Chapterبەش 2 · Lectureوانە 2.4

Quadratic Inequalities and the Sign Chartلاسەنگە پلەدووەکان و خشتەی هێماکان

Factor $x^2+bx+c$ , find the zeros, test one number in each interval and keep the intervals with the right sign. Slide 14's Exercise 5 ( $x^2-4x+3<0$ ) with a sign chart and a parabola, the classic slip of keeping the wrong sign, and $\le$ , $>$ , $\ge$ from the same chart.

$x^2+bx+c$ ، دۆزینەوەی سفرەکان، تاقیکردنەوەی یەک ژمارە لە هەر و وەرگرتنی هەر کە هێمای دروستی هەیە. ڕاهێنانی 5ی سلایدی ⁦14⁩ ( $x^2-4x+3<0$ ) بە و ، هەڵە باوەکەی وەرگرتنی هێمای هەڵە و $\le$ ، $>$ و $\ge$ لە هەمان خشتەوە.

9 min read10 خولەک خوێندنەوە · 13 stepsهەنگاو

What you will learnچی فێر دەبیت

Factor a quadratic $x^2+bx+c$ by finding two numbers with product c and sum b.
Explain why a product can only change sign at its zeros.
Solve a quadratic inequality with a sign chart and write the answer as an interval or a union.
Avoid the common slips: wrong sign kept, dividing by x, taking square roots.

پلەدووی وەک $x^2+bx+c$ بە بنووسیتەوە بە دۆزینەوەی دوو ژمارە کە لێکدانیان c و کۆکردنەوەیان b بێت.
ڕوونی بکەیتەوە بۆچی لێکدان تەنها لە سفرەکانیدا دەتوانێت هێما بگۆڕێت.
بە چارەسەر بکەیت و وەڵامەکە وەک یان بنووسیت.
خۆت لە هەڵە باوەکان بپارێزیت: وەرگرتنی هێمای هەڵە، دابەشکردن بە x و وەرگرتنی .

What is a quadratic inequality?لاسەنگەی پلەدوو چییە؟

A has an $x^2$ term, like slide 14's homework Exercise 5: $x^2-4x+3<0$ . The moves of linear inequalities cannot leave x alone here, because $x^2$ and $x$ are different kinds of terms that you cannot combine.

بڕێکی $x^2$ ـی تێدایە، وەک ڕاهێنانی ماڵەوەی ژمارە 5ی سلایدی ⁦14⁩: $x^2-4x+3<0$ . هەنگاوەکانی لاسەنگە هێڵییەکان لێرەدا ناتوانن x بە تەنها بهێڵنەوە، چونکە $x^2$ و $x$ دوو جۆری جیاوازی بڕن و ناتوانیت تێکەڵیان بکەیت.

The new idea: make one side 0 and write the other side as a product. Then the question becomes “where is this product negative?” In a picture: $y=x^2-4x+3$ is a , and $x^2-4x+3<0$ asks where the parabola is below the x-axis.

بیرۆکە نوێیەکە: لایەک بکە بە 0 و لاکەی تر وەک لێکدانی چەند کۆلکەیەک بنووسە. ئەو کاتە پرسیارەکە دەبێتە «ئەم لێکدانە لە کوێدا سالبە؟». بە وێنە: $y=x^2-4x+3$ و $x^2-4x+3<0$ دەپرسێت لە کوێدا لە ژێر xـدایە.

Definitionپێناسە

An with an $x^2$ term, such as $x^2-4x+3<0$ . Solve it by factoring, finding where each factor is 0 and checking the sign between those points with a .

کە $x^2$ ـی تێدایە، وەک $x^2-4x+3<0$ . بە شیکار دەکرێت: دۆزینەوەی ئەو خاڵانەی هەر کۆلکەیەک تێیاندا سفر دەبێت و پشکنینی هێمای نێوانیان بە .

