Chapterبەش 2 · Lectureوانە 2.1

Order on the Real Line and the Rules of Inequalitiesڕیزبەندی لەسەر هێڵی ژمارە ڕاستییەکان و یاساکانی لاسەنگەکان

What “less than” really means, the trichotomy and transitive properties, the four inequality symbols and chains, and the ten rules for adding, multiplying, taking reciprocals and squaring — with the reason behind every rule.

«بچووکتر لە» بە ڕاستی واتای چییە، و ، چوار هێماکەی و زنجیرەکان، هەروەها دە یاساکەی زیادکردن، لێکدان، وەرگرتنی و دووجاکردن — لەگەڵ هۆکاری پشت هەر یاسایەک.

15 min read17 خولەک خوێندنەوە · 16 stepsهەنگاو

What you will learnچی فێر دەبیت

Compare real numbers on the number line and explain $a<b$ as “ $b-a$ is positive”.
State and use the trichotomy and transitive properties, the four inequality symbols and chains.
Know which operations keep an inequality sign and which reverse it, and why.
Apply the reciprocal and square rules 6–10 and avoid the common sign mistakes.

لەسەر بەراورد بکەیت و $a<b$ وەک « $b-a$ موجەبە» ڕوون بکەیتەوە.
، ، چوار هێماکەی و زنجیرەکان بڵێیت و بەکاریان بهێنیت.
بزانیت کام هەنگاوانە هێمای دەهێڵنەوە و کامیان پێچەوانەی دەکەنەوە و بۆچی.
یاساکانی ⁦6–10⁩ـی و دووجا بەکار بهێنیت و خۆت لە هەڵە باوەکانی هێما بپارێزیت.

Comparing numbersبەراوردکردنی ژمارەکان

Comparing is everywhere: the pass mark is 50 or more, the speed limit is 100 km/h or less, and a phone warns you when the battery is below 20 %. In a program you write if mark >= 50. This lesson gives the exact rules behind every comparison of real numbers.

بەراوردکردن لە هەموو شوێنێکدایە: نمرەی دەرچوون ⁦50⁩ یان زیاترە، خێرایی ڕێگەپێدراو ⁦100⁩ کیلۆمەتر لە کاتژمێرێک یان کەمترە و مۆبایل ئاگادارت دەکاتەوە کاتێک پاترییەکەی لە ⁦20%⁩ـی کەمتر بێت. لە دەنووسیت if mark >= 50. ئەم وانەیە یاسا وردەکانی پشت هەموو بەراوردکردنێکی دەدات.

Picture the real numbers on the number line. To the left is smaller, to the right is larger. So $-3<2$ because −3 lies to the left of 2, and $-7<-2$ because −7 lies further left. Behind the picture is one exact idea: $a<b$ means that $b-a$ is a positive number.

لەسەر وێنا بکە. لای چەپ بچووکترە، لای ڕاست گەورەترە. بۆیە $-3<2$ چونکە $-3$ لە لای چەپی 2ـەوەیە، هەروەها $-7<-2$ چونکە $-7$ زیاتر بەرەو چەپە. لە پشت ئەم وێنەیەوە یەک بیرۆکەی ورد هەیە: $a<b$ واتە $b-a$ .

Order on the real line: smaller numbers lie to the left.ڕیزبەندی لەسەر هێڵی : ژمارە بچووکترەکان لە لای چەپن.CêIT

Exactly one of threeتەنها یەکێک لە سێ

Definitionپێناسە

The rule that for any two real numbers a and b exactly one is true: $a<b$ , $a=b$ or $a>b$ .

ئەو یاسایەی کە بۆ هەر دوو a و b تەنها یەکێک لەمانە ڕاستە: $a<b$ ، $a=b$ یان $a>b$ .

\text{For all } a,b\in\mathbb{R}:\quad a<b\ \ \text{or}\ \ a=b\ \ \text{or}\ \ a>b\quad(\text{exactly one is true})

The course example: for 2 and −1 we see that $2>-1$ , $2\not<-1$ and $2\ne-1$ . One statement is true and the other two are false.

نموونەی کۆرسەکە: بۆ 2 و $-1$ دەبینین $2>-1$ ، $2\not<-1$ و $2\ne-1$ . یەک ڕستە ڕاستە و دووانەکەی تر هەڵەن.

Why exactly one? Remember the meaning of “less than” from the first screen: $a<b$ exactly when $b-a$ is positive. The difference $b-a$ is positive, zero or negative, and only one of these. Positive gives $a<b$ , zero gives $a=b$ , negative gives $a>b$ .

بۆچی تەنها یەکێک؟ واتای «بچووکترە لە»ت لە شاشەی یەکەمەوە لە بیر بێت: $a<b$ ڕێک کاتێکە کە $b-a$ موجەب بێت. جیاوازیی $b-a$ یان موجەبە، یان سفرە، یان سالبە و تەنها یەکێک لەمانە. موجەب $a<b$ دەدات، سفر $a=b$ و سالب $a>b$ .

Passing order along a chainگواستنەوەی ڕیزبەندی بە زنجیرەیەکدا

Definitionپێناسە

The rule that an order passes along a chain: if $a<b$ and $b<c$ , then $a<c$ .

ئەو یاسایەی کە ڕیزبەندی بە زنجیرەیەکدا دەگوازرێتەوە: ئەگەر $a<b$ و $b<c$ ، ئەوا $a<c$ .

\begin{aligned}a>b\ \text{and}\ b>c\ &\Longrightarrow\ a>c\\ a<b\ \text{and}\ b<c\ &\Longrightarrow\ a<c\end{aligned}

Three brothersسێ برا

Aram is taller than Karwan, and Karwan is taller than Dilan. Without measuring anyone again, you know that Aram is taller than Dilan. Heights pass along the chain, just like the order of numbers.

ئارام لە کاروان باڵاترە و کاروانیش لە دیلان باڵاترە. بەبێ ئەوەی جارێکی تر کەس بپێویت، دەزانیت ئارام لە دیلان باڵاترە. باڵا بە زنجیرەکەدا دەگوازرێتەوە، ڕێک وەک ڕیزبەندیی ژمارەکان.

