Chapterبەش 4 · Lectureوانە 4.5

Logarithms and Their Rulesلۆگاریتمەکان و یاساکانیان

The logarithm as the inverse of the exponential function: what $\log_a x$ means, its domain $(0,\infty)$ and graph, the natural and common logarithms, the seven rules (with the corrected rule 3), change of base in Python, and how $\log_2$ counts the steps of binary search and the bits of a code.

وەک توانی: $\log_a x$ واتای چییە، $(0,\infty)$ و هێڵکارییەکەی، و ، حەوت یاساکە (یاسای 3 ڕاستکراوە)، لە Pythonـدا و چۆن $\log_2$ هەنگاوەکانی و کۆدێک دەژمێرێت.

12 min read13 خولەک خوێندنەوە · 16 stepsهەنگاو

What you will learnچی فێر دەبیت

Switch between $a^y=x$ and $y=\log_a x$ and evaluate simple logarithms.
Explain why $\log_a$ is the inverse of $a^x$ and give its domain $(0,\infty)$ and range $\mathbb{R}$ .
Use the seven rules of logarithms, including the corrected reciprocal rule and the change-of-base formula.
Count binary-search steps and bits with $\log_2$ and compute logarithms in Python.

لە نێوان $a^y=x$ و $y=\log_a x$ ـدا بگۆڕە و سادە بژمێرە.
ڕوون بکەرەوە بۆچی $\log_a$ $a^x$ ـە و $(0,\infty)$ و $\mathbb{R}$ ـی بڵێ.
حەوت یاساکەی بەکاربهێنە، لەوانە یاسای ڕاستکراوەی یەک بەسەر و .
هەنگاوەکانی و بە $\log_2$ بژمێرە و لە Pythonـدا بژمێرە.

The question a logarithm answersئەو پرسیارەی لۆگاریتم وەڵامی دەداتەوە

An exponential function answers: 2 to the power 3 is what? Answer: 8. A logarithm asks the question the other way round: 2 to which power gives 8? Answer: 3. We write

وەڵامی ئەم پرسیارە دەداتەوە: 2 بە 3 دەکاتە چەند؟ وەڵام: 8. پرسیارەکە بە پێچەوانەوە دەکات: 2 بە چ توانێک دەکاتە 8؟ وەڵام: 3. دەنووسین

\log_2 8=3\iff 2^3=8

In computing, $\log_2 n$ counts how many times you can halve n before 1 is left: $8\to4\to2\to1$ is three halvings, so $\log_2 8=3$ . That is exactly the work of a search that throws away half of a list at every step.

لە کۆمپیوتەردا $\log_2 n$ دەژمێرێت چەند جار دەتوانیت n نیوە بکەیتەوە تا 1 بمێنێتەوە: $8\to4\to2\to1$ سێ جار نیوەکردنە، بۆیە $\log_2 8=3$ . ئەمە ڕێک کاری گەڕانێکە کە لە هەر هەنگاوێکدا نیوەی لیستێک فڕێ دەدات.

The guessing game in the tea houseیاریی مەزەندە لە چایخانەدا

Karwan thinks of a whole number from 1 to 100 and only answers "higher" or "lower". If you always guess the middle of what is left, every answer throws away half. Since $2^6=64<100\le128=2^7$ , you never need more than 7 guesses: $\log_2 100\approx6.64$ , rounded up.

کاروان لە 1 تا ⁦100⁩ لە دڵی خۆیدا دادەنێت و تەنها دەڵێت «بەرزتر» یان «نزمتر». ئەگەر هەمیشە ناوەڕاستی ئەوەی ماوەتەوە مەزەندە بکەیت، هەر وەڵامێک نیوەی دەخاتە دەرەوە. لەبەر ئەوەی $2^6=64<100\le128=2^7$ ، هەرگیز پێویستت بە زیاتر لە 7 مەزەندە نییە: $\log_2 100\approx6.64$ ، بەرەو سەرەوە.

Where the analogy stops workingسنووری ئەم نموونەیە

It works only because every answer splits what is left into two halves. Asking "is it 37?" removes just one number, and then you may need 100 guesses.

تەنها لەبەر ئەوە کار دەکات کە هەر وەڵامێک ئەوەی ماوەتەوە دەکاتە دوو نیوە. پرسیاری «ئایا ⁦37⁩ـە؟» تەنها یەک ژمارە لادەبات و ئەو کاتە لەوانەیە پێویستت بە ⁦100⁩ مەزەندە بێت.

Definition: $y=\log_a x$ means $a^y=x$ پێناسە: $y=\log_a x$ واتە $a^y=x$

Definitionپێناسە

The logarithm $\log_a x$ is the exponent you must put on the base a to get x: $y=\log_a x \iff a^y=x$ . It is the inverse of $a^x$ ; its domain is $(0,\infty)$ .

لۆگاریتمی $\log_a x$ ئەو کە دەبێت بخرێتە سەر بنچینەی a تا x بەدەست بێت: $y=\log_a x \iff a^y=x$ . پێچەوانەی $a^x$ ـە و بوارەکەی $(0,\infty)$ ـە.

y=\log_a x\iff a^{y}=x\qquad(a>0,\ a\ne1,\ x>0)

The notes list logarithmic functions such as ${}_a\mathrm{Log}(x)$ , ${}_e\mathrm{Log}(x)$ and ${}_a\mathrm{Log}(\sin x)$ . The notes write the base on the left; most books write it as a small number on the right: $\log_a x$ , $\log_e x=\ln x$ and $\log_a(\sin x)$ . The last example shows that the input of a logarithm can be any expression, but it must be positive.