Factoring $x^2+bx+c$ شیتەڵکردنی $x^2+bx+c$

To write $x^2+bx+c$ as a product, look for two numbers p and q whose product is c and whose sum is b. Then $x^2+bx+c=(x+p)(x+q)$ . The reason is simple multiplication:

بۆ ئەوەی $x^2+bx+c$ وەک لێکدان بنووسیت، بەدوای دوو ژمارەی p و q بگەڕێ کە لێکدانیان c و کۆکردنەوەیان b بێت. ئەو کاتە $x^2+bx+c=(x+p)(x+q)$ . هۆکارەکەی لێکدانێکی سادەیە:

(x+p)(x+q) = x^2+qx+px+pq = x^2+(p+q)\,x+pq

Example:

x^2-4x+3

نموونە:

x^2-4x+3

For $x^2-4x+3$ we need a product of 3 and a sum of $-4$ .
بۆ $x^2-4x+3$ پێویستمان بە لێکدانی 3 و کۆکردنەوەی $-4$ هەیە.
Pairs with product 3: $1\cdot 3$ (sum 4) and $(-1)(-3)$ (sum $-4$ ). The second pair fits.
ئەو جووتانەی لێکدانیان 3ـە: $1\cdot 3$ (کۆکردنەوەیان ⁦4⁩) و $(-1)(-3)$ (کۆکردنەوەیان $-4$ ). جووتی دووەم گونجاوە.
So $x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$ . Check by multiplying out: $x^2-3x-x+3=x^2-4x+3$ ✓.
کەواتە $x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$ . بە لێکدانەوە تاقی بکەرەوە: $x^2-3x-x+3=x^2-4x+3$ ✓.

The homework attempt on this exercise used a small “cross” sketch: $x\cdot x$ for the $x^2$ term, and 1 and 3 for the constant. That sketch is the same search for two numbers, written as a picture.

هەوڵێکی ڕاهێنانی ماڵەوە بۆ ئەم پرسیارە وێنەیەکی بچووکی «خاچ»ـی بەکارهێنا: $x\cdot x$ بۆ بڕی $x^2$ و 1 و 3 بۆ ژمارە تەنهاکە. ئەو وێنەیە هەمان گەڕانە بەدوای دوو ژمارەدا، بە شێوەی وێنە.

Factoring an expression, not a functionشیتەڵکردنی دەربڕینێک، نەک نەخشەیەک

The Kurdish solution notes call this step “Factoring Quadratic Function”. What we factor is the quadratic expression $x^2-4x+3$ (a trinomial: three terms). The function is the rule $y=x^2-4x+3$ that draws the parabola; the algebra is the same, but the right name is “factoring a quadratic expression”.

تێبینییە کوردییەکانی چارەسەرەکە ئەم هەنگاوە ناو دەنێن «⁦Factoring Quadratic Function⁩». ئەوەی بۆ دەکەین $x^2-4x+3$ ـە (سێ بڕی هەیە). یاسای $y=x^2-4x+3$ ـە کە دەکێشێت؛ کارە جەبرییەکە هەمان شتە، بەڵام ناوی دروست « پلەدوو»ـە.

Factoring Quadratics... How? (NancyPi)NancyPi · Englishئینگلیزی · 2.8M viewsبینین · 75K likesلایک · Partبەشی 0:00–3:48 (ofلە 9:14)
How to factor x^2+bx+c: find two numbers that multiply to c and add to b, then write the two brackets and check.
$x^2+bx+c$ : دوو ژمارە بدۆزەرەوە کە لێکدراویان c بێت و کۆیان b، پاشان دوو کەوانەکە بنووسە و بیپشکنەوە.
Plays 0:00-3:48, basic factoring of x^2+bx+c; the later "magic x" method for other leading numbers is not needed here.
لە ⁦0:00⁩ تا ⁦3:48⁩ پەخش دەبێت: سادەی $x^2+bx+c$ ؛ ڕێگای «magic x» کە دواتر دێت بۆ کاتێک $x^2$ 1 نییە، لێرەدا پێویست نییە.

Factoring $x^2+bx+c$ شیتەڵکردنی $x^2+bx+c$

More factoring, and sign hintsنموونەی زیاتری شیتەڵکردن و ئاماژەی هێما

More examplesنموونەی زیاتر
Expression	Product, sumلێکدان، کۆکردنەوە	Factoredدوای
$x^2+x-6$	$3\cdot(-2)=-6,\ \ 3+(-2)=1$	$(x+3)(x-2)$
$x^2-5x+6$	$(-2)(-3)=6,\ \ -2-3=-5$	$(x-2)(x-3)$
$x^2+7x+10$	$2\cdot 5=10,\ \ 2+5=7$	$(x+2)(x+5)$
$x^2-x-12$	$(-4)\cdot 3=-12,\ \ -4+3=-1$	$(x-4)(x+3)$

Which signs?کام هێما؟

Sign hints: if c is positive, p and q have the same sign as b. If c is negative, they have opposite signs, and the bigger one (ignoring the sign) takes the sign of b. If no pair of whole numbers works, the quadratic formula still finds the zeros, but every exercise in this course factors neatly.

