Chapterبەش 2 · Lectureوانە 2.6

Absolute Valueنرخی ڕووت

What $|x|$ means: the distance of a number from 0 on the number line. The two-case definition, the forms $\max\{x, -x\}$ and $\sqrt{x^2}$ , the facts $|x|^2 = x^2$ , $-|x| \le x \le |x|$ and $|-x| = |x|$ , and the distance $|a - b|$ between two numbers — with the slide's $|x| = x^2$ misprint corrected.

$|x|$ واتای چییە: دووریی ژمارەیەک لە سفرەوە لەسەر . پێناسە دوو حاڵەتییەکە، شێوەکانی $\max\{x, -x\}$ و $\sqrt{x^2}$ ، ڕاستییەکانی $|x|^2 = x^2$ ، $-|x| \le x \le |x|$ و $|-x| = |x|$ ، هەروەها دووریی $|a - b|$ لە نێوان دوو ژمارەدا — لەگەڵ ڕاستکردنەوەی هەڵەی چاپی $|x| = x^2$ لە سلایدەکەدا.

11 min read11 خولەک خوێندنەوە · 13 stepsهەنگاو

What you will learnچی فێر دەبیت

Explain the absolute value of a number as its distance from 0.
Use the two-case definition to remove absolute-value bars.
Use the forms $|x| = \max\{x, -x\} = \sqrt{x^2}$ and the facts $|x|^2 = x^2$ , $-|x| \le x \le |x|$ and $|-x| = |x|$ .
Find the distance between two numbers as $|a - b|$ .

ژمارەیەک وەک دوورییەکەی لە سفرەوە ڕوون بکەیتەوە.
بە پێناسە دوو حاڵەتییەکە هێڵەکانی لابەریت.
شێوەکانی $|x| = \max\{x, -x\} = \sqrt{x^2}$ و ڕاستییەکانی $|x|^2 = x^2$ ، $-|x| \le x \le |x|$ و $|-x| = |x|$ بەکار بهێنیت.
دووریی نێوان دوو ژمارە وەک $|a - b|$ بدۆزیتەوە.

Absolute value is a distanceنرخی ڕووت دوورییە

On the , $-3$ and 3 sit on opposite sides of 0, yet both are 3 units away from it. The absolute value of a number is exactly this: its distance from 0, whatever the direction. We write it between two vertical bars: $|-3| = 3$ and $|3| = 3$ .

لەسەر ، $-3$ و 3 لە دوو لای پێچەوانەی سفردان، بەڵام هەردووکیان 3 یەکە لە سفرەوە دوورن. ژمارەیەک ڕێک ئەمەیە: دوورییەکەی لە سفرەوە، ئاڕاستەکەی هەرچییەک بێت. لە نێوان دوو هێڵی ستوونیدا دەینووسین: $|-3| = 3$ و $|3| = 3$ .

Definitionپێناسە

The distance of a number from 0 on the number line, written $|x|$ . It is never negative: $|x|=x$ if $x\ge0$ and $|x|=-x$ if $x<0$ .

دووریی ژمارەیەک لە سفر لەسەر ، کە بە $|x|$ دەنووسرێت. هەرگیز سالب نییە: $|x|=x$ ئەگەر $x\ge0$ و $|x|=-x$ ئەگەر $x<0$ .

Same distance from 0, so the same absolute value.هەمان دووری لە سفرەوە، کەواتە هەمان .CêIT

Two friends leave a tea houseدوو هاوڕێ لە چایخانەیەک دەردەچن

A tea house stands at 0 on a long, straight street. Aram walks 3 shops to the left; Shilan walks 3 shops to the right. They went in opposite directions, but each of them is now 3 shops from the tea house. The direction is the sign ( $-$ or $+$ ); the number of shops is the absolute value.

چایخانەیەک لە خاڵی 0ی شەقامێکی درێژ و ڕاستدایە. ئارام 3 دوکان بەرەو چەپ دەڕوات؛ شیلان 3 دوکان بەرەو ڕاست. بە دوو ئاڕاستەی پێچەوانەدا ڕۆیشتن، بەڵام ئێستا هەریەکەیان 3 دوکان لە چایخانەکەوە دوورە. ئاڕاستەکە هێماکەیە ( $-$ یان $+$ )؛ ژمارەی دوکانەکان .

Where the analogy stops workingسنووری ئەم نموونەیە

A real street can bend. On the number line the 'street' is perfectly straight, so distance is simply how many units lie between the two points.

شەقامی ڕاستەقینە دەشێت پێچی هەبێت. لەسەر «شەقامەکە» تەواو ڕاستە، بۆیە دووری تەنها ژمارەی ئەو یەکانەیە کە لە نێوان دوو خاڵەکەدان.

A distance is never negative. So $|x| \ge 0$ for every real number $x$ , and $|x| = 0$ only when $x = 0$ .

دووری هەرگیز سالب نییە. بۆیە بۆ هەموو $x$ ، $|x| \ge 0$ ؛ هەروەها $|x| = 0$ تەنها کاتێک ڕاستە کە $x = 0$ بێت.

