CêIT Homeسەرەکی
Glossaryفەرهەنگی زاراوەکان
Calculusکالکولەس

Chapterبەش 2 · Lectureوانە 2.3

Solving Linear and Double Inequalitiesچارەسەرکردنی لاسەنگە هێڵییەکان و لاسەنگە ئاوێتەکان

Solve linear inequalities like equations with one extra rule: multiplying or dividing by a negative number turns the sign round. Double inequalities are solved on all three parts at once; slide 14's Examples 3 and 4 step by step, with number-line answers and checks.

وەک چارەسەر دەکرێن بە یەک یاسای زیادەوە: لێکدان یان دابەشکردن بە هێماکە پێچەوانە دەکاتەوە. لەسەر هەر سێ لا پێکەوە چارەسەر دەکرێن؛ نموونەکانی 3 و 4ی سلایدی ⁦14⁩ هەنگاو بە هەنگاو، لەگەڵ وەڵام لەسەر و تاقیکردنەوە.

9 min read10 خولەک خوێندنەوە · 11 stepsهەنگاو

What you will learnچی فێر دەبیت

  • Solve a linear inequality and write the answer as an interval.
  • Explain why multiplying or dividing by a negative number reverses the sign.
  • Solve a double inequality on all three parts at once.
  • Draw the answer on the number line and check it with test numbers.
  • چارەسەر بکەیت و وەڵامەکە وەک بنووسیت.
  • ڕوونی بکەیتەوە بۆچی لێکدان یان دابەشکردن بە هێماکە پێچەوانە دەکاتەوە.
  • لەسەر هەر سێ لا پێکەوە چارەسەر بکەیت.
  • وەڵامەکە لەسەر بکێشیت و بە ژمارەی تاقیکردنەوە تاقی بکەیتەوە.

What is a linear inequality?لاسەنگەی هێڵی چییە؟

In a the unknown x appears only to the first power: no x2x^2, and no x in a denominator. 3x−4<113x-4<11 and 2≥4−2x5>−42\ge\frac{4-2x}{5}>-4 are linear; x2−4x+3<0x^2-4x+3<0 is not.

لە نەزانراوی x تەنها بە یەک دێت: نە x2x^2 هەیە و نە x لە . 3x−4<113x-4<11 و 2≥4−2x5>−42\ge\frac{4-2x}{5}>-4 هێڵین؛ بەڵام x2−4x+3<0x^2-4x+3<0 هێڵی نییە.

To solve it means to find every x that makes it true. All those values together are the , and for a linear inequality it is an interval.

چارەسەرکردن واتە دۆزینەوەی هەموو ئەو نرخانەی x کە ڕاست دەکەنەوە. هەموو ئەو نرخانە پێکەوە پێکدەهێنن و بۆ ماوەیەکە.

Warm-up: 3x−4<113x-4<11گەرمکردنەوە: 3x−4<113x-4<11

  1. Add 4 to both sides: 3x<153x<15.

    4 بۆ هەردوو لا زیاد بکە: 3x<153x<15.

  2. Divide both sides by 3, a positive number, so the sign stays: x<5x<5.

    هەردوو لا دابەشی 3 بکە؛ 3 موجەبە، بۆیە هێماکە وەک خۆی دەمێنێتەوە: x<5x<5.

  3. Answer: (−∞,5)(-\infty,5).

    وەڵام: (−∞,5)(-\infty,5).

Quick checkپشکنینی خێراWhich of these is a linear inequality?کام لەمانە ؟

The moves you may makeئەو هەنگاوانەی ڕێگەپێدراون

You solve a linear inequality almost exactly like an equation. There is one extra rule, and it is the one that students forget.

نزیکەی ڕێک وەک چارەسەر دەکەیت. تەنها یەک یاسای زیادە هەیە و ئەوە ئەو یاسایەیە کە خوێندکاران لەبیری دەکەن.

The three kinds of moveسێ جۆرە هەنگاوەکە
Move (on every side)هەنگاو (لەسەر هەموو لایەک)The sign…هێماکە…Exampleنموونە
add or subtract the same numberکۆکردنەوە یان لێدەرکردنی هەمان ژمارەstaysوەک خۆی دەمێنێتەوەx−4<1⇒x<5x-4<1 \Rightarrow x<5
multiply or divide by a positive numberلێکدان یان دابەشکردن بە staysوەک خۆی دەمێنێتەوە3x<15⇒x<53x<15 \Rightarrow x<5
multiply or divide by a negative numberلێکدان یان دابەشکردن بە turns roundپێچەوانە دەبێتەوە−2x>6⇒x<−3-2x>6 \Rightarrow x<-3

These rules come from the rules of order, which are explained and proved in the lesson Order and inequalities. Here we only use them.

