Chapterبەش 1 · Lectureوانە 1.3

Sets of Numbers: From Natural to Complexکۆمەڵەکانی ژمارە: لە ژمارە سروشتییەکانەوە تا ژمارە ئاوێتەکان

The families of numbers as sets: natural numbers, integers, rational numbers and their decimals, irrational numbers and roots, real numbers on the number line, and complex numbers — how they fit inside one another and why each was needed.

خێزانەکانی ژمارە وەک : ، ، و ژمارە دەییەکانیان، و ڕەگەکان، لەسەر و — چۆن لە ناو یەکتردان و بۆچی هەریەکەیان پێویست بوو.

15 min read16 خولەک خوێندنەوە · 18 stepsهەنگاو

What you will learnچی فێر دەبیت

Define $\mathbb{N}$ , $\mathbb{Z}$ , $\mathbb{Q}$ , the irrational numbers, $\mathbb{R}$ and $\mathbb{C}$ , and give examples of each.
Tell rational from irrational numbers by their decimals, and turn simple decimals into fractions.
Work out square and cube roots, including cube roots of negative numbers.
Classify any number by its smallest family and explain $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{C}$ .

$\mathbb{N}$ ، $\mathbb{Z}$ ، $\mathbb{Q}$ ، ، $\mathbb{R}$ و $\mathbb{C}$ پێناسە بکەیت و بۆ هەریەکەیان نموونە بهێنیتەوە.
لە بە ژمارە دەییەکانیان جیا بکەیتەوە و ژمارەی دەیی سادە بکەیت بە .
و حیساب بکەیت، .
هەر ژمارەیەک بەپێی بچووکترین خێزانی پۆلێن بکەیت و $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{C}$ ڕوون بکەیتەوە.

Numbers grew with our needsژمارەکان لەگەڵ پێداویستییەکانماندا گەشەیان کرد

The numbers you use today did not appear all at once. Each new family was invented because the old one could not answer a question:

ئەو ژمارانەی ئەمڕۆ بەکاریان دەهێنیت هەموویان بە یەکجار دەرنەکەوتن. هەر خێزانێکی نوێ داهێنرا چونکە خێزانە کۆنەکە نەیدەتوانی وەڵامی پرسیارێک بداتەوە:

Counting sheep or students needs 1, 2, 3, … → the natural numbers ℕ.
Debts and temperatures below zero need −1, −2, … and 0 → the integers ℤ.
Sharing one loaf of bread between 4 people needs $\tfrac14$ → the rational numbers ℚ.
The diagonal of a square with side 1 is $\sqrt2$ , which is not a fraction → the irrational numbers. Rationals and irrationals together are the real numbers ℝ.
The equation $x^2=-1$ has no real answer → the complex numbers ℂ.

ژماردنی مەڕ یان قوتابی پێویستی بە 1، 2، 3، … هەیە ← ℕ.
قەرز و پلەی گەرمی ژێر سفر پێویستیان بە $-1,-2,\dots$ و $0$ هەیە ← ℤ.
دابەشکردنی نانێک بەسەر 4 کەسدا پێویستی بە $\tfrac14$ هەیە ← ℚ.
تیرەی چوارگۆشەیەک کە لایەکەی 1 بێت $\sqrt2$ ـە کە نییە ← . و پێکەوە ℝ پێکدەهێنن.
$x^2=-1$ هیچ وەڵامێکی ڕاستیی نییە ← ℂ.

Each family is a set, and each one contains the one before it. This lesson walks through them in order.

هەر خێزانێک و هەریەکەیان ئەوەی پێش خۆی لەخۆ دەگرێت. ئەم وانەیە بە ڕیز یەک یەک دەیانناسێنێت.

Quick checkپشکنینی خێراWhich family was needed to write “3 degrees below zero”?کام خێزان پێویست بوو بۆ نووسینی «3 پلە لە ژێر سفرەوە»؟The complex numbers onlyتەنها ژمارە ئاوێتەکانThe natural numbers ℕژمارە سروشتییەکان ℕThe integers ℤژمارە تەواوەکان ℤ

Natural numbers $\mathbb{N}$ ژمارە سروشتییەکان $\mathbb{N}$

Definitionپێناسە

A counting number: 1, 2, 3, … The set of natural numbers is written $\mathbb{N}$ . Some books (and most programming) also count 0 as natural.

ژمارەکانی ژماردن: 1، 2، 3، … . کۆمەڵەی ژمارە سروشتییەکان بە $\mathbb{N}$ دەنووسرێت. هەندێک کتێب (و زۆربەی بەرنامەسازی) سفریش بە ژمارەیەکی سروشتی دادەنێن.

\mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\}

Does ℕ start at 0 or at 1?ℕ لە 0ـەوە دەست پێدەکات یان لە 1؟

Is 0 a natural number? In this course, as on the lecturer's slides, no: ℕ starts at 1. Many other books, and most of computing (array indexes, Python's range(5) = 0, 1, 2, 3, 4), start counting at 0. The numbers 0, 1, 2, 3, … are often called the whole numbers. When you open a new book, check which convention it uses.

ئایا 0 ؟ لەم کۆرسەدا، وەک سلایدەکانی مامۆستا، نەخێر: ℕ لە 1ـەوە دەست پێدەکات. زۆر کتێبی تر و زۆربەی کۆمپیوتەر (ژمارەی شوێن لە ، range(5)ـی ⁦Python = 0⁩، 1، 2، 3، ⁦4⁩) لە 0ـەوە دەژمێرن. ژمارەکانی 0، 1، 2، 3، … زۆرجار پێیان دەوترێت . کاتێک کتێبێکی نوێ دەکەیتەوە، سەیر بکە کام ڕێسا بەکار دەهێنێت.

