Chapterبەش 6 · Lectureوانە 6.4

Determinants, Minors and Cofactorsدیتەرمینانتەکان، ماینەرەکان و کۆفاکتەرەکان

What the determinant of a square matrix is and why it matters (inverses, areas), the $1 \times 1$ case $|[-2]| = -2$ , the $2 \times 2$ formula $ad - bc$ , minors, cofactors and the sign chessboard, expansion along any row or column, the rule of Sarrus for $3 \times 3$ only, and the notes' $4 \times 4$ example (732).

چییە و بۆچی گرنگە (پێچەوانە، ڕووبەر)، حاڵەتی $1 \times 1$ $|[-2]| = -2$ ، $2 \times 2$ ، $ad - bc$ ، ، و تەختەی شەترەنجی هێماکان، کردنەوە بە درێژایی هەر ڕیز یان ستوونێک، یاسای ساروس تەنها بۆ $3 \times 3$ و نموونە $4 \times 4$ ـەکەی تێبینییەکان ⁦(732)⁩.

14 min read15 خولەک خوێندنەوە · 15 stepsهەنگاو

What you will learnچی فێر دەبیت

Explain what a determinant tells about a square matrix (inverse, area scale).
Compute $1 \times 1$ and $2 \times 2$ determinants without confusing the bars with absolute value.
Find minors and cofactors and expand a $3 \times 3$ or $4 \times 4$ determinant along the best row or column.
Use the rule of Sarrus for $3 \times 3$ matrices and know why it fails for larger ones.

ڕوون بکەیتەوە چی لەسەر دەڵێت (پێچەوانە، ڕێژەی ڕووبەر).
$1 \times 1$ و $2 \times 2$ بدۆزیتەوە بێ ئەوەی هێڵەکان لەگەڵ تێکەڵ بکەیت.
و بدۆزیتەوە و $3 \times 3$ یان $4 \times 4$ بە باشترین ڕیز یان ستوون بکەیتەوە.
یاسای ساروس بۆ $3 \times 3$ بەکاربهێنیت و بزانیت بۆچی بۆ گەورەترەکان کار ناکات.

What a determinant isدیتەرمینانت چییە

The is one number worked out from a . It is written $\det A$ , $\det(A)$ or $|A|$ . Only square matrices have one. Two reasons make it important:

یەک ژمارەیە کە لە دەدۆزرێتەوە. بە $\det A$ ، $\det(A)$ یان $|A|$ دەنووسرێت. تەنها هەیە. دوو هۆ گرنگی دەکەن:

It decides whether a matrix has an inverse (a matrix that undoes it): yes when $\det A \ne 0$ , no when $\det A = 0$ . Inverses are needed to solve systems of (see Invertible or singular: the determinant decides).
It tells how much the matrix stretches areas when it moves the points of a picture (see the screen Areas are multiplied by the determinant).

بڕیار دەدات ئایا پێچەوانەی هەیە ( کە کارەکەی هەڵدەوەشێنێتەوە): بەڵێ کاتێک $\det A \ne 0$ ، نەخێر کاتێک $\det A = 0$ . پێچەوانەکان بۆ شیکارکردنی کۆمەڵە پێویستن (بڕوانە پێچەوانەدار یان بێپێچەوانە: دیتەرمینانت بڕیار دەدات).
دەڵێت کاتێک خاڵەکانی وێنەیەک دەجووڵێنێت، ڕووبەر چەند هێندە گەورە دەکات (بڕوانە ڕووبەرەکان لە دیتەرمینانت دەدرێن).

Quick checkپشکنینی خێراWhich matrix has a determinant?کام هەیە؟

\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{bmatrix}

A $1 \times 1$ matrix: the bars are not absolute valueماتریکسێکی $1 \times 1$ : هێڵەکان نرخی ڕووت نین

A $1 \times 1$ matrix $[a]$ has the single entry $a$ as its determinant: $|[a]| = a$ . The notes' examples:

$1 \times 1$ ی $[a]$ تاکە ژمارەکەی خۆی، $a$ ، وەک هەیە: $|[a]| = a$ . نموونەکانی تێبینییەکان:

\big|[2]\big| = 2, \qquad \big|[-2]\big| = -2, \qquad \big|[0]\big| = 0

|[-2]| = -2

, not 2

|[-2]| = -2

، نەک 2

The vertical bars look like the bars of the absolute value, which is never negative: $|-2| = 2$ . Around a matrix the bars mean “determinant”, and a determinant can be negative: $|[-2]| = -2$ . Writing $\det[-2]$ avoids the confusion.

هێڵە ستوونییەکان لە هێڵەکانی نرخی ڕووت دەچن کە هەرگیز سالب نییە: $|-2| = 2$ . بەڵام بە دەوری هێڵەکان واتە «» و دەشێت سالب بێت: $|[-2]| = -2$ . نووسینی $\det[-2]$ ئەم تێکەڵبوونە نایەڵێت.

A $2 \times 2$ matrix: $ad - bc$ ماتریکسێکی $2 \times 2$ : $ad - bc$

For a $2 \times 2$ matrix, multiply along the main diagonal (down to the right), multiply along the other diagonal (up to the right), and subtract: “down minus up”.