ئەم یاسایانە لە یاساکانی ڕیزبەندییەوە دێن کە لە وانەی ڕیزبەندی و لاسەنگەکان ڕوون کراونەتەوە و سەلمێنراون. لێرەدا تەنها بەکاریان دەهێنین.

The bazaar scaleتەرازووی بازاڕ

An inequality is like a shopkeeper's scale that tips to one side. In Kurdish the word itself says so: لاسەنگە, “unbalanced”. Put the same weight on both pans, or take the same weight off, and it still tips the same way.

وەک تەرازووی دوکاندارێک وایە کە بەلایەکدا شکاوەتەوە. وشە کوردییەکە خۆی ئەمە دەڵێت: «لاسەنگ». ئەگەر هەمان کێش بخەیتە سەر هەردوو تای تەرازووەکە، یان هەمان کێش لە هەردووکیان لابەریت، هەر بەو لایەدا دەشکێتەوە.

Where the analogy stops workingسنووری ئەم نموونەیە

A real scale has no negative weights, so it cannot show why multiplying by a negative number turns the sign round. For that, use the mirror picture on the next screen.

تەرازووی ڕاستەقینە کێشی سالبی نییە، بۆیە ناتوانێت پیشانی بدات بۆچی لێکدان بە هێماکە پێچەوانە دەکاتەوە. بۆ ئەوە وێنەی ئاوێنەکەی شاشەی داهاتوو بەکاربهێنە.

Quick checkپشکنینی خێراWhich move turns the inequality sign round?کام هەنگاو هێمای پێچەوانە دەکاتەوە؟

بیرکاری پۆلی ٩ بنەڕەتی بەشی ١ بابەت ٦Ibrahim Ismahil · Kurdish (Sorani)کوردی (سۆرانی) · 137K viewsبینین · 3.2K likesلایک

In Kurdish: solving multi-step linear inequalities, from the Grade 9 book, lesson 1-6, page 26.

بە کوردی: چارەسەرکردنی بە چەند هەنگاوێک، لە کتێبی پۆلی 9، وانەی ⁦1-6⁩، لاپەڕە ⁦26⁩.

Sorani, Grade 9 lesson (1-6) Solving Multi-step Inequalities (شیکارکردنی لاسەنگە فرەهەنگاوەکان).

بە سۆرانی، وانەی پۆلی ⁦9 (1-6)⁩: شیکارکردنی .

Reversing the sign, and checking itپێچەوانەکردنەوەی هێما و تاقیکردنەوەی

Reminder: multiplying by a negative number mirrors the number line around 0, so left and right swap: 2<52<5 but −2>−5-2>-5. The rule, its proof and an animation are in Order and inequalities. When you solve, the danger is simply forgetting it — and a test number catches that:

بیرهێنانەوە: لێکدان لە بە دەوری 0دا وەک ئاوێنە هەڵدەگێڕێتەوە، بۆیە چەپ و ڕاست جێگۆڕکێ دەکەن: 2<52<5 بەڵام −2>−5-2>-5. یاساکە و سەلماندنەکەی و جووڵەیەک لە وانەی ڕیزبەندی و لاسەنگەکاندان. لە کاتی چارەسەرکردندا مەترسییەکە تەنها لەبیرکردنی ئەم یاسایەیە — ژمارەیەکی تاقیکردنەوە ئەمە دەدۆزێتەوە:

−2x>6−2x−2<6−2(÷(−2))x<−3\begin{aligned} -2x &> 6 \\ \frac{-2x}{-2} &< \frac{6}{-2} \quad (\div(-2)) \\ x &< -3 \end{aligned}

Check with numbers. x=−4x=-4: −2(−4)=8>6-2(-4)=8>6 ✓. x=0x=0: 0>60>6 ✗. If you forget to reverse you get x>−3x>-3, which would accept 0 — and the check shows that 0 is wrong. Answer: (−∞,−3)(-\infty,-3).

بە ژمارە تاقی بکەرەوە. x=−4x=-4: −2(−4)=8>6-2(-4)=8>6 ✓. x=0x=0: 0>60>6 ✗. ئەگەر پێچەوانەکردنەوە لەبیر بکەیت، x>−3x>-3 دەدۆزیتەوە کە 0 وەردەگرێت — بەڵام تاقیکردنەوەکە پیشان دەدات 0 هەڵەیە. وەڵام: (−∞,−3)(-\infty,-3).