Where the analogy stops workingسنووری ئەم نموونەیە

Not every comparison passes along. In football, team A may beat B and B may beat C, and still C beats A on another day. “Beats” is not transitive; “is less than” always is.

هەموو بەراوردکردنێک بەم شێوەیە ناگوازرێتەوە. لە تۆپی پێدا تیمی A لەوانەیە B ببات و Bـیش C ببات، بەڵام هێشتا C لە ڕۆژێکی تردا A ببات. «بردنەوە» گواستراوە نییە؛ «بچووکترە لە» هەمیشە گواستراوەیە.

Inequalities and their four symbolsلاسەنگەکان و چوار هێماکەیان

Definitionپێناسە

A statement that compares two amounts with $<$ , $>$ , $\le$ or $\ge$ instead of $=$ . Its answer is usually a whole range of numbers, not one number.

ڕستەیەکی بیرکارییە کە دوو بڕ بە $<$ ، $>$ ، $\le$ یان $\ge$ بەراورد دەکات، لە جیاتی $=$ . وەڵامەکەی زۆرجار کۆمەڵێک ژمارەیە، نەک یەک ژمارە.

Statements of the form $a<b$ , $a\le b$ , $a>b$ and $a\ge b$ are called inequalities. Here is how to read them:

ڕستەی وەک $a<b$ ، $a\le b$ ، $a>b$ و $a\ge b$ پێیان دەوترێت . بەم شێوەیە دەخوێنرێنەوە:

Symbolهێما	Read asدەخوێنرێتەوە	True exampleنموونەی ڕاست	False exampleنموونەی هەڵە	In codeلە کۆددا
$a<b$	a is less than ba بچووکترە لە b	$3<5$	$5<5$	`a < b`
$a\le b$	a is less than or equal to ba بچووکترە لە b یان یەکسانە پێی	$5\le5$	$6\le5$	`a <= b`
$a>b$	a is greater than ba گەورەترە لە b	$5>-1$	$-1>5$	`a > b`
$a\ge b$	a is greater than or equal to ba گەورەترە لە b یان یەکسانە پێی	$7\ge7$	$2\ge7$	`a >= b`

a\le b\quad\Longleftrightarrow\quad a<b\ \ \text{or}\ \ a=b

GCSE Maths - What are Inequalities? (Inequalities Part 1) (2026/27 exams)Cognito · Englishئینگلیزی · 955K viewsبینین · 16K likesلایک · Partبەشی 0:00–3:41 (ofلە 5:31)
How to read the four inequality signs, a trick to remember them, inequalities with negative numbers, and chains like 2 < x < 5.
چۆن چوار هێماکەی دەخوێنیتەوە، فێڵێک بۆ ئەوەی لەبیرت نەچن، لەگەڵ و زنجیرەی وەک $2 < x < 5$ .
Plays 0:00-3:41: the four signs (0:19-2:00), negative numbers (2:20) and chains like 2 < x < 5 (2:57). The number-line part after 3:41 belongs to the Intervals lesson.
لە ⁦0:00⁩ تا ⁦3:41⁩ پەخش دەبێت: چوار هێماکە (⁦0:19⁩ تا ⁦2:00⁩)، ⁦(2:20)⁩ و زنجیرەی وەک $2 < x < 5$ ⁦(2:57)⁩. بەشی دوای ⁦3:41⁩ سەر بە وانەی .

Chains: $a<b<c$ زنجیرە: $a<b<c$

Two comparisons are often written as one chain:

زۆرجار دوو بەراوردکردن وەک یەک زنجیرە دەنووسرێن:

\begin{aligned}a<b<c\ &\Longleftrightarrow\ a<b\ \text{and}\ b<c\\ a\le b<c\ &\Longleftrightarrow\ a\le b\ \text{and}\ b<c\end{aligned}

Chains describe a stretch of the number line. $-1<x\le3$ means: x is bigger than −1 and at most 3. Here −1 is left out and 3 is included. You will write such stretches as intervals in the next lesson.

زنجیرەکان پارچەیەک لە وەسف دەکەن. $-1<x\le3$ واتە: x لە $-1$ گەورەترە و زۆرترین 3ـە. لێرەدا $-1$ دەرەوەیە و 3 دەگیرێتەوە. لە وانەی داهاتوودا ئەم پارچانە وەک دەنووسیت.

In computingلە کۆمپیوتەردا

Python understands chains exactly like mathematics: 0 <= x < 10 means 0 <= x and x < 10. This is called a (see Ranges in one line). Java, C# and PHP reject it, so there you join two comparisons with && yourself. JavaScript and C accept it but compute something else: in 0 <= 15 < 10 the first part gives true (that is, 1), and 1 < 10 is true, which is the wrong answer.

Python زنجیرەکان ڕێک وەک بیرکاری تێدەگات: 0 <= x < 10 واتە 0 <= x and x < 10. پێی دەوترێت (بڕوانە بەراوردی زنجیرەیی لە Pythonـدا). Java، ⁦C#⁩ و PHP ڕێگەی پێ نادەن، بۆیە لەوێ دەبێت خۆت دوو بەراوردەکە بە && پێکەوە ببەستیت. JavaScript و C وەری دەگرن بەڵام شتێکی تر حیساب دەکەن: لە 0 <= 15 < 10ـدا بەشی یەکەم true (واتە ⁦1⁩) دەدات و 1 < 10 ڕاستە — کە وەڵامێکی هەڵەیە.

Adding the same number to both sidesزیادکردنی هەمان ژمارە بۆ هەردوو لا

a<b\ \Longrightarrow\ a+c<b+c\qquad(\text{for every real } c)

Why? The gap between the two numbers stays the same: $(b+c)-(a+c)=b-a$ , which is still positive. On the number line both points slide by the same distance, so the left one stays on the left.

بۆچی؟ بۆشایی نێوان دوو ژمارەکە وەک خۆی دەمێنێتەوە: $(b+c)-(a+c)=b-a$ ، کە هێشتا . لەسەر هەردوو خاڵەکە بە هەمان دووری دەخزێن، بۆیە ئەوەی لای چەپە لە لای چەپ دەمێنێتەوە.

