سێگۆشەیەکی ڕاستگۆشەوە دێت، هەروەها چۆن دابەشکردنی ئەم یاسایە ، ، و دەدات.
Watch 1:13–3:06: sin²θ + cos²θ = 1 from a right triangle (to about 2:30), then a short look at dividing it (identities 2 and 3, the next screen).
لە ⁦1:13⁩ تا ⁦3:06⁩ سەیر بکە: $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$ لە سێگۆشەیەکی ڕاستگۆشەوە (تا نزیکەی ⁦2:30⁩)، پاشان سەیرێکی کورتی دابەشکردنی ( 2 و 3، شاشەی داهاتوو).

Identity 1: the Pythagorean identityهاوئەنجامی 1: هاوئەنجامی فیساغۆرس

Always 1, whatever the angleهەمیشە 1، گۆشەکە هەرچییەک بێت

Watch the two squares while the angle turns from $0$ to $\pi$ . One grows while the other shrinks, but together they always fill the same bar of length 1. Notice that after $\frac{\pi}{2}$ the cosine becomes negative, and its square is still positive.

سەیری دوو دووجاکە بکە لە کاتێکدا گۆشەکە لە $0$ ـەوە تا $\pi$ دەسووڕێت. یەکێکیان گەورە دەبێت و ئەوی تر بچووک، بەڵام پێکەوە هەمیشە هەمان ستوون بە درێژیی 1 پڕ دەکەنەوە. سەرنج بدە کە دوای $\frac{\pi}{2}$ سالب دەبێت، بەڵام دووجاکەی هەر موجەبە.

Animation in nine steps. On the left the point P moves around the upper half of the unit circle from θ = 0 to θ = π in steps of π/6 and π/4; its legs cos θ (blue) and sin θ (orange) are drawn. On the right a bar of length 1 is split into a blue part cos²θ and an orange part sin²θ: 1 and 0, 3/4 and 1/4, 1/2 and 1/2, 1/4 and 3/4, 0 and 1, then back again. Under the bar a bracket always reads cos²θ + sin²θ = 1. A line at the bottom shows θ, cos θ and sin θ; after π/2 cos θ is negative, for example −1/2 at 2π/3. — The two squares change, their sum stays 1.دوو دووجاکە دەگۆڕێن، کۆکەیان هەر 1 دەمێنێتەوە.CêIT

Quick checkپشکنینی خێراAt

\theta=\frac{2\pi}{3}

,

\cos\theta=-\frac12

. What is

\cos^2\theta

?لە

\theta=\frac{2\pi}{3}

،

\cos\theta=-\frac12

ـە.

\cos^2\theta

چەندە؟

\frac34

\frac34

\frac14

\frac14

-\frac14

-\frac14

-\frac12

-\frac12

Identity 1: the Pythagorean identityهاوئەنجامی 1: هاوئەنجامی فیساغۆرس

Identities 2 and 3 by divisionهاوئەنجامەکانی 2 و 3 بە دابەشکردن

Divide both sides of identity 1 by $\cos^2\theta$ (allowed only where $\cos\theta\ne0$ ). Use $\frac{\sin\theta}{\cos\theta}=\tan\theta$ and $\frac{1}{\cos\theta}=\sec\theta$ :

هەردوو لای 1 دابەشی $\cos^2\theta$ بکە (تەنها لەو شوێنانە ڕێگەپێدراوە کە $\cos\theta\ne0$ ). $\frac{\sin\theta}{\cos\theta}=\tan\theta$ و $\frac{1}{\cos\theta}=\sec\theta$ بەکار بهێنە:

\frac{\cos^2\theta}{\cos^2\theta}+\frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta}=\frac{1}{\cos^2\theta}\quad\Longrightarrow\quad 1+\tan^2\theta=\sec^2\theta

In the same way, divide identity 1 by $\sin^2\theta$ (where $\sin\theta\ne0$ ), using $\frac{\cos\theta}{\sin\theta}=\cot\theta$ and $\frac{1}{\sin\theta}=\csc\theta$ :

بە هەمان شێوە، 1 دابەشی $\sin^2\theta$ بکە (لەو شوێنانەی $\sin\theta\ne0$ )، بە بەکارهێنانی $\frac{\cos\theta}{\sin\theta}=\cot\theta$ و $\frac{1}{\sin\theta}=\csc\theta$ :

\frac{\cos^2\theta}{\sin^2\theta}+\frac{\sin^2\theta}{\sin^2\theta}=\frac{1}{\sin^2\theta}\quad\Longrightarrow\quad \cot^2\theta+1=\csc^2\theta

