Kinds of Functions: Polynomial, Algebraic and Transcendentalجۆرەکانی نەخشە: ڕادەدار، جەبری و ناجەبری

The notes sort functions into two groups: algebraic functions and transcendental functions. Knowing the family of a function tells you a lot before you calculate anything: what its graph roughly looks like, which numbers its domain must leave out, and which rules you may use on it.

تێبینییەکانی وانەکە نەخشەکان دەکەنە دوو گرووپ: نەخشە جەبرییەکان و نەخشە ناجەبرییەکان. ئەگەر بزانیت نەخشەیەک سەر بە کام خێزانە، پێش هەر ژماردنێک زۆر شت دەزانیت: هێڵکاریی نەخشەکەی (Graph of a function) نزیکەی چۆنە، بوارەکەی (Domain) دەبێت کام ژمارانە دەربهێنێت و کام یاسایانەی لەسەر بەکار دەهێنرێت.

An algebraic function is built from the independent variable x with a finite number of steps, using only the four basic operations $+,\ -,\ \times,\ \div$, powers and roots. Examples: $x^2+1$, $\frac{1}{x}$, $\sqrt{4-x^2}$, $\sqrt[3]{5x-2}$.

نەخشەی جەبری لە گۆڕاوە سەربەخۆکەی (Independent variable) x بە ژمارەیەکی سنووردار هەنگاو دروست دەکرێت و تەنها کۆکردنەوە، لێدەرکردن، لێکدان و دابەشکردن ($+,\ -,\ \times,\ \div$) لەگەڵ توانەکان (Exponent) و ڕەگەکان بەکار دەهێنێت. نموونە: $x^2+1$، $\frac{1}{x}$، $\sqrt{4-x^2}$، $\sqrt[3]{5x-2}$.

The simplest algebraic functions are the polynomials. A function $f:X\to Y$ is a polynomial of degree n if it can be written as

سادەترین نەخشە جەبرییەکان ڕادەدارەکانن. نەخشەکە $f:X\to Y$ ڕادەدارێک بە پلەی nـە ئەگەر بتوانرێت بەم شێوەیە بنووسرێت

Example: in $4x^3-5x^2+2x+7$ the degree is 3, the coefficients are 4, −5, 2 and 7, and the leading coefficient is 4. Why must $a_n\ne0$? If it were 0, the highest term would disappear and the degree would be smaller. A polynomial does not have to look like the formula: $(2x+1)^2$ multiplies out to $4x^2+4x+1$, a polynomial of degree 2.

نموونە: لە $4x^3-5x^2+2x+7$ـدا پلەکە 3ـە، هاوکۆلکەکان $4$، $-5$، $2$ و $7$ن و هاوکۆلکەی سەرەکی 4ـە. بۆچی دەبێت $a_n\ne0$ بێت؟ ئەگەر 0 بوایە، بەرزترین بڕ نەدەما و پلەکە بچووکتر دەبوو. پێویست ناکات ڕادەدار ڕووکەشی وەک فۆرمولەکە بێت: $(2x+1)^2$ کە دەیکەینەوە دەبێتە $4x^2+4x+1$، ڕادەدارێک بە پلەی 2.

Every polynomial is defined for all real numbers: no division by x and no roots means nothing to exclude. The graphs of the first few kinds are drawn in Graphs of basic functions.

هەموو ڕادەدارێک بۆ هەموو ژمارە ڕاستییەکان (Real number) پێناسە کراوە: نە دابەشکردن لەسەر x هەیە و نە ڕەگ، بۆیە هیچ شتێک دەرناهێنرێت. هێڵکاریی ئەم جۆرانە لە هێڵکاریی نەخشە سەرەتاییەکان کێشراون.

The notes give four examples right after the polynomial definition: $4x^3-5x^2+2x+7$, $\sqrt[3]{5x-2}$, $(2x+1)^2$ and $\frac{\sqrt{x+3}}{(x-1)^2}$. All four are algebraic, but only two are polynomials:

تێبینییەکان دوای پێناسەی ڕادەدار چوار نموونە دەدەن: $4x^3-5x^2+2x+7$، $\sqrt[3]{5x-2}$، $(2x+1)^2$ و $\frac{\sqrt{x+3}}{(x-1)^2}$. هەر چوارکیان جەبرین، بەڵام تەنها دووانیان ڕادەدارن:

Another important algebraic family is the rational functions: one polynomial divided by another, $\frac{p(x)}{q(x)}$, such as $\frac1x$ or $\frac{1}{x^2-1}$. Their domain leaves out the zeros of the denominator, as you saw in Domain, range and image.

