Chapterبەش 4 · Lectureوانە 4.4

Exponential Functions and the Number eنەخشە توانییەکان و ژمارەی e

Functions with the variable in the exponent: doubling and halving in computing, why the base must be positive and not 1, the domain $\mathbb{R}$ and range $(0,\infty)$ , the graphs of $2^x$ and $e^x$ , the laws of exponents and where the number $e\approx2.718$ comes from.

کە لە : دووهێندەبوون و نیوەبوون لە کۆمپیوتەردا، بۆچی دەبێت موجەب بێت و 1 نەبێت، $\mathbb{R}$ و $(0,\infty)$ ، هێڵکاریی $2^x$ و $e^x$ ، یاساکانی و ( $e\approx2.718$ ) لە کوێوە دێت.

12 min read13 خولەک خوێندنەوە · 14 stepsهەنگاو

What you will learnچی فێر دەبیت

Tell an exponential function $a^x$ from a power function $x^a$ , and explain why the base needs $a>0$ and $a\ne1$ .
State the domain and range of $a^x$ and $e^x$ and sketch their graphs through $(0,1)$ .
Recognise exponential growth and decay (doubling and halving) in computing.
Explain where the number e comes from and compute powers of e in Python.

$a^x$ لە $x^a$ جیا بکەرەوە و ڕوون بکەرەوە بۆچی پێویستی بە $a>0$ و $a\ne1$ هەیە.
و $a^x$ و $e^x$ بڵێ و هێڵکارییەکانیان بە $(0,1)$ ـدا بکێشە.
و (دووهێندەبوون و نیوەبوون) لە کۆمپیوتەردا بناسەرەوە.
ڕوون بکەرەوە لە کوێوە دێت و e لە Pythonـدا بژمێرە.

Adding or multiplying?کۆکردنەوە یان لێکدان؟

A quantity can grow step by step in two very different ways. It can add the same amount at every step, like a salary that rises by 2 every year. Or it can multiply by the same number at every step, like a photo collection that doubles every year. The first kind of growth is linear; the second kind is exponential.

بڕێک دەتوانێت بە دوو ڕێگای زۆر جیاواز هەنگاو بە هەنگاو گەورە ببێت. دەتوانێت لە هەر هەنگاوێکدا هەمان بڕ کۆ بکاتەوە، وەک مووچەیەک کە هەموو ساڵێک 2 زیاد دەکات. یان دەتوانێت لە هەر هەنگاوێکدا لە هەمان ژمارە بدرێت، وەک کۆمەڵە وێنەیەک کە هەموو ساڵێک دووهێندە دەبێت. جۆری یەکەم گەشەی هێڵییە؛ جۆری دووەم .

Six steps: add 2 or multiply by 2شەش هەنگاو: 2 کۆ بکەرەوە یان لە 2 بیدە
Step xهەنگاوی x	Add 2 each step: $2x$ هەر جارێک 2 کۆ بکەرەوە: $2x$	Multiply by 2 each step: $2^x$ هەر جارێک لە 2 بیدە: $2^x$
0	0	1
1	2	2
2	4	4
3	6	8
4	8	16
5	10	32
6	12	64

At first the two columns look alike. Then the doubling column runs away: after 30 steps, adding gives $2\cdot30=60$ , but doubling gives $2^{30}=1\,073\,741\,824$ , more than a billion. In $2^x$ the variable x is the , and that is why we call such a function an .

لە سەرەتادا هەردوو ستوونەکە لە یەک دەچن. پاشان ستوونی دووهێندەبوون زۆر دەکەوێتە پێشەوە: دوای ⁦30⁩ هەنگاو کۆکردنەوە $2\cdot30=60$ دەدات، بەڵام دووهێندەبوون $2^{30}=1\,073\,741\,824$ دەدات، واتە زیاتر لە ملیارێک. لە $2^x$ ـدا x ، بۆیە ئەم جۆرە پێی دەوترێت .

Quick checkپشکنینی خێراWhich rule describes exponential growth?کام ڕێسا وەسف دەکات؟Add the same number at every stepلە هەر هەنگاوێکدا هەمان ژمارە کۆ بکرێتەوەSquare the step numberژمارەی هەنگاوەکە دووجا بکرێتMultiply by the same number at every stepلە هەر هەنگاوێکدا لە هەمان ژمارە بدرێت

Adding or multiplying?کۆکردنەوە یان لێکدان؟

Grains on a chessboardدانەوێڵە لەسەر تەختەی شەترەنج

An old story from the tea house: put 1 grain of wheat on the first square of a chessboard, 2 on the second, 4 on the third, and keep doubling. Square number n gets $2^{n-1}$ grains. The 64th square alone gets $2^{63}\approx9.2\times10^{18}$ grains: far more wheat than the whole world harvests in a year.