Watch the distance changeسەیری گۆڕانی دوورییەکە بکە

In the animation a point $x$ walks along the number line from 4 to $-4$ . The orange bar on the line is its distance from 0. The same length is then stood up vertically, so the point above $x$ is at height $|x|$ . Joining these points draws the graph of $y = |x|$ : a V with its corner at 0.

لەم وێنە جووڵاوەدا خاڵی $x$ لەسەر لە 4ـەوە بەرەو $-4$ دەڕوات. هێڵە پرتەقاڵییەکەی سەر هێڵەکە دوورییەکەیەتی لە سفرەوە. پاشان هەمان درێژی بە ستوونی ڕادەگیرێت، بۆیە خاڵەکەی سەرووی $x$ لە بەرزیی $|x|$ دایە. بە پێکەوەبەستنی ئەم خاڵانە $y = |x|$ دەکێشرێت: پیتی V کە گۆشەکەی لە سفردایە.

A point moves along the number line from x = 4 to x = −4 in steps of 1. In each frame an orange bar shows its distance from 0 along the line, and an equal orange bar stands up from the point to the graph. The green graph of y = |x| is drawn as the point moves: first the right arm of a V from (4, 4) down to (0, 0), then the left arm up to (−4, 4). The last frame shows the whole V with |−3| = |3| = 3. — The height of the V above $x$ is the distance of $x$ from 0.بەرزیی V لە سەرووی $x$ دووریی $x$ ـە لە سفرەوە.CêIT

Notice what happens left of 0: $x$ itself gets smaller ( $-1, -2, -3, \ldots$ ), but its distance from 0 grows again. That is why the graph turns upward at 0.

سەرنج بدە چی لە لای چەپی سفر ڕوودەدات: خودی $x$ بچووکتر دەبێت ( $-1, -2, -3, \ldots$ )، بەڵام دوورییەکەی لە سفرەوە دیسان زیاد دەکات. بۆیە لە سفردا بەرەو سەرەوە وەردەگەڕێت.

The definition: two casesپێناسەکە: دوو حاڵەت

The course gives the formal definition as a rule with two cases:

وانەکە پێناسە فەرمییەکە وەک یاسایەکی دوو حاڵەتی دەدات:

|x| = \begin{cases} x, & \text{if } x \ge 0 \\ -x, & \text{if } x < 0 \end{cases}

Read it like this: if the number is positive or zero, keep it as it is. If it is negative, take its opposite, $-x$ . The opposite of a negative number is positive: for $x = -5$ , $-x = -(-5) = 5$ .

بەم شێوەیە بیخوێنەوە: ئەگەر ژمارەکە موجەب یان سفر بوو، وەک خۆی بیهێڵەوە. ئەگەر سالب بوو، پێچەوانەکەی وەربگرە، واتە $-x$ . پێچەوانەی موجەبە: بۆ $x = -5$ ، $-x = -(-5) = 5$ .

\begin{aligned} |5| &= 5 && (5 \ge 0,\ \text{first case}) \\ |0| &= 0 && (0 \ge 0,\ \text{first case}) \\ \left|-\tfrac{12}{5}\right| &= -\left(-\tfrac{12}{5}\right) = \tfrac{12}{5} && (-\tfrac{12}{5} < 0,\ \text{second case}) \end{aligned}

A rule made of several cases like this is a piecewise function. You will draw it and meet more of them in Piecewise functions.

یاسایەکی چەند حاڵەتی وەک ئەمە . لە نەخشە ڕێسا پەلدارەکان دەیکێشیت و نموونەی زیاتری لێ دەبینیت.

Quick checkپشکنینی خێرا

x = -2.4

. Which case of the definition do you use, and what is

|x|

?

x = -2.4

. کام حاڵەتی پێناسەکە بەکار دەهێنیت و

|x|

چەندە؟The second case:

|x| = -(-2.4) = 2.4

حاڵەتی دووەم:

|x| = -(-2.4) = 2.4

The second case:

|x| = -2.4

حاڵەتی دووەم:

|x| = -2.4

The first case:

|x| = -2.4

حاڵەتی یەکەم:

|x| = -2.4

زۆر گرنگە زۆرترین خوێندکار هەڵەی لێدەکات : گۆڕینی نەخشەی بەهای ڕووت بۆ نەخشەی پەلدارمامۆستا ڕابەر خالید - بیرکاری (Rabar Khalid). · Kurdish (Sorani)کوردی (سۆرانی) · 5.6K viewsبینین · 455 likesلایک · Partبەشی 1:40–5:58 (ofلە 23:00)
In Kurdish: writing |x| as two cases, -x when x is negative and x otherwise, then doing the same for |-x+1|.
بە کوردی: نووسینی $|x|$ وەک دوو حاڵەت، $-x$ کاتێک x سالبە و x لە حاڵەتەکانی تردا، پاشان هەمان کار بۆ $|-x+1|$ .
Sorani, Grade 12 teacher. Plays 1:40-5:58 (found on video frames): f(x) = |x| written as two cases, -x for x < 0 and x for x ≥ 0, checked with test numbers, then |-x+1| split at x = 1.
بە سۆرانی، مامۆستای پۆلی ⁦12⁩. لە ⁦1:40⁩ تا ⁦5:58⁩ پەخش دەبێت (لە وێنەکانی ڤیدیۆکەوە دیاری کراوە): $f(x) = |x|$ وەک دوو حاڵەت دەنووسرێت، $-x$ بۆ $x < 0$ و $x$ بۆ $x \ge 0$ ، بە ژمارەی تاقیکاری دەپشکنرێت، پاشان $|-x+1|$ لە $x = 1$ دابەش دەکرێت.