ئاماژەی هێما: ئەگەر c موجەب بێت، p و q هەمان هێمای bـیان هەیە. ئەگەر c سالب بێت، هێمایان جیاوازە و گەورەکەیان (بێ سەیرکردنی هێما) هێمای b وەردەگرێت. ئەگەر هیچ جووتێک لە نەگونجا، یاسای هێشتا سفرەکان دەدۆزێتەوە، بەڵام هەموو ڕاهێنانەکانی ئەم کۆرسە بە ئاسانی بۆ دەکرێت.

Where can the sign change?هێما لە کوێدا دەگۆڕێت؟

A product is 0 only when one of its factors is 0. So $(x-1)(x-3)=0$ only at $x=1$ and $x=3$ . These are the zeros.

لێکدان تەنها کاتێک سفرە کە یەکێک لە کۆلکەکانی سفر بێت. بۆیە $(x-1)(x-3)=0$ تەنها لە $x=1$ و $x=3$ دا. ئەمانە سفرەکانن.

Each factor has one sign on each side of its own zero: $x-1$ is negative to the left of 1 and positive to the right. So between two neighbouring zeros no factor changes sign, and neither does the product. The sign can only change at a zero. With the sign rules $(+)(+)=+$ , $(-)(-)=+$ , $(+)(-)=-$ , one test number per region is enough.

هەر کۆلکەیەک لە هەر لایەکی سفرەکەی خۆیەوە یەک هێمای هەیە: $x-1$ لە لای چەپی 1 سالبە و لە لای ڕاستی موجەبە. بۆیە لە نێوان دوو سفری دراوسێدا هیچ کۆلکەیەک هێمای ناگۆڕێت و لێکدانەکەش ناگۆڕێت. هێما تەنها لە سفرێکدا دەتوانێت بگۆڕێت. بە یاساکانی هێما $(+)(+)=+$ ، $(-)(-)=+$ و $(+)(-)=-$ ، یەک ژمارەی تاقیکردنەوە بۆ هەر بەسە.

The parabola can only cross from above to below the axis at a zero. تەنها لە سفرێکدا دەتوانێت لە سەرووی بۆ ژێری بپەڕێتەوە.CêIT

The sign-chart methodڕێگای خشتەی هێماکان

Put the ideas together and you have a method that works for every factored inequality. The step names follow a student's Kurdish solution of this exercise.

ئەم بیرۆکانە پێکەوە دابنێ، ڕێگایەکت دەست دەکەوێت کە بۆ هەموو شیتەڵکراو کار دەکات. ناوی هەنگاوەکان لە چارەسەرێکی کوردیی خوێندکارێکەوە وەرگیراون بۆ ئەم پرسیارە.

Solving a quadratic inequalityچارەسەرکردنی لاسەنگەیەکی پلەدوو

Zero on one sideسفر لە لایەک
Move everything to one side so that the other side is 0.
هەموو شتێک بگوازەرەوە بۆ یەک لا تا لاکەی تر 0 بێت.
Factorشیتەڵکردن
Factor the quadratic: $x^2-4x+3<0$ becomes $(x-1)(x-3)<0$ .
: $x^2-4x+3<0$ دەبێتە $(x-1)(x-3)<0$ .
Find the zerosسفرەکان بدۆزەرەوە
Set each bracket equal to 0 to get the values of x: $x=1$ , $x=3$ .
هەر کەوانەیەک یەکسان بکە بە 0 بۆ دەستکەوتنی نرخی x: $x=1$ ، $x=3$ .
Number lineهێڵی ژمارەکان
Put the zeros on the number line from small to large, left to right. They cut it into intervals.
سفرەکان لە بچووکەوە بۆ گەورە، لە چەپەوە بۆ ڕاست، بخە سەر . هێڵەکە دەکەن بە چەند .
Testتاقی بکەرەوە
Pick one test number inside each interval. Find the sign of each factor and of the product there.
لە ناو هەر ژمارەیەکی تاقیکردنەوە هەڵبژێرە. هێمای هەر کۆلکەیەک و هێمای لێکدانەکە لەوێدا بدۆزەرەوە.
Chooseهەڵبژێرە
Keep only the intervals whose sign matches the question: negative for $<0$ , positive for $>0$ .
لە ، تەنها ئەوانە وەربگرە کە هێمایان لەگەڵ پرسیارەکە یەک دەگرێتەوە: سالب بۆ $<0$ و موجەب بۆ $>0$ .
Endsسنوورەکان
Decide the ends: for $<$ or $>$ the zeros are left out (open dots); for $\le$ or $\ge$ they are included (filled dots).
سنوورەکان دیاری بکە: بۆ $<$ یان $>$ سفرەکان تێدا نین (خاڵی پڕنەکراو)؛ بۆ $\le$ یان $\ge$ تێدان (خاڵی پڕکراو).