چیرۆکێکی کۆنی چایخانە: دانەیەک گەنم لەسەر خانەی یەکەمی تەختەی شەترەنج دابنێ، 2 لەسەر خانەی دووەم، 4 لەسەر خانەی سێیەم و هەر بە دووهێندەکردن بەردەوام بە. خانەی ژمارە n $2^{n-1}$ دانەی بەردەکەوێت. تەنها خانەی ⁦64⁩ $2^{63}\approx9.2\times10^{18}$ دانەی بەردەکەوێت: زۆر زیاتر لە هەموو ئەو گەنمەی جیهان لە ساڵێکدا بەرهەمی دەهێنێت.

Where the analogy stops workingسنووری ئەم نموونەیە

Real growth never doubles forever: disks fill up, money runs out, a city has limited space. Exponential functions describe a growth pattern for a while, not for ever.

گەشەی ڕاستەقینە هەرگیز بۆ هەمیشە دووهێندە نابێت: دیسک پڕ دەبێت، پارە تەواو دەبێت، شار شوێنی سنووردارە. شێوازێکی گەشە بۆ کاتێک وەسف دەکەن، نەک بۆ هەمیشە.

Quick checkپشکنینی خێراIn the chessboard story, how many grains lie on square number 11?لە چیرۆکی تەختەی شەترەنجەکەدا، چەند دانە لەسەر خانەی ژمارە ⁦11⁩ هەیە؟

1024

1024

2048

2048

22

22

121

121

Doubling in computingدووهێندەبوون لە کۆمپیوتەردا

Computers are full of doubling. A has two values, 0 or 1. Every extra bit doubles the number of different patterns, so n bits give $2^n$ patterns.

کۆمپیوتەر پڕە لە دووهێندەبوون. دوو بەهای هەیە، 0 یان 1. هەر زیادە ژمارەی شێوە جیاوازەکان دووهێندە دەکات، بۆیە n $2^n$ شێوە دەدات.

How many patterns n bits can storen چەند شێوەی جیاواز هەڵدەگرێت
Bits nژمارەی n	Patterns $2^n$ شێوەکان $2^n$	Where you meet itلە کوێ دەیبینیت
1	2	one yes/no answerیەک وەڵامی بەڵێ/نەخێر
8	256	one : the values 0 to 255: بەهاکانی 0 تا ⁦255⁩
16	$65\,536$	the number of values one 16-bit number can takeژمارەی ئەو بەهایانەی ژمارەیەکی ⁦16⁩ دەتوانێت وەریبگرێت
32	$4\,294\,967\,296$	all IPv4 addresses (each is 32 bits)هەموو ناونیشانەکانی ⁦IPv4⁩ (هەر یەکێکیان ⁦32⁩ )

Storage is sold in doubling sizes too. Memory cards come as 8, 16, 32, 64, 128 and 256 : each size is twice the previous one, so after k steps the size is $8\cdot2^k$ GB. Encryption keys work the same way, against an attacker: every extra random bit doubles the number of keys the attacker would have to try.

شوێنی خەزنکردنیش بە قەبارەی دووهێندەبوو دەفرۆشرێت. بە 8، ⁦16⁩، ⁦32⁩، ⁦64⁩، ⁦128⁩ و ⁦256⁩ هەیە: هەر قەبارەیەک دوو ئەوەندەی قەبارەی پێشووە، بۆیە دوای k هەنگاو قەبارەکە $8\cdot2^k$ GBـە. بە هەمان شێوە دژی هێرشبەر کار دەکەن: هەر هەڕەمەکیی زیادە ژمارەی ئەو کلیلانەی هێرشبەر دەبێت تاقییان بکاتەوە دووهێندە دەکات.

What an exponential function isنەخشەی توانی چییە

Definitionپێناسە

A function $f(x)=a^x$ with a fixed base $a>0$ , $a\ne1$ , where the variable is the . Domain ℝ, range $(0,\infty)$ ; the graph always passes $(0,1)$ .

نەخشەیەکی وەک $f(x)=a^x$ کە بنچینەکەی ژمارەیەکی جێگیرە ( $a>0$ ، $a\ne1$ ) و گۆڕاوەکە . بوار ℝ، مەودا $(0,\infty)$ ؛ هێڵکارییەکەی هەمیشە بە $(0,1)$ ـدا تێدەپەڕێت.

