Chapterبەش 5 · Lectureوانە 5.3

Continuous Random Variables and Density Functionsگۆڕاوە هەڕەمەکییە بەردەوامەکان و نەخشەی چڕیی ئەگەر

Probability as area under a density curve: the two rules of a pdf, why single points have probability 0, the uniform and exponential densities, the integrals you need (power rule, $e^x$ , limits, integration by parts), the course's examples with the corrected $\frac{7}{27}$ , and the continuous CDF with $f = F'$ .

وەک ڕووبەری ژێر هێڵی چڕی: دوو یاساکەی ، بۆچی تاکە خاڵ 0ـە، چڕیی یەکنەواخت و توانی، ئەو پێویستن (یاسای توان، $e^x$ ، و )، نموونەکانی کۆرسەکە بە $\frac{7}{27}$ ـی ڕاستکراوە و بەردەوام بە $f = F'$ .

21 min read23 خولەک خوێندنەوە · 24 stepsهەنگاو

What you will learnچی فێر دەبیت

Explain why probabilities of a continuous variable are areas and why $P(X = a) = 0$ .
Check the two rules of a pdf and find an unknown constant.
Compute probabilities with definite integrals, including exponentials and integration by parts.
Move between a density $f$ and its CDF $F$ .

ڕوون بکەیتەوە بۆچی گۆڕاوی بەردەوام ڕووبەرن و بۆچی $P(X = a) = 0$ .
دوو یاساکەی بپشکنیت و نەگۆڕێکی نەناسراو بدۆزیتەوە.
بە بژمێریت، بە و .
لە نێوان چڕیی $f$ و $F$ دا بگوازیتەوە.

From bars to a smooth curveلە ستوونەوە بۆ هێڵێکی چەماوەی نەرم

A continuous random variable can take any value in an interval: a waiting time, a height, a temperature. Between any two values there are infinitely many others, so we cannot list the values with a probability next to each one, as we did with a pmf.

دەتوانێت هەر بەهایەکی ناو ماوەیەک وەربگرێت: کاتی چاوەڕوانی، باڵا، پلەی گەرمی. لە نێوان هەر دوو بەهایەکدا بێسنوور بەهای تر هەیە، بۆیە ناتوانین بەهاکان لیست بکەین و لە تەنیشت هەر یەکەیان بنووسین، وەک ئەوەی بە نەخشەی بارستەی ئەگەر کردمان.

Think of a relative frequency histogram drawn so that each bar's area is the share of the data in its class. Make the classes thinner and thinner: the tops of the bars settle onto a smooth curve. That curve is the probability density function $f(x)$ , and areas under it are probabilities.

بهێنە بەرچاو کە بە شێوەیەک کێشراوە کە ڕووبەری هەر ستوونێک بەشی ئەو بێت کە لە . باریکتر و باریکتر بکە: سەری ستوونەکان لە سەر هێڵێکی چەماوەی نەرم دادەنیشن. ئەو هێڵە $f(x)$ ـە و ڕووبەرەکانی ژێری .

Thinner classes, smoother picture: in the limit the bars become the density curve. باریکتر، وێنەی نەرمتر: لە کۆتاییدا ستوونەکان دەبن بە هێڵی چڕییەکە.CêIT

Quick checkپشکنینی خێراWhy can a continuous random variable not have a pmf table?بۆچی ناتوانێت خشتەی هەبێت؟It has only one possible valueتەنها یەک بەهای گونجاوی هەیەIts values fill an interval, so they cannot be listed one by oneبەهاکانی ماوەیەک پڕ دەکەنەوە، بۆیە ناکرێت یەک یەک لیست بکرێنIts probabilities are always negativeئەگەرەکانی هەمیشە نەرێنین

Probability is areaئەگەر ڕووبەرە

A function $f(x)$ is a probability density function (pdf) of $X$ when the probability that $X$ lands between $a$ and $b$ is the area under $f$ from $a$ to $b$ :

نەخشەی $f(x)$ $X$ ـە کاتێک ئەوەی $X$ لە نێوان $a$ و $b$ دا بکەوێت ڕووبەری ژێر $f$ بێت لە $a$ ـەوە بۆ $b$ :

P(a \le X \le b) = \int_a^b f(x)\,dx \quad (b \ge a)

\text{(1)}\ \ f(x) \ge 0 \text{ for every } x \qquad\qquad \text{(2)}\ \ \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 1

Definitionپێناسە

For a , a curve $f(x) \ge 0$ with total area 1; the probability of an interval is the area under it: $P(a < X < b) = \int_a^b f(x)\,dx$ .

بۆ ، چەماوەیەکە $f(x) \ge 0$ کە کۆی ڕووبەرەکەی 1ـە؛ ئەگەری ماوەیەک ڕووبەری ژێر چەماوەکەیە: $P(a < X < b) = \int_a^b f(x)\,dx$ .

Probability is areaئەگەر ڕووبەرە

Checking densities with school geometryپشکنینی چڕی بە ئەندازەی قوتابخانە

You can already check simple densities with school geometry. A flat line $f(x) = \frac14$ on $[0, 4]$ is a rectangle of area $4 \times \frac14 = 1$ ; the line $f(x) = \frac{x}{2}$ on $[0, 2]$ is a triangle of area $\frac12 \cdot 2 \cdot 1 = 1$ . Both are pdfs.

دەتوانیت ئێستا بە ئەندازەی قوتابخانە چڕییە سادەکان بپشکنیت. هێڵێکی ڕاستی $f(x) = \frac14$ لە سەر $[0, 4]$ لاکێشەیەکە بە ڕووبەری $4 \times \frac14 = 1$ ؛ هێڵی $f(x) = \frac{x}{2}$ لە سەر $[0, 2]$ سێگۆشەیەکە بە ڕووبەری $\frac12 \cdot 2 \cdot 1 = 1$ . هەردووکیان .

Shaded area = probability:

P(1 < X < 3) = \frac12

on the left,

P(0 < X < 1) = \frac14

on the right.ڕووبەری ڕەنگکراو : لە چەپ

P(1 < X < 3) = \frac12

و لە ڕاست

P(0 < X < 1) = \frac14

.CêIT

Quick checkپشکنینی خێراIs

f(x) = 3

on

[0, 1]

(and 0 elsewhere) a pdf?ئایا

f(x) = 3

لە سەر

[0, 1]

(و 0 لە شوێنی تر) ؟No:

f(x)

may never be above 1نەخێر:

f(x)

هەرگیز نابێت لە 1 زیاتر بێتYes:

f

is never negativeبەڵێ:

f

هەرگیز نەرێنی نییەNo: the area is 3, not 1نەخێر: ڕووبەرەکە 3ـە، نەک 1

A single point has probability 0تاکە خاڵێک ئەگەری 0ـە

What is $P(X = a)$ ? It is the area over the interval from $a$ to $a$ , a line with no width:

$P(X = a)$ چەندە؟ ڕووبەری سەر $a$ تا $a$ ـیە، هێڵێک کە هیچ پانییەکی نییە:

P(X = a) = P(a \le X \le a) = \int_a^a f(x)\,dx = 0

Animation: under the curve f(x) = x²/9 the shaded interval around x = 1.5 shrinks: P(1 < X < 2) ≈ 0.2593, P(1.25 < X < 1.75) ≈ 0.1262, P(1.4 < X < 1.6) ≈ 0.0501, P(1.47 < X < 1.53) ≈ 0.0150, and finally a single line with P(X = 1.5) = 0. — As the interval shrinks to a point, its area shrinks to 0.کاتێک بچووک دەبێتەوە بۆ خاڵێک، ڕووبەرەکەی دەبێت بە 0.CêIT

So for a continuous variable it does not matter whether the ends are included:

کەواتە بۆ گۆڕاوی بەردەوام گرنگ نییە کۆتاییەکان تێدا بن یان نا:

P(a \le X \le b) = P(a \le X < b) = P(a < X \le b) = P(a < X < b) = \int_a^b f(x)\,dx

Why “probability of 0” does not mean “impossible” | Probabilities of probabilities, part 23Blue1Brown · Englishئینگلیزی · 3.3M viewsبینین · 84K likesلایک · Partبەشی 2:37–6:51 (ofلە 10:00)
Why one exact value of a continuous variable has probability 0, and why probability must come from areas under a density curve.
بۆچی یەک نرخی ورد لە 0ـە، هەروەها بۆچی دەبێت لە ڕووبەری ژێر هێڵی چەماوەی چڕییەوە بێت.
Chapters 'Probabilities over continuous values' and 'Probability density' (2:37-6:51). The first 2:37 recap part 1 and the end goes into measure theory.
بەشەکانی « بۆ نرخی بەردەوام» و «چڕیی » (⁦2:37⁩ تا ⁦6:51). 0:00⁩ تا ⁦2:37⁩ پێداچوونەوەی بەشی یەکەمی زنجیرەکەیە و کۆتایی ڤیدیۆکە دەچێتە ناو تیۆریی پێوانە (measure theory).

The simplest density: waiting for a minibusسادەترین چڕی: چاوەڕوانیی پاس

A minibus leaves the stop every 12 minutes. You arrive at a random moment, knowing nothing about the timetable. Your waiting time $X$ can be anything from 0 to 12 minutes, and no part of that range is more likely than another. The density is flat: $f(x) = \frac{1}{12}$ on $[0, 12]$ , so that the rectangle has area $12 \times \frac{1}{12} = 1$ .

پاسێک هەموو ⁦12⁩ خولەک جارێک لە وێستگەکە دەڕوات. تۆ لە کاتێکی هەڕەمەکیدا دەگەیت و هیچ دەربارەی خشتەی کاتەکان نازانیت. کاتی چاوەڕوانیت $X$ دەتوانێت هەر شتێک بێت لە 0 تا ⁦12⁩ خولەک و هیچ بەشێکی ئەو لە بەشێکی تر زیاتری نییە. چڕییەکە ڕاستە: $f(x) = \frac{1}{12}$ لە سەر $[0, 12]$ ، بۆ ئەوەی ڕووبەری لاکێشەکە $12 \times \frac{1}{12} = 1$ بێت.

Every probability is a rectangle: width

\times \frac{1}{12}

.هەموو لاکێشەیەکە: پانی

\times \frac{1}{12}

.CêIT

P(X < 3) = 3 \cdot \tfrac{1}{12} = \tfrac14, \qquad P(4 < X < 10) = 6 \cdot \tfrac{1}{12} = \tfrac12, \qquad P(X > 9) = 3 \cdot \tfrac{1}{12} = \tfrac14

Quick checkپشکنینی خێراWith the same minibus, what is the probability of waiting more than 8 minutes?بە هەمان پاس، چاوەڕوانیی زیاتر لە 8 خولەک چەندە؟

\frac{8}{12} = \frac23

\frac{8}{12} = \frac23

\frac{1}{12}

\frac{1}{12}

\frac{4}{12} = \frac13

\frac{4}{12} = \frac13

The calculus you need: areas under curvesئەو کالکولەسەی پێویستتە: ڕووبەری ژێر هێڵی چەماوە

Rectangles and triangles are not enough for a curve like $f(x) = \frac{x^2}{9}$ . For curves we use the definite integral $\int_a^b f(x)\,dx$ , the exact area under $f$ from $a$ to $b$ . This course needs only four tools, explained on the next screens: what an integral is, the power rule, exponentials with limits, and integration by parts.

لاکێشە و سێگۆشە بەس نین بۆ هێڵێکی چەماوەی وەک $f(x) = \frac{x^2}{9}$ . بۆ هێڵی چەماوە $\int_a^b f(x)\,dx$ بەکار دەهێنین، ڕووبەری ورد لە ژێر $f$ لە $a$ ـەوە بۆ $b$ . ئەم کۆرسە تەنها پێویستی بە چوار ئامراز هەیە، کە لە شاشەکانی داهاتوودا ڕوون کراونەتەوە: چییە، یاسای توان، لەگەڵ و .

Why here?بۆچی لێرە؟

CêIT's calculus course teaches functions, exponentials and logarithms but not integration yet, so this lesson teaches the minimum that density functions need, starting from areas of rectangles. The course notes give these rules on a separate sheet of integration notes.

کۆرسی کالکولەسی CêIT ، و فێر دەکات، بەڵام هێشتا وانەیەکی نییە، بۆیە ئەم وانەیە کەمترین ئەوەی پێویستیەتی فێر دەکات و لە ڕووبەری لاکێشەوە دەست پێ دەکات. تێبینییەکانی کۆرسەکە ئەم یاسایانە لە پەڕەیەکی جیای تێبینیی دەدەن.

The calculus you need: areas under curvesئەو کالکولەسەی پێویستتە: ڕووبەری ژێر هێڵی چەماوە

Areas from antiderivativesڕووبەر لە ڕێگەی پێچەوانەی مشتەق

Integration is the reverse of differentiation. If you find a function $G$ whose derivative is $f$ ( $G' = f$ ), the area is simply “G at the end minus G at the start”:

پێچەوانەی دەرهێنانی . گەر نەخشەیەکی $G$ بدۆزیتەوە کە $f$ بێت ( $G' = f$ )، ڕووبەرەکە بە سادەیی «G لە کۆتایی کەم G لە سەرەتا»ـیە:

\int_a^b f(x)\,dx = \Big[\,G(x)\,\Big]_a^b = G(b) - G(a)

Check it on the triangle $f(x) = \frac{x}{2}$ : $G(x) = \frac{x^2}{4}$ has $G'(x) = \frac{2x}{4} = \frac{x}{2}$ , so $\int_0^2 \frac{x}{2}\,dx = \frac{4}{4} - 0 = 1$ , the same as $\frac12 \cdot 2 \cdot 1$ . Without limits, $\int \frac{x}{2}\,dx = \frac{x^2}{4} + C$ is an indefinite integral: $+\,C$ because $\frac{x^2}{4} + 5$ has the same derivative. In a definite integral $C$ cancels.

لە سەر سێگۆشەکە $f(x) = \frac{x}{2}$ بیپشکنە: $G(x) = \frac{x^2}{4}$ بریتییە لە $G'(x) = \frac{2x}{4} = \frac{x}{2}$ ، بۆیە $\int_0^2 \frac{x}{2}\,dx = \frac{4}{4} - 0 = 1$ ، هەمان $\frac12 \cdot 2 \cdot 1$ . بەبێ سنوور، $\int \frac{x}{2}\,dx = \frac{x^2}{4} + C$ : $+\,C$ چونکە $\frac{x^2}{4} + 5$ هەمان هەیە. لە $C$ لادەچێت.

Quick checkپشکنینی خێرا

G(x) = x^2

has

G'(x) = 2x

. What is

\int_1^3 2x\,dx

?

G(x) = x^2

بریتییە لە

G'(x) = 2x

.

\int_1^3 2x\,dx

چەندە؟

8

8

9

9

4

4

Integration and the fundamental theorem of calculus | Chapter 8, Essence of calculus3Blue1Brown · Englishئینگلیزی · 3.2M viewsبینین · 69K likesلایک · Partبەشی 8:20–16:20 (ofلە 20:46)
An integral is the area under a graph, and the fundamental theorem says: find a function whose derivative is f, then subtract its end values.
ڕووبەری ژێر ؛ دەڵێت: بدۆزەرەوە کە $f$ بێت، پاشان نرخەکانی دوو سەرەکەی لە یەک کەم بکەرەوە.
Chapters 'Areas under graphs' and 'Fundamental theorem of calculus' (8:20-16:20): area from thin rectangles and G(b) - G(a).
بەشەکانی «ڕووبەری ژێر » و «» (⁦8:20⁩ تا ⁦16:20⁩): ڕووبەر لە لاکێشەی باریکەوە و $G(b) - G(a)$ .