بۆ $2 \times 2$ ، ژمارەکانی سەر (بەرەو خوارەوەی ڕاست) لێک بدە، ژمارەکانی تیرەکەی تر (بەرەو سەرەوەی ڕاست) لێک بدە و دووەمیان لە یەکەمیان دەربکە: «خوارەوە کەم سەرەوە».

\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc

The notes' examplesنموونەکانی تێبینییەکان

$\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 4 & 6 \end{vmatrix}$ $\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 4 & 6 \end{vmatrix}$
Down: $1 \cdot 6 = 6$ . Up: $4 \cdot 3 = 12$ . Determinant $6 - 12 = -6$ .
خوارەوە: $1 \cdot 6 = 6$ . سەرەوە: $4 \cdot 3 = 12$ . $6 - 12 = -6$ .
$\begin{vmatrix} -3 & -2 \\ 4 & 5 \end{vmatrix}$ $\begin{vmatrix} -3 & -2 \\ 4 & 5 \end{vmatrix}$
Down: $(-3)(5) = -15$ . Up: $(4)(-2) = -8$ . Determinant $-15 - (-8) = -7$ .
خوارەوە: $(-3)(5) = -15$ . سەرەوە: $(4)(-2) = -8$ . $-15 - (-8) = -7$ .

Watch the signs: subtracting a negative product adds it.

ئاگاداری هێماکان بە: دەرکردنی لێکدراوێکی سالب کۆکردنەوەیە.

Areas are multiplied by the determinantڕووبەرەکان لە دیتەرمینانت دەدرێن

In Matrices move, turn and resize pictures a $2 \times 2$ matrix moves every point of a picture. The determinant tells what happens to areas. Send the unit square (corners $(0,0), (1,0), (1,1), (0,1)$ , area 1) through $M = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$ : the corners go to $(0,0), (3,1), (4,3), (1,2)$ , a parallelogram.

لە ماتریکسەکان وێنە دەجووڵێنن، دەسووڕێنن و قەبارەیان دەگۆڕندا $2 \times 2$ هەموو خاڵێکی وێنەیەک دەجووڵێنێت. دەڵێت چی بەسەر ڕووبەردا دێت. چوارگۆشەی یەکە (گۆشەکانی $(0,0), (1,0), (1,1), (0,1)$ ، ڕووبەر ⁦1⁩) بە $M = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$ دا تێپەڕێنە: گۆشەکان دەچنە $(0,0), (3,1), (4,3), (1,2)$ ، واتە لاتەریبێک.

The unit square (area 1) becomes a parallelogram of area

|\det M| = 5

.چوارگۆشەی یەکە (ڕووبەر ⁦1⁩) دەبێتە لاتەریبێک بە ڕووبەری

|\det M| = 5

.CêIT

$\det M = 3 \cdot 2 - 1 \cdot 1 = 5$ , and the parallelogram has area exactly 5. This is true for every $2 \times 2$ matrix: every area is multiplied by $|\det M|$ . The scaling matrix $S$ of that lesson doubles lengths and has $\det S = 4$ : areas grow four times.

$\det M = 3 \cdot 2 - 1 \cdot 1 = 5$ و ڕووبەری لاتەریبەکە ڕێک 5ـە. ئەمە بۆ هەموو $2 \times 2$ ڕاستە: هەموو ڕووبەرێک لە $|\det M|$ دەدرێت. $S$ ی ئەو وانەیە درێژییەکان دوو هێندە دەکات و $\det S = 4$ : ڕووبەرەکان چوار هێندە دەبن.

A negative determinant means the picture is also flipped like a mirror image: $\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1$ , and this matrix swaps $x$ and $y$ but keeps the area.
A determinant of 0 squashes the square flat onto a line (area 0): $\begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 0$ . A flattened picture cannot be un-flattened, which is why such a matrix has no inverse.

سالب واتە وێنەکە وەک ئاوێنەش هەڵدەگەڕێتەوە: $\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1$ و ئەم $x$ و $y$ دەگۆڕێتەوە، بەڵام ڕووبەرەکە دەپارێزێت.
0 چوارگۆشەکە دەپلیشێنێتەوە بۆ سەر هێڵێک (ڕووبەر ⁦0⁩): $\begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 0$ . وێنەیەکی پلیشاو ناگەڕێتەوە دۆخی پێشووی، بۆیە ئەو جۆرە پێچەوانەی نییە.

The determinant | Chapter 6, Essence of linear algebra3Blue1Brown · Englishئینگلیزی · 5M viewsبینین · 109K likesلایک · Partبەشی 0:00–5:33 (ofلە 10:03)
The determinant as the number that multiplies areas: a negative determinant flips the picture, and a zero determinant squashes it flat.
وەک ئەو ژمارەیەی ڕووبەرەکانی پێ لێک دەدرێت: سالب وێنەکە هەڵدەگەڕێنێتەوە و سفر وێنەکە پان دەکاتەوە.
Plays 0:00-5:33: areas scale by the determinant (2:39 in 2-D), 3:42 negative determinants flip orientation. Stops before 3-D volumes.
لە ⁦0:00⁩ تا ⁦5:33⁩ پەخش دەبێت: ڕووبەرەکان بە گەورە یان بچووک دەبنەوە (⁦2:39⁩ لە دوو ڕەهەنددا)، ⁦3:42⁩ سالب ئاڕاستەی وێنەکە هەڵدەگەڕێنێتەوە. پێش قەبارە سێ ڕەهەندییەکان ڕادەوەستێت.