تێبینییەکان وەک ${}_a\mathrm{Log}(x)$ ، ${}_e\mathrm{Log}(x)$ و ${}_a\mathrm{Log}(\sin x)$ دەژمێرن. تێبینییەکان لە لای چەپ دەنووسن؛ زۆربەی کتێبەکان بە ژمارەیەکی بچووک لە لای ڕاست دەینووسن: $\log_a x$ ، $\log_e x=\ln x$ و $\log_a(\sin x)$ . نموونەی کۆتایی پیشان دەدات کە دەکرێت هەر بێت، بەڵام دەبێت موجەب بێت.

The same fact in two languages: the logarithm is the exponent.هەمان ڕاستی بە دوو زمان: هەمان .CêIT

Turning powers into logarithmsگۆڕینی توان بۆ
Powerتوان	Logarithm	In wordsبە وشە
$10^3=1000$	$\log_{10}1000=3$	10 to the 3rd is 1000⁦10⁩ بە توانی 3 دەکاتە ⁦1000⁩
$3^{-2}=\frac19$	$\log_3\frac19=-2$	a fraction gives a negative log سالب دەدات
$2^{-1}=\frac12$	$\log_2\frac12=-1$	one halving backwardsیەک نیوەکردن بەرەو دواوە
$10^{-2}=0.01$	$\log_{10}0.01=-2$	two decimal placesدوو
$5^0=1$	$\log_5 1=0$	the log of 1 is always 0 1 هەمیشە 0ـە
$7^1=7$	$\log_7 7=1$	the log of the base is always 1 هەمیشە 1ـە

Logarithms explained Bob Ross styleTibees · Englishئینگلیزی · 3.9M viewsبینین · 147K likesلایک
A calm lesson on what a logarithm is: the exponent that turns the base into the number, with worked examples and the usual default bases.
وانەیەکی ئارام دەربارەی ئەوەی چییە: ئەو کە دەکاتە ژمارەکە، لەگەڵ نموونەی چارەسەرکراو و باوەکان.
y = log_a x means a^y = x, worked slowly with examples; 7:56 which base 'log' means when no base is written.
$y = \log_a x$ واتە $a^y = x$ ، بە هێواشی و بە نموونە؛ ⁦7:56⁩ کاتێک هیچ نەنووسرابێت، « $\log$ » کام .

The inverse of the exponential functionپێچەوانەی نەخشەی توانی

The notes never connect logarithms to exponentials, but this is the key idea. $a^x$ is one-to-one: different exponents give different results. So it has an inverse function, and that inverse is $\log_a x$ . Each one undoes the other:

تێبینییەکان هەرگیز بە نابەستنەوە، بەڵام ئەمە بیرۆکە سەرەکییەکەیە. $a^x$ : جیاواز ئەنجامی جیاواز دەدەن. بۆیە پێچەوانەیەکی نەخشەی هەیە و ئەو پێچەوانەیە $\log_a x$ ـە. هەر یەکێکیان کاری ئەوی تر هەڵدەوەشێنێتەوە:

\log_a\!\left(a^{x}\right)=x\quad(x\in\mathbb{R}),\qquad a^{\log_a x}=x\quad(x>0)

The notes give the domain and range: for a base $a>0$ , $D_f=\mathbb{R}^{+}=(0,\infty)$ and $R_f=\mathbb{R}$ . They are exactly the range and domain of $a^x$ , swapped. There is no logarithm of 0 or of a negative number, because $a^y$ is always positive: no exponent y gives $a^y=0$ or $a^y=-5$ .

تێبینییەکان و دەدەن: بۆ $a>0$ ، $D_f=\mathbb{R}^{+}=(0,\infty)$ و $R_f=\mathbb{R}$ . ئەمانە ڕێک و $a^x$ ـن، بە جێگۆڕکێ. بۆ 0 یان نییە، چونکە $a^y$ هەمیشە موجەبە: هیچ y $a^y=0$ یان $a^y=-5$ نادات.

Quick checkپشکنینی خێراWhat is the domain of

f(x)=\log_3 x

?

f(x)=\log_3 x

چییە؟

[1,\infty)

[1,\infty)

\mathbb{R}

\mathbb{R}

(0,\infty)

(0,\infty)

[0,\infty)

[0,\infty)

The inverse of the exponential functionپێچەوانەی نەخشەی توانی

The graph: a mirror image in $y=x$ هێڵکاریی نەخشەکە: وێنەیەکی ئاوێنەیی لە $y=x$ ـدا

Because they are inverses, the graph of $\log_2 x$ is the mirror image of the graph of $2^x$ in the line $y=x$ : every point $(a,b)$ becomes $(b,a)$ .

لەبەر ئەوەی پێچەوانەی یەکترن، $\log_2 x$ وێنەی ئاوێنەیی $2^x$ ـە لە هێڵی $y=x$ ـدا: هەر خاڵێکی $(a,b)$ دەبێتە $(b,a)$ .

