Chapterبەش 2 · Lectureوانە 2.8

Geometric, Harmonic and Quadratic Meansناوەندی ئەندازەیی، ناوەندی هارمۆنیک و ناوەندی دووجایی

Three more averages and the question each one answers: the geometric mean for growth (computed with logarithms), the harmonic mean for speeds and rates, and the quadratic mean (RMS) for errors and voltage — for raw and grouped data, with the course's examples corrected, the true order $H \le G \le \bar X \le Q$ , the HAGWQ formula card and Python.

سێ تێکڕای تر و ئەو پرسیارەی هەر یەکێکیان وەڵامی دەداتەوە: بۆ گەشە (بە )، بۆ خێرایی و ڕێژە و ⁦(RMS)⁩ بۆ هەڵە و — بۆ ڕەسەن و پۆلێنکراو، بە نموونە ڕاستکراوەکانی کۆرسەکە، ڕیزبەندیی ڕاستی $H \le G \le \bar X \le Q$ ، کارتی یاساکانی HAGWQ و Python.

16 min read17 خولەک خوێندنەوە · 17 stepsهەنگاو

What you will learnچی فێر دەبیت

Compute the geometric mean with logarithms, and the harmonic and quadratic means, for ungrouped and grouped data.
Choose the right mean for growth rates, speeds and signed errors, and explain why.
State and use the order $H \le G \le \bar X \le Q$ as a check on your answers.
Compute the means in Python with statistics.geometric_mean, harmonic_mean and fmean.

بە ، و بۆ و بدۆزیتەوە.
گونجاو بۆ ڕێژەی گەشە، خێرایی و هەڵەی نیشانەدار هەڵبژێریت و هۆکارەکەی ڕوون بکەیتەوە.
ڕیزبەندیی $H \le G \le \bar X \le Q$ بڵێیت و وەک پشکنینێک بۆ وەڵامەکانت بەکاری بهێنیت.
لە Pythonـدا بە statistics.geometric_mean، harmonic_mean و fmean بدۆزیتەوە.

Four means, four questionsچوار ناوەند، چوار پرسیار

The arithmetic mean answers one question: which single value, used $n$ times, gives the same sum? But data do not always combine by adding. Growth rates combine by multiplying, speeds over equal distances combine through times, and errors with + and − signs only make sense when squared. Each case has its own mean, and each mean keeps a different total unchanged:

ناوەند وەڵامی یەک پرسیار دەداتەوە: کام تاکە نرخ، کە $n$ جار بەکار بهێنرێت، هەمان کۆ دەدات؟ بەڵام هەمیشە بە کۆکردنەوە یەک ناگرن. ڕێژەی گەشە بە لێکدان یەک دەگرێت، خێرایی لەسەر دووریی یەکسان لە ڕێگەی کاتـەوە یەک دەگرێت و هەڵەکان کە نیشانەی + و −یان هەیە تەنها کاتێک واتایان هەیە کە دووجا بکرێن. هەر حاڵەتێک خۆی هەیە و هەر کۆیەکی جیاواز وەک خۆی دەهێڵێتەوە:

Mean	What stays the sameچی وەک خۆی دەمێنێتەوە	Typical useبەکارهێنانی باو
Arithmetic $\bar X$ (هێمای $\bar X$ )	$\bar X + \cdots + \bar X = \sum X_i$	marks, prices, heightsنمرە، نرخ، باڵا
Geometric $G$ (هێمای $G$ )	$G \cdot G \cdots G = \prod X_i$	growth rates, ratiosڕێژەی گەشە، ڕێژەکان
Harmonic $H$ (هێمای $H$ )	$\tfrac{1}{H} + \cdots + \tfrac{1}{H} = \sum \tfrac{1}{X_i}$	speeds, rates per unitخێرایی، ڕێژە بۆ هەر یەکەیەک
Quadratic $Q$ (هێمای $Q$ )	$Q^2 + \cdots + Q^2 = \sum X_i^2$	errors, electric voltageهەڵەکان، کارەبا

Quick checkپشکنینی خێراA shop's sales are multiplied by 1.5 one year and by 0.8 the next. Which mean gives the typical yearly change?فرۆشتنی دوکانێک ساڵێک لە ⁦1.5⁩ دەدرێت و ساڵی دواتر لە ⁦0.8⁩. کام گۆڕانی ئاسایی ساڵانە دەدات؟The quadratic meanناوەندی دووجاییThe harmonic meanناوەندی هارمۆنیکThe geometric meanناوەندی ئەندازەیی

The geometric mean: the mean of multiplyingناوەندی ئەندازەیی: ناوەندی لێکدان

The geometric mean of $n$ positive numbers is the $n$ -th root of their product:

بۆ $n$ ژمارەی ئەرێنی ڕەگی $n$ ـەمی لێکدانەکەیانە:

G = \sqrt[n]{X_1 \cdot X_2 \cdots X_n} = \sqrt[n]{\prod_{i=1}^{n} X_i}

Definitionپێناسە

The $n$ -th root of the product of $n$ positive values: $G = \sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n}$ . It suits growth rates and ratios.