Minors and cofactorsماینەرەکان و کۆفاکتەرەکان

Bigger determinants are built from smaller ones. Two words are needed:

گەورەترەکان لە بچووکترەکان دروست دەکرێن. دوو وشە پێویستن:

The $M_{ij}$ of the entry $a_{ij}$ is the determinant that is left after deleting row $i$ and column $j$ .
The of $a_{ij}$ is the minor with a sign: $C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}$ . (The notes write it $A_{ij}$ ; many books use $C_{ij}$ , which is easier to tell apart from the entry $a_{ij}$ .)

$M_{ij}$ ی ژمارەی $a_{ij}$ ئەو کە دوای سڕینەوەی ڕیزی $i$ و ستوونی $j$ دەمێنێتەوە.
$a_{ij}$ لەگەڵ هێمایەک: $C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}$ . (تێبینییەکان بە $A_{ij}$ دەینووسن؛ زۆر کتێب $C_{ij}$ بەکاردەهێنن کە ئاسانترە لە ژمارەی $a_{ij}$ جیا بکرێتەوە.)

The sign $(-1)^{i+j}$ is $+$ when $i + j$ is even and $-$ when it is odd. Laid out over the matrix it makes a chessboard that starts with $+$ in the top-left corner:

هێمای $(-1)^{i+j}$ $+$ ـە کاتێک $i + j$ جووت بێت و $-$ ـە کاتێک تاک بێت. ئەگەر بەسەر ڕیز بکرێت، تەختەی شەترەنجێک دروست دەکات کە لە گۆشەی سەرەوەی چەپەوە بە $+$ دەست پێدەکات:

The sign chessboard:

(-1)^{i+j}

for every place.تەختەی شەترەنجی هێماکان:

(-1)^{i+j}

بۆ هەموو شوێنێک.CêIT

Matrices - Minors and Cofactors | Don't MemoriseSri Chaitanya Academy NEET (formerly Don't Memorise) · Englishئینگلیزی · 711K viewsبینین · 11K likesلایک
What a minor is (delete a row and a column, take the determinant) and how the sign (−1)^(i+j) turns it into a cofactor.
چییە (ڕیزێک و ستوونێک لاببە و ئەوەی دەمێنێتەوە بدۆزەرەوە)، هەروەها چۆن هێمای $(-1)^{i+j}$ دەیکاتە .
Chapters: 0:00 the 3 × 3 determinant written as a₁₁(…) − a₁₂(…) + a₁₃(…) (frame at 0:30), 1:43 what a minor is, 1:55 what a cofactor is, 2:30 finding them, 3:15 how minor and cofactor are related.
بەشەکان: ⁦0:00⁩ $3 \times 3$ کە وەک $a_{11}(\ldots) - a_{12}(\ldots) + a_{13}(\ldots)$ دەنووسرێت (وێنەی ⁦0:30⁩)، ⁦1:43⁩ چییە، ⁦1:55⁩ چییە، ⁦2:30⁩ دۆزینەوەیان، ⁦3:15⁩ پەیوەندیی نێوان و .

Minors and cofactorsماینەرەکان و کۆفاکتەرەکان

The notes' first example: a $2 \times 2$ یەکەم نموونەی تێبینییەکان: ماتریکسێکی $2 \times 2$

The notes' first example, $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 4 & -1 \end{bmatrix}$ : deleting a row and a column of a $2 \times 2$ matrix leaves a single number.

یەکەم نموونەی تێبینییەکان، $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 4 & -1 \end{bmatrix}$ : سڕینەوەی ڕیزێک و ستوونێکی $2 \times 2$ تەنها یەک ژمارە دەهێڵێتەوە.

\begin{bmatrix} M_{11} & M_{12} \\ M_{21} & M_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 4 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \qquad \begin{bmatrix} C_{11} & C_{12} \\ C_{21} & C_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & -4 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

|A| = a_{11}C_{11} + a_{12}C_{12} = 1(-1) + 0(-4) = -1

Quick checkپشکنینی خێراFor

A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 4 & -1 \end{bmatrix}

, what is the cofactor

C_{22}

?بۆ

A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 4 & -1 \end{bmatrix}

،

C_{22}

چەندە؟

1

1

-1

-1

4

4

Expanding a $3 \times 3$ determinantکردنەوەی دیتەرمینانتێکی $3 \times 3$

The value of a determinant is the sum of the entries of one row, each multiplied by its own cofactor. Along the first row of a $3 \times 3$ matrix:

نرخی کۆی ژمارەکانی ڕیزێکە کە هەریەکەیان لە خۆی دراوە. بە درێژایی ڕیزی یەکەمی $3 \times 3$ :

|A| = a_{11}C_{11} + a_{12}C_{12} + a_{13}C_{13} = a_{11}M_{11} - a_{12}M_{12} + a_{13}M_{13}

The notes' example: $B = \begin{bmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 10 & 0 & 4 \\ 6 & 3 & 5 \end{bmatrix}$ . All nine minors and cofactors:

نموونەی تێبینییەکان: $B = \begin{bmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 10 & 0 & 4 \\ 6 & 3 & 5 \end{bmatrix}$ . هەموو نۆ و :