Two brothers' agesتەمەنی دوو برا

Soran is 12 and his brother Rezan is 15, so Soran is younger. In 10 years they will be 22 and 25: Soran is still younger, by the same 3 years. Adding the same amount to both never changes who is ahead.

سۆران ⁦12⁩ ساڵە و براکەی ڕێزان ⁦15⁩ ساڵ، بۆیە سۆران بچووکترە. دوای ⁦10⁩ ساڵ دەبنە ⁦22⁩ و ⁦25⁩: سۆران هێشتا بچووکترە، بە هەمان 3 ساڵ. زیادکردنی هەمان بڕ بۆ هەردووکیان هەرگیز ناگۆڕێت کێ لە پێشە.

Where the analogy stops workingسنووری ئەم نموونەیە

Ages only grow. The rule also works when c is negative, which is like going back in time: 10 years ago they were 2 and 5.

تەمەن تەنها زیاد دەکات. یاساکە کاتێک c سالبیشە کار دەکات، کە وەک گەڕانەوەیە بۆ ڕابردوو: ⁦10⁩ ساڵ پێش ئێستا تەمەنیان 2 و 5 بوو.

This is how simple inequalities are solved: $x-3<5$ → add 3 to both sides → $x<8$ .

سادەکان بەم شێوەیە چارەسەر دەکرێن: $x-3<5$ ← 3 بۆ هەردوو لا زیاد بکە ← $x<8$ .

Multiplying by a positive numberلێکدان لە ژمارەیەکی موجەب

a<b\ \text{and}\ c>0\ \Longrightarrow\ a\cdot c<b\cdot c

The course example: $2>1$ and $c=10$ , so $2\cdot10>1\cdot10$ , that is $20>10$ .

نموونەی کۆرسەکە: $2>1$ و $c=10$ ، بۆیە $2\cdot10>1\cdot10$ ، واتە $20>10$ .

Why? $bc-ac=(b-a)\,c$ . Both $b-a$ and c are positive, and a positive times a positive is positive, so $ac<bc$ . Dividing by a positive c is the same as multiplying by $\tfrac1c$ , which is also positive, so division keeps the direction too: $3x<6\Rightarrow x<2$ .

بۆچی؟ $bc-ac=(b-a)\,c$ . $b-a$ و c هەردووکیان و لێکدانی دوو ، بۆیە $ac<bc$ . دابەشکردن بەسەر cـی موجەب وەک لێکدانە لە $\tfrac1c$ ، کە ئەویش موجەبە، بۆیە دابەشکردنیش ئاڕاستەکە دەهێڵێتەوە: $3x<6\Rightarrow x<2$ .

Multiplying by a negative number reverses the signلێکدان لە ژمارەیەکی سالب هێماکە پێچەوانە دەکاتەوە

a<b\ \text{and}\ c<0\ \Longrightarrow\ a\cdot c>b\cdot c

Example: $2<5$ and $c=-3$ : $2\cdot(-3)=-6$ and $5\cdot(-3)=-15$ , and $-6>-15$ . Why? Now $(b-a)\,c$ is a positive times a negative, which is negative, so $bc<ac$ . Watch the picture: multiplying by −1 turns the number line half a turn around 0, so the left point ends up on the right.

نموونە: $2<5$ و $c=-3$ : $2\cdot(-3)=-6$ و $5\cdot(-3)=-15$ ، هەروەها $-6>-15$ . بۆچی؟ ئێستا $(b-a)\,c$ لێکدانی لە ، کە سالبە، بۆیە $bc<ac$ . سەیری وێنەکە بکە: لێکدان لە $-1$ نیو خول بە دەوری 0دا دەسووڕێنێت، بۆیە خاڵەکەی لای چەپ دەچێتە لای ڕاست.

Animation: the points a = 2 and b = 5 on a number line, with 2 < 5. The number line is multiplied by −1: a copy of it turns about 0 through 45°, 90° and 135° until it lies on the line again after half a turn. Now the points are at −a = −2 and −b = −5, and b is on the left of a: −5 < −2. The last frame says: 2 < 5 ⇒ −2 > −5; multiplying (or dividing) by a negative number reverses the inequality sign; a < b ⇒ −a > −b. — Multiplying by $-1$ is a half turn of the number line around 0.لێکدان لە $-1$ نیو خولی بە دەوری 0دا.CêIT

Dividing by a negative number also reverses the sign, because it is multiplying by $\tfrac1c$ , which is negative too. Example: $-2x<6$ → divide by −2 → $x>-3$ .

دابەشکردن بەسەر هێماکە پێچەوانە دەکاتەوە، چونکە لێکدانە لە $\tfrac1c$ ، کە ئەویش سالبە. نموونە: $-2x<6$ ← دابەشی $-2$ بکە ← $x>-3$ .

Debtsقەرز

Having 2 dinars is less than having 5 dinars. Now turn both into debts: owing 2 dinars ( $-2$ ) is better than owing 5 dinars ( $-5$ ). The minus sign turned the order around.

هەبوونی 2 دینار کەمترە لە هەبوونی 5 دینار. ئێستا هەردووکیان بکە بە قەرز: قەرزداربوون بە 2 دینار ( $-2$ ) باشترە لە قەرزداربوون بە 5 دینار ( $-5$ ). نیشانەی سالب ڕیزبەندییەکەی پێچەوانە کردەوە.

Where the analogy stops workingسنووری ئەم نموونەیە

The analogy covers multiplying by −1. Multiplying by −3 also stretches the distances, but the order still flips in the same way.

ئەم لێکچواندنە لێکدان لە $-1$ دەگرێتەوە. لێکدان لە $-3$ دوورییەکانیش درێژ دەکاتەوە، بەڵام ڕیزبەندییەکە هەر بە هەمان شێوە پێچەوانە دەبێتەوە.

