Sets, Elements and Subsetsکۆمەڵەکان، ئەندامەکان و ژێرکۆمەڵەکان

Welcome to the first lesson of Calculus. We begin with the simplest idea in mathematics: a set, a collection of things. This is not only school maths. You already use sets every day on a computer:

بەخێربێیت بۆ یەکەم وانەی کالکولەس. بە سادەترین بیرۆکەی بیرکاری دەست پێدەکەین: کۆمەڵە، واتە کۆکراوەیەک لە شت. ئەمە تەنها بیرکاریی قوتابخانە نییە. تۆ هەموو ڕۆژێک لەسەر کۆمپیوتەر کۆمەڵەکان بەکار دەهێنیت:

In this first chapter you learn what a set is and how to write one (this lesson), how to combine sets (the next lesson), and the families of numbers ℕ, ℤ, ℚ, ℝ and ℂ, which are sets too. Every later topic of the course, from inequalities to functions, is written in this language.

لەم بەشە یەکەمەدا فێر دەبیت کۆمەڵە چییە و چۆن دەنووسرێت (ئەم وانەیە)، چۆن کۆمەڵەکان تێکەڵ دەکرێن (وانەی داهاتوو) و خێزانەکانی ژمارە ℕ، ℤ، ℚ، ℝ و ℂ کە ئەوانیش کۆمەڵەن. هەموو بابەتەکانی دواتری کۆرسەکە، لە لاسەنگەکانەوە (Inequality) تا نەخشەکان (Function)، بەم زمانە دەنووسرێن.

A set is a well-defined collection of distinct objects. The objects in a set are called its elements (or members). Two words in this definition matter:

کۆمەڵە کۆکراوەیەکی ڕوون و دیاریکراوە لە شتی جیاواز. ئەو شتانەی لە کۆمەڵەیەکدان پێیان دەوترێت ئەندامەکان. دوو وشە لەم پێناسەیەدا گرنگن:

Mathematicians use a few simple habits when they write sets:

بیرکاریزانان چەند نەریتێکی سادە بۆ نووسینی کۆمەڵەکان بەکار دەهێنن:

Roster notation lists every element: $\{1,2,3,4\}$. When a pattern is clear, three dots (an ellipsis) mean “and so on”: $\{2,4,6,\dots,100\}$ (the even numbers up to 100) or $\{1,2,3,\dots\}$ (it never ends).

شێوەی لیستکردنی کۆمەڵە هەموو ئەندامەکان ڕیز دەکات: $\{1,2,3,4\}$. کاتێک شێوازێکی ڕوون هەبێت، سێ خاڵ (…) واتە «هەروەها بەردەوام»: $\{2,4,6,\dots,100\}$ (ژمارە جووتەکان تا ⁦100⁩) یان $\{1,2,3,\dots\}$ (هەرگیز کۆتایی نایەت).

Set-builder notation describes the rule instead of listing: $\{x\,;\,P(x)\}$, read “the set of all x such that x has the property P”. The course writes a semicolon; many books write a bar $\{x\mid\dots\}$ or a colon $\{x:\dots\}$. All three mean the same.

شێوەی وەسفیی کۆمەڵە لە جیاتی ڕیزکردن، یاساکە وەسف دەکات: $\{x\,;\,P(x)\}$، دەخوێنرێتەوە «کۆمەڵەی هەموو ئەو xـانەی کە تایبەتمەندیی Pیان هەیە». کۆرسەکە خاڵبۆر ⁦(;)⁩ بەکار دەهێنێت؛ زۆر کتێب هێڵی ستوونی $\{x\mid\dots\}$ یان دوو خاڵ $\{x:\dots\}$ دەنووسن. هەر سێکیان یەک واتایان هەیە.

Here $\mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\}$ is the set of natural numbers; you meet it properly in Sets of numbers. Another example without symbols: $\{x\,;\,x\text{ is an even number and }1<x<9\}=\{2,4,6,8\}$.

لێرەدا $\mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\}$ کۆمەڵەی ژمارە سروشتییەکانە (Natural number)؛ لە کۆمەڵەکانی ژمارە بە تەواوی دەیناسیت. نموونەیەکی تر: کۆمەڵەی هەموو ئەو xـانەی کە ژمارەی جووتن و لە نێوان 1 و 9دان دەکاتە $\{2,4,6,8\}$.

