Boolean Expressions and Lawsدەربڕینە بوولییەکان و یاساکانی جەبری بوول

In 1847 and 1854 the English mathematician George Boole wrote the rules of logic as algebra, with only two values. In 1937 Claude Shannon showed in his master's thesis that the same algebra describes circuits of switches and relays. Since then engineers write a circuit as an expression, change the expression with a few fixed laws, and get a smaller circuit that behaves exactly the same.

لە ساڵانی ⁦1847⁩ و ⁦1854⁩ـدا بیرکاریزانی ئینگلیز جۆرج بوول یاساکانی لۆجیکی وەک جەبر نووسی، تەنها بە دوو نرخ. لە ساڵی ⁦1937⁩ـدا کلۆد شانۆن لە نامەی ماستەرەکەیدا پیشانی دا کە هەمان جەبر وەسفی سووڕی سویچ (Electrical switch) و ڕیلەکان دەکات. لەو کاتەوە ئەندازیاران سووڕێک وەک دەربڕینێک دەنووسن، بە چەند یاسایەکی جێگیر دەربڕینەکە دەگۆڕن و سووڕێکی بچووکتر وەردەگرن کە ڕێک هەمان کار دەکات.

This lesson builds the vocabulary of Boolean expressions and the first three laws: commutative, associative and distributive. The next lesson adds twelve shorter rules.

ئەم وانەیە وشەکانی دەربڕینە بوولییەکان و سێ یاسای یەکەم فێر دەکات: یاسای ئاڵوگۆڕ، یاسای یەکتربەستن و یاسای بەشینەوە. وانەی داهاتوو دوازدە یاسای کورتتر زیاد دەکات.

A Boolean variable is a letter such as A, B or X that can only be 0 or 1. It usually names a wire: an input or the output of a circuit. The Complement of a variable is its opposite value, written with a bar, $\overline{A}$ (“A bar”), or with a prime, $A'$. A Literal is a variable or its complement.

گۆڕاوی بوولی پیتێکە وەک A، B یان X کە تەنها دەتوانێت 0 یان 1 بێت. بە زۆری ناوی وایەرێکە: نێوخستەیەک یان دەرخستەی سووڕێک. تەواوکەری گۆڕاوێک (Variable) نرخە پێچەوانەکەیەتی و بە هێڵێک لەسەریەوە دەنووسرێت، $\overline{A}$ («A بار»)، یان بە پرایم، $A'$. لیتەراڵ بریتییە لە گۆڕاوێک یان تەواوکەرەکەی.

Example: $X = \overline{A}B + AC$ has three input variables (A, B and C) and four literals ($\overline{A}$, B, A and C). A and $\overline{A}$ count as two different literals.

نموونە: $X = \overline{A}B + AC$ سێ گۆڕاوی بوولیی هەیە (A، B و C کە نێوخستەکانن) و چوار لیتەراڵ ($\overline{A}$، B، A و ⁦C). A⁩ و $\overline{A}$ وەک دوو لیتەراڵی جیاواز دەژمێردرێن.

Boolean algebra borrows two signs from arithmetic but gives them logic meanings. Boolean addition ($+$) is the OR operation, and Boolean multiplication ($\cdot$, or nothing at all: $AB$) is the AND operation. In Boolean algebra applied to circuits, “addition” and “OR” are the same thing.

جەبری بوول دوو نیشانە لە ژمێریاری وەردەگرێت بەڵام واتای لۆجیکییان پێدەدات. کۆکردنەوەی بوولی ($+$) هەمان ORـە و لێکدانی بوولی ($\cdot$، یان هیچ نیشانەیەک: $AB$) هەمان ANDـە. لە جەبری بوولدا کاتێک بۆ سووڕەکان بەکار دێت، «کۆکردنەوە» و «OR» یەک شتن.

When an expression mixes the operations, the order is: first the bars (NOT), then AND, then OR — just as multiplication comes before addition. So $A + BC$ means $A + (BC)$. Use brackets to change the order: $(A + B)C$.

کاتێک لە دەربڕینێکدا NOT، AND و OR تێکەڵ دەبن، ڕیزبەندییەکە (پێشینەیی کارپێکەرەکان (Operator precedence)) بەم شێوەیەیە: سەرەتا هێڵەکان ⁦(NOT)⁩، پاشان AND، پاشان OR — هەروەک لێکدان پێش کۆکردنەوە دێت. بۆیە $A + BC$ واتە $A + (BC)$. بۆ گۆڕینی ڕیزبەندییەکە کەوانە بەکار بهێنە: $(A + B)C$.

A Sum term is literals joined by OR, such as $A + \overline{B} + C$. It is 0 in one case only: when every literal in it is 0 — here $A = 0$, $B = 1$, $C = 0$. A Product term is literals joined by AND, such as $A\overline{B}C$. It is 1 in one case only: when every literal is 1 — here $A = 1$, $B = 0$, $C = 1$.

بڕی کۆ بریتییە لە چەند لیتەراڵێک کە بە OR بەیەکەوە بەستراون، وەک $A + \overline{B} + C$. تەنها لە یەک حاڵەتدا 0ـە: کاتێک هەموو لیتەراڵەکانی 0 بن — لێرەدا $A = 0$، $B = 1$، $C = 0$. بڕی لێکدان بریتییە لە چەند لیتەراڵێک کە بە AND بەیەکەوە بەستراون، وەک $A\overline{B}C$. تەنها لە یەک حاڵەتدا 1ـە: کاتێک هەموو لیتەراڵەکانی 1 بن — لێرەدا $A = 1$، $B = 0$، $C = 1$.