The course notes list exponential functions such as $e^x$ and $a^x$ . In general, an exponential function has the form

تێبینییەکانی خولەکە وەک $e^x$ و $a^x$ دەژمێرن. بە گشتی ئەم شێوەیەی هەیە

f(x)=a^{x},\qquad a>0,\quad a\ne1

Do not mix it up with a such as $x^2$ . There the base changes and the exponent is fixed. The two can agree now and then (at $x=2$ both give 4, and at $x=4$ both give 16), but after $x=4$ the exponential $2^x$ is always bigger than $x^2$ :

تێکەڵی مەکە لەگەڵ ، وەک $x^2$ . لەوێدا دەگۆڕێت و جێگیرە. هەردووکیان جاری وا هەیە یەک دەگرنەوە (لە $x=2$ ـدا هەردووکیان 4 دەدەن و لە $x=4$ ـدا هەردووکیان ⁦16⁩)، بەڵام دوای $x=4$ ، $2^x$ هەمیشە لە $x^2$ گەورەترە:

x	$x^2$	$2^x$
1	1	2
2	4	4
3	9	8
4	16	16
5	25	32
6	36	64
10	100	1024

Why the base must be positive and not 1بۆچی بنچینە دەبێت موجەب بێت و 1 نەبێت

The three bad basesسێ خراپەکە
Base	What goes wrongچی هەڵە دەبێت
$a=1$	$1^x=1$ for every x: a flat line, a , no growth at all.بۆ هەموو xێک $1^x=1$ : هێڵێکی ئاسۆیی، ، هیچ گەشەیەک نییە.
$a=0$	$0^x=0$ for $x>0$ , but $0^{-1}=\frac{1}{0}$ has no value: the function breaks for negative x.بۆ $x>0$ ، $0^x=0$ ، بەڵام $0^{-1}=\frac{1}{0}$ هیچ بەهایەکی نییە: بۆ xـی سالب تێک دەچێت.
$a<0$	$(-4)^{1/2}=\sqrt{-4}$ is not a real number. The graph would have holes almost everywhere. $(-4)^{1/2}=\sqrt{-4}$ نییە. نزیکەی لە هەموو شوێنێکدا کونی دەبێت.

Watch the base slide from 0.5 to 3. Every curve passes through $(0,1)$ because $a^0=1$ . Below 1 the curve falls, above 1 it rises, and at exactly $a=1$ it is flat:

سەیری جووڵەی لە ⁦0.5⁩ـەوە تا 3 بکە. هەموو هێڵەکان بە $(0,1)$ ـدا تێدەپەڕن، چونکە $a^0=1$ . کاتێک لە 1 بچووکترە هێڵەکە دادەبەزێت، کاتێک گەورەترە بەرز دەبێتەوە و لە $a=1$ ـدا ئاسۆییە:

Animation: a slider moves the base b through 0.5, 0.75, 1, 1.5, 2, e and 3. The curve y = b to the power x falls for b below 1, becomes the flat line y = 1 at b = 1, and rises more and more steeply for b above 1. Earlier curves stay faint in the background. Every curve passes through the point (0, 1) and stays above the x-axis. — Changing the base of $y=b^x$ : at $b=1$ the curve is flat, so 1 is not allowed.گۆڕینی $y=b^x$ : لە $b=1$ ـدا هێڵەکە ئاسۆییە، بۆیە 1 ڕێگەپێدراو نییە.CêIT

Quick checkپشکنینی خێراWhy is

f(x)=1^x

not counted as an exponential function?بۆچی

f(x)=1^x

بە دانانرێت؟1 is not a real number1 ژمارەی ڕاستی نییەIt is always 1, so it is a constant functionهەمیشە 1ـە، بۆیە نەخشەی نەگۆڕەIt has no value at

x=0

لە

x=0

ـدا بەهای نییە

Domain, range and the graph of $2^x$ بوار، مەودا و هێڵکاریی $2^x$

The notes give the same facts for $e^x$ and $a^x$ :

تێبینییەکان هەمان ڕاستی بۆ $e^x$ و $a^x$ دەدەن:

D_f=\mathbb{R},\qquad R_f=\mathbb{R}^{+}=(0,\infty)

Why every x works. A whole exponent means repeated multiplication. A negative exponent means "one over": $2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac18$ . A fraction exponent means a root: $2^{1/2}=\sqrt2\approx1.414$ . Even irrational exponents such as $2^{\sqrt2}$ get a value, by using closer and closer fractions.

بۆچی هەموو xێک کار دەکات. تەواو واتە لێکدانی دووبارە. سالب واتە «یەک بەسەر»: $2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac18$ . کەرتی واتە ڕەگ: $2^{1/2}=\sqrt2\approx1.414$ . تەنانەت ناڕێژەیی وەک $2^{\sqrt2}$ ـیش بەهای هەیە، بە بەکارهێنانی کە زیاتر و زیاتر لێی نزیک دەبنەوە.

Why the result is never 0 or negative. A positive base multiplied by itself stays positive, and "one over" a positive number is still positive. The x-axis is therefore an : the graph gets closer and closer to it on the left but never touches it.