Quick checkپشکنینی خێراSolving

(x+2)(x-5)>0

, which intervals of the chart do you keep?لە چارەسەرکردنی

(x+2)(x-5)>0

، کام خشتەکە وەردەگریت؟The intervals where the product is positiveهەر ماوەیەک کە لێکدانەکە تێیدا موجەبەThe intervals where the product is negativeهەر ماوەیەک کە لێکدانەکە تێیدا سالبەThe interval between the zeros, alwaysهەمیشە ئەو ماوەیەی نێوان سفرەکان

Example 5: $x^2-4x+3<0$ نموونەی 5: $x^2-4x+3<0$

After factoring, $(x-1)(x-3)<0$ has the zeros 1 and 3. The test numbers 0, 2 and 4 sit in the three intervals — the lecturer and the student both chose these.

دوای ، $(x-1)(x-3)<0$ دوو سفری هەیە: 1 و 3. ژمارەکانی تاقیکردنەوە 0، 2 و 4 لە سێ — مامۆستاکە و خوێندکارەکە هەردووکیان ئەمانەیان هەڵبژارد.

Sign chart
Factorکۆلکە	$x<1$ (test 0) $x<1$ (تاقیکردنەوەی ⁦0⁩)	$1<x<3$ (test 2) $1<x<3$ (تاقیکردنەوەی ⁦2⁩)	$x>3$ (test 4) $x>3$ (تاقیکردنەوەی ⁦4⁩)
$x-1$	$0-1=-1$ (−)	$2-1=1$ (+)	$4-1=3$ (+)
$x-3$	$0-3=-3$ (−)	$2-3=-1$ (−)	$4-3=1$ (+)
productلێکدان	$3$ (+)	$-1$ (−)	$3$ (+)
$<0$ ? $<0$ ؟	✗	✓	✗

Only the middle interval is negative. At the zeros the product is 0, and $0<0$ is false, so 1 and 3 are open. Answer: $x\in(1,3)$ — the student's notes write it $]1,3[$ .

تەنها سالبە. لە سفرەکاندا لێکدانەکە 0ـە و $0<0$ هەڵەیە، بۆیە 1 و 3 پڕنەکراون. وەڵام: $x\in(1,3)$ — تێبینییەکانی خوێندکارەکە بە شێوەی $]1,3[$ دەینووسن.

Animation with the parabola y = (x − 1)(x − 3) above a number line from −1 to 5 and a sign table below. Frame 1 marks the zeros 1 and 3 with open dots. Frame 2 tests 0: the point (0, 3) is above the axis; signs − and − give +, rejected. Frame 3 tests 2: the point (2, −1) is below the axis; signs + and − give −, kept. Frame 4 tests 4: + and + give +, rejected. Last frame: the part of the parabola below the axis is shaded, the number line between 1 and 3 is painted, and the answer (1, 3) appears. — One test number per interval: the sign of the product decides.یەک ژمارەی تاقیکردنەوە بۆ هەر : هێمای لێکدانەکە بڕیار دەدات.CêIT

Spot the mistakeهەڵەکە بدۆزەرەوە

This exercise went wrong in the same way twice: once in a student's homework and once in the first attempt on the lecturer's answer sheet. It is the most common slip with sign charts.

ئەم پرسیارە دوو جار بە هەمان شێوە بە هەڵەدا چوو: جارێک لە ڕاهێنانی ماڵەوەی خوێندکارێکدا و جارێک لە یەکەم هەوڵی وەرەقەی وەڵامەکانی مامۆستادا. ئەمە باوترین هەڵەیە لەگەڵ .