Quick checkپشکنینی خێراWhere is identity 2,

\sec^2\theta=1+\tan^2\theta

, not meaningful? 2، واتە

\sec^2\theta=1+\tan^2\theta

، لە کوێ بێ واتایە؟Where

\sin\theta=0

لەو شوێنانەی

\sin\theta=0

Where

\cos\theta=0

لەو شوێنانەی

\cos\theta=0

Nowhere; it holds for every

\theta

لە هیچ شوێنێک؛ بۆ هەموو

\theta

ڕاستە

Identities 4–6: sum and difference formulasهاوئەنجامەکانی ⁦4–6⁩: یاساکانی کۆ و جیاوازی

These formulas give the sine, cosine and tangent of a sum $x+y$ or a difference $x-y$ from the values of $x$ and $y$ . Read the signs carefully: in $\pm$ and $\mp$ take the top signs together or the bottom signs together.

ئەم یاسایانە ، و کۆی $x+y$ یان جیاوازیی $x-y$ لە نرخەکانی $x$ و $y$ ـەوە دەدەن. هێماکان بە وردی بخوێنەوە: لە $\pm$ و $\mp$ دا یان هێماکانی سەرەوە پێکەوە وەربگرە یان هێماکانی خوارەوە پێکەوە.

\begin{aligned}\cos(x\pm y)&=\cos x\cos y\mp\sin x\sin y\\ \sin(x\pm y)&=\sin x\cos y\pm\cos x\sin y\\ \tan(x\pm y)&=\frac{\tan x\pm\tan y}{1\mp\tan x\tan y}\end{aligned}

\begin{aligned}\cos(x+y)&=\cos x\cos y-\sin x\sin y & \cos(x-y)&=\cos x\cos y+\sin x\sin y\\ \sin(x+y)&=\sin x\cos y+\cos x\sin y & \sin(x-y)&=\sin x\cos y-\cos x\sin y\end{aligned}

Quick checkپشکنینی خێراWhich formula is correct for

\cos(x-y)

?کام یاسا بۆ

\cos(x-y)

ڕاستە؟

\cos x\cos y-\sin x\sin y

\cos x\cos y-\sin x\sin y

\sin x\cos y-\cos x\sin y

\sin x\cos y-\cos x\sin y

\cos x-\cos y

\cos x-\cos y

\cos x\cos y+\sin x\sin y

\cos x\cos y+\sin x\sin y

Proving the angle sum identity for sine and cosineblackpenredpen · Englishئینگلیزی · 85K viewsبینین · 3.8K likesلایک
A picture proof of the formulas for sin(A+B) and cos(A+B), built from two right triangles step by step.
بە وێنە بۆ یاساکانی $\sin(A+B)$ و $\cos(A+B)$ ، کە هەنگاو بە هەنگاو لە دوو سێگۆشەی ڕاستگۆشە دروست دەکرێت.
Where identities 4 and 5 come from; the difference formulas follow by putting −B for B.
4 و 5 لە کوێوە دێن؛ یاساکانی جیاوازی بە دانانی $-B$ لە جیاتی $B$ دەردەچن.

Identities 4–6: sum and difference formulasهاوئەنجامەکانی ⁦4–6⁩: یاساکانی کۆ و جیاوازی

Exact values with the sum formulasنرخی ورد بە یاساکانی کۆ

The table of common angles gives exact values only at 30°, 45°, 60°, … With the sum formulas you can reach new angles such as $75^\circ=45^\circ+30^\circ$ and $15^\circ=45^\circ-30^\circ$ .

خشتەی گۆشە باوەکان تەنها لە ⁦30°⁩، ⁦45°⁩، ⁦60°⁩ و … نرخی ورد دەدات. بە یاساکانی کۆ دەتوانیت بگەیتە گۆشەی نوێ، وەک $75^\circ=45^\circ+30^\circ$ و $15^\circ=45^\circ-30^\circ$ .

$\sin75^\circ$ $\sin75^\circ$
Identity 5 with the top sign:
5 بە هێمای سەرەوە:
$\sin75^\circ=\sin(45^\circ+30^\circ)=\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}+\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac12=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}\approx0.966$
$\cos15^\circ$ $\cos15^\circ$
Identity 4 with the bottom sign (the cosine of a difference uses $+$ ):
4 بە هێمای خوارەوە ( جیاوازی $+$ بەکار دەهێنێت):
$\cos15^\circ=\cos(45^\circ-30^\circ)=\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{\sqrt3}{2}+\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac12=\frac{\sqrt6+\sqrt2}{4}$
$\tan15^\circ$ $\tan15^\circ$
Identity 6 with the bottom signs, using $\tan45^\circ=1$ and $\tan30^\circ=\frac{\sqrt3}{3}$ :
6 بە هێماکانی خوارەوە، بە بەکارهێنانی $\tan45^\circ=1$ و $\tan30^\circ=\frac{\sqrt3}{3}$ :
$\tan15^\circ=\frac{1-\frac{\sqrt3}{3}}{1+\frac{\sqrt3}{3}}=\frac{3-\sqrt3}{3+\sqrt3}=2-\sqrt3\approx0.268$

Notice that $\sin75^\circ=\cos15^\circ$ . That is no accident: 75° and 15° add up to 90°, and $\sin(90^\circ-x)=\cos x$ (exercise 2 below).