$|x|$ is the larger of $x$ and $-x$ $|x|$ گەورەترەکەی $x$ و $-x$ ـە

From the definition the course draws a few remarks. The first one: the absolute value is the larger of the two numbers $x$ and $-x$ .

وانەکە لە پێناسەکەوە چەند تێبینییەک دەردەهێنێت. یەکەمیان: گەورەترەکەی دوو ژمارەی $x$ و $-x$ ـە.

|x| = \max\{x, -x\}

Why does it work? $x$ and $-x$ are opposites, so one of them is $\ge 0$ and the other is $\le 0$ (both are 0 when $x = 0$ ). The larger one is always the one that is not negative — and that is exactly the distance from 0.

بۆچی ڕاستە؟ $x$ و $-x$ پێچەوانەی یەکترن، بۆیە یەکێکیان $\ge 0$ ـە و ئەوی تریان $\le 0$ (کاتێک $x = 0$ بێت هەردووکیان سفرن). گەورەترەکەیان هەمیشە ئەوەیە کە سالب نییە — و ئەوە ڕێک دوورییەکەیە لە سفرەوە.

The larger of $x$ and $-x$ is always $|x|$ گەورەترەکەی $x$ و $-x$ هەمیشە $|x|$ ـە
$x$	$-x$	$\max\{x, -x\}$	$\|x\|$
$4$	$-4$	$4$	$4$
$-4$	$4$	$4$	$4$
$0$	$0$	$0$	$0$
$-\tfrac{7}{2}$	$\tfrac{7}{2}$	$\tfrac{7}{2}$	$\tfrac{7}{2}$

Quick checkپشکنینی خێراWhat is

\max\{-9, 9\}

, and what does it tell you?

\max\{-9, 9\}

چەندە و چیت پێ دەڵێت؟

-9

, so

|-9| = -9

-9

، کەواتە

|-9| = -9

0

, because

-9 + 9 = 0

0

، چونکە

-9 + 9 = 0

9

, so

|-9| = 9

and

|9| = 9

9

، کەواتە

|-9| = 9

و

|9| = 9

$|x| = \sqrt{x^2}$ , and a trap $|x| = \sqrt{x^2}$ ، لەگەڵ تەڵەیەک

Squaring a number removes its sign: $(-3)^2 = 9$ and $3^2 = 9$ . The then brings back the size, never a sign: $\sqrt{9} = 3$ . So:

دووجاکردنی ژمارەیەک هێماکەی لادەبات: $(-3)^2 = 9$ و $3^2 = 9$ . پاشان قەبارەکە دەگەڕێنێتەوە، بەڵام هەرگیز هێما ناگەڕێنێتەوە: $\sqrt{9} = 3$ . کەواتە:

|x| = \sqrt{x^2}

This trap returns in inequalities: when you take the square root of $x^2$ , you get $|x|$ , not $x$ . Forget it and you lose half of the answer. See a real homework example in Absolute value equations and inequalities.

ئەم تەڵەیە لە دەگەڕێتەوە: کاتێک $x^2$ وەردەگریت، $|x|$ دەستت دەکەوێت نەک $x$ . ئەگەر لەبیرت بچێت، نیوەی وەڵامەکە لەدەست دەدەیت. نموونەیەکی ڕاستەقینەی ئەرکی ماڵەوە ببینە لە وانەی لاسەنگەکانی نرخی ڕووت.

why sqrt(36) is just positive 6bprp math basics · Englishئینگلیزی · 397K viewsبینین · 14K likesلایک
Why the square root sign gives only the non-negative answer: the square root of 36 is 6, not plus or minus 6.
بۆچی هێمای ڕەگ تەنها وەڵامی ناسالب دەدات: ⁦36⁩ دەکاتە 6، نەک $\pm 6$ .
1:42 long; the same point as the screen: the root sign always means the non-negative root.
تەنها ⁦1:42⁩ خولەکە؛ هەمان خاڵی شاشەکە: هێمای ڕەگ هەمیشە واتای ڕەگە ناسالبەکە دەدات.

Squaring forgets the sign: $|x|^2 = x^2$ دووجاکردن هێما لەبیر دەکات: $|x|^2 = x^2$

Squaring forgets the sign, so it makes no difference whether you square $x$ or $|x|$ . The lecturer wrote this fact on the board and used it in the proofs of the next lesson.