Integers $\mathbb{Z}$ ژمارە تەواوەکان $\mathbb{Z}$

\mathbb{Z}=\{\dots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\dots\}

The slide splits ℤ into three pieces with the union of the previous lesson:

سلایدەکە ℤ بە وانەی پێشوو دەکاتە سێ پارچە:

\mathbb{Z}=\mathbb{Z}^{-}\cup\{0\}\cup\mathbb{Z}^{+}

The lift in a shopping centreئاسانسۆری بازاڕێکی گەورە

Think of the lift in a big shopping centre in Erbil. The buttons read −2, −1 for the car parks under the ground, 0 for the ground floor, and 1, 2, 3 for the shops above. Going down one floor always subtracts 1, whether you are at 3 or at −1. The integers are this list of floors, continued forever in both directions.

بیر لە ئاسانسۆری بازاڕێکی گەورە لە هەولێر بکەرەوە. دوگمەکان $-2$ و $-1$ بۆ نهۆمەکانی ژێر زەوی (شوێنی ئۆتۆمبێل)، 0 بۆ نهۆمی زەوی و 1، 2، 3 بۆ دوکانەکانی سەرەوەن. دابەزین بۆ نهۆمێک هەمیشە 1 کەم دەکاتەوە، چ لە 3 بیت چ لە $-1$ . ئەم لیستەی نهۆمەکانە کە بە هەردوو ئاڕاستەدا بێ کۆتایی درێژ دەبێتەوە.

Where the analogy stops workingسنووری ئەم نموونەیە

A real building has a lowest and a highest floor. ℤ has neither: it goes on forever both ways.

باڵەخانەی ڕاستەقینە نزمترین و بەرزترین نهۆمی هەیە. ℤ هیچیانی نییە: بە هەردوو ئاڕاستەدا بێ کۆتایی بەردەوامە.

Rational numbers $\mathbb{Q}$ ژمارە ڕێژەییەکان $\mathbb{Q}$

Definitionپێناسە

A number that can be written as a fraction $\frac{p}{q}$ of two integers with $q\ne 0$ . Its decimal form either ends or repeats. The set is $\mathbb{Q}$ .

ژمارەیەکە کە دەتوانرێت وەک $\frac{p}{q}$ بنووسرێت، کە p و q و $q\ne 0$ . شێوە دەییەکەی یان کۆتایی دێت یان دووبارە دەبێتەوە. کۆمەڵەکەی $\mathbb{Q}$ ـە.

\mathbb{Q}=\left\{\frac{p}{q}\,;\,p,q\in\mathbb{Z},\ q\neq0\right\}

The course examples: $\frac47$ , $\frac{-3}{5}$ , $\frac{2}{-9}$ and $\frac06$ are rational. A minus sign may sit on top or below: $\frac{2}{-9}=-\frac29$ . And $\frac06=0$ , so 0 is rational too.

نموونەکانی کۆرسەکە: $\frac47$ ، $\frac{-3}{5}$ ، $\frac{2}{-9}$ و $\frac06$ . نیشانەی سالب دەکرێت لە سەرەوە یان لە خوارەوە بێت: $\frac{2}{-9}=-\frac29$ . هەروەها $\frac06=0$ ، بۆیە 0ـیش .

Why $q\neq0$ ? Division undoes multiplication: $\frac63=2$ because $2\cdot3=6$ . For $\frac60$ we would need a number that gives 6 when multiplied by 0, and no such number exists. So a denominator can never be 0.
Every integer is rational: $n=\frac{n}{1}$ , for example $-8=\frac{-8}{1}$ . So $\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}$ .

بۆچی $q\neq0$ ؟ دابەشکردن پێچەوانەی لێکدانە: $\frac63=2$ چونکە $2\cdot3=6$ . بۆ $\frac60$ پێویستمان بە ژمارەیەک دەبوو کە لێکدانی لە 0 بکاتە 6. ژمارەیەکی وا بوونی نییە. بۆیە هەرگیز نابێت 0 بێت.
هەموو : $n=\frac{n}{1}$ ، بۆ نموونە $-8=\frac{-8}{1}$ . بۆیە $\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}$ .

Quick checkپشکنینی خێراIs

-8

a rational number?ئایا

-8

؟No, because it is not written as a fractionنەخێر، چونکە وەک کەرت نەنووسراوەNo, because it is negativeنەخێر، چونکە سالبەYes, because

-8=\frac{-8}{1}

بەڵێ، چونکە

-8=\frac{-8}{1}

Rational numbers as decimalsژمارە ڕێژەییەکان وەک ژمارەی دەیی

Divide the numerator by the denominator and a rational number becomes a decimal. Only two things can happen:

دابەشی بکە و دەبێتە ژمارەیەکی دەیی. تەنها دوو شت ڕوو دەدەن:

It terminates (stops): $\frac25=0.4$ , $\frac38=0.375$ .
It repeats forever: $\frac73=2.333\ldots=2.\overline{3}$ , $\frac{4}{11}=0.3636\ldots=0.\overline{36}$ . The bar marks the block that repeats.

کۆتایی دێت (دەوەستێت): $\frac25=0.4$ ، $\frac38=0.375$ .
دووبارە دەبێتەوە بێ کۆتایی: $\frac73=2.333\ldots=2.\overline{3}$ ، $\frac{4}{11}=0.3636\ldots=0.\overline{36}$ . هێڵەکەی سەرەوە ئەو بەشە نیشان دەدات کە دووبارە دەبێتەوە.

Why only these two? In long division by q, each remainder is one of $0,1,\dots,q-1$ . If a remainder is 0, the division stops. If not, after at most q steps a remainder must come back, and from then on the same digits come back in the same order. For $\frac73$ the remainder is always 1, so the digit 3 repeats.

بۆچی تەنها ئەم دووانە؟ لە دابەشکردنی درێژدا بەسەر qـدا، هەر یەکێکە لە $0,1,\dots,q-1$ . ئەگەر 0 بێت، دابەشکردنەکە دەوەستێت. ئەگەر نا، دوای زۆرترین q هەنگاو دەبێت دووبارە ببێتەوە و لەوێوە هەمان بە هەمان ڕیز دووبارە دەبنەوە. بۆ $\frac73$ هەمیشە 1ـە، بۆیە 3 دووبارە دەبێتەوە.