Quick checkپشکنینی خێراSolve 4−2x≥104-2x\ge 10.4−2x≥104-2x\ge 10 چارەسەر بکە.

Double inequalities: all three parts at onceلاسەنگە ئاوێتەکان: هەر سێ لا پێکەوە

A double inequality such as −3<7−2x3≤4-3<\frac{7-2x}{3}\le 4 says two things at the same time: −3<7−2x3-3<\frac{7-2x}{3} and 7−2x3≤4\frac{7-2x}{3}\le 4. It has three parts. The unknown x is only in the middle, and the goal is to leave x alone there.

وەک −3<7−2x3≤4-3<\frac{7-2x}{3}\le 4 دوو شت لە یەک کاتدا دەڵێت: −3<7−2x3-3<\frac{7-2x}{3} و 7−2x3≤4\frac{7-2x}{3}\le 4. سێ لای هەیە. نەزانراوی x تەنها لە ناوەڕاستدایە و ئامانج ئەوەیە x بە تەنها لەوێ بمێنێتەوە.

The recipeڕێگای چارەسەر
  1. Remove the denominatorژێرەکە لاببە

    Multiply all three parts by the denominator to remove it.

    هەر سێ لاکە جارانی بکە بۆ لابردنی.

  2. Remove the plain numberژمارە تەنهاکە لاببە

    Subtract (or add) the same number in all three parts, so that only the x-term stays in the middle.

    هەمان ژمارە لە هەر سێ لاکە دەربکە (یان زیادی بکە)، تا تەنها بڕی x لە ناوەڕاست بمێنێتەوە.

  3. Free xx ئازاد بکە

    Divide all three parts by the number attached to x (its ). If that number is negative, reverse both signs.

    هەر سێ لاکە دابەشی ئەو ژمارەیە بکە کە بە xـەوە نووساوە (). ئەگەر ئەو ژمارەیە سالب بوو، هەردوو هێماکە پێچەوانە بکەرەوە، چونکە تەواوی پێدراوەکە دابەشی کرا.

  4. Drawبیکێشە

    Mark the two ends on the number line: a filled dot for ≤\le or ≥\ge, an open dot for << or >>.

    دوو سنوورەکە لەسەر دیاری بکە: خاڵی پڕکراو بۆ ≤\le یان ≥\ge و خاڵی پڕنەکراو بۆ << یان >>.

  5. Answerئەنجام

    Write the answer as an interval, smaller number first.

    وەڵامەکە وەک بنووسە و ژمارە بچووکەکە لە پێشەوە بێت.

Quick checkپشکنینی خێراIn 1<2x+3<91<2x+3<9, what is the first step?لە 1<2x+3<91<2x+3<9دا هەنگاوی یەکەم چییە؟

بیرکاری پۆلی ٩ بنەڕەتی بەشی ١ بابەتی ٧Ibrahim Ismahil · Kurdish (Sorani)کوردی (سۆرانی) · 109K viewsبینین · 2.7K likesلایک · Partبەشی 0:00–7:05 (ofلە 11:03)

In Kurdish: double inequalities with three parts, solved by doing the same step to all three parts, and the answer drawn on a number line.

بە کوردی: کە سێ بەشیان هەیە: هەمان هەنگاو لەسەر هەر سێ بەشەکە دەکرێت و وەڵامەکە لەسەر دەکێشرێت.

Sorani, Grade 9 lesson (1-7). Plays 0:00-7:05 (found on video frames): what a compound inequality is, then Example 1 with 'and', 4 ≤ x+2 ≤ 8 and -5 ≤ x+3 < 9, every step done to all three parts, with number lines. The 'or' examples after 7:05 are left out.

بە سۆرانی، وانەی پۆلی ⁦9 (1-7)⁩. لە ⁦0:00⁩ تا ⁦7:05⁩ پەخش دەبێت (لە وێنەکانی ڤیدیۆکەوە دیاری کراوە): چییە، پاشان نموونەی 1 بە «و»: 4≤x+2≤84 \le x+2 \le 8 و −5≤x+3<9-5 \le x+3 < 9، هەموو هەنگاوێک لەسەر هەر سێ بەشەکە دەکرێت و وەڵامەکان لەسەر نیشان دەدرێن. نموونەکانی «یان» دوای ⁦7:05⁩ لابراون.

Example 3: 2≥4−2x5>−42\ge\frac{4-2x}{5}>-4نموونەی 3: 2≥4−2x5>−42\ge\frac{4-2x}{5}>-4

This is slide 14, Example 3. Read each step and say why the signs stay or turn.