The calculus you need: areas under curvesئەو کالکولەسەی پێویستتە: ڕووبەری ژێر هێڵی چەماوە

Why an integral is an area: thin rectanglesبۆچی تەواوکاری ڕووبەرە: لاکێشەی باریک

Why is an integral an area? Fill the area with thin rectangles, each as tall as the curve at its middle, and add their areas (width × height, school geometry again). For $\frac{x^2}{9}$ between 1 and 2, 4 rectangles give 0.25868, 10 give 0.25917 and 50 give 0.25926. The thinner the rectangles, the closer the sum gets to the exact value $\frac{7}{27} = 0.259259\ldots$ : the definite integral is the limit of these sums.

بۆچی ڕووبەرە؟ ڕووبەرەکە بە لاکێشەی باریک پڕ بکەرەوە، کە بەرزیی هەر یەکەیان بەرزیی هێڵەکەیە لە ناوەڕاستیدا. پاشان ڕووبەرەکانیان کۆ بکەرەوە (پانی × بەرزی، دیسان ئەندازەی قوتابخانە). بۆ $\frac{x^2}{9}$ لە نێوان 1 و 2، 4 لاکێشە ⁦0.25868⁩ دەدەن، ⁦10⁩ لاکێشە ⁦0.25917⁩ و ⁦50⁩ لاکێشە ⁦0.25926⁩. تا لاکێشەکان باریکتر بن، کۆکە زیاتر لە بەهای وردی $\frac{7}{27} = 0.259259\ldots$ نزیک دەبێتەوە: ئەم کۆکردنەوانەیە.

Animation: under the curve f(x) = x²/9, the area from x = 1 to x = 2 is filled with 1, 2, 4, 10 and then 50 rectangles, each as tall as the curve at its middle. The sums are 0.25000, 0.25694, 0.25868, 0.25917 and 0.25926. The last frame shades the exact area: the integral from 1 to 2 of x²/9 equals 7/27 ≈ 0.25926. — More and thinner rectangles: the sum settles at the area, $\frac{7}{27}$ .لاکێشەی زیاتر و باریکتر: کۆکە لە سەر ڕووبەرەکە، $\frac{7}{27}$ ، جێگیر دەبێت.CêIT

Quick checkپشکنینی خێراThe rectangles get thinner and thinner, but there are more of them. What happens to the sum of their areas?لاکێشەکان باریکتر و باریکتر دەبن، بەڵام ژمارەیان زیاد دەبێت. چی بە کۆی ڕووبەرەکانیان دێت؟It grows without end, because there are more and more rectanglesبێسنوور گەورە دەبێت، چونکە لاکێشەکان زیاتر و زیاتر دەبنIt shrinks to 0, because each rectangle gets thinnerبەرەو 0 دەچێت، چونکە هەر لاکێشەیەک باریکتر دەبێتIt gets as close as we like to the area under the curveتا ئەو ئەندازەیەی بمانەوێت لە ڕووبەری ژێر هێڵەکە نزیک دەبێتەوە

The calculus you need: areas under curvesئەو کالکولەسەی پێویستتە: ڕووبەری ژێر هێڵی چەماوە

The power rule, both waysیاسای توان، بە هەردوو ئاراستە

Derivative of a power: bring the power down and lower it by one. Integral of a power: raise the power by one and divide by the new power.

توانێک: توانەکە بهێنە پێشەوە و یەکێکی لێ کەم بکەرەوە. توانێک: توانەکە یەکێک زیاد بکە و دابەشی بکە بەسەر توانە نوێیەکەدا.

\frac{d}{dx}\,x^n = n\,x^{n-1} \qquad\qquad \int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \ \ (n \ne -1), \qquad \int k\,dx = kx + C

The examples from the course's integration notes, plus $\frac{1}{x^2}$ , which Example 6 needs.نموونەکانی تێبینییەکانی کۆرسەکە، لەگەڵ $\frac{1}{x^2}$ کە نموونەی 6 پێویستیەتی.
Function	Derivative	Integral
$2x$	$2$	$x^2 + C$
$x^2$	$2x$	$\frac{x^3}{3} + C$
$x^3$	$3x^2$	$\frac{x^4}{4} + C$
$2x^2$	$4x$	$\frac{2x^3}{3} + C$
$5x^4$	$20x^3$	$x^5 + C$
$x^{-2} = \frac{1}{x^2}$	$-2x^{-3}$	$\frac{x^{-1}}{-1} = -\frac{1}{x} + C$

The calculus you need: areas under curvesئەو کالکولەسەی پێویستتە: ڕووبەری ژێر هێڵی چەماوە

Exponentials: the integral of $e^{ax}$ نەخشە توانییەکان: تەواوکاریی $e^{ax}$

The number $e \approx 2.718$ has a special property: $e^x$ is its own derivative. From the chain of derivatives one gets the integral of $e^{ax}$ :

ژمارەی e ( $e \approx 2.718$ ) تایبەتمەندییەکی تایبەتی هەیە: $e^x$ خۆیەتی. لێرەوە $e^{ax}$ دەدۆزرێتەوە:

\int e^{ax}\,dx = \frac{1}{a}\,e^{ax} + C \qquad \text{e.g. } \int e^{2x}dx = \tfrac12 e^{2x} + C,\ \ \int e^{-5x}dx = -\tfrac15 e^{-5x} + C,\ \ \int e^{3x}dx = \tfrac13 e^{3x} + C,\ \ \int e^{x}dx = e^x + C

Quick checkپشکنینی خێراWhat is

\int e^{4x}\,dx

?

\int e^{4x}\,dx

چەندە؟

\frac14 e^{4x} + C

\frac14 e^{4x} + C

\frac{1}{4x} e^{4x} + C

\frac{1}{4x} e^{4x} + C

4e^{4x} + C

4e^{4x} + C

The calculus you need: areas under curvesئەو کالکولەسەی پێویستتە: ڕووبەری ژێر هێڵی چەماوە

Limits at infinityئامانجەکان لە بێسنووردا

Densities often run to $\infty$ , so we need limits: what a function approaches as $x$ grows without end.

چڕییەکان زۆر جار تا $\infty$ درێژ دەبنەوە، بۆیە پێویستمان بە هەیە: ئەوەی نەخشەیەک لێی نزیک دەبێتەوە کاتێک $x$ بێسنوور گەورە دەبێت.

\lim_{x\to\infty} e^{-x} = 0, \qquad \lim_{x\to\infty} e^{x} = \infty, \qquad \lim_{x\to\infty} \frac{3}{x} = 0, \qquad \lim_{x\to\infty} \frac{x}{-3} = -\infty, \qquad \lim_{x\to\infty} x\,e^{-x} = 0

Limits, not arithmetic with

\infty

ئامانجەکان، نەک ژماردن لەگەڵ

\infty

The notes write $e^{-\infty} = 0$ , $3/\infty = 0$ and $\infty \cdot e^{-\infty} \to 0$ . $\infty$ is not a number, so these are really limits, as written above. The last form, “ $\infty \cdot 0$ ”, is undecided on its own: $x \cdot e^{-x} \to 0$ but $x \cdot \frac1x \to 1$ and $x^2 \cdot \frac1x \to \infty$ . You have to look at the actual functions.

