Chapterبەش 5 · Lectureوانە 5.2

The Cumulative Distribution Function (CDF)نەخشەی دابەشبوونی کەڵەکەبوو ⁦(CDF)⁩

$F(x) = P(X \le x)$ as a running total: the step formula, the staircase graph, properties, interval probabilities $F(b) - F(a)$ , going back from $F$ to the pmf, the course's coin, $\frac{x}{15}$ and die homework, and a first look at the smooth CDF of a continuous variable.

$F(x) = P(X \le x)$ وەک کۆیەکی ڕۆیشتوو: پلەیی، هێڵکاریی پەیژەیی، تایبەتمەندییەکان، بە $F(b) - F(a)$ ، گەڕانەوە لە $F$ ـەوە بۆ ، ڕاهێنانەکانی دراو، $\frac{x}{15}$ و بەردەزاری کۆرسەکە و یەکەم سەیرکردنی نەرمی گۆڕاوی بەردەوام.

12 min read13 خولەک خوێندنەوە · 15 stepsهەنگاو

What you will learnچی فێر دەبیت

Define the CDF $F(x) = P(X \le x)$ and build it from a pmf.
Draw a discrete CDF as a staircase with correct open and filled dots.
Use the properties of $F$ and find interval probabilities with $F(b) - F(a)$ .
Recover the pmf from the jumps of $F$ .

$F(x) = P(X \le x)$ پێناسە بکەیت و لە دروستی بکەیت.
پچڕاو وەک پەیژە بکێشیت بە خاڵی پڕ و بەتاڵی دروست.
تایبەتمەندییەکانی $F$ بەکار بهێنیت و بە $F(b) - F(a)$ بدۆزیتەوە.
لە بازدانەکانی $F$ ـەوە بدۆزیتەوە.

A running total of probabilityکۆیەکی ڕۆیشتووی ئەگەر

Many questions ask “at most”: at most 2 heads, at most 3 errors, a wait of at most 5 minutes. They all have the form $P(X \le x)$ . The cumulative distribution function (CDF) answers all of them at once:

زۆر پرسیار دەڵێن «لانیزۆر»: لانیزۆر 2 شێر، لانیزۆر 3 هەڵە، چاوەڕوانییەک کە لانیزۆر 5 خولەک بێت. هەموویان بە شێوەی $P(X \le x)$ ن. ⁦(CDF)⁩ هەموویان پێکەوە وەڵام دەداتەوە:

F(x) = P(X \le x) = \sum_{x_i \le x} f(x_i)

A taxi meterئامێری کرێی تاکسی

A taxi meter shows the fare so far. It starts at 0, only ever goes up, and jumps each time you pass a pricing point. The CDF is a meter for probability: it starts at 0 far to the left, climbs by the pmf at each value of $X$ , and ends at 1.

ئامێری کرێی تاکسی کرێی تا ئێستا نیشان دەدات. لە 0 دەست پێ دەکات، هەرگیز دانابەزێت و هەر جارێک کە بە خاڵێکی نرخدا تێدەپەڕیت باز دەدات. ئامێرێکی وەهایە بۆ : لە چەپی دوور لە 0 دەست پێ دەکات، لە هەر بەهایەکی $X$ بە ئەندازەی بەرز دەبێتەوە و لە 1 کۆتایی دێت.

Where the analogy stops workingسنووری ئەم نموونەیە

A taxi fare has no upper limit; a CDF can never go above 1.

کرێی تاکسی سنووری سەرەوەی نییە؛ هەرگیز لە 1 تێناپەڕێت.

Quick checkپشکنینی خێراThree coins,

X

= number of heads (

\frac18, \frac38, \frac38, \frac18

). What is

F(1)

?سێ دراو،

X

= ژمارەی شێرەکان (

\frac18, \frac38, \frac38, \frac18

).

F(1)

چەندە؟

\frac48

\frac48

\frac38

\frac38

\frac18

\frac18

Probability Distribution Functions (PMF, PDF, CDF)zedstatistics · Englishئینگلیزی · 1.5M viewsبینین · 32K likesلایک · Partبەشی 3:31–7:00 (ofلە 16:16)
The CDF as a running total of the pmf: for a die, F(x) = P(X ≤ x) climbs in steps from 0 to 1.
وەک کۆی بەردەوامی : بۆ بەردەزارێک، $F(x) = P(X \le x)$ هەنگاو بە هەنگاو لە 0ـەوە بۆ 1 بەرز دەبێتەوە.
Plays 3:31-7:00, the discrete CDF part.
لە ⁦3:31⁩ تا ⁦7:00⁩ پەخش دەبێت: بەشی پچڕاو.

A running total of probabilityکۆیەکی ڕۆیشتووی ئەگەر

The notes, “at most” and cumulative frequencyتێبینییەکان، «لانیزۆر» و دووبارەبوونەوەی کەڵەکەبوو

You have met the same idea for data: the “less than” column of a frequency table, cumulative frequency, is a running total of frequencies. The CDF is its probability version.

هەمان بیرۆکەت بۆ بینیوە: ستوونی «کەمتر لە» لە خشتەی ، دووبارەبوونەوەی کەڵەکەبوو، کۆیەکی ڕۆیشتووی . هەمان ئەو بیرۆکەیەیە بۆ .

Quick checkپشکنینی خێراThree coins (

\frac18, \frac38, \frac38, \frac18

). What is

P(X < 2)

, “fewer than 2 heads”?سێ دراو (

\frac18, \frac38, \frac38, \frac18

).

P(X < 2)

، واتە «کەمتر لە 2 شێر»، چەندە؟

\frac38

\frac38

\frac48

\frac48

\frac78

\frac78

The step formulaفۆرمولەی پلەکان

If $X$ takes the values $x_1 < x_2 < \dots < x_n$ , then $F$ is flat between two values and jumps at each value. Written out in pieces:

گەر $X$ بەهاکانی $x_1 < x_2 < \dots < x_n$ وەربگرێت، ئەوا $F$ لە نێوان دوو بەهادا ڕاستە و لە سەر هەر بەهایەک باز دەدات. بە پارچە نووسراوە:

F(x) = \begin{cases} 0 & x < x_1 \\ f(x_1) & x_1 \le x < x_2 \\ f(x_1) + f(x_2) & x_2 \le x < x_3 \\ \quad\vdots & \quad\vdots \\ f(x_1) + \cdots + f(x_n) = 1 & x \ge x_n \end{cases}

This is a piecewise function, and because it is flat with jumps it is called a step function, like the floor function $\lfloor x \rfloor$ .

ئەمە نەخشەی ڕێسا پەلدارـە و چونکە ڕاستە و باز دەدات پێی دەڵێن ، وەک نەخشەی $\lfloor x \rfloor$ .

Example: the CDF of three coinsنموونە: نەخشەی دابەشبوونی کەڵەکەبووی سێ دراو

Lecture 3, Example 1, part 3 and Lecture 4, Example 4, part 1: three coins, $X$ = number of heads. Add the pmf down the table:

وانەی 3، نموونەی 1، بەشی 3 و وانەی 4، نموونەی 4، بەشی 1: سێ دراو، $X$ = ژمارەی شێرەکان. بە درێژایی خشتەکە کۆ بکەرەوە:

For $x < 0$ , $F(x) = 0$ .بۆ $x < 0$ ، $F(x) = 0$ .
$x$	$f(x)$	$F(x)$	holds forبۆ
0	$\frac18$	$\frac18 = 0.125$	$0 \le x < 1$
1	$\frac38$	$\frac18 + \frac38 = \frac48 = 0.5$	$1 \le x < 2$
2	$\frac38$	$\frac78 = 0.875$	$2 \le x < 3$
3	$\frac18$	$\frac88 = 1$	$x \ge 3$

A discrete CDF is a staircase. A filled dot shows the value at a jump; an open dot shows where a step ends. پچڕاو پەیژەیە. خاڵی پڕ بەهاکە لە شوێنی بازدان نیشان دەدات؛ خاڵی بەتاڵ ئەو شوێنەیە کە پلەیەک کۆتایی دێت.CêIT

Bars are not a CDFستوون نەخشەی دابەشبوونی کەڵەکەبوو نییە

Lecture 3 sketches this CDF as four bars at 0, 1, 2, 3. That hides what $F$ does between the values: $F(1.5) = \frac48$ , the same as $F(1)$ , and $F(-2) = 0$ . A discrete CDF is drawn as flat steps that go on to the left and right; the filled and open dots mean the same as on a number line for intervals: end included, end left out.

وانەی 3 ئەم وەک چوار ستوون لە 0، 1، 2، 3 دەکێشێت. ئەمە ئەوە دەشارێتەوە کە $F$ لە نێوان بەهاکاندا چی دەکات: $F(1.5) = \frac48$ (هەمان $F(1)$ ) و $F(-2) = 0$ . پچڕاو وەک پلەی ڕاست دەکێشرێت کە بەرەو چەپ و ڕاست درێژ دەبنەوە؛ خاڵی پڕ و بەتاڵ هەمان واتایان هەیە کە لە سەر هێڵی ژمارە بۆ ماوەکان: کۆتایی تێدایە، کۆتایی تێدا نییە.

Example: the CDF of three coinsنموونە: نەخشەی دابەشبوونی کەڵەکەبووی سێ دراو

From stems to a staircaseلە ستوونەوە بۆ پەیژە

Watch the pmf stems being stacked one on top of the other. Each stem becomes one jump of the staircase.

سەیر بکە چۆن ستوونەکانی یەک لە سەر یەک کەڵەکە دەکرێن. هەر ستوونێک دەبێت بە بازدانێکی پەیژەکە.

Animation: the four pmf stems of three coins (1/8, 3/8, 3/8, 1/8) stand on the x-axis. One by one, at x = 0, 1, 2, 3, a stem is lifted onto the current level of F, so F climbs 1/8, 4/8, 7/8, 1; the last frame shows the full staircase and F(x) = P(X ≤ x). — Each jump of the CDF is one stem of the pmf.هەر بازدانێکی ستوونێکی .CêIT

Properties of every CDFتایبەتمەندییەکانی هەموو نەخشەی دابەشبوونی کەڵەکەبوو

The two lectures list these properties. They hold for discrete and continuous variables alike:

دوو وانەکە ئەم تایبەتمەندییانە دەژمێرن. بۆ گۆڕاوی پچڕاو و بەردەوام وەک یەک ڕاستن:

$0 \le F(x) \le 1$ : $F(x)$ is a probability.
Non-decreasing: if $a < b$ then $F(a) \le F(b)$ . Moving right can only add probability, never remove it.
$\lim_{x \to -\infty} F(x) = 0$ and $\lim_{x \to \infty} F(x) = 1$ : far to the left nothing has happened yet; far to the right everything has.
At a jump, the value of $F$ is the upper end (the filled dot): $F$ is continuous from the right.

$0 \le F(x) \le 1$ : $F(x)$ .
دانەبەزیو: گەر $a < b$ ئەوا $F(a) \le F(b)$ . چوونە ڕاست تەنها دەتوانێت زیاد بکات، هەرگیز لای نابات.
$\lim_{x \to -\infty} F(x) = 0$ و $\lim_{x \to \infty} F(x) = 1$ : لە چەپی دوور هێشتا هیچ ڕووی نەداوە؛ لە ڕاستی دوور هەموو شتێک ڕووی داوە.
لە شوێنی بازدان بەهای $F$ کۆتایی سەرەوەیە (خاڵە پڕەکە): $F$ لە لای ڕاستەوە بەردەوامە.

Lecture 3 writes the two limits as $F(-\infty) = 0$ and $F(\infty) = 1$ ; these are short forms of the limits above, since $\pm\infty$ is not a number you can put into $F$ .

وانەی 3 دوو بە $F(-\infty) = 0$ و $F(\infty) = 1$ دەنووسێت؛ ئەمانە کورتکراوەی سەرەوەن، چونکە $\pm\infty$ ژمارە نییە تا بیخەیتە ناو $F$ .

Property 5 in Lecture 3تایبەتمەندیی 5 لە وانەی 3دا

Property 5 is printed as $F(x) = P(X - x) = \int_1^x f(x)\,dx$ . It is a garbled copy of the definition: $F(x) = P(X \le x) = \int_{-\infty}^{x} f(u)\,du$ for a continuous variable (see the continuous CDF).

تایبەتمەندیی 5 بە $F(x) = P(X - x) = \int_1^x f(x)\,dx$ چاپ کراوە. کۆپییەکی تێکچووی پێناسەکەیە: $F(x) = P(X \le x) = \int_{-\infty}^{x} f(u)\,du$ بۆ گۆڕاوی بەردەوام (بڕوانە نەخشەی دابەشبوونی کەڵەکەبووی بەردەوام).

Quick checkپشکنینی خێراA table says

F(1) = 0.6

and

F(2) = 0.5

. What is wrong?خشتەیەک دەڵێت

F(1) = 0.6

و

F(2) = 0.5

. چی هەڵەیە؟Nothing;

F

may go up and downهیچ؛

F

دەتوانێت بەرز و نزم بێت

F

went down; a CDF can never decrease

F

دابەزی؛ نەخشەی دابەشبوونی کەڵەکەبوو هەرگیز دانابەزێت

F(2)

must be exactly 1

F(2)

دەبێت ڕێک 1 بێت

Probabilities of intervals: $F(b) - F(a)$ ئەگەری ماوەکان: $F(b) - F(a)$

$F(b)$ counts everything up to $b$ ; $F(a)$ counts everything up to $a$ . Their difference is what lies after $a$ , up to and including $b$ :

$F(b)$ هەموو شتێک تا $b$ دەژمێرێت؛ $F(a)$ هەموو شتێک تا $a$ . جیاوازییەکەیان ئەوەیە کە دەکەوێتە دوای $a$ تا $b$ ، بە خودی $b$ ـیشەوە:

P(a < X \le b) = F(b) - F(a)

For a discrete variable, watch the ends. To include $a$ , subtract $F$ just below $a$ : $P(1 \le X \le 3) = F(3) - F(0) = \frac{6}{15}$ . For three coins, $P(0 < X \le 2) = F(2) - F(0) = \frac78 - \frac18 = \frac68$ .

بۆ گۆڕاوی پچڕاو ئاگاداری کۆتاییەکان بە. بۆ تێدابوونی $a$ ، $F$ ـی ڕێک لە خوار $a$ کەم بکەرەوە: $P(1 \le X \le 3) = F(3) - F(0) = \frac{6}{15}$ . بۆ سێ دراو، $P(0 < X \le 2) = F(2) - F(0) = \frac78 - \frac18 = \frac68$ .

Which inequalities?کام نایەکسانییەکان؟

Lecture 3 writes $P(a < X < b) = F(b) - F(a)$ . That is right for a continuous variable, where single points have probability 0. For a discrete variable the correct form is $P(a < X \le b) = F(b) - F(a)$ : with three coins, $P(1 < X < 3) = \frac38$ but $F(3) - F(1) = \frac48$ . Lecture 4's property 3, $f(b) - f(a)$ , must use $F$ in the same way.

وانەی 3 دەنووسێت $P(a < X < b) = F(b) - F(a)$ . ئەمە بۆ گۆڕاوی بەردەوام دروستە، کە تاکە خاڵ 0ـە. بۆ گۆڕاوی پچڕاو شێوەی دروست $P(a < X \le b) = F(b) - F(a)$ ـە: بە سێ دراو، $P(1 < X < 3) = \frac38$ ، بەڵام $F(3) - F(1) = \frac48$ . تایبەتمەندیی 3ی وانەی 4، $f(b) - f(a)$ ، دەبێت بە هەمان شێوە $F$ بەکار بهێنێت.

Quick checkپشکنینی خێراThree coins. Use

F

to find

P(X > 1)

.سێ دراو. بە

F

،

P(X > 1)

بدۆزەوە.

1 - F(0) = \frac78

1 - F(0) = \frac78

1 - F(1) = \frac48

1 - F(1) = \frac48

1 - F(2) = \frac18

1 - F(2) = \frac18

Example 3: the CDF of $\frac{x}{15}$ نموونەی 3: نەخشەی دابەشبوونی کەڵەکەبووی $\frac{x}{15}$

Lecture 4, Example 3 (Lecture 3, H.W 2): $P(x) = \frac{x}{15}$ , $x = 1, \dots, 5$ . Find the CDF and sketch it. Keep adding:

وانەی 4، نموونەی 3 (وانەی 3، ڕاهێنانی ماڵەوەی ⁦2⁩): $P(x) = \frac{x}{15}$ ، $x = 1, \dots, 5$ . بدۆزەوە و بیکێشە. بەردەوام کۆ بکەرەوە:

F(x) = \begin{cases} 0 & x < 1 \\ \frac{1}{15} & 1 \le x < 2 \\ \frac{3}{15} & 2 \le x < 3 \\ \frac{6}{15} & 3 \le x < 4 \\ \frac{10}{15} & 4 \le x < 5 \\ 1 & x \ge 5 \end{cases}

The jumps grow because the pmf

\frac{x}{15}

grows.بازدانەکان گەورە دەبن چونکە

\frac{x}{15}

گەورە دەبێت.CêIT

From the CDF back to the pmfلە نەخشەی دابەشبوونی کەڵەکەبووەوە بۆ نەخشەی بارستەی ئەگەر

The CDF and the pmf carry the same information. Going down, add; going up, subtract. The size of each jump is the pmf value at that point:

و هەمان زانیاری هەڵدەگرن. بۆ خوارەوە کۆ بکەرەوە؛ بۆ سەرەوە کەم بکەرەوە. قەبارەی هەر بازدانێک بەهای لەو خاڵەدا:

F(x) = \sum_{x_i \le x} f(x_i) \qquad\Longleftrightarrow\qquad f(x_i) = F(x_i) - F(x_{i-1})

Example 4, part 2: three coins, pmf from the CDFنموونەی 4، بەشی 2: سێ دراو، نەخشەی بارستەی ئەگەر لە نەخشەی دابەشبوونی کەڵەکەبووەوە

$x = 0$ کاتێک $x = 0$
$f(0) = F(0) - F(-1) = \frac18 - 0 = \frac18$
$f(0) = F(0) - F(-1) = \frac18 - 0 = \frac18$
$x = 1$ کاتێک $x = 1$
$f(1) = F(1) - F(0) = \frac48 - \frac18 = \frac38$
$f(1) = F(1) - F(0) = \frac48 - \frac18 = \frac38$
$x = 2$ کاتێک $x = 2$
$f(2) = F(2) - F(1) = \frac78 - \frac48 = \frac38$
$f(2) = F(2) - F(1) = \frac78 - \frac48 = \frac38$
$x = 3$ کاتێک $x = 3$
$f(3) = F(3) - F(2) = \frac88 - \frac78 = \frac18$
$f(3) = F(3) - F(2) = \frac88 - \frac78 = \frac18$

We get back $\frac18, \frac38, \frac38, \frac18$ . (One line of the course notes labels the last value “ $P(x = 4)$ ”; with three coins the largest value is 3, so it is $P(x = 3)$ .)

دووبارە $\frac18, \frac38, \frac38, \frac18$ وەردەگرینەوە. (هێڵێک لە تێبینییەکانی کۆرسەکە ناوی دوا بەها دەنێت « $P(x = 4)$ »؛ بە سێ دراو گەورەترین بەها 3ـە، بۆیە ئەوە $P(x = 3)$ ـە.)

Quick checkپشکنینی خێراA discrete

X

has

F(0) = 0.2

,

F(1) = 0.7

,

F(2) = 1

(values 0, 1, 2). What is

P(X = 1)

?

X

ـێکی پچڕاو

F(0) = 0.2

،

F(1) = 0.7

،

F(2) = 1

ـی هەیە (بەهاکانی 0، 1، ⁦2⁩).

P(X = 1)

چەندە؟

0.5

0.5

0.7

0.7

0.3

0.3

The course homework, solvedڕاهێنانەکانی ماڵەوەی کۆرسەکە، چارەسەرکراو

ExerciseڕاهێنانH.W 1 (Lecture 3), part 3: two coinsڕاهێنانی 1 (وانەی ⁦3⁩)، بەشی 3: دوو دراو

Two coins, $X$ = number of heads, pmf $\frac14, \frac12, \frac14$ . Find the CDF.

دوو دراو، $X$ = ژمارەی شێرەکان، $\frac14, \frac12, \frac14$ . بدۆزەوە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

F(x) = \begin{cases} 0 & x < 0 \\ 0.25 & 0 \le x < 1 \\ 0.75 & 1 \le x < 2 \\ 1 & x \ge 2 \end{cases}

ExerciseڕاهێنانH.W 2 (Lecture 4)ڕاهێنانی 2 (وانەی ⁦4⁩)

$P(x) = \frac{0.75}{x!\,(3 - x)!}$ , $x = 0, 1, 2, 3$ : find the CDF and sketch it.

$P(x) = \frac{0.75}{x!\,(3 - x)!}$ ، $x = 0, 1, 2, 3$ : بدۆزەوە و بیکێشە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

The pmf is 0.125, 0.375, 0.375, 0.125 (the three-coin pmf, see the pmf lesson), so the CDF is the same staircase as three coins:

بریتییە لە ⁦0.125⁩، ⁦0.375⁩، ⁦0.375⁩، ⁦0.125⁩ ( سێ دراو، بڕوانە وانەی نەخشەی بارستەی ئەگەر)، بۆیە هەمان پەیژەی سێ دراوەکەیە:

F(x) = 0 \ (x < 0),\quad 0.125 \ (0 \le x < 1),\quad 0.5 \ (1 \le x < 2),\quad 0.875 \ (2 \le x < 3),\quad 1 \ (x \ge 3)

ExerciseڕاهێنانH.W 3 (both lectures): a dieڕاهێنانی 3 (هەردوو وانە): بەردەزارێک

$P(x) = \frac16$ for $x = 0, 1, \dots, 6$ (as printed). (a) Is it a pmf? (b) Find the CDF. (c) Find $P(2 < X \le 4)$ .

$P(x) = \frac16$ بۆ $x = 0, 1, \dots, 6$ (وەک چاپکراوە). (أ) ؟ (ب) بدۆزەوە. (ج) $P(2 < X \le 4)$ بدۆزەوە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

(a) As printed, $x = 0, 1, \dots, 6$ gives seven values and a total of $\frac76$ : not a pmf (why). With $x = 1, \dots, 6$ , a fair die, it is.

(أ) وەک چاپکراوە، $x = 0, 1, \dots, 6$ حەوت بەها و کۆی $\frac76$ دەدات: نییە (بۆچی). بە $x = 1, \dots, 6$ ، بەردەزارێکی دادپەروەر، .

F(x) = \begin{cases} 0 & x < 1 \\ \frac{k}{6} & k \le x < k + 1,\ k = 1, \dots, 5 \\ 1 & x \ge 6 \end{cases}

P(2 < X \le 4) = F(4) - F(2) = \frac46 - \frac26 = \frac26 = P(3) + P(4)

A smooth CDF for continuous variablesنەخشەی دابەشبوونی کەڵەکەبووی نەرم بۆ گۆڕاوی بەردەوام

For a continuous variable there are no stems to add: probability is spread along an interval by a density $f$ . The running total becomes an area, written as an integral, and the staircase becomes a smooth curve.

بۆ گۆڕاوی بەردەوام هیچ ستوونێک نییە کۆی بکەیتەوە: بە چڕییەک $f$ بە درێژایی بڵاو بووەتەوە. کۆی ڕۆیشتوو دەبێت بە ڕووبەر، کە بە دەنووسرێت و پەیژەکە دەبێت بە هێڵێکی چەماوەی نەرم.

F(x) = P(X \le x) = \int_{-\infty}^{x} f(u)\,du, \qquad f(x) = \frac{dF}{dx} = F'(x)

Discrete: jumps. Continuous: no jumps at all.پچڕاو: بازدان. بەردەوام: هیچ بازدانێک نییە.CêIT

Two printing slipsدوو هەڵەی چاپ

(1) Lecture 3 writes the continuous CDF as $\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx$ . That integral is always 1; the upper limit must be $x$ . (2) It writes $f(x) = \frac{\partial F(x)}{\partial x}$ . $F$ has only one variable, so this is an ordinary derivative, $\frac{dF}{dx}$ .

⁦(1)⁩ وانەی 3 بەردەوام بە $\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx$ دەنووسێت. ئەو هەمیشە 1ـە؛ سنووری سەرەوە دەبێت $x$ بێت. ⁦(2)⁩ دەنووسێت $f(x) = \frac{\partial F(x)}{\partial x}$ . $F$ تەنها یەک گۆڕاوی هەیە، بۆیە ئەمە ئاساییە، $\frac{dF}{dx}$ .

How to find and use these integrals, with the course's examples, is the next lesson: Continuous Random Variables and Density Functions. The best-known continuous CDF belongs to the normal distribution: Probabilities are areas.

چۆنیەتیی دۆزینەوە و بەکارهێنانی ئەم ، لەگەڵ نموونەکانی کۆرسەکە، وانەی داهاتووە: گۆڕاوە هەڕەمەکییە بەردەوامەکان و نەخشەی چڕیی ئەگەر. ناسراوترین بەردەوام هی : ئەگەرەکان ڕووبەرن.

Quick checkپشکنینی خێراWhich graph can be the CDF of a continuous random variable?کام هێڵکاری دەتوانێت بێت؟A bell-shaped curve that goes up and comes down againهێڵێکی زەنگئاسا کە بەرز دەبێتەوە و دووبارە دادەبەزێتەوەA smooth curve that rises from 0 to 1 and never fallsهێڵێکی چەماوەی نەرم کە لە 0 بۆ 1 بەرز دەبێتەوە و هەرگیز دانابەزێتA staircase with four jumpsپەیژەیەک بە چوار بازدان

Common mistakesهەڵە باوەکان

Drawing a discrete CDF as bars or stems. It is a staircase: flat steps, a jump at each value, 0 on the far left and 1 on the far right.
Open and closed dots the wrong way round. At a jump $F$ takes the upper value: $F(1) = \frac48$ for three coins, not $\frac18$ .
Using $<$ instead of $\le$ . $F(x) = P(X \le x)$ ; for discrete variables $P(X < x)$ is a different number.
Adding running totals. Each step adds one pmf value $f(x_i)$ , not $F(x_i)$ .
Wrong ends in $F(b) - F(a)$ . It gives $P(a < X \le b)$ : $a$ is left out and $b$ is kept.

کێشانی پچڕاو وەک ستوون. پەیژەیە: پلەی ڕاست، بازدانێک لە سەر هەر بەهایەک، 0 لە چەپی دوور و 1 لە ڕاستی دوور.
خاڵی پڕ و بەتاڵ بە پێچەوانەوە. لە شوێنی بازدان $F$ بەهای سەرەوە وەردەگرێت: بۆ سێ دراو $F(1) = \frac48$ ، نەک $\frac18$ .
بەکارهێنانی $<$ لە جیاتی $\le$ . $F(x) = P(X \le x)$ ؛ بۆ گۆڕاوی پچڕاو $P(X < x)$ ژمارەیەکی جیاوازە.
کۆکردنەوەی کۆی ڕۆیشتوو. هەر پلەیەک یەک بەهای $f(x_i)$ زیاد دەکات، نەک $F(x_i)$ .
کۆتایی هەڵە لە $F(b) - F(a)$ . $P(a < X \le b)$ دەدات: $a$ دەردەکرێت و $b$ دەمێنێتەوە.

Exercisesڕاهێنانەکان

ExerciseڕاهێنانRead the staircaseپەیژەکە بخوێنەوە

For three coins, find $F(-1)$ , $F(0.5)$ , $F(2)$ , $F(10)$ and $P(1 < X \le 3)$ .

بۆ سێ دراو، $F(-1)$ ، $F(0.5)$ ، $F(2)$ ، $F(10)$ و $P(1 < X \le 3)$ بدۆزەوە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

F(-1) = 0,\quad F(0.5) = \tfrac18,\quad F(2) = \tfrac78,\quad F(10) = 1,\qquad P(1 < X \le 3) = F(3) - F(1) = 1 - \tfrac48 = \tfrac48

ExerciseڕاهێنانThe bag, as a staircaseتوورەکەکە، وەک پەیژە

In the pmf lesson, two balls are taken from a bag with 2 red and 3 blue; $X$ = number of red, with pmf $\frac{3}{10}, \frac{6}{10}, \frac{1}{10}$ for 0, 1, 2. Write the CDF.

لە وانەی ، دوو تۆپ لە توورەکەیەک دەردەهێنرێن کە 2 سوور و 3 شینی تێدایە؛ $X$ = ژمارەی سوورەکان، بە $\frac{3}{10}, \frac{6}{10}, \frac{1}{10}$ بۆ 0، 1، 2. بنووسە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

F(x) = 0 \ (x < 0),\quad 0.3 \ (0 \le x < 1),\quad 0.9 \ (1 \le x < 2),\quad 1 \ (x \ge 2)

ExerciseڕاهێنانFrom a CDF to a pmfلە نەخشەی دابەشبوونی کەڵەکەبووەوە بۆ نەخشەی بارستەی ئەگەر

A discrete $X$ has $F(x) = 0$ for $x < 1$ , $0.1$ on $[1, 2)$ , $0.4$ on $[2, 4)$ and $1$ for $x \ge 4$ . Find the pmf and $P(X \ge 2)$ .

$X$ ـێکی پچڕاو $F(x) = 0$ ـی هەیە بۆ $x < 1$ ، $0.1$ لە $[1, 2)$ ، $0.4$ لە $[2, 4)$ و $1$ بۆ $x \ge 4$ . و $P(X \ge 2)$ بدۆزەوە.

Hintئاماژە

A jump of $F$ at a value is the pmf at that value.

بازدانی $F$ لە بەهایەکدا بەهای لەو بەهایەدا.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

The jumps are at 1, 2 and 4: $f(1) = 0.1$ , $f(2) = 0.4 - 0.1 = 0.3$ , $f(4) = 1 - 0.4 = 0.6$ (no jump at 3, so $f(3) = 0$ ). Then $P(X \ge 2) = 1 - F(1) = 0.9$ .

بازدانەکان لە 1، 2 و 4ن: $f(1) = 0.1$ ، $f(2) = 0.4 - 0.1 = 0.3$ و $f(4) = 1 - 0.4 = 0.6$ (لە 3 بازدان نییە، بۆیە $f(3) = 0$ ). پاشان $P(X \ge 2) = 1 - F(1) = 0.9$ .

Summaryکورتە

The CDF is $F(x) = P(X \le x)$ , a running total of probability, defined for every real $x$ .
Discrete $X$ : $F$ is a staircase. Each jump is a pmf value: $f(x_i) = F(x_i) - F(x_{i-1})$ .
$0 \le F \le 1$ , $F$ never decreases, $F \to 0$ on the far left and $F \to 1$ on the far right.
$P(a < X \le b) = F(b) - F(a)$ . Three coins: $\frac18, \frac48, \frac78, 1$ . For $\frac{x}{15}$ : $\frac{1}{15}, \frac{3}{15}, \frac{6}{15}, \frac{10}{15}, 1$ .
Continuous $X$ : $F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(u)\,du$ , a smooth curve, and $f = F'$ .

بریتییە لە $F(x) = P(X \le x)$ ، کۆیەکی ڕۆیشتووی ، کە بۆ هەموو $x$ ـێکی ڕاستی پێناسە کراوە.
$X$ ـی پچڕاو: $F$ پەیژەیە. هەر بازدانێک بەهایەکی : $f(x_i) = F(x_i) - F(x_{i-1})$ .
$0 \le F \le 1$ ، $F$ هەرگیز دانابەزێت، لە چەپی دوور $F \to 0$ و لە ڕاستی دوور $F \to 1$ .
$P(a < X \le b) = F(b) - F(a)$ . سێ دراو: $\frac18, \frac48, \frac78, 1$ . بۆ $\frac{x}{15}$ : $\frac{1}{15}, \frac{3}{15}, \frac{6}{15}, \frac{10}{15}, 1$ .
$X$ ـی بەردەوام: $F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(u)\,du$ ، هێڵێکی چەماوەی نەرم و $f = F'$ .

Videoڤیدیۆ

Watch a videoسەیری ڤیدیۆیەک بکە

A video that viewers liked a lot and praised in their comments, chosen for this lesson.ڤیدیۆیەک کە بینەران زۆریان پێ خۆش بووە و لە کۆمێنتەکانیاندا ستایشیان کردووە، بۆ ئەم وانەیە هەڵبژێردراوە.

Probability Distributions Clearly Explained Visually (PMF, PDF and CDF)RiskByNumbers · Englishئینگلیزی · 78K viewsبینین · 2.5K likesلایک
A visual tour: random variable, pmf, the CDF staircase for a discrete variable, then the smooth CDF of a continuous one.
گەشتێکی وێنەیی: ، ، پەیژەی بۆ ، پاشان نەرم بۆ .
Discrete CDF from 2:04, continuous variables and their CDF from 4:32 (the last screen of the lesson).
پچڕاو لە ⁦2:04⁩ـەوە، و لە ⁦4:32⁩ـەوە (دوایین شاشەی وانەکە).

Lesson complete!وانەکە تەواو بوو!

Well done. Review the key terms, then go on to the next lesson.دەستخۆش. سەیرێکی زاراوە سەرەکییەکان بکەرەوە، پاشان بڕۆ بۆ وانەی داهاتوو.

Key termsزاراوە سەرەکییەکان

Next lessonوانەی داهاتوو

Continuous Random Variables and Density Functionsگۆڕاوە هەڕەمەکییە بەردەوامەکان و نەخشەی چڕیی ئەگەر

Related lecturesوانە پەیوەندیدارەکان

References and further readingسەرچاوەکان و خوێندنەوەی زیاتر

This lecture is a first edition. The Kurdish text and terminology are waiting for review by Kurdish IT teachers.ئەم وانەیە چاپی یەکەمە. دەقە کوردییەکە و زاراوەکانی چاوەڕێی پێداچوونەوەی مامۆستایانی کوردی بواری IT ن.

The Cumulative Distribution Function (CDF)نەخشەی دابەشبوونی کەڵەکەبوو ⁦(CDF)⁩

What you will learnچی فێر دەبیت

A running total of probabilityکۆیەکی ڕۆیشتووی ئەگەر

The notes, “at most” and cumulative frequencyتێبینییەکان، «لانیزۆر» و دووبارەبوونەوەی کەڵەکەبوو

The step formulaفۆرمولەی پلەکان

Example: the CDF of three coinsنموونە: نەخشەی دابەشبوونی کەڵەکەبووی سێ دراو

From stems to a staircaseلە ستوونەوە بۆ پەیژە

Properties of every CDFتایبەتمەندییەکانی هەموو نەخشەی دابەشبوونی کەڵەکەبوو

Probabilities of intervals: F(b)−F(a)F(b) - F(a)F(b)−F(a)ئەگەری ماوەکان: F(b)−F(a)F(b) - F(a)F(b)−F(a)

Example 3: the CDF of x15\frac{x}{15}15x​نموونەی 3: نەخشەی دابەشبوونی کەڵەکەبووی x15\frac{x}{15}15x​

From the CDF back to the pmfلە نەخشەی دابەشبوونی کەڵەکەبووەوە بۆ نەخشەی بارستەی ئەگەر

The course homework, solvedڕاهێنانەکانی ماڵەوەی کۆرسەکە، چارەسەرکراو

A smooth CDF for continuous variablesنەخشەی دابەشبوونی کەڵەکەبووی نەرم بۆ گۆڕاوی بەردەوام

Common mistakesهەڵە باوەکان

Exercisesڕاهێنانەکان

Summaryکورتە

Watch a videoسەیری ڤیدیۆیەک بکە

Lesson complete!وانەکە تەواو بوو!

Key termsزاراوە سەرەکییەکان

Related lecturesوانە پەیوەندیدارەکان

Probabilities of intervals: $F(b) - F(a)$ ئەگەری ماوەکان: $F(b) - F(a)$

Example 3: the CDF of $\frac{x}{15}$ نموونەی 3: نەخشەی دابەشبوونی کەڵەکەبووی $\frac{x}{15}$