بۆچی ئەنجامەکە هەرگیز 0 یان سالب نییە. موجەب کە لە خۆی بدرێت هەر موجەب دەمێنێتەوە و «یەک بەسەر» هێشتا موجەبە. بۆیە x : هێڵکارییەکە لە لای چەپ زیاتر و زیاتر لێی نزیک دەبێتەوە بەڵام هەرگیز پێی ناگات.

y=2^x

: each step to the right doubles the height; to the left the curve halves towards the x-axis.هێڵکاریی

y=2^x

: هەر هەنگاوێک بەرەو ڕاست بەرزییەکە دووهێندە دەکات؛ بەرەو چەپ هێڵەکە نیوە دەبێتەوە و لە x نزیک دەبێتەوە.CêIT

Domain, range and the graph of $2^x$ بوار، مەودا و هێڵکاریی $2^x$

Rising or falling: the size of the baseبەرزبوونەوە یان دابەزین: گەورەیی بنچینە

If $a>1$ , the curve rises from left to right: . If $0<a<1$ , it falls: . The bigger the base, the steeper the rise. $\left(\frac12\right)^x=2^{-x}$ is the mirror image of $2^x$ in the y-axis.

ئەگەر $a>1$ ، هێڵەکە لە چەپەوە بۆ ڕاست بەرز دەبێتەوە: . ئەگەر $0<a<1$ ، دادەبەزێت: . تا گەورەتر بێت، بەرزبوونەوەکە تیژترە. $\left(\frac12\right)^x=2^{-x}$ وێنەی ئاوێنەیی $2^x$ ـە لە yـدا.

A bigger base rises faster; a base between 0 and 1 falls. All pass through

(0,1)

. گەورەتر خێراتر بەرز دەبێتەوە؛ نێوان 0 و 1 دادەبەزێت. هەموویان بە

(0,1)

ـدا تێدەپەڕن.CêIT

Halving in computing. Searching a sorted list of 1024 names by always looking at the middle and throwing half away leaves $1024\cdot\left(\frac12\right)^k$ names after k looks: 512, 256, 128, … and only 1 after 10 looks. Counting those looks is the job of the logarithm, in the next lesson.

نیوەکردن لە کۆمپیوتەردا. گەڕان لە لیستێکی ڕیزکراوی ⁦1024⁩ ناودا، بەوەی هەمیشە سەیری ناوەڕاست بکەیت و نیوەی فڕێ بدەیت، دوای k سەیرکردن $1024\cdot\left(\frac12\right)^k$ ناو دەهێڵێتەوە: ⁦512⁩، ⁦256⁩، ⁦128⁩، … و دوای ⁦10⁩ سەیرکردن تەنها 1. ژماردنی ئەو سەیرکردنانە کاری ، لە وانەی داهاتوو.

The number eژمارەی e

The notes use $e^x$ but never say what e is. It is a constant, like π, that mathematicians found rather than invented:

تێبینییەکان $e^x$ بەکار دەهێنن بەڵام هەرگیز نالێن e چییە. ، وەک π، کە بیرکارزانان دۆزیویانەتەوە نەک دایانهێنابێت:

e\approx2.718281828\ldots

Where e comes from: a bank story. Put $1\,000\,000$ dinars in a bank that pays 100% interest per year. Paid once at the end of the year, you get $2\,000\,000$ . If the bank pays half the interest every six months, the second half also earns interest. Paying more and more often gives $\left(1+\frac1n\right)^n$ million dinars after one year, where n is the number of payments:

e لە کوێوە دێت: چیرۆکی بانک. $1\,000\,000$ دینار لە بانکێک دابنێ کە ساڵانە ⁦100%⁩ سوود دەدات. ئەگەر یەک جار لە کۆتایی ساڵدا بیدات، $2\,000\,000$ وەردەگریت. ئەگەر بانکەکە هەموو شەش مانگێک نیوەی سوودەکە بدات، نیوەی دووەمیش سوود دەکات. هەرچەند زیاتر و زووتر سوود بدرێت، دوای ساڵێک $\left(1+\frac1n\right)^n$ ملیۆن دینار وەردەگریت، کە n ژمارەی جارەکانی دانی سوودە:

Paying interest more oftenدانی سوود بە جاری زیاتر
Payments nجارەکان n	After one year (dinars)دوای ساڵێک (دینار)
1 (yearly)1 (ساڵانە)	$2\,000\,000$
2 (every six months)2 (هەموو شەش مانگێک)	$2\,250\,000$
12 (monthly)⁦12⁩ (مانگانە)	$2\,613\,035$
365 (daily)⁦365⁩ (ڕۆژانە)	$2\,714\,567$
$1\,000\,000$	$2\,718\,280$
without endبێ کۆتایی	$e\times10^6\approx2\,718\,282$

\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}\longrightarrow e\qquad(n\to\infty)

e (Euler's Number) - NumberphileNumberphile · Englishئینگلیزی · 5.1M viewsبینین · 125K likesلایک · Partبەشی 0:00–4:53 (ofلە 10:42)
Where the number e comes from: compound interest paid more and more often, growing towards 2.718…
لە کوێوە دێت: سوودی بانک کە هەرچەند زووتر و زیاتر بدرێت، کۆی پارەکە لە ⁦2.718⁩… نزیک دەبێتەوە.
Watch 0:00–4:53: the bank-interest story that leads to e, the same story as this screen.
لە ⁦0:00⁩ تا ⁦4:53⁩ سەیر بکە: چیرۆکی سوودی بانک کە دەگاتە e، هەمان چیرۆکی ئەم شاشەیە.

