Chapterبەش 3 · Lectureوانە 3.5

Equal, Constant, One-to-One and Onto Functionsنەخشەی یەکسان، نەخشەی نەگۆڕ، نەخشەی یەک بۆ یەک و نەخشەی گشتگر

When are two functions the same? Which functions never repeat an output, and which reach every element of the codomain? Equal and constant functions, one-to-one (injective), onto (surjective) and bijective functions, with arrow diagrams, the horizontal line test and the worked examples $x^3$ , $|x|$ , $5$ and $3x-5$ .

کەی دوو یەک شتن؟ کام هەرگیز دووبارە ناکاتەوە و کامیان دەگاتە هەموو ؟ یەکسان، ، ، و ، لەگەڵ هێڵکاریی تیر، و نموونە چارەسەرکراوەکانی $x^3$ ، $|x|$ ، $5$ و $3x-5$ .

18 min read19 خولەک خوێندنەوە · 19 stepsهەنگاو

What you will learnچی فێر دەبیت

Decide whether two functions are equal by comparing their domains and their values.
Recognise a constant function and its graph.
Prove that a function is one-to-one, or give a counter-example; use the horizontal line test.
Prove that a function is onto, and explain why the codomain matters.
Classify functions as bijective or not, from arrow diagrams, formulas and graphs.

بە بەراوردکردنی و بەهاکانیان بڕیار بدەیت ئایا دوو یەکسانن.
و بناسیتەوە.
بسەلمێنیت یەک بۆ یەکە، یان نموونەیەکی پێچەوانە بهێنیتەوە؛ بەکار بهێنیت.
بسەلمێنیت گشتگرە و ڕوونی بکەیتەوە بۆچی گرنگە.
لە هێڵکاریی تیر، فۆرمولە و هێڵکارییەوە پۆلێن بکەیت: یان نا.

Four questions about a functionچوار پرسیار دەربارەی نەخشەیەک

A function $f:X\to Y$ gives every input $x\in X$ exactly one output $f(x)\in Y$ (What is a function?). The set X is the domain, Y is the codomain, and the outputs that really appear form the range (Domain, range and image).

وەک $f:X\to Y$ بە هەر $x\in X$ تەنها یەک دەدات، کە $f(x)\in Y$ ـە (نەخشە چییە؟). X ، Y و ئەو بەهایانەیە کە f بە ڕاستی دەیاندات (بوار، مەودا و وێنە).

In this lesson we ask four questions about a function. Each question has a name:

لەم وانەیەدا چوار پرسیار دەربارەی دەکەین. هەر پرسیارێک ناوێکی هەیە:

Equal functions: is f the same function as another function g?
Constant function: does f give the same output for every input?
One-to-one: do different inputs always give different outputs?
Onto: is every element of Y really used as an output?

یەکسان: ئایا f هەمان کە g؟
: ئایا f بۆ هەموو هەمان دەدات؟
: ئایا جیاواز هەمیشە جیاواز دەدەن؟
: ئایا هەموو Y بە ڕاستی وەک بەکار دێت؟

Why care? Later you will turn functions around ("which input gave this output?"). That only works for functions that are one-to-one, and it is how logarithms and the inverse trigonometric functions are built.

بۆچی گرنگە؟ دواتر نەخشەکان پێچەوانە دەکەیتەوە («کام ئەم دا؟»). ئەمە تەنها بۆ کار دەکات و و لەسەر ئەم بنەمایە دروست دەکرێن.

Equal functionsنەخشەی یەکسان

Two functions are equal when they do exactly the same job. Formally, $f:X\to Y$ and $g:X\to Y$ are equal, and we write $f=g$ , if and only if they give the same output for every input:

دوو یەکسانن کاتێک هەمان کار بە تەواوی دەکەن. بە شێوەی فەرمی، $f:X\to Y$ و $g:X\to Y$ یەکسانن و دەنووسین $f=g$ ، ئەگەر و تەنها ئەگەر بۆ هەموو هەمان بدەن:

f=g \iff f(x)=g(x)\quad \forall x\in X

Everyday analogyنموونەیەک لە ژیانی ڕۆژانەوە

Think of two price lists in the bazaar. They are the same list only if they name the same goods and every item has the same price. If one list has an item the other does not have, the lists are different, even if all the shared prices agree.

بیر لە دوو لیستی نرخ لە بازاڕدا بکەرەوە. تەنها کاتێک هەمان لیستن کە هەمان کاڵا ناو ببەن و هەر کاڵایەک هەمان نرخی هەبێت. ئەگەر لیستێک کاڵایەکی تێدا بێت کە لە لیستەکەی تردا نییە، دوو لیستی جیاوازن، تەنانەت ئەگەر هەموو نرخە هاوبەشەکان وەک یەک بن.

Where the analogy stops workingسنووری ئەم نموونەیە

A price list is finite, so you can check it line by line. A function on $\mathbb{R}$ has infinitely many inputs, so we compare the formulas and the domains instead.

لیستی نرخ کۆتایی هەیە و دەتوانیت دێڕ بە دێڕ بیپشکنیت. لەسەر $\mathbb{R}$ بێکۆتایی هەیە، بۆیە لە جیاتی ئەوە فۆرمولەکان و بەراورد دەکەین.

Quick checkپشکنینی خێراAre

f(x)=\sqrt{x^2}

and

g(x)=|x|

, both from

\mathbb{R}

to

\mathbb{R}

, equal functions?ئایا

f(x)=\sqrt{x^2}

و

g(x)=|x|

، کە هەردووکیان لە

\mathbb{R}

ـەوە بۆ

\mathbb{R}

ـن، یەکسانن؟No, because

\sqrt{x^2}=x

نەخێر، چونکە

\sqrt{x^2}=x

No, because their domains are differentنەخێر، چونکە بوارەکانیان جیاوازەYes: same domain

\mathbb{R}

and

\sqrt{x^2}=|x|

for every real xبەڵێ: هەمان بواری

\mathbb{R}

و بۆ هەموو xـێکی ڕاستی

\sqrt{x^2}=|x|

Only when

x\ge 0

تەنها کاتێک

x\ge 0

Equal functionsنەخشەی یەکسان

Comparing two functions pair by pairبەراوردکردنی دوو نەخشە جووت بە جووت

When the domain is a small finite set, write each function as its set of pairs and compare them input by input, like the two price lists. Let $A=\{1,2,3\}$ , $B=\{r,s\}$ and $f,g:A\to B$ with $f=\{(1,r),(2,s),(3,r)\}$ and $g=\{(1,s),(2,s),(3,r)\}$ .

کاتێک بچووک و کۆتاییدارە، هەر وەک جووتەکانی بنووسە و بە بەراوردیان بکە، وەک دوو لیستە نرخەکە. با $A=\{1,2,3\}$ ، $B=\{r,s\}$ و $f,g:A\to B$ بن، کە $f=\{(1,r),(2,s),(3,r)\}$ و $g=\{(1,s),(2,s),(3,r)\}$ .