It also works backwards: a terminating or repeating decimal is always rational. For example $0.4=\frac{4}{10}=\frac25$ and $2.\overline{3}=\frac73$ .

بە پێچەوانەشەوە ڕاستە: ژمارەیەکی دەیی کە کۆتایی بێت یان دووبارە ببێتەوە هەمیشە . بۆ نموونە $0.4=\frac{4}{10}=\frac25$ و $2.\overline{3}=\frac73$ .

The parts of a decimal numberبەشەکانی ژمارەیەکی دەیی

A decimal number has a whole-number part and a fractional part, separated by the decimal point. In 24.36 the whole-number part is 24 and the fractional part is 0.36, which is $\frac{36}{100}$ .

ژمارەیەکی دەیی بەشێکی تەواو و بەشێکی کەرتیی هەیە کە بە لێک جیا دەکرێنەوە. لە ⁦24.36⁩دا بەشی تەواو ⁦24⁩ـە و بەشی کەرتی ⁦0.36⁩ـە، کە دەکاتە $\frac{36}{100}$ .

The parts of a decimal number (redrawn from a picture in the course folder).بەشەکانی ژمارەیەکی دەیی (لە وێنەیەکی ناو فۆڵدەری کۆرسەکەوە دووبارە کێشراوەتەوە).CêIT

Each place after the point is worth ten times less than the one before it: $0.36=\frac{3}{10}+\frac{6}{100}$ . That is why a terminating decimal is always a fraction with 10, 100, 1000, … underneath. The same place-value idea is behind every number system (see Place value).

هەر شوێنێک دوای خاڵەکە دە جار لە شوێنی پێش خۆی کەمترە: $0.36=\frac{3}{10}+\frac{6}{100}$ . هەر بۆیە ژمارەیەکی دەیی کە کۆتایی دێت هەمیشە کە ⁦10⁩، ⁦100⁩، ⁦1000⁩، … لە ژێرەوەیەتی. هەمان بیرۆکەی بەهای شوێن لە پشت هەموو سیستەمێکی ژمارەوەیە (بڕوانە بەهای شوێن).

Irrational numbersژمارە ناڕێژەییەکان

Definitionپێناسە

A real number that cannot be written as a fraction of two integers. Its decimal form never ends and never repeats.

کە ناتوانرێت وەک کەرتی دوو بنووسرێت. شێوە دەییەکەی هەرگیز کۆتایی نایەت و دووبارەش نابێتەوە.

An irrational number is a real number that cannot be written as $\frac pq$ with integers p and q. The course examples are $\sqrt3$ , $\sqrt5$ , $\pi$ and $\sqrt[3]{7}$ . Their decimals never end and never repeat: $\sqrt2=1.41421356\ldots$ , $\pi=3.14159265\ldots$ .

کە ناتوانرێت وەک $\frac pq$ بنووسرێت بە دوو p و q. نموونەکانی کۆرسەکە $\sqrt3$ ، $\sqrt5$ ، $\pi$ و $\sqrt[3]{7}$ ـن. ژمارە دەییەکانیان هەرگیز کۆتاییان نایەت و دووبارە نابنەوە: $\sqrt2=1.41421356\ldots$ ، $\pi=3.14159265\ldots$ .

\sqrt2

is a real length you can draw, but no fraction equals it.

\sqrt2

درێژییەکی ڕاستەقینەیە کە دەتوانیت بیکێشیت، بەڵام هیچ یەکسان نییە پێی.CêIT

Correctionڕاستکردنەوە

The slide names this set “Ir” and writes $Ir=\{x\,;\,x\ne\frac pq\}$ ; other course notes write $\mathbb{Q}^*$ . Neither is standard: books write $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ (“the reals minus the rationals”), $\mathbb{Q}'$ or $\mathbb{I}$ , and $\mathbb{Q}^*$ usually means the non-zero rationals, $\mathbb{Q}\setminus\{0\}$ . The set-builder rule also needs two more words to be exact: x must be a real number, and it must differ from every fraction: $\{x\in\mathbb{R}\,;\,x\ne\frac pq\ \ \forall\,p,q\in\mathbb{Z},\,q\ne0\}$ . Without “ $x\in\mathbb{R}$ ”, complex numbers such as i would also fit the rule.

سلایدەکە ناوی ئەم دەنێت «Ir» و دەنووسێت $Ir=\{x\,;\,x\ne\frac pq\}$ ؛ تێبینیی خولێکی تر $\mathbb{Q}^*$ دەنووسێت. هیچیان ستاندارد نین: کتێبەکان $\mathbb{R}\setminus\mathbb{Q}$ دەنووسن («ڕاستییەکان بێجگە لە ڕێژەییەکان»)، یان $\mathbb{Q}'$ یان $\mathbb{I}$ . $\mathbb{Q}^*$ ـیش زۆرجار واتە بێجگە لە سفر، واتە $\mathbb{Q}\setminus\{0\}$ . یاسای سلایدەکەش بۆ ئەوەی ورد بێت پێویستی بە دوو شتی ترە: x دەبێت بێت و دەبێت لە هەموو جیاواز بێت: $\{x\in\mathbb{R}\,;\,x\ne\frac pq\ \ \forall\,p,q\in\mathbb{Z},\,q\ne0\}$ . بەبێ « $x\in\mathbb{R}$ »، وەک iـیش لەگەڵ یاساکە دەگونجێن.

Rational and Irrational NumbersThe Organic Chemistry Tutor · Englishئینگلیزی · 1.4M viewsبینین · 24K likesلایک
How to tell rational from irrational numbers: fractions, repeating decimals, square roots that are not whole, and pi.
چۆن لە جیا دەکەیتەوە: ، ژمارەی دەیی دووبارەبووەوە، ئەو نین و $\pi$ .
5:54; 3:00 repeating decimals, 4:05 square root of 7, 4:49 pi.
ڤیدیۆکە ⁦5:54⁩ خولەکە؛ ⁦3:00⁩ ژمارەی دەیی دووبارەبووەوە، ⁦4:05⁩ 7، ⁦4:49⁩ $\pi$ .