سەرنج بدە کە $\sin75^\circ=\cos15^\circ$ . ئەمە ڕێکەوت نییە: کۆی ⁦75°⁩ و ⁦15°⁩ دەکاتە ⁦90°⁩ و $\sin(90^\circ-x)=\cos x$ (ڕاهێنانی 2ی خوارەوە).

Quick checkپشکنینی خێراWhich split of 105° lets you use the sum formula with known values?کام دابەشکردنی ⁦105°⁩ ڕێگە دەدات یاسای کۆ بە نرخی ناسراو بەکار بهێنیت؟

60^\circ+45^\circ

60^\circ+45^\circ

50^\circ+55^\circ

50^\circ+55^\circ

100^\circ+5^\circ

100^\circ+5^\circ

Identities 7 and 8: from a square to a double angleهاوئەنجامەکانی 7 و 8: لە دووجاوە بۆ دوو هێندەی گۆشە

Put $x=y=\theta$ into identity 4 (top signs). The cosine of a double angle appears:

$x=y=\theta$ بخە ناو 4 (هێماکانی سەرەوە). دوو هێندەی گۆشە دەردەکەوێت:

\cos2\theta=\cos(\theta+\theta)=\cos^2\theta-\sin^2\theta

Replace $\sin^2\theta$ by $1-\cos^2\theta$ (identity 1): $\cos2\theta=2\cos^2\theta-1$ . Solve for $\cos^2\theta$ :
لە جیاتی $\sin^2\theta$ بنووسە $1-\cos^2\theta$ ( ⁦1⁩): $\cos2\theta=2\cos^2\theta-1$ . $\cos^2\theta$ بدۆزەرەوە:
$\cos^2\theta=\tfrac12\left(1+\cos2\theta\right)$
Replace $\cos^2\theta$ by $1-\sin^2\theta$ instead: $\cos2\theta=1-2\sin^2\theta$ . Solve for $\sin^2\theta$ :
ئەم جارە لە جیاتی $\cos^2\theta$ بنووسە $1-\sin^2\theta$ : $\cos2\theta=1-2\sin^2\theta$ . $\sin^2\theta$ بدۆزەرەوە:
$\sin^2\theta=\tfrac12\left(1-\cos2\theta\right)$

Identities 7 and 8 trade a square for a double angle. That is exactly the move you need in example a below. The same trick with identity 5 gives the double-angle formula for sine: $\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta$ .

7 و 8 دووجا بە دوو هێندەی گۆشە دەگۆڕنەوە. ئەمە ڕێک ئەو هەنگاوەیە کە لە نموونەی aی خوارەوەدا پێویستە. هەمان ڕێگا لەگەڵ 5 یاسای دوو هێندەی گۆشە بۆ دەدات: $\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta$ .

\cos^2\frac{\pi}{8}=\frac12\left(1+\cos\frac{\pi}{4}\right)=\frac12\left(1+\frac{\sqrt2}{2}\right)=\frac{2+\sqrt2}{4}

Identity 7 also tells you what the graph of $\cos^2\theta=\frac12+\frac12\cos2\theta$ looks like: the cosine wave compressed horizontally by 2 (period $\pi$ ), squashed vertically to half its height and moved up by $\frac12$ . So it stays between 0 and 1, as a square of a cosine must.

7 هەروەها پیشان دەدات هێڵکاریی $\cos^2\theta=\frac12+\frac12\cos2\theta$ چۆنە: شەپۆلی کە بە ئاسۆیی بە 2 پەستێنراوە ( $\pi$ )، بە ستوونی بۆ نیوەی بەرزییەکەی پەستێنراوە و $\frac12$ بەرەو سەرەوە کشاوە. بۆیە لە نێوان 0 و 1دا دەمێنێتەوە، وەک چۆن دووجای دەبێت وابێت.