Quick checkپشکنینی خێراAre f and g equal?ئایا f و g یەکسانن؟No:

f(1)=r

but

g(1)=s

نەخێر:

f(1)=r

بەڵام

g(1)=s

Yes: they agree at 2 and 3بەڵێ: لە 2 و 3ـدا وەک یەکنYes: both have the range

\{r,s\}

بەڵێ: مەودای هەردووکیان

\{r,s\}

ـەNo: their domains are differentنەخێر: بوارەکانیان جیاوازە

Equal functionsنەخشەی یەکسان

Example: $\frac{x^3}{x}$ and $x$ نموونە: $\frac{x^3}{x}$ و $x$

The notes ask: are $f(x)=\frac{x^3}{x}$ and $g(x)=x$ equal? Check the two conditions one after the other.

تێبینییەکان دەپرسن: ئایا $f(x)=\frac{x^3}{x}$ و $g(x)=x$ یەکسانن؟ دوو مەرجەکە یەک لە دوای یەک بپشکنە.

Compare the domainsبوارەکان بەراورد بکە
We cannot divide by 0, so f needs $x\ne0$ : $D_f=\mathbb{R}\setminus\{0\}$ . But g is defined everywhere: $D_g=\mathbb{R}$ . The domains are different, so $f\ne g$ .
ناتوانین بەسەر 0دا دابەش بکەین، بۆیە f پێویستی بە $x\ne0$ هەیە: $D_f=\mathbb{R}\setminus\{0\}$ . بەڵام g لە هەموو شوێنێک پێناسە کراوە: $D_g=\mathbb{R}$ . جیاوازن، بۆیە $f\ne g$ .
Compare the valuesبەهاکان بەراورد بکە
For $x\ne0$ we may cancel: $\frac{x^3}{x}=x^2$ . So $f(2)=4$ while $g(2)=2$ . In fact $x^2=x$ only for $x=0$ or $x=1$ , and 0 is not allowed, so the two graphs share just one point, $(1,1)$ .
بۆ $x\ne0$ دەتوانین کورتی بکەینەوە: $\frac{x^3}{x}=x^2$ . کەواتە $f(2)=4$ بەڵام $g(2)=2$ . لە ڕاستیدا $x^2=x$ تەنها بۆ $x=0$ یان $x=1$ ڕاستە و 0 ڕێگەپێدراو نییە، بۆیە دوو هێڵکارییەکە تەنها یەک خاڵی هاوبەشیان هەیە: $(1,1)$ .

Correctionڕاستکردنەوە

The notes give the reason "since $f(0)\ne g(0)$ ". But $f(0)=\frac{0^3}{0}=\frac00$ is not a number at all: 0 is simply not in the domain of f. The correct reasons are that the domains differ and, here, that the values differ too ( $x^3/x$ is $x^2$ , not x).

تێبینییەکان هۆکارەکە بەم شێوەیە دەدەن: «چونکە $f(0)\ne g(0)$ ». بەڵام $f(0)=\frac{0^3}{0}=\frac00$ هەر ژمارە نییە: 0 بە سادەیی لە fـدا نییە. هۆکارە ڕاستەکان ئەمانەن: جیاوازن و لێرەدا بەهاکانیش جیاوازن ( $x^3/x$ یەکسانە بە $x^2$ ، نەک x).

Quick checkپشکنینی خێراIs 0 in the domain of

f(x)=\frac{x^3}{x}

?ئایا 0 لە

f(x)=\frac{x^3}{x}

ـدایە؟Yes:

f(0)=1

بەڵێ:

f(0)=1

No:

f(0)

would be

\frac00

, which is not a numberنەخێر:

f(0)

دەبوو بە

\frac00

، کە ژمارە نییەYes:

f(0)=0

بەڵێ:

f(0)=0

Yes, because

\frac{x^3}{x}=x^2

and

0^2=0

بەڵێ، چونکە

\frac{x^3}{x}=x^2

و

0^2=0

Equal functionsنەخشەی یەکسان

The classic trap: $\frac{x^2}{x}$ تەڵە ناسراوەکە: $\frac{x^2}{x}$

The classic version of the trapشێوە ناسراوەکەی تەڵەکە

The classic version of this trap is $f(x)=\frac{x^2}{x}$ and $g(x)=x$ . Now the values agree for every $x\ne0$ , and still $f\ne g$ : the graph of f is the line $y=x$ with a hole at the origin. Cancelling x silently removes the condition $x\ne0$ . The reason given in the notes looks only at $x=0$ , which fits this version exactly, so the lecturer may have meant $\frac{x^2}{x}$ .

شێوە ناسراوەکەی ئەم تەڵەیە $f(x)=\frac{x^2}{x}$ و $g(x)=x$ ـە. ئێستا بەهاکان بۆ هەموو $x\ne0$ یەکسانن، بەڵام هێشتا $f\ne g$ : f هێڵی $y=x$ ـە بە کونێک لە . کورتکردنەوەی x بە بێدەنگی مەرجی $x\ne0$ لادەبات. ئەو هۆکارەی تێبینییەکان دەیدەن تەنها سەیری $x=0$ دەکات و ڕێک لەگەڵ ئەم شێوەیەدا دەگونجێت، بۆیە لەوانەیە مامۆستاکە مەبەستی $\frac{x^2}{x}$ بووبێت.

Neither pair is equal: in both, f has a hole at

x=0

.هیچ جووتێکیان یەکسان نین: لە هەردووکیاندا f لە

x=0

کونێکی هەیە.CêIT

Quick checkپشکنینی خێراWhich point is missing from the graph of

f(x)=\frac{x^2}{x}

?کام خاڵ لە

f(x)=\frac{x^2}{x}

نییە؟No point is missing: it is the line

y=x

هیچ خاڵێک کەم نییە: هێڵی

y=x

ـە

(1,1)

(1,1)

(0,0)

(0,0)

(0,1)

(0,1)

Constant functionsنەخشە نەگۆڕەکان

Definitionپێناسە

A function that gives the same output for every input: $f(x)=c$ . Its graph is a horizontal line.

نەخشەیەکە کە بۆ هەموو نێوخستەیەک هەمان دەرخستە دەدات: $f(x)=c$ . هێڵکارییەکەی هێڵێکی ئاسۆییە.

A function $f:X\to Y$ is constant if there is one fixed value $y_0\in Y$ with $f(x)=y_0$ for all $x\in X$ . The simplest example is $f(x)=5$ : whatever you put in, 5 comes out. Its graph is a horizontal line, and its range is the one-element set $\{5\}$ .

وەک $f:X\to Y$ نەگۆڕە ئەگەر یەک بەهای جێگیری $y_0\in Y$ هەبێت کە بۆ هەموو $x\in X$ $f(x)=y_0$ . سادەترین نموونە $f(x)=5$ ـە: هەرچی بخەیتە ناوی، 5 دەردەچێت. هێڵێکی ئاسۆییە و تاک-ئەندامی $\{5\}$ ـە.

A constant function: every input gives the same output.: هەموو هەمان دەدات.CêIT

Everyday analogyنموونەیەک لە ژیانی ڕۆژانەوە

Some shops in the bazaar sell everything for 1,000 dinars. The rule "item → price" is a constant function: a pen, a cup and a toy all give the same output.