Animation: the curve y = 2 to the x is drawn with the dashed mirror line y = x. One by one, the points (1, 2), (2, 4), (0, 1) and (−1, one half) jump across the mirror line to (2, 1), (4, 2), (1, 0) and (one half, −1). The new points are then joined into the curve y = log base 2 of x. The last frame notes that the domain and range swap: 2 to the x has domain all reals and range (0, ∞); log base 2 of x has domain (0, ∞) and range all reals. — Reflect $y=2^x$ in the line $y=x$ and you get $y=\log_2 x$ . $y=2^x$ لە هێڵی $y=x$ ـدا $y=\log_2 x$ دەدات.CêIT

Quick checkپشکنینی خێراThe point

(3,8)

lies on the graph of

y=2^x

. Which point lies on the graph of

y=\log_2 x

?خاڵی

(3,8)

لەسەر

y=2^x

ـە. کام خاڵ لەسەر

y=\log_2 x

ـە؟

(8,3)

(8,3)

(-3,-8)

(-3,-8)

\left(3,\frac18\right)

\left(3,\frac18\right)

(3,8)

(3,8)

Graphs of $\log_2 x$ , $\ln x$ and $\log_3 x$ هێڵکاریی $\log_2 x$ ، $\ln x$ و $\log_3 x$

The notes show three logarithm curves on one picture. They share a pattern you can explain with the definition:

تێبینییەکان سێ هێڵی لەسەر یەک وێنە پیشان دەدەن. چەند تایبەتمەندییەکی هاوبەشیان هەیە کە دەتوانیت بە پێناسەکە ڕوونیان بکەیتەوە:

Every curve passes through $(1,0)$ , because $a^0=1$ means $\log_a 1=0$ .
Each curve reaches height 1 exactly at $x=a$ : $\log_2 2=1$ , $\ln e=1$ , $\log_3 3=1$ . So the crossings with $y=1$ are at 2, $e\approx2.718$ and 3.
A bigger base gives a flatter curve. All of them rise very slowly: $\log_2 1\,000\,000\approx19.93$ .
The y-axis is a vertical asymptote: as x gets close to 0, the curves fall without end.

هەموو هێڵێک بە $(1,0)$ ـدا تێدەپەڕێت، چونکە $a^0=1$ واتە $\log_a 1=0$ .
هەر هێڵێک ڕێک لە $x=a$ ـدا دەگاتە بەرزیی 1: $\log_2 2=1$ ، $\ln e=1$ ، $\log_3 3=1$ . بۆیە هێڵی $y=1$ لە 2، $e\approx2.718$ و 3ـدا دەیانبڕێت.
گەورەتر هێڵێکی تەختتر دەدات. هەموویان زۆر هێواش بەرز دەبنەوە: $\log_2 1\,000\,000\approx19.93$ .
y ستوونییە: کاتێک x لە 0 نزیک دەبێتەوە، هێڵەکان بێ کۆتایی دادەبەزن.

\log_2 x

,

\ln x

and

\log_3 x

reach the value 1 at

x=2

, e and 3.هێڵکارییەکانی

\log_2 x

،

\ln x

و

\log_3 x

لە

x=2

، e و 3ـدا دەگەنە بەهای 1.CêIT

The natural logarithm ln and the common logarithmلۆگاریتمی سروشتی ln و لۆگاریتمی دەیی

The notes define the logarithm with base e as the natural logarithm: $f(x)={}_e\mathrm{Log}(x)=\ln(x)$ , with $D_f=\mathbb{R}^{+}$ and $R_f=\mathbb{R}$ . It is the inverse of $e^x$ , so $\ln e=1$ , $\ln1=0$ and $\ln\left(e^3\right)=3$ .

تێبینییەکان بە e وەک پێناسە دەکەن: $f(x)={}_e\mathrm{Log}(x)=\ln(x)$ ، بە $D_f=\mathbb{R}^{+}$ و $R_f=\mathbb{R}$ . $e^x$ ـە، بۆیە $\ln e=1$ ، $\ln1=0$ و $\ln\left(e^3\right)=3$ .

Definitionپێناسە

The with base e: $\ln x=\log_e x$ . It is the inverse of $e^x$ .

ئەو کە بنچینەکەی eـیە: $\ln x=\log_e x$ . پێچەوانەی $e^x$ ـە.

The other everyday logarithm has base 10, the : $\log_{10}1000=3$ . It counts digits: a positive whole number n has $\lfloor\log_{10}n\rfloor+1$ digits.

تری زۆر بەکارهاتوو ⁦10⁩ـی هەیە، : $\log_{10}1000=3$ . ژمارەی خانەکان دەژمێرێت: موجەبی n، $\lfloor\log_{10}n\rfloor+1$ خانەی هەیە.

Which log does "log" mean?«log» کام ؟
Writtenنووسراو	Base	Whereلە کوێ
$\ln x$	e	everywhereلە هەموو شوێنێک
$\log x$	10	calculators, school books, engineeringحاسیبە، کتێبی قوتابخانە، ئەندازیاری
$\log x$	e	many university maths booksزۆربەی کتێبەکانی بیرکاریی زانکۆ
`math.log(x)`	e	Python
`math.log10(x)`, `math.log2(x)`	10, 2⁦10⁩، 2	Python

The seven rules of logarithmsحەوت یاساکەی لۆگاریتم

The notes list seven basic identities of $\log_a$ , for all $A,B>0$ (and a base $a>0$ , $a\ne1$ ). Each one is checked here with base 2:

تێبینییەکان حەوت بنەڕەتیی $\log_a$ دەژمێرن، بۆ هەموو $A,B>0$ (و $a>0$ ، $a\ne1$ ). لێرەدا هەر یەکێکیان بە 2 پشکنراوە:

Rules of logarithmsیاساکانی
Ruleیاسا	Formulaفۆرمولە	Check with base 2پشکنین بە 2
1	$\log_a(A\cdot B)=\log_a A+\log_a B$	$\log_2(8\cdot4)=\log_2 32=5=3+2$
2	$\log_a\frac{A}{B}=\log_a A-\log_a B$	$\log_2\frac{32}{4}=\log_2 8=3=5-2$
3	$\log_a\frac{1}{A}=-\log_a A$	$\log_2\frac18=-3$
4	$\log_a\left(A^{B}\right)=B\log_a A$	$\log_2\left(4^{3}\right)=\log_2 64=6=3\cdot2$
5	$\log_a a=1$	$\log_2 2=1$
6	$\log_a 1=0$	$\log_2 1=0$
7	$\log_a A=\frac{\ln A}{\ln a}$	$\log_2 10=\frac{\ln10}{\ln2}\approx3.3219$

In rule 4 the exponent B may be any real number, for example $\log_a\sqrt{A}=\frac12\log_a A$ . Rule 7 is the ; it gets its own screen below.