When Do You Need to Change Inequality Signs?Buffington · Englishئینگلیزی · 327K viewsبینین · 6.7K likesلایک · Partبەشی 2:20–7:55 (ofلە 7:55)
When an inequality sign must turn around: dividing or multiplying both sides by a negative number, with practice and the reason why.
کەی هێمای دەبێت پێچەوانە بکرێتەوە: کاتێک هەردوو لا لە لێک دەدەیت یان دابەشی دەکەیت، لەگەڵ ڕاهێنان و هۆکارەکەی.
Plays from 2:20: dividing by negatives, multiplying with negatives (4:40) and why the sign turns (6:47). The first part (adding and subtracting never flip) is skipped; it belongs to the 'adding' screen.
لە ⁦2:20⁩ـەوە پەخش دەبێت: دابەشکردن بەسەر ، لێکدان لە ⁦(4:40)⁩ و بۆچی هێماکە پێچەوانە دەبێتەوە ⁦(6:47)⁩. بەشی یەکەم (زیادکردن و کەمکردنەوە هەرگیز هێماکە پێچەوانە ناکەنەوە) بەجێ دەهێڵرێت؛ سەر بە شاشەی زیادکردنە.

Reciprocals: rules 6, 7 and 8هەڵگەڕاوەکان: یاساکانی 6، 7 و 8

Definitionپێناسە

The reciprocal of a number $a\ne0$ is $\frac{1}{a}$ : the number you multiply a by to get 1. For a , turn it upside down: the reciprocal of $\frac{2}{3}$ is $\frac{3}{2}$ . Zero has no reciprocal.

ژمارەی $a\ne0$ دەکاتە $\frac{1}{a}$ : ئەو ژمارەیەیە کە ئەگەر aـی پێ لێک بدەیت، 1 بەدەست دێت. بۆ ، و جێیان دەگۆڕیتەوە: $\frac{2}{3}$ دەکاتە $\frac{3}{2}$ . سفر هیچ نییە.

The reciprocal of a number $a\ne0$ is $\tfrac1a$ . What happens to an inequality when we take reciprocals of both sides depends on the signs. The slide's rules, each with an example:

ژمارەی $a\ne0$ دەکاتە $\tfrac1a$ . ئەوەی بەسەر دێت کاتێک هەردوو لا وەردەگرین، پشت بە هێماکان دەبەستێت. یاساکانی سلایدەکە، هەریەکەیان بە نموونەیەکەوە:

$\mathbb{R}^{+}$ = the positive real numbers, $\mathbb{R}^{-}$ = the negative real numbers $\mathbb{R}^{+}$ = ، $\mathbb{R}^{-}$ =
Ruleیاسا	Conditionمەرج	Conclusionئەنجام	Exampleنموونە
6	$a,b\in\mathbb{R}^{+}$ , $a<b$ $a,b\in\mathbb{R}^{+}$ ، $a<b$	$\frac1a>\frac1b$	$2<3\Rightarrow\frac12>\frac13$
7	$a\in\mathbb{R}^{-}$ , $b\in\mathbb{R}^{+}$ , $a<b$ $a\in\mathbb{R}^{-}$ ، $b\in\mathbb{R}^{+}$ ، $a<b$	$\frac1a<\frac1b$	$-2<3\Rightarrow-\frac12<\frac13$
8	$a,b\in\mathbb{R}^{-}$ , $a<b$ $a,b\in\mathbb{R}^{-}$ ، $a<b$	$\frac1a>\frac1b$	$-3<-2\Rightarrow-\frac13>-\frac12$

Reciprocals reverse the order of two numbers with the same sign. ڕیزبەندیی دوو ژمارەی هاوهێما پێچەوانە دەکەنەوە.CêIT

Why? $\frac1a-\frac1b=\frac{b-a}{ab}$ . The top $b-a$ is positive. If a and b have the same sign, $ab>0$ , the whole fraction is positive and $\frac1a>\frac1b$ (rules 6 and 8). If they have different signs, $ab<0$ , and the order stays (rule 7). Zero has no reciprocal, so these rules never use 0.

بۆچی؟ $\frac1a-\frac1b=\frac{b-a}{ab}$ . $b-a$ موجەبە. ئەگەر a و b هاوهێما بن، $ab>0$ ، هەموو موجەبە و $\frac1a>\frac1b$ (یاساکانی 6 و ⁦8⁩). ئەگەر هێمایان جیاواز بێت، $ab<0$ و ڕیزبەندییەکە وەک خۆی دەمێنێتەوە (یاسای ⁦7⁩). سفر هیچ نییە، بۆیە ئەم یاسایانە هەرگیز 0 بەکار ناهێنن.

Sharing a cakeدابەشکردنی کێکێک

Share one cake between 2 friends and each gets $\tfrac12$ ; share it between 3 and each gets $\tfrac13$ . More people ( $3>2$ ) means a smaller piece ( $\tfrac13<\tfrac12$ ). That is rule 6.

کێکێک بەسەر 2 هاوڕێدا دابەش بکە، هەریەکەیان $\tfrac12$ وەردەگرێت؛ بەسەر 3دا دابەشی بکە، هەریەکەیان $\tfrac13$ وەردەگرێت. کەسی زیاتر ( $3>2$ ) واتە پارچەی بچووکتر ( $\tfrac13<\tfrac12$ ). ئەمە یاسای 6ـە.

Where the analogy stops workingسنووری ئەم نموونەیە

Cakes and people are positive. For negative numbers use rule 8 (it also flips) and for mixed signs rule 7 (no flip).

کێک و خەڵک موجەبن. بۆ یاسای 8 بەکار بهێنە (ئەویش پێچەوانە دەکاتەوە) و بۆ هێمای جیاواز یاسای 7 (پێچەوانە ناکاتەوە).

Quick checkپشکنینی خێراIf

3<x<5

, what can you say about

\tfrac1x

?ئەگەر

3<x<5

بێت، دەربارەی

\tfrac1x

چی دەڵێیت؟

\tfrac15<\tfrac1x<\tfrac13

\tfrac15<\tfrac1x<\tfrac13

3<\tfrac1x<5

3<\tfrac1x<5

\tfrac13<\tfrac1x<\tfrac15

\tfrac13<\tfrac1x<\tfrac15

Squares: rules 9 and 10دووجاکان: یاساکانی 9 و ⁦10⁩

Ruleیاسا	Conditionمەرج	Conclusionئەنجام	Exampleنموونە
9	$a,b\in\mathbb{R}^{-}$ , $a<b$ $a,b\in\mathbb{R}^{-}$ ، $a<b$	$a^2>b^2$	$-3<-2\Rightarrow9>4$
10	$a,b\in\mathbb{R}^{+}$ , $a<b$ $a,b\in\mathbb{R}^{+}$ ، $a<b$	$a^2<b^2$	$2<3\Rightarrow4<9$

Why? $b^2-a^2=(b-a)(b+a)$ , and $b-a>0$ . For two positive numbers $b+a>0$ , so $b^2>a^2$ : squaring keeps the order (rule 10). For two negative numbers $b+a<0$ , so $b^2<a^2$ : squaring reverses it (rule 9). On the number line, squaring measures how far a number is from 0, and for negatives the one further left is further from 0.