M = \begin{bmatrix} -12 & 26 & 30 \\ -1 & 3 & 3 \\ 4 & -8 & -10 \end{bmatrix}, \qquad C = \begin{bmatrix} -12 & -26 & 30 \\ 1 & 3 & -3 \\ 4 & 8 & -10 \end{bmatrix}

|B| = 3(-12) + 1(-26) + 2(30) = -36 - 26 + 60 = -2

Quick checkپشکنینی خێراIn the expansion along row 1, which term goes with the entry 1 of

B

?لە کردنەوە بە درێژایی ڕیزی 1دا، کام بڕ لەگەڵ ژمارەی 1ی

B

دێت؟

1 \cdot M_{12} = 26

1 \cdot M_{12} = 26

1 \cdot C_{11} = -12

1 \cdot C_{11} = -12

1 \cdot C_{12} = -26

1 \cdot C_{12} = -26

Matrices | Determinant of a Matrix (Part 3) | Don't MemoriseSri Chaitanya Academy NEET (formerly Don't Memorise) · Englishئینگلیزی · 223K viewsبینین · 3.5K likesلایک
Step by step: the determinant of a 3×3 matrix by expanding along the first row, each entry times its signed 2×2 minor.
هەنگاو بە هەنگاو: $3 \times 3$ بە کردنەوە بە درێژایی ڕیزی یەکەم؛ هەر ژمارەیەک لە $2 \times 2$ خۆی لێک دەدرێت، بە هێمای + یان −.
Chapters: 0:34 how to find the determinant of a 3×3 matrix, 2:59 the steps summarised.
بەشەکان: ⁦0:34⁩ چۆن $3 \times 3$ دەدۆزیتەوە، ⁦2:59⁩ کورتەی هەنگاوەکان.

Watch an expansion with a running totalسەیری کردنەوەیەک بکە لەگەڵ کۆی تا ئێستا

The animation expands the notes' $A = \begin{bmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 3 & 0 & -2 \\ 1 & -1 & 3 \end{bmatrix}$ along row 1. For each entry it greys out that entry's row and column, lights up the $2 \times 2$ minor, adds the chessboard sign and puts the term into a running total.

ئەم وێنە جووڵاوە $A = \begin{bmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 3 & 0 & -2 \\ 1 & -1 & 3 \end{bmatrix}$ ی تێبینییەکان بە درێژایی ڕیزی 1 دەکاتەوە. بۆ هەر ژمارەیەک ڕیز و ستوونەکەی خۆڵەمێشی دەکات، $2 \times 2$ ڕووناک دەکاتەوە، هێمای تەختەی شەترەنج زیاد دەکات و بڕەکە دەخاتە سەر کۆی تا ئێستا.

The 3 by 3 matrix A with rows −1, 2, 0 / 3, 0, −2 / 1, −1, 3 and a running-total box at 0. First entry −1: row 1 and column 1 turn grey, the minor with rows 0, −2 / −1, 3 lights up, its value is −2, the sign is plus, and the term (−1)(−2) = 2 makes the total 2. Second entry 2: the minor 3, −2 / 1, 3 has value 11, the sign is minus, the term is −22 and the total becomes −20. Third entry 0: the minor 3, 0 / 1, −1 is −3, the sign is plus, but 0 times anything is 0, so the total stays −20. Last frame: det A = 2 − 22 + 0 = −20. — Cofactor expansion along row 1: three minors, three signs, one total.کردنەوە بە بە درێژایی ڕیزی 1: سێ ، سێ هێما، یەک کۆ.CêIT

|A| = (-1)\begin{vmatrix} 0 & -2 \\ -1 & 3 \end{vmatrix} - (2)\begin{vmatrix} 3 & -2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} + (0)\begin{vmatrix} 3 & 0 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = (-1)(-2) - 2(11) + 0 = -20

Any row or column gives the same answerهەر ڕیز یان ستوونێک هەمان وەڵام دەدات

You may expand along any row or any column — the answer is always the same. Here is $|B|$ from the previous screen, expanded six ways with its cofactors $C$ :

دەتوانیت بە درێژایی هەر ڕیزێک یان هەر ستوونێک بیکەیتەوە — وەڵامەکە هەمیشە یەکە. ئەمە $|B|$ ی شاشەی پێشووە کە بە شەش ڕێگە بە $C$ کراوەتەوە:

Six expansions of the same determinantشەش کردنەوەی هەمان
Alongبە درێژایی	Entries × cofactorsژمارەکان ×	Totalکۆ
row 1ڕیزی 1	$3(-12) + 1(-26) + 2(30)$	$-2$
row 2ڕیزی 2	$10(1) + 0(3) + 4(-3)$	$-2$
row 3ڕیزی 3	$6(4) + 3(8) + 5(-10)$	$-2$
column 1ستوونی 1	$3(-12) + 10(1) + 6(4)$	$-2$
column 2ستوونی 2	$1(-26) + 0(3) + 3(8)$	$-2$
column 3ستوونی 3	$2(30) + 4(-3) + 5(-10)$	$-2$

So choose the row or column with the most zeros: every 0 entry kills its whole term, so you need fewer minors. Column 2 of $B$ has a 0, and its expansion needs only two $2 \times 2$ determinants. (The sign pattern still comes from the chessboard: column 2 starts with $-$ .)