Square roots and cube rootsڕەگی دووجا و ڕەگی سێجا

Roots appear in the lists above, so let us read them carefully. The square root $\sqrt a$ is the number that is not negative and whose square is a: $\sqrt9=3$ because $3^2=9$ . The cube root $\sqrt[3]{a}$ is the number whose cube is a.

ڕەگەکان لە لیستەکانی سەرەوەدا هەن، بۆیە با بە وردی بیانخوێنینەوە. $\sqrt a$ ئەو ژمارەیەیە کە سالب نییە و دووجاکەی aـیە: $\sqrt9=3$ چونکە $3^2=9$ . $\sqrt[3]{a}$ ئەو ژمارەیەیە کە سێجاکەی aـیە.

\sqrt[3]{64}=4\ \text{ because }\ 4\cdot4\cdot4=64,\qquad \sqrt[3]{8}=\sqrt[3]{2\times2\times2}=2

A cube root is the edge of a cube (redrawn from two pictures in the course folder). لێواری شەشپاڵوویەکە (لە دوو وێنەی ناو فۆڵدەری کۆرسەکەوە دووبارە کێشراوەتەوە).CêIT

Odd roots of negative numbers are real: $\sqrt[3]{-8}=-2$ , because $(-2)^3=-8$ .
Even roots of negative numbers are not real: $\sqrt{-4}$ has no real value, because every real number squared is 0 or positive. This is where the complex numbers begin.
Rational or irrational? The root of a natural number is either a natural number or irrational: $\sqrt[3]{64}=4$ is rational, but $\sqrt[3]{7}=1.9129\ldots$ and $\sqrt5$ are irrational.

ڕەگی تاکی ڕاستین: $\sqrt[3]{-8}=-2$ ، چونکە $(-2)^3=-8$ .
ڕەگی جووتی ڕاستی نین: $\sqrt{-4}$ هیچ بەهایەکی ڕاستیی نییە، چونکە دووجای هەموو 0 یان موجەبە. لێرەوە دەست پێدەکەن.
یان ؟ ڕەگی یان یان : $\sqrt[3]{64}=4$ ، بەڵام $\sqrt[3]{7}=1.9129\ldots$ و $\sqrt5$ .

Real numbers $\mathbb{R}$ and the number lineژمارە ڕاستییەکان $\mathbb{R}$ و هێڵی ژمارەکان

Definitionپێناسە

Any number that is a point on the : all rational and irrational numbers together. The set is $\mathbb{R}$ .

هەر ژمارەیەک کە خاڵێکە لەسەر ؛ واتە هەموو و پێکەوە. کۆمەڵەکەی $\mathbb{R}$ ـە.

\mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup Ir,\qquad \mathbb{Q}\cap Ir=\emptyset

The real numbers fill the number line with no gaps. Every real number is one point on the line, and every point is one real number. Smaller numbers lie to the left.

بەبێ هیچ کەلێنێک پڕ دەکەنەوە. هەر خاڵێکە لەسەر هێڵەکە و هەر خاڵێکیش . ژمارە بچووکترەکان لە لای چەپن.

Rational and irrational numbers side by side on one line. و لە تەنیشت یەکەوە لەسەر یەک هێڵ.CêIT

Quick checkپشکنینی خێراWhich statement is true?کام ڕستە ڕاستە؟Every real number is rational or irrational, but never bothهەر ژمارەیەکی ڕاستی یان ژمارەی ڕێژەییە یان ژمارەی ناڕێژەییە، بەڵام هەرگیز هەردووکیان نییەSome real numbers are both rational and irrationalهەندێک ژمارەی ڕاستی هەم ژمارەی ڕێژەیین هەم ژمارەی ناڕێژەیینπ is not on the number line because it never endsπ لەسەر هێڵی ژمارەکان نییە چونکە کۆتایی نایەت

بیرکاری پۆلی ٩ بنەڕەتی بەشی ١ بابەتی ٤Ibrahim Ismahil · Kurdish (Sorani)کوردی (سۆرانی) · 147K viewsبینین · 3.2K likesلایک · Partبەشی 2:20–5:35 (ofلە 18:15)
In Kurdish: the real numbers as one family made of the rational numbers (fractions, repeating decimals) and the irrational numbers (non-repeating decimals, roots like √5).
بە کوردی: وەک یەک خێزان، کە لە (، دەیی دووبارەبووەوە) و (دەیی دووبارەنەبووەوە، ڕەگی وەک $\sqrt{5}$ ) پێک دێن.
Sorani, Grade 9 lesson (1-4). Plays 2:20-5:35 (found on video frames): the board tree of the real numbers, rational and irrational with their kinds, and the box 'real numbers = all rational and irrational numbers'.
بە سۆرانی، وانەی پۆلی ⁦9 (1-4)⁩. لە ⁦2:20⁩ تا ⁦5:35⁩ پەخش دەبێت (لە وێنەکانی ڤیدیۆکەوە دیاری کراوە): دارەکەی سەر تەختە بۆ ، و لەگەڵ جۆرەکانیان، هەروەها چوارچێوەی « = هەموو و ».

The imaginary unit $i$ یەکەی خەیاڵی $i$

No real number squared gives −1, so $x^2=-1$ has no real solution. Mathematicians add one new number, the imaginary unit i, with the rule:

دووجای هیچ $-1$ نادات، بۆیە $x^2=-1$ هیچ چارەسەرێکی ڕاستیی نییە. بیرکاریزانان ژمارەیەکی نوێ زیاد دەکەن، ⁦(i)⁩، بەم یاسایە:

i^2=-1

Quick checkپشکنینی خێراWhich equation has no solution among the real numbers?کام هیچ چارەسەرێکی لە ناو نییە؟

x^3=-1

x^3=-1

x^2=-1

x^2=-1

x^2=1

x^2=1

Complex numbers $\mathbb{C}$ ژمارە ئاوێتەکان $\mathbb{C}$

Definitionپێناسە

A number $z=x+iy$ with a real part x and an imaginary part y, where $i$ is the ( $i^2=-1$ ). The set is $\mathbb{C}$ ; every real number is complex with $y=0$ .