دووجاکردن هێماکە لەبیر دەکات، بۆیە جیاوازی نییە $x$ دووجا بکەیت یان $|x|$ . مامۆستاکە ئەم ڕاستییەی لەسەر تەختەکە نووسی و لە وانەی داهاتوودا بەکاری هێنا.

|x|^2 = x^2 \qquad\text{for example}\qquad |-3|^2 = 3^2 = 9 = (-3)^2

The slide has a misprintهەڵەیەکی چاپ لە سلایدەکەدا

The slide prints this line as $|x| = x^2$ — the exponent 2 sits on the wrong side. That statement is false: for $x = 2$ , $|2| = 2$ but $2^2 = 4$ ; for $x = \tfrac12$ , $|\tfrac12| = \tfrac12$ but $(\tfrac12)^2 = \tfrac14$ . In fact $|x| = x^2$ holds only for $x = -1, 0, 1$ . The correct fact, written on the board in class, is $|x|^2 = x^2$ .

سلایدەکە ئەم دێڕە بە شێوەی $|x| = x^2$ چاپ دەکات — 2 لە شوێنی هەڵەدایە. ئەو ڕستەیە هەڵەیە: بۆ $x = 2$ ، $|2| = 2$ بەڵام $2^2 = 4$ ؛ بۆ $x = \tfrac12$ ، $|\tfrac12| = \tfrac12$ بەڵام $(\tfrac12)^2 = \tfrac14$ . لە ڕاستیدا $|x| = x^2$ تەنها بۆ $x = -1, 0, 1$ ڕاستە. ڕاستییە دروستەکە، کە لە پۆلدا لەسەر تەختەکە نووسرا، $|x|^2 = x^2$ ـە.

Quick checkپشکنینی خێراWhich statement is true for every real number

x

?کام ڕستە بۆ هەموو

x

ڕاستە؟

\sqrt{x^2} = x

\sqrt{x^2} = x

|x|^2 = x^2

|x|^2 = x^2

|x| = x

|x| = x

|x| = x^2

|x| = x^2

$x$ lies between $-|x|$ and $|x|$ $x$ لە نێوان $-|x|$ و $|x|$ دایە

-|x| \le x \le |x|

On the number line, $-|x|$ and $|x|$ are the two points at distance $|x|$ from 0, one on each side. The number $x$ is one of these two points, so it certainly lies between them, ends included. In every example one of the two signs $\le$ is really an $=$ .

لەسەر ، $-|x|$ و $|x|$ ئەو دوو خاڵەن کە بە دووریی $|x|$ لە سفرەوەن، هەریەکە لە لایەک. ژمارەی $x$ خۆی یەکێکە لەم دوو خاڵە، بۆیە بێگومان لە نێوانیاندایە، لێوارەکانیش لەگەڵ. لە هەموو نموونەیەکدا یەکێک لە دوو هێمای $\le$ لە ڕاستیدا $=$ ـە.

Checking $-|x| \le x \le |x|$ پشکنینی $-|x| \le x \le |x|$
$x$	$-\|x\| \le x \le \|x\|$	Which sign is $=$ ?کام هێما $=$ ـە؟
$3$	$-3 \le 3 \le 3$	the right oneڕاستەکەیان
$-3$	$-3 \le -3 \le 3$	the left oneچەپەکەیان
$\tfrac52$	$-\tfrac52 \le \tfrac52 \le \tfrac52$	the right oneڕاستەکەیان
$0$	$0 \le 0 \le 0$	bothهەردووکیان

This small fact is the key step in the proof of the triangle inequality in the next lesson.

ئەم ڕاستییە بچووکە هەنگاوی سەرەکییە لە ؛ بڕوانە وانەی داهاتوو.

Quick checkپشکنینی خێراFor

x = -6

, which line is correct?بۆ

x = -6

، کام دێڕ دروستە؟

-6 \le 6 \le -6

-6 \le 6 \le -6

6 \le -6 \le -6

6 \le -6 \le -6

-6 \le -6 \le 6

-6 \le -6 \le 6

Opposite numbers have the same absolute valueژمارە پێچەوانەکان هەمان نرخی ڕووتیان هەیە

|-x| = |x|

$x$ and $-x$ are mirror images across 0: the same distance, opposite sides. For example $|-4| = |4| = 4$ . With letters it works too: $|-(a-b)| = |a-b|$ , that is, $|b-a| = |a-b|$ .

$x$ و $-x$ وێنەی ئاوێنەیی یەکترن بە دەوری سفردا: هەمان دووری، دوو لای پێچەوانە. بۆ نموونە $|-4| = |4| = 4$ . بە پیتیش ڕاستە: $|-(a-b)| = |a-b|$ ، واتە $|b-a| = |a-b|$ .

This is also why the graph of $y = |x|$ has : the left arm of the V is the mirror image of the right arm in the $y$ -axis (see the last frame of the animation above).