بۆچی؟ $b^2-a^2=(b-a)(b+a)$ و $b-a>0$ . بۆ دوو $b+a>0$ ، بۆیە $b^2>a^2$ : دووجاکردن ڕیزبەندی دەهێڵێتەوە (یاسای ⁦10⁩). بۆ دوو $b+a<0$ ، بۆیە $b^2<a^2$ : دووجاکردن پێچەوانەی دەکاتەوە (یاسای ⁦9⁩). لەسەر ، دووجاکردن دووریی ژمارەیەک لە 0 دەپێوێت و بۆ ئەوەی زیاتر لە لای چەپە دوورترە لە 0.

Quick checkپشکنینی خێراIf

-4<a<-1

, which is true?ئەگەر

-4<a<-1

بێت، کامیان ڕاستە؟

-16<a^2<-1

-16<a^2<-1

16<a^2<1

16<a^2<1

1<a^2<16

1<a^2<16

Adding and multiplying two inequalitiesکۆکردنەوە و لێکدانی دوو لاسەنگە

\begin{aligned}a<b,\ \ c<d\ &\Longrightarrow\ a+c<b+d\\ 0<a<b,\ \ 0<c<d\ &\Longrightarrow\ ac<bd\end{aligned}

In daily life: a bus ticket costs less than 1,500 dinars and a sandwich less than 2,000 dinars, so both together cost less than 3,500 dinars. A room is less than 5 m long and less than 4 m wide, so its floor is less than $5\cdot4=20$ m².

لە ژیانی ڕۆژانەدا: بلیتی پاس لە ⁦1,500⁩ دینار کەمترە و ساندویچێک لە ⁦2,000⁩ دینار کەمترە، کەواتە هەردووکیان پێکەوە لە ⁦3,500⁩ دینار کەمترن. ژوورێک درێژییەکەی لە 5 مەتر کەمترە و پانییەکەی لە 4 مەتر کەمترە، کەواتە ڕووبەری زەوییەکەی لە $5\cdot4=20$ مەتری دووجا کەمترە.

Careful with multiplying: it needs positive numbers. $-3<-1$ and $-2<-1$ , but $(-3)(-2)=6$ is greater than $(-1)(-1)=1$ . Why both rules hold is shown in the exercises.

لە لێکداندا وریابە: پێویستی بە هەیە. $-3<-1$ و $-2<-1$ ، بەڵام $(-3)(-2)=6$ لە $(-1)(-1)=1$ گەورەترە. بۆچی هەردوو یاساکە ڕاستن لە ڕاهێنانەکاندا پیشان دراوە.

Quick checkپشکنینی خێراWe know

x<4

and

y<6

, and nothing else. What follows for sure?دەزانین

x<4

و

y<6

، هیچی تر نازانین. چی بە دڵنیاییەوە لێی دەردەکەوێت؟

x-y<-2

x-y<-2

xy<24

xy<24

x+y<10

x+y<10

All the rules at a glanceهەموو یاساکان بە یەک نیگا

Here are all the rules of slides 9, 11 and 12 in one table, with the numbering of slide 11–12 (a, b, c are real numbers). The last two rows combine two inequalities (d is a fourth real number).

ئەمە هەموو یاساکانی سلایدەکانی 9، ⁦11⁩ و ⁦12⁩ـە لە یەک خشتەدا، بە ژمارەکانی سلایدەکانی ⁦11–12 (a⁩، b و c ). دوو ڕیزی کۆتایی دوو پێکەوە دەبەستن (d چوارەم ).

The rules of order and inequalitiesیاساکانی ڕیزبەندی و
Ruleیاسا	If …ئەگەر …	then …ئەوا …	Signهێما
Orderڕیزبەندی	$a,b\in\mathbb{R}$ $a,b\in\mathbb{R}$	exactly one: $a<b$ , $a=b$ , $a>b$ (rule 5)تەنها یەکێک: $a<b$ ، $a=b$ ، $a>b$ (یاسای ⁦5⁩)	—
Transitive	$a<b,\ b<c$	$a<c$	keptدەمێنێتەوە
1	$a<b$	$a+c<b+c$	keptدەمێنێتەوە
2	$a<b,\ c>0$	$ac<bc$	keptدەمێنێتەوە
3	$a<b,\ c<0$	$ac>bc$	reversedپێچەوانە دەبێتەوە
4	$a\le b$	$a<b$ or $a=b$ $a<b$ یان $a=b$	—
6	$0<a<b$	$\frac1a>\frac1b$	reversedپێچەوانە دەبێتەوە
7	$a<0<b$	$\frac1a<\frac1b$	keptدەمێنێتەوە
8	$a<b<0$	$\frac1a>\frac1b$	reversedپێچەوانە دەبێتەوە
9	$a<b<0$	$a^2>b^2$	reversedپێچەوانە دەبێتەوە
10	$0<a<b$	$a^2<b^2$	keptدەمێنێتەوە
Adding twoکۆکردنەوەی دوانیان	$a<b,\ c<d$	$a+c<b+d$	keptدەمێنێتەوە
Multiplying two (all positive)لێکدانی دوانیان (هەمووی موجەب)	$0<a<b,\ 0<c<d$	$ac<bd$	keptدەمێنێتەوە

Quick checkپشکنینی خێراWhich of these steps reverses the inequality sign?کام لەم هەنگاوانە هێمای پێچەوانە دەکاتەوە؟Dividing both sides by −5دابەشکردنی هەردوو لا بەسەر

-5

Subtracting 5 from both sidesکەمکردنەوەی 5 لە هەردوو لاMultiplying both sides by 5لێکدانی هەردوو لا لە 5