ژمارەیەکی وەک $z=x+iy$ کە بەشی ڕاستیی x و بەشی خەیاڵیی y هەیە و $i$ ( $i^2=-1$ ). کۆمەڵەکەی $\mathbb{C}$ ـە؛ هەموو ژمارەیەکی ڕاستی ژمارەیەکی ئاوێتەیە کە $y=0$ .

\mathbb{C}=\{\,z=x+iy\,;\,x,y\in\mathbb{R}\,\}

Every real number is also complex, with imaginary part 0: $5=5+0i$ . So $\mathbb{R}\subset\mathbb{C}$ .

هەموو بە بەشی خەیاڵیی 0: $5=5+0i$ . بۆیە $\mathbb{R}\subset\mathbb{C}$ .

Correctionڕاستکردنەوە

Three small fixes to the slide: (1) it names a complex number Z, the same letter as the integers ℤ; books use a small z. (2) The imaginary part of $x+iy$ is the real number y, not iy. (3) $\sqrt{-1}$ has no meaning inside ℝ, so i is defined by $i^2=-1$ .

سێ ڕاستکردنەوەی بچووک بۆ سلایدەکە: ⁦(1)⁩ ناوی دەنێت Z، هەمان پیتی ℤ؛ کتێبەکان zـی بچووک بەکار دەهێنن. ⁦(2)⁩ بەشی خەیاڵیی $x+iy$ yـیە، نەک ⁦iy. (3)⁩ $\sqrt{-1}$ لە ناو ℝـدا هیچ واتایەکی نییە، بۆیە i بە $i^2=-1$ پێناسە دەکرێت.

In computingلە کۆمپیوتەردا

Python has complex numbers built in, but it writes j for i, as electrical engineers do: -1+3j. For z = -1+3j, z.real is -1.0 and z.imag is 3.0, and 1j * 1j gives (-1+0j). Python's other number types are int (integers) and float (decimal numbers); see Whole numbers and decimal numbers, and Floating-point numbers for the same idea in PHP.

Python بە شێوەیەکی ئامادە هەیە، بەڵام وەک ئەندازیارانی کارەبا لە جیاتی i پیتی j دەنووسێت: -1+3j. بۆ z = -1+3j، z.real دەکاتە -1.0 و z.imag دەکاتە 3.0، هەروەها 1j * 1j ئەنجامی (-1+0j) دەدات. لە Pythonـدا int بۆ و float بۆ ژمارەی دەیی بەکار دێت؛ بڕوانە ژمارە تەواوەکان و ژمارە دەییەکان، هەروەها بۆ هەمان بیرۆکە لە PHPـدا ⁦Floating-point numbers⁩.

Sets inside setsکۆمەڵەکان لە ناو کۆمەڵەکاندا

Each family contains the one before it. The slide's first note says it with proper-subset signs:

هەر خێزانێک ئەوەی پێش خۆی لەخۆ دەگرێت. یەکەم تێبینیی سلایدەکە بە هێمای دەیڵێت:

\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{C},\qquad Ir\subset\mathbb{R}

The families of numbers as sets inside sets.خێزانەکانی ژمارە وەک لە ناو .CêIT

Where does each number live?هەر ژمارەیەک لە کوێ دەژی؟

To classify a number, find the smallest family it belongs to. It then belongs to every family around that one as well.

بۆ پۆلێنکردنی ژمارەیەک، بچووکترین خێزان بدۆزەرەوە کە سەر بەیەتی. ئینجا سەر بە هەموو ئەو خێزانانەشە کە دەوری ئەوەیان داوە.

Animation: the nested boxes ℂ ⊃ ℝ ⊃ ℚ ⊃ ℤ ⊃ ℕ, with the irrational box beside ℚ. Five numbers wait at the top and move one by one into their smallest box: 5 into ℕ (a counting number), −3 into ℤ (a whole number below zero), 0.4 into ℚ (it is 2/5), √2 into the irrational box (its digits never end or repeat), and 2 + 3i into ℂ outside ℝ (its imaginary part is 3). The last frame says: each number sits in its smallest set, and so in every set around it. — Each number goes into its smallest family.هەر ژمارەیەک دەچێتە ناو بچووکترین خێزانی خۆی.CêIT

Classifying ten numbers (✓ = belongs, ✗ = does not)پۆلێنکردنی دە ژمارە (✓ = سەر بەیەتی، ✗ = سەر بەی نییە)
	ℕ	ℤ	ℚ	Irrational	ℝ	ℂ
$5$	✓	✓	✓	✗	✓	✓
$0$	✗	✓	✓	✗	✓	✓
$-3$	✗	✓	✓	✗	✓	✓
$0.4=\frac25$	✗	✗	✓	✗	✓	✓
$-\frac72$	✗	✗	✓	✗	✓	✓
$2.\overline{3}$	✗	✗	✓	✗	✓	✓
$\sqrt9=3$	✓	✓	✓	✗	✓	✓
$\sqrt2$	✗	✗	✗	✓	✓	✓
$\pi$	✗	✗	✗	✓	✓	✓
$2+3i$	✗	✗	✗	✗	✗	✓

Quick checkپشکنینی خێراWhat is the smallest family that contains

-\frac{10}{5}

?بچووکترین خێزان کە

-\frac{10}{5}

لەخۆ بگرێت کامەیە؟ℤ, because it equals

-2

ℤ، چونکە یەکسانە بە

-2

\mathbb{N}

\mathbb{N}

ℚ, because it is written as a fractionℚ، چونکە وەک کەرت نووسراوە

Between any two numbersلە نێوان هەر دوو ژمارەیەکدا

The slide's last note: between any two different real numbers there is always a rational number and an irrational number. You can even build them:

دوا تێبینیی سلایدەکە: لە نێوان هەر دوو جیاوازدا هەمیشە و هەیە. تەنانەت دەتوانیت دروستیان بکەیت:

A rational number in betweenژمارەیەکی ڕێژەیی لە نێوانیاندا
Take the average of the two numbers. If a and b are rational, so is $\frac{a+b}{2}$ .
تێکڕای دوو ژمارەکە وەربگرە. ئەگەر a و b ، $\frac{a+b}{2}$ ـیش .
$0.1<\frac{0.1+0.2}{2}=0.15<0.2$
An irrational number in betweenژمارەیەکی ناڕێژەیی لە نێوانیاندا
If a and b are rational, move from a by a piece of the gap that is irrational, for example $\frac{b-a}{\sqrt2}$ . This piece is smaller than the whole gap, and a rational number plus an irrational number is always irrational.
ئەگەر a و b ، لە aـەوە بە پارچەیەک لە بۆشاییەکە بڕۆ کە ، بۆ نموونە $\frac{b-a}{\sqrt2}$ . ئەم پارچەیە لە هەموو بۆشاییەکە بچووکترە و کۆی و هەمیشە .
$0.1<0.1+\frac{0.1}{\sqrt2}=0.17071\ldots<0.2$

So there is no “next” real number after 1: whatever number you name, there are infinitely many numbers between 1 and it. The real numbers are packed densely along the line.

کەواتە نییە کە «دوای» 1 بێت: هەر ژمارەیەک بڵێیت، ژمارەی بێشومار لە نێوان 1 و ئەودا هەن. بە چڕی بەدرێژایی هێڵەکە ڕیز بوون.

In computingلە کۆمپیوتەردا

A computer cannot store the whole real line. A float keeps only about 16 significant digits, so $\sqrt2$ and $\frac13$ are stored slightly wrong, and in Python 0.1 + 0.2 prints 0.30000000000000004. See Decimal surprises and, for PHP, Floats are not exact.

کۆمپیوتەر ناتوانێت هەموو هێڵی ڕاستییەکان هەڵبگرێت. تەنها نزیکەی ⁦16⁩ گرنگ دەهێڵێتەوە، بۆیە $\sqrt2$ و $\frac13$ کەمێک بە هەڵە هەڵدەگیرێن و لە Pythonـدا 0.1 + 0.2 ئەنجامی 0.30000000000000004 چاپ دەکات. بڕوانە سەرسوڕمانەکانی ژمارەی دەیی، هەروەها بۆ PHP ⁦Floats are not exact⁩.

Common mistakesهەڵە باوەکان

Mistakeهەڵە	Why it is wrongبۆچی هەڵەیە	Do this insteadلە جیاتی ئەوە
“Negative numbers are not rational”« نین»	$-\frac35$ and $-8=\frac{-8}{1}$ are fractions of integers $-\frac35$ و $-8=\frac{-8}{1}$ دوو	Ask only: can it be written as $\frac pq$ ?تەنها بپرسە: دەتوانرێت وەک $\frac pq$ بنووسرێت؟
“ $\sqrt9$ is irrational because it has a root sign”« $\sqrt9$ چونکە هێمای ڕەگی هەیە»	$\sqrt9=3$ $\sqrt9=3$	Work the root out firstسەرەتا ڕەگەکە حیساب بکە
Writing $\pi=\frac{22}{7}$ نووسینی $\pi=\frac{22}{7}$	$\frac{22}{7}=3.142857\ldots$ is only close to $\pi=3.141592\ldots$ $\frac{22}{7}=3.142857\ldots$ تەنها نزیکە لە $\pi=3.141592\ldots$	Use $\frac{22}{7}$ or 3.14 only as approximations $\frac{22}{7}$ یان ⁦3.14⁩ تەنها وەک نزیککراوە بەکار بهێنە
“A repeating decimal like $0.333\ldots$ is irrational”«ژمارەیەکی دەیی دووبارەبووەوەی وەک $0.333\ldots$ »	Repeating decimals are rational: $0.333\ldots=\frac13$ ژمارەی دەیی دووبارەبووەوە : $0.333\ldots=\frac13$	Irrational means never ends and never repeats واتە هەرگیز کۆتایی نایەت و دووبارە نابێتەوە
“The imaginary part of $4-2i$ is $-2i$ ”«بەشی خەیاڵیی $4-2i$ دەکاتە $-2i$ »	The imaginary part is the real number in front of iبەشی خەیاڵی ئەو ژمارەیەیە کە لە پێش iـدایە	Imaginary part $=-2$ بەشی خەیاڵی $=-2$
Assuming everyone starts ℕ at 1 (or at 0)وا دانان کە هەمووان ℕ لە 1ـەوە (یان لە 0ـەوە) دەست پێدەکەن	Books and programming languages differکتێب و جیاوازن	Check the convention; this course uses $\mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\}$ ڕێساکە بپشکنە؛ ئەم کۆرسە $\mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\}$ بەکار دەهێنێت

Exercisesڕاهێنانەکان

ExerciseڕاهێنانClassifyپۆلێن بکە

For each number, give the smallest family it belongs to (ℕ, ℤ, ℚ, irrational, or ℂ only): $12$ , $-7$ , $\frac{9}{3}$ , $0.25$ , $\sqrt{16}$ , $\sqrt{11}$ , $-1+3i$ , $0.\overline{6}$ .

بۆ هەر ژمارەیەک بچووکترین خێزان بنووسە کە سەر بەیەتی (ℕ، ℤ، ℚ، یان تەنها ℂ): $12$ ، $-7$ ، $\frac{9}{3}$ ، $0.25$ ، $\sqrt{16}$ ، $\sqrt{11}$ ، $-1+3i$ ، $0.\overline{6}$ .

Hintئاماژە

Simplify first. Then remember: smallest family, and the bigger families come for free.

سەرەتا سادەی بکەرەوە. پاشان لە بیرت بێت: بچووکترین خێزان، خێزانە گەورەترەکان خۆیان دێن.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

$12$ → ℕ; $-7$ → ℤ; $\frac93=3$ → ℕ; $0.25=\frac14$ → ℚ.
$\sqrt{16}=4$ → ℕ; $\sqrt{11}=3.3166\ldots$ → irrational; $-1+3i$ → ℂ only; $0.\overline{6}=\frac23$ → ℚ.