تێبینییەکان دەنووسن $e^{-\infty} = 0$ ، $3/\infty = 0$ و $\infty \cdot e^{-\infty} \to 0$ . $\infty$ ژمارە نییە، بۆیە ئەمانە لە ڕاستیدا ، وەک سەرەوە نووسراون. شێوەی کۆتایی، « $\infty \cdot 0$ »، بە تەنها یەکلایی نابێتەوە: $x \cdot e^{-x} \to 0$ ، بەڵام $x \cdot \frac1x \to 1$ و $x^2 \cdot \frac1x \to \infty$ . دەبێت سەیری نەخشە ڕاستەقینەکان بکەیت.

Quick checkپشکنینی خێراWhat is

\int_0^\infty 2e^{-2x}\,dx

?

\int_0^\infty 2e^{-2x}\,dx

چەندە؟

1

1

\infty

\infty

2

2

The calculus you need: areas under curvesئەو کالکولەسەی پێویستتە: ڕووبەری ژێر هێڵی چەماوە

Integration by partsتەواوکاری بە بەشکردن

To integrate a product of two different kinds of function, such as $x\,e^{x}$ , use the product rule of derivatives backwards:

بۆ لێکدانی دوو جۆری جیاوازی نەخشە، وەک $x\,e^{x}$ ، یاسای لێکدانی بە پێچەوانەوە بەکار بهێنە:

\int u\,dv = u\,v - \int v\,du

Which part is $u$ ? Take the first kind in the list LIPET (also written LIATE): Logarithm (logarithms), Inverse trig function (inverse trigonometric functions), Polynomial or Algebraic (polynomials), Exponential (exponential functions), Trig function (trigonometric functions). Powers of $x$ come before $e^x$ , so $u = x$ or $u = x^2$ .

کامیان $u$ ـیە؟ یەکەم جۆری ناو لیستی LIPET وەربگرە (هەروەها بە LIATE دەنووسرێت): L لۆگاریتم، I نەخشەی سێگۆشەیی پێچەوانە، P ڕادەدار، E نەخشەی توانی و T نەخشەی سێگۆشەیی. توانەکانی $x$ لە پێش $e^x$ ـەوە دێن، بۆیە $u = x$ یان $u = x^2$ .

Example: $\int x e^x\,dx$ نموونە: $\int x e^x\,dx$
$u = x,\ dv = e^x dx \Rightarrow du = dx,\ v = e^x$ . So $\int x e^x dx = x e^x - \int e^x dx = x e^x - e^x + C$ .
$u = x,\ dv = e^x dx \Rightarrow du = dx,\ v = e^x$ . کەواتە $\int x e^x dx = x e^x - \int e^x dx = x e^x - e^x + C$ .
$\int x^2 e^x\,dx$ : two rounds $\int x^2 e^x\,dx$ : دوو جار
$u = x^2,\ dv = e^x dx \Rightarrow du = 2x\,dx,\ v = e^x$ : $x^2 e^x - 2\int x e^x dx$ . The leftover integral is the one above: $x^2 e^x - 2x e^x + 2e^x + C$ .
$u = x^2,\ dv = e^x dx \Rightarrow du = 2x\,dx,\ v = e^x$ : $x^2 e^x - 2\int x e^x dx$ . ئەو کە دەمێنێتەوە هەمان ئەوەی سەرەوەیە: $x^2 e^x - 2x e^x + 2e^x + C$ .
Checkپشکنین
Differentiate the answer: $(x^2e^x - 2xe^x + 2e^x)' = x^2e^x + 2xe^x - 2e^x - 2xe^x + 2e^x = x^2 e^x$ . ✓
وەڵامەکە وەربگرە: $(x^2e^x - 2xe^x + 2e^x)' = x^2e^x + 2xe^x - 2e^x - 2xe^x + 2e^x = x^2 e^x$ . ✓

The tabular shortcut: differentiate down to 0, integrate the other column, multiply along the diagonals with the signs $+, -, +$ : $x^2e^x - 2xe^x + 2e^x + C$ .ڕێگای خشتەیی: وەربگرە تا 0، ستوونەکەی تر بکە و بە درێژایی لارەکان لێک بدە بە نیشانەکانی $+, -, +$ : $x^2e^x - 2xe^x + 2e^x + C$ .
Signنیشانە	$u$ and its derivatives $u$ و	$dv$ and its integrals $dv$ و
$+$	$x^2$	$e^x$
$-$	$2x$	$e^x$
$+$	$2$	$e^x$
	$0$	$e^x$

Quick checkپشکنینی خێراFor

\int x\,e^{-x}\,dx

, which choice follows LIPET?بۆ

\int x\,e^{-x}\,dx

، کام هەڵبژاردن پەیڕەوی LIPET دەکات؟

u = e^{-x},\ dv = x\,dx

u = e^{-x},\ dv = x\,dx

u = x\,e^{-x},\ dv = dx

u = x\,e^{-x},\ dv = dx

u = x,\ dv = e^{-x}dx

u = x,\ dv = e^{-x}dx

Chp5 Sec3 Integration Methods هەژمارکردنی تەواوکاریDana Rostam · Kurdish (Sorani)کوردی (سۆرانی) · 8.3K viewsبینین · 210 likesلایک · Partبەشی 0:42–7:48 (ofلە 42:37)
In Kurdish: the integration by parts rule, choosing u with the LATE order, and worked examples such as the integral of x times e to the x.
بە کوردی: یاسای ، هەڵبژاردنی $u$ بە ڕیزبەندیی LATE، هەروەها نموونەی چارەسەرکراو وەک $\int x e^x\,dx$ .
Chapter 'Integration by Parts' (0:42-7:48): ∫u dv = uv - ∫v du, choosing u with LATE (same choice as LIPET here: polynomial before exponential), ∫x e^x dx and ∫x cos x dx.
بەشی (⁦0:42⁩ تا ⁦7:48⁩): $\int u\,dv = uv - \int v\,du$ ، هەڵبژاردنی $u$ بە LATE (لێرەدا هەمان هەڵبژاردنی LIPETـە: پێش )، $\int x e^x\,dx$ و $\int x \cos x\,dx$ .

Example 5: find $c$ , then $P(1 < X < 2)$ نموونەی 5: $c$ بدۆزەوە، پاشان $P(1 < X < 2)$

Lecture 4, Example 5 (Lecture 3, Example 3): $f(x) = c\,x^2$ for $0 < x < 3$ and 0 otherwise. Find $c$ , then $P(1 < X < 2)$ .

وانەی 4، نموونەی 5 (وانەی 3، نموونەی ⁦3⁩): $f(x) = c\,x^2$ بۆ $0 < x < 3$ و 0 لە شوێنی تر. $c$ بدۆزەوە، پاشان $P(1 < X < 2)$ .

Total area 1 gives $c$ کۆی ڕووبەر 1ـە: لەمەوە $c$ دەدۆزرێتەوە
The area under $f$ must be 1:
ڕووبەری ژێر $f$ دەبێت 1 بێت:
$\int_0^3 c\,x^2\,dx = c\left[\frac{x^3}{3}\right]_0^3 = c\left(\frac{27}{3} - 0\right) = 9c = 1 \;\Rightarrow\; c = \frac19, \qquad f(x) = \frac{x^2}{9}$
The area from 1 to 2ڕووبەر لە 1 تا 2
Use the antiderivative and subtract its value at 1:
پێچەوانەی بەکار بهێنە و بەهاکەی لە 1 کەم بکەرەوە:
$P(1 < X < 2) = \int_1^2 \frac{x^2}{9}\,dx = \left[\frac{x^3}{27}\right]_1^2 = \frac{8}{27} - \frac{1}{27} = \frac{7}{27} \approx 0.259$

\frac{7}{27}

is the green area only;

\frac{8}{27}

also counts the orange part.