ڕەگی $n$ ـەمی لێکدانی $n$ نرخی ئەرێنییە: $G = \sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n}$ . بۆ ڕێژەی گەشە و ڕێژەکان گونجاوە.

Why it exists. A phone shop sells 100 phones in its first year. Sales grow by 50% ( $\times 1.5$ ) and then fall by 20% ( $\times 0.8$ ), so the third year has $100 \cdot 1.5 \cdot 0.8 = 120$ . The arithmetic mean of the two changes, +15%, predicts $100 \cdot 1.15^2 = 132.25$ — wrong. The geometric mean of the multipliers, $\sqrt{1.5 \cdot 0.8} = \sqrt{1.2} = 1.0954$ , means +9.54% a year, and $100 \cdot 1.0954^2 = 120$ exactly.

بۆچی هەیە. دوکانێکی مۆبایل لە ساڵی یەکەمدا ⁦100⁩ مۆبایل دەفرۆشێت. فرۆشتن ⁦50%⁩ زیاد دەکات ( $\times 1.5$ )، پاشان ⁦20%⁩ کەم دەکات ( $\times 0.8$ )، بۆیە ساڵی سێیەم $100 \cdot 1.5 \cdot 0.8 = 120$ دەبێت. دوو گۆڕانەکە، ⁦+15%⁩، پێشبینیی $100 \cdot 1.15^2 = 132.25$ دەکات — هەڵەیە. بۆ ژمارە لێکدەرەکان، $\sqrt{1.5 \cdot 0.8} = \sqrt{1.2} = 1.0954$ ، واتە ساڵانە ⁦+9.54%⁩. ئەمە ڕێک $100 \cdot 1.0954^2 = 120$ دەدات.

Arithmetic Mean | Geometric Mean | Harmonic Meanzedstatistics · Englishئینگلیزی · 202K viewsبینین · 4.4K likesلایک · Partبەشی 3:25–8:59 (ofلە 15:07)
The geometric mean averages growth rates by multiplying and taking the n-th root; the harmonic mean gives the true average speed over equal distances.
تێکڕای ڕێژەکانی گەشە دەدۆزێتەوە بە لێکدانیان و دەرهێنانی ڕەگی $n$ ؛ تێکڕای ڕاستەقینەی خێرایی بۆ دووریی یەکسان دەدات.
Watch 3:25–8:59: the geometric mean of growth rates
لە ⁦3:25⁩ تا ⁦8:59⁩ سەیر بکە: بۆ ڕێژەکانی گەشە.

The geometric mean: the mean of multiplyingناوەندی ئەندازەیی: ناوەندی لێکدان

Computing G with logarithmsدۆزینەوەی G بە لۆگاریتم

Multiplying many values gives huge numbers (100 values around 67 have a product with about 183 digits). A logarithm turns the product into a sum (rule 6 of Π), so we average the logs instead and turn back at the end:

لێکدانی زۆر نرخ ژمارەی زۆر گەورە دەدات (لێکدانی ⁦100⁩ نرخی نزیک لە ⁦67⁩ نزیکەی ⁦183⁩ هەیە). لۆگاریتم لێکدان دەکاتە کۆ (یاسای 6ی Π)، بۆیە لە جیاتی ئەوە تێکڕای دەدۆزینەوە و لە کۆتاییدا دەگەڕێینەوە:

\log G = \frac{\log(X_1 X_2 \cdots X_n)}{n} = \frac{\log X_1 + \cdots + \log X_n}{n} = \frac{\sum_{i=1}^{n} \log X_i}{n}, \qquad G = 10^{\log G}

Example (6), Table (11) corrected: $\log 5 = 0.6990$ نموونەی ⁦(6)⁩، خشتەی ⁦(11)⁩ی ڕاستکراوە: $\log 5 = 0.6990$
$X_i$	3	5	8	3	7	2	Sumکۆ
$\log X_i$	0.4771	0.6990	0.9031	0.4771	0.8451	0.3010	3.7024

\log G = \frac{3.7024}{6} = 0.6171 \quad\Rightarrow\quad G = 10^{0.6171} = 4.1407

Two typos in Example (6)دوو هەڵەی چاپ لە نموونەی ⁦(6)⁩دا

The notes print $\log 5 = 0.6996$ and a column total of 3.6171. In fact $\log 5 = 0.6990$ and the total is 3.7024. The printed result $\log G = 0.6171$ and $G = 4.14$ are right only because $3.7024 / 6 = 0.6171$ ; dividing the printed total would give $3.6171/6 = 0.6029$ and $G = 4.01$ . The direct product, $3 \cdot 5 \cdot 8 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 2 = 5040$ , confirms $G = 4.1407$ .