Quick checkپشکنینی خێراWhich expression equals

\sin^2\theta

?کام یەکسانە بە

\sin^2\theta

؟

2\sin\theta

2\sin\theta

\frac12(1+\cos2\theta)

\frac12(1+\cos2\theta)

\sin(\theta^2)

\sin(\theta^2)

\frac12(1-\cos2\theta)

\frac12(1-\cos2\theta)

Example b: $\sin(x+\pi)=-\sin x$ نموونەی b: $\sin(x+\pi)=-\sin x$

The notes prove this in one line with identity 5. Here is the line with the middle step shown:

تێبینییەکان ئەمە بە یەک دێڕ و بە 5 دەسەلمێنن. ئەمە هەمان دێڕە لەگەڵ هەنگاوی ناوەڕاست:

\sin(x+\pi)=\sin x\cos\pi+\cos x\sin\pi=\sin x\cdot(-1)+\cos x\cdot0=-\sin x

Adding

\pi

sends

P

to the opposite point of the circle.زیادکردنی

\pi

خاڵی

P

دەباتە خاڵی بەرامبەری بازنەکە.CêIT

The picture explains the result without any formula: half a turn takes $P$ to the opposite point, so both coordinates change sign. The y-coordinate is the sine, so $\sin(x+\pi)=-\sin x$ . On the graph, adding $\pi$ inside moves the sine wave $\pi$ to the left, and the result is the same wave flipped in the x-axis.

وێنەکە بەبێ هیچ یاسایەک ئەنجامەکە ڕوون دەکاتەوە: نیو سووڕانەوە $P$ دەباتە خاڵی بەرامبەر، بۆیە هێمای هەردوو دەگۆڕێت. y هەمان ، بۆیە $\sin(x+\pi)=-\sin x$ . لەسەر هێڵکاری، زیادکردنی $\pi$ لە ناوەوە شەپۆلی ساین $\pi$ بەرەو چەپ دەکشێنێت و ئەنجامەکە هەمان شەپۆلە کە بەرامبەر تەوەرەی x هەڵگەڕاوەتەوە.

Example a (homework): a square root and an absolute valueنموونەی a (ئەرکی ماڵەوە): ڕەگێکی دووجا و نرخێکی ڕووت

The notes leave this proof as homework. Try it yourself before you open the answer. The key facts are identity 1, identity 7 with $\theta=\frac x2$ , and $\sqrt{u^2}=|u|$ from absolute value.

تێبینییەکان ئەم وەک ئەرکی ماڵەوە جێدەهێڵن. پێش کردنەوەی وەڵامەکە خۆت هەوڵ بدە. ڕاستییە سەرەکییەکان: 1، 7 بە $\theta=\frac x2$ و $\sqrt{u^2}=|u|$ لە وانەی نرخی ڕووت.

ExerciseڕاهێنانProve the identityهاوئەنجامەکە بسەلمێنە

Prove that $\sqrt{(1+\cos x)^2+\sin^2x}=2\left|\cos\frac{x}{2}\right|$ for every real $x$ .

بیسەلمێنە کە $\sqrt{(1+\cos x)^2+\sin^2x}=2\left|\cos\frac{x}{2}\right|$ بۆ هەموو $x$ ێکی ڕاستی.

Hintئاماژە

Expand $(1+\cos x)^2$ , use $\cos^2x+\sin^2x=1$ , then identity 7 with $\theta=\frac{x}{2}$ .

$(1+\cos x)^2$ بکەرەوە، $\cos^2x+\sin^2x=1$ بەکار بهێنە، پاشان 7 بە $\theta=\frac{x}{2}$ .

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

Expand the square and group $\cos^2x+\sin^2x$ , which is 1 (identity 1):
دووجاکە بکەرەوە و $\cos^2x+\sin^2x$ کۆ بکەرەوە، کە 1ـە ( ⁦1⁩):
$(1+\cos x)^2+\sin^2x=1+2\cos x+\cos^2x+\sin^2x=2+2\cos x=2(1+\cos x)$
Identity 7 with $\theta=\frac x2$ says $1+\cos x=2\cos^2\frac x2$ . So:
7 بە $\theta=\frac x2$ دەڵێت $1+\cos x=2\cos^2\frac x2$ . کەواتە:
$2(1+\cos x)=4\cos^2\frac x2$
Take the square root. Because $\sqrt{u^2}=|u|$ , the absolute value appears:
وەربگرە. لەبەر ئەوەی $\sqrt{u^2}=|u|$ ، دەردەکەوێت:
$\sqrt{(1+\cos x)^2+\sin^2x}=\sqrt{4\cos^2\frac x2}=\sqrt{\left(2\cos\frac x2\right)^2}=2\left|\cos\frac x2\right|\qquad\blacksquare$

The absolute value is not decorationنرخی ڕووت بۆ جوانی نییە

Why is $|\;|$ needed? Try $x=\frac{4\pi}{3}$ . The left side is $\sqrt{\left(\frac12\right)^2+\frac34}=1$ . Without the bars, $2\cos\frac{2\pi}{3}=-1$ — a negative number cannot be a square root. With the bars, $2\left|-\frac12\right|=1$ . ✓