\frac{7}{27}

تەنها ڕووبەرە سەوزەکەیە؛

\frac{8}{27}

بەشە پرتەقاڵییەکەش دەژمێرێت.CêIT

\frac{7}{27}

, not

\frac{8}{27}

\frac{7}{27}

، نەک

\frac{8}{27}

The lecture and the course notes both finish with $\left[\frac{x^3}{27}\right]_1^2 = \frac{2^3}{27} = \frac{8}{27}$ . That uses only the upper limit. The bracket means “value at 2 minus value at 1”: $\frac{8}{27} - \frac{1}{27} = \frac{7}{27}$ . The answer $\frac{8}{27}$ is $P(0 < X < 2)$ , a different question.

وانەکە و تێبینییەکانی کۆرسەکە هەردووکیان بە $\left[\frac{x^3}{27}\right]_1^2 = \frac{2^3}{27} = \frac{8}{27}$ کۆتایی دێن. ئەمە تەنها سنووری سەرەوە بەکار دەهێنێت. کەوانەکە واتە «بەها لە 2 کەم بەها لە 1»: $\frac{8}{27} - \frac{1}{27} = \frac{7}{27}$ . وەڵامی $\frac{8}{27}$ بریتییە لە $P(0 < X < 2)$ ، کە پرسیارێکی جیاوازە.

Quick checkپشکنینی خێراWith

f(x) = \frac{x^2}{9}

on

(0, 3)

, what is

P(0 < X < 1)

?بە

f(x) = \frac{x^2}{9}

لە سەر

(0, 3)

،

P(0 < X < 1)

چەندە؟

\frac{1}{3}

\frac{1}{3}

\frac{1}{9}

\frac{1}{9}

\frac{1}{27}

\frac{1}{27}

Example 5: find $c$ , then $P(1 < X < 2)$ نموونەی 5: $c$ بدۆزەوە، پاشان $P(1 < X < 2)$

Watch the area fill upسەیری پڕبوونی ڕووبەرەکە بکە

Move the right edge from 1 towards 2 and watch $P(1 < X < t) = \frac{t^3 - 1}{27}$ grow until it reaches $\frac{7}{27}$ .

لێواری ڕاست لە 1ـەوە بەرەو 2 ببە و سەیر بکە چۆن $P(1 < X < t) = \frac{t^3 - 1}{27}$ گەورە دەبێت تا دەگاتە $\frac{7}{27}$ .

Animation: under f(x) = x²/9, with a = 1 and b = 2 marked, the shaded area starts at x = 1 and its right edge moves to 1.2, 1.4, 1.6, 1.8 and 2, with the values 0.027, 0.065, 0.115, 0.179 and finally P(1 < X < 2) = (8 − 1)/27 = 7/27 ≈ 0.259. — The area grows from 0 at $x = 1$ to $\frac{7}{27}$ at $x = 2$ .ڕووبەرەکە لە 0 (لە $x = 1$ ) گەورە دەبێت تا $\frac{7}{27}$ (لە $x = 2$ ).CêIT

Example 6: a density that never endsنموونەی 6: چڕییەک کە کۆتایی نایەت

$f(x) = \frac{1}{x^2}$ for $1 < x < \infty$ . Let $A = \{x : 1 < x < 2\}$ and $B = \{x : 4 < x < 5\}$ . Find $P(A)$ and $P(B)$ . First, is the total area 1 even though the curve never stops?

$f(x) = \frac{1}{x^2}$ بۆ $1 < x < \infty$ . با $A = \{x : 1 < x < 2\}$ و $B = \{x : 4 < x < 5\}$ بن. $P(A)$ و $P(B)$ بدۆزەوە. سەرەتا، ئایا کۆی ڕووبەر 1ـە، هەرچەندە هێڵەکە هەرگیز ناوەستێت؟

\int_1^{\infty} \frac{dx}{x^2} = \lim_{t\to\infty}\left[-\frac1x\right]_1^t = \lim_{t\to\infty}\left(1 - \frac1t\right) = 1 \ \checkmark

\begin{aligned} P(A) &= \int_1^2 \frac{dx}{x^2} = \left[-\frac1x\right]_1^2 = -\frac12 - (-1) = \frac12 \\ P(B) &= \int_4^5 \frac{dx}{x^2} = \left[-\frac1x\right]_4^5 = -\frac15 + \frac14 = \frac{1}{20} \end{aligned}

Same width, very different areas.هەمان پانی، ڕووبەری زۆر جیاواز.CêIT

Quick checkپشکنینی خێراWith

f(x) = \frac{1}{x^2}

for

x > 1

, what is

P(X > 2)

?بە

f(x) = \frac{1}{x^2}

بۆ

x > 1

،

P(X > 2)

چەندە؟

\frac12

\frac12

\frac14

\frac14

0

0

H.W 4: the exponential densityڕاهێنانی 4: چڕیی توانی

$f(x) = e^{-x}$ for $0 < x < \infty$ (and 0 for $x \le 0$ ). (1) Show that it is a pdf. (2) Find $P(0 < X < 1)$ . (3) Find $P(-1 < X < 1)$ .

$f(x) = e^{-x}$ بۆ $0 < x < \infty$ (و 0 بۆ $x \le 0$ ). ⁦(1)⁩ نیشانی بدە کە . ⁦(2)⁩ $P(0 < X < 1)$ بدۆزەوە. ⁦(3)⁩ $P(-1 < X < 1)$ بدۆزەوە.

\begin{aligned} &(1)\quad e^{-x} > 0, \qquad \int_0^{\infty} e^{-x}dx = \lim_{t\to\infty}\left[-e^{-x}\right]_0^t = \lim_{t\to\infty}\left(1 - e^{-t}\right) = 1 \\ &(2)\quad P(0 < X < 1) = \left[-e^{-x}\right]_0^1 = 1 - e^{-1} \approx 0.632 \\ &(3)\quad P(-1 < X < 1) = \int_{-1}^{0} 0\,dx + \int_0^1 e^{-x}dx = 0 + 0.632 = 0.632 \end{aligned}

63% of the probability lies between 0 and 1.⁦63%⁩ی لە نێوان 0 و 1دایە.CêIT

This density has a name: the exponential distribution. It describes waiting times, such as the time until the next customer arrives at a shop or until a light bulb fails. The general form is $f(x) = m\,e^{-mx}$ for $x \ge 0$ , with mean waiting time $\frac1m$ ; the course's example is $m = 1$ .

ئەم چڕییە ناوی هەیە: . کاتی چاوەڕوانی وەسف دەکات، وەک کات تا گەیشتنی کڕیاری داهاتوو بۆ دوکانێک یان تا سووتانی گڵۆپێک. شێوە گشتییەکەی $f(x) = m\,e^{-mx}$ ـە بۆ $x \ge 0$ ، بە کاتی چاوەڕوانی $\frac1m$ ؛ نموونەکەی کۆرسەکە $m = 1$ ـە.

Quick checkپشکنینی خێراFor

f(x) = e^{-x}

, what is

P(X > 1)

?بۆ

f(x) = e^{-x}

،

P(X > 1)

چەندە؟

0

0

e^{-1} \approx 0.368

e^{-1} \approx 0.368

1 - e^{-1} \approx 0.632

1 - e^{-1} \approx 0.632

Homework: find the constantڕاهێنانی ماڵەوە: نەگۆڕەکە بدۆزەوە

Several homework questions give a density with an unknown number in front ( $k$ , $K$ , $C$ ). The recipe is always the same: set the total area equal to 1 and solve. Then check rule (1): the function must not be negative anywhere on its interval.

چەند پرسیارێکی ماڵەوە چڕییەک دەدەن بە ژمارەیەکی نەناسراو لە پێشیەوە ( $k$ ، $K$ ، $C$ ). ڕێگاکە هەمیشە هەمانە: کۆی ڕووبەر بکە بە 1 و چارەسەری بکە. پاشان یاسای ⁦(1)⁩ بپشکنە: نەخشەکە نابێت لە هیچ شوێنێکی نەرێنی بێت.