کەواتە ئەو ڕیز یان ستوونە هەڵبژێرە کە زۆرترین سفری هەیە: هەر ژمارەیەکی 0 هەموو بڕەکەی دەکوژێت، بۆیە کەمترت پێویست دەبێت. ستوونی 2ی $B$ 0ـێکی هەیە و کردنەوەکەی تەنها دوو $2 \times 2$ ی پێویستە. (نەخشی هێماکان هێشتا لە تەختەی شەترەنجەوە دێت: ستوونی 2 بە $-$ دەست پێدەکات.)

Quick checkپشکنینی خێراTo find

\begin{vmatrix} 4 & 7 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 5 & 3 & 6 \end{vmatrix}

with the least work, which line should you expand along?بۆ دۆزینەوەی

\begin{vmatrix} 4 & 7 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \\ 5 & 3 & 6 \end{vmatrix}

بە کەمترین کار، بە درێژایی کام هێڵ بیکەیتەوە؟Row 1ڕیزی 1Column 3ستوونی 3Row 2ڕیزی 2

A shortcut for $3 \times 3$ only: the rule of Sarrusڕێگەیەکی کورت تەنها بۆ $3 \times 3$ : یاسای ساروس

For a $3 \times 3$ determinant there is a quick pattern. Copy the first two columns to the right of the matrix. Add the three products going down to the right, then subtract the three products going up to the right. The notes' second order-three example:

بۆ $3 \times 3$ نەخشێکی خێرا هەیە. دوو ستوونی یەکەم لە لای ڕاستی کۆپی بکە. سێ لێکدراوی بەرەو خوارەوەی ڕاست کۆ بکەرەوە، پاشان سێ لێکدراوی بەرەو سەرەوەی ڕاست دەربکە. دووەم نموونەی پلە-سێی تێبینییەکان:

\left|\begin{matrix} 5 & 3 & -4 \\ 2 & -2 & 6 \\ 7 & -1 & 0 \end{matrix}\right| \begin{matrix} 5 & 3 \\ 2 & -2 \\ 7 & -1 \end{matrix}

\begin{aligned} \searrow\; & (5)(-2)(0) + (3)(6)(7) + (-4)(2)(-1) = 0 + 126 + 8 = 134 \\ \nearrow\; & (-4)(-2)(7) + (5)(6)(-1) + (3)(2)(0) = 56 - 30 + 0 = 26 \\ \det B &= 134 - 26 = 108 \end{aligned}

Sarrus does not work for

4 \times 4

یاسای ساروس بۆ

4 \times 4

کار ناکات

The diagonal pattern is a special fact about $3 \times 3$ matrices. For a $4 \times 4$ determinant, copying columns and multiplying diagonals gives a wrong answer. Use cofactor expansion (next screen), or the shortcut of the next lesson: make it triangular.

نەخشی تیرەکان تایبەتمەندییەکی تایبەتی $3 \times 3$ ـە. بۆ $4 \times 4$ ، کۆپیکردنی ستوونەکان و لێکدانی تیرەکان وەڵامێکی هەڵە دەدات. کردنەوە بە بەکاربهێنە (شاشەی داهاتوو)، یان ڕێگە کورتەکەی وانەی داهاتوو: بیکە بە سێگۆشەیی.

Quick checkپشکنینی خێراUse Sarrus on the notes' first example

\begin{vmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 3 & 0 & -2 \\ 1 & -1 & 3 \end{vmatrix}

. What do you get?یاسای ساروس لەسەر یەکەم نموونەی تێبینییەکان

\begin{vmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 3 & 0 & -2 \\ 1 & -1 & 3 \end{vmatrix}

بەکاربهێنە. چی دەردەچێت؟

-20

-20

20

20

-4

-4

A $4 \times 4$ determinantدیتەرمینانتێکی $4 \times 4$

The notes ask for the determinant of

تێبینییەکان داوای ئەمە دەکەن:

A = \begin{bmatrix} 5 & 3 & -2 & 4 \\ 8 & 2 & 0 & 7 \\ 0 & 0 & -6 & 0 \\ -9 & -3 & 2 & 1 \end{bmatrix}

Row 3 is $(0, 0, -6, 0)$ : three zeros. Expanding along row 3 leaves a single term, the entry $-6$ in place (3, 3) with the sign $(-1)^{3+3} = +1$ :

ڕیزی 3 بریتییە لە $(0, 0, -6, 0)$ : سێ سفر. کردنەوە بە درێژایی ڕیزی 3 تەنها یەک بڕ دەهێڵێتەوە، ژمارەی $-6$ لە شوێنی (⁦3⁩، ⁦3⁩) بە هێمای $(-1)^{3+3} = +1$ :

|A| = (-6)\cdot(+1)\cdot M_{33}, \qquad M_{33} = \begin{vmatrix} 5 & 3 & 4 \\ 8 & 2 & 7 \\ -9 & -3 & 1 \end{vmatrix}

\begin{aligned} M_{33} &= 5\begin{vmatrix} 2 & 7 \\ -3 & 1 \end{vmatrix} - 3\begin{vmatrix} 8 & 7 \\ -9 & 1 \end{vmatrix} + 4\begin{vmatrix} 8 & 2 \\ -9 & -3 \end{vmatrix} \\ &= 5(2 + 21) - 3(8 + 63) + 4(-24 + 18) = 115 - 213 - 24 = -122 \\ |A| &= (-6)(-122) = 732 \end{aligned}

In computing: why computers do not expandلە کۆمپیوتەردا: بۆچی کۆمپیوتەر کردنەوە بەکارناهێنێت

Expansion grows like

n!