بۆچی $|\;|$ پێویستە؟ $x=\frac{4\pi}{3}$ تاقی بکەرەوە. لای چەپ $\sqrt{\left(\frac12\right)^2+\frac34}=1$ ـە. بەبێ هێڵە ستوونییەکان، $2\cos\frac{2\pi}{3}=-1$ — ناتوانێت بێت. بە هێڵەکانەوە، $2\left|-\frac12\right|=1$ . ✓

Quick checkپشکنینی خێراIn the last step, why does

\sqrt{4\cos^2\frac x2}

become

2\left|\cos\frac x2\right|

and not

2\cos\frac x2

?لە دوایین هەنگاودا بۆچی

\sqrt{4\cos^2\frac x2}

دەبێتە

2\left|\cos\frac x2\right|

نەک

2\cos\frac x2

؟Because

\sqrt{u^2}=|u|

: a square root is never negative, but

\cos\frac x2

can beچونکە

\sqrt{u^2}=|u|

: ڕەگی دووجا هەرگیز سالب نییە، بەڵام

\cos\frac x2

دەکرێت سالب بێتBecause

\cos

is always positiveچونکە

\cos

هەمیشە موجەبەIt is only a style of writing; both are the sameتەنها شێوەی نووسینە؛ هەردووکیان یەک شتن

How to prove an identityچۆن هاوئەنجامێک دەسەلمێنرێت

A strategy that worksڕێگایەک کە کار دەکات

Start from the more complicated side and work towards the other side. Do not treat the identity as already true by doing the same thing to both sides.
لە لایە ئاڵۆزترەکەوە دەست پێبکە و بەرەو لاکەی تر بڕۆ. وەک شتێکی پێشتر سەلمێنراو مەبینە بە کردنی هەمان کار لەسەر هەردوو لا.
If you are stuck, rewrite everything with $\sin$ and $\cos$ ( $\tan=\frac{\sin}{\cos}$ , $\sec=\frac{1}{\cos}$ , …).
ئەگەر گیرت خوارد، هەموو شتێک بە $\sin$ و $\cos$ بنووسەرەوە ( $\tan=\frac{\sin}{\cos}$ ، $\sec=\frac{1}{\cos}$ ، …).
Look for $\cos^2\theta+\sin^2\theta$ hiding inside an expression and replace it by 1. Look for a square next to a double angle (identities 7 and 8).
بەدوای $\cos^2\theta+\sin^2\theta$ بگەڕێ کە لە ناو شاراوەتەوە و لە جیاتی بنووسە 1. بەدوای دووجایەک بگەڕێ لە تەنیشت دوو هێندەی گۆشەیەک ( 7 و ⁦8⁩).
Expand brackets, put fractions over one denominator, and factor.
کەوانەکان بکەرەوە، بخە سەر یەک و بەکار بهێنە.
Check your result with one or two angles (for example $\theta=\frac{\pi}{3}$ ). One check does not prove an identity, but one failed check proves it is false.
ئەنجامەکەت بە یەک یان دوو گۆشە بپشکنە (بۆ نموونە $\theta=\frac{\pi}{3}$ ). یەک پشکنین ناسەلمێنێت، بەڵام یەک پشکنینی شکستخواردوو دەیسەلمێنێت کە هەڵەیە.

Quick checkپشکنینی خێراYou test

\sin2\theta=2\sin\theta

with

\theta=\frac{\pi}{6}

: the left side is

\frac{\sqrt3}{2}

, the right side is 1. What does this show?

\sin2\theta=2\sin\theta

بە

\theta=\frac{\pi}{6}

تاقی دەکەیتەوە: لای چەپ

\frac{\sqrt3}{2}

ـە و لای ڕاست 1. ئەمە چی پیشان دەدات؟Nothing, you need more anglesهیچ، پێویستت بە گۆشەی زیاترەIt is not an identityهاوئەنجام نییەIt is an identityهاوئەنجامە

How to Prove Trigonometric Identities (and how not to)Eddie Woo · Englishئینگلیزی · 204K viewsبینین · 3.6K likesلایک
How to prove an identity: start from one side and work to the other, and why treating it as an equation is wrong.
چۆن دەسەلمێنیت: لە لایەکەوە دەست پێ بکە و بگەرە لاکەی تر، هەروەها بۆچی مامەڵەکردن لەگەڵی وەک هەڵەیە.
Classroom lesson: the same strategy as this screen, with a wrong proof shown as a warning.
وانەیەکی ناو پۆل: هەمان ڕێگای ئەم شاشەیە، لەگەڵ هەڵە کە وەک ئاگادارکردنەوە پیشان دەدرێت.