An OR gate makes a sum term and an AND gate makes a product term. Later in the course, whole circuits are written as sums of product terms and products of sum terms.

گەیتی OR بڕێکی کۆ دروست دەکات و گەیتی AND (AND gate) بڕێکی لێکدان. دواتر لە کۆرسەکەدا سووڕە تەواوەکان وەک کۆی بڕەکانی لێکدان و لێکدانی بڕەکانی کۆ دەنووسرێن.

In school algebra a variable can take endless values, so we cannot test them all. A Boolean variable has only two values. An equation with n variables therefore has only $2^n$ cases, and we can check every one of them in a truth table. This is called perfect induction.

لە جەبری قوتابخانەدا گۆڕاو دەتوانێت بێکۆتا نرخ وەربگرێت، بۆیە ناتوانین هەموویان تاقی بکەینەوە. گۆڕاوی بوولی تەنها دوو نرخی هەیە. کەواتە یەکسانییەک بە n گۆڕاو تەنها $2^n$ حاڵەتی هەیە و دەتوانین هەموویان لە خشتەیەکی ڕاستیدا بپشکنین. ئەمە پێی دەوترێت سەلماندنی (Proof) تەواو.

The order in which variables are ORed or ANDed makes no difference. For a gate, this means you may swap its input wires and the output stays the same.

ئەو ڕیزبەندییەی کە گۆڕاوەکان پێی OR یان AND دەکرێن هیچ جیاوازییەک دروست ناکات. بۆ گەیتێک ئەمە واتای ئەوەیە کە دەتوانیت وایەرەکانی نێوخستەی بگۆڕیتەوە و دەرخستە وەک خۆی دەمێنێتەوە.

When you OR (or AND) three or more variables, the grouping does not matter: the result is the same whichever pair you combine first. This is why we can simply write $A + B + C$ and $ABC$, and why a 3-input gate can be built from two 2-input gates.

کاتێک سێ گۆڕاو یان زیاتر بە OR (یان بە AND) پێکەوە دەبەستیت، کۆمەڵکردنەکە گرنگ نییە: ئەنجامەکە هەمان شتە هەر جووتێک سەرەتا تێکەڵ بکەیت. بۆیە دەتوانین بە سادەیی بنووسین $A + B + C$ و $ABC$. هەر بۆیەشە گەیتێکی سێ نێوخستە دەتوانرێت لە دوو گەیتی دوو نێوخستە دروست بکرێت.

ORing two variables and then ANDing the result with A gives the same as ANDing A with each variable and then ORing the two products. As circuits: “one OR, then one AND” equals “two ANDs, then one OR”.

OR کردنی دوو گۆڕاو و پاشان AND کردنی ئەنجامەکە لەگەڵ A هەمان شتە وەک AND کردنی A لەگەڵ هەر گۆڕاوێک و پاشان OR کردنی هەردوو لێکدراوەکە. وەک سووڕ: «یەک OR، پاشان یەک AND» یەکسانە بە «دوو AND، پاشان یەک OR».

Three variables give $2^3 = 8$ rows. The animation feeds every row into both circuits; the table below holds the same check with all the helper columns.

سێ گۆڕاو $2^3 = 8$ ڕیز دەدەن. ئەنیمەیشنەکە هەموو ڕیزێک دەداتە هەردوو سووڕەکە؛ خشتەکەی خوارەوە هەمان پشکنین بە هەموو ستوونە یارمەتیدەرەکانەوە پیشان دەدات.

Read from right to left, the distributive law is Factoring: a variable common to several product terms is taken outside a bracket. $AB + AC = A(B + C)$ replaces two ANDs and one OR with one OR and one AND, so the circuit saves a gate and does the same job.

ئەگەر لە ڕاستەوە بۆ چەپ بخوێندرێتەوە، یاسای بەشینەوە شیتەڵکردنە: گۆڕاوێک کە لە چەند بڕێکی لێکداندا هاوبەشە دەبرێتە دەرەوەی کەوانە. $AB + AC = A(B + C)$ لە جیاتی دوو AND و یەک OR، یەک OR و یەک AND دادەنێت، بۆیە سووڕەکە گەیتێک کەم دەکاتەوە و هەمان کار دەکات.

You may have met these laws before. In set operations union and intersection obey them, and in propositional logic “or” and “and” do too. They are one algebra in three costumes:

لەوانەیە پێشتر ئەم یاسایانەت بینیبێت. لە کۆمەڵەکاندا، یەکگرتن (Union) و یەکتربڕین (Intersection) پەیڕەویان دەکەن. لە لۆجیکی گوزارەیی هەمان شت بۆ «یان» و «و» ڕاستە. یەک جەبرن بە سێ جل:

There is a bonus rule, the Duality principle. Take any true law, swap every + with · and every 0 with 1, and you get another true law. The dual of $A(B + C) = AB + AC$ is $A + BC = (A + B)(A + C)$ — the second distributive law above. For sets the swap is ∪ with ∩ and $\varnothing$ with U.

یاسایەکی زیادەش هەیە: بنەمای دووانەیی (Duality principle). هەر یاسایەکی ڕاست وەربگرە، هەموو + بکە بە · و هەموو 0 بکە بە 1 (و بە پێچەوانەوە)، یاسایەکی ڕاستی تر وەردەگریت. دووانەی $A(B + C) = AB + AC$ بریتییە لە $A + BC = (A + B)(A + C)$ — یاسای بەشینەوەی دووەمی سەرەوە. بۆ کۆمەڵەکان ئاڵوگۆڕەکە ∪ لەگەڵ ∩ و $\varnothing$ لەگەڵ Uـە.