ئەمە نموونەی 3ی سلایدی ⁦14⁩ـە. هەر هەنگاوێک بخوێنەرەوە و بڵێ بۆچی هێماکان وەک خۆیان دەمێننەوە یان پێچەوانە دەبنەوە.

  1. Multiply all three parts by 5 (positive): the signs stay.

    هەر سێ لاکە جارانی 5 بکە بۆ لابردنی 5 (موجەبە): هێماکان وەک خۆیان دەمێننەوە.

    2⋅5 ≥ 4−2x > −4⋅5⟹10 ≥ 4−2x > −202\cdot 5 \ \ge\ 4-2x \ >\ -4\cdot 5 \quad\Longrightarrow\quad 10\ \ge\ 4-2x\ >\ -20

  2. Subtract 4 from all three parts.

    لە هەر سێ لاکە 4 دەربکە.

    10−4 ≥ −2x > −20−4⟹6 ≥ −2x > −2410-4\ \ge\ -2x\ >\ -20-4 \quad\Longrightarrow\quad 6\ \ge\ -2x\ >\ -24

  3. Divide all three parts by −2-2, a negative number: reverse both signs. (On the board this step was written as multiplying by −12-\tfrac12, with the two new signs in red — the same thing.)

    هەر سێ لاکە دابەشی −2-2 بکە. −2-2 ، بۆیە هەردوو هێماکە پێچەوانە بکەرەوە. (لەسەر تەختەکە ئەم هەنگاوە وەک لێکدان لە −12-\tfrac12 نووسرا و دوو هێما نوێیەکە بە سوور نووسران — هەمان شتە.)

    6−2 ≤ −2x−2 < −24−2⟹−3 ≤ x < 12\frac{6}{-2}\ \le\ \frac{-2x}{-2}\ <\ \frac{-24}{-2} \quad\Longrightarrow\quad -3\ \le\ x\ <\ 12

  4. Read the ends: x is greater than or equal to −3-3, so −3-3 gets a filled dot and the shading goes to the right. x is less than 12, so 12 gets an open dot and the shading goes to the left.

    سنوورەکان بخوێنەرەوە: نرخی x گەورەترە یان یەکسانە بە −3-3، کەواتە −3-3 خاڵی پڕکراوە و ئاڕاستەکەی بەرەو ڕاستە. نرخی x بچووکترە لە ⁦12⁩، کەواتە ⁦12⁩ پڕنەکراوە و ئاڕاستەکەی بەرەو چەپە.

  5. Solution set: [−3,12)[-3,12).

    : [−3,12)[-3,12).

Number line from −4 to 13 with a filled dot at −3, an open dot at 12 and the segment between them shaded. Labels: filled — included; open — not included. Above: −3 ≤ x < 12; below: [−3, 12).هێڵی ژمارەکان لە -4 تا 13، خاڵی پڕکراو لە -3، خاڵی پڕنەکراو لە 12 و نێوانیان ڕەنگکراو. نووسین: پڕکراو — تێدایە؛ پڕنەکراو — تێدا نییە. لە سەرەوە: −3 ≤ x < 12؛ لە خوارەوە: [−3, 12).
The answer of Example 3 on the number line.وەڵامی نموونەی 3 لەسەر .CêIT
Quick checkپشکنینی خێراIs x=12x=12 a solution of Example 3?ئایا x=12x=12 شیکارێکی نموونەی 3ـە؟

Example 4: −3<7−2x3≤4-3<\frac{7-2x}{3}\le 4نموونەی 4: −3<7−2x3≤4-3<\frac{7-2x}{3}\le 4

Slide 14, Example 4, works the same way. Watch the animation, then read the steps.

نموونەی 4ی سلایدی ⁦14⁩ بە هەمان شێوە کار دەکات. سەیری جووڵەکە بکە، پاشان هەنگاوەکان بخوێنەرەوە.