Common mistakesهەڵە باوەکان

Mistakeهەڵە	Counterexampleنموونەی پێچەوانە	Correctڕاست
$\sin(x+y)=\sin x+\sin y$ $\sin(x+y)=\sin x+\sin y$	$x=y=\frac{\pi}{2}$ : $\sin\pi=0$ but $1+1=2$ $x=y=\frac{\pi}{2}$ : $\sin\pi=0$ بەڵام $1+1=2$	Identity 5 5
$\sin2\theta=2\sin\theta$ $\sin2\theta=2\sin\theta$	$\theta=\frac{\pi}{6}$ : $\frac{\sqrt3}{2}\ne1$ $\theta=\frac{\pi}{6}$ : $\frac{\sqrt3}{2}\ne1$	$\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta$ $\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta$
$\cos(x+y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y$ $\cos(x+y)=\cos x\cos y+\sin x\sin y$	$x=y=\frac{\pi}{2}$ : $\cos\pi=-1$ but the right side is 1 $x=y=\frac{\pi}{2}$ : $\cos\pi=-1$ بەڵام لای ڕاست 1ـە	Cosine of a sum has a minus کۆ نیشانەی کەمکردنەوەی هەیە
$\sqrt{u^2}=u$ $\sqrt{u^2}=u$	$u=-3$ : $\sqrt9=3\ne-3$ $u=-3$ : $\sqrt9=3\ne-3$	$\sqrt{u^2}=\|u\|$ $\sqrt{u^2}=\|u\|$
$\cos^2\theta=\cos(\theta^2)$ $\cos^2\theta=\cos(\theta^2)$	The square belongs to the value of $\cos\theta$ دووجاکە هی نرخی $\cos\theta$ ـە	$\cos^2\theta=(\cos\theta)^2$ $\cos^2\theta=(\cos\theta)^2$
Using identity 2 at $\theta=\frac{\pi}{2}$ بەکارهێنانی 2 لە $\theta=\frac{\pi}{2}$	We divided by $\cos^2\theta$ , which is 0 thereدابەشمان کرد بەسەر $\cos^2\theta$ کە لەوێ 0ـە	Identities 2 and 6 hold only where every term is defined 2 و 6 تەنها لەو شوێنانە ڕاستن کە هەموو بڕەکان پێناسە کرابن

Exercisesڕاهێنانەکان

Exerciseڕاهێنان1. Half a turn for cosine1. نیو سووڕانەوە بۆ کۆساین

Prove that $\cos(x+\pi)=-\cos x$ .

بیسەلمێنە کە $\cos(x+\pi)=-\cos x$ .

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

\cos(x+\pi)=\cos x\cos\pi-\sin x\sin\pi=\cos x\cdot(-1)-\sin x\cdot0=-\cos x

Exerciseڕاهێنان2. Angles that add up to

\frac{\pi}{2}

2. دوو گۆشە کە کۆیان

\frac{\pi}{2}

ـە

Prove that $\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x$ .

بیسەلمێنە کە $\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x$ .

Hintئاماژە

Identity 5 with the bottom sign.

5 بە هێمای خوارەوە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

\sin\left(\tfrac{\pi}{2}-x\right)=\sin\tfrac{\pi}{2}\cos x-\cos\tfrac{\pi}{2}\sin x=1\cdot\cos x-0\cdot\sin x=\cos x

Exerciseڕاهێنان3. A square that hides a double angle3. دووجایەک کە دوو هێندەی گۆشەی تێدا شاراوەتەوە

Prove that $(\sin x+\cos x)^2=1+\sin2x$ .

بیسەلمێنە کە $(\sin x+\cos x)^2=1+\sin2x$ .

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

(\sin x+\cos x)^2=\sin^2x+2\sin x\cos x+\cos^2x=1+2\sin x\cos x=1+\sin2x

Exerciseڕاهێنان4. Difference of fourth powers4. جیاوازیی توانی چوار

Prove that $\cos^4x-\sin^4x=\cos2x$ .

بیسەلمێنە کە $\cos^4x-\sin^4x=\cos2x$ .

Hintئاماژە

Factor: $a^4-b^4=(a^2-b^2)(a^2+b^2)$ .

بەکار بهێنە: $a^4-b^4=(a^2-b^2)(a^2+b^2)$ .

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

\cos^4x-\sin^4x=(\cos^2x-\sin^2x)(\cos^2x+\sin^2x)=(\cos^2x-\sin^2x)\cdot1=\cos2x

Exerciseڕاهێنان5. Everything in

\sin

and

\cos

5. هەموو شتێک بە

\sin

و

\cos

Prove that $\tan x+\cot x=\sec x\csc x$ (where all are defined).