کردنەوە وەک

n!

گەورە دەبێت

Cofactor expansion of an $n \times n$ determinant splits into $n$ determinants of size $n - 1$ , each of those into $n - 1$ more, and so on: about $n!$ products. That is 24 for $4 \times 4$ , but $3\,628\,800$ for $10 \times 10$ . Computers (and MATLAB's det, see Linear algebra in one word) first turn the matrix into a triangular one with , which takes only about $n^3$ steps — that method is The method: make it triangular. Because computers round, a determinant that should be 0 can come out as a tiny number such as $10^{-16}$ : see A determinant that should be 0. Expansion stays the best tool by hand and for rows full of zeros.

کردنەوەی $n \times n$ بە دەبێتە $n$ بە قەبارەی $n - 1$ ، هەریەکەیان دەبێتە $n - 1$ ی تر و بەم شێوەیە: نزیکەی $n!$ لێکدان. بۆ $4 \times 4$ ئەمە ⁦24⁩ـە، بەڵام بۆ $10 \times 10$ دەکاتە $3\,628\,800$ . (و detـی MATLAB، بڕوانە جەبری هێڵی بە یەک وشە) سەرەتا بە دەکەنە سێگۆشەیی کە تەنها نزیکەی $n^3$ هەنگاوی پێویستە — ئەو ڕێگەیە ڕێگەکە: بیکە بە سێگۆشەییـە. چونکە ژمارەکان نزیک دەکاتەوە، کە دەبوو 0 بێت دەشێت وەک ژمارەیەکی زۆر بچووکی وەک $10^{-16}$ دەربچێت: بڕوانە دیتەرمینانتێک کە دەبوو 0 بێت. کردنەوە باشترین ئامراز دەمێنێتەوە بە دەست و بۆ ڕیزی پڕ لە سفر.

Common mistakesهەڵە باوەکان

Mistakeهەڵە	What is trueڕاستییەکە
$\|[-5]\| = 5$ $\|[-5]\| = 5$	For a matrix the bars mean determinant: $\|[-5]\| = -5$ .بۆ هێڵەکان واتە : $\|[-5]\| = -5$ .
$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad + bc$ or $bc - ad$ $\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad + bc$ یان $bc - ad$	Down minus up: $ad - bc$ .خوارەوە کەم سەرەوە: $ad - bc$ .
Using minors without their signs.بەکارهێنانی بێ هێماکانیان.	Multiply by the chessboard sign $(-1)^{i+j}$ first.سەرەتا لە هێمای تەختەی شەترەنج $(-1)^{i+j}$ بیدە.
Thinking the sign depends on the entry (“a negative entry gets $-$ ”).پێتوابێت هێماکە پەیوەندی بە ژمارەکەوە هەیە (« $-$ وەردەگرێت»).	The sign depends only on the place $(i, j)$ .هێماکە تەنها پەیوەندی بە شوێنی $(i, j)$ ـەوە هەیە.
Using Sarrus' diagonals on a $4 \times 4$ matrix.بەکارهێنانی تیرەکانی ساروس لەسەر $4 \times 4$ .	Sarrus is for $3 \times 3$ only; expand by cofactors instead.ساروس تەنها بۆ $3 \times 3$ ـە؛ لە جیاتی ئەوە بە بیکەرەوە.
Expanding along a row full of non-zero entries when a row of zeros is available.کردنەوە بە درێژایی ڕیزێکی پڕ لە ژمارەی ناسفر کاتێک ڕیزێکی پڕ لە سفر هەیە.	Any row or column gives the same answer — pick the one with the most zeros.هەر ڕیز یان ستوونێک هەمان وەڵام دەدات — ئەوەیان هەڵبژێرە کە زۆرترین سفری هەیە.

Exercisesڕاهێنانەکان

ExerciseڕاهێنانExercise 1: the notes' first

3 \times 3

ڕاهێنانی 1: یەکەم دیتەرمینانتی

3 \times 3

ی تێبینییەکان

Find $\begin{vmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 3 & 0 & -2 \\ 1 & -1 & 3 \end{vmatrix}$ by expanding along column 2.

$\begin{vmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 3 & 0 & -2 \\ 1 & -1 & 3 \end{vmatrix}$ بدۆزەرەوە بە کردنەوە بە درێژایی ستوونی 2.

Hintئاماژە

Column 2 is $(2, 0, -1)$ with signs $-, +, -$ .

ستوونی 2 $(2, 0, -1)$ ـە بە هێماکانی $-, +, -$ .

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

-2\begin{vmatrix} 3 & -2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} + 0 - (-1)\begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 3 & -2 \end{vmatrix} = -2(11) + 0 + (2) = -20

ExerciseڕاهێنانExercise 2: a

3 \times 3

homeworkڕاهێنانی 2: ئەرکی ماڵەوەی

3 \times 3

Find $\det\begin{bmatrix} 3 & -1 & 1 \\ -15 & 6 & -5 \\ 5 & -2 & 2 \end{bmatrix}$ .