ExerciseڕاهێنانA homework answerوەڵامێکی ڕاهێنانی ماڵەوە

A homework solution of $x^2-4x+3<0$ : it factors to $(x-1)(x-3)<0$ , finds the zeros 1 and 3, draws the sign chart + | − | + correctly, and then answers $x\in\,]\infty,1[\,\cup\,]3,\infty^{+}[$ . Find the two mistakes.

چارەسەرێکی ڕاهێنانی ماڵەوە بۆ $x^2-4x+3<0$ : دەیکات بە $(x-1)(x-3)<0$ ، سفرەکانی 1 و 3 دەدۆزێتەوە، بە دروستی دەکێشێت + | − | + و پاشان وەڵام دەداتەوە $x\in\,]\infty,1[\,\cup\,]3,\infty^{+}[$ . دوو هەڵەکە بدۆزەرەوە.

Hintئاماژە

Compare the sign you kept with the sign in the question.

ئەو هێمایەی وەرتگرتووە لەگەڵ هێمای ناو پرسیارەکە بەراورد بکە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

It keeps the positive intervals although the question asks for $<0$ . The answer must be the negative interval: $]1,3[\,=(1,3)$ .
The left end lost its minus sign: $]\infty,1[$ should be $]-\infty,1[$ , and $\infty^{+}$ is simply $+\infty$ .

وەردەگرێت لە کاتێکدا پرسیارەکە $<0$ دەخوازێت. وەڵامەکە دەبێت بێت: $]1,3[\,=(1,3)$ .
سنووری چەپ هێمای سالبی لەدەست داوە: $]\infty,1[$ دەبێت $]-\infty,1[$ بێت و $\infty^{+}$ هەر $+\infty$ ـە.

Spot the mistakeهەڵەکە بدۆزەرەوە

The same slip on the answer sheetهەمان هەڵە لە وەرەقەی وەڵامەکاندا

The answer sheet's test linesدێڕەکانی تاقیکردنەوە لە وەرەقەی وەڵامەکاندا

On the lecturer's answer sheet a first answer $\{(-\infty,1),(3,\infty)\}$ is crossed out — the same slip — and the final answer $(1,3)$ is correct. The three test lines there are still written with “ $>0$ ” (left over from the first try), while the ticks mean “ $<0$ ”. Write each test as a value and then compare it with the question: $(0-1)(0-3)=3$ , not $<0$ ✗; $(2-1)(2-3)=-1<0$ ✓; $(4-1)(4-3)=3$ ✗.

لە وەرەقەی وەڵامەکانی مامۆستادا یەکەم وەڵام $\{(-\infty,1),(3,\infty)\}$ هێڵی بەسەردا هاتووە — هەمان هەڵە — و وەڵامی کۆتایی $(1,3)$ ڕاستە. سێ دێڕی تاقیکردنەوەکە هێشتا بە « $>0$ » نووسراون (لە هەوڵی یەکەمەوە ماونەتەوە)، لە کاتێکدا نیشانەی ✓ واتای « $<0$ » دەدات. هەر تاقیکردنەوەیەک وەک نرخێک بنووسە و پاشان لەگەڵ پرسیارەکە بەراوردی بکە: $(0-1)(0-3)=3$ ، $<0$ نییە ✗؛ $(2-1)(2-3)=-1<0$ ✓؛ $(4-1)(4-3)=3$ ✗.

Quick checkپشکنینی خێراA chart for

(x+1)(x-4)<0

shows + | − | + around

-1

and 4. What is the answer?خشتەیەک بۆ

(x+1)(x-4)<0

لە دەوری

-1

و ⁦4 +⁩ | − | + پیشان دەدات. وەڵام چییە؟

(-\infty,-1)\cup(4,\infty)

(-\infty,-1)\cup(4,\infty)

(-1,4)

(-1,4)

[-1,4]

[-1,4]

The same chart for $\le$ , $>$ and $\ge$ هەمان خشتە بۆ $\le$ ، $>$ و $\ge$

One sign chart answers four questions. Only the chosen intervals and the dots at the zeros change.

یەک وەڵامی چوار پرسیار دەداتەوە. تەنها و خاڵەکانی سەر سفرەکان دەگۆڕێن.