Common mistakesهەڵە باوەکان

Mistakeهەڵە	Why it is wrongبۆچی هەڵەیە	Do this insteadلە جیاتی ئەوە
$-2x<6\Rightarrow x<-3$ $-2x<6\Rightarrow x<-3$	Dividing by −2 must flip the signدابەشکردن بەسەر $-2$ دەبێت هێماکە پێچەوانە بکاتەوە	$x>-3$ ; check with $x=0$ $x>-3$ ؛ بە $x=0$ بیپشکنە
Flipping the sign after subtracting a number: $x-5<2\Rightarrow x>7$ پێچەوانەکردنەوەی هێما دوای کەمکردنەوەی ژمارەیەک: $x-5<2\Rightarrow x>7$	Adding and subtracting never flipزیادکردن و کەمکردنەوە هەرگیز پێچەوانەی ناکەنەوە	$x<7$ $x<7$
“ $-5<-2$ is false because $5>2$ ”« $-5<-2$ هەڵەیە چونکە $5>2$ »	For negatives, the bigger number without its sign is further leftبۆ ، ئەوەی بەبێ نیشانەکەی گەورەترە زیاتر لە لای چەپە	Use the number line: −5 is left of −2 بەکار بهێنە: $-5$ لە لای چەپی $-2$ ـیە
$3<x<5\Rightarrow\tfrac13<\tfrac1x<\tfrac15$ $3<x<5\Rightarrow\tfrac13<\tfrac1x<\tfrac15$	Reciprocals of positive numbers reverse the order ڕیزبەندی پێچەوانە دەکەنەوە	$\tfrac15<\tfrac1x<\tfrac13$ $\tfrac15<\tfrac1x<\tfrac13$
Squaring when the signs are mixed: “ $-3<2\Rightarrow9<4$ ”دووجاکردن کاتێک هێماکان جیاوازن: « $-3<2\Rightarrow9<4$ »	Rules 9 and 10 need both numbers with the same signیاساکانی 9 و ⁦10⁩ پێویستیان بەوەیە هەردوو ژمارەکە هاوهێما بن	Check the signs firstسەرەتا هێماکان بپشکنە
Writing a chain in mixed directions, like $5>x<7$ نووسینی زنجیرە بە ئاڕاستەی تێکەڵ، وەک $5>x<7$	It says nothing about how 5 and 7 relate to each other, and readers expect one directionهیچ شتێک دەربارەی پەیوەندیی 5 و 7 نالێت و خوێنەر چاوەڕێی یەک ئاڕاستەیە	Use one direction: $x<5$ (which already gives $x<7$ )یەک ئاڕاستە بەکار بهێنە: $x<5$ (کە خۆی $x<7$ ـیش دەدات)
Multiplying by an unknown like x without knowing its signلێکدان لە نەزانراوێکی وەک x بەبێ زانینی هێماکەی	If x is negative the sign must flip, if positive it must notئەگەر x سالب بێت دەبێت هێماکە پێچەوانە بێتەوە، ئەگەر موجەب بێت نابێت	Avoid it; the lessons on rational inequalities show safe methodsخۆتی لێ بپارێزە؛ وانەکانی ڕێگای سەلامەت پیشان دەدەن

Exercisesڕاهێنانەکان

ExerciseڕاهێنانTrue or false?ڕاست یان هەڵە؟

Decide and give the reason. (a) $-5<-2$ (b) $\tfrac14>\tfrac13$ (c) If $a<b$ , then $a^2<b^2$ for all real a and b. (d) If $a\le b$ and $b\le a$ , then $a=b$ .

بڕیار بدە و هۆکارەکەی بنووسە. (أ) $-5<-2$ (ب) $\tfrac14>\tfrac13$ (ج) ئەگەر $a<b$ ، ئەوا $a^2<b^2$ بۆ هەموو a و bـیەکی ڕاستی. (د) ئەگەر $a\le b$ و $b\le a$ ، ئەوا $a=b$ .

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

(a) True: −5 lies to the left of −2 ( $-2-(-5)=3>0$ ).
(b) False: $4>3$ and both are positive, so by rule 6 $\tfrac14<\tfrac13$ .
(c) False: $-3<2$ but $9>4$ . It is true only when a and b are both positive (rule 10).
(d) True: if a were less than b, then $b\le a$ would be false; if a were greater, $a\le b$ would be false. By trichotomy only $a=b$ is left.

(أ) ڕاست: $-5$ لە لای چەپی $-2$ ـیە ( $-2-(-5)=3>0$ ).
(ب) هەڵە: $4>3$ و هەردووکیان موجەبن، بۆیە بەپێی یاسای 6 $\tfrac14<\tfrac13$ .
(ج) هەڵە: $-3<2$ بەڵام $9>4$ . تەنها کاتێک ڕاستە کە a و b هەردووکیان موجەب بن (یاسای ⁦10⁩).
(د) ڕاست: ئەگەر a لە b بچووکتر بوایە، $b\le a$ هەڵە دەبوو؛ ئەگەر گەورەتر بوایە، $a\le b$ هەڵە دەبوو. بەپێی تەنها $a=b$ دەمێنێتەوە.

ExerciseڕاهێنانFrom one inequality to anotherلە لاسەنگەیەکەوە بۆ یەکێکی تر

(a) If $-2<x<3$ , between which numbers do $-x$ and $2x+1$ lie? (b) If $2<a<5$ , between which numbers does $\tfrac1a$ lie? (c) If $-4<a<-1$ , between which numbers does $a^2$ lie?