لە یاسای 4دا B دەکرێت هەر بێت، بۆ نموونە $\log_a\sqrt{A}=\frac12\log_a A$ . یاسای 7 ـە؛ لە خوارەوە پەڕەیەکی تایبەتی هەیە.

Quick checkپشکنینی خێراWhich expression equals

\log_a(xy)

(for

x,y>0

)?کام یەکسانە بە

\log_a(xy)

(بۆ

x,y>0

)؟

\log_a x\cdot\log_a y

\log_a x\cdot\log_a y

\log_a(x+y)

\log_a(x+y)

\log_a x+\log_a y

\log_a x+\log_a y

Properties of LogarithmsThe Organic Chemistry Tutor · Englishئینگلیزی · 1.3M viewsبینین · 20K likesلایک
The product, quotient and power rules of logarithms, and how to use them to evaluate and expand logs without a calculator.
یاساکانی لێکدان، دابەشکردن و ، هەروەها چۆن بەبێ بەکاریان دەهێنیت بۆ دۆزینەوەی نرخی و کردنەوەیان.
Chapters: 0:00 the properties, 0:48 power rule, 1:46 product rule, 2:59 quotient rule.
بەشەکان: ⁦0:00⁩ تایبەتمەندییەکان، ⁦0:48⁩ یاسای ، ⁦1:46⁩ یاسای لێکدان، ⁦2:59⁩ یاسای دابەشکردن.

The seven rules of logarithmsحەوت یاساکەی لۆگاریتم

Why the rules workبۆچی یاساکان دروستن

Every rule is a law of exponents in disguise. Here is rule 1, the product rule:

هەر یاسایەک یاسایەکی بە جلێکی ترەوە. ئەمە یاسای 1ـە، یاسای لێکدان:

Proof of the product ruleسەلماندنی یاسای لێکدان

Name the logsناو لە لۆگاریتمەکان بنێ
Let $m=\log_a A$ and $n=\log_a B$ . By the definition, $A=a^m$ and $B=a^n$ .
با $m=\log_a A$ و $n=\log_a B$ . بەپێی پێناسە $A=a^m$ و $B=a^n$ .
Multiplyلێکیان بدە
Use the law $a^m a^n=a^{m+n}$ :
یاسای $a^m a^n=a^{m+n}$ بەکاربهێنە:
$A\cdot B=a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}$
Read it as a logarithmوەک لۆگاریتم بیخوێنەرەوە
So the exponent that gives $AB$ is $m+n$ :
بۆیە ئەو $AB$ دەدات $m+n$ ـە:
$\log_a(AB)=m+n=\log_a A+\log_a B$

Rule 4 works the same way: $A^B=\left(a^m\right)^B=a^{mB}$ , so $\log_a A^B=mB=B\log_a A$ . Rules 5 and 6 are just $a^1=a$ and $a^0=1$ read backwards, and rule 2 follows from rules 1 and 3.

یاسای 4 بە هەمان شێوە کار دەکات: $A^B=\left(a^m\right)^B=a^{mB}$ ، بۆیە $\log_a A^B=mB=B\log_a A$ . یاساکانی 5 و 6 تەنها $a^1=a$ و $a^0=1$ ـن بە پێچەوانەوە خوێندراونەتەوە و یاسای 2 لە یاساکانی 1 و 3ـەوە دێت.

The seven rules of logarithmsحەوت یاساکەی لۆگاریتم

Rule 3, correctedیاسای 3، ڕاستکراوە

A and B are mixed upA و B تێکەڵ کراون

In the notes, rule 3 is printed as $\log_a\frac{1}{A}=\log_a 1-\log_a(B)=0-\log_a(B)=-\log_a(B)$ . The letter B appears from nowhere: the fraction contains only A. The correct rule is $\log_a\frac1A=-\log_a A$ .

لە تێبینییەکاندا یاسای 3 وا چاپ کراوە: $\log_a\frac{1}{A}=\log_a 1-\log_a(B)=0-\log_a(B)=-\log_a(B)$ . پیتی B لە هیچەوە دەردەکەوێت: تەنها Aـی تێدایە. یاسا ڕاستەکە $\log_a\frac1A=-\log_a A$ ـە.

\log_a\frac{1}{A}=\log_a 1-\log_a A=0-\log_a A=-\log_a A

Change of base with a calculator or Pythonیاسای گۆڕینی بنچینە بە حاسیبە یان Python

Many calculators have only two log keys, ln and log (base 10). Rule 7 lets you compute a logarithm in any base with them:

زۆر تەنها دوو دوگمەی هەیە، ln و log ( ⁦10⁩). یاسای 7 ڕێگەت دەدات بە هەر بەوانە بژمێریت:

\log_a x=\frac{\ln x}{\ln a}=\frac{\log_{10}x}{\log_{10}a}

Python's math.log(x, base) does exactly this: the documentation says it is calculated as log(x)/log(base). For bases 2 and 10 Python has special functions that are more accurate:

math.log(x, base)ـی Python ڕێک ئەمە دەکات: بەڵگەنامەکەی دەڵێت وەک log(x)/log(base) دەژمێردرێت. بۆ 2 و ⁦10⁩، Python دوو تایبەتی هەیە کە وردترن:

Logarithms in Pythonلۆگاریتمەکان لە Pythonـداlogs.pyPYTHONType in a terminalلە تێرمیناڵدا بینووسە

import math

print(math.log(8, 2))
print(math.log(1000, 10))
print(math.log10(1000))
print(math.log2(1_000_000))
print(math.log(100))
print(math.log(7) / math.log(3))
print((1000).bit_length())

Explain the codeڕوونکردنەوەی کۆدەکە

Lineدێڕی 4

Rule 7 done with floats: $\frac{\ln1000}{\ln10}$ comes out a tiny bit below 3.