بیسەلمێنە کە $\tan x+\cot x=\sec x\csc x$ (لەو شوێنانەی هەموویان پێناسە کراون).

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

\tan x+\cot x=\frac{\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{\sin x}=\frac{\sin^2x+\cos^2x}{\sin x\cos x}=\frac{1}{\sin x\cos x}=\sec x\cdot\csc x

Exerciseڕاهێنان6. Exact values6. نرخی ورد

Find $\cos75^\circ$ exactly with a sum formula, and $\sin^2\frac{\pi}{12}$ with identity 8.

$\cos75^\circ$ بە یاسای کۆ و $\sin^2\frac{\pi}{12}$ بە 8 بە وردی بدۆزەرەوە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

\begin{aligned}\cos75^\circ&=\cos45^\circ\cos30^\circ-\sin45^\circ\sin30^\circ=\frac{\sqrt6}{4}-\frac{\sqrt2}{4}=\frac{\sqrt6-\sqrt2}{4}\approx0.259\\ \sin^2\frac{\pi}{12}&=\frac12\left(1-\cos\frac{\pi}{6}\right)=\frac12\left(1-\frac{\sqrt3}{2}\right)=\frac{2-\sqrt3}{4}\end{aligned}

Exerciseڕاهێنان7. Spot the mistake7. هەڵەکە بدۆزەرەوە

Dilan writes the homework answer as $\sqrt{(1+\cos x)^2+\sin^2x}=2\cos\frac{x}{2}$ . Find one value of $x$ that shows the answer is wrong, and fix it.

دیلان وەڵامی ئەرکی ماڵەوەکە بەم شێوەیە دەنووسێت: $\sqrt{(1+\cos x)^2+\sin^2x}=2\cos\frac{x}{2}$ . نرخێکی $x$ بدۆزەرەوە کە پیشان بدات وەڵامەکە هەڵەیە و ڕاستی بکەرەوە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

Take $x=2\pi$ : the left side is $\sqrt{(1+1)^2+0}=2$ , but $2\cos\pi=-2$ . The square root of $4\cos^2\frac x2$ is $2\left|\cos\frac x2\right|$ , not $2\cos\frac x2$ .

$x=2\pi$ وەربگرە: لای چەپ $\sqrt{(1+1)^2+0}=2$ ـە، بەڵام $2\cos\pi=-2$ . $4\cos^2\frac x2$ دەکاتە $2\left|\cos\frac x2\right|$ ، نەک $2\cos\frac x2$ .

Summaryپوختە

An identity is true for every value where both sides are defined; an equation may be true only for some values.
Identity 1 is Pythagoras on the unit circle; dividing it by $\cos^2\theta$ or $\sin^2\theta$ gives identities 2 and 3.
Identities 4–6 give $\sin$ , $\cos$ and $\tan$ of $x\pm y$ ; read the top signs together and the bottom signs together.
Identities 7 and 8 come from $\cos2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta$ and identity 1; they turn a square into a double angle.
$\sqrt{u^2}=|u|$ : that is why example a ends with $2\left|\cos\frac{x}{2}\right|$ .

بۆ هەموو ئەو نرخانە ڕاستە کە هەردوو لا تێیاندا پێناسە کراون؛ لەوانەیە تەنها بۆ هەندێک نرخ ڕاست بێت.
1 هەمان فیساغۆرسە لەسەر ؛ دابەشکردنی بەسەر $\cos^2\theta$ یان $\sin^2\theta$ 2 و 3 دەدات.
⁦4–6⁩ $\sin$ ، $\cos$ و $\tan$ ـی $x\pm y$ دەدەن؛ هێماکانی سەرەوە پێکەوە و هێماکانی خوارەوە پێکەوە بخوێنەوە.
7 و 8 لە $\cos2\theta=\cos^2\theta-\sin^2\theta$ و 1ـەوە دێن؛ دووجا دەکەنە دوو هێندەی گۆشە.
$\sqrt{u^2}=|u|$ : بۆیە نموونەی a بە $2\left|\cos\frac{x}{2}\right|$ کۆتایی دێت.

Review questionsپرسیارەکانی پێداچوونەوە

How do you get identity 3 from identity 1?چۆن هاوئەنجامی 3 لە هاوئەنجامی 1ـەوە دەردەهێنیت؟

Divide $\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$ by $\sin^2\theta$ (where $\sin\theta\ne0$ ): $\cot^2\theta+1=\csc^2\theta$ .

$\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$ دابەشی $\sin^2\theta$ بکە (لەو شوێنانەی $\sin\theta\ne0$ ): $\cot^2\theta+1=\csc^2\theta$ .