$12$ ← ℕ؛ $-7$ ← ℤ؛ $\frac93=3$ ← ℕ؛ $0.25=\frac14$ ← ℚ.
$\sqrt{16}=4$ ← ℕ؛ $\sqrt{11}=3.3166\ldots$ ← ؛ $-1+3i$ ← تەنها ℂ؛ $0.\overline{6}=\frac23$ ← ℚ.

ExerciseڕاهێنانFractions and decimalsکەرتەکان و ژمارەی دەیی

(a) Write $\frac38$ and $\frac56$ as decimals; which one terminates? (b) Write 0.4 and 1.75 as fractions in lowest terms.

(أ) $\frac38$ و $\frac56$ وەک ژمارەی دەیی بنووسە؛ کامیان کۆتایی دێت؟ (ب) ⁦0.4⁩ و ⁦1.75⁩ وەک بە سادەترین شێوە بنووسە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

(a) $\frac38=0.375$ terminates; $\frac56=0.8333\ldots=0.8\overline{3}$ repeats. (b) $0.4=\frac{4}{10}=\frac25$ and $1.75=\frac{175}{100}=\frac74$ .

(أ) $\frac38=0.375$ کۆتایی دێت؛ $\frac56=0.8333\ldots=0.8\overline{3}$ دووبارە دەبێتەوە. (ب) $0.4=\frac{4}{10}=\frac25$ و $1.75=\frac{175}{100}=\frac74$ .

ExerciseڕاهێنانRootsڕەگەکان

Find $\sqrt[3]{125}$ , $\sqrt[3]{-27}$ , $\sqrt[3]{1000}$ and $\sqrt{0.25}$ . Which of these numbers is irrational: $\sqrt[3]{8}$ , $\sqrt[3]{9}$ ?

$\sqrt[3]{125}$ ، $\sqrt[3]{-27}$ ، $\sqrt[3]{1000}$ و $\sqrt{0.25}$ بدۆزەرەوە. کام لەم ژمارانە : $\sqrt[3]{8}$ ، $\sqrt[3]{9}$ ؟

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

$\sqrt[3]{125}=5$ , $\sqrt[3]{-27}=-3$ , $\sqrt[3]{1000}=10$ , $\sqrt{0.25}=0.5$ . $\sqrt[3]{8}=2$ is rational; 9 is not a perfect cube, so $\sqrt[3]{9}=2.0800\ldots$ is irrational.

$\sqrt[3]{125}=5$ ، $\sqrt[3]{-27}=-3$ ، $\sqrt[3]{1000}=10$ ، $\sqrt{0.25}=0.5$ . $\sqrt[3]{8}=2$ ؛ 9 سێجای هیچ نییە، بۆیە $\sqrt[3]{9}=2.0800\ldots$ .

ExerciseڕاهێنانFind numbers in betweenژمارەی نێوانیان بدۆزەرەوە

Find one rational and one irrational number between 1.4 and 1.5.

و لە نێوان ⁦1.4⁩ و ⁦1.5⁩دا بدۆزەرەوە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

Rational: $\frac{1.4+1.5}{2}=1.45=\frac{29}{20}$ . Irrational: $\sqrt2=1.41421\ldots$ (or $1.4+\frac{0.1}{\sqrt2}=1.4707\ldots$ ).

: $\frac{1.4+1.5}{2}=1.45=\frac{29}{20}$ . : $\sqrt2=1.41421\ldots$ (یان $1.4+\frac{0.1}{\sqrt2}=1.4707\ldots$ ).

ExerciseڕاهێنانComplex numbersژمارە ئاوێتەکان

Write $2-5\sqrt{-1}$ in the form $x+iy$ and give its real and imaginary parts. Is $7$ a complex number?

$2-5\sqrt{-1}$ بە شێوەی $x+iy$ بنووسە و بەشی ڕاستی و بەشی خەیاڵیی بنووسە. ئایا $7$ ؟

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

$2-5\sqrt{-1}=2-5i$ : real part $2$ , imaginary part $-5$ . Yes: $7=7+0i$ , so every real number is also complex.

$2-5\sqrt{-1}=2-5i$ : بەشی ڕاستی $2$ و بەشی خەیاڵی $-5$ . بەڵێ: $7=7+0i$ ، بۆیە هەموو .

Summary and reviewپوختە و پێداچوونەوە

$\mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\}$ (this course; some books add 0). $\mathbb{Z}=\mathbb{Z}^{-}\cup\{0\}\cup\mathbb{Z}^{+}$ .
ℚ: fractions $\frac pq$ of integers with $q\ne0$ ; their decimals terminate or repeat.
Irrational numbers ( $\sqrt2$ , π, $\sqrt[3]{7}$ ) are not fractions; their decimals never end or repeat. $\mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup Ir$ .
$\mathbb{C}=\{x+iy\}$ with $i^2=-1$ ; real part x, imaginary part y.
$\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{C}$ ; between any two different reals there are rational and irrational numbers.

$\mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\}$ (لەم کۆرسەدا؛ هەندێک کتێب 0ـیش زیاد دەکەن). $\mathbb{Z}=\mathbb{Z}^{-}\cup\{0\}\cup\mathbb{Z}^{+}$ .
ℚ: $\frac pq$ لە بە $q\ne0$ ؛ ژمارە دەییەکانیان کۆتاییان دێت یان دووبارە دەبنەوە.
( $\sqrt2$ ، π، $\sqrt[3]{7}$ ) نین؛ ژمارە دەییەکانیان کۆتاییان نایەت و دووبارە نابنەوە. $\mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup Ir$ .
$\mathbb{C}=\{x+iy\}$ بە $i^2=-1$ ؛ بەشی ڕاستی x و بەشی خەیاڵی y.
$\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{C}$ ؛ لە نێوان هەر دوو جیاوازدا و هەن.

Review questionsپرسیارەکانی پێداچوونەوە

Why can a denominator never be 0?بۆچی ژێرە هەرگیز نابێت 0 بێت؟

Because no number times 0 gives a non-zero result, so a division by 0 has no answer.