یاسای 7 بە : $\frac{\ln1000}{\ln10}$ کەمێک لە 3 کەمتر دەردەچێت.

Lineدێڕی 5

math.log10 (and math.log2) avoid that rounding error for exact powers.

math.log10 (و math.log2) ئەو هەڵەی خڕکردنەوەیە بۆ توانە تەواوەکان نادەن.

Lineدێڕی 7

With one argument, math.log is the natural log: $\ln100$ .

بە یەک ، math.log : $\ln100$ .

Lineدێڕی 9

int.bit_length() gives the number of bits needed to write 1000 in binary: 10.

int.bit_length() ژمارەی ئەو دەدات کە بۆ نووسینی ⁦1000⁩ بە پێویستن: ⁦10⁩.

A logarithm of 0 or of a negative number does not exist, and Python refuses it:

0 یان بوونی نییە و Python ڕەتی دەکاتەوە:

No logarithm of 0لۆگاریتمی 0 نییەlog_zero.pyPYTHONType in a terminalلە تێرمیناڵدا بینووسە

import math

print(math.log(0))

Quick checkپشکنینی خێراWhich Python expression computes

\log_5 125

?کام Python

\log_5 125

دەژمێرێت؟math.log(125) * math.log(5)math.log(125) * math.log(5)math.log(5, 125)math.log(5, 125)math.log(125, 5)math.log(125, 5)

Logarithms in IT: halving and bitsلۆگاریتم لە ITـدا: نیوەکردن و بیتەکان

finds a value in a sorted list by looking at the middle, keeping the half that can contain the value, and repeating. Each look halves the candidates, so a list of n items needs at most $\lfloor\log_2 n\rfloor+1$ looks: $\lfloor\log_2 n\rfloor$ halvings and one last look. The search in the picture never stops early: even when the middle number is the one it wants, it keeps halving until one candidate is left, so it always needs the same number of looks.

بەهایەک لە لیستێکی ڕیزکراودا دەدۆزێتەوە بەوەی سەیری ناوەڕاست دەکات، ئەو نیوەیە دەهێڵێتەوە کە دەکرێت بەهاکەی تێدا بێت و دووبارەی دەکاتەوە. هەر سەیرکردنێک ژمارەی بەربژێرەکان نیوە دەکات، بۆیە لیستێکی n دانەیی لانیزۆر $\lfloor\log_2 n\rfloor+1$ سەیرکردنی پێویستە: $\lfloor\log_2 n\rfloor$ نیوەکردن و یەک سەیرکردنی کۆتایی. گەڕانەکەی ناو وێنەکە زوو ناوەستێت: تەنانەت کاتێک ژمارەی ناوەڕاست ئەوەیە کە بەدوایدا دەگەڕێت، بەردەوام نیوەی دەکات تا یەک بەربژێر دەمێنێتەوە، بۆیە هەمیشە هەمان ژمارەی سەیرکردنی پێویستە.

Binary search on 16 sorted numbers: 4 halvings (

\log_2 16=4

) and one last look. لە ⁦16⁩ ژمارەی ڕیزکراودا: 4 نیوەکردن (

\log_2 16=4

) و یەک سەیرکردنی کۆتایی.CêIT

Looks needed by binary searchژمارەی سەیرکردنی پێویستی
List size nقەبارەی لیست n	$\log_2 n$ $\log_2 n$	At most (looks)لانیزۆر (سەیرکردن)
16	4	5
$1\,000$	9.97	10
$1\,000\,000$	19.93	20
$1\,000\,000\,000$	29.90	30

A thousand times more data costs only about 10 more looks. In the Fundamentals of Programming course, binary search is written in Python, and this slow growth is called logarithmic time: How many steps? Logarithmic time.

هەزار جار زیاتر تەنها نزیکەی ⁦10⁩ سەیرکردنی زیاتری دەوێت. لە کۆرسی بنەماکانی بە Python دەنووسرێت و ئەم گەشە هێواشە پێی دەوترێت : چەند هەنگاو؟ کاتی لۆگاریتمی.

Quick checkپشکنینی خێراAt most how many looks does binary search need in a sorted list of

1\,000\,000

names? لە لیستێکی ڕیزکراوی

1\,000\,000

ناودا لانیزۆر چەند سەیرکردنی پێویستە؟

500\,000

500\,000

1000

1000

20

20

6

6

Deeply Understanding Logarithms In Time Complexities & Their Role In Computer ScienceBack To Back SWE · Englishئینگلیزی · 332K viewsبینین · 20K likesلایک · Partبەشی 0:00–4:51 (ofلە 10:23)
Why log₂ n counts how many times you can halve n, and why halving algorithms and trees run in logarithmic time.
بۆچی $\log_2 n$ دەژمێرێت چەند جار دەتوانیت n نیوە بکەیتەوە، هەروەها بۆچی ئەو نیوە دەکەنەوە و لە کار دەکەن.
Watch 0:00–4:51: logarithms as repeated halving, and in tree structures; the sorting part after 4:51 goes beyond this lesson.
لە ⁦0:00⁩ تا ⁦4:51⁩ سەیر بکە: وەک نیوەکردنەوەی دووبارە، هەروەها لە ؛ بەشی دوای ⁦4:51⁩ لە سنووری ئەم وانەیە دەردەچێت.