Four questions, one chartچوار پرسیار، یەک خشتە
Questionپرسیار	Keepوەربگرە	Zerosسفرەکان	Answerوەڵام
$x^2-4x+3<0$	negativeسالب	left outتێدا نین	$(1,3)$
$x^2-4x+3\le 0$	negative or 0سالب یان 0	includedتێدان	$[1,3]$
$x^2-4x+3>0$	positiveموجەب	left outتێدا نین	$(-\infty,1)\cup(3,\infty)$
$x^2-4x+3\ge 0$	positive or 0موجەب یان 0	includedتێدان	$(-\infty,1]\cup[3,\infty)$

Common mistakesهەڵە باوەکان

Mistakeهەڵە	Fixڕاستکردنەوە
Keeping the + intervals for a “ $<0$ ” question.وەرگرتنی بۆ پرسیارێکی « $<0$ ».	Write the wanted sign above the chart and keep only those intervals.هێمای خوازراو لە سەرووی خشتەکە بنووسە و تەنها ئەو هێمایە وەربگرە.
Dividing by x: $x^2<3x \Rightarrow x<3$ .دابەشکردن بە x: $x^2<3x \Rightarrow x<3$ .	x may be negative or 0. Write $x^2-3x<0$ , so $x(x-3)<0$ : answer $(0,3)$ .x دەکرێت سالب یان 0 بێت. $x^2-3x<0$ بنووسە، واتە $x(x-3)<0$ : وەڵام $(0,3)$ .
Taking a square root: $x^2<9 \Rightarrow x<3$ .وەرگرتنی : $x^2<9 \Rightarrow x<3$ .	$(x-3)(x+3)<0$ gives $(-3,3)$ ; $x=-4$ is not a solution. $(x-3)(x+3)<0$ دەبێتە $(-3,3)$ ؛ $x=-4$ شیکار نییە.
Using factor signs when the other side is not 0, e.g. $(x-1)(x-3)<2$ .بەکارهێنانی هێمای کۆلکەکان کاتێک لاکەی تر 0 نییە، وەک $(x-1)(x-3)<2$ .	Move everything to one side first, then factor again.سەرەتا هەموو شتێک بگوازەرەوە بۆ یەک لا، پاشان دیسان بە بینووسەرەوە.
Assuming the signs always alternate.وا دانان کە هێماکان هەمیشە یەک لە دوای یەک دەگۆڕێن.	A repeated factor does not change sign: $(x-3)^2>0$ for every $x\ne 3$ . Test every interval.کۆلکەیەکی دووبارە هێما ناگۆڕێت: $(x-3)^2>0$ بۆ هەموو $x\ne 3$ . هەموو تاقی بکەرەوە.

Exercisesڕاهێنانەکان

ExerciseڕاهێنانGreater than zeroگەورەتر لە سفر

Solve $x^2+x-6>0$ .

$x^2+x-6>0$ چارەسەر بکە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

$(x+3)(x-2)>0$ . Zeros $-3$ and 2. Tests: $-4$ gives $(-1)(-6)=6$ (+), 0 gives $-6$ (−), 3 gives $6$ (+). Keep the positive intervals: $(-\infty,-3)\cup(2,\infty)$ .

$(x+3)(x-2)>0$ . سفرەکان $-3$ و 2. تاقیکردنەوە: $-4$ دەبێتە $(-1)(-6)=6$ ⁦(+)⁩، 0 دەبێتە $-6$ ⁦(−)⁩، 3 دەبێتە $6$ ⁦(+)⁩. وەربگرە: $(-\infty,-3)\cup(2,\infty)$ .

ExerciseڕاهێنانA squareدووجا

Solve $x^2\le 9$ .

$x^2\le 9$ چارەسەر بکە.

Hintئاماژە

Do not take a square root. Move 9 to the left and factor.

وەرمەگرە. 9 بگوازەرەوە بۆ لای چەپ و بە بینووسەرەوە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

$x^2-9\le 0$ , so $(x-3)(x+3)\le 0$ . The product is negative between $-3$ and 3 and 0 at both: $[-3,3]$ .

$x^2-9\le 0$ ، واتە $(x-3)(x+3)\le 0$ . لێکدانەکە لە نێوان $-3$ و 3دا سالبە و لە هەردووکیاندا 0ـە: $[-3,3]$ .

ExerciseڕاهێنانA common factorکۆلکەیەکی هاوبەش

Solve $x^2-5x\ge 0$ .