The number eژمارەی e

The natural exponential function $e^x$ نەخشەی توانیی سروشتی $e^x$

With base e we get $f(x)=e^x$ , often written $\exp(x)$ . As the notes say, its domain is $\mathbb{R}$ and its range is $\mathbb{R}^{+}$ . It lies between $2^x$ and $3^x$ and passes through $(0,1)$ and $(1,e)$ .

بە e، $f(x)=e^x$ وەردەگرین کە زۆرجار وەک $\exp(x)$ دەنووسرێت. وەک تێبینییەکان دەڵێن، $\mathbb{R}$ ـە و $\mathbb{R}^{+}$ ـە. لە نێوان $2^x$ و $3^x$ ـدایە و بە $(0,1)$ و $(1,e)$ ـدا تێدەپەڕێت.

y=e^x

on

[-3,3]

: at

x=1

the height is exactly e.هێڵکاریی

y=e^x

لەسەر

[-3,3]

: لە

x=1

ـدا بەرزییەکە ڕێک eـیە.CêIT

Why is e called natural? In calculus, $e^x$ is the one exponential whose graph crosses the y-axis with slope exactly 1, and this makes the formulas for growth rates the simplest. Python has it built in: math.e and math.exp(x).

بۆچی e بە سروشتی ناودەبرێت؟ لە کالکولەسدا $e^x$ تاکە کە هێڵکارییەکەی بە ڕێک 1 y دەبڕێت و ئەمە فۆرمولەکانی خێرایی گەشە سادەترین دەکات. Python ئەمەی تێدایە: math.e و math.exp(x).

Exponents and e in Pythonتوان و e لە Pythonـداexp_demo.pyPYTHONType in a terminalلە تێرمیناڵدا بینووسە

import math

print(2 ** 10)
print(2 ** -3)
print(math.e)
print(math.exp(1))
for n in [1, 12, 365, 1_000_000]:
    print(n, (1 + 1/n) ** n)

Explain the codeڕوونکردنەوەی کۆدەکە

Lineدێڕی 4

A negative exponent gives a fraction: $2^{-3}=\frac18=0.125$ .

سالب کەرت دەدات: $2^{-3}=\frac18=0.125$ .

Lineدێڕی 5-6

math.e is the constant; math.exp(x) computes $e^x$ (more accurately than math.e ** x).

math.e نەگۆڕەکەیە؛ math.exp(x) $e^x$ دەژمێرێت (وردتر لە math.e ** x).

Lineدێڕی 7-8

The bank table again: the values creep up towards e.

دووبارە خشتەی بانکەکە: بەهاکان هێواش هێواش لە e نزیک دەبنەوە.

Rules for computing with powersیاساکانی ژماردن بە توانەکان

The rules of logarithms in the next lesson come straight from these rules for exponents. They hold for every base $a,b>0$ and all real x and y:

یاساکانی لە وانەی داهاتوودا ڕاستەوخۆ لەم یاسایانەی دێن. بۆ هەموو $a,b>0$ و هەموو x و yێکی ڕاستی دروستن:

Laws of exponents with a checkیاساکانی لەگەڵ پشکنینێک
Lawیاسا	Check with numbersپشکنین بە ژمارە	In wordsبە وشە
$a^x\cdot a^y=a^{x+y}$	$2^3\cdot2^2=8\cdot4=32=2^5$	multiply: add the exponentsلێکدان: کۆ بکەرەوە
$\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}$	$\frac{2^5}{2^2}=\frac{32}{4}=8=2^3$	divide: subtract the exponentsدابەشکردن: لێک دەربکە
$(a^x)^y=a^{xy}$	$(2^3)^2=8^2=64=2^6$	power of a power: multiply : لێکیان بدە
$(ab)^x=a^x b^x$	$(2\cdot3)^2=36=4\cdot9$	a product to a powerلێکدراوێک بە توان
$a^{-x}=\frac{1}{a^x}$	$2^{-2}=\frac14$	negative exponent: one over سالب: یەک بەسەر
$a^0=1$	$7^0=1$	every curve passes through $(0,1)$ هەموو هێڵێک بە $(0,1)$ ـدا تێدەپەڕێت

Algebra Basics: Laws Of Exponents - Math Anticsmathantics · Englishئینگلیزی · 4M viewsبینین · 73K likesلایک
The laws of exponents explained slowly with pictures: multiplying and dividing powers, a power of a power, and simplifying expressions.
یاساکانی بە هێواشی و بە وێنە ڕوون دەکاتەوە: لێکدان و دابەشکردنی ، و سادەکردنی .
Chapters: 0:00 the laws, 4:24 simplifying expressions, 8:24 dividing expressions.
بەشەکان: ⁦0:00⁩ یاساکان، ⁦4:24⁩ سادەکردنی ، ⁦8:24⁩ دابەشکردنی .