هەر بۆیە $y = |x|$ هەیە: باڵی چەپی V وێنەی ئاوێنەیی باڵی ڕاستە لە $y$ ـدا (دوایین وێنەی وێنە جووڵاوەکەی سەرەوە ببینە).

The distance between two numbersدووریی نێوان دوو ژمارە

$|x|$ measures the distance from $x$ to 0. Move the starting point and you get the most useful idea of this chapter: the distance between two numbers $a$ and $b$ is the absolute value of their difference.

$|x|$ دووریی نێوان $x$ و سفر دەپێوێت. خاڵی دەستپێکەکە بگوازەوە، بەسوودترین بیرۆکەی ئەم بەشە دەستت دەکەوێت: دووریی نێوان دوو ژمارەی $a$ و $b$ جیاوازییەکەیانە.

\text{distance}(a, b) = |a - b| = |b - a|

Subtract in either order, then take the absolute value.بە هەر ڕیزبەندییەک یەکێکیان لە ئەوی تر دەربکە، پاشان وەربگرە.CêIT

The order does not matter because $b - a = -(a - b)$ and $|-x| = |x|$ . And $|x|$ itself is the special case $|x - 0|$ . So read $|x - 3|$ as “the distance from $x$ to 3”. This one reading turns every absolute-value inequality into a picture: $|x - 3| < 2$ says “ $x$ is less than 2 away from 3”.

ڕیزبەندییەکە گرنگ نییە چونکە $b - a = -(a - b)$ و $|-x| = |x|$ . خودی $|x|$ یش حاڵەتی تایبەتی $|x - 0|$ ـە. کەواتە $|x - 3|$ وەک «دووریی $x$ لە 3ـەوە» بخوێنەوە. ئەم خوێندنەوەیە هەموو دەکاتە وێنە: $|x - 3| < 2$ دەڵێت « $x$ لە 3ـەوە کەمتر لە 2 دوورە».

In computingلە کۆمپیوتەردا

Python has the built-in abs(). Programmers use “distance = absolute difference” all the time: grid games and maze solvers add two absolute differences to get the Manhattan distance, and decimal numbers are compared with a small tolerance instead of ==, because 0.1 + 0.2 is not stored exactly as 0.3.

Python abs()ـی هەیە. پرۆگرامسازان هەمیشە «دووری = جیاوازیی ڕووت» بەکار دەهێنن: یارییە خانەییەکان و چارەسەرکردنی کۆی دوو جیاوازیی ڕووت دەکەن بۆ دووریی مانهاتن، هەروەها بە جیاوازییەکی بچووکی ڕێگەپێدراو بەراورد دەکرێن نەک بە ==، چونکە 0.1 + 0.2 ڕێک وەک 0.3 هەڵناگیرێت.

PYTHONType in a terminalلە تێرمیناڵدا بینووسە

print(abs(-3))
print(abs(2.5 - 4))
print(0.1 + 0.2 == 0.3)
print(abs((0.1 + 0.2) - 0.3) < 1e-9)

Explain the codeڕوونکردنەوەی کۆدەکە

Lineدێڕی 2

The distance between 2.5 and 4.

دووریی نێوان ⁦2.5⁩ و 4.

Lineدێڕی 4

“Close enough”: the distance is smaller than one billionth.

«بەسە نزیکە»: دوورییەکە لە یەک لە ملیارێک بچووکترە.

Math Antics - Absolute Valuemathantics · Englishئینگلیزی · 1M viewsبینین · 17K likesلایک · Partبەشی 4:39–7:21 (ofلە 13:14)
Absolute value as the distance from zero, then the distance between two numbers as the absolute value of their difference.
وەک دووری لە سفرەوە، پاشان دووریی نێوان دوو ژمارە وەک جیاوازییەکەیان.
Plays 4:39-7:21: distances on a number line, then 7 − 4 = 3 and 4 − 7 = −3 have the same absolute value, 3.
لە ⁦4:39⁩ تا ⁦7:21⁩ پەخش دەبێت: دووری لەسەر ، پاشان ⁦7 − 4 = 3⁩ و ⁦4 − 7 = −3⁩ هەمان هەیە: 3.

