Absolute Value Equations and Inequalitiesهاوکێشەکان و لاسەنگەکانی نرخی ڕووت

In Absolute value you learned to read $|x - c|$ as the distance from $x$ to $c$. That one idea solves this whole lesson. With centre 3 and distance 2:

لە نرخی ڕووت فێربوویت $|x - c|$ وەک دووریی $x$ لە $c$ـەوە بخوێنیتەوە. ئەم یەک بیرۆکەیە هەموو ئەم وانەیە شیکار دەکات. بە ناوەڕاستی 3 و دووریی 2:

Let $r$ be a positive real number ($r \in \mathbb{R}^+$) and $x$ any real number. The course states this theorem without proof:

با $r$ ژمارەیەکی ڕاستی (Real number) موجەب بێت ($r \in \mathbb{R}^+$) و $x$ هەر ژمارەیەکی ڕاستی بێت. وانەکە ئەم سەلمێنراوە بەبێ سەلماندن (Proof) دەڵێت:

Why it is true (the proof the course leaves out): $|x|$ is the distance from $x$ to 0. A distance of exactly $r$ gives the two points $\pm r$. A distance less than $r$ keeps $x$ between $-r$ and $r$. A distance more than $r$ puts $x$ beyond $-r$ on the left or beyond $r$ on the right.

بۆچی ڕاستە (ئەو سەلماندنەی وانەکە بەجێی دەهێڵێت): $|x|$ دووریی $x$ـە لە سفرەوە. دوورییەکی ڕێک $r$ دوو خاڵی $\pm r$ دەدات. دوورییەکی کەمتر لە $r$ $x$ لە نێوان $-r$ و $r$ـدا دەهێڵێتەوە. دوورییەکی زیاتر لە $r$ $x$ دەباتە ئەودیوی $-r$ لە چەپ یان ئەودیوی $r$ لە ڕاست.

The same holds with $\le$ and $\ge$; the edges are then included. All five forms:

هەمان شت بۆ $\le$ و $\ge$ ڕاستە؛ ئەوکات لێوارەکانیش دەچنە ناو وەڵامەکەوە. هەر پێنج شێوەکە:

The $x$ in the theorem may be any expression. For example $|2x + 3| > 5$ means $2x + 3 < -5$ or $2x + 3 > 5$.

$x$ـی ناو سەلمێنراوەکە دەشێت هەر دەربڕینێک (Expression) بێت. بۆ نموونە $|2x + 3| > 5$ واتە $2x + 3 < -5$ یان $2x + 3 > 5$.

The theorem asks for $r > 0$. The other cases are quick, because an absolute value is never negative:

سەلمێنراوەکە داوای $r > 0$ دەکات. حاڵەتەکانی تر خێران، چونکە نرخی ڕووت هەرگیز سالب نییە:

Example 1. Solve $|x - 3| < 2$.

نموونەی 1. $|x - 3| < 2$ شیکار بکە.

Solution set: $(1, 5)$. Check one number inside and one outside: $x = 4.5$ gives $|1.5| < 2$ ✓; $x = 0$ gives $|-3| = 3$, not less than 2 ✗.

کۆمەڵەی شیکار: $(1, 5)$. ژمارەیەک لە ناوەوە و یەکێک لە دەرەوە بپشکنە: $x = 4.5$ دەداتە $|1.5| < 2$ ✓؛ $x = 0$ دەداتە $|-3| = 3$ کە لە 2 کەمتر نییە ✗.

Example 3. Solve $|3x - 4| < 2$.

نموونەی 3. $|3x - 4| < 2$ شیکار بکە.

Solution set: $\left(\tfrac23, 2\right)$. To place $\tfrac23$ on the number line, the lecturer does a small long division in the margin: $2 \div 3 = 0.666\ldots$, so $\tfrac23$ sits two thirds of the way from 0 to 1.

کۆمەڵەی شیکار: $\left(\tfrac23, 2\right)$. بۆ دانانی $\tfrac23$ لەسەر هێڵی ژمارەکان، مامۆستاکە لە پەراوێزدا دابەشکردنێکی درێژی بچووک دەکات: $2 \div 3 = 0.666\ldots$، بۆیە $\tfrac23$ لە دوو لەسەر سێی ڕێگای نێوان 0 و 1دایە.

A distance greater than $r$ cannot be written as one chain. It splits into two separate pieces joined by or; solve each piece on its own.

دوورییەکی زیاتر لە $r$ ناتوانرێت وەک یەک زنجیرە بنووسرێت. دەبێتە دوو پارچەی جیا کە بە یان پێکەوە دەبەسترێن؛ هەر پارچەیەک بە جیا شیکار بکە.

Example 2. Solve $|2x + 3| > 5$.

نموونەی 2. $|2x + 3| > 5$ شیکار بکە.