چونکە لێکدانی هیچ ژمارەیەک لە 0 ئەنجامێکی جیا لە سفر نادات، بۆیە دابەشکردن بەسەر 0 وەڵامی نییە.

How can you tell from the decimals whether a number is rational?چۆن لە ژمارە دەییەکانەوە دەزانیت ژمارەیەک ژمارەی ڕێژەییە؟

Rational: the decimals end or repeat. Irrational: they never end and never repeat.

: ژمارە دەییەکان کۆتاییان دێت یان دووبارە دەبنەوە. : هەرگیز کۆتاییان نایەت و دووبارە نابنەوە.

Why do we need complex numbers?بۆچی پێویستمان بە ژمارە ئاوێتەکان هەیە؟

Because no real number squared gives a negative number, so equations like $x^2=-1$ need the new number i.

چونکە دووجای هیچ نادات، بۆیە وەک $x^2=-1$ پێویستیان بە ژمارە نوێیەکەی i هەیە.

Is 0 rational? Is it natural?ئایا 0 ژمارەی ڕێژەییە؟ ئایا ژمارەی سروشتییە؟

Rational, yes ( $0=\frac01$ ). Natural: not in this course, which starts ℕ at 1.

، بەڵێ ( $0=\frac01$ ). : لەم کۆرسەدا نا، چونکە ℕ لە 1ـەوە دەست پێدەکات.

Videoڤیدیۆ

Watch a videoسەیری ڤیدیۆیەک بکە

A video that viewers liked a lot and praised in their comments, chosen for this lesson.ڤیدیۆیەک کە بینەران زۆریان پێ خۆش بووە و لە کۆمێنتەکانیاندا ستایشیان کردووە، بۆ ئەم وانەیە هەڵبژێردراوە.

What are the Types of Numbers? Real vs. Imaginary, Rational vs. IrrationalProfessor Dave Explains · Englishئینگلیزی · 889K viewsبینین · 17K likesلایک
The family tree of numbers: natural numbers, integers, rational and irrational numbers, real numbers and imaginary numbers.
خێزانی ژمارەکان: ، ، ، ، و ژمارە خەیاڵییەکان.
Chapters: 0:46 imaginary numbers, 1:48 rational, 2:29 irrational, 5:31 repeating decimals, 7:01 review of all the sets.
بەشەکان: ⁦0:46⁩ ژمارە خەیاڵییەکان، ⁦1:48⁩ ، ⁦2:29⁩ ، ⁦5:31⁩ ژمارەی دەیی دووبارەبووەوە، ⁦7:01⁩ پێداچوونەوەی هەموو .

Lesson complete!وانەکە تەواو بوو!

Well done. Review the key terms, then go on to the next lesson.دەستخۆش. سەیرێکی زاراوە سەرەکییەکان بکەرەوە، پاشان بڕۆ بۆ وانەی داهاتوو.

Key termsزاراوە سەرەکییەکان

Next lessonوانەی داهاتوو

Order on the Real Line and the Rules of Inequalitiesڕیزبەندی لەسەر هێڵی ژمارە ڕاستییەکان و یاساکانی لاسەنگەکان

Related lecturesوانە پەیوەندیدارەکان

References and further readingسەرچاوەکان و خوێندنەوەی زیاتر

This lecture is a first edition. The Kurdish text and terminology are waiting for review by Kurdish IT teachers.ئەم وانەیە چاپی یەکەمە. دەقە کوردییەکە و زاراوەکانی چاوەڕێی پێداچوونەوەی مامۆستایانی کوردی بواری IT ن.

Sets of Numbers: From Natural to Complexکۆمەڵەکانی ژمارە: لە ژمارە سروشتییەکانەوە تا ژمارە ئاوێتەکان

What you will learnچی فێر دەبیت

Numbers grew with our needsژمارەکان لەگەڵ پێداویستییەکانماندا گەشەیان کرد

Natural numbers N\mathbb{N}Nژمارە سروشتییەکان N\mathbb{N}N

Integers Z\mathbb{Z}Zژمارە تەواوەکان Z\mathbb{Z}Z

Rational numbers Q\mathbb{Q}Qژمارە ڕێژەییەکان Q\mathbb{Q}Q

Rational numbers as decimalsژمارە ڕێژەییەکان وەک ژمارەی دەیی

The parts of a decimal numberبەشەکانی ژمارەیەکی دەیی

Irrational numbersژمارە ناڕێژەییەکان

Square roots and cube rootsڕەگی دووجا و ڕەگی سێجا

Real numbers R\mathbb{R}R and the number lineژمارە ڕاستییەکان R\mathbb{R}R و هێڵی ژمارەکان

The imaginary unit iiiیەکەی خەیاڵی iii

Complex numbers C\mathbb{C}Cژمارە ئاوێتەکان C\mathbb{C}C

Sets inside setsکۆمەڵەکان لە ناو کۆمەڵەکاندا

Where does each number live?هەر ژمارەیەک لە کوێ دەژی؟

Between any two numbersلە نێوان هەر دوو ژمارەیەکدا

Common mistakesهەڵە باوەکان

Exercisesڕاهێنانەکان

Summary and reviewپوختە و پێداچوونەوە

Watch a videoسەیری ڤیدیۆیەک بکە

Lesson complete!وانەکە تەواو بوو!

Key termsزاراوە سەرەکییەکان

Related lecturesوانە پەیوەندیدارەکان

Natural numbers $\mathbb{N}$ ژمارە سروشتییەکان $\mathbb{N}$

Integers $\mathbb{Z}$ ژمارە تەواوەکان $\mathbb{Z}$

Rational numbers $\mathbb{Q}$ ژمارە ڕێژەییەکان $\mathbb{Q}$

Real numbers $\mathbb{R}$ and the number lineژمارە ڕاستییەکان $\mathbb{R}$ و هێڵی ژمارەکان

The imaginary unit $i$ یەکەی خەیاڵی $i$

Complex numbers $\mathbb{C}$ ژمارە ئاوێتەکان $\mathbb{C}$