What is

\sin(x+\pi)

?

\sin(x+\pi)

چەندە؟

$-\sin x$ : half a turn sends the point to the opposite side of the circle.

$-\sin x$ : نیو سووڕانەوە خاڵەکە دەباتە لای بەرامبەری بازنەکە.

Is

\sin(x+y)=\sin x+\sin y

an identity?ئایا

\sin(x+y)=\sin x+\sin y

هاوئەنجامە؟

No. $x=y=\frac{\pi}{2}$ gives 0 on the left and 2 on the right.

نەخێر. $x=y=\frac{\pi}{2}$ لە لای چەپ 0 و لە لای ڕاست 2 دەدات.

Videoڤیدیۆ

Watch a videoسەیری ڤیدیۆیەک بکە

A video that viewers liked a lot and praised in their comments, chosen for this lesson.ڤیدیۆیەک کە بینەران زۆریان پێ خۆش بووە و لە کۆمێنتەکانیاندا ستایشیان کردووە، بۆ ئەم وانەیە هەڵبژێردراوە.

هاوئەنجامە سێگۆشەییەکانBryar Ali · Kurdish (Sorani)کوردی (سۆرانی) · 16K viewsبینین · 879 likesلایک
In Kurdish: tan = sin/cos, sin²x + cos²x = 1, the double-angle formulas and sin²x, cos²x written with cos 2x.
بە کوردی: $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ ، $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ ، شێوەکانی دوو هێندەی گۆشە، هەروەها نووسینی $\sin^2 x$ و $\cos^2 x$ بە $\cos 2x$ .
Sorani school lesson on trigonometric identities (هاوئەنجامە سێگۆشەییەکان), about 9 minutes.
وانەیەکی قوتابخانە بە سۆرانی دەربارەی ، نزیکەی 9 خولەک.

Lesson complete!وانەکە تەواو بوو!

Well done. Review the key terms, then go on to the next lesson.دەستخۆش. سەیرێکی زاراوە سەرەکییەکان بکەرەوە، پاشان بڕۆ بۆ وانەی داهاتوو.

Key termsزاراوە سەرەکییەکان

Next lessonوانەی داهاتوو

Inverse Functions and Inverse Trigonometric Functionsپێچەوانەکانی نەخشە و نەخشە سێگۆشەییە پێچەوانەکان

Related lecturesوانە پەیوەندیدارەکان

References and further readingسەرچاوەکان و خوێندنەوەی زیاتر

This lecture is a first edition. The Kurdish text and terminology are waiting for review by Kurdish IT teachers.ئەم وانەیە چاپی یەکەمە. دەقە کوردییەکە و زاراوەکانی چاوەڕێی پێداچوونەوەی مامۆستایانی کوردی بواری IT ن.

Trigonometric Identitiesهاوئەنجامە سێگۆشەییەکان

What you will learnچی فێر دەبیت

Equation or identity?هاوکێشە یان هاوئەنجام؟

The eight basic identitiesهەشت هاوئەنجامە بنەڕەتییەکە

Identity 1: the Pythagorean identityهاوئەنجامی 1: هاوئەنجامی فیساغۆرس

Always 1, whatever the angleهەمیشە 1، گۆشەکە هەرچییەک بێت

Identities 2 and 3 by divisionهاوئەنجامەکانی 2 و 3 بە دابەشکردن

Identities 4–6: sum and difference formulasهاوئەنجامەکانی ⁦4–6⁩: یاساکانی کۆ و جیاوازی

Exact values with the sum formulasنرخی ورد بە یاساکانی کۆ

Identities 7 and 8: from a square to a double angleهاوئەنجامەکانی 7 و 8: لە دووجاوە بۆ دوو هێندەی گۆشە

Example b: sin⁡(x+π)=−sin⁡x\sin(x+\pi)=-\sin xsin(x+π)=−sinxنموونەی b: sin⁡(x+π)=−sin⁡x\sin(x+\pi)=-\sin xsin(x+π)=−sinx

Example a (homework): a square root and an absolute valueنموونەی a (ئەرکی ماڵەوە): ڕەگێکی دووجا و نرخێکی ڕووت

How to prove an identityچۆن هاوئەنجامێک دەسەلمێنرێت

Common mistakesهەڵە باوەکان

Exercisesڕاهێنانەکان

Summaryپوختە

Watch a videoسەیری ڤیدیۆیەک بکە

Lesson complete!وانەکە تەواو بوو!

Key termsزاراوە سەرەکییەکان

Related lecturesوانە پەیوەندیدارەکان

Example b: $\sin(x+\pi)=-\sin x$ نموونەی b: $\sin(x+\pi)=-\sin x$