Solution set: $(-\infty, -4) \cup (1, \infty)$. The symbol $\cup$ (union) joins the two pieces: a number is a solution if it lies in either one — see Intervals.

کۆمەڵەی شیکار: $(-\infty, -4) \cup (1, \infty)$. هێمای $\cup$ (یەکگرتن) دوو پارچەکە پێکەوە دەبەستێت: ژمارەیەک شیکارە ئەگەر لە یەکێکیاندا بێت — بڕوانە ماوەکان.

Example 9. Solve the equation $|2x - 3| = 7$. By case 1 of the theorem the inside is either $7$ or $-7$:

نموونەی 9. هاوکێشەکە $|2x - 3| = 7$ شیکار بکە. بەپێی حاڵەتی 1ی سەلمێنراوەکە، ناوەوە یان $7$ـە یان $-7$:

Solution set: $\{-2, 5\}$ (the answer sheet lists it as $\{5, -2\}$ — the same set, since order does not matter). Here braces are correct: the answer is two single numbers, not an interval. Check: $|2 \cdot 5 - 3| = 7$ ✓ and $|2(-2) - 3| = |-7| = 7$ ✓.

کۆمەڵەی شیکار: $\{-2, 5\}$ (پەڕەی وەڵامەکان وەک $\{5, -2\}$ دەینووسێت — هەمان کۆمەڵە، چونکە ڕیزبەندی گرنگ نییە). لێرەدا کەوانەی کۆمەڵە دروستە: وەڵامەکە دوو ژمارەی تاکە، نەک ماوەیەک. پشکنین: $|2 \cdot 5 - 3| = 7$ ✓ و $|2(-2) - 3| = |-7| = 7$ ✓.

The distance picture works here too: $|2x - 3| = 2\left|x - \tfrac32\right| = 7$ means $\left|x - \tfrac32\right| = \tfrac72$: the two numbers at distance 3.5 from 1.5, which are $-2$ and 5.

وێنەی دوورییەکەش لێرەدا کار دەکات: $|2x - 3| = 2\left|x - \tfrac32\right| = 7$ واتە $\left|x - \tfrac32\right| = \tfrac72$: ئەو دوو ژمارەیەی بە دووریی ⁦3.5⁩ لە ⁦1.5⁩ـەوەن، کە $-2$ و 5ن.

Example 8 (homework on the slide). Solve $\tfrac19 < x^2 < \tfrac14$. There are no bars yet — they appear when we take square roots. All three parts are $\ge 0$, and the square root keeps the order of non-negative numbers (rule 10), so we may take the square root of each part. Remember $\sqrt{x^2} = |x|$:

نموونەی 8 (ئەرکی ماڵەوە لە سلایدەکەدا). $\tfrac19 < x^2 < \tfrac14$ شیکار بکە. هێشتا هێڵ نییە — کاتێک ڕەگ وەردەگرین دەردەکەون. هەر سێ بەشەکە $\ge 0$ن و ڕەگی دووجا (Square root) ڕیزبەندیی ژمارە نا-سالبەکان دەپارێزێت (یاسای ⁦10⁩)، بۆیە دەتوانین ڕەگی هەر بەشێک وەربگرین. لەبیرت بێت $\sqrt{x^2} = |x|$:

So the distance from $x$ to 0 is between $\tfrac13$ and $\tfrac12$. That happens on the right, $\tfrac13 < x < \tfrac12$, or on the left, $-\tfrac12 < x < -\tfrac13$.

کەواتە دووریی $x$ لە سفرەوە لە نێوان $\tfrac13$ و $\tfrac12$دایە. ئەمە لە لای ڕاست ڕوودەدات، $\tfrac13 < x < \tfrac12$، یان لە لای چەپ، $-\tfrac12 < x < -\tfrac13$.

Solution set: $\left(-\tfrac12, -\tfrac13\right) \cup \left(\tfrac13, \tfrac12\right)$. Check a negative number: $x = -0.4$ gives $x^2 = 0.16$, and $0.111\ldots < 0.16 < 0.25$ ✓. Another way to see it: $\tfrac13 < |x| < \tfrac12$ means $|x| > \tfrac13$ and $|x| < \tfrac12$ — the overlap of two familiar pictures.

کۆمەڵەی شیکار: $\left(-\tfrac12, -\tfrac13\right) \cup \left(\tfrac13, \tfrac12\right)$. ژمارەیەکی سالب بپشکنە: $x = -0.4$ دەداتە $x^2 = 0.16$ و $0.111\ldots < 0.16 < 0.25$ ✓. ڕێگایەکی تری بینین: $\tfrac13 < |x| < \tfrac12$ واتە $|x| > \tfrac13$ و $|x| < \tfrac12$ — بەشە هاوبەشەکەی دوو وێنەی ناسراو.