Common mistakesهەڵە باوەکان

Six slips to avoidشەش هەڵە کە دەبێت خۆتی لێ بپارێزیت
Mistakeهەڵە	Why it is wrongبۆچی هەڵەیە	Correctدروست
“The bars just delete minus signs”: $\|x - 3\| = x + 3$ «هێڵەکان تەنها هێمای لێدەرکردن دەسڕنەوە»: $\|x - 3\| = x + 3$	$x = 1$ : $\|1 - 3\| = 2$ but $1 + 3 = 4$ $x = 1$ : $\|1 - 3\| = 2$ بەڵام $1 + 3 = 4$	Work out the inside first, then take its distance from 0یەکەم ناوەوە حیساب بکە، پاشان دوورییەکەی لە سفرەوە وەربگرە
$\|x\| = x$ for every $x$ $\|x\| = x$ بۆ هەموو $x$	$x = -5$ : $\|-5\| = 5$ , not $-5$ $x = -5$ : $\|-5\| = 5$ نەک $-5$	$\|x\| = x$ only when $x \ge 0$ ; $\|x\| = -x$ when $x < 0$ $\|x\| = x$ تەنها کاتێک $x \ge 0$ ؛ کاتێک $x < 0$ ، $\|x\| = -x$
$\|x\| = x^2$ (the slide's misprint) $\|x\| = x^2$ (هەڵەی چاپی سلایدەکە)	$x = 2$ : $2 \ne 4$ $x = 2$ : $2 \ne 4$	$\|x\|^2 = x^2$
$\sqrt{x^2} = x$ $\sqrt{x^2} = x$	$x = -3$ : $\sqrt{9} = 3 \ne -3$ $x = -3$ : $\sqrt{9} = 3 \ne -3$	$\sqrt{x^2} = \|x\|$
$\|-x\| = x$ $\|-x\| = x$	$x = -4$ : $\|4\| = 4 \ne -4$ $x = -4$ : $\|4\| = 4 \ne -4$	$\|-x\| = \|x\|$
$\|a + b\| = \|a\| + \|b\|$ $\|a + b\| = \|a\| + \|b\|$	$a = 5,\ b = -2$ : $\|3\| = 3$ but $5 + 2 = 7$ $a = 5,\ b = -2$ : $\|3\| = 3$ بەڵام $5 + 2 = 7$	$\|a + b\| \le \|a\| + \|b\|$ (next lesson) $\|a + b\| \le \|a\| + \|b\|$ (وانەی داهاتوو)

Practiceڕاهێنان

ExerciseڕاهێنانComputeحیساب بکە

Find $|-7|$ , $|3 - 8|$ , $|0|$ and $|\pi - 4|$ .

$|-7|$ ، $|3 - 8|$ ، $|0|$ و $|\pi - 4|$ بدۆزەوە.

Hintئاماژە

Work out the inside first. $\pi \approx 3.14$ .

یەکەم ناوەوە حیساب بکە. $\pi \approx 3.14$ .

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

|-7| = 7,\quad |3-8| = |-5| = 5,\quad |0| = 0,\quad |\pi - 4| = 4 - \pi \approx 0.86

ExerciseڕاهێنانRemove the barsهێڵەکان لابەرە

Write $|x - 5|$ without absolute-value bars when $x < 5$ .

کاتێک $x < 5$ بێت، $|x - 5|$ بەبێ هێڵە ستوونییەکان بنووسە.

Hintئاماژە

Is $x - 5$ positive or negative here? Then use the right case of the definition.

لێرەدا $x - 5$ موجەبە یان سالب؟ پاشان حاڵەتی گونجاوی پێناسەکە بەکار بهێنە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

x < 5 \;\Rightarrow\; x - 5 < 0 \;\Rightarrow\; |x - 5| = -(x - 5) = 5 - x

ExerciseڕاهێنانA distanceدوورییەک

How far apart are $-2.5$ and 4 on the number line?

$-2.5$ و 4 لەسەر چەند لە یەکەوە دوورن؟

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

|-2.5 - 4| = |-6.5| = 6.5

ExerciseڕاهێنانWhen is the misprint true?هەڵە چاپییەکە کەی ڕاستە؟

Solve $|x| = x^2$ . (This is the slide's misprinted line — find exactly where it happens to be true.)

$|x| = x^2$ شیکار بکە. (ئەمە دێڕە هەڵە چاپکراوەکەی سلایدەکەیە — بدۆزەوە ڕێک لە کوێدا بە ڕێکەوت ڕاستە.)

Hintئاماژە

Use the two cases of the definition separately.

دوو حاڵەتەکەی پێناسەکە جیا جیا بەکار بهێنە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

\begin{aligned} x \ge 0:&\quad x = x^2 \iff x(x-1) = 0 \iff x = 0 \text{ or } x = 1 \\ x < 0:&\quad -x = x^2 \iff x(x+1) = 0 \iff x = -1 \quad (x = 0 \text{ is not } < 0) \end{aligned}

So $|x| = x^2$ only for $x \in \{-1, 0, 1\}$ . For every other number it is false — that is why the correct rule is $|x|^2 = x^2$ .

کەواتە $|x| = x^2$ تەنها بۆ $x \in \{-1, 0, 1\}$ ڕاستە. بۆ هەموو ژمارەیەکی تر هەڵەیە — هەر بۆیە یاسا دروستەکە $|x|^2 = x^2$ ـە.

ExerciseڕاهێنانTrue or false?ڕاست یان هەڵە؟

“For every real number $x$ , $\sqrt{x^2} = x$ .” Is this true? Explain with an example.

«بۆ هەموو $x$ ، $\sqrt{x^2} = x$ .» ئایا ڕاستە؟ بە نموونەیەک ڕوونی بکەرەوە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

False. For $x = -3$ : $\sqrt{(-3)^2} = \sqrt9 = 3 \ne -3$ . The true rule is $\sqrt{x^2} = |x|$ ; it equals $x$ only when $x \ge 0$ .