(أ) ئەگەر $-2<x<3$ بێت، $-x$ و $2x+1$ لە نێوان چ ژمارانێکدان؟ (ب) ئەگەر $2<a<5$ بێت، $\tfrac1a$ لە نێوان چ ژمارانێکدایە؟ (ج) ئەگەر $-4<a<-1$ بێت، $a^2$ لە نێوان چ ژمارانێکدایە؟

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

\begin{aligned}&(a)\ \ -2<x<3\ \xrightarrow{\ \times(-1)\ }\ 2>-x>-3,\ \text{ i.e. }-3<-x<2\\ &\phantom{(a)\ \ }-2<x<3\ \xrightarrow{\ \times2\ }\ -4<2x<6\ \xrightarrow{\ +1\ }\ -3<2x+1<7\\ &(b)\ \ 2<a<5\ \Rightarrow\ \tfrac12>\tfrac1a>\tfrac15,\ \text{ i.e. }\tfrac15<\tfrac1a<\tfrac12\quad(\text{rule }6)\\ &(c)\ \ -4<a<-1\ \Rightarrow\ 16>a^2>1,\ \text{ i.e. }1<a^2<16\quad(\text{rule }9)\end{aligned}

ExerciseڕاهێنانSolveچارەسەر بکە

Solve each inequality and check one value: (a) $x-4\ge2$ (b) $-3x<12$ (c) $\frac{x}{-2}\ge3$ (d) $5-x>10$

هەر چارەسەر بکە و یەک بەها بپشکنە: (أ) $x-4\ge2$ (ب) $-3x<12$ (ج) $\frac{x}{-2}\ge3$ (د) $5-x>10$

Hintئاماژە

Only multiplying or dividing by a negative number flips the sign.

تەنها لێکدان یان دابەشکردن بە هێماکە پێچەوانە دەکاتەوە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

(a) Add 4: $x\ge6$ . Check $x=6$ : $2\ge2$ ✓.
(b) Divide by −3 and flip: $x>-4$ . Check $x=0$ : $0<12$ ✓.
(c) Multiply by −2 and flip: $x\le-6$ . Check $x=-8$ : $\frac{-8}{-2}=4\ge3$ ✓.
(d) Subtract 5: $-x>5$ ; multiply by −1 and flip: $x<-5$ . Check $x=-6$ : $5-(-6)=11>10$ ✓.

(أ) 4 زیاد بکە: $x\ge6$ . پشکنین بە $x=6$ : $2\ge2$ ✓.
(ب) دابەشی $-3$ بکە و هێماکە پێچەوانە بکەرەوە: $x>-4$ . پشکنین بە $x=0$ : $0<12$ ✓.
(ج) لێکی بدە لە $-2$ و هێماکە پێچەوانە بکەرەوە: $x\le-6$ . پشکنین بە $x=-8$ : $\frac{-8}{-2}=4\ge3$ ✓.
(د) 5 کەم بکەرەوە: $-x>5$ ؛ لێکی بدە لە $-1$ و هێماکە پێچەوانە بکەرەوە: $x<-5$ . پشکنین بە $x=-6$ : $5-(-6)=11>10$ ✓.

ExerciseڕاهێنانSpot the mistakeهەڵەکە بدۆزەرەوە

A student wrote: “ $3<x<5$ , so $\tfrac13<\tfrac1x<\tfrac15$ ” and “ $-2<3$ , so by rule 10 $4<9$ ”. What is wrong in each line?

خوێندکارێک نووسیویەتی: « $3<x<5$ ، کەواتە $\tfrac13<\tfrac1x<\tfrac15$ » و « $-2<3$ ، کەواتە بەپێی یاسای ⁦10⁩ $4<9$ ». هەڵەی هەر دێڕێک چییە؟

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

Line 1 forgets that reciprocals of positive numbers reverse the order (rule 6); the right answer is $\tfrac15<\tfrac1x<\tfrac13$ . Line 2 has a true result, $4<9$ , but the reason is wrong: rule 10 needs both numbers positive, and −2 is negative. With $-3<2$ the same “rule” would give $9<4$ , which is false.

دێڕی یەکەم لە بیری دەچێت کە ڕیزبەندی پێچەوانە دەکەنەوە (یاسای ⁦6⁩)؛ وەڵامی ڕاست $\tfrac15<\tfrac1x<\tfrac13$ ـە. دێڕی دووەم ئەنجامێکی ڕاستی هەیە، $4<9$ ، بەڵام هۆکارەکەی هەڵەیە: یاسای ⁦10⁩ پێویستی بەوەیە هەردوو ژمارەکە موجەب بن و $-2$ سالبە. بە $-3<2$ هەمان «یاسا» $9<4$ دەدات، کە هەڵەیە.

ExerciseڕاهێنانProve itبیسەلمێنە

Use only the meaning $a<b\iff b-a>0$ and two facts: the sum and the product of two positive numbers are positive. Prove: (a) if $a<b$ and $b<c$ , then $a<c$ ; (b) if $a<b$ and $c<d$ , then $a+c<b+d$ ; (c) if $0<a<b$ and $0<c<d$ , then $ac<bd$ .

تەنها واتای $a<b\iff b-a>0$ و دوو ڕاستی بەکار بهێنە: کۆ و لێکدراوی دوو موجەبن. بیسەلمێنە: (أ) ئەگەر $a<b$ و $b<c$ ، ئەوا $a<c$ ؛ (ب) ئەگەر $a<b$ و $c<d$ ، ئەوا $a+c<b+d$ ؛ (ج) ئەگەر $0<a<b$ و $0<c<d$ ، ئەوا $ac<bd$ .

Hintئاماژە

Write “right side minus left side” and split it into pieces you know are positive. In (c), subtract and add bc.

لای چەپ لە لای ڕاست دەربکە و ئەنجامەکە بکە بە چەند پارچەیەک کە دەزانیت موجەبن. لە (ج)ـدا bc لێدەربکە و زیادی بکەرەوە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

\begin{aligned}&(a)\quad c-a=(c-b)+(b-a)>0\\ &(b)\quad (b+d)-(a+c)=(b-a)+(d-c)>0\\ &(c)\quad bd-ac=bd-bc+bc-ac=b\,(d-c)+c\,(b-a)>0\end{aligned}

Summary and reviewپوختە و پێداچوونەوە

$a<b$ means a lies to the left of b, that is $b-a>0$ . For real numbers exactly one of $a<b$ , $a=b$ , $a>b$ holds.
Order passes along chains: $a<b$ and $b<c$ give $a<c$ . A chain $a<b<c$ means both parts at once.
Adding, subtracting, and multiplying or dividing by a positive number keep the sign.
Multiplying or dividing by a negative number reverses the sign.
Same-direction inequalities can be added; between positive numbers they can also be multiplied.
Reciprocals reverse the order of two numbers with the same sign; squares reverse it for two negatives and keep it for two positives.