خێزانێکی گرنگی تری جەبری نەخشە ڕێژەییەکانن: ڕادەدارێک دابەش بەسەر ڕادەدارێکی تردا، $\frac{p(x)}{q(x)}$، وەک $\frac1x$ یان $\frac{1}{x^2-1}$. بوارەکەیان سفرەکانی ژێرە (Denominator) دەردەهێنێت، وەک لە بوار، مەودا و وێنە بینیت.

A function that is not algebraic is called transcendental: no finite combination of $+,-,\times,\div$, powers and roots can produce it. The notes list four families:

نەخشەیەک کە جەبری نەبێت پێی دەوترێت نەخشەی ناجەبری: هیچ تێکەڵەیەکی سنوورداری $+,-,\times,\div$، توان و ڕەگ ناتوانێت دروستی بکات. تێبینییەکان چوار خێزان دەژمێرن:

The notes write logarithms as ${}_a\mathrm{Log}(x)$, ${}_e\mathrm{Log}(x)$ and ${}_a\mathrm{Log}(\sin x)$. Standard books, calculators and programming languages write the base as a small number after "log": $\log_a x$. The logarithm with base e has its own short name, the natural logarithm $\ln x=\log_e x$.

تێبینییەکان لۆگاریتمەکان بە ${}_a\mathrm{Log}(x)$، ${}_e\mathrm{Log}(x)$ و ${}_a\mathrm{Log}(\sin x)$ دەنووسن. کتێبە ستانداردەکان، ئامێرەکانی ژماردن و زمانەکانی بەرنامەسازی (Programming) بنچینە (Base) وەک ژمارەیەکی بچووک دوای «log» دەنووسن: $\log_a x$. لۆگاریتم بە بنچینەی e ناوێکی کورتی تایبەتی هەیە، لۆگاریتمی سروشتی (Natural logarithm) $\ln x=\log_e x$.

The last example, $\log_a(\sin x)$, is a logarithm applied to a trigonometric function, and the result is again transcendental. (Combinations can sometimes cancel out, though: for $x>0$, $e^{\ln x}=x$, which is algebraic.)

دوا نموونە، $\log_a(\sin x)$، لۆگاریتمێکە کە لەسەر نەخشەیەکی سێگۆشەیی جێبەجێ کراوە و ئەنجامەکەی دیسان ناجەبرییە. (بەڵام هەندێک جار تێکەڵکردن یەکتر هەڵدەوەشێنێتەوە: بۆ $x>0$، $e^{\ln x}=x$ کە جەبرییە.)

The notes list $e^x,\ 2^x,\ x^x$ as exponential functions. The first two are; the third is not. An exponential function has a constant base and the variable in the exponent: $f(x)=b^x$ with $b>0$ and $b\ne1$. A power function is the other way round: variable base, constant exponent, like $x^2$.

تێبینییەکان $e^x,\ 2^x,\ x^x$ وەک نەخشە توانییەکان دەژمێرن. دوو یەکەمیان وان؛ سێیەمیان نا. نەخشەی توانی بنچینەیەکی نەگۆڕی هەیە و گۆڕاوەکە لە تواندایە: $f(x)=b^x$ کە $b>0$ و $b\ne1$. نەخشەی هێز (Power function) پێچەوانەکەیەتی: بنچینە گۆڕاوە و توان نەگۆڕە، وەک $x^2$.

Watch the examples of the notes being sorted into the two families. The last card, $x^x$, lands in the transcendental bin with a note.

سەیری پۆلێنکردنی نموونەکانی تێبینییەکان بکە بۆ ناو دوو خێزانەکە. دوا کارت، $x^x$، بە تێبینییەکەوە دەکەوێتە ناو سەبەتەی ناجەبری.