تێبینییەکان $\log 5 = 0.6996$ و کۆی ستوونی ⁦3.6171⁩ چاپ دەکەن. لە ڕاستیدا $\log 5 = 0.6990$ ـە و کۆکە ⁦3.7024⁩ـە. ئەنجامە چاپکراوەکە $\log G = 0.6171$ و $G = 4.14$ تەنها لەبەر ئەوە ڕاستن کە $3.7024 / 6 = 0.6171$ ؛ دابەشکردنی کۆ چاپکراوەکە $3.6171/6 = 0.6029$ و $G = 4.01$ دەدات. لێکدانی ڕاستەوخۆ، $3 \cdot 5 \cdot 8 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 2 = 5040$ ، $G = 4.1407$ پشتڕاست دەکاتەوە.

The geometric mean: the mean of multiplyingناوەندی ئەندازەیی: ناوەندی لێکدان

The geometric mean of grouped dataناوەندی ئەندازەیی بۆ دراوەی پۆلێنکراو

For a frequency table, each log is counted $F_i$ times — the same idea as the grouped arithmetic mean:

بۆ ، هەر $F_i$ جار هەژمار دەکرێت — هەمان بیرۆکەی پۆلێنکراو:

\log G = \frac{\sum F_i \log X_i}{\sum F_i}, \qquad G = 10^{\log G}

Example (7), Table (13) recomputed (logs to 4 places, products from exact logs)نموونەی ⁦(7)⁩، خشتەی ⁦(13)⁩ بە دووبارە ژماردنەوە ( بە 4 ، لێکدانەکان لە ورد)
Class	$F_i$	$X_i$	$\log X_i$	$F_i \log X_i$
60–62	5	61	1.7853	8.9266
63–65	18	64	1.8062	32.5112
66–68	42	67	1.8261	76.6951
69–71	27	70	1.8451	49.8176
72–74	8	73	1.8633	14.9066
Totalکۆ	100			182.8573

\log G = \frac{182.8573}{100} = 1.828573 \quad\Rightarrow\quad G = 10^{1.828573} = 67.3865

Example (7):

G = 67.3865

, not 67.3332نموونەی ⁦(7)⁩:

G = 67.3865

، نەک ⁦67.3332⁩

The notes' table has small slips: $\log 64$ is printed as 1.8061 (it is 1.8062) and $\log 67$ as 1.8263 (it is 1.8261). The column total is printed as 182.8229, although even the printed products add up to 182.8583, and that total gives $G = 67.3332$ . Recomputed with Python the total is 182.8573 and $G = 67.3865$ . The slip also breaks the order of the means: with the printed values the harmonic mean (67.3351) came out larger than $G$ , which can never happen.

خشتەی تێبینییەکان هەڵەی بچووکی تێدایە: $\log 64$ وەک ⁦1.8061⁩ چاپ کراوە (ڕاستەکەی ⁦1.8062⁩ـە) و $\log 67$ وەک ⁦1.8263⁩ (ڕاستەکەی ⁦1.8261⁩ـە). کۆی ستوونەکە ⁦182.8229⁩ چاپ کراوە، هەرچەندە کۆی لێکدانە چاپکراوەکانیش ⁦182.8583⁩ـە. ئەو کۆیە $G = 67.3332$ دەدات. بە Python دووبارە ژمێردرایەوە: کۆکە ⁦182.8573⁩ـە و $G = 67.3865$ . ئەم هەڵەیە ڕیزبەندیی تێک دەدات: بە نرخە چاپکراوەکان ⁦(67.3351)⁩ لە $G$ گەورەتر دەرچوو، کە هەرگیز ڕوو نادات.

The harmonic mean: the mean of ratesناوەندی هارمۆنیک: ناوەندی ڕێژەکان

The harmonic mean is the number of values divided by the sum of their reciprocals:

ژمارەی نرخەکانە دابەش بە کۆی هەڵگەڕاوەکانیان:

H = \frac{n}{\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{X_i}} = \frac{n}{\frac{1}{X_1} + \frac{1}{X_2} + \cdots + \frac{1}{X_n}}

Why it exists. A taxi drives 120 km from town A to town B at 60 km/h and comes back at 40 km/h. The trip takes $2 + 3 = 5$ hours for 240 km, so the average speed is 48 km/h — the harmonic mean of 60 and 40 — and not 50. The slow half of the road takes more of the time, so it counts more.

بۆچی هەیە. تەکسییەک ⁦120 km⁩ لە شاری Aـەوە بۆ شاری B بە خێرایی ⁦60 km/h⁩ دەڕوات و بە ⁦40 km/h⁩ دەگەڕێتەوە. گەشتەکە بۆ ⁦240 km⁩ $2 + 3 = 5$ کاتژمێر دەخایەنێت، بۆیە تێکڕای خێرایی ⁦48 km/h⁩ـە — ⁦60⁩ و ⁦40⁩ — نەک ⁦50⁩. نیوە هێواشەکەی ڕێگاکە کاتی زیاتر دەبات، بۆیە زیاتر هەژمار دەکرێت.