$x^2-5x\ge 0$ چارەسەر بکە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

$x(x-5)\ge 0$ . Zeros 0 and 5. Positive outside them, and the zeros count ( $\ge$ ): $(-\infty,0]\cup[5,\infty)$ .

$x(x-5)\ge 0$ . سفرەکان 0 و 5. لە دەرەوەیان موجەبە و سفرەکانیش دەژمێردرێن ( $\ge$ ): $(-\infty,0]\cup[5,\infty)$ .

ExerciseڕاهێنانZero on one side firstسەرەتا سفر لە لایەک

Solve $x^2+2x<8$ .

$x^2+2x<8$ چارەسەر بکە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

$x^2+2x-8<0$ , so $(x+4)(x-2)<0$ . Negative between the zeros: $(-4,2)$ .

$x^2+2x-8<0$ ، واتە $(x+4)(x-2)<0$ . لە نێوان سفرەکاندا سالبە: $(-4,2)$ .

ExerciseڕاهێنانA repeated factorکۆلکەیەکی دووبارە

Solve $x^2-6x+9>0$ .

$x^2-6x+9>0$ چارەسەر بکە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

$(x-3)^2>0$ . A square is never negative, and it is 0 only at $x=3$ . So every number except 3: $(-\infty,3)\cup(3,\infty)$ . Here the sign does not change at the zero.

$(x-3)^2>0$ . دووجا هەرگیز سالب نییە و تەنها لە $x=3$ دا 0ـە. کەواتە هەموو ژمارەیەک جگە لە 3: $(-\infty,3)\cup(3,\infty)$ . لێرەدا هێما لە سفرەکەدا ناگۆڕێت.

ExerciseڕاهێنانLeading coefficient 2هاوکۆلکەی سەرەکی 2ـە

Solve $2x^2-x-1<0$ .

$2x^2-x-1<0$ چارەسەر بکە.

Hintئاماژە

It factors as $(2x+1)(x-1)$ . Multiply out to check.

بە شێوەی $(2x+1)(x-1)$ بۆ دەکرێت. بە لێکدانەوە تاقی بکەرەوە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

$(2x+1)(x-1)<0$ . Zeros $-\tfrac12$ and 1. Test 0: $(1)(-1)=-1$ (−). Answer: $(-\tfrac12,1)$ .

$(2x+1)(x-1)<0$ . سفرەکان $-\tfrac12$ و 1. تاقیکردنەوەی 0: $(1)(-1)=-1$ ⁦(−)⁩. وەڵام: $(-\tfrac12,1)$ .

Summaryپوختە

Get 0 on one side and factor: $x^2+bx+c=(x+p)(x+q)$ with $pq=c$ and $p+q=b$ .
A product can only change sign at a zero, so one test number per interval is enough.
Keep the intervals with the sign the question asks for: negative for $<0$ , positive for $>0$ .
Zeros are open for $<$ and $>$ , closed for $\le$ and $\ge$ .
$x^2-4x+3<0$ has the answer $(1,3)$ : the parabola is below the x-axis there.

سفر لە لایەک دابنێ و بە بینووسەرەوە: $x^2+bx+c=(x+p)(x+q)$ کە $pq=c$ و $p+q=b$ .
لێکدان تەنها لە سفرێکدا دەتوانێت هێما بگۆڕێت، بۆیە یەک ژمارەی تاقیکردنەوە بۆ هەر بەسە.
لە ، ئەوانە وەربگرە کە هێمایان ئەوەیە پرسیارەکە دەیخوازێت: سالب بۆ $<0$ و موجەب بۆ $>0$ .
سفرەکان بۆ $<$ و $>$ پڕنەکراون و بۆ $\le$ و $\ge$ پڕکراون.
وەڵامی $x^2-4x+3<0$ $(1,3)$ ـە: لەوێدا لە ژێر xـدایە.

Review questionsپرسیارەکانی پێداچوونەوە

Why may you not simply divide

x^2<3x

by x?بۆچی ناتوانیت بە سادەیی

x^2<3x

دابەشی x بکەیت؟

x can be negative (the sign would have to turn) or 0 (division is impossible). Factor instead: $x(x-3)<0$ gives $(0,3)$ .

x دەکرێت سالب بێت (هێماکە دەبوو پێچەوانە ببێتەوە) یان 0 بێت (دابەشکردن مەحاڵە). لە جیاتی ئەوە بەکاربهێنە: $x(x-3)<0$ دەبێتە $(0,3)$ .