$\det\begin{bmatrix} 3 & -1 & 1 \\ -15 & 6 & -5 \\ 5 & -2 & 2 \end{bmatrix}$ بدۆزەرەوە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

3\begin{vmatrix} 6 & -5 \\ -2 & 2 \end{vmatrix} - (-1)\begin{vmatrix} -15 & -5 \\ 5 & 2 \end{vmatrix} + 1\begin{vmatrix} -15 & 6 \\ 5 & -2 \end{vmatrix} = 3(2) + (-5) + 0 = 1

ExerciseڕاهێنانExercise 3: a

4 \times 4

homeworkڕاهێنانی 3: ئەرکی ماڵەوەی

4 \times 4

Find the determinant of the $4 \times 4$ matrix $\begin{bmatrix} 2 & 5 & -3 & -2 \\ -2 & -3 & 2 & -5 \\ 1 & 3 & -2 & 0 \\ -1 & 6 & 4 & 0 \end{bmatrix}$ .

$4 \times 4$ ی $\begin{bmatrix} 2 & 5 & -3 & -2 \\ -2 & -3 & 2 & -5 \\ 1 & 3 & -2 & 0 \\ -1 & 6 & 4 & 0 \end{bmatrix}$ بدۆزەرەوە.

Hintئاماژە

Look for the column with two zeros.

بەدوای ئەو ستوونەدا بگەڕێ کە دوو سفری هەیە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

Column 4 is $(-2, -5, 0, 0)$ with signs $-, +, -, +$ , so only two terms remain:

ستوونی 4 $(-2, -5, 0, 0)$ ـە بە هێماکانی $-, +, -, +$ ، بۆیە تەنها دوو بڕ دەمێننەوە:

\begin{aligned} |A| &= (-2)\cdot(-1)\begin{vmatrix} -2 & -3 & 2 \\ 1 & 3 & -2 \\ -1 & 6 & 4 \end{vmatrix} + (-5)\cdot(+1)\begin{vmatrix} 2 & 5 & -3 \\ 1 & 3 & -2 \\ -1 & 6 & 4 \end{vmatrix} \\ &= 2(-24) - 5(11) = -48 - 55 = -103 \end{aligned}

ExerciseڕاهێنانExercise 4: a new

3 \times 3

ڕاهێنانی 4: دیتەرمینانتێکی

3 \times 3

ی نوێ

Find $\begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 3 & -1 & 4 \\ 0 & 5 & 2 \end{vmatrix}$ twice: by expansion and by Sarrus.

$\begin{vmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 3 & -1 & 4 \\ 0 & 5 & 2 \end{vmatrix}$ دوو جار بدۆزەرەوە: بە کردنەوە و بە یاسای ساروس.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

2(-2 - 20) - 0 + 1(15 - 0) = -44 + 15 = -29

(-4 + 0 + 15) - (0 + 40 + 0) = 11 - 40 = -29

ExerciseڕاهێنانExercise 5: when is it zero?ڕاهێنانی 5: کەی سفرە؟

For which $x$ is $\begin{vmatrix} x & 2 \\ 3 & x - 1 \end{vmatrix} = 0$ ?

$x$ چەند بێت بۆ ئەوەی $\begin{vmatrix} x & 2 \\ 3 & x - 1 \end{vmatrix} = 0$ بێت؟

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

x(x - 1) - 6 = x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2) = 0 \;\Rightarrow\; x \in \{3,\ -2\}

ExerciseڕاهێنانExercise 6: a

4 \times 4

with three zeros in one columnڕاهێنانی 6: دیتەرمینانتێکی

4 \times 4

بە سێ سفر لە یەک ستووندا

Find $\begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 4 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 5 \end{vmatrix}$ .

$\begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 & 0 \\ 3 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 4 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 5 \end{vmatrix}$ بدۆزەرەوە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

5 \cdot (-1)^{4+4}\begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 3 & 2 & -1 \\ 0 & 4 & 1 \end{vmatrix} = 5\,[1(2 + 4) - 0 + 2(12 - 0)] = 5 \cdot 30 = 150

ExerciseڕاهێنانExercise 7: spot the mistakeڕاهێنانی 7: هەڵەکە بدۆزەرەوە

Soran wrote $\begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 2(6 - 1) + 1(2 - 0) + 0 = 12$ . Find the mistake and the correct value.

سۆران نووسی $\begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 2(6 - 1) + 1(2 - 0) + 0 = 12$ . هەڵەکە و نرخە ڕاستەکە بدۆزەرەوە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

He forgot the minus sign of the middle cofactor $C_{12}$ . Correct: $2(5) - 1(2) + 0 = 8$ .

هێمای سالبی ناوەڕاست $C_{12}$ ی لەبیر کرد. ڕاست: $2(5) - 1(2) + 0 = 8$ .

Summaryپوختە

Only square matrices have a determinant, written $\det A$ or $|A|$ ; $\det A \ne 0$ exactly when $A$ has an inverse.
$|[a]| = a$ (so $|[-2]| = -2$ : not an absolute value); $\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$ .
A $2 \times 2$ matrix multiplies areas by $|\det|$ ; a negative determinant also flips, 0 flattens.
Minor $M_{ij}$ : delete row $i$ and column $j$ . Cofactor $C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}$ (chessboard signs).
Expand along any row or column — same answer; pick the one with the most zeros (the notes' $4 \times 4$ : 732).
Sarrus' diagonals work for $3 \times 3$ only.