هەندێک دوکان لە بازاڕدا هەموو شتێک بە ⁦1,000⁩ دینار دەفرۆشن. یاسای «کاڵا ← نرخ» : پێنووس، کوپ و یاری هەموویان هەمان دەدەن.

Where the analogy stops workingسنووری ئەم نموونەیە

A shop has a finite list of goods; $f(x)=5$ is defined for every real number.

دوکان لیستێکی کۆتاییداری کاڵای هەیە؛ $f(x)=5$ بۆ هەموو پێناسە کراوە.

The identity functionنەخشەی هەرئەوێتی

Definitionپێناسە

The function that gives back its input unchanged: $f(x)=x$ . Its graph is the line $y=x$ .

ئەو نەخشەیەی کە نێوخستەکەی بەبێ گۆڕان دەگەڕێنێتەوە: $f(x)=x$ . هێڵکارییەکەی هێڵی $y=x$ ـە.

The identity function gives back exactly what you put in: $I(x)=x$ for every real x. On any set A it is $I_A:A\to A$ , $I_A(a)=a$ . Its graph is the diagonal line $y=x$ through the origin, and its range is all of $\mathbb{R}$ . Different inputs give different outputs and every real number is an output, so it is one-to-one and onto (bijective), as the next screens explain.

ڕێک ئەوەی دەیخەیتە ناوی دەیگەڕێنێتەوە: بۆ هەموو xـێکی ڕاستی $I(x)=x$ . لەسەر هەر A دەبێتە $I_A:A\to A$ ، $I_A(a)=a$ . هێڵە لارەکەی $y=x$ ـە کە بە تێدەپەڕێت و هەموو $\mathbb{R}$ ـە. جیاواز جیاواز دەدەن و هەموو ، بۆیە ، وەک لە شاشەکانی داهاتوودا ڕوون دەکرێتەوە.

Why does it matter? It is the “do nothing” function, like adding 0 or multiplying by 1. Later you will compose functions: doing f and then I, or I and then f, gives f again, $I\circ f=f\circ I=f$ . And a function and its inverse undo each other, so together they act like I.

بۆچی گرنگە؟ ئەمە کە «هیچ ناکات»، وەک زیادکردنی 0 یان لێکدان لە 1. دواتر نەخشەکان ئاوێتە دەکەیت: کردنی f و پاشان I، یان I و پاشان f، دیسان f دەدات، $I\circ f=f\circ I=f$ . هەروەها و پێچەوانەی نەخشەکەی کاری یەکتر هەڵدەوەشێننەوە، بۆیە پێکەوە وەک I کار دەکەن.

Quick checkپشکنینی خێراWhich graph belongs to the identity function

I(x)=x

?کام هێڵکاری هی

I(x)=x

ـە؟The vertical line

x=0

هێڵی ستوونی

x=0

The line through

(0,0)

,

(1,1)

and

(-2,-2)

ئەو هێڵەی بە

(0,0)

،

(1,1)

و

(-2,-2)

ـدا تێدەپەڕێتThe line

y=-x

هێڵی

y=-x

The horizontal line

y=1

هێڵی ئاسۆیی

y=1

One-to-one functionsنەخشە یەک بۆ یەکەکان

Definitionپێناسە

A function where different inputs always give different outputs: $x_1\ne x_2\Rightarrow f(x_1)\ne f(x_2)$ .

نەخشەیەکە کە نێوخستەی جیاواز هەمیشە دەرخستەی جیاواز دەدات: $x_1\ne x_2\Rightarrow f(x_1)\ne f(x_2)$ .

A function $f:X\to Y$ is one-to-one (also called injective, or an injection) if different inputs always give different outputs:

وەک $f:X\to Y$ یەک بۆ یەکە (پێی دەوترێت injective یان injectionـیش) ئەگەر جیاواز هەمیشە جیاواز بدەن:

x_1\ne x_2 \;\Rightarrow\; f(x_1)\ne f(x_2)\qquad\Longleftrightarrow\qquad f(x_1)=f(x_2)\;\Rightarrow\; x_1=x_2

Left: one-to-one. Right: 2 and 3 share the output c, so the function is not one-to-one.چەپ: یەک بۆ یەک. ڕاست: 2 و 3 c بەش دەکەن، بۆیە یەک بۆ یەک نییە.CêIT

Everyday analogyنموونەیەک لە ژیانی ڕۆژانەوە

At a university every student gets a student number, and no two students ever share one. The rule "student → student number" is one-to-one: if two numbers are equal, they belong to the same student.

لە زانکۆدا هەر خوێندکارێک ژمارەیەکی خوێندکاری وەردەگرێت و هەرگیز دوو خوێندکار یەک ژمارەیان نییە. یاسای «خوێندکار ← ژمارەی خوێندکاری» یەک بۆ یەکە: ئەگەر دوو ژمارە یەکسان بن، هی هەمان خوێندکارن.

Where the analogy stops workingسنووری ئەم نموونەیە

Many possible student numbers are never given to anyone. That is allowed: one-to-one says nothing about unused outputs (that is the next question, onto).

زۆر ژمارەی خوێندکاری هەن کە هەرگیز بە کەس نادرێن. ئەمە ڕێگەپێدراوە: یەک بۆ یەک هیچ دەربارەی بەکارنەهاتوو نالێت (ئەوە پرسیاری داهاتووە، گشتگر).

Quick checkپشکنینی خێراLet

X=\{1,2,3\}

and

f(1)=a

,

f(2)=b

,

f(3)=a

. Is f one-to-one?با

X=\{1,2,3\}

و

f(1)=a

،

f(2)=b

،

f(3)=a

. ئایا f یەک بۆ یەکە؟Yes: every input has an outputبەڵێ: هەموو نێوخستەیەک دەرخستەی هەیەNo:

f(1)=f(3)

although

1\ne3

نەخێر:

f(1)=f(3)

هەرچەندە

1\ne3

Yes: there are only three inputsبەڵێ: تەنها سێ نێوخستە هەیەWe cannot tell without a formulaبەبێ فۆرمولە نازانین

One-to-one functionsنەخشە یەک بۆ یەکەکان

The horizontal line testتاقیکردنەوەی هێڵی ئاسۆیی

For a function from $\mathbb{R}$ to $\mathbb{R}$ you can often see whether it is one-to-one. Draw the horizontal line $y=k$ . It meets the graph exactly at the inputs x with $f(x)=k$ . If some horizontal line meets the graph twice, two different inputs share the output k, so f is not one-to-one. If every horizontal line meets the graph at most once, f is one-to-one.

بۆ لە $\mathbb{R}$ ـەوە بۆ $\mathbb{R}$ زۆرجار دەتوانیت ببینیت ئایا یەک بۆ یەکە. هێڵی ئاسۆیی $y=k$ بکێشە. ئەم هێڵە ڕێک لەو خاڵانەدا دەبڕێت کە $f(x)=k$ . ئەگەر هێڵێکی ئاسۆیی دوو جار ببڕێت، دوو جیاواز k بەش دەکەن، بۆیە f یەک بۆ یەک نییە. ئەگەر هەموو هێڵێکی ئاسۆیی زۆرترین جار یەک جار ببڕێت، f یەک بۆ یەکە.