What does the answer

(1,3)

mean on the graph of

y=x^2-4x+3

?وەڵامی

(1,3)

لەسەر هێڵکاریی نەخشەی

y=x^2-4x+3

چ واتایەک دەدات؟

Between $x=1$ and $x=3$ the parabola lies below the x-axis.

لە نێوان $x=1$ و $x=3$ دا لە ژێر xـدایە.

Videoڤیدیۆ

Watch a videoسەیری ڤیدیۆیەک بکە

A video that viewers liked a lot and praised in their comments, chosen for this lesson.ڤیدیۆیەک کە بینەران زۆریان پێ خۆش بووە و لە کۆمێنتەکانیاندا ستایشیان کردووە، بۆ ئەم وانەیە هەڵبژێردراوە.

Quadratic InequalitiesThe Organic Chemistry Tutor · Englishئینگلیزی · 2M viewsبینین · 32K likesلایک
Solving quadratic inequalities with a sign chart: factor, mark the zeros on a number line, test each region, then write the answer as an interval.
چارەسەرکردنی بە : ، دانانی سفرەکان لەسەر ، تاقیکردنەوەی هەر ناوچەیەک، پاشان نووسینی وەڵام وەک .
Chapters: 0:00 introduction, 1:48 testing points on the number line, 5:09 perfect squares, 7:32 factoring by grouping.
بەشەکان: ⁦0:00⁩ پێشەکی، ⁦1:48⁩ تاقیکردنەوەی خاڵ لەسەر ، ⁦5:09⁩ دووجای تەواو، ⁦7:32⁩ بە گرووپکردن.

Lesson complete!وانەکە تەواو بوو!

Well done. Review the key terms, then go on to the next lesson.دەستخۆش. سەیرێکی زاراوە سەرەکییەکان بکەرەوە، پاشان بڕۆ بۆ وانەی داهاتوو.

Key termsزاراوە سەرەکییەکان

Next lessonوانەی داهاتوو

Inequalities with Fractions (Rational Inequalities)لاسەنگە ڕێژەییەکان

Related lecturesوانە پەیوەندیدارەکان

References and further readingسەرچاوەکان و خوێندنەوەی زیاتر

This lecture is a first edition. The Kurdish text and terminology are waiting for review by Kurdish IT teachers.ئەم وانەیە چاپی یەکەمە. دەقە کوردییەکە و زاراوەکانی چاوەڕێی پێداچوونەوەی مامۆستایانی کوردی بواری IT ن.

Quadratic Inequalities and the Sign Chartلاسەنگە پلەدووەکان و خشتەی هێماکان

What you will learnچی فێر دەبیت

What is a quadratic inequality?لاسەنگەی پلەدوو چییە؟

Factoring x2+bx+cx^2+bx+cx2+bx+cشیتەڵکردنی x2+bx+cx^2+bx+cx2+bx+c

More factoring, and sign hintsنموونەی زیاتری شیتەڵکردن و ئاماژەی هێما

Where can the sign change?هێما لە کوێدا دەگۆڕێت؟

The sign-chart methodڕێگای خشتەی هێماکان

Example 5: x2−4x+3<0x^2-4x+3<0x2−4x+3<0نموونەی 5: x2−4x+3<0x^2-4x+3<0x2−4x+3<0

Spot the mistakeهەڵەکە بدۆزەرەوە

The same slip on the answer sheetهەمان هەڵە لە وەرەقەی وەڵامەکاندا

The same chart for ≤\le≤, >>> and ≥\ge≥هەمان خشتە بۆ ≤\le≤، >>> و ≥\ge≥

Common mistakesهەڵە باوەکان

Exercisesڕاهێنانەکان

Summaryپوختە

Watch a videoسەیری ڤیدیۆیەک بکە

Lesson complete!وانەکە تەواو بوو!

Key termsزاراوە سەرەکییەکان

Related lecturesوانە پەیوەندیدارەکان

Factoring $x^2+bx+c$ شیتەڵکردنی $x^2+bx+c$

Example 5: $x^2-4x+3<0$ نموونەی 5: $x^2-4x+3<0$

The same chart for $\le$ , $>$ and $\ge$ هەمان خشتە بۆ $\le$ ، $>$ و $\ge$