هەڵەیە. بۆ $x = -3$ : $\sqrt{(-3)^2} = \sqrt9 = 3 \ne -3$ . یاسا ڕاستەکە $\sqrt{x^2} = |x|$ ـە؛ تەنها کاتێک $x \ge 0$ بێت یەکسانە بە $x$ .

Summaryپوختە

$|x|$ is the distance of $x$ from 0, so $|x| \ge 0$ , and $|x| = 0$ only for $x = 0$ .
Definition: $|x| = x$ if $x \ge 0$ and $|x| = -x$ if $x < 0$ .
Same value, other forms: $|x| = \max\{x, -x\} = \sqrt{x^2}$ .
$|x|^2 = x^2$ (the slide's “ $|x| = x^2$ ” is a misprint), $-|x| \le x \le |x|$ and $|-x| = |x|$ .
The distance between $a$ and $b$ is $|a - b| = |b - a|$ ; read $|x - 3|$ as “the distance from $x$ to 3”.

$|x|$ دووریی $x$ ـە لە سفرەوە، بۆیە $|x| \ge 0$ ؛ $|x| = 0$ تەنها بۆ $x = 0$ .
پێناسە: $|x| = x$ ئەگەر $x \ge 0$ و $|x| = -x$ ئەگەر $x < 0$ .
هەمان نرخ بە شێوەی تر: $|x| = \max\{x, -x\} = \sqrt{x^2}$ .
$|x|^2 = x^2$ (« $|x| = x^2$ »ی سلایدەکە هەڵەی چاپە)، $-|x| \le x \le |x|$ و $|-x| = |x|$ .
دووریی نێوان $a$ و $b$ $|a - b| = |b - a|$ ـە؛ $|x - 3|$ وەک «دووریی $x$ لە 3ـەوە» بخوێنەوە.

Review questionsپرسیارەکانی پێداچوونەوە

Why is

|x|

never negative?بۆچی

|x|

هەرگیز سالب نییە؟

Because it is a distance. In the definition, a negative $x$ is replaced by its opposite $-x$ , which is positive.

چونکە دوورییە. لە پێناسەکەدا $x$ ـی سالب بە پێچەوانەکەی، $-x$ ، دەگۆڕدرێت کە موجەبە.

Is

\sqrt{x^2}

equal to

x

?ئایا

\sqrt{x^2}

یەکسانە بە

x

؟

Only when $x \ge 0$ . In general $\sqrt{x^2} = |x|$ , for example $\sqrt{(-3)^2} = 3$ .

تەنها کاتێک $x \ge 0$ بێت. بە گشتی $\sqrt{x^2} = |x|$ ، بۆ نموونە $\sqrt{(-3)^2} = 3$ .

What does

|x + 1| < 4

say in words?

|x + 1| < 4

بە وشە چی دەڵێت؟

$x + 1 = x - (-1)$ , so it says: the distance from $x$ to $-1$ is less than 4.

$x + 1 = x - (-1)$ ، بۆیە دەڵێت: دووریی $x$ لە $-1$ ـەوە لە 4 کەمترە.

Videoڤیدیۆ

Watch a videoسەیری ڤیدیۆیەک بکە

A video that viewers liked a lot and praised in their comments, chosen for this lesson.ڤیدیۆیەک کە بینەران زۆریان پێ خۆش بووە و لە کۆمێنتەکانیاندا ستایشیان کردووە، بۆ ئەم وانەیە هەڵبژێردراوە.

Absolute Values: Defining, Calculating, and GraphingProfessor Dave Explains · Englishئینگلیزی · 78K viewsبینین · 1.8K likesلایک · Partبەشی 0:00–4:09 (ofلە 5:10)
What absolute value means, how to calculate it for positive and negative numbers, and how the graph of y = |x| makes a V shape.
واتای چییە و چۆن بۆ و دەدۆزرێتەوە، هەروەها بۆچی $y = |x|$ شێوەی V وەردەگرێت.
Plays 0:00-4:09: definition (0:25), how to calculate it (0:50) and the V-shaped graph (2:50); stops before the outro and the practice questions on absolute-value equations (next lesson).
لە ⁦0:00⁩ تا ⁦4:09⁩ پەخش دەبێت: پێناسە ⁦(0:25)⁩، چۆنیەتیی دۆزینەوەی ⁦(0:50)⁩ و بە شێوەی ⁦V (2:50)⁩؛ پێش کۆتایی ڤیدیۆکە و پرسیارەکانی ڕاهێنان لەسەر (وانەی داهاتوو) ڕادەوەستێت.

Lesson complete!وانەکە تەواو بوو!

Well done. Review the key terms, then go on to the next lesson.دەستخۆش. سەیرێکی زاراوە سەرەکییەکان بکەرەوە، پاشان بڕۆ بۆ وانەی داهاتوو.