Logarithms in IT: halving and bitsلۆگاریتم لە ITـدا: نیوەکردن و بیتەکان

Counting bits with $\log_2$ ژماردنی بیتەکان بە $\log_2$

The same logarithm counts bits: to give each of n things its own binary code you need $\lceil\log_2 n\rceil$ bits. 26 letters need $\lceil\log_2 26\rceil=5$ bits ( $2^4=16$ codes are too few, $2^5=32$ are enough).

هەمان دەژمێرێت: بۆ ئەوەی هەر یەکێک لە n شت کۆدی خۆی هەبێت، $\lceil\log_2 n\rceil$ پێویستە. ⁦26⁩ پیت $\lceil\log_2 26\rceil=5$ پێویستە ( $2^4=16$ کۆد کەمە، $2^5=32$ بەسە).

Quick checkپشکنینی خێراHow many bits are needed to give each of 100 students its own binary code?چەند پێویستە بۆ ئەوەی هەر یەکێک لە ⁦100⁩ خوێندکار کۆدی خۆی هەبێت؟

7

7

6

6

10

10

100

100

Common mistakesهەڵە باوەکان

Mistakeهەڵە	Counter-exampleنموونەی پێچەوانە	Correctڕاست
$\log(A+B)=\log A+\log B$	$\log_2(4+4)=3$ but $\log_2 4+\log_2 4=4$ $\log_2(4+4)=3$ بەڵام $\log_2 4+\log_2 4=4$	No rule splits a sum.هیچ یاسایەک کۆ لێک جیا ناکاتەوە.
$\log\frac AB=\frac{\log A}{\log B}$	$\log_2\frac82=2$ but $\frac{\log_2 8}{\log_2 2}=3$ $\log_2\frac82=2$ بەڵام $\frac{\log_2 8}{\log_2 2}=3$	$\log\frac AB=\log A-\log B$
$\log_a\frac1A=-\log_a B$	(the misprint in the notes)(هەڵە چاپییەکەی تێبینییەکان)	$\log_a\frac1A=-\log_a A$
$(\log x)^2=2\log x$	$(\log_2 8)^2=9$ but $2\log_2 8=6$ $(\log_2 8)^2=9$ بەڵام $2\log_2 8=6$	$\log\left(x^2\right)=2\log x$
Taking $\log 0$ or $\log(-4)$ وەرگرتنی $\log 0$ یان $\log(-4)$	$a^y>0$ for every yبۆ هەموو yێک $a^y>0$	Domain $(0,\infty)$ $(0,\infty)$
Using `math.log(x)` as base 10بەکارهێنانی `math.log(x)` وەک ⁦10⁩	`math.log(100)` → 4.605	`math.log10(100)` → 2.0
Base 1 or a negative base 1 یان سالب	$1^y=1$ for every yبۆ هەموو yێک $1^y=1$	$a>0,\ a\ne1$

Exercisesڕاهێنانەکان

ExerciseڕاهێنانEvaluateبەهاکان بدۆزەرەوە

Find $\log_2 32$ , $\log_{10}0.001$ , $\log_4 2$ , $\ln e^5$ and $\log_7 1$ .

$\log_2 32$ ، $\log_{10}0.001$ ، $\log_4 2$ ، $\ln e^5$ و $\log_7 1$ بدۆزەرەوە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

\log_2 32=5,\quad \log_{10}0.001=-3,\quad \log_4 2=\tfrac12,\quad \ln e^{5}=5,\quad \log_7 1=0

Ask "the base to which power?": $2^5=32$ , $10^{-3}=0.001$ , $4^{1/2}=\sqrt4=2$ , $e^5=e^5$ , $7^0=1$ .

بپرسە « بە چ توانێک؟»: $2^5=32$ ، $10^{-3}=0.001$ ، $4^{1/2}=\sqrt4=2$ ، $e^5=e^5$ ، $7^0=1$ .

ExerciseڕاهێنانSwitch the formشێوەکە بگۆڕە

Write $3^4=81$ and $10^{-2}=0.01$ as logarithms, and $\log_5 125=3$ as a power.

$3^4=81$ و $10^{-2}=0.01$ وەک بنووسە و $\log_5 125=3$ وەک توان.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

\log_3 81=4,\qquad \log_{10}0.01=-2,\qquad 5^{3}=125

ExerciseڕاهێنانExpandبیکەرەوە

Use the rules to write $\log_a\frac{x^{2}y}{z}$ (with $x,y,z>0$ ) as a sum and difference of simple logs.

بە یاساکان $\log_a\frac{x^{2}y}{z}$ (بە $x,y,z>0$ ) وەک کۆ و جیاوازیی سادە بنووسە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

\log_a\frac{x^{2}y}{z}=\log_a\left(x^{2}y\right)-\log_a z=2\log_a x+\log_a y-\log_a z

ExerciseڕاهێنانCondenseکورتی بکەرەوە

Write $\log_2 12-\log_2 3$ as one logarithm and evaluate it.