Common mistakesهەڵە باوەکان

Mistakeهەڵە	Why it is wrongبۆچی هەڵەیە	Correctڕاست
Calling $x^2$ or $x^x$ exponential $x^2$ یان $x^x$ بە توانی دانان	The base must be a fixed number and the variable must be in the exponent. دەبێت ژمارەیەکی جێگیر بێت و لە بێت.	$2^x$ , $e^x$ , $(0.5)^x$
$2^{-3}=-8$	A negative exponent means "one over", not a negative result. سالب واتە «یەک بەسەر»، نەک ئەنجامی سالب.	$2^{-3}=\frac18$
$2^{x+3}=2^x+2^3$	Adding exponents means multiplying powers (example: $2^3\cdot2^2=2^5$ ).کۆکردنەوەی واتە لێکدانی توانەکان (نموونە: $2^3\cdot2^2=2^5$ ).	$2^{x+3}=8\cdot2^x$
Using $(-2)^x$ as an exponential functionبەکارهێنانی $(-2)^x$ وەک	$(-2)^{1/2}$ is not real; the base must be positive. $(-2)^{1/2}$ نییە؛ دەبێت موجەب بێت.	$a>0,\ a\ne1$
"For very negative x, $2^x$ becomes 0"«بۆ xـی زۆر سالب، $2^x$ دەبێتە 0»	It only gets close to 0; the x-axis is an asymptote.تەنها لە 0 نزیک دەبێتەوە؛ x .	$R_f=(0,\infty)$
Writing `2^10` in Python for $2^{10}$ نووسینی `2^10` لە Pythonـدا بۆ $2^{10}$	`^` is XOR in Python and gives `8`.`^` لە Pythonـدا XORـە و `8` دەدات.	`2 ** 10`

Exercisesڕاهێنانەکان

ExerciseڕاهێنانEvaluateبەهاکە بدۆزەرەوە

For $f(x)=3^x$ , find $f(-2)$ , $f(0)$ and $f(2)$ .

بۆ $f(x)=3^x$ ، $f(-2)$ ، $f(0)$ و $f(2)$ بدۆزەرەوە.

Hintئاماژە

A negative exponent means one over the power.

سالب واتە یەک بەسەر توانەکە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

f(-2)=3^{-2}=\frac{1}{9},\qquad f(0)=3^{0}=1,\qquad f(2)=3^{2}=9

ExerciseڕاهێنانSort the functionsنەخشەکان پۆل بکە

Which of these are exponential functions? $5^x$ , $x^5$ , $(0.3)^x$ , $(-2)^x$ , $1^x$ , $x^x$ , $e^x$ , $\pi^x$ .

کام لەمانە ؟ $5^x$ ، $x^5$ ، $(0.3)^x$ ، $(-2)^x$ ، $1^x$ ، $x^x$ ، $e^x$ ، $\pi^x$ .

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

Exponential: $5^x$ , $(0.3)^x$ , $e^x$ and $\pi^x$ (fixed base, positive, not 1). Not exponential: $x^5$ (power function), $(-2)^x$ (negative base), $1^x$ (constant 1) and $x^x$ (the base changes).

توانی: $5^x$ ، $(0.3)^x$ ، $e^x$ و $\pi^x$ ( جێگیر، موجەب و جیاواز لە ⁦1⁩). توانی نین: $x^5$ ()، $(-2)^x$ ( سالب)، $1^x$ (هەمیشە ⁦1⁩) و $x^x$ ( دەگۆڕێت).

ExerciseڕاهێنانThe table of

2^x

خشتەی

2^x

Complete the table of $y=2^x$ for $x=-2,-1,0,1,2,3$ and use it to sketch the graph. What happens to y when x goes far to the left?

خشتەی $y=2^x$ بۆ $x=-2,-1,0,1,2,3$ تەواو بکە و بۆ کێشانی هێڵکارییەکە بەکاری بهێنە. کاتێک x زۆر بەرەو چەپ دەڕوات y چی لێ دێت؟

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

x	$-2$	$-1$	0	1	2	3
$2^x$	$\frac14$	$\frac12$	1	2	4	8

Plot the six points and join them with a smooth curve (see the graph of $2^x$ above). Far to the left y keeps halving: it gets as close to 0 as you like but stays positive.

شەش خاڵەکە دابنێ و بە هێڵێکی نەرم بیانبەستەوە (بڕوانە هێڵکاریی $2^x$ لە سەرەوە). زۆر بەرەو چەپ y بەردەوام نیوە دەبێتەوە: هەتا بڵێیت لە 0 نزیک دەبێتەوە بەڵام هەر موجەب دەمێنێتەوە.