Equal distances, different speeds: average the speeds with the harmonic mean.دووریی یەکسان، خێرایی جیاواز: تێکڕای خێراییەکان بە بدۆزەرەوە.CêIT

Definitionپێناسە

The number of values divided by the sum of their reciprocals: $H = \frac{n}{\sum 1/x_i}$ . It suits averages of speeds and rates.

ژمارەی نرخەکانە دابەش بە کۆی پێچەوانەکانیان: $H = \frac{n}{\sum 1/x_i}$ . بۆ تێکڕای خێرایی و ڕێژەکان گونجاوە.

Quick checkپشکنینی خێراA bus drives 60 km at 30 km/h and the next 60 km at 90 km/h. What is its average speed?پاسێک ⁦60 km⁩ بە ⁦30 km/h⁩ دەڕوات و ⁦60 km⁩ـی دواتر بە ⁦90 km/h⁩. تێکڕای خێراییەکەی چەندە؟52 km/h⁦52⁩ کیلۆمەتر/کاتژمێر45 km/h⁦45⁩ کیلۆمەتر/کاتژمێر60 km/h⁦60⁩ کیلۆمەتر/کاتژمێر

Arithmetic Mean | Geometric Mean | Harmonic Meanzedstatistics · Englishئینگلیزی · 202K viewsبینین · 4.4K likesلایک · Partبەشی 8:59–14:29 (ofلە 15:07)
The geometric mean averages growth rates by multiplying and taking the n-th root; the harmonic mean gives the true average speed over equal distances.
تێکڕای ڕێژەکانی گەشە دەدۆزێتەوە بە لێکدانیان و دەرهێنانی ڕەگی $n$ ؛ تێکڕای ڕاستەقینەی خێرایی بۆ دووریی یەکسان دەدات.
Watch 8:59–14:29: the harmonic mean for speeds over equal distances
لە ⁦8:59⁩ تا ⁦14:29⁩ سەیر بکە: بۆ خێرایی لە دووریی یەکساندا.

The harmonic mean: the mean of ratesناوەندی هارمۆنیک: ناوەندی ڕێژەکان

Examples (8) and (9)نموونەکانی ⁦(8)⁩ و ⁦(9)⁩

Example (8)نموونەی ⁦(8)⁩

Reciprocalsهەڵگەڕاوەکان
Example (8): $X_i = 3, 5, 6, 6, 7, 10, 12$ . Their reciprocals are 0.3333, 0.2, 0.1667, 0.1667, 0.1429, 0.1, 0.0833.
نموونەی ⁦(8)⁩: $X_i = 3, 5, 6, 6, 7, 10, 12$ . ⁦0.3333⁩، ⁦0.2⁩، ⁦0.1667⁩، ⁦0.1667⁩، ⁦0.1429⁩، ⁦0.1⁩، ⁦0.0833⁩ن.
Add themکۆیان بکەرەوە
$\sum \tfrac{1}{X_i} = \tfrac{167}{140} = 1.1929$
$\sum \tfrac{1}{X_i} = \tfrac{167}{140} = 1.1929$
Divide $n$ by the sum $n$ دابەشی کۆکە بکە
$H = \tfrac{7}{1.1929} = 5.868$
$H = \tfrac{7}{1.1929} = 5.868$

For grouped data each reciprocal counts $F_i$ times:

بۆ هەر $F_i$ جار هەژمار دەکرێت:

H = \frac{\sum F_i}{\sum \frac{F_i}{X_i}}

Example (9), Table (16) recomputed (same classes as Table (12))نموونەی ⁦(9)⁩، خشتەی ⁦(16)⁩ بە دووبارە ژماردنەوە (هەمان خشتەی ⁦(12)⁩)
$X_i$	61	64	67	70	73	Sumکۆ
$F_i$	5	18	42	27	8	100
$F_i/X_i$	0.0820	0.2813	0.6269	0.3857	0.1096	1.4855

H = \frac{100}{1.48539} = 67.3226

Example (9):

H = 67.3226

, not 67.3351نموونەی ⁦(9)⁩:

H = 67.3226

، نەک ⁦67.3351⁩

The notes round $42/67$ down to 0.6268 and $8/73$ to 0.1095, get a sum of 1.4851 and $H = 67.3351$ . The correct terms are 0.6269 and 0.1096, the sum is 1.48539 and $H = 67.3226$ (Python). Now $H$ is below $G = 67.3865$ , as it must be.

تێبینییەکان $42/67$ بۆ ⁦0.6268⁩ و $8/73$ بۆ ⁦0.1095⁩ کەم دەکەنەوە، کۆی ⁦1.4851⁩ و $H = 67.3351$ وەردەگرن. بڕگە ڕاستەکان ⁦0.6269⁩ و ⁦0.1096⁩ن، کۆکە ⁦1.48539⁩ـە و $H = 67.3226$ ⁦(Python)⁩. ئێستا $H$ لە خوار $G = 67.3865$ ـەوەیە، وەک پێویستە.