Key termsزاراوە سەرەکییەکان

Next lessonوانەی داهاتوو

Properties of Absolute Value and the Triangle Inequalityتایبەتمەندییەکانی نرخی ڕووت و لاسەنگەی سێگۆشەیی

Related lecturesوانە پەیوەندیدارەکان

References and further readingسەرچاوەکان و خوێندنەوەی زیاتر

This lecture is a first edition. The Kurdish text and terminology are waiting for review by Kurdish IT teachers.ئەم وانەیە چاپی یەکەمە. دەقە کوردییەکە و زاراوەکانی چاوەڕێی پێداچوونەوەی مامۆستایانی کوردی بواری IT ن.

Mistakeهەڵە	Why it is wrongبۆچی هەڵەیە	Correctدروست
“The bars just delete minus signs”: $\|x - 3\| = x + 3$ «هێڵەکان تەنها هێمای لێدەرکردن دەسڕنەوە»: $\|x - 3\| = x + 3$	$x = 1$ : $\|1 - 3\| = 2$ but $1 + 3 = 4$ $x = 1$ : $\|1 - 3\| = 2$ بەڵام $1 + 3 = 4$	Work out the inside first, then take its distance from 0یەکەم ناوەوە حیساب بکە، پاشان دوورییەکەی لە سفرەوە وەربگرە
$\|x\| = x$ for every $x$ $\|x\| = x$ بۆ هەموو $x$	$x = -5$ : $\|-5\| = 5$ , not $-5$ $x = -5$ : $\|-5\| = 5$ نەک $-5$	$\|x\| = x$ only when $x \ge 0$ ; $\|x\| = -x$ when $x < 0$ $\|x\| = x$ تەنها کاتێک $x \ge 0$ ؛ کاتێک $x < 0$ ، $\|x\| = -x$
$\|x\| = x^2$ (the slide's misprint) $\|x\| = x^2$ (هەڵەی چاپی سلایدەکە)	$x = 2$ : $2 \ne 4$ $x = 2$ : $2 \ne 4$	$\|x\|^2 = x^2$
$\sqrt{x^2} = x$ $\sqrt{x^2} = x$	$x = -3$ : $\sqrt{9} = 3 \ne -3$ $x = -3$ : $\sqrt{9} = 3 \ne -3$	$\sqrt{x^2} = \|x\|$
$\|-x\| = x$ $\|-x\| = x$	$x = -4$ : $\|4\| = 4 \ne -4$ $x = -4$ : $\|4\| = 4 \ne -4$	$\|-x\| = \|x\|$
$\|a + b\| = \|a\| + \|b\|$ $\|a + b\| = \|a\| + \|b\|$	$a = 5,\ b = -2$ : $\|3\| = 3$ but $5 + 2 = 7$ $a = 5,\ b = -2$ : $\|3\| = 3$ بەڵام $5 + 2 = 7$	$\|a + b\| \le \|a\| + \|b\|$ (next lesson) $\|a + b\| \le \|a\| + \|b\|$ (وانەی داهاتوو)

Absolute Valueنرخی ڕووت

What you will learnچی فێر دەبیت

Absolute value is a distanceنرخی ڕووت دوورییە

Watch the distance changeسەیری گۆڕانی دوورییەکە بکە

The definition: two casesپێناسەکە: دوو حاڵەت

∣x∣|x|∣x∣ is the larger of xxx and −x-x−x∣x∣|x|∣x∣ گەورەترەکەی xxx و −x-x−xـە

∣x∣=x2|x| = \sqrt{x^2}∣x∣=x2​, and a trap∣x∣=x2|x| = \sqrt{x^2}∣x∣=x2​، لەگەڵ تەڵەیەک

Squaring forgets the sign: ∣x∣2=x2|x|^2 = x^2∣x∣2=x2دووجاکردن هێما لەبیر دەکات: ∣x∣2=x2|x|^2 = x^2∣x∣2=x2

xxx lies between −∣x∣-|x|−∣x∣ and ∣x∣|x|∣x∣xxx لە نێوان −∣x∣-|x|−∣x∣ و ∣x∣|x|∣x∣دایە

Opposite numbers have the same absolute valueژمارە پێچەوانەکان هەمان نرخی ڕووتیان هەیە

The distance between two numbersدووریی نێوان دوو ژمارە

Common mistakesهەڵە باوەکان

Practiceڕاهێنان

Summaryپوختە

Watch a videoسەیری ڤیدیۆیەک بکە

Lesson complete!وانەکە تەواو بوو!

Key termsزاراوە سەرەکییەکان

Related lecturesوانە پەیوەندیدارەکان

$|x|$ is the larger of $x$ and $-x$ $|x|$ گەورەترەکەی $x$ و $-x$ ـە

$|x| = \sqrt{x^2}$ , and a trap $|x| = \sqrt{x^2}$ ، لەگەڵ تەڵەیەک

Squaring forgets the sign: $|x|^2 = x^2$ دووجاکردن هێما لەبیر دەکات: $|x|^2 = x^2$

$x$ lies between $-|x|$ and $|x|$ $x$ لە نێوان $-|x|$ و $|x|$ دایە