$a<b$ واتە a لە لای چەپی bـیە، واتە $b-a>0$ . بۆ ڕێک یەکێک لە $a<b$ ، $a=b$ ، $a>b$ ڕاستە.
ڕیزبەندی بە زنجیرەدا دەگوازرێتەوە: $a<b$ و $b<c$ دەبنە $a<c$ . زنجیرەی $a<b<c$ واتە هەردوو بەشەکە پێکەوە.
زیادکردن، کەمکردنەوە و لێکدان یان دابەشکردن بە هێماکە دەهێڵنەوە.
لێکدان یان دابەشکردن بە هێماکە پێچەوانە دەکاتەوە.
بە هەمان ئاڕاستە دەتوانرێت کۆ بکرێنەوە؛ لە نێوان دەشتوانرێت لێک بدرێن.
ڕیزبەندیی دوو ژمارەی هاوهێما پێچەوانە دەکەنەوە؛ دووجاکان بۆ دوو پێچەوانەی دەکەنەوە و بۆ دوو دەیهێڵنەوە.

Review questionsپرسیارەکانی پێداچوونەوە

Why does multiplying by a negative number flip the sign?بۆچی لێکدان لە ژمارەیەکی سالب هێماکە پێچەوانە دەکاتەوە؟

Because $bc-ac=(b-a)c$ is a positive number times a negative number, which is negative, so $bc<ac$ .

چونکە $bc-ac=(b-a)c$ لێکدانی لە ، کە سالبە، بۆیە $bc<ac$ .

Is

5\le5

true?ئایا

5\le5

ڕاستە؟

Yes: $\le$ means “less than or equal”, and $5=5$ .

بەڵێ: $\le$ واتە «بچووکتر یان یەکسان» و $5=5$ .

When does taking reciprocals not reverse the order?کەی وەرگرتنی هەڵگەڕاوە ڕیزبەندی پێچەوانە ناکاتەوە؟

When one number is negative and the other positive (rule 7): $-2<3$ and $-\tfrac12<\tfrac13$ .

کاتێک یەک ژمارە سالب و ئەوی تر موجەب بێت (یاسای ⁦7⁩): $-2<3$ و $-\tfrac12<\tfrac13$ .

What does

a\le b<c

mean?

a\le b<c

واتای چییە؟

$a\le b$ and $b<c$ , both at the same time.

$a\le b$ و $b<c$ ، هەردووکیان لە یەک کاتدا.

Videoڤیدیۆ

Watch a videoسەیری ڤیدیۆیەک بکە

A video that viewers liked a lot and praised in their comments, chosen for this lesson.ڤیدیۆیەک کە بینەران زۆریان پێ خۆش بووە و لە کۆمێنتەکانیاندا ستایشیان کردووە، بۆ ئەم وانەیە هەڵبژێردراوە.

بیرکاری پۆلی ٩ بنەڕەتی بەشی ١ بابەتی ٥Ibrahim Ismahil · Kurdish (Sorani)کوردی (سۆرانی) · 133K viewsبینین · 3.1K likesلایک
In Kurdish: the inequality signs and the rules for adding, multiplying and dividing both sides, including turning the sign for negatives, with number-line answers.
بە کوردی: هێماکانی و یاساکانی زیادکردن، لێکدان و دابەشکردنی هەردوو لا، لەوانە پێچەوانەکردنەوەی هێماکە بۆ ، بە وەڵامی سەر .
Sorani, Grade 9 lesson (1-5) Inequalities (لاسەنگەکان), page 22.
بە سۆرانی، وانەی پۆلی ⁦9 (1-5)⁩: ، لاپەڕە ⁦22⁩.

Lesson complete!وانەکە تەواو بوو!

Well done. Review the key terms, then go on to the next lesson.دەستخۆش. سەیرێکی زاراوە سەرەکییەکان بکەرەوە، پاشان بڕۆ بۆ وانەی داهاتوو.

Key termsزاراوە سەرەکییەکان

Next lessonوانەی داهاتوو

Intervals and the Number Lineماوەکان و هێڵی ژمارەکان

Related lecturesوانە پەیوەندیدارەکان

References and further readingسەرچاوەکان و خوێندنەوەی زیاتر

This lecture is a first edition. The Kurdish text and terminology are waiting for review by Kurdish IT teachers.ئەم وانەیە چاپی یەکەمە. دەقە کوردییەکە و زاراوەکانی چاوەڕێی پێداچوونەوەی مامۆستایانی کوردی بواری IT ن.

Order on the Real Line and the Rules of Inequalitiesڕیزبەندی لەسەر هێڵی ژمارە ڕاستییەکان و یاساکانی لاسەنگەکان

What you will learnچی فێر دەبیت

Comparing numbersبەراوردکردنی ژمارەکان

Exactly one of threeتەنها یەکێک لە سێ

Passing order along a chainگواستنەوەی ڕیزبەندی بە زنجیرەیەکدا

Inequalities and their four symbolsلاسەنگەکان و چوار هێماکەیان

Chains: a<b<ca<b<ca<b<cزنجیرە: a<b<ca<b<ca<b<c

Adding the same number to both sidesزیادکردنی هەمان ژمارە بۆ هەردوو لا

Multiplying by a positive numberلێکدان لە ژمارەیەکی موجەب

Multiplying by a negative number reverses the signلێکدان لە ژمارەیەکی سالب هێماکە پێچەوانە دەکاتەوە

Reciprocals: rules 6, 7 and 8هەڵگەڕاوەکان: یاساکانی 6، 7 و 8

Squares: rules 9 and 10دووجاکان: یاساکانی 9 و ⁦10⁩

Adding and multiplying two inequalitiesکۆکردنەوە و لێکدانی دوو لاسەنگە

All the rules at a glanceهەموو یاساکان بە یەک نیگا

Common mistakesهەڵە باوەکان

Exercisesڕاهێنانەکان

Summary and reviewپوختە و پێداچوونەوە

Watch a videoسەیری ڤیدیۆیەک بکە

Lesson complete!وانەکە تەواو بوو!

Key termsزاراوە سەرەکییەکان

Related lecturesوانە پەیوەندیدارەکان

Chains: $a<b<c$ زنجیرە: $a<b<c$