Quick checkپشکنینی خێراFor Example (8), why is

H

(5.87) smaller than the arithmetic mean (7)?بۆ نموونەی ⁦(8)⁩، بۆچی

H

⁦(5.87)⁩ لە ⁦(7)⁩ بچووکترە؟Small values have large reciprocals, so they pull

H

downنرخە بچووکەکان هەڵگەڕاوەکانی گەورەیان هەیە، بۆیە

H

دادەبەزێنن

H

is always half of the mean

H

هەمیشە نیوەی ناوەندەکەیەBecause there is a mistakeچونکە هەڵەیەک هەیە

The quadratic mean (root mean square)ناوەندی دووجایی (ڕەگی تێکڕای دووجاکان)

The quadratic mean squares every value, takes the mean of the squares, then takes the square root. That is why it is also called the root mean square (RMS):

هەموو نرخێک دووجا دەکات، دووجاکان دەدۆزێتەوە، پاشان وەردەگرێت. لەبەر ئەمە پێی دەڵێن ڕەگی تێکڕای دووجاکان ⁦(RMS)⁩:

Q = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n} X_i^2}{n}} \qquad\qquad Q = \sqrt{\frac{\sum F_i X_i^2}{\sum F_i}}

Why it exists. A weather app's forecasts miss the real temperature by $+2, -1, 0, -3$ and $+2$ degrees on five days. The plain mean of these errors is 0, as if the app were perfect. Squaring removes the signs: $Q = \sqrt{(4+1+0+9+4)/5} = \sqrt{3.6} = 1.90$ degrees, the typical size of a miss. This is the RMSE that machine learning uses to score predictions.

بۆچی هەیە. پێشبینییەکانی بەرنامەیەکی کەشوهەوا لە پێنج ڕۆژدا بە $+2, -1, 0, -3$ و $+2$ پلە لە پلەی گەرمیی ڕاستەقینە لادەدەن. ئاسایی ئەم هەڵانە 0ـە، وەک ئەوەی بەرنامەکە بێ هەڵە بێت. دووجاکردن نیشانەکان لادەبات: $Q = \sqrt{(4+1+0+9+4)/5} = \sqrt{3.6} = 1.90$ پلە، کە قەبارەی ئاسایی هەڵەیەکە. ئەمە هەمان RMSEـە کە فێربوونی ئامێر بۆ هەڵسەنگاندنی پێشبینییەکان بەکاری دەهێنێت.

RMS in electricityRMS لە کارەبادا

A wall socket's voltage swings up and down 50 times a second, so its plain mean is 0. Its strength is quoted as an RMS value: a 230 V supply (the standard in Europe and many other countries) actually swings between about $-325$ V and $+325$ V, because for this wave $Q = V_{\max}/\sqrt{2}$ ( $V_{\max}$ is the peak voltage) and $230 \cdot \sqrt{2} \approx 325$ .

سوکێتی دیوار لە هەر چرکەیەکدا ⁦50⁩ جار بەرز و نزم دەبێتەوە، بۆیە ئاساییەکەی 0ـە. هێزەکەی وەک نرخێکی RMS دەگوترێت: کارەبای ⁦230 V⁩ (ستانداردی ئەوروپا و زۆر وڵاتی تر) لە ڕاستیدا لە نێوان نزیکەی $-325$ V و $+325$ V دەگۆڕێت، چونکە بۆ ئەم شەپۆلە $Q = V_{\max}/\sqrt{2}$ ( $V_{\max}$ بەرزترین ) و $230 \cdot \sqrt{2} \approx 325$ .

Quick checkپشکنینی خێراErrors of

-2, 1, 3

and

-2

: what is their quadratic mean?هەڵەکانی

-2, 1, 3

و

-2

: بۆیان چەندە؟

\sqrt{4.5} \approx 2.12

\sqrt{4.5} \approx 2.12

0

0

4.5

4.5

The quadratic mean (root mean square)ناوەندی دووجایی (ڕەگی تێکڕای دووجاکان)

Examples (10) and (11)نموونەکانی ⁦(10)⁩ و ⁦(11)⁩

Q = \sqrt{\frac{1^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 7^2}{5}} = \sqrt{\frac{100}{5}} = \sqrt{20} = 4.47

Example (11), Table (19)نموونەی ⁦(11)⁩، خشتەی ⁦(19)⁩
$X_i$	$F_i$	$X_i^2$	$F_iX_i^2$
61	5	3721	18605
64	18	4096	73728
67	42	4489	188538
70	27	4900	132300
73	8	5329	42632
Totalکۆ	100		455803

Q = \sqrt{\frac{455803}{100}} = \sqrt{4558.03} = 67.5132

Quick checkپشکنینی خێراIn Example (11), why is

Q

(67.51) a little bigger than the arithmetic mean (67.45)?لە نموونەی ⁦(11)⁩دا، بۆچی