$\log_2 12-\log_2 3$ وەک یەک بنووسە و بەهاکەی بدۆزەرەوە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

\log_2 12-\log_2 3=\log_2\frac{12}{3}=\log_2 4=2

ExerciseڕاهێنانSolve an exponential equationهاوکێشەیەکی توانی چارەسەر بکە

Solve $2^x=1000$ . Then use the answer for the photo archive of the previous lesson: when does $5\cdot2^n$ reach 1000?

$2^x=1000$ چارەسەر بکە. پاشان وەڵامەکە بۆ ئەرشیفی وێنەی وانەی پێشوو بەکاربهێنە: $5\cdot2^n$ کەی دەگاتە ⁦1000⁩؟

Hintئاماژە

Take $\log_2$ of both sides, then use rule 7.

$\log_2$ ـی هەردوو لا وەربگرە، پاشان یاسای 7 بەکاربهێنە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

x=\log_2 1000=\frac{\ln1000}{\ln2}\approx9.97

5\cdot2^{n}=1000\iff2^{n}=200\iff n=\log_2 200=\frac{\ln200}{\ln2}\approx7.64

ExerciseڕاهێنانA log of a sineلۆگاریتمی ساین

The notes give $\log_a(\sin x)$ as an example of a logarithmic function. For which x is it defined?

تێبینییەکان $\log_a(\sin x)$ وەک نموونەیەکی دەدەن. بۆ کام xـەکان پێناسەکراوە؟

Hintئاماژە

See the sine function.

بڕوانە ساین.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

The input of a logarithm must be positive, so we need $\sin x>0$ . On the unit circle the sine is positive in the upper half, between 0 and π, and this repeats every $2\pi$ :

دەبێت موجەب بێت، بۆیە پێویستمان بە $\sin x>0$ ـە. لەسەر لە نیوەی سەرەوەدا موجەبە، لە نێوان 0 و πـدا و هەموو $2\pi$ ـێک دووبارە دەبێتەوە:

D=\bigcup_{k\in\mathbb{Z}}\left(2k\pi,\ (2k+1)\pi\right)=\ldots\cup(-2\pi,-\pi)\cup(0,\pi)\cup(2\pi,3\pi)\cup\ldots

ExerciseڕاهێنانHow many digits?چەند خانە؟

Without a computer, find how many decimal digits $2^{64}$ has. Use $\log_{10}2\approx0.30103$ .

بەبێ کۆمپیوتەر بدۆزەرەوە $2^{64}$ لە سیستەمی دەییدا چەند خانەی هەیە. $\log_{10}2\approx0.30103$ بەکاربهێنە.

Hintئاماژە

Rule 4 turns the power into a product.

یاسای 4 توانەکە دەکاتە لێکدان.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

\log_{10}2^{64}=64\log_{10}2\approx64\cdot0.30103\approx19.27

So $10^{19}<2^{64}<10^{20}$ and the number has $\lfloor19.27\rfloor+1=20$ digits. Python confirms: 2 ** 64 is 18446744073709551616, 20 digits. (This is also the number of grains on the whole chessboard plus one.)

بۆیە $10^{19}<2^{64}<10^{20}$ و ژمارەکە $\lfloor19.27\rfloor+1=20$ خانەی هەیە. Python دووپاتی دەکاتەوە: 2 ** 64 دەکاتە 18446744073709551616، ⁦20⁩ خانە. (ئەمە هەروەها ژمارەی هەموو دانەکانی سەر تەختەی شەترەنجەکەیە زیاد یەک.)

ExerciseڕاهێنانSearch a school registerگەڕان لە تۆماری قوتابخانە

A sorted register has 5000 student names. At most how many looks does binary search need?

تۆمارێکی ڕیزکراو ⁦5000⁩ ناوی خوێندکاری تێدایە. لانیزۆر چەند سەیرکردنی پێویستە؟

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

\log_2 5000=\frac{\ln5000}{\ln2}\approx12.29,\qquad\lfloor12.29\rfloor+1=13

Summaryکورتە

$y=\log_a x\iff a^y=x$ ( $a>0$ , $a\ne1$ ): the logarithm is the exponent. $\log_a$ is the inverse of $a^x$ ; its graph is the mirror image in $y=x$ .
Domain $(0,\infty)$ , range $\mathbb{R}$ ; every graph passes $(1,0)$ and $(a,1)$ .
$\ln x=\log_e x$ (natural log), $\log_{10}x$ (common log). In Python math.log(x) is ln.
Rules: product → sum, quotient → difference, $\log_a\frac1A=-\log_a A$ , power → multiple, $\log_a a=1$ , $\log_a1=0$ , $\log_a A=\frac{\ln A}{\ln a}$ .
In IT, $\log_2 n$ counts halvings: binary search needs at most $\lfloor\log_2 n\rfloor+1$ looks, and n codes need $\lceil\log_2 n\rceil$ bits.

$y=\log_a x\iff a^y=x$ ( $a>0$ ، $a\ne1$ ): هەمان . $\log_a$ $a^x$ ـە؛ هێڵکارییەکەی وێنەی ئاوێنەییە لە $y=x$ ـدا.
$(0,\infty)$ ، $\mathbb{R}$ ؛ هەموو هێڵکارییەک بە $(1,0)$ و $(a,1)$ ـدا تێدەپەڕێت.
$\ln x=\log_e x$ ()، $\log_{10}x$ (). لە Pythonـدا math.log(x) lnـە.
یاساکان: لێکدان دەبێتە کۆ، دابەشکردن دەبێتە جیاوازی، $\log_a\frac1A=-\log_a A$ ، توان دەبێتە لێکدان، $\log_a a=1$ ، $\log_a1=0$ ، $\log_a A=\frac{\ln A}{\ln a}$ .
لە ITـدا $\log_2 n$ نیوەکردنەکان دەژمێرێت: لانیزۆر $\lfloor\log_2 n\rfloor+1$ سەیرکردنی پێویستە و n کۆد $\lceil\log_2 n\rceil$ پێویستە.