ExerciseڕاهێنانA growing photo archiveئەرشیفێکی وێنەی گەشەکردوو

A school's photo archive is 5 GB today and doubles every year. Write its size $S(n)$ after n years. How big is it after 10 years? After how many whole years does it first pass 1000 GB?

ئەرشیفی وێنەی قوتابخانەیەک ئەمڕۆ ⁦5 GB⁩ـە و هەموو ساڵێک دووهێندە دەبێت. قەبارەکەی $S(n)$ دوای n ساڵ بنووسە. دوای ⁦10⁩ ساڵ چەند گەورە دەبێت؟ دوای چەند ساڵی تەواو بۆ یەکەم جار لە ⁦1000 GB⁩ تێدەپەڕێت؟

Hintئاماژە

Each year multiplies by 2.

هەر ساڵێک لە 2 دەدرێت.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

S(n)=5\cdot2^{n},\qquad S(10)=5\cdot1024=5120\ \text{GB}

$S(7)=5\cdot128=640$ GB is still below 1000, but $S(8)=5\cdot256=1280$ GB is above it. So it first passes 1000 GB after 8 years. (In the next lesson you will solve $5\cdot2^n=1000$ directly with a logarithm.)

$S(7)=5\cdot128=640$ GB هێشتا لە ⁦1000⁩ کەمترە، بەڵام $S(8)=5\cdot256=1280$ GB لێی زیاترە. بۆیە بۆ یەکەم جار دوای 8 ساڵ لە ⁦1000 GB⁩ تێدەپەڕێت. (لە وانەی داهاتوودا $5\cdot2^n=1000$ ڕاستەوخۆ بە چارەسەر دەکەیت.)

ExerciseڕاهێنانHalving a searchنیوەکردنی گەڕان

A sorted list holds 1024 student IDs. Each look at the middle throws away half of the IDs that are left. Write the number of IDs left after k looks, and find when only one is left.

لیستێکی ڕیزکراو ⁦1024⁩ ناسنامەی خوێندکاری تێدایە. هەر سەیرکردنێکی ناوەڕاست نیوەی ئەو ناسنامانەی ماونەتەوە فڕێ دەدات. ژمارەی ئەو ناسنامانەی دوای k سەیرکردن دەمێننەوە بنووسە و بدۆزەرەوە کەی تەنها یەکێک دەمێنێتەوە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

N(k)=1024\cdot\left(\tfrac12\right)^{k}=\frac{2^{10}}{2^{k}}=2^{10-k},\qquad N(10)=2^{0}=1

This is exponential decay with base $\frac12$ . After 10 looks one ID is left, because $1024=2^{10}$ .

ئەمە بە $\frac12$ . دوای ⁦10⁩ سەیرکردن یەک ناسنامە دەمێنێتەوە، چونکە $1024=2^{10}$ .

Quick checkپشکنینی خێراWhich point lies on the graph of every exponential function

y=a^x

?کام خاڵ لەسەر هێڵکاریی هەموو

y=a^x

ـە؟

(0,0)

(0,0)

(0,1)

(0,1)

(1,0)

(1,0)

(1,1)

(1,1)

Summaryکورتە

An exponential function is $f(x)=a^x$ with a fixed base $a>0$ , $a\ne1$ ; the variable is in the exponent. $x^2$ (power function) and $x^x$ are not exponential.
Domain $\mathbb{R}$ , range $(0,\infty)$ ; the graph always passes $(0,1)$ and the x-axis is an asymptote.
$a>1$ : exponential growth (doubling: bits, storage sizes). $0<a<1$ : exponential decay (halving: binary search).
$e\approx2.718$ is the limit of $\left(1+\frac1n\right)^n$ ; $e^x$ is the natural exponential function (math.exp in Python).
Laws: $a^xa^y=a^{x+y}$ , $\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}$ , $(a^x)^y=a^{xy}$ , $a^{-x}=\frac1{a^x}$ , $a^0=1$ .

بریتییە لە $f(x)=a^x$ بە جێگیری $a>0$ ، $a\ne1$ ؛ لە . $x^2$ () و $x^x$ توانی نین.
$\mathbb{R}$ ، $(0,\infty)$ ؛ هێڵکارییەکە هەمیشە بە $(0,1)$ ـدا تێدەپەڕێت و x .
$a>1$ : (دووهێندەبوون: ، قەبارەی خەزنکردن). $0<a<1$ : (نیوەکردن: ).
$e\approx2.718$ ئەو ژمارەیەیە کە $\left(1+\frac1n\right)^n$ لێی نزیک دەبێتەوە؛ $e^x$ سروشتییە (math.exp لە Pythonـدا).
یاساکان: $a^xa^y=a^{x+y}$ ، $\frac{a^x}{a^y}=a^{x-y}$ ، $(a^x)^y=a^{xy}$ ، $a^{-x}=\frac1{a^x}$ ، $a^0=1$ .