Q

⁦(67.51)⁩ کەمێک لە ⁦(67.45)⁩ گەورەترە؟

Q

always adds 0.06

Q

هەمیشە ⁦0.06⁩ زیاد دەکاتSquaring gives the larger values more influenceدووجاکردن کاریگەریی زیاتر دەداتە نرخە گەورەکانBecause of rounding onlyتەنها لەبەر نزیککردنەوە

The order of the means: $H \le G \le \bar X \le Q$ ڕیزبەندیی ناوەندەکان: $H \le G \le \bar X \le Q$

For positive data the four means always come in the same order, and they are all equal only when all the values are equal:

بۆ ئەرێنی هەر چوار هەمیشە بە هەمان ڕیز دێن و تەنها کاتێک هەموویان یەکسانن کە هەموو نرخەکان یەکسان بن:

H \;\le\; G \;\le\; \bar X \;\le\; Q

Table (12): the four means of one data set, in their fixed order.خشتەی ⁦(12)⁩: چوار یەک کۆمەڵە ، بە ڕیزە نەگۆڕەکەیان.CêIT

The notes print the order wronglyتێبینییەکان ڕیزبەندییەکە بە هەڵە چاپ دەکەن

The notes state “ $Q \le H \le G \le \bar X$ ”. That is wrong: $Q$ is the largest of the four, not the smallest. The correct order is $H \le G \le \bar X \le Q$ , and the course's own Table (12) shows it: $67.32 \le 67.39 \le 67.45 \le 67.51$ .

تێبینییەکان دەڵێن « $Q \le H \le G \le \bar X$ ». ئەمە هەڵەیە: $Q$ گەورەترینی چوارەکەیە، نەک بچووکترین. ڕیزبەندیی ڕاست $H \le G \le \bar X \le Q$ ـە و خشتەی ⁦(12)⁩ی خودی کۆرسەکە پیشانی دەدات: $67.32 \le 67.39 \le 67.45 \le 67.51$ .

Quick checkپشکنینی خێراA student finds

H = 26.5

,

G = 28.1

,

\bar X = 29.7

and

Q = 27.2

for one data set. What do you conclude?قوتابییەک بۆ یەک کۆمەڵە

H = 26.5

،

G = 28.1

،

\bar X = 29.7

و

Q = 27.2

دەدۆزێتەوە. چی دەردەخەیت؟

H

is wrong: it must be the largest

H

هەڵەیە: دەبێت گەورەترین بێت

Q

is wrong: it must be at least 29.7

Q

هەڵەیە: دەبێت لانیکەم ⁦29.7⁩ بێتEverything is fineهەموو شتێک ڕاستە

The order of the means: $H \le G \le \bar X \le Q$ ڕیزبەندیی ناوەندەکان: $H \le G \le \bar X \le Q$

Watching the order holdسەیرکردنی ڕیزبەندییەکە

Two dots a and b on a number line from 0 to 12. First a = b = 6 and all four means equal 6. Then a = 4, b = 8 gives H = 5.33, G = 5.66, x̄ = 6, Q = 6.32; a = 2, b = 10 gives H = 3.33, G = 4.47, x̄ = 6, Q = 7.21; a = 1, b = 11 gives H = 1.83, G = 3.32, x̄ = 6, Q = 7.81. The order H ≤ G ≤ x̄ ≤ Q never changes. — The further apart the values, the further apart the means — but never out of order.تا نرخەکان دوورتر بن، دوورتر دەبن — بەڵام هەرگیز ڕیزەکەیان تێک ناچێت.CêIT

For two numbers you can see why: $Q^2 - \bar X^2 = \left(\tfrac{a-b}{2}\right)^2 \ge 0$ , $\bar X^2 - G^2 = \left(\tfrac{a-b}{2}\right)^2 \ge 0$ and $G^2 = \bar X \cdot H$ . Every gap is a square of $a - b$ , so it is zero only when $a = b$ .

بۆ دوو ژمارە دەتوانیت هۆکارەکە ببینیت: $Q^2 - \bar X^2 = \left(\tfrac{a-b}{2}\right)^2 \ge 0$ ، $\bar X^2 - G^2 = \left(\tfrac{a-b}{2}\right)^2 \ge 0$ و $G^2 = \bar X \cdot H$ . هەر بۆشاییەک دووجای $a - b$ ـە، بۆیە تەنها کاتێک سفرە کە $a = b$ .

Problem-Solving Trick No One Taught You: RMS-AM-GM-HM InequalityMindYourDecisions · Englishئینگلیزی · 242K viewsبینین · 9K likesلایک · Partبەشی 0:00–7:40 (ofلە 8:24)
A semicircle picture shows why, for two positive numbers, the harmonic ≤ geometric ≤ arithmetic ≤ quadratic mean, equal only when the numbers are equal.
وێنەیەکی نیوەبازنە پیشان دەدات بۆچی بۆ دوو هەمیشە $H \le G \le A \le Q$ (، ، ، )؛ تەنها کاتێک یەکسانن کە ژمارەکان یەکسان بن.
Watch 0:00–7:40: one picture shows H ≤ G ≤ mean ≤ Q for two numbers a and b
لە ⁦0:00⁩ تا ⁦7:40⁩ سەیر بکە: یەک وێنە $H \le G \le \bar{x} \le Q$ بۆ دوو ژمارەی $a$ و $b$ پیشان دەدات.