Review questionsپرسیارەکانی پێداچوونەوە

Why is there no

\log_2(-8)

?بۆچی

\log_2(-8)

نییە؟

Because $2^y$ is positive for every y, so no exponent gives $-8$ .

چونکە بۆ هەموو yێک $2^y$ موجەبە، بۆیە هیچ $-8$ نادات.

What is

\log_a a^{7}

?

\log_a a^{7}

چەندە؟

7, because the logarithm undoes the power.

7، چونکە کاری توانەکە هەڵدەوەشێنێتەوە.

How do you compute

\log_6 50

on a calculator?

\log_6 50

چۆن بە حاسیبە دەژمێریت؟

$\frac{\ln50}{\ln6}\approx2.18$ (rule 7).

$\frac{\ln50}{\ln6}\approx2.18$ (یاسای ⁦7⁩).

Videoڤیدیۆ

Watch a videoسەیری ڤیدیۆیەک بکە

A video that viewers liked a lot and praised in their comments, chosen for this lesson.ڤیدیۆیەک کە بینەران زۆریان پێ خۆش بووە و لە کۆمێنتەکانیاندا ستایشیان کردووە، بۆ ئەم وانەیە هەڵبژێردراوە.

ڤیدۆیی نوێ بیرکاری پۆلی 10ی زانستی بەشی چوارەم وانەی سێیەمIbrahim Ismahil · Kurdish (Sorani)کوردی (سۆرانی) · 12K viewsبینین · 282 likesلایک
In Kurdish: logarithmic functions and their properties, with every example and exercise of the Grade 10 book.
بە کوردی: و تایبەتمەندییەکانیان، لەگەڵ هەموو نموونە و ڕاهێنانەکانی کتێبی پۆلی ⁦10⁩.
Sorani, Grade 10 science (new edition) chapter 4 lesson 3: logarithmic functions and their properties.
بە سۆرانی، پۆلی ⁦10⁩ـی زانستی (چاپی نوێ)، بەشی 4، وانەی 3: و تایبەتمەندییەکانیان.

Lesson complete!وانەکە تەواو بوو!

Well done. Review the key terms, then go on to the next lesson.دەستخۆش. سەیرێکی زاراوە سەرەکییەکان بکەرەوە، پاشان بڕۆ بۆ وانەی داهاتوو.

Key termsزاراوە سەرەکییەکان

Next lessonوانەی داهاتوو

Shifting Graphsکشانەوەی هێڵکاری

Related lecturesوانە پەیوەندیدارەکان

References and further readingسەرچاوەکان و خوێندنەوەی زیاتر

This lecture is a first edition. The Kurdish text and terminology are waiting for review by Kurdish IT teachers.ئەم وانەیە چاپی یەکەمە. دەقە کوردییەکە و زاراوەکانی چاوەڕێی پێداچوونەوەی مامۆستایانی کوردی بواری IT ن.

Logarithms and Their Rulesلۆگاریتمەکان و یاساکانیان

What you will learnچی فێر دەبیت

The question a logarithm answersئەو پرسیارەی لۆگاریتم وەڵامی دەداتەوە

Definition: y=log⁡axy=\log_a xy=loga​x means ay=xa^y=xay=xپێناسە: y=log⁡axy=\log_a xy=loga​x واتە ay=xa^y=xay=x

The inverse of the exponential functionپێچەوانەی نەخشەی توانی

The graph: a mirror image in y=xy=xy=xهێڵکاریی نەخشەکە: وێنەیەکی ئاوێنەیی لە y=xy=xy=xـدا

Graphs of log⁡2x\log_2 xlog2​x, ln⁡x\ln xlnx and log⁡3x\log_3 xlog3​xهێڵکاریی log⁡2x\log_2 xlog2​x، ln⁡x\ln xlnx و log⁡3x\log_3 xlog3​x

The natural logarithm ln and the common logarithmلۆگاریتمی سروشتی ln و لۆگاریتمی دەیی

The seven rules of logarithmsحەوت یاساکەی لۆگاریتم

Why the rules workبۆچی یاساکان دروستن

Rule 3, correctedیاسای 3، ڕاستکراوە

Change of base with a calculator or Pythonیاسای گۆڕینی بنچینە بە حاسیبە یان Python

Logarithms in IT: halving and bitsلۆگاریتم لە ITـدا: نیوەکردن و بیتەکان

Counting bits with log⁡2\log_2log2​ژماردنی بیتەکان بە log⁡2\log_2log2​

Common mistakesهەڵە باوەکان

Exercisesڕاهێنانەکان

Summaryکورتە

Watch a videoسەیری ڤیدیۆیەک بکە

Lesson complete!وانەکە تەواو بوو!

Key termsزاراوە سەرەکییەکان

Related lecturesوانە پەیوەندیدارەکان

Definition: $y=\log_a x$ means $a^y=x$ پێناسە: $y=\log_a x$ واتە $a^y=x$

The graph: a mirror image in $y=x$ هێڵکاریی نەخشەکە: وێنەیەکی ئاوێنەیی لە $y=x$ ـدا

Graphs of $\log_2 x$ , $\ln x$ and $\log_3 x$ هێڵکاریی $\log_2 x$ ، $\ln x$ و $\log_3 x$

Counting bits with $\log_2$ ژماردنی بیتەکان بە $\log_2$