Animation. Row by row: −3 < (7 − 2x)/3 ≤ 4; times 3 on all three parts gives −9 < 7 − 2x ≤ 12; minus 7 gives −16 < −2x ≤ 5; dividing by −2 gives 8 > x ≥ −5/2 with both signs coloured because they turned round; read from small to large: −5/2 ≤ x < 8. Last frame: the number line from −4 to 9 with a filled dot at −5/2, an open dot at 8, the segment shaded, and the answer [−5/2, 8).
Animation. Row by row: −3 < (7 − 2x)/3 ≤ 4; times 3 on all three parts gives −9 < 7 − 2x ≤ 12; minus 7 gives −16 < −2x ≤ 5; dividing by −2 gives 8 > x ≥ −5/2 with both signs coloured because they turned round; read from small to large: −5/2 ≤ x < 8. Last frame: the number line from −4 to 9 with a filled dot at −5/2, an open dot at 8, the segment shaded, and the answer [−5/2, 8).
Every step goes to all three parts; the division by −2-2 turns both signs round.هەموو هەنگاوێک بۆ هەر سێ لاکەیە؛ دابەشکردن بە −2-2 هەردوو هێماکە پێچەوانە دەکاتەوە.CêIT
−3<7−2x3≤4−9<7−2x≤12(×3)−16<−2x≤5(−7)8>x≥−52(÷(−2))−52≤x<8\begin{aligned} -3 &< \frac{7-2x}{3} \le 4 \\ -9 &< 7-2x \le 12 && (\times 3) \\ -16 &< -2x \le 5 && (-7) \\ 8 &> x \ge -\tfrac52 && (\div(-2)) \\ -\tfrac52 &\le x < 8 \end{aligned}

Solution set: [−52,8)[-\tfrac52,8). To place −52-\tfrac52 on the number line, turn it into a decimal: −52=−2.5-\tfrac52=-2.5, halfway between −3-3 and −2-2.

: [−52,8)[-\tfrac52,8). بۆ ئەوەی −52-\tfrac52 لەسەر دابنێیت، بیکە بە ژمارەی دەیی: −52=−2.5-\tfrac52=-2.5، ڕێک لە نیوەی نێوان −3-3 و −2-2.

Quick checkپشکنینی خێراWhich line says the same as 8>x≥−528>x\ge -\tfrac52?کام دێڕ هەمان شتی 8>x≥−528>x\ge -\tfrac52 دەڵێت؟

Check your answerوەڵامەکەت تاقی بکەرەوە

A quick check catches most mistakes. Test one number inside your interval, both ends, and one number outside. Here is Example 3:

تاقیکردنەوەیەکی خێرا زۆربەی هەڵەکان دەگرێت. یەک ژمارە لە ناو ، هەردوو سنوورەکە و یەک ژمارە لە دەرەوەی تاقی بکەرەوە. ئەمە نموونەی 3ـە:

Four test numbers for [−3,12)[-3,12)چوار ژمارەی تاقیکردنەوە بۆ [−3,12)[-3,12)
xxxx4−2x5\frac{4-2x}{5}4−2x5\frac{4-2x}{5}True?ڕاستە؟What it showsچی پیشان دەدات
000.80.8✓inside worksناوەوە ڕاستە
−3-322✓2≥22\ge 2: the end is included (filled dot)2≥22\ge 2: سنوورەکە تێدایە (خاڵی پڕکراو)
1212−4-4✗−4>−4-4>-4 is false: the end is left out (open dot)−4>−4-4>-4 هەڵەیە: سنوورەکە تێدا نییە (خاڵی پڕنەکراو)
1313−4.4-4.4✗outside failsدەرەوە هەڵەیە

You can also check Example 4 by splitting it: −3<7−2x3-3<\frac{7-2x}{3} gives x<8x<8, and 7−2x3≤4\frac{7-2x}{3}\le 4 gives x≥−52x\ge-\tfrac52. The numbers that satisfy both form [−52,8)[-\tfrac52,8) — the same answer.

دەتوانیت نموونەی 4ـیش بە لێککردنەوە تاقی بکەیتەوە: −3<7−2x3-3<\frac{7-2x}{3} دەبێتە x<8x<8 و 7−2x3≤4\frac{7-2x}{3}\le 4 دەبێتە x≥−52x\ge-\tfrac52. ئەو ژمارانەی هەردووکیان ڕاست دەکەنەوە [−52,8)[-\tfrac52,8) پێکدەهێنن — هەمان وەڵام.