Which mean when?کام ناوەند کەی؟

Situationحاڵەت	Right mean ڕاست	Exampleنموونە
Values that add up to a meaningful totalنرخ کە کۆکەیان واتادارە	Arithmetic (ژمێرەیی)	marks, salaries, rainfallنمرە، مووچە، بارانبارین
Values that multiply: growth, interest, ratiosنرخ کە لێک دەدرێن: گەشە، سوود، ڕێژە	Geometric	yearly growth of sales or usersگەشەی ساڵانەی فرۆشتن یان بەکارهێنەران
Rates over equal amounts (km, litres, tasks)ڕێژە لەسەر بڕی یەکسان (km، لیتر، ئەرک)	Harmonic	average speed, price per item bought for equal moneyتێکڕای خێرایی، نرخی دانەیەک کە بە پارەی یەکسان کڕدراوە
Sizes of values with + and − signsقەبارەی نرخ کە نیشانەی + و −یان هەیە	Quadratic (RMS) ⁦(RMS)⁩	prediction errors, AC voltageهەڵەی پێشبینی،

Rates over equal times are averaged with the ordinary mean: driving one hour at 60 km/h and one hour at 40 km/h gives 50 km/h. The question is always: what is shared equally — the distance or the time?

ڕێژەکان لەسەر کاتی یەکسان بە ئاسایی تێکڕا دەکرێن: یەک کاتژمێر بە ⁦60 km/h⁩ و یەک کاتژمێر بە ⁦40 km/h⁩ دەکاتە ⁦50 km/h⁩. پرسیارەکە هەمیشە ئەمەیە: چی بە یەکسانی بەش کراوە — دوورییەکە یان کاتەکە؟

Quick checkپشکنینی خێراYou spend 10 000 dinars on oranges at 2000 dinars a kilo and another 10 000 dinars at 1000 dinars a kilo. What is the mean price per kilo?⁦10 000⁩ دینار بۆ پرتەقاڵ دەدەیت بە کیلۆی ⁦2000⁩ دینار و ⁦10 000⁩ دیناری تر بە کیلۆی ⁦1000⁩ دینار. تێکڕای نرخی کیلۆیەک چەندە؟About 1333 dinars (harmonic mean)نزیکەی ⁦1333⁩ دینار (ناوەندی هارمۆنیک)1500 dinars (arithmetic mean)⁦1500⁩ دینار (ناوەند)About 1414 dinars (geometric mean)نزیکەی ⁦1414⁩ دینار (ناوەندی ئەندازەیی)

The means in Pythonناوەندەکان لە Pythonـدا

The statistics module has geometric_mean() (Python 3.8+) and harmonic_mean(), which takes weights from Python 3.10. There is no ready quadratic mean, but it is one line with math.sqrt(). For grouped data, use the frequencies as weights:

statistics geometric_mean() ⁦(Python 3.8+)⁩ و harmonic_mean()ـی هەیە کە لە ⁦Python 3.10⁩ـەوە weights وەردەگرێت. بۆ ئامادە نییە، بەڵام بە math.sqrt() یەک دێڕە. بۆ ، وەک بەکار بهێنە:

PYTHONType in a terminalلە تێرمیناڵدا بینووسە

import math
import statistics as st

x = [3, 5, 8, 3, 7, 2]                        # Example (6)
print(round(st.geometric_mean(x), 4))
print(round(10 ** (sum(math.log10(v) for v in x) / len(x)), 4))

print(round(st.harmonic_mean([3, 5, 6, 6, 7, 10, 12]), 4))   # Example (8)
print(st.harmonic_mean([60, 40]))             # the trip

q = [1, 3, 4, 5, 7]                           # Example (10)
print(round(math.sqrt(st.fmean([v * v for v in q])), 4))

X = [61, 64, 67, 70, 73]                      # Table (12)
F = [5, 18, 42, 27, 8]
H = st.harmonic_mean(X, weights=F)
G = 10 ** st.fmean([math.log10(v) for v in X], weights=F)
A = st.fmean(X, weights=F)
Q = math.sqrt(st.fmean([v * v for v in X], weights=F))
print([round(m, 4) for m in (H, G, A, Q)])
print(H <= G <= A <= Q)

Explain the codeڕوونکردنەوەی کۆدەکە

Lineدێڕی 5-6

Two ways to get G for Example (6): the built-in function and the log method of the notes. Both give 4.1407.

دوو ڕێگا بۆ Gـی نموونەی ⁦(6)⁩: ئامادەکە و ڕێگای لە تێبینییەکاندا. هەردووکیان ⁦4.1407⁩ دەدەن.