تەنها هەیە کە بە $\det A$ یان $|A|$ دەنووسرێت؛ $\det A \ne 0$ ڕێک کاتێک کە $A$ پێچەوانەی هەبێت.
$|[a]| = a$ (بۆیە $|[-2]| = -2$ : نییە)؛ $\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc$ .
$2 \times 2$ ڕووبەرەکان لە $|\det|$ دەدات؛ سالب هەڵیشیدەگەڕێنێتەوە، 0 دەیپلیشێنێتەوە.
$M_{ij}$ : ڕیزی $i$ و ستوونی $j$ بسڕەوە. $C_{ij} = (-1)^{i+j}M_{ij}$ (هێماکانی تەختەی شەترەنج).
بە درێژایی هەر ڕیز یان ستوونێک بیکەرەوە — هەمان وەڵام؛ ئەوەیان هەڵبژێرە کە زۆرترین سفری هەیە ( $4 \times 4$ ـەکەی تێبینییەکان: ⁦732⁩).
تیرەکانی ساروس تەنها بۆ $3 \times 3$ کار دەکەن.

Review questionsپرسیارەکانی پێداچوونەوە

Why is

|[-2]|

equal to

-2

and not 2?بۆچی

|[-2]|

یەکسانە بە

-2

نەک 2؟

Because the bars around a matrix mean determinant, and the determinant of $[a]$ is $a$ itself.

چونکە هێڵەکان بە دەوری واتە و $[a]$ خودی $a$ ـیە.

Which row should you expand along?بە درێژایی کام ڕیز بیکەیتەوە؟

Any row or column gives the same value; the one with the most zeros is the least work.

هەر ڕیز یان ستوونێک هەمان نرخ دەدات؛ ئەوەی زۆرترین سفری هەیە کەمترین کاری هەیە.

Next in this chapter: Properties of Determinants — rules that make big determinants quick.

دواتر لەم بەشەدا: تایبەتمەندییەکانی دیتەرمینانت — یاساگەلێک کە گەورەکان خێرا دەکەن.

Lesson complete!وانەکە تەواو بوو!

Well done. Review the key terms, then go on to the next lesson.دەستخۆش. سەیرێکی زاراوە سەرەکییەکان بکەرەوە، پاشان بڕۆ بۆ وانەی داهاتوو.

Key termsزاراوە سەرەکییەکان

Next lessonوانەی داهاتوو

Properties of Determinantsتایبەتمەندییەکانی دیتەرمینانت

Related lecturesوانە پەیوەندیدارەکان

References and further readingسەرچاوەکان و خوێندنەوەی زیاتر

This lecture is a first edition. The Kurdish text and terminology are waiting for review by Kurdish IT teachers.ئەم وانەیە چاپی یەکەمە. دەقە کوردییەکە و زاراوەکانی چاوەڕێی پێداچوونەوەی مامۆستایانی کوردی بواری IT ن.

Determinants, Minors and Cofactorsدیتەرمینانتەکان، ماینەرەکان و کۆفاکتەرەکان

What you will learnچی فێر دەبیت

What a determinant isدیتەرمینانت چییە

A 1×11 \times 11×1 matrix: the bars are not absolute valueماتریکسێکی 1×11 \times 11×1: هێڵەکان نرخی ڕووت نین

A 2×22 \times 22×2 matrix: ad−bcad - bcad−bcماتریکسێکی 2×22 \times 22×2: ad−bcad - bcad−bc

Areas are multiplied by the determinantڕووبەرەکان لە دیتەرمینانت دەدرێن

Minors and cofactorsماینەرەکان و کۆفاکتەرەکان

The notes' first example: a 2×22 \times 22×2یەکەم نموونەی تێبینییەکان: ماتریکسێکی 2×22 \times 22×2

Expanding a 3×33 \times 33×3 determinantکردنەوەی دیتەرمینانتێکی 3×33 \times 33×3

Watch an expansion with a running totalسەیری کردنەوەیەک بکە لەگەڵ کۆی تا ئێستا

Any row or column gives the same answerهەر ڕیز یان ستوونێک هەمان وەڵام دەدات

A shortcut for 3×33 \times 33×3 only: the rule of Sarrusڕێگەیەکی کورت تەنها بۆ 3×33 \times 33×3: یاسای ساروس

A 4×44 \times 44×4 determinantدیتەرمینانتێکی 4×44 \times 44×4

In computing: why computers do not expandلە کۆمپیوتەردا: بۆچی کۆمپیوتەر کردنەوە بەکارناهێنێت

Common mistakesهەڵە باوەکان

Exercisesڕاهێنانەکان

Summaryپوختە

Lesson complete!وانەکە تەواو بوو!

Key termsزاراوە سەرەکییەکان

Related lecturesوانە پەیوەندیدارەکان

A $1 \times 1$ matrix: the bars are not absolute valueماتریکسێکی $1 \times 1$ : هێڵەکان نرخی ڕووت نین

A $2 \times 2$ matrix: $ad - bc$ ماتریکسێکی $2 \times 2$ : $ad - bc$

The notes' first example: a $2 \times 2$ یەکەم نموونەی تێبینییەکان: ماتریکسێکی $2 \times 2$

Expanding a $3 \times 3$ determinantکردنەوەی دیتەرمینانتێکی $3 \times 3$

A shortcut for $3 \times 3$ only: the rule of Sarrusڕێگەیەکی کورت تەنها بۆ $3 \times 3$ : یاسای ساروس

A $4 \times 4$ determinantدیتەرمینانتێکی $4 \times 4$