Quick checkپشکنینی خێراWhich number is a solution of Example 4, −3<7−2x3≤4-3<\frac{7-2x}{3}\le 4?کام ژمارە شیکارێکی نموونەی 4ـە، −3<7−2x3≤4-3<\frac{7-2x}{3}\le 4؟

Common mistakesهەڵە باوەکان

MistakeهەڵەFixڕاستکردنەوە
Reversing only one of the two signs after dividing by a negative number.پێچەوانەکردنەوەی تەنها یەکێک لە دوو هێماکە دوای دابەشکردن بە .Both signs turn round: 6≥−2x>−24⇒−3≤x<126\ge-2x>-24 \Rightarrow -3\le x<12.هەردوو هێماکە پێچەوانە دەبنەوە: 6≥−2x>−24⇒−3≤x<126\ge-2x>-24 \Rightarrow -3\le x<12.
Forgetting to reverse: −3≥x>12-3\ge x>12.لەبیرکردنی پێچەوانەکردنەوە: −3≥x>12-3\ge x>12.No number is both ≤−3\le -3 and >12>12 — an impossible line is a warning sign. Reverse both signs.هیچ ژمارەیەک لە یەک کاتدا ≤−3\le -3 و >12>12 نییە — دێڕێکی مەحاڵ نیشانەی هەڵەیە. هەردوو هێماکە پێچەوانە بکەرەوە.
Doing a step to only two of the three parts.ئەنجامدانی هەنگاوێک تەنها لەسەر دوو لا لە سێ لاکە.Every move goes to all three parts.هەموو هەنگاوێک بۆ هەر سێ لاکەیە.
Reversing after subtracting, or after adding a negative number.پێچەوانەکردنەوە دوای لێدەرکردن، یان دوای زیادکردنی .Only multiplying or dividing by a negative number reverses.تەنها لێکدان یان دابەشکردن بە پێچەوانە دەکاتەوە.
Writing the answer as [12,−3)[12,-3) or {[−3,12)}\{[-3,12)\}.نووسینی وەڵام وەک [12,−3)[12,-3) یان {[−3,12)}\{[-3,12)\}.Smaller number first, no braces: [−3,12)[-3,12).ژمارە بچووکەکە لە پێشەوە و بێ کەوانەی {  }\{\;\}: [−3,12)[-3,12).
Multiplying by an expression with x in it, such as x−2x-2, as if it were a number.لێکدان لە کە xـی تێدایە (وەک x−2x-2) وەک ئەوەی ژمارە بێت.Its sign is unknown — see Inequalities with fractions.هێماکەی نەزانراوە — بڕوانە لاسەنگە ڕێژەییەکان.

Exercisesڕاهێنانەکان

ExerciseڕاهێنانOne inequalityیەک لاسەنگە

Solve 5−3x≥115-3x\ge 11 and write the answer as an interval.

5−3x≥115-3x\ge 11 چارەسەر بکە و وەڵامەکە وەک بنووسە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە
5−3x≥11−3x≥6x≤−2(÷(−3))\begin{aligned} 5-3x &\ge 11 \\ -3x &\ge 6 \\ x &\le -2 \quad (\div(-3)) \end{aligned}

Answer: (−∞,−2](-\infty,-2].

وەڵام: (−∞,−2](-\infty,-2].

Exerciseڕاهێنانx on both sidesx لەسەر هەردوو لا

Solve each inequality and write the answer as an interval: (a) 3x+4>5x+23x+4>5x+2 (b) 2x−1<x+32x-1<x+3 (c) −x3<2x+1-\frac{x}{3}<2x+1

هەر چارەسەر بکە و وەڵامەکە وەک بنووسە: (أ) 3x+4>5x+23x+4>5x+2 (ب) 2x−1<x+32x-1<x+3 (ج) −x3<2x+1-\frac{x}{3}<2x+1

Hintئاماژە

Collect the x terms on one side and the numbers on the other, as in an equation. Move the x terms to the side with the larger coefficient: then you never divide by a negative number.

وەک ، بڕەکانی x لە لایەک و ژمارەکان لە لایەکی تر کۆ بکەرەوە. بڕەکانی x بگوازەرەوە بۆ ئەو لایەی گەورەترە: بەم شێوەیە هەرگیز بەسەر دابەش ناکەیت.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە
(a)3x+4>5x+2 ⇒ 4−2>5x−3x ⇒ 2>2x ⇒ x<1(b)2x−1<x+3 ⇒ 2x−x<3+1 ⇒ x<4(c)−x3<2x+1 → ×3  −x<6x+3 ⇒ −3<7x ⇒ x>−37\begin{aligned}&(a)\quad 3x+4>5x+2\ \Rightarrow\ 4-2>5x-3x\ \Rightarrow\ 2>2x\ \Rightarrow\ x<1\\ &(b)\quad 2x-1<x+3\ \Rightarrow\ 2x-x<3+1\ \Rightarrow\ x<4\\ &(c)\quad -\tfrac{x}{3}<2x+1\ \xrightarrow{\ \times3\ }\ -x<6x+3\ \Rightarrow\ -3<7x\ \Rightarrow\ x>-\tfrac37\end{aligned}

Answers: (a) (−∞,1)(-\infty,1), (b) (−∞,4)(-\infty,4), (c) (−37,∞)(-\tfrac37,\infty). In (a) you may also keep x on the left: −2x>−2-2x>-2; dividing by −2-2 turns the sign and gives the same x<1x<1. Check with x=0x=0: 4>24>2, −1<3-1<3 and 0<10<1 are all true, and 0 lies in all three intervals.