Review questionsپرسیارەکانی پێداچوونەوە

Is

4^x

growth or decay?

4^x

گەشەی توانییە یان دابەزینی توانی؟

Growth, because the base 4 is bigger than 1.

گەشە، چونکە 4 لە 1 گەورەترە.

Can

e^x

ever equal

-1

?دەکرێت

e^x

هەرگیز یەکسان بێت بە

-1

؟

No. Its range is $(0,\infty)$ : every output is positive.

نەخێر. $(0,\infty)$ ـە: هەموو موجەبە.

How many patterns do 16 bits give?⁦16⁩ بیت چەند شێوە دەدات؟

$2^{16}=65\,536$ .

Videoڤیدیۆ

Watch a videoسەیری ڤیدیۆیەک بکە

A video that viewers liked a lot and praised in their comments, chosen for this lesson.ڤیدیۆیەک کە بینەران زۆریان پێ خۆش بووە و لە کۆمێنتەکانیاندا ستایشیان کردووە، بۆ ئەم وانەیە هەڵبژێردراوە.

ڤیدۆیی نوێ بیرکاری پۆلی 10ی زانستی بەشی چوارەم وانەی یەکەمIbrahim Ismahil · Kurdish (Sorani)کوردی (سۆرانی) · 11K viewsبینین · 262 likesلایک · Partبەشی 0:00–12:48 (ofلە 32:17)
In Kurdish: exponential functions bˣ, why b > 0 and b ≠ 1, growth and decay, with tables and graphs from the Grade 10 book.
بە کوردی: $b^x$ ، بۆچی $b > 0$ و $b \ne 1$ ، و ، بە خشتە و هێڵکاری لە کتێبی پۆلی ⁦10⁩.
Sorani, Grade 10 chapter 4 lesson 1. Watch 0:00–12:48: f(x) = bˣ with b > 0, b ≠ 1, growth (b > 1) and decay (0 < b < 1), tables and graphs of 1.3ˣ, 0.5ˣ and 3·5ˣ.
بە سۆرانی، پۆلی ⁦10⁩، بەشی 4، وانەی 1. لە ⁦0:00⁩ تا ⁦12:48⁩ سەیر بکە: $f(x) = b^x$ بە $b > 0$ و $b \ne 1$ ، ( $b > 1$ ) و ( $0 < b < 1$ )، خشتە و $1.3^x$ ، $0.5^x$ و $3 \cdot 5^x$ .

Lesson complete!وانەکە تەواو بوو!

Well done. Review the key terms, then go on to the next lesson.دەستخۆش. سەیرێکی زاراوە سەرەکییەکان بکەرەوە، پاشان بڕۆ بۆ وانەی داهاتوو.

Key termsزاراوە سەرەکییەکان

Next lessonوانەی داهاتوو

Logarithms and Their Rulesلۆگاریتمەکان و یاساکانیان

Related lecturesوانە پەیوەندیدارەکان

References and further readingسەرچاوەکان و خوێندنەوەی زیاتر

This lecture is a first edition. The Kurdish text and terminology are waiting for review by Kurdish IT teachers.ئەم وانەیە چاپی یەکەمە. دەقە کوردییەکە و زاراوەکانی چاوەڕێی پێداچوونەوەی مامۆستایانی کوردی بواری IT ن.

Exponential Functions and the Number eنەخشە توانییەکان و ژمارەی e

What you will learnچی فێر دەبیت

Adding or multiplying?کۆکردنەوە یان لێکدان؟

Grains on a chessboardدانەوێڵە لەسەر تەختەی شەترەنج

Doubling in computingدووهێندەبوون لە کۆمپیوتەردا

What an exponential function isنەخشەی توانی چییە

Why the base must be positive and not 1بۆچی بنچینە دەبێت موجەب بێت و 1 نەبێت

Domain, range and the graph of 2x2^x2xبوار، مەودا و هێڵکاریی 2x2^x2x

Rising or falling: the size of the baseبەرزبوونەوە یان دابەزین: گەورەیی بنچینە

The number eژمارەی e

The natural exponential function exe^xexنەخشەی توانیی سروشتی exe^xex

Rules for computing with powersیاساکانی ژماردن بە توانەکان

Common mistakesهەڵە باوەکان

Exercisesڕاهێنانەکان

Summaryکورتە

Watch a videoسەیری ڤیدیۆیەک بکە

Lesson complete!وانەکە تەواو بوو!

Key termsزاراوە سەرەکییەکان

Related lecturesوانە پەیوەندیدارەکان

Domain, range and the graph of $2^x$ بوار، مەودا و هێڵکاریی $2^x$

The natural exponential function $e^x$ نەخشەی توانیی سروشتی $e^x$