Animation with two graphs side by side, y = x³ on the left and y = |x| on the right. An orange horizontal line moves down from y = 2.5 to y = −2. It always meets y = x³ in exactly one point. It meets y = |x| in two points while y is positive, in one point at y = 0, and in no point when y is negative. — The horizontal line test: $y=x^3$ passes, $y=|x|$ fails.: $y=x^3$ سەردەکەوێت، $y=|x|$ شکست دەهێنێت.CêIT

Do not mix up the two line tests. The vertical line test asks "is this curve a function at all?" (the vertical line test). The horizontal line test asks "is this function one-to-one?". Notice also the lines below the x-axis in the animation: they never meet $y=|x|$ , because no x gives a negative output. That is a hint for the next question.

دوو تاقیکردنەوەکەی هێڵ تێکەڵ مەکە. دەپرسێت «ئایا ئەم چەماوەیە هەر ؟» (تاقیکردنەوەی هێڵی ستوونی). دەپرسێت «ئایا ئەم یەک بۆ یەکە؟». سەرنجی هێڵەکانی ژێر xـیش لە وێنە جووڵاوەکەدا بدە: هەرگیز $y=|x|$ نابڕن، چونکە هیچ xـێک سالب نادات. ئەمە ئاماژەیەکە بۆ پرسیاری داهاتوو.

Quick checkپشکنینی خێراDoes

f(x)=x^2

(from

\mathbb{R}

to

\mathbb{R}

) pass the horizontal line test?ئایا

f(x)=x^2

(لە

\mathbb{R}

ـەوە بۆ

\mathbb{R}

) لە سەردەکەوێت؟No: the line

y=-1

does not meet itنەخێر: هێڵی

y=-1

نایبڕێتYes: it is a smooth curveبەڵێ: چەماوەیەکی نەرمەYes: every vertical line meets it onceبەڵێ: هەموو هێڵێکی ستوونی یەک جار دەیبڕێتNo: the line

y=4

meets the parabola at

x=-2

and

x=2

نەخێر: هێڵی

y=4

بڕگەی هاوتاکە لە

x=-2

و

x=2

ـدا دەبڕێت

Onto functionsنەخشە گشتگرەکان

Definitionپێناسە

A function $f:X\to Y$ whose range is all of Y: every element of the codomain is the image of at least one input.

نەخشەی $f:X\to Y$ کە هەموو Yـە: هەموو ئەندامێکی وێنەی لانیکەم یەک نێوخستەیە.

A function $f:X\to Y$ is onto (also called surjective, or a surjection) if every element of Y is the image of at least one element of X:

وەک $f:X\to Y$ گشتگرە (پێی دەوترێت surjective یان surjectionـیش) ئەگەر هەموو Y لانیکەم یەک X بێت:

\forall y\in Y\ \ \exists x\in X:\ y=f(x) \qquad\Longleftrightarrow\qquad f(X)=Y

Left: onto (3 and 4 sharing c is allowed). Right: c is never reached, so the function is not onto.چەپ: گشتگر (بەشکردنی c لە لایەن 3 و 4ـەوە ڕێگەپێدراوە). ڕاست: هەرگیز ناگەینە c، بۆیە گشتگر نییە.CêIT

The codomain matters. The same formula can be onto with one codomain and not onto with another. $f(x)=|x|$ as a function $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ is not onto, because $-1$ is never an output. As a function $\mathbb{R}\to[0,\infty)$ it is onto: for any $y\ge0$ , the input $x=y$ gives $|y|=y$ .

گرنگە. هەمان فۆرمولە دەکرێت بە گشتگر بێت و بە یەکێکی تر نا. $f(x)=|x|$ وەک $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ گشتگر نییە، چونکە $-1$ هەرگیز نییە. وەک $\mathbb{R}\to[0,\infty)$ گشتگرە: بۆ هەر $y\ge0$ ، $x=y$ بەهای $|y|=y$ دەدات.

Quick checkپشکنینی خێراIs

f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

f(x)=x^2+1

, onto?ئایا

f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

،

f(x)=x^2+1

، گشتگرە؟Yes: it is defined for every real xبەڵێ: بۆ هەموو xـێکی ڕاستی پێناسە کراوەNo: its outputs are never below 1, so 0 is never reachedنەخێر: دەرخستەکانی هەرگیز لە 1 کەمتر نین، بۆیە هەرگیز ناگاتە 0Yes: its graph goes up foreverبەڵێ: هێڵکاریی نەخشەکەی بۆ هەمیشە بەرز دەبێتەوەNo: it is not one-to-oneنەخێر: یەک بۆ یەک نییە

Surjective Functions (and a Proof!) | Surjections, Onto Functions, Surjective ProofsWrath of Math · Englishئینگلیزی · 57K viewsبینین · 1K likesلایک
Defines an onto (surjective) function: every element of the codomain is hit. Then proves a function is onto by solving y = f(x) for x.
(surjective) پێناسە دەکات: هیچ بێ تیر نامێنێتەوە. پاشان بە چارەسەرکردنی $y = f(x)$ بۆ x دەسەلمێنێت کە گشتگرە.
Whole video (7:58): definition, example, a proof that a function is onto, and a practice problem.
هەموو ڤیدیۆکە ⁦(7:58)⁩: پێناسە، نموونە، کە گشتگرە، هەروەها پرسیارێکی ڕاهێنان.

Bijective functions: one-to-one and ontoنەخشەی یەک بۆ یەک و گشتگر

Definitionپێناسە

A function that is both and : every element of Y is the image of exactly one x. Only bijective functions have an inverse function.

نەخشەیەکە کە هەم و هەم : هەموو ئەندامێکی Y وێنەی تەنها یەک xـە. تەنها ئەم جۆرە نەخشانە هەیە.

If $f:X\to Y$ is both one-to-one and onto, it is called bijective (a bijection, or a one-to-one correspondence). Then every element of Y is the image of exactly one element of X: onto gives "at least one", one-to-one gives "at most one".

ئەگەر $f:X\to Y$ هەم یەک بۆ یەک و هەم گشتگر بێت، پێی دەوترێت (bijection). ئەو کاتە هەموو Y تەنها یەک Xـە: گشتگر «لانیکەم یەک» دەدات و یەک بۆ یەک «زۆرترین یەک».

Everyday analogyنموونەیەک لە ژیانی ڕۆژانەوە

At a taxi garage, every passenger (X) gets into one taxi (Y). One-to-one: no two passengers share a taxi. Onto: no taxi leaves empty. Bijective: each taxi carries exactly one passenger, so passengers and taxis are paired off, and there are just as many of each.

لە گەراجێکی تەکسیدا هەر سەرنشینێک ⁦(X)⁩ سواری یەک تەکسی ⁦(Y)⁩ دەبێت. یەک بۆ یەک: هیچ دوو سەرنشینێک یەک تەکسی بەش ناکەن. گشتگر: هیچ تەکسییەک بە بەتاڵی ناڕوات. یەک بۆ یەک و گشتگر: هەر تەکسییەک ڕێک یەک سەرنشین دەبات، بۆیە سەرنشینەکان و تەکسییەکان جووت جووت دەبن و ژمارەیان یەکسانە.

Where the analogy stops workingسنووری ئەم نموونەیە

Real taxis carry up to four people; in the analogy a shared taxi is exactly what breaks one-to-one. For infinite sets you cannot count, but pairing off still works.

تەکسیی ڕاستەقینە تا چوار کەس هەڵدەگرێت؛ لە بەراوردەکەدا بەشکردنی تەکسی ڕێک ئەوەیە کە یەک بۆ یەک تێک دەدات. بۆ بێکۆتایی ناتوانیت بژمێریت، بەڵام جووتکردن هەر کار دەکات.

Quick checkپشکنینی خێراLet

X=\{1,2,3\}

and

Y=\{a,b\}

. Can a function

f:X\to Y

be one-to-one?با

X=\{1,2,3\}

و

Y=\{a,b\}

. ئایا وەک

f:X\to Y

دەتوانێت یەک بۆ یەک بێت؟No: three inputs but only two outputs, so two inputs must share oneنەخێر: سێ نێوخستە و تەنها دوو دەرخستە، بۆیە دوو نێوخستە ناچارن یەکێک بەش بکەنOnly if it is also ontoتەنها ئەگەر گشتگریش بێتYes, if we choose the arrows carefullyبەڵێ، ئەگەر تیرەکان بە وردی هەڵبژێرینYes, every function on a finite set is one-to-oneبەڵێ، هەموو نەخشەیەک لەسەر کۆمەڵەیەکی کۆتاییدار یەک بۆ یەکە

Worked example: $f(x)=x^3$ is one-to-one and ontoنموونەی چارەسەرکراو: $f(x)=x^3$ یەک بۆ یەک و گشتگرە

Let $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $f(x)=x^3$ . We prove both properties, so f is bijective.

با $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ، $f(x)=x^3$ . هەردوو تایبەتمەندییەکە دەسەلمێنین، کەواتە f .

One-to-oneیەک بۆ یەک
Suppose two outputs are equal: $x_1^3=x_2^3$ . Every real number has exactly one real cube root, so taking cube roots of both sides gives $x_1=x_2$ . Equal outputs came from equal inputs.
وا دابنێ دوو یەکسانن: $x_1^3=x_2^3$ . هەموو تەنها یەک ڕاستی هەیە، بۆیە وەرگرتنی لە هەردوو لا $x_1=x_2$ دەدات. یەکسان لە یەکسانەوە هاتوون.
$x_1^3-x_2^3=(x_1-x_2)\left(x_1^2+x_1x_2+x_2^2\right)=(x_1-x_2)\left[\left(x_1+\tfrac{x_2}{2}\right)^2+\tfrac34x_2^2\right]$
Ontoگشتگر
Take any $y\in\mathbb{R}$ . Choose $x=\sqrt[3]{y}=y^{1/3}$ (the real cube root). Then $f(\sqrt[3]{y})=(\sqrt[3]{y})^3=y$ . For example $y=-8$ comes from $x=-2$ , because $(-2)^3=-8$ .
هەر $y\in\mathbb{R}$ ـێک وەربگرە. $x=\sqrt[3]{y}=y^{1/3}$ هەڵبژێرە ( ڕاستی). ئەو کاتە $f(\sqrt[3]{y})=(\sqrt[3]{y})^3=y$ . بۆ نموونە $y=-8$ لە $x=-2$ ـەوە دێت، چونکە $(-2)^3=-8$ .

Correctionڕاستکردنەوە

The notes justify one-to-one with "if $x_1\ne x_2$ then $x_1^3\ne x_2^3$ ". That sentence only repeats what we want to prove. A proof needs a reason: here, that real cube roots are unique (or the factorisation above). For negative y, read $y^{1/3}$ as the real cube root $\sqrt[3]{y}$ ; see odd roots of negative numbers for why this matters on a computer.

تێبینییەکان یەک بۆ یەک بوون بەم ڕستەیە دەسەلمێنن: «ئەگەر $x_1\ne x_2$ ئەوا $x_1^3\ne x_2^3$ ». ئەو ڕستەیە تەنها ئەوە دووبارە دەکاتەوە کە دەمانەوێت بیسەلمێنین. پێویستی بە هۆکار هەیە: لێرەدا ئەوەی کە ڕاستی تاکن (یان شیکردنەوەکەی سەرەوە). بۆ yـی سالب، $y^{1/3}$ وەک ڕاستی $\sqrt[3]{y}$ بخوێنەوە؛ بۆ ئەوەی بزانیت بۆچی ئەمە لەسەر کۆمپیوتەر گرنگە بڕوانە ڕەگی تاکی ژمارە سالبەکان.

Worked examples: $|x|$ and the constant 5نموونەی چارەسەرکراو: $|x|$ و نەگۆڕی 5

Two functions from $\mathbb{R}$ to $\mathbb{R}$ that fail both tests. To show that a property fails, one counter-example is enough.

دوو لە $\mathbb{R}$ ـەوە بۆ $\mathbb{R}$ کە لە هەردوو تاقیکردنەوەکەدا شکست دەهێنن. بۆ نیشاندانی ئەوەی تایبەتمەندییەک نییە، یەک نموونەی پێچەوانە بەسە.

So $|x|$ is neither one-to-one nor onto $\mathbb{R}$ , and the constant function 5 is neither one-to-one nor onto.کەواتە $|x|$ نە یەک بۆ یەکە و نە گشتگرە بۆ $\mathbb{R}$ و 5ـیش نە یەک بۆ یەکە و نە گشتگر.
Function	One-to-one?یەک بۆ یەک؟	Onto $\mathbb{R}$ ?گشتگر بۆ $\mathbb{R}$ ؟
$f(x)=\|x\|$	No: $-1\ne1$ but $f(-1)=1=f(1)$ نەخێر: $-1\ne1$ بەڵام $f(-1)=1=f(1)$	No: $-1\in\mathbb{R}$ , but $\|x\|\ge0$ , so no x gives $f(x)=-1$ نەخێر: $-1\in\mathbb{R}$ ، بەڵام $\|x\|\ge0$ ، بۆیە هیچ xـێک $f(x)=-1$ نادات
$f(x)=5$	No: $f(1)=f(2)=5$ نەخێر: $f(1)=f(2)=5$	No: the range is $\{5\}$ ; for example 7 is never an outputنەخێر: $\{5\}$ ـە؛ بۆ نموونە 7 هەرگیز نییە

Every constant function on a set with two or more elements fails both tests in the same way: all inputs crowd onto one output, and every other element of the codomain stays empty.

هەموو لەسەر کە دوو یان زیاتری هەبێت بە هەمان شێوە لە هەردوو تاقیکردنەوەکەدا شکست دەهێنێت: هەموو لەسەر یەک کۆ دەبنەوە و هەموو تری بەتاڵ دەمێننەوە.

Quick checkپشکنینی خێرا

f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

,

f(x)=x^2

. Which is true?

f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}

،

f(x)=x^2

. کامیان ڕاستە؟Onto but not one-to-oneگشتگرە بەڵام یەک بۆ یەک نییەOne-to-one but not ontoیەک بۆ یەکە بەڵام گشتگر نییەBijectiveیەک بۆ یەک و گشتگرەNeither one-to-one nor ontoنە یەک بۆ یەکە و نە گشتگر

Homework: $f(x)=3x-5$ ئەرکی ماڵەوە: $f(x)=3x-5$

ExerciseڕاهێنانShow that

3x-5

is one-to-oneنیشانی بدە کە

3x-5

یەک بۆ یەکە

Show that the linear function $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ , $f(x)=3x-5$ , is one-to-one. Then decide whether it is also onto.

نیشانی بدە کە $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ، $f(x)=3x-5$ ، یەک بۆ یەکە. پاشان بڕیار بدە ئایا گشتگریشە.

Hintئاماژە

Assume $f(x_1)=f(x_2)$ and show $x_1=x_2$ .

وا دابنێ $f(x_1)=f(x_2)$ و نیشانی بدە $x_1=x_2$ .

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

One-to-oneیەک بۆ یەک
Start from equal outputs and undo the formula step by step.
لە یەکسانەوە دەست پێبکە و فۆرمولەکە هەنگاو بە هەنگاو هەڵبوەشێنەوە.
$\begin{aligned} f(x_1)&=f(x_2)\\ 3x_1-5&=3x_2-5 && (+5)\\ 3x_1&=3x_2 && (\div 3)\\ x_1&=x_2 \end{aligned}$
Ontoگشتگر
Take any $y\in\mathbb{R}$ and solve $3x-5=y$ for x. The solution is a real number, so every y is reached.
هەر $y\in\mathbb{R}$ ـێک وەربگرە و $3x-5=y$ بۆ x چارەسەر بکە. چارەسەرەکە ، بۆیە دەگەینە هەموو yـێک.
$x=\frac{y+5}{3}\quad\Rightarrow\quad f\!\left(\frac{y+5}{3}\right)=3\cdot\frac{y+5}{3}-5=y$
Conclusionئەنجام
f is one-to-one and onto, so it is bijective. The same works for every linear function $ax+b$ with $a\ne0$ . With $a=0$ you get a constant function, which is neither.
f هەم یەک بۆ یەکە و هەم گشتگرە، بۆیە . هەمان شت بۆ هەموو وەک $ax+b$ بە $a\ne0$ ڕاستە. بە $a=0$ وەردەگریت کە هیچ کامیان نییە.

ExerciseڕاهێنانThe domain matters tooبواریش گرنگە

Now take the integers: $g:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ , $g(x)=2x+1$ . Is g one-to-one? Is it onto?

ئێستا وەربگرە: $g:\mathbb{Z}\to\mathbb{Z}$ ، $g(x)=2x+1$ . ئایا g یەک بۆ یەکە؟ ئایا گشتگرە؟

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

One-to-one: yes. $2x_1+1=2x_2+1$ gives $x_1=x_2$ , as before. Onto: no. $2x+1$ is always odd. For $y=2$ we would need $x=\tfrac12$ , which is not an integer. The same formula on $\mathbb{R}$ would be bijective; changing the sets changes the answer.

یەک بۆ یەک: بەڵێ. $2x_1+1=2x_2+1$ وەک پێشتر $x_1=x_2$ دەدات. گشتگر: نەخێر. $2x+1$ هەمیشە تاکە. بۆ $y=2$ پێویستمان بە $x=\tfrac12$ دەبێت، کە نییە. هەمان فۆرمولە لەسەر $\mathbb{R}$ دەبوو؛ گۆڕینی وەڵامەکە دەگۆڕێت.

In computingلە کۆمپیوتەردا

Going furtherزانیاری زیاتر

These words are everyday tools in IT. A database key must be one-to-one: each value of a primary key belongs to exactly one row. A turns files of any size into a short fixed-size value, for example 256 bits. There are far more possible files than 256-bit values, so two different files must share a value: hash functions cannot be one-to-one, and good ones only make such collisions very hard to find. Encryption, on the other hand, must be one-to-one, or the receiver could not tell which message was sent.

ئەم وشانە ئامرازی ڕۆژانەی ITـن. لە دەبێت یەک بۆ یەک بێت: هەر بەهایەکی کلیلی سەرەکی تەنها هی یەک ڕیزە. هەر قەبارەیەک دەکاتە بەهایەکی کورتی قەبارە-جێگیر، بۆ نموونە ⁦256⁩ . جیاواز زۆر زیاترن لە بەهاکانی ⁦256⁩ ، بۆیە دوو جیاواز ناچارن یەک بەها بەش بکەن: ناتوانێت یەک بۆ یەک بێت و باشەکانیان تەنها دۆزینەوەی ئەم collisionsـانە زۆر قورس دەکەن. لە لایەکی ترەوە دەبێت یەک بۆ یەک بێت، ئەگینا وەرگر نازانێت کام نامە نێردراوە.

Quick checkپشکنینی خێراWhy can a hash function that outputs 256-bit values never be one-to-one on all files?بۆچی کە بەهای ⁦256⁩ دەدات هەرگیز لەسەر هەموو یەک بۆ یەک نابێت؟Because files can be emptyچونکە فایل دەکرێت بەتاڵ بێتBecause hash functions are randomچونکە کرداری هاش هەڕەمەکییەThere are more possible files than 256-bit values, so two files must share a valueفایلی جیاواز زیاترن لە بەهاکانی ⁦256⁩ بیت، بۆیە دوو فایل ناچارن یەک بەها بەش بکەنBecause 256 is an even numberچونکە ⁦256⁩ ژمارەیەکی جووتە

Common mistakesهەڵە باوەکان

Mistakeهەڵە	Why it is wrongبۆچی هەڵەیە	Correct thinkingبیرکردنەوەی ڕاست
" $\frac{x^2}{x}=x$ , so the two functions are equal."« $\frac{x^2}{x}=x$ ، بۆیە دوو یەکسانن.»	Cancelling hides the condition $x\ne0$ .کورتکردنەوە مەرجی $x\ne0$ دەشارێتەوە.	Compare domains first, then values.سەرەتا بەراورد بکە، پاشان بەهاکان.
" $f(1)\ne f(2)$ , so f is one-to-one."« $f(1)\ne f(2)$ ، بۆیە f یەک بۆ یەکە.»	One pair proves nothing about all the other pairs.یەک جووت هیچ دەربارەی هەموو جووتەکانی تر ناسەلمێنێت.	Prove $f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2$ ; but one pair with equal outputs does prove "not one-to-one". $f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2$ بسەلمێنە؛ بەڵام یەک جووت بە یەکسان «یەک بۆ یەک نییە» دەسەلمێنێت.
" $\|x\|$ is onto."« $\|x\|$ گشتگرە.»	It depends on the codomain.پەیوەستە بە .	Not onto as $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ; onto as $\mathbb{R}\to[0,\infty)$ .وەک $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ گشتگر نییە؛ وەک $\mathbb{R}\to[0,\infty)$ گشتگرە.
"Onto means every x has an output."«گشتگر واتە هەموو xـێک هەیە.»	Every function gives every x an output.هەموو بە هەموو xـێک دەدات.	Onto is about Y: every y is reached.گشتگر دەربارەی Yـە: دەگەینە هەموو yـێک.
Using the vertical line test for one-to-one.بەکارهێنانی بۆ یەک بۆ یەک.	Vertical lines check "is it a function?".هێڵی ستوونی دەپشکنێت «ئایا ؟».	Use horizontal lines for one-to-one.بۆ یەک بۆ یەک هێڵی ئاسۆیی بەکار بهێنە.
" $x_1\ne x_2$ , so $x_1^3\ne x_2^3$ " as a proof.« $x_1\ne x_2$ ، بۆیە $x_1^3\ne x_2^3$ » وەک .	It repeats the claim without a reason.بانگەشەکە بەبێ هۆکار دووبارە دەکاتەوە.	Give the reason: cube roots are unique.هۆکارەکە بدە: تاکن.

Quick checkپشکنینی خێراA student checks

f(x)=x^2-4x

and finds

f(1)=-3

and

f(2)=-4

. They write "different outputs, so f is one-to-one". What is wrong?خوێندکارێک

f(x)=x^2-4x

دەپشکنێت و

f(1)=-3

و

f(2)=-4

دەدۆزێتەوە. دەنووسێت « جیاواز، بۆیە f یەک بۆ یەکە». هەڵەکە چییە؟Quadratic functions are always one-to-oneنەخشە پلەدووەکان هەمیشە یەک بۆ یەکنNothing; the reasoning is correctهیچ؛ بیرکردنەوەکە ڕاستەOne pair is not enough, and in fact

f(0)=f(4)=0

یەک جووت بەس نییە و لە ڕاستیدا

f(0)=f(4)=0

f(2)

is really

-3

f(2)

لە ڕاستیدا

-3

ـە

Exercisesڕاهێنانەکان

ExerciseڕاهێنانArrow diagramsهێڵکاریی تیر

Let $X=\{1,2,3\}$ and $Y=\{p,q,r\}$ . Classify each function as one-to-one, onto, both or neither: (a) $f(1)=q,\ f(2)=r,\ f(3)=p$ ; (b) $g(1)=p,\ g(2)=p,\ g(3)=r$ .

با $X=\{1,2,3\}$ و $Y=\{p,q,r\}$ . هەر پۆلێن بکە: یەک بۆ یەک، گشتگر، هەردووکیان یان هیچیان: (أ) $f(1)=q,\ f(2)=r,\ f(3)=p$ ؛ (ب) $g(1)=p,\ g(2)=p,\ g(3)=r$ .

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

(a) Every element of Y is hit exactly once: f is bijective. (b) p is hit twice ( $g(1)=g(2)$ ) and q is never hit: g is neither one-to-one nor onto.

(أ) هەموو Y تەنها یەک جار دەپێکرێت: f . (ب) p دوو جار دەپێکرێت ( $g(1)=g(2)$ ) و q هەرگیز ناپێکرێت: g نە یەک بۆ یەکە و نە گشتگر.

ExerciseڕاهێنانFour functions on

\mathbb{R}

چوار نەخشە لەسەر

\mathbb{R}

For $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ decide: one-to-one? onto? (a) $x^3+1$ (b) $-2x+7$ (c) $|x-1|$

بۆ $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ بڕیار بدە: یەک بۆ یەک؟ گشتگر؟ (أ) $x^3+1$ (ب) $-2x+7$ (ج) $|x-1|$

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

Function	One-to-one?یەک بۆ یەک؟	Onto?گشتگر؟
$x^3+1$	Yes: $x_1^3+1=x_2^3+1\Rightarrow x_1^3=x_2^3\Rightarrow x_1=x_2$ بەڵێ: $x_1^3+1=x_2^3+1\Rightarrow x_1^3=x_2^3\Rightarrow x_1=x_2$	Yes: $x=\sqrt[3]{y-1}$ بەڵێ: $x=\sqrt[3]{y-1}$
$-2x+7$	Yes ( $a=-2\ne0$ )بەڵێ ( $a=-2\ne0$ )	Yes: $x=\frac{7-y}{2}$ بەڵێ: $x=\frac{7-y}{2}$
$\|x-1\|$	No: $f(0)=f(2)=1$ نەخێر: $f(0)=f(2)=1$	No: outputs are never negativeنەخێر: هەرگیز سالب نین

ExerciseڕاهێنانEqual or not?یەکسان یان نا؟

Are $f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$ and $g(x)=x+1$ equal functions?

ئایا $f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$ و $g(x)=x+1$ یەکسانن؟

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

No. For $x\ne1$ , $\frac{x^2-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1$ , so the values agree. But f is not defined at $x=1$ (it gives $\frac00$ ), so $D_f=\mathbb{R}\setminus\{1\}\ne\mathbb{R}=D_g$ . The graph of f is the line $y=x+1$ with a hole at $(1,2)$ .

نەخێر. بۆ $x\ne1$ ، $\frac{x^2-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x+1)}{x-1}=x+1$ ، بۆیە بەهاکان یەکسانن. بەڵام f لە $x=1$ ـدا پێناسە نەکراوە ( $\frac00$ دەدات)، بۆیە $D_f=\mathbb{R}\setminus\{1\}\ne\mathbb{R}=D_g$ . f هێڵی $y=x+1$ ـە بە کونێک لە $(1,2)$ ـدا.

ExerciseڕاهێنانRepair

x^2

چاککردنەوەی

x^2

Choose a domain and a codomain that make $f(x)=x^2$ bijective.

و هەڵبژێرە کە $f(x)=x^2$ بکەنە .

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

Take $f:[0,\infty)\to[0,\infty)$ . On $[0,\infty)$ only the right half of the parabola is left, so every horizontal line meets it at most once (one-to-one), and every $y\ge0$ is reached by $x=\sqrt y$ (onto). This "restricting the domain" is exactly how inverse functions such as $\sqrt{x}$ are made.

$f:[0,\infty)\to[0,\infty)$ وەربگرە. لەسەر $[0,\infty)$ تەنها نیوەی ڕاستی دەمێنێتەوە، بۆیە هەموو هێڵێکی ئاسۆیی زۆرترین جار یەک جار دەیبڕێت (یەک بۆ یەک) و دەگەینە هەموو $y\ge0$ ـێک بە $x=\sqrt y$ (گشتگر). ئەم «بچووککردنەوەی بوار»ـە ڕێک ئەو ڕێگەیەیە کە وەک $\sqrt{x}$ پێی دروست دەکرێت.

Summaryپوختە

Equal: $f=g$ means the same domain and codomain and $f(x)=g(x)$ for every x. Cancelling a fraction can change the domain.
Constant: $f(x)=y_0$ for all x; the graph is a horizontal line.
The identity function $I(x)=x$ gives back its input; its graph is the line $y=x$ .
One-to-one: $f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2$ ; every horizontal line meets the graph at most once.
Onto: every y in the codomain is reached; range = codomain. The answer depends on the codomain.
Bijective: both; every y comes from exactly one x. $x^3$ and $3x-5$ are bijective on $\mathbb{R}$ ; $|x|$ and 5 are neither.

یەکسان: $f=g$ واتە هەمان و و بۆ هەموو xـێک $f(x)=g(x)$ . کورتکردنەوەی دەتوانێت بگۆڕێت.
: بۆ هەموو xـێک $f(x)=y_0$ ؛ هێڵێکی ئاسۆییە.
$I(x)=x$ دەگەڕێنێتەوە؛ هێڵی $y=x$ ـە.
یەک بۆ یەک: $f(x_1)=f(x_2)\Rightarrow x_1=x_2$ ؛ هەموو هێڵێکی ئاسۆیی زۆرترین جار یەک جار دەبڕێت.
گشتگر: دەگەینە هەموو yـێکی ؛ = . وەڵامەکە پەیوەستە بە .
یەک بۆ یەک و گشتگر: هەردووکیان؛ هەموو yـێک لە تەنها یەک xـەوە دێت. $x^3$ و $3x-5$ لەسەر $\mathbb{R}$ یەک بۆ یەک و گشتگرن؛ $|x|$ و 5 هیچیان نین.

Review questionsپرسیارەکانی پێداچوونەوە

What is the quickest way to show that a function is NOT one-to-one?خێراترین ڕێگە بۆ نیشاندانی ئەوەی نەخشەیەک یەک بۆ یەک نییە چییە؟

Find two different inputs with the same output, for example $f(-1)=f(1)$ for $|x|$ .

دوو جیاواز بە هەمان بدۆزەوە، بۆ نموونە $f(-1)=f(1)$ بۆ $|x|$ .

How do you prove that a function IS onto?چۆن دەسەلمێنیت کە نەخشەیەک گشتگرە؟

Take any y in the codomain, solve $f(x)=y$ , and check that the x you found lies in the domain.

هەر yـێکی وەربگرە، $f(x)=y$ چارەسەر بکە و بپشکنە کە ئەو xـەی دۆزیتەوە لە .

Why is the constant function 5 not onto

\mathbb{R}

?بۆچی نەخشەی نەگۆڕی 5 بۆ

\mathbb{R}

گشتگر نییە؟

Its range is $\{5\}$ , so any other real number, such as 7, is never an output.

$\{5\}$ ـە، بۆیە هەر تر، وەک 7، هەرگیز نییە.

Videoڤیدیۆ

Watch a videoسەیری ڤیدیۆیەک بکە

A video that viewers liked a lot and praised in their comments, chosen for this lesson.ڤیدیۆیەک کە بینەران زۆریان پێ خۆش بووە و لە کۆمێنتەکانیاندا ستایشیان کردووە، بۆ ئەم وانەیە هەڵبژێردراوە.

بیرکاری پۆلی ١٢ نەخشە چیە ؟ نەخشەی جیا و نەخشەی گشتکر چییە ؟ لە خولی زستانەی پەیمانگای ڕاڤەمامۆستا ڕابەر خالید - بیرکاری (Rabar Khalid). · Kurdish (Sorani)کوردی (سۆرانی) · 2.8K viewsبینین · 120 likesلایک
A Kurdish (Sorani) teacher explains what a function is, then what one-to-one (جیا) and onto (گشتگر) functions are.
مامۆستایەکی کورد بە سۆرانی ڕوون دەکاتەوە چییە، پاشان (لە ڤیدیۆکەدا «جیا») و چین.
Lesson-level, Sorani (7:48): arrow diagrams for a function, a one-to-one function (نەخشەی جیا) and an onto function (نەخشەی گشتگر). Equal, constant and identity functions are not covered.
بۆ هەموو وانەکە، بە سۆرانی ⁦(7:48)⁩: هێڵکاریی تیر بۆ ، (لە ڤیدیۆکەدا « جیا») و . ، و باس ناکات.

Lesson complete!وانەکە تەواو بوو!

Well done. Review the key terms, then go on to the next lesson.دەستخۆش. سەیرێکی زاراوە سەرەکییەکان بکەرەوە، پاشان بڕۆ بۆ وانەی داهاتوو.

Key termsزاراوە سەرەکییەکان

Next lessonوانەی داهاتوو

Graphs of Linear and Power Functions; Even and Odd Functionsهێڵکاریی نەخشە هێڵییەکان و نەخشەکانی هێز؛ نەخشە جووتەکان و نەخشە تاکەکان

Related lecturesوانە پەیوەندیدارەکان

References and further readingسەرچاوەکان و خوێندنەوەی زیاتر

This lecture is a first edition. The Kurdish text and terminology are waiting for review by Kurdish IT teachers.ئەم وانەیە چاپی یەکەمە. دەقە کوردییەکە و زاراوەکانی چاوەڕێی پێداچوونەوەی مامۆستایانی کوردی بواری IT ن.

Equal, Constant, One-to-One and Onto Functionsنەخشەی یەکسان، نەخشەی نەگۆڕ، نەخشەی یەک بۆ یەک و نەخشەی گشتگر

What you will learnچی فێر دەبیت

Four questions about a functionچوار پرسیار دەربارەی نەخشەیەک

Equal functionsنەخشەی یەکسان

Comparing two functions pair by pairبەراوردکردنی دوو نەخشە جووت بە جووت

Example: x3x\frac{x^3}{x}xx3​ and xxxنموونە: x3x\frac{x^3}{x}xx3​ و xxx

The classic trap: x2x\frac{x^2}{x}xx2​تەڵە ناسراوەکە: x2x\frac{x^2}{x}xx2​

Constant functionsنەخشە نەگۆڕەکان

The identity functionنەخشەی هەرئەوێتی

One-to-one functionsنەخشە یەک بۆ یەکەکان

The horizontal line testتاقیکردنەوەی هێڵی ئاسۆیی

Onto functionsنەخشە گشتگرەکان

Bijective functions: one-to-one and ontoنەخشەی یەک بۆ یەک و گشتگر

Worked example: f(x)=x3f(x)=x^3f(x)=x3 is one-to-one and ontoنموونەی چارەسەرکراو: f(x)=x3f(x)=x^3f(x)=x3 یەک بۆ یەک و گشتگرە

Worked examples: ∣x∣|x|∣x∣ and the constant 5نموونەی چارەسەرکراو: ∣x∣|x|∣x∣ و نەگۆڕی 5

Homework: f(x)=3x−5f(x)=3x-5f(x)=3x−5ئەرکی ماڵەوە: f(x)=3x−5f(x)=3x-5f(x)=3x−5

In computingلە کۆمپیوتەردا

Common mistakesهەڵە باوەکان

Exercisesڕاهێنانەکان

Summaryپوختە

Watch a videoسەیری ڤیدیۆیەک بکە

Lesson complete!وانەکە تەواو بوو!

Key termsزاراوە سەرەکییەکان

Related lecturesوانە پەیوەندیدارەکان

Example: $\frac{x^3}{x}$ and $x$ نموونە: $\frac{x^3}{x}$ و $x$

The classic trap: $\frac{x^2}{x}$ تەڵە ناسراوەکە: $\frac{x^2}{x}$

Worked example: $f(x)=x^3$ is one-to-one and ontoنموونەی چارەسەرکراو: $f(x)=x^3$ یەک بۆ یەک و گشتگرە

Worked examples: $|x|$ and the constant 5نموونەی چارەسەرکراو: $|x|$ و نەگۆڕی 5

Homework: $f(x)=3x-5$ ئەرکی ماڵەوە: $f(x)=3x-5$