وەڵامەکان: (أ) (−∞,1)(-\infty,1)، (ب) (−∞,4)(-\infty,4)، (ج) (−37,∞)(-\tfrac37,\infty). لە (أ)ـدا دەتوانیت x لە لای چەپیش بهێڵیتەوە: −2x>−2-2x>-2؛ دابەشکردن بەسەر −2-2ـدا هێماکە پێچەوانە دەکاتەوە و هەمان x<1x<1 دەدات. پشکنین بە x=0x=0: 4>24>2، −1<3-1<3 و 0<10<1 هەموویان ڕاستن و 0 لە هەر سێ .

ExerciseڕاهێنانThree partsسێ لا

Solve −1≤3x+24<5-1\le\frac{3x+2}{4}<5.

−1≤3x+24<5-1\le\frac{3x+2}{4}<5 چارەسەر بکە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە
−4≤3x+2<20(×4)−6≤3x<18(−2)−2≤x<6(÷3)\begin{aligned} -4 &\le 3x+2 < 20 && (\times 4) \\ -6 &\le 3x < 18 && (-2) \\ -2 &\le x < 6 && (\div 3) \end{aligned}

Answer: [−2,6)[-2,6). 3 is positive, so no sign turns.

وەڵام: [−2,6)[-2,6). 3 موجەبە، بۆیە هیچ هێمایەک پێچەوانە نابێتەوە.

ExerciseڕاهێنانA negative coefficientهاوکۆلکەیەکی سالب

Solve 1<2−x3≤41<2-\frac{x}{3}\le 4.

1<2−x3≤41<2-\frac{x}{3}\le 4 چارەسەر بکە.

Hintئاماژە

Subtract 2 first, then multiply all three parts by −3-3.

سەرەتا 2 دەربکە، پاشان هەر سێ لاکە جارانی −3-3 بکە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە
−1<−x3≤2(−2)3>x≥−6(×(−3))−6≤x<3\begin{aligned} -1 &< -\tfrac{x}{3} \le 2 && (-2) \\ 3 &> x \ge -6 && (\times(-3)) \\ -6 &\le x < 3 \end{aligned}

Answer: [−6,3)[-6,3).

وەڵام: [−6,3)[-6,3).

ExerciseڕاهێنانWithout a fractionبێ کەرت

Solve −4≤1−5x<6-4\le 1-5x<6.

−4≤1−5x<6-4\le 1-5x<6 چارەسەر بکە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە
−5≤−5x<5(−1)1≥x>−1(÷(−5))−1<x≤1\begin{aligned} -5 &\le -5x < 5 && (-1) \\ 1 &\ge x > -1 && (\div(-5)) \\ -1 &< x \le 1 \end{aligned}

Answer: (−1,1](-1,1].

وەڵام: (−1,1](-1,1].

ExerciseڕاهێنانSpot the mistakeهەڵەکە بدۆزەرەوە

A student continued Example 3 like this: 6≥−2x>−24⇒−3≥x>126\ge-2x>-24 \Rightarrow -3\ge x>12, and then could not draw the answer. What went wrong?

خوێندکارێک نموونەی 3ی بەم شێوەیە درێژە پێدا: 6≥−2x>−24⇒−3≥x>126\ge-2x>-24 \Rightarrow -3\ge x>12 و پاشان نەیتوانی وەڵامەکە بکێشێت. چی هەڵە بوو؟

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

The student divided by −2-2 but kept the old signs. No number is both ≤−3\le -3 and >12>12, so the line describes the — a sure sign of a missed reversal. Reversing both signs gives −3≤x<12-3\le x<12, so [−3,12)[-3,12).

خوێندکارەکە دابەشی −2-2ی کرد بەڵام هێما کۆنەکانی هێشتەوە. هیچ ژمارەیەک لە یەک کاتدا ≤−3\le -3 و >12>12 نییە، بۆیە دێڕەکە وەسف دەکات — نیشانەیەکی دڵنیا کە پێچەوانەکردنەوە لەبیر کراوە. پێچەوانەکردنەوەی هەردوو هێماکە −3≤x<12-3\le x<12 دەدات، واتە [−3,12)[-3,12).