Lineدێڕی 8-9

The harmonic mean of Example (8), and of the two speeds of the trip: 48.0.

نموونەی ⁦(8)⁩ و دوو خێراییەکەی گەشتەکە: ⁦48.0⁩.

Lineدێڕی 11-12

$Q$ = square root of the mean of the squares.

$Q$ = دووجاکان.

Lineدێڕی 14-21

The grouped versions for Table (12), with the frequencies as weights, and the order check.

وەشانە پۆلێنکراوەکان بۆ خشتەی ⁦(12)⁩، وەک ، لەگەڵ پشکنینی ڕیزبەندی.

Zero and negative valuesنرخی سفر و نەرێنی

geometric_mean() raises StatisticsError for a negative value. A zero gives 0.0 in Python 3.13 (geometric_mean([2, 0, 8])) but StatisticsError in older versions, and the documentation still describes the error. harmonic_mean() returns 0 if any value is 0 and rejects negative values. Check that your data are positive before using $G$ or $H$ .

geometric_mean() بۆ نرخێکی نەرێنی StatisticsError دروست دەکات. سفرێک لە ⁦Python 3.13⁩ـدا ⁦0.0⁩ دەدات (geometric_mean([2, 0, 8]))، بەڵام لە وەشانە کۆنەکاندا StatisticsError دروست دەکات. بەڵگەنامەکەی Pythonـیش هێشتا باسی ئەو هەڵەیە دەکات. harmonic_mean() ئەگەر نرخێک 0 بێت 0 دەگەڕێنێتەوە و نرخی نەرێنی ڕەت دەکاتەوە. پێش بەکارهێنانی $G$ یان $H$ دڵنیا بە کە ئەرێنییە.

A formula card: HAGWQکارتێکی یاساکان: HAGWQ

To remember the five means of this chapter, the course's study notes use the word HAGWQ: Harmonic, Arithmetic, Geometric, Weighted, Quadratic — with one column for grouped data and one for ungrouped data.

بۆ لەبیرمانی پێنج ئەم بەندە، تێبینییەکانی خوێندنی کۆرسەکە وشەی HAGWQ بەکار دەهێنن: Harmonic، Arithmetic، Geometric، Weighted، Quadratic — ستوونێک بۆ و ستوونێک بۆ .

HAGWQ: the five means side by sideHAGWQ: پێنج لە تەنیشت یەکەوە
Mean	Grouped (G)پۆلێنکراو ⁦(G)⁩	Ungrouped (U)پۆلێننەکراو ⁦(U)⁩
H harmonicH، واتە	$H = \dfrac{\sum F_i}{\sum F_i/X_i}$	$H = \dfrac{n}{\sum 1/X_i}$
A arithmeticA، واتە	$\bar X = \dfrac{\sum F_iX_i}{\sum F_i}$	$\bar X = \dfrac{\sum X_i}{n}$
G geometricG، واتە	$\log G = \dfrac{\sum F_i\log X_i}{\sum F_i}$	$\log G = \dfrac{\sum \log X_i}{n}$
W weightedW، واتە	$\bar X_W = \dfrac{\sum F_iW_iX_i}{\sum F_iW_i}$	$\bar X_W = \dfrac{\sum W_iX_i}{\sum W_i}$
Q quadraticQ، واتە	$Q = \sqrt{\dfrac{\sum F_iX_i^2}{\sum F_i}}$	$Q = \sqrt{\dfrac{\sum X_i^2}{n}}$

Read across a row: the grouped formula is the ungrouped one with every value counted $F_i$ times, and $n$ replaced by $\sum F_i$ . (On the original card the ungrouped weighted mean was left empty; it is filled in here.)

بە درێژایی ڕیزێک بیخوێنەرەوە: یاسای پۆلێنکراو هەمان یاسای پۆلێننەکراوە کە هەر نرخێک $F_i$ جار هەژمار دەکرێت و $n$ بە $\sum F_i$ دەگۆڕدرێت. (لە کارتە ڕەسەنەکەدا پۆلێننەکراو بەتاڵ جێهێڵرابوو؛ لێرەدا پڕ کراوەتەوە.)

Quick checkپشکنینی خێراWhich change turns an ungrouped formula into the grouped one?کام گۆڕانکاری یاسایەکی پۆلێننەکراو دەکاتە پۆلێنکراو؟Replace every

X_i

by the class widthهەر

X_i

ـێک بە پانیی کلاس بگۆڕەWeight each term by

F_i

and replace

n

by

\sum F_i

هەر بڕگەیەک بە

F_i

قورس بکە و

n

بە

\sum F_i

بگۆڕەSquare every termهەموو بڕگەیەک دووجا بکە

Common mistakesهەڵە باوەکان

Mistakeهەڵە	What goes wrongچی تێک دەچێت	Do this insteadلە جیاتی ئەوە
Stopping at