Chapterبەش 3 · Lectureوانە 3.6

Graphs of Linear and Power Functions; Even and Odd Functionsهێڵکاریی نەخشە هێڵییەکان و نەخشەکانی هێز؛ نەخشە جووتەکان و نەخشە تاکەکان

How to draw the basic graphs every later lesson uses: straight lines $ax+b$ with their slope and intercept, the parabola $x^2$ , the odd powers $x^3$ , $x^5$ , $x^7$ and the roots $\sqrt x$ , $\sqrt[3]x$ , $\sqrt[4]x$ , with their domains and ranges; then even and odd functions and their mirror and half-turn symmetry.

چۆن ئەو هێڵکارییە بنەڕەتییانە بکێشیت کە هەموو وانەکانی داهاتوو بەکاریان دەهێنن: هێڵی ڕاستی $ax+b$ بە و ، $x^2$ ، $x^3$ ، $x^5$ ، $x^7$ و ڕەگەکانی $\sqrt x$ ، $\sqrt[3]x$ ، $\sqrt[4]x$ لەگەڵ و ؛ پاشان و و ئاوێنە و نیو سووڕانەوەیان.

14 min read15 خولەک خوێندنەوە · 15 stepsهەنگاو

What you will learnچی فێر دەبیت

Plot a linear function from a table and read its slope and y-intercept.
Sketch $x^2$ , $x^3$ , $x^5$ , $x^7$ , $\sqrt x$ , $\sqrt[3]x$ and $\sqrt[4]x$ and state their domains and ranges.
Use rational exponents and take odd roots of negative numbers.
Test a function for being even or odd, and connect the result to the symmetry of its graph.

لە خشتەیەکەوە بکێشیت و و yـی بخوێنیتەوە.
$x^2$ ، $x^3$ ، $x^5$ ، $x^7$ ، $\sqrt x$ ، $\sqrt[3]x$ و $\sqrt[4]x$ بکێشیت و و بنووسیت.
کەرتی بەکار بهێنیت و ڕەگی تاکی وەربگریت.
بۆ جووت یان تاک بوون تاقی بکەیتەوە و ئەنجامەکە بە هێڵکارییەکەیەوە ببەستیتەوە.

What a graph showsهێڵکاری چی نیشان دەدات

The graph of a function f is the set of all points $(x,f(x))$ in the coordinate plane, one point for every x in the domain. You cannot plot infinitely many points by hand, so you work like this: make a small table of inputs and outputs, plot those points, and join them with the shape you expect.

f هەموو خاڵەکانی $(x,f(x))$ ـە لەسەر ڕووتەختی پۆتان، بۆ هەر xـێکی خاڵێک. ناتوانیت بە دەست خاڵی بێکۆتایی دابنێیت، بۆیە بەم شێوەیە کار دەکەیت: خشتەیەکی بچووکی و دروست بکە، ئەو خاڵانە دابنێ و بەو شێوەیەی چاوەڕێی دەکەیت پێکیانەوە ببەستە.

"The shape you expect" is the point of this lesson. A few basic graphs (lines, $x^2$ , $x^3$ , $\sqrt x$ ) appear everywhere. Once you know them by heart, later lessons simply shift, stretch and reflect them.

«ئەو شێوەیەی چاوەڕێی دەکەیت» مەبەستی ئەم وانەیەیە. چەند هێڵکارییەکی بنەڕەتی (هێڵ، $x^2$ ، $x^3$ ، $\sqrt x$ ) لە هەموو شوێنێک دەردەکەون. کاتێک لەبەرت کردن، وانەکانی داهاتوو تەنها دەیانکشێننەوە، درێژیان دەکەنەوە و وێنەیان دەدەنەوە.

Linear functions: always a straight lineنەخشە هێڵییەکان: هەمیشە هێڵێکی ڕاست

A linear function has the form $f(x)=ax+b$ , where a and b are constants. Its graph is always a straight line, so two points are enough to draw it. The notes use $f(x)=4x+1$ and plot five points from a table:

بە شێوەی $f(x)=ax+b$ ـە، کە a و b . هەمیشە هێڵێکی ڕاستە، بۆیە دوو خاڵ بەسە بۆ کێشانی. تێبینییەکان $f(x)=4x+1$ بەکار دەهێنن و پێنج خاڵ لە خشتەیەکەوە دادەنێن:

Each row: choose x, compute $4x+1$ , write the point.هەر ڕیزێک: x هەڵبژێرە، $4x+1$ حیساب بکە، خاڵەکە بنووسە.
$x$	$y=4x+1$	$(x,y)$
$2$	$9$	$(2,9)$
$1$	$5$	$(1,5)$
$0$	$1$	$(0,1)$
$-1$	$-3$	$(-1,-3)$
$-2$	$-7$	$(-2,-7)$

Animation. Next to a table of x and y = 4x + 1, the points (2, 9), (1, 5), (0, 1), (−1, −3) and (−2, −7) appear one by one on a grid while their table row is highlighted, with the calculation shown, for example 4·(2) + 1 = 9. Then a straight line is drawn through all five points. In the last frame the misprinted point (−1, −2) appears as an orange empty circle beside the line, with the note 4·(−1) + 1 = −3, not −2. — From table to line: every point of $f(x)=4x+1$ lies on one straight line.لە خشتەوە بۆ هێڵ: هەموو خاڵێکی $f(x)=4x+1$ لەسەر یەک هێڵی ڕاستە.CêIT

Quick checkپشکنینی خێراFor

f(x)=4x+1

, which point is on the graph?بۆ

f(x)=4x+1

، کام خاڵ لەسەر ؟

(-3,-11)

(-3,-11)

(-3,-12)

(-3,-12)

(-1,-2)

(-1,-2)

(3,12)

(3,12)

Linear functions: always a straight lineنەخشە هێڵییەکان: هەمیشە هێڵێکی ڕاست

Slope and intercept: what a and b meanلاری و یەکتربڕینی تەوەرە: a و b واتای چییە

Look at the table again: each time x grows by 1, y grows by 4. That fixed rate is the slope a. Between any two points of the line it is the same:

دیسان سەیری خشتەکە بکە: هەر جارێک x بە 1 زیاد دەکات، y بە 4 زیاد دەکات. ئەو ڕێژە جێگیرە و بە a دەنووسرێت. لە نێوان هەر دوو خاڵێکی هێڵەکەدا هەمان بەهایە:

a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{9-1}{2-0}=4,\qquad \frac{-7-5}{-2-1}=\frac{-12}{-3}=4

The number b is where the line crosses the y-axis: $f(0)=a\cdot0+b=b$ , so the y-intercept is $(0,b)$ ; for $4x+1$ it is $(0,1)$ . If $a>0$ the line rises from left to right, if $a<0$ it falls, and if $a=0$ it is flat: a constant function.

ژمارەی b ئەو شوێنەیە کە هێڵەکە y دەبڕێت: $f(0)=a\cdot0+b=b$ ، بۆیە y خاڵی $(0,b)$ ـە؛ بۆ $4x+1$ خاڵی $(0,1)$ ـە. ئەگەر $a>0$ هێڵەکە لە چەپەوە بۆ ڕاست بەرز دەبێتەوە، ئەگەر $a<0$ نزم دەبێتەوە و ئەگەر $a=0$ ئاسۆییە: نەخشەی نەگۆڕ.

The slope a is "rise per one step right"; b is where the line meets the y-axis. a واتە «چەند بەرز دەبێتەوە بۆ هەر هەنگاوێک بۆ ڕاست»؛ b ئەو شوێنەیە کە هێڵەکە تێیدا y دەبڕێت.CêIT

Quick checkپشکنینی خێراWhat are the slope and the y-intercept of

y=-2x+3

? و yـی

y=-2x+3

چین؟Slope

-2

, y-intercept

(0,3)

لاری

-2

، یەکتربڕینی تەوەرەی y

(0,3)

Slope

-2

, y-intercept

(3,0)

لاری

-2

، یەکتربڕینی تەوەرەی y

(3,0)

Slope 2, y-intercept

(0,3)

لاری 2، یەکتربڕینی تەوەرەی y

(0,3)

Slope 3, y-intercept

(0,-2)

لاری 3، یەکتربڕینی تەوەرەی y

(0,-2)

GCSE Maths - What on Earth is y = mx + c (2026/27 exams)Cognito · Englishئینگلیزی · 965K viewsبینین · 16K likesلایک
In y = mx + c, m is the slope ('gradient') and c is where the line crosses the y-axis; sketches lines from equations.
لە $y = mx + c$ ، m (gradient) و c ئەو خاڵەیە کە هێڵەکە y دەبڕێت؛ لە هێڵ دەکێشێت.
Whole video (4:53). British notation: y = mx + c and 'gradient' mean our f(x) = ax + b and 'slope'.
هەموو ڤیدیۆکە ⁦(4:53)⁩. نووسینی بەریتانییە: $y = mx + c$ و «gradient» هەمان $f(x) = ax + b$ و ئێمەن.

Power functions: $y=x^2$ نەخشەکانی هێز: $y=x^2$

A power function has the form $f(x)=x^n$ : the variable x is the base and the exponent n is a fixed number. The notes ask you to draw three of them and find their domain and range. Start with (a) $y=x^2$ .

بە شێوەی $f(x)=x^n$ ـە: x و n ژمارەیەکی جێگیرە. تێبینییەکان داوا دەکەن سێیان بکێشیت و و بدۆزیتەوە. بە (أ) $y=x^2$ دەست پێبکە.

Tableخشتە
Squares of opposite numbers are equal: $(-3)^2=3^2=9$ , $(-2)^2=2^2=4$ , $(-1)^2=1^2=1$ and $0^2=0$ .
دووجای دوو ژمارەی پێچەوانە یەکسانن: $(-3)^2=3^2=9$ ، $(-2)^2=2^2=4$ ، $(-1)^2=1^2=1$ و $0^2=0$ .
Shapeشێوە
The points form a U-shaped curve, a parabola, with its lowest point at the origin. The left half is the mirror image of the right half.
خاڵەکان چەماوەیەکی U-شێوە پێک دەهێنن، ، کە نزمترین خاڵی لە . نیوەی چەپ وێنەی ئاوێنەی نیوەی ڕاستە.
Domain and rangeبوار و مەودا
You can square any real number, so $D=\mathbb{R}$ . A square is never negative and every $y\ge0$ is reached (by $x=\sqrt y$ ), so $R=[0,\infty)$ .
دەتوانیت هەر دووجا بکەیت، بۆیە $D=\mathbb{R}$ . دووجا هەرگیز سالب نییە و دەگەینە هەموو $y\ge0$ ـێک (بە $x=\sqrt y$ )، بۆیە $R=[0,\infty)$ .

Graph (a):

y=x^2

, redrawn. Domain

\mathbb{R}

, range

[0,\infty)

.هێڵکاریی (أ):

y=x^2

، دووبارە کێشراوە.

\mathbb{R}

،

[0,\infty)

.CêIT

Power Functions (Precalculus - College Algebra 28)Professor Leonard · Englishئینگلیزی · 109K viewsبینین · 2.6K likesلایک · Partبەشی 1:33–8:36 (ofلە 31:59)
Compares power functions with even and odd exponents: U-shaped curves for x², x⁴ and rising S-curves for x³, x⁵, with their symmetry.
بە جووت و تاک بەراورد دەکات: چەماوەی U-شێوە بۆ $x^2$ و $x^4$ ، چەماوەی S-شێوەی هەڵکشاو بۆ $x^3$ و $x^5$ ، لەگەڵ .
Plays 1:33–8:36: even versus odd powers and their symmetry; the rest of the lecture is about end behaviour and shifts.
لە ⁦1:33⁩ تا ⁦8:36⁩ پەخش دەبێت: جووت بەرامبەر تاک و ؛ ئەوەی تری وانەکە دەربارەی ڕەفتاری کۆتاییەکان و .

Power functions: $y=x^2$ نەخشەکانی هێز: $y=x^2$

Odd powers: $x^3$ , $x^5$ , $x^7$ توانی تاک: $x^3$ ، $x^5$ ، $x^7$

(b) $y=x^3$ . Now negative inputs give negative outputs: $(-2)^3=-8$ . The graph comes up from the bottom left, flattens through the origin and leaves at the top right. Every real number is a cube of exactly one real number, so the domain and the range are $\mathbb{R}$ .

(ب) $y=x^3$ . ئێستا سالب سالب دەدەن: $(-2)^3=-8$ . لە خوار-چەپەوە دێتە سەرەوە، بە بە تەختی تێدەپەڕێت و لە سەر-ڕاستەوە دەڕوات. هەموو سێجای تەنها یەک ، بۆیە و هەردووکیان $\mathbb{R}$ ـن.

Graph (b) in the notes draws $x^3$ , $x^5$ and $x^7$ together. All three pass through $(-1,-1)$ , $(0,0)$ and $(1,1)$ , because $1^n=1$ and $(-1)^n=-1$ for odd n. Between $-1$ and 1 a higher power is flatter ( $0.5^3=0.125$ but $0.5^7\approx0.008$ ); beyond $\pm1$ it is steeper ( $1.5^3\approx3.4$ but $1.5^7\approx17.1$ ).

هێڵکاریی (ب) لە تێبینییەکاندا $x^3$ ، $x^5$ و $x^7$ پێکەوە دەکێشێت. هەر سێکیان بە $(-1,-1)$ ، $(0,0)$ و $(1,1)$ ـدا تێدەپەڕن، چونکە بۆ nـی تاک $1^n=1$ و $(-1)^n=-1$ . لە نێوان $-1$ و 1دا گەورەتر تەختترە ( $0.5^3=0.125$ بەڵام $0.5^7\approx0.008$ )؛ دوای $\pm1$ لێژترە ( $1.5^3\approx3.4$ بەڵام $1.5^7\approx17.1$ ).

Graph (b):

x^3

,

x^5

and

x^7

, redrawn.هێڵکاریی (ب):

x^3

،

x^5

و

x^7

، دووبارە کێشراوە.CêIT

Power functions: $y=x^2$ نەخشەکانی هێز: $y=x^2$

Root functions: $\sqrt x$ , $\sqrt[3]x$ , $\sqrt[4]x$ نەخشەی ڕەگ: $\sqrt x$ ، $\sqrt[3]x$ ، $\sqrt[4]x$

(c) $y=\sqrt x$ . A fraction in the exponent means a root: $x^{1/2}=\sqrt x$ , $x^{1/3}=\sqrt[3]x$ , $x^{1/4}=\sqrt[4]x$ , and in general $x^{m/n}=(\sqrt[n]x)^m$ , for example $8^{2/3}=(\sqrt[3]8)^2=2^2=4$ .

(ج) $y=\sqrt x$ . لە واتای ڕەگ دەدات: $x^{1/2}=\sqrt x$ ، $x^{1/3}=\sqrt[3]x$ ، $x^{1/4}=\sqrt[4]x$ و بە گشتی $x^{m/n}=(\sqrt[n]x)^m$ ، بۆ نموونە $8^{2/3}=(\sqrt[3]8)^2=2^2=4$ .

Even roots ( $\sqrt x$ , $\sqrt[4]x$ ) need $x\ge0$ : no real number squared (or raised to the 4th power) is negative. Domain $[0,\infty)$ , range $[0,\infty)$ .
Odd roots ( $\sqrt[3]x$ ) work for negative numbers too: $\sqrt[3]{-8}=-2$ because $(-2)^3=-8$ . Domain $\mathbb{R}$ , range $\mathbb{R}$ .
All three pass through $(0,0)$ and $(1,1)$ . For $x>1$ a higher root grows more slowly: $\sqrt9=3$ but $\sqrt[3]8=2$ and $\sqrt[4]{16}=2$ .

ڕەگی جووت ( $\sqrt x$ ، $\sqrt[4]x$ ) پێویستی بە $x\ge0$ هەیە: هیچ بە دووجاکردن (یان بە ⁦4⁩) نابێتە سالب. $[0,\infty)$ ، $[0,\infty)$ .
ڕەگی تاک ( $\sqrt[3]x$ ) بۆ کار دەکات: $\sqrt[3]{-8}=-2$ چونکە $(-2)^3=-8$ . $\mathbb{R}$ ، $\mathbb{R}$ .
هەر سێکیان بە $(0,0)$ و $(1,1)$ ـدا تێدەپەڕن. بۆ $x>1$ ڕەگی بەرزتر هێواشتر گەورە دەبێت: $\sqrt9=3$ بەڵام $\sqrt[3]8=2$ و $\sqrt[4]{16}=2$ .

Graph (c) redrawn, with the left half of

\sqrt[3]x

that the notes leave out.هێڵکاریی (ج) دووبارە کێشراوە، لەگەڵ نیوەی چەپی

\sqrt[3]x

کە تێبینییەکان نەیانکێشاوە.CêIT

Power functions: $y=x^2$ نەخشەکانی هێز: $y=x^2$

Odd roots of negative numbersڕەگی تاکی ژمارە سالبەکان

Correctionڕاستکردنەوە

Graph (c) in the notes draws $y=x^{1/3}$ only for $0\le x\le10$ , as if it stopped at 0 like $\sqrt x$ . It does not: the cube root of a negative number is a real negative number, so the graph of $\sqrt[3]x$ continues to the left, through $(-1,-1)$ and $(-8,-2)$ .

هێڵکاریی (ج) لە تێبینییەکاندا $y=x^{1/3}$ تەنها بۆ $0\le x\le10$ دەکێشێت، وەک ئەوەی لە 0دا ڕابوەستێت هەروەک $\sqrt x$ . وا نییە: سالبە، بۆیە $\sqrt[3]x$ بەرەو چەپ بەردەوام دەبێت، بە $(-1,-1)$ و $(-8,-2)$ ـدا.

Going furtherزانیاری زیاتر

Computers meet the same trap. In Python, (-8) ** (1/3) does not give $-2$ : 1/3 is a decimal, and a negative number raised to a decimal power gives a complex number. Use math.cbrt (Python 3.11 or newer) for the real cube root. More about powers in Python: the power operator.

کۆمپیوتەرەکانیش تووشی هەمان تەڵە دەبن. لە ، (-8) ** (1/3) بەهای $-2$ نادات: 1/3 و بە کەرتی دەدات. بۆ ڕاستی math.cbrt بەکار بهێنە ( ⁦3.11⁩ یان نوێتر). زیاتر دەربارەی لە : کارپێکەری توان.

PYTHON

import math

print((-8) ** (1/3))
print(math.cbrt(-8))

Quick checkپشکنینی خێراWhich point lies on the graph of

y=\sqrt[3]x

?کام خاڵ لەسەر

y=\sqrt[3]x

ـە؟

(-27,-3)

(-27,-3)

(-8,2)

(-8,2)

None: the graph has no points with

x<0

هیچیان: هێڵکاریی نەخشەکە هیچ خاڵێکی بە

x<0

نییە

(-1,1)

(-1,1)

Power functions: $y=x^2$ نەخشەکانی هێز: $y=x^2$

Domains and ranges at a glanceبوار و مەودا بە یەک نیگا

The notes ask for the domain and range of every graph but do not list them. Here they are, read from the formulas and checked on the graphs:

تێبینییەکان داوای و هەموو هێڵکارییەک دەکەن بەڵام نایاننووسن. ئەمانەن، لە فۆرمولەکانەوە خوێندراونەتەوە و لەسەر هێڵکارییەکان پشکنراون:

Function	Domain	Range	Shapeشێوە
$y=x^2$	$\mathbb{R}$	$[0,\infty)$	U-shaped parabola U-شێوە
$y=x^3,\ x^5,\ x^7$	$\mathbb{R}$	$\mathbb{R}$	rises through the originبە بەرز دەبێتەوە
$y=\sqrt x,\ \sqrt[4]x$	$[0,\infty)$	$[0,\infty)$	starts at the origin, right half onlyلە دەست پێدەکات، تەنها نیوەی ڕاست
$y=\sqrt[3]x$	$\mathbb{R}$	$\mathbb{R}$	both halvesهەردوو نیوە
$y=ax+b,\ a\ne0$	$\mathbb{R}$	$\mathbb{R}$	straight lineهێڵی ڕاست

Quick checkپشکنینی خێراWhich function has domain

\mathbb{R}

but range

[0,\infty)

?کام

\mathbb{R}

ـە بەڵام

[0,\infty)

ـە؟

y=x^3

y=x^3

y=x^2

y=x^2

y=\sqrt[3]x

y=\sqrt[3]x

y=\sqrt x

y=\sqrt x

Even and odd functionsنەخشە جووتەکان و نەخشە تاکەکان

The notes end chapter 2 with a remark: a function $y=f(x)$ is

تێبینییەکان بەشی 2 بەم تێبینییە کۆتایی پێدەهێنن: وەک $y=f(x)$

even if $f(-x)=f(x)$ ;
odd if $f(-x)=-f(x)$ .

ئەگەر $f(-x)=f(x)$ ؛
ئەگەر $f(-x)=-f(x)$ .

This must hold for every x in the domain. To test a function, replace x by $-x$ , simplify, and compare the result with $f(x)$ and with $-f(x)$ .

ئەمە دەبێت بۆ هەموو xـێکی ڕاست بێت. بۆ تاقیکردنەوەی ، x بە $-x$ بگۆڕە، سادەی بکەرەوە و ئەنجامەکە لەگەڵ $f(x)$ و $-f(x)$ بەراورد بکە.

Definitionپێناسە

A function with $f(-x)=f(x)$ for every x in its domain. Its graph is a mirror image across the y-axis.

نەخشەیەکە کە بۆ هەموو x لە بوارەکەیدا $f(-x)=f(x)$ . هێڵکارییەکەی بەرامبەر بە تەوەرەی y وەک وێنەی ئاوێنە .

Definitionپێناسە

A function with $f(-x)=-f(x)$ for every x in its domain. Its graph looks the same after a half turn (180°) about the origin.

نەخشەیەکە کە بۆ هەموو x لە بوارەکەیدا $f(-x)=-f(x)$ . هێڵکارییەکەی دوای نیو سووڕانەوە ⁦(180°)⁩ بە دەوری وەک خۆی دەمێنێتەوە.

Quick checkپشکنینی خێراWhat do you compute first to test whether f is even or odd?بۆ تاقیکردنەوەی ئەوەی f جووتە یان تاک، سەرەتا چی حیساب دەکەیت؟

f(x)+f(-x)

at one point

f(x)+f(-x)

لە یەک خاڵدا

f(0)

f(0)

f(-x)

f(-x)

-x

-x

Even and odd functionsنەخشە جووتەکان و نەخشە تاکەکان

What even and odd look likeجووت و تاک چۆن دەردەکەون

Even = mirror in the y-axis. If $(x,y)$ is on the graph, then $f(-x)=f(x)=y$ , so $(-x,y)$ is on it too: the left half is the mirror image of the right half. Odd = half a turn about the origin. If $(x,y)$ is on the graph, then $f(-x)=-y$ , so $(-x,-y)$ is on it too: turning the graph through $180^\circ$ about the origin gives the same graph.

جووت = ئاوێنە لە y. ئەگەر $(x,y)$ لەسەر بێت، ئەوا $f(-x)=f(x)=y$ ، بۆیە $(-x,y)$ ـیش لەسەریەتی: نیوەی چەپ وێنەی ئاوێنەی نیوەی ڕاستە. تاک = نیو سووڕانەوە بە دەوری . ئەگەر $(x,y)$ لەسەر بێت، ئەوا $f(-x)=-y$ ، بۆیە $(-x,-y)$ ـیش لەسەریەتی: بە $180^\circ$ بە دەوری هەمان هێڵکاری دەدات.

Animation in two panels. Left: the right half of y = x² is reflected in the y-axis; the mirror image lands exactly on the left half, and the label says EVEN, f(−x) = f(x). Right: the right half of y = x³ is turned about the origin through 60°, 120° and 180°; after half a turn it lands exactly on the left half, and the label says ODD, f(−x) = −f(x). — Even: a mirror in the y-axis. Odd: half a turn about the origin.جووت: ئاوێنە لە y. تاک: نیو سووڕانەوە بە دەوری .CêIT

The names come from the powers: $x^n$ with an even n ( $x^2$ , $x^4$ ) is an even function, and with an odd n ( $x^3$ , $x^5$ ) it is an odd function.

ناوەکان لە هاتوون: $x^n$ بە nـی جووت ( $x^2$ ، $x^4$ ) و بە nـی تاک ( $x^3$ ، $x^5$ ) .

Quick checkپشکنینی خێراThe graph of f is unchanged by half a turn about the origin. Which kind of function is f?ئەگەر f بە نیو سووڕانەوە بە دەوری نەگۆڕێت، f چ جۆرێکە؟One-to-one functionنەخشەی یەک بۆ یەکOdd functionنەخشەی تاکConstant functionنەخشەی نەگۆڕEven functionنەخشەی جووت

Properties of Functions - Even vs Odd (Precalculus - College Algebra 8)Professor Leonard · Englishئینگلیزی · 146K viewsبینین · 3.7K likesلایک · Partبەشی 4:15–15:32 (ofلە 29:08)
Shows with graphs that even functions mirror in the y-axis and odd functions turn half a circle about the origin.
بە وێنە: لە y وەک ئاوێنە هاوجێن و بە نیو خول سووڕانەوە بە دەوری وەک خۆیان دەمێننەوە.
Plays 4:15–15:32: even versus odd pictures and symmetry; the algebraic definitions follow later in the lecture.
لە ⁦4:15⁩ تا ⁦15:32⁩ پەخش دەبێت: وێنەی بەرامبەر و ؛ پێناسە جەبرییەکان دواتر لە وانەکەدا دێن.

Even and odd functionsنەخشە جووتەکان و نەخشە تاکەکان

Examples: $x^2$ , $x^3$ and functions that are neitherنموونە: $x^2$ ، $x^3$ و نەخشەکان کە هیچیان نین

The notes' example: is $f(x)=x^2$ even or odd? And $f(x)=x^3$ ?

نموونەی تێبینییەکان: ئایا $f(x)=x^2$ جووتە یان تاک؟ و $f(x)=x^3$ ؟

\begin{aligned} f(x)=x^2:&\quad f(-x)=(-x)^2=x^2=f(x)\\ f(x)=x^3:&\quad f(-x)=(-x)^3=-x^3=-f(x) \end{aligned}

Most functions are neither. For $f(x)=x+1$ : $f(-1)=0$ , while $f(1)=2$ and $-f(1)=-2$ , so $f(-1)$ equals neither. Adding a constant to an odd function usually breaks the symmetry: $x^3+1$ is neither (it is $x^3$ shifted up). The domain must also be symmetric: $\sqrt x$ is neither, because $\sqrt{-1}$ does not exist. Only the zero function $f(x)=0$ is both even and odd.

زۆربەی هیچیان نین. بۆ $f(x)=x+1$ : $f(-1)=0$ ، بەڵام $f(1)=2$ و $-f(1)=-2$ ، بۆیە $f(-1)$ یەکسان نییە بە هیچ کامیان. زیادکردنی بۆ زۆرجار تێک دەدات: $x^3+1$ هیچیان نییە (ئەمە $x^3$ ـە کە بۆ سەرەوە کشاوەتەوە). دەبێت هاوجێ بێت: $\sqrt x$ هیچیان نییە، چونکە $\sqrt{-1}$ بوونی نییە. تەنها سفر $f(x)=0$ هەم جووتە و هەم تاک.

Quick checkپشکنینی خێراIs

f(x)=x^4-2x^2-3

even, odd or neither?ئایا

f(x)=x^4-2x^2-3

جووتە، تاکە یان هیچیان؟EvenجووتOddتاکNeitherهیچیانBothهەردووکیان

Even and odd functionsنەخشە جووتەکان و نەخشە تاکەکان

Homework: $\sin x$ and $\cos x$ ئەرکی ماڵەوە: $\sin x$ و $\cos x$

ExerciseڕاهێنانEven or odd?جووت یان تاک؟

Which of $f(x)=\sin x$ and $f(x)=\cos x$ is even, and which is odd? (Use the unit circle.)

کام لە $f(x)=\sin x$ و $f(x)=\cos x$ جووتە و کامیان تاکە؟ (بازنەی یەکە بەکار بهێنە.)

Hintئاماژە

Compare the points of the angles x and $-x$ on the unit circle.

خاڵەکانی گۆشەی x و $-x$ لەسەر بەراورد بکە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

On the unit circle the angle $\theta$ gives the point $(\cos\theta,\sin\theta)$ . The angle $-\theta$ is the same turn downwards, so its point is the mirror image in the x-axis: the same x-coordinate and the opposite y-coordinate.

لەسەر گۆشەی $\theta$ خاڵی $(\cos\theta,\sin\theta)$ دەدات. گۆشەی $-\theta$ هەمان سووڕانەوەیە بەڵام بەرەو خوارەوە، بۆیە خاڵەکەی وێنەی ئاوێنەیە لە xـدا: هەمان x و yـی پێچەوانە.

The angles

\theta

and

-\theta

on the unit circle.گۆشەکانی

\theta

و

-\theta

لەسەر .CêIT

\cos(-x)=\cos x,\qquad \sin(-x)=-\sin x

Common mistakesهەڵە باوەکان

Mistakeهەڵە	Why it is wrongبۆچی هەڵەیە	Correctڕاست
Copying a table point wrongly, such as $(-1,-2)$ for $4x+1$ خاڵێکی خشتە بە هەڵە نووسینەوە، وەک $(-1,-2)$ بۆ $4x+1$	The point must use the computed y.خاڵەکە دەبێت yـی حیسابکراو بەکار بهێنێت.	Check each point with the formula, or check that the slope stays the same.هەر خاڵێک بە فۆرمولەکە بپشکنە، یان بپشکنە کە وەک خۆی دەمێنێتەوە.
Drawing $\sqrt x$ to the left of the y-axisکێشانی $\sqrt x$ لە لای چەپی y	Square roots of negative numbers are not real. ڕاستی نین.	$\sqrt x$ starts at $(0,0)$ ; only odd roots continue left. $\sqrt x$ لە $(0,0)$ ـەوە دەست پێدەکات؛ تەنها ڕەگی تاک بەرەو چەپ بەردەوام دەبێت.
" $\sqrt[3]{-8}$ does not exist"« $\sqrt[3]{-8}$ بوونی نییە»	$(-2)^3=-8$ . $(-2)^3=-8$ .	$\sqrt[3]{-8}=-2$ $\sqrt[3]{-8}=-2$
Deciding from one point: $x^3-x$ has $f(-1)=f(1)=0$ , "so it is even"بڕیاردان لە یەک خاڵەوە: بۆ $x^3-x$ ، $f(-1)=f(1)=0$ ، «بۆیە جووتە»	The rule must hold for every x.یاساکە دەبێت بۆ هەموو xـێک ڕاست بێت.	$f(-x)=-x^3+x=-f(x)$ : it is odd. $f(-x)=-x^3+x=-f(x)$ : تاکە.
Mixing up $f(-x)$ and $-f(x)$ تێکەڵکردنی $f(-x)$ و $-f(x)$	For $x^2+1$ : $f(-x)=x^2+1$ but $-f(x)=-x^2-1$ .بۆ $x^2+1$ : $f(-x)=x^2+1$ بەڵام $-f(x)=-x^2-1$ .	$f(-x)$ : change the input. $-f(x)$ : change the sign of the output. $f(-x)$ : بگۆڕە. $-f(x)$ : نیشانەی بگۆڕە.
"Every function is even or odd"«هەموو جووتە یان تاک»	$x+1$ and $x^3+1$ are neither. $x+1$ و $x^3+1$ هیچیان نین.	Most functions are neither.زۆربەی هیچیان نین.

Quick checkپشکنینی خێراFor

f(x)=x^3-x

,

f(-1)=f(1)=0

. Is f even?بۆ

f(x)=x^3-x

،

f(-1)=f(1)=0

. ئایا f ؟We cannot tell without a graphبەبێ هێڵکاری نازانینYes, because

f(-1)=f(1)

بەڵێ، چونکە

f(-1)=f(1)

No:

f(-x)=-x^3+x=-f(x)

, so f is oddنەخێر:

f(-x)=-x^3+x=-f(x)

، بۆیە f نەخشەی تاکەNeither: it mixes odd and even powersهیچیان: توانەکانی تاک و جووت تێکەڵ دەکات

Exercisesڕاهێنانەکان

ExerciseڕاهێنانA table for a falling lineخشتەیەک بۆ هێڵێک کە نزم دەبێتەوە

Make a table for $f(x)=-2x+3$ at $x=-1,0,1,2$ . State the slope and the y-intercept.

خشتەیەک بۆ $f(x)=-2x+3$ لە $x=-1,0,1,2$ ـدا دروست بکە. و y بنووسە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

Points $(-1,5)$ , $(0,3)$ , $(1,1)$ , $(2,-1)$ . Each step right goes 2 down: slope $-2$ . y-intercept $(0,3)$ .

خاڵەکان $(-1,5)$ ، $(0,3)$ ، $(1,1)$ ، $(2,-1)$ . هەر هەنگاوێک بۆ ڕاست 2 بۆ خوارەوە دەچێت: $-2$ . y $(0,3)$ .

ExerciseڕاهێنانEven, odd or neither?جووت، تاک یان هیچیان؟

Classify: (a) $4x^3-5x$ (b) $x^4+x^2$ (c) $x^2+x$ (d) $\frac{3x}{x^2+1}$ (e) $|x|$

پۆلێن بکە: (أ) $4x^3-5x$ (ب) $x^4+x^2$ (ج) $x^2+x$ (د) $\frac{3x}{x^2+1}$ (هـ) $|x|$

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

Function	$f(-x)$	Resultئەنجام
(a) $4x^3-5x$	$-4x^3+5x=-f(x)$	oddتاک
(b) $x^4+x^2$	$x^4+x^2=f(x)$	evenجووت
(c) $x^2+x$	$x^2-x$	neitherهیچیان
(d) $\frac{3x}{x^2+1}$	$\frac{-3x}{x^2+1}=-f(x)$	oddتاک
(e) $\|x\|$	$\|-x\|=\|x\|=f(x)$	evenجووت

In (c), $x^2-x$ is neither $x^2+x$ nor $-x^2-x$ .

لە (ج)ـدا $x^2-x$ نە $x^2+x$ ـە و نە $-x^2-x$ .

ExerciseڕاهێنانPowers without a calculatorتوانەکان بەبێ حاسیبە

Which is larger: (a) $0.9^3$ or $0.9^5$ ? (b) $2^3$ or $2^5$ ? Explain with the graphs of $x^3$ and $x^5$ .

کامیان گەورەترە: (أ) $0.9^3$ یان $0.9^5$ ؟ (ب) $2^3$ یان $2^5$ ؟ بە هێڵکارییەکانی $x^3$ و $x^5$ ڕوونی بکەرەوە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

(a) $0.9^3=0.729>0.59049=0.9^5$ : between 0 and 1 the higher power is lower. (b) $2^3=8<32=2^5$ : beyond 1 the higher power is higher. The two graphs cross at $x=1$ .

(أ) $0.9^3=0.729>0.59049=0.9^5$ : لە نێوان 0 و 1دا گەورەتر نزمترە. (ب) $2^3=8<32=2^5$ : دوای 1 گەورەتر بەرزترە. دوو هێڵکارییەکە لە $x=1$ ـدا یەکتر دەبڕن.

ExerciseڕاهێنانRoots and rational exponentsڕەگ و توانی کەرتی

Find (a) $\sqrt[3]{-27}$ (b) $16^{1/4}$ (c) $8^{2/3}$ (d) $\sqrt{-4}$

بدۆزەوە: (أ) $\sqrt[3]{-27}$ (ب) $16^{1/4}$ (ج) $8^{2/3}$ (د) $\sqrt{-4}$

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

(a) $-3$ , because $(-3)^3=-27$ . (b) 2, because $2^4=16$ . (c) $(\sqrt[3]8)^2=2^2=4$ . (d) Not a real number: an even root of a negative number.

(أ) $-3$ ، چونکە $(-3)^3=-27$ . (ب) 2، چونکە $2^4=16$ . (ج) $(\sqrt[3]8)^2=2^2=4$ . (د) نییە: ڕەگی جووتی .

ExerciseڕاهێنانThree graphs to sketchسێ هێڵکاری بۆ کێشان

Make a table, plot the points and sketch: (a) $f(x)=-2x^2-6x-2$ for $-3\le x\le3$ ; (b) $f(x)=x^2+x-12$ , after finding where it is 0; (c) $f(x)=(x+1)(x-1)(x-2)$ , after finding where it is 0 and where it crosses the y-axis.

خشتەیەک دروست بکە، خاڵەکان دابنێ و بیکێشە: (أ) $f(x)=-2x^2-6x-2$ بۆ $-3\le x\le3$ ؛ (ب) $f(x)=x^2+x-12$ ، دوای ئەوەی دەیدۆزیتەوە لە کوێ 0ـە؛ (ج) $f(x)=(x+1)(x-1)(x-2)$ ، دوای ئەوەی دەیدۆزیتەوە لە کوێ 0ـە و لە کوێ y دەبڕێت.

Hintئاماژە

A parabola is symmetric, so its vertex lies halfway between two points at the same height, for example halfway between its two zeros. A product is 0 exactly when one of its factors is 0.

هەیە، بۆیە ڕێک لە نیوەڕاستی دوو خاڵدایە کە هەمان بەرزییان هەیە، بۆ نموونە لە نیوەڕاستی دوو سفرەکەیدا. لێکدان ڕێک کاتێک 0ـە کە یەکێک لە ژمارە لێکدراوەکانی 0 بێت.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

(a) Table for $f(x)=-2x^2-6x-2$ (أ) خشتە بۆ $f(x)=-2x^2-6x-2$
$x$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$f(x)$	$-2$	$2$	$2$	$-2$	$-10$	$-22$	$-38$

(a) $f(-2)=f(-1)=2$ , so the vertex is halfway, at $x=-\frac32$ : $f(-\frac32)=\frac52$ . The number in front of $x^2$ is negative, so the parabola opens downwards and $(-\frac32,\frac52)$ is its highest point. On $[-3,3]$ the graph starts at $(-3,-2)$ and ends at $(3,-38)$ ; its range there is $[-38,\frac52]$ . (The shortcut $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-6}{2\cdot(-2)}=-\frac32$ gives the same vertex.)

(أ) $f(-2)=f(-1)=2$ ، بۆیە لە نیوەڕاستدایە، لە $x=-\frac32$ : $f(-\frac32)=\frac52$ . ژمارەی پێش $x^2$ سالبە، بۆیە بەرەو خوارەوە کراوەیە و $(-\frac32,\frac52)$ بەرزترین خاڵیەتی. لەسەر $[-3,3]$ هێڵکارییەکە لە $(-3,-2)$ ـەوە دەست پێدەکات و لە $(3,-38)$ ـدا کۆتایی دێت؛ لەوێدا $[-38,\frac52]$ ـە. (ڕێگای کورتی $x=-\frac{b}{2a}=-\frac{-6}{2\cdot(-2)}=-\frac32$ هەمان دەدات.)

(b) $x^2+x-12=(x+4)(x-3)$ , so the zeros are $-4$ and 3, and the y-intercept is $f(0)=-12$ . The vertex is halfway between the zeros, at $x=-\frac12$ : $f(-\frac12)=\frac14-\frac12-12=-\frac{49}4$ . The parabola opens upwards; its range is $[-\frac{49}4,\infty)$ .

(ب) $x^2+x-12=(x+4)(x-3)$ ، بۆیە سفرەکان $-4$ و 3ن و y $f(0)=-12$ ـە. لە نیوەڕاستی سفرەکاندایە، لە $x=-\frac12$ : $f(-\frac12)=\frac14-\frac12-12=-\frac{49}4$ . بەرەو سەرەوە کراوەیە؛ $[-\frac{49}4,\infty)$ ـە.

(c) The zeros are $-1$ , 1 and 2 (one bracket is 0), and $f(0)=(1)(-1)(-2)=2$ . Test one number in each gap: $f(-2)=-12$ , $f(\frac12)=\frac98$ , $f(\frac32)=-\frac58$ , $f(3)=8$ . So the graph comes up from the lower left and crosses at $-1$ , turns and comes down through 1, turns again and goes up through 2, then rises to the right like $x^3$ far from the origin. (Just left of $x=0$ it rises a little above 2.)

(ج) سفرەکان $-1$ ، 1 و 2ن (یەکێک لە کەوانەکان 0ـە) و $f(0)=(1)(-1)(-2)=2$ . لە هەر بۆشاییەکدا ژمارەیەک تاقی بکەرەوە: $f(-2)=-12$ ، $f(\frac12)=\frac98$ ، $f(\frac32)=-\frac58$ ، $f(3)=8$ . کەواتە هێڵکارییەکە لە خوارەوەی چەپەوە بەرز دەبێتەوە و لە $-1$ ـدا تەوەرەکە دەبڕێت، پاشان دەگەڕێتەوە و بە 1ـدا دادەبەزێت، دیسان دەگەڕێتەوە و بە 2ـدا بەرز دەبێتەوە، ئینجا وەک $x^3$ لە دوور لە بەرەو ڕاست بەرز دەبێتەوە. (هەر لە چەپی $x=0$ ـدا کەمێک لە 2 بەرزتر دەبێت.)

The three sketches: vertex, zeros and y-intercept are the key points.سێ هێڵکارییەکە: ، سفرەکان و y خاڵە سەرەکییەکانن.CêIT

Summaryپوختە

$ax+b$ is a straight line with slope a (rise per step right) and y-intercept $(0,b)$ . For $4x+1$ the table point is $(-1,-3)$ .
$x^2$ : parabola, domain $\mathbb{R}$ , range $[0,\infty)$ . $x^3,x^5,x^7$ : domain and range $\mathbb{R}$ , through $(\pm1,\pm1)$ , flatter near 0 and steeper beyond $\pm1$ as the power grows.
$x^{1/n}=\sqrt[n]x$ . Even roots need $x\ge0$ ; odd roots work for every real x.
Even: $f(-x)=f(x)$ , mirror in the y-axis ( $x^2$ , $\cos x$ , $|x|$ ). Odd: $f(-x)=-f(x)$ , half-turn about the origin ( $x^3$ , $\sin x$ ). Most functions are neither.

$ax+b$ هێڵێکی ڕاستە بە a (بەرزبوونەوە بۆ هەر هەنگاوێک بۆ ڕاست) و y $(0,b)$ . بۆ $4x+1$ خاڵی خشتەکە $(-1,-3)$ ـە.
$x^2$ : ، $\mathbb{R}$ ، $[0,\infty)$ . $x^3,x^5,x^7$ : و $\mathbb{R}$ ، بە $(\pm1,\pm1)$ ـدا، بە گەورەبوونی لە نزیک 0 تەختتر و دوای $\pm1$ لێژتر.
$x^{1/n}=\sqrt[n]x$ . ڕەگی جووت پێویستی بە $x\ge0$ هەیە؛ ڕەگی تاک بۆ هەموو xـێکی ڕاستی کار دەکات.
جووت: $f(-x)=f(x)$ ، ئاوێنە لە y ( $x^2$ ، $\cos x$ ، $|x|$ ). تاک: $f(-x)=-f(x)$ ، نیو سووڕانەوە بە دەوری ( $x^3$ ، $\sin x$ ). زۆربەی هیچیان نین.

Review questionsپرسیارەکانی پێداچوونەوە

Why is the graph of

ax+b

straight?بۆچی هێڵکاریی نەخشەی

ax+b

ڕاستە؟

Because the slope between any two of its points is the same number a.

چونکە لە نێوان هەر دوو خاڵێکیدا هەمان ژمارەی aـیە.

Why does

\sqrt[3]x

have domain

\mathbb{R}

but

\sqrt x

does not?بۆچی بواری

\sqrt[3]x

\mathbb{R}

ـە بەڵام هی

\sqrt x

نا؟

A negative number has a real cube root ( $\sqrt[3]{-8}=-2$ ) but no real square root, since squares are never negative.

ڕاستی هەیە ( $\sqrt[3]{-8}=-2$ ) بەڵام ڕاستی نییە، چونکە دووجا هەرگیز سالب نییە.

How do you test whether a function is even or odd?چۆن تاقی دەکەیتەوە کە نەخشەیەک جووتە یان تاک؟

Compute $f(-x)$ for a general x and compare it with $f(x)$ (even) and $-f(x)$ (odd).

$f(-x)$ بۆ xـێکی گشتی حیساب بکە و لەگەڵ $f(x)$ (جووت) و $-f(x)$ (تاک) بەراوردی بکە.

Lesson complete!وانەکە تەواو بوو!

Well done. Review the key terms, then go on to the next lesson.دەستخۆش. سەیرێکی زاراوە سەرەکییەکان بکەرەوە، پاشان بڕۆ بۆ وانەی داهاتوو.

Key termsزاراوە سەرەکییەکان

Next lessonوانەی داهاتوو

The Six Trigonometric Functionsشەش نەخشە سێگۆشەییەکە

Related lecturesوانە پەیوەندیدارەکان

References and further readingسەرچاوەکان و خوێندنەوەی زیاتر

This lecture is a first edition. The Kurdish text and terminology are waiting for review by Kurdish IT teachers.ئەم وانەیە چاپی یەکەمە. دەقە کوردییەکە و زاراوەکانی چاوەڕێی پێداچوونەوەی مامۆستایانی کوردی بواری IT ن.

Graphs of Linear and Power Functions; Even and Odd Functionsهێڵکاریی نەخشە هێڵییەکان و نەخشەکانی هێز؛ نەخشە جووتەکان و نەخشە تاکەکان

What you will learnچی فێر دەبیت

What a graph showsهێڵکاری چی نیشان دەدات

Linear functions: always a straight lineنەخشە هێڵییەکان: هەمیشە هێڵێکی ڕاست

Slope and intercept: what a and b meanلاری و یەکتربڕینی تەوەرە: a و b واتای چییە

Power functions: y=x2y=x^2y=x2نەخشەکانی هێز: y=x2y=x^2y=x2

Odd powers: x3x^3x3, x5x^5x5, x7x^7x7توانی تاک: x3x^3x3، x5x^5x5، x7x^7x7

Root functions: x\sqrt xx​, x3\sqrt[3]x3x​, x4\sqrt[4]x4x​نەخشەی ڕەگ: x\sqrt xx​، x3\sqrt[3]x3x​، x4\sqrt[4]x4x​

Odd roots of negative numbersڕەگی تاکی ژمارە سالبەکان

Domains and ranges at a glanceبوار و مەودا بە یەک نیگا

Even and odd functionsنەخشە جووتەکان و نەخشە تاکەکان

What even and odd look likeجووت و تاک چۆن دەردەکەون

Examples: x2x^2x2, x3x^3x3 and functions that are neitherنموونە: x2x^2x2، x3x^3x3 و نەخشەکان کە هیچیان نین

Homework: sin⁡x\sin xsinx and cos⁡x\cos xcosxئەرکی ماڵەوە: sin⁡x\sin xsinx و cos⁡x\cos xcosx

Common mistakesهەڵە باوەکان

Exercisesڕاهێنانەکان

Summaryپوختە

Lesson complete!وانەکە تەواو بوو!

Key termsزاراوە سەرەکییەکان

Related lecturesوانە پەیوەندیدارەکان

Power functions: $y=x^2$ نەخشەکانی هێز: $y=x^2$

Odd powers: $x^3$ , $x^5$ , $x^7$ توانی تاک: $x^3$ ، $x^5$ ، $x^7$

Root functions: $\sqrt x$ , $\sqrt[3]x$ , $\sqrt[4]x$ نەخشەی ڕەگ: $\sqrt x$ ، $\sqrt[3]x$ ، $\sqrt[4]x$

Examples: $x^2$ , $x^3$ and functions that are neitherنموونە: $x^2$ ، $x^3$ و نەخشەکان کە هیچیان نین

Homework: $\sin x$ and $\cos x$ ئەرکی ماڵەوە: $\sin x$ و $\cos x$