Summaryپوختە

  • Solve a linear inequality like an equation: add, subtract, multiply and divide on every side.
  • Multiplying or dividing by a negative number reverses the sign — in a double inequality, both signs.
  • In a double inequality every move goes to all three parts.
  • ≤\le and ≥\ge give a filled dot and a square bracket; << and >> give an open dot and a round bracket.
  • Write the answer from small to large: [−3,12)[-3,12), [−52,8)[-\tfrac52,8). Check one number inside and both ends.
  • وەک چارەسەر بکە: کۆکردنەوە، لێدەرکردن، لێکدان و دابەشکردن لەسەر هەموو لایەک.
  • لێکدان یان دابەشکردن بە هێماکە پێچەوانە دەکاتەوە — لە هەردوو هێماکە.
  • لە هەموو هەنگاوێک بۆ هەر سێ لاکەیە.
  • ≤\le و ≥\ge خاڵی پڕکراو و کەوانەی چوارگۆشە دەدەن؛ << و >> خاڵی پڕنەکراو و کەوانەی خڕ دەدەن.
  • وەڵامەکە لە بچووکەوە بۆ گەورە بنووسە: [−3,12)[-3,12)، [−52,8)[-\tfrac52,8). یەک ژمارەی ناوەوە و هەردوو سنوورەکە تاقی بکەرەوە.
Review questionsپرسیارەکانی پێداچوونەوە
Why do both signs turn round when you divide a double inequality by −2-2?بۆچی کاتێک لاسەنگەیەکی ئاوێتە دابەشی −2-2 دەکەیت هەردوو هێماکە پێچەوانە دەبنەوە؟

A double inequality is two inequalities at once. Dividing by a negative number reverses each of them.

دوو لە یەک کاتدا. دابەشکردن بە هەر یەکێکیان پێچەوانە دەکاتەوە.

How can you tell quickly that a reversal was forgotten?چۆن بە خێرایی دەزانیت پێچەوانەکردنەوە لەبیر کراوە؟

Test a number: a number inside the wrong answer will not satisfy the original inequality, or the final line is impossible.

ژمارەیەک تاقی بکەرەوە: ژمارەیەک لە ناو وەڵامە هەڵەکەدا ڕاست ناکاتەوە، یان دوا دێڕ مەحاڵە.

Videoڤیدیۆ

Watch a videoسەیری ڤیدیۆیەک بکە

A video that viewers liked a lot and praised in their comments, chosen for this lesson.ڤیدیۆیەک کە بینەران زۆریان پێ خۆش بووە و لە کۆمێنتەکانیاندا ستایشیان کردووە، بۆ ئەم وانەیە هەڵبژێردراوە.

How to Solve Inequalities (NancyPi)NancyPi · Englishئینگلیزی · 670K viewsبینین · 14K likesلایک

Solving a linear inequality like an equation, and the one extra rule: flip the sign when you multiply or divide by a negative.

چارەسەرکردنی وەک ، لەگەڵ تاکە یاسا زیادەکە: کاتێک لە لێک دەدەیت یان دابەشی دەکەیت، هێماکە پێچەوانە بکەرەوە.

4:58; 0:38 one variable, 1:17 multiplying or dividing, 1:55 when to flip the sign.

ڤیدیۆکە ⁦4:58⁩ خولەکە؛ ⁦0:38⁩ یەک ، ⁦1:17⁩ لێکدان یان دابەشکردن، ⁦1:55⁩ کەی هێماکە پێچەوانە دەکرێتەوە.

Lesson complete!وانەکە تەواو بوو!

Well done. Review the key terms, then go on to the next lesson.دەستخۆش. سەیرێکی زاراوە سەرەکییەکان بکەرەوە، پاشان بڕۆ بۆ وانەی داهاتوو.

Key termsزاراوە سەرەکییەکان

Next lessonوانەی داهاتوو

Quadratic Inequalities and the Sign Chartلاسەنگە پلەدووەکان و خشتەی هێماکان

Related lecturesوانە پەیوەندیدارەکان

References and further readingسەرچاوەکان و خوێندنەوەی زیاتر

This lecture is a first edition. The Kurdish text and terminology are waiting for review by Kurdish IT teachers.ئەم وانەیە چاپی یەکەمە. دەقە کوردییەکە و زاراوەکانی چاوەڕێی پێداچوونەوەی مامۆستایانی کوردی بواری IT ن.