Homework: find the constantڕاهێنانی ماڵەوە: نەگۆڕەکە بدۆزەوە

$Kx^2(3 - x)$ : watch the interval $Kx^2(3 - x)$ : ئاگاداری ماوەکە بە

Lecture 3 H.W 4 and Lecture 4 H.W 5: $f(x) = Kx^2(3 - x)$ for $0 < x < \infty$ . Find $K$ (and, in Lecture 3, $P(1 < X < 2)$ ).

وانەی 3 ڕاهێنانی 4 و وانەی 4 ڕاهێنانی 5: $f(x) = Kx^2(3 - x)$ بۆ $0 < x < \infty$ . $K$ بدۆزەوە (و لە وانەی 3دا $P(1 < X < 2)$ ).

\begin{aligned} \int_0^3 K(3x^2 - x^3)\,dx &= K\left[x^3 - \frac{x^4}{4}\right]_0^3 = K\left(27 - \frac{81}{4}\right) = \frac{27}{4}K = 1 \;\Rightarrow\; K = \frac{4}{27} \\ P(1 < X < 2) &= \frac{4}{27}\left[x^3 - \frac{x^4}{4}\right]_1^2 = \frac{4}{27}\left[(8 - 4) - \left(1 - \frac14\right)\right] = \frac{4}{27}\cdot\frac{13}{4} = \frac{13}{27} \approx 0.481 \end{aligned}

Quick checkپشکنینی خێراWithout the fix, what would

f(4)

be for

f(x) = \frac{4}{27}x^2(3 - x)

?بەبێ ڕاستکردنەوەکە،

f(4)

بۆ

f(x) = \frac{4}{27}x^2(3 - x)

چەند دەبوو؟

-\frac{64}{27}

, a negative density

-\frac{64}{27}

، چڕییەکی نەرێنی

0

0

\frac{64}{27}

\frac{64}{27}

Homework: find the constantڕاهێنانی ماڵەوە: نەگۆڕەکە بدۆزەوە

$Cx\,e^{-x}$ : integration by parts at work $Cx\,e^{-x}$ : تەواوکاری بە بەشکردن لە کاردا

Lecture 3 H.W 5 and Lecture 4 H.W 6: $f(x) = Cx\,e^{-x}$ for $0 < x < \infty$ . Find $C$ . This is the homework the course notes solve in full; here is the same solution, step by step.

وانەی 3 ڕاهێنانی 5 و وانەی 4 ڕاهێنانی 6: $f(x) = Cx\,e^{-x}$ بۆ $0 < x < \infty$ . $C$ بدۆزەوە. ئەمە ئەو ڕاهێنانەیە کە تێبینییەکانی کۆرسەکە بە تەواوی چارەسەری دەکەن؛ ئەمە هەمان چارەسەرە، هەنگاو بە هەنگاو.

Set upئامادەکردن
$C\int_0^\infty x\,e^{-x}dx = 1$ . Parts with $u = x$ , $dv = e^{-x}dx$ , so $du = dx$ , $v = -e^{-x}$ .
$C\int_0^\infty x\,e^{-x}dx = 1$ . بە بەشکردن: $u = x$ ، $dv = e^{-x}dx$ ، بۆیە $du = dx$ ، $v = -e^{-x}$ .
Antiderivativeپێچەوانەی مشتەق
$\int x e^{-x}dx = -x e^{-x} - \int(-e^{-x})dx = -x e^{-x} - e^{-x} + C_1$ .
$\int x e^{-x}dx = -x e^{-x} - \int(-e^{-x})dx = -x e^{-x} - e^{-x} + C_1$ .
Limitsسنوورەکان
At $\infty$ : $\lim_{x\to\infty}(-xe^{-x} - e^{-x}) = 0 - 0$ . At 0: $-0 \cdot 1 - 1 = -1$ . So the area is $0 - (-1) = 1$ .
لە $\infty$ : $\lim_{x\to\infty}(-xe^{-x} - e^{-x}) = 0 - 0$ . لە 0: $-0 \cdot 1 - 1 = -1$ . کەواتە ڕووبەرەکە $0 - (-1) = 1$ ـە.
Answerوەڵام
$C \cdot 1 = 1 \Rightarrow C = 1$ : $f(x) = x\,e^{-x}$ is already a pdf.
$C \cdot 1 = 1 \Rightarrow C = 1$ : $f(x) = x\,e^{-x}$ خۆی .

The tabular shortcut gives the same antiderivative: derivatives $x, 1, 0$ with signs $+, -$ against integrals $e^{-x}, -e^{-x}, e^{-x}$ : $-xe^{-x} - e^{-x}$ .

ڕێگای خشتەیی هەمان پێچەوانەی دەدات: $x, 1, 0$ بە نیشانەکانی $+, -$ بەرامبەر $e^{-x}, -e^{-x}, e^{-x}$ : $-xe^{-x} - e^{-x}$ .

The CDF of a continuous variableنەخشەی دابەشبوونی کەڵەکەبووی گۆڕاوی بەردەوام

The cumulative distribution function is the area to the left of $x$ . Going the other way, the density is the slope of the CDF:

نەخشەی دابەشبوونی کەڵەکەبوو ڕووبەری لای چەپی $x$ ـە. بە پێچەوانەوە، چڕییەکە لێژیی :

F(x) = P(X \le x) = \int_{-\infty}^{x} f(u)\,du, \qquad f(x) = \frac{dF}{dx} = F'(x)

Example 7 (= Lecture 3 H.W 6): from $f$ to $F$ نموونەی 7 (وانەی 3، ڕاهێنانی ⁦6⁩): لە $f$ ـەوە بۆ $F$
$f(x) = \frac{1}{x^2}$ , $x \ge 1$ : $F(x) = \int_1^x \frac{du}{u^2} = \left[-\frac1u\right]_1^x = 1 - \frac1x$ for $x \ge 1$ , and $F(x) = 0$ for $x < 1$ . Check: $\left(1 - \frac1x\right)' = \frac{1}{x^2}$ ✓.
$f(x) = \frac{1}{x^2}$ ، $x \ge 1$ : $F(x) = \int_1^x \frac{du}{u^2} = \left[-\frac1u\right]_1^x = 1 - \frac1x$ بۆ $x \ge 1$ و $F(x) = 0$ بۆ $x < 1$ . پشکنین: $\left(1 - \frac1x\right)' = \frac{1}{x^2}$ ✓.
Example 8: from $F$ to $f$ نموونەی 8: لە $F$ ـەوە بۆ $f$
$F(x) = x^3$ on $0 < x < 1$ : $f(x) = 3x^2$ on $(0, 1)$ .
$F(x) = x^3$ لە سەر $0 < x < 1$ : $f(x) = 3x^2$ لە سەر $(0, 1)$ .
H.W 7 (Lecture 4)ڕاهێنانی 7 (وانەی ⁦4⁩)
$F(x) = \frac14 x^2$ on $0 < x < 2$ : $f(x) = \frac14 \cdot 2x = \frac{x}{2}$ , the triangle density from the start of this lesson.
$F(x) = \frac14 x^2$ لە سەر $0 < x < 2$ : $f(x) = \frac14 \cdot 2x = \frac{x}{2}$ ، چڕییە سێگۆشەییەکەی سەرەتای ئەم وانەیە.

The shaded area under

f

from 1 to 3 is the height of

F

at 3.ڕووبەری ڕەنگکراوی ژێر

f

لە 1 تا 3 بەرزیی

F

ـە لە 3.CêIT

\frac{d}{dx}

, and

F

outside the interval

\frac{d}{dx}

و

F

لە دەرەوەی ماوەکە

The lecture and notes write $\frac{\partial F}{\partial x}$ ; $F$ has one variable, so it is the ordinary derivative $\frac{dF}{dx}$ . Lecture 3 H.W 7 gives $F(x) = x^3$ on $(0, 1)$ and “0 otherwise”. A CDF never falls back to 0: $F(x) = 0$ for $x \le 0$ but $F(x) = 1$ for $x \ge 1$ .

وانەکە و تێبینییەکان $\frac{\partial F}{\partial x}$ دەنووسن؛ $F$ یەک گۆڕاوی هەیە، بۆیە ئاساییەکەیە $\frac{dF}{dx}$ . وانەی 3 ڕاهێنانی 7 $F(x) = x^3$ لە سەر $(0, 1)$ و «0 لە شوێنی تر» دەدات. هەرگیز ناگەڕێتەوە بۆ 0: بۆ $x \le 0$ ، $F(x) = 0$ ـە، بەڵام بۆ $x \ge 1$ ، $F(x) = 1$ ـە.

For Example 5 the same idea gives $F(x) = \frac{x^3}{27}$ on $[0, 3]$ , and $P(1 < X < 2) = F(2) - F(1) = \frac{8 - 1}{27}$ again.

بۆ نموونەی 5 هەمان بیرۆکە دەدات $F(x) = \frac{x^3}{27}$ لە سەر $[0, 3]$ و دووبارە $P(1 < X < 2) = F(2) - F(1) = \frac{8 - 1}{27}$ .

Common mistakesهەڵە باوەکان

Forgetting the lower limit. $[G(x)]_a^b = G(b) - G(a)$ , not just $G(b)$ . This is the $\frac{8}{27}$ versus $\frac{7}{27}$ mistake.
Reading $f(x)$ as a probability. Only areas are probabilities; $f(x)$ can be 2 or 10.
Using the formula outside its interval. $e^{-x}$ only holds for $x > 0$ ; to the left the density is 0. $Kx^2(3 - x)$ only works on $(0, 3)$ .
Arithmetic with $\infty$ . Write $\lim_{x\to\infty} xe^{-x} = 0$ , not “ $\infty \cdot e^{-\infty} = 0$ ”.
Wrong factor for exponentials. $\int e^{ax}dx = \frac1a e^{ax} + C$ : divide by $a$ , keep the power.
Worrying about $<$ and $\le$ . For a continuous $X$ they give the same probability; for a discrete $X$ they do not.

لەبیرکردنی سنووری خوارەوە. $[G(x)]_a^b = G(b) - G(a)$ ، نەک تەنها $G(b)$ . ئەمە هەڵەی $\frac{8}{27}$ بەرامبەر $\frac{7}{27}$ ـە.
خوێندنەوەی $f(x)$ وەک . تەنها ڕووبەرەکان ؛ $f(x)$ دەتوانێت 2 یان ⁦10⁩ بێت.
بەکارهێنانی لە دەرەوەی . $e^{-x}$ تەنها بۆ $x > 0$ ڕاستە؛ لە چەپ چڕییەکە 0ـە. $Kx^2(3 - x)$ تەنها لە سەر $(0, 3)$ کار دەکات.
ژماردن لەگەڵ $\infty$ . بنووسە $\lim_{x\to\infty} xe^{-x} = 0$ ، نەک « $\infty \cdot e^{-\infty} = 0$ ».
هۆکاری هەڵە بۆ . $\int e^{ax}dx = \frac1a e^{ax} + C$ : دابەشی بکە بەسەر $a$ دا و توانەکە بهێڵەرەوە.
نیگەرانی دەربارەی $<$ و $\le$ . بۆ $X$ ـی بەردەوام هەمان دەدەن؛ بۆ $X$ ـی پچڕاو نا.

Exercisesڕاهێنانەکان

ExerciseڕاهێنانA triangle densityچڕییەکی سێگۆشەیی

$f(x) = \frac{x}{2}$ on $[0, 2]$ . Find $P(X > 1)$ in two ways: with geometry and with an integral.

$f(x) = \frac{x}{2}$ لە سەر $[0, 2]$ . $P(X > 1)$ بە دوو ڕێگا بدۆزەوە: بە ئەندازە و بە .

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

Geometry: the whole triangle has area 1 and the part from 0 to 1 is a small triangle of area $\frac12 \cdot 1 \cdot \frac12 = \frac14$ , so $P(X > 1) = 1 - \frac14 = \frac34$ .

ئەندازە: هەموو سێگۆشەکە ڕووبەری 1ـە و بەشی 0 تا 1 سێگۆشەیەکی بچووکە بە ڕووبەری $\frac12 \cdot 1 \cdot \frac12 = \frac14$ ، بۆیە $P(X > 1) = 1 - \frac14 = \frac34$ .

\int_1^2 \frac{x}{2}\,dx = \left[\frac{x^2}{4}\right]_1^2 = 1 - \frac14 = \frac34

ExerciseڕاهێنانFrom

F

to

f

to a probabilityلە

F

ـەوە بۆ

f

و بۆ ئەگەر

A waiting time has $F(x) = 1 - e^{-2x}$ for $x \ge 0$ (in hours). Find the density $f$ and $P(X > 1)$ .

کاتێکی چاوەڕوانی $F(x) = 1 - e^{-2x}$ ـی هەیە بۆ $x \ge 0$ (بە کاتژمێر). چڕیی $f$ و $P(X > 1)$ بدۆزەوە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

f(x) = F'(x) = 2e^{-2x}, \qquad P(X > 1) = 1 - F(1) = e^{-2} \approx 0.135

ExerciseڕاهێنانExample 8, one step furtherنموونەی 8، هەنگاوێک زیاتر

With $F(x) = x^3$ on $(0, 1)$ , find $P(X < \frac12)$ from $F$ and from $f$ .

بە $F(x) = x^3$ لە سەر $(0, 1)$ ، $P(X < \frac12)$ لە $F$ و لە $f$ بدۆزەوە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

F\left(\tfrac12\right) = \tfrac18, \qquad \int_0^{1/2} 3x^2\,dx = \left[x^3\right]_0^{1/2} = \tfrac18

ExerciseڕاهێنانIs it a pdf?نەخشەی چڕیی ئەگەرە؟

Which of these are pdfs? (a) $f(x) = 2x$ on $[0, 1]$ ; (b) $f(x) = x - 1$ on $[0, 2]$ ; (c) $f(x) = \frac{3}{8}x^2$ on $[0, 2]$ .

کامیان ؟ (أ) $f(x) = 2x$ لە سەر $[0, 1]$ ؛ (ب) $f(x) = x - 1$ لە سەر $[0, 2]$ ؛ (ج) $f(x) = \frac{3}{8}x^2$ لە سەر $[0, 2]$ .

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

(a) Yes: $\int_0^1 2x\,dx = 1$ and $2x \ge 0$ . (b) No: $x - 1 < 0$ for $x < 1$ (its total area is 0). (c) Yes: $\int_0^2 \frac38 x^2 dx = \frac38 \cdot \frac83 = 1$ .

(أ) بەڵێ: $\int_0^1 2x\,dx = 1$ و $2x \ge 0$ . (ب) نەخێر: $x - 1 < 0$ بۆ $x < 1$ (کۆی ڕووبەرەکەی 0ـە). (ج) بەڵێ: $\int_0^2 \frac38 x^2 dx = \frac38 \cdot \frac83 = 1$ .

Summaryکورتە

A continuous random variable takes any value in an interval; probabilities are areas under its density $f$ .
A pdf satisfies $f(x) \ge 0$ and total area 1. $f(x)$ itself is not a probability and can exceed 1.
$P(X = a) = 0$ , so $<$ and $\le$ give the same answers. The uniform density is a rectangle; the exponential density $e^{-x}$ describes waiting times.
Tools: $\int_a^b f(x)\,dx = G(b) - G(a)$ ; the power rule; $\int e^{ax}dx = \frac1a e^{ax} + C$ ; limits at $\infty$ ; integration by parts with LIPET.
Course answers: $c = \frac19$ and $P(1 < X < 2) = \frac{7}{27}$ (not $\frac{8}{27}$ ); for $\frac{1}{x^2}$ : $P(A) = \frac12$ , $P(B) = \frac{1}{20}$ ; for $e^{-x}$ : 0.632; $K = \frac{4}{27}$ on $(0, 3)$ ; $C = 1$ ; $F(x) = 1 - \frac1x$ ; $f(x) = 3x^2$ and $\frac{x}{2}$ .
$F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(u)\,du$ , and $f = F'$ .

هەر بەهایەکی ناو وەردەگرێت؛ ڕووبەرەکانی ژێر چڕییەکەی $f$ ـن.
مەرجەکانی $f(x) \ge 0$ و کۆی ڕووبەر 1 دەپارێزێت. خودی $f(x)$ نییە و دەتوانێت لە 1 زیاتر بێت.
$P(X = a) = 0$ ، بۆیە $<$ و $\le$ هەمان وەڵام دەدەن. چڕیی یەکنەواخت لاکێشەیەکە؛ چڕیی توانیی $e^{-x}$ کاتی چاوەڕوانی وەسف دەکات.
ئامرازەکان: $\int_a^b f(x)\,dx = G(b) - G(a)$ ؛ یاسای توان؛ $\int e^{ax}dx = \frac1a e^{ax} + C$ ؛ لە $\infty$ ؛ بە LIPET.
وەڵامەکانی کۆرسەکە: $c = \frac19$ و $P(1 < X < 2) = \frac{7}{27}$ (نەک $\frac{8}{27}$ )؛ بۆ $\frac{1}{x^2}$ : $P(A) = \frac12$ ، $P(B) = \frac{1}{20}$ ؛ بۆ $e^{-x}$ : ⁦0.632⁩؛ $K = \frac{4}{27}$ لە سەر $(0, 3)$ ؛ $C = 1$ ؛ $F(x) = 1 - \frac1x$ ؛ $f(x) = 3x^2$ و $\frac{x}{2}$ .
$F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(u)\,du$ و $f = F'$ .

Next: the average value of a random variable, discrete or continuous, in Expected Value.

دواتر: بەهای ناوەندیی ، پچڕاو یان بەردەوام، لە نرخی پێشبینیکراو.

Videoڤیدیۆ

Watch a videoسەیری ڤیدیۆیەک بکە

A video that viewers liked a lot and praised in their comments, chosen for this lesson.ڤیدیۆیەک کە بینەران زۆریان پێ خۆش بووە و لە کۆمێنتەکانیاندا ستایشیان کردووە، بۆ ئەم وانەیە هەڵبژێردراوە.

What is a Probability Density Function (pdf)? ("by far the best and easy to understand explanation")Iain Explains Signals, Systems, and Digital Comms · Englishئینگلیزی · 216K viewsبینین · 5.1K likesلایک
A histogram of measured times becomes a smooth curve; the area under that curve between two values is the probability.
کاتە پێوراوەکان دەبێتە هێڵێکی چەماوەی نەرم؛ ڕووبەری ژێر ئەو هێڵە لە نێوان دوو نرخدا .
Whole video: from histogram bars to a density curve, then the definition of a pdf as an area (integral).
هەموو ڤیدیۆکە: لە ستوونەکانی بۆ هێڵی چەماوەی چڕی، پاشان پێناسەی وەک ڕووبەر ().

Lesson complete!وانەکە تەواو بوو!

Well done. Review the key terms, then go on to the next lesson.دەستخۆش. سەیرێکی زاراوە سەرەکییەکان بکەرەوە، پاشان بڕۆ بۆ وانەی داهاتوو.

Key termsزاراوە سەرەکییەکان

Next lessonوانەی داهاتوو

Expected Value (Mathematical Expectation)نرخی پێشبینیکراو (چاوەڕوانیی بیرکاری)

Related lecturesوانە پەیوەندیدارەکان

References and further readingسەرچاوەکان و خوێندنەوەی زیاتر

This lecture is a first edition. The Kurdish text and terminology are waiting for review by Kurdish IT teachers.ئەم وانەیە چاپی یەکەمە. دەقە کوردییەکە و زاراوەکانی چاوەڕێی پێداچوونەوەی مامۆستایانی کوردی بواری IT ن.

Continuous Random Variables and Density Functionsگۆڕاوە هەڕەمەکییە بەردەوامەکان و نەخشەی چڕیی ئەگەر

What you will learnچی فێر دەبیت

From bars to a smooth curveلە ستوونەوە بۆ هێڵێکی چەماوەی نەرم

Probability is areaئەگەر ڕووبەرە

Checking densities with school geometryپشکنینی چڕی بە ئەندازەی قوتابخانە

A single point has probability 0تاکە خاڵێک ئەگەری 0ـە

The simplest density: waiting for a minibusسادەترین چڕی: چاوەڕوانیی پاس

The calculus you need: areas under curvesئەو کالکولەسەی پێویستتە: ڕووبەری ژێر هێڵی چەماوە

Areas from antiderivativesڕووبەر لە ڕێگەی پێچەوانەی مشتەق

Why an integral is an area: thin rectanglesبۆچی تەواوکاری ڕووبەرە: لاکێشەی باریک

The power rule, both waysیاسای توان، بە هەردوو ئاراستە

Exponentials: the integral of eaxe^{ax}eaxنەخشە توانییەکان: تەواوکاریی eaxe^{ax}eax

Limits at infinityئامانجەکان لە بێسنووردا

Integration by partsتەواوکاری بە بەشکردن

Example 5: find ccc, then P(1<X<2)P(1 < X < 2)P(1<X<2)نموونەی 5: ccc بدۆزەوە، پاشان P(1<X<2)P(1 < X < 2)P(1<X<2)

Watch the area fill upسەیری پڕبوونی ڕووبەرەکە بکە

Example 6: a density that never endsنموونەی 6: چڕییەک کە کۆتایی نایەت

H.W 4: the exponential densityڕاهێنانی 4: چڕیی توانی

Homework: find the constantڕاهێنانی ماڵەوە: نەگۆڕەکە بدۆزەوە

Kx2(3−x)Kx^2(3 - x)Kx2(3−x): watch the intervalKx2(3−x)Kx^2(3 - x)Kx2(3−x): ئاگاداری ماوەکە بە

Cx e−xCx\,e^{-x}Cxe−x: integration by parts at workCx e−xCx\,e^{-x}Cxe−x: تەواوکاری بە بەشکردن لە کاردا

The CDF of a continuous variableنەخشەی دابەشبوونی کەڵەکەبووی گۆڕاوی بەردەوام

Common mistakesهەڵە باوەکان

Exercisesڕاهێنانەکان

Summaryکورتە

Watch a videoسەیری ڤیدیۆیەک بکە

Lesson complete!وانەکە تەواو بوو!

Key termsزاراوە سەرەکییەکان

Related lecturesوانە پەیوەندیدارەکان

Exponentials: the integral of $e^{ax}$ نەخشە توانییەکان: تەواوکاریی $e^{ax}$

Example 5: find $c$ , then $P(1 < X < 2)$ نموونەی 5: $c$ بدۆزەوە، پاشان $P(1 < X < 2)$

$Kx^2(3 - x)$ : watch the interval $Kx^2(3 - x)$ : ئاگاداری ماوەکە بە

$Cx\,e^{-x}$ : integration by parts at work $Cx\,e^{-x}$ : تەواوکاری بە بەشکردن لە کاردا