A set only answers one question: is this object in it or not? So two things that matter in a list do not matter in a set:

کۆمەڵە تەنها وەڵامی یەک پرسیار دەداتەوە: ئایا ئەم شتە لە ناویدایە یان نا؟ بۆیە دوو شت کە لە لیستێکدا گرنگن، لە کۆمەڵەیەکدا گرنگ نین:

The empty set is the set with no element at all. It is written $\emptyset$ or $\{\,\}$. Examples: the set of months with 32 days, or $\{x\,;\,x\text{ is an even number and }x\text{ is odd}\}$. Both are $\emptyset$.

کۆمەڵەی بەتاڵ ئەو کۆمەڵەیە کە هیچ ئەندامێکی تێدا نییە. بە $\emptyset$ یان $\{\,\}$ دەنووسرێت. نموونە: کۆمەڵەی ئەو مانگانەی ⁦32⁩ ڕۆژیان هەیە، یان کۆمەڵەی ئەو ژمارانەی کە لە هەمان کاتدا هەم جووت و هەم تاکن. هەردووکیان $\emptyset$ـن.

Do not confuse these three: $\emptyset$ has 0 elements. $\{0\}$ has 1 element, the number 0. $\{\emptyset\}$ also has 1 element: a box that contains an empty box is not empty.

ئەم سێیانە تێکەڵ مەکە: $\emptyset$ 0 ئەندامی هەیە. $\{0\}$ 1 ئەندامی هەیە، کە ژمارە 0ـە. $\{\emptyset\}$یش 1 ئەندامی هەیە: سندوقێک کە سندوقێکی بەتاڵی تێدایە، بەتاڵ نییە.

A set A is a subset of a set B if every element of A is also an element of B. We write $A\subseteq B$. To check it, walk through the elements of A one by one and ask: “is this one in B?” One “no” is enough to say $A\nsubseteq B$.

کۆمەڵەی A ژێرکۆمەڵەی کۆمەڵەی Bـیە ئەگەر هەموو ئەندامێکی A لە Bـیشدا هەبێت. دەنووسین $A\subseteq B$. بۆ پشکنینی، ئەندامەکانی A یەک یەک وەربگرە و بپرسە: «ئایا ئەمە لە Bـدایە؟». یەک «نا» بەسە بۆ ئەوەی بڵێین $A\nsubseteq B$.

A drawing like this, with sets as circles, is called a Venn diagram. A circle inside another circle shows a subset.

وێنەیەکی وەها کە کۆمەڵەکان وەک بازنە پیشان دەدات، پێی دەوترێت هێڵکاریی ڤێن (Venn diagram). بازنەیەک لە ناو بازنەیەکی تردا ژێرکۆمەڵەیەک پیشان دەدات.

Two facts follow straight from the definition:

دوو ڕاستی ڕاستەوخۆ لە پێناسەکەوە دێن:

If $A\subseteq B$ and B has at least one element that A does not have, A is a proper subset of B, written $A\subset B$ (some books write $A\subsetneq B$). Example: $\{1,2\}\subset\{1,2,3\}$, but $\{1,2\}\not\subset\{1,2\}$, because the two sets are equal.

ئەگەر $A\subseteq B$ بێت و B لانیکەم یەک ئەندامی هەبێت کە A نییەتی، ئەوا A ژێرکۆمەڵەی ڕاست و پاکی Bـیە، بە $A\subset B$ دەنووسرێت (هەندێک کتێب $A\subsetneq B$ دەنووسن). نموونە: $\{1,2\}\subset\{1,2,3\}$، بەڵام $\{1,2\}\not\subset\{1,2\}$، چونکە دوو کۆمەڵەکە یەکسانن.

Two sets are equal if they contain exactly the same elements. The clean way to prove it uses subsets in both directions:

دوو کۆمەڵە یەکسانن ئەگەر ڕێک هەمان ئەندامیان هەبێت. ڕێگا ڕێکوپێکەکە بۆ سەلماندنی، بەکارهێنانی ژێرکۆمەڵەیە بە هەردوو ئاڕاستەدا:

The course example: $A=\{4,6,9\}$ and $B=\{4,\tfrac{18}{2},6\}$. Simplify first: $\tfrac{18}{2}=9$, so B is $\{4,9,6\}$. Each element of A is in B and each element of B is in A, so $A=B$. The different order and the different way of writing 9 change nothing.

نموونەی کۆرسەکە: $A=\{4,6,9\}$ و $B=\{4,\tfrac{18}{2},6\}$. سەرەتا سادەی بکەرەوە: $\tfrac{18}{2}=9$، بۆیە B دەکاتە $\{4,9,6\}$. هەموو ئەندامێکی A لە Bـدایە و هەموو ئەندامێکی B لە Aـدایە، بۆیە $A=B$. ڕیزبەندیی جیاواز و شێوەی جیاوازی نووسینی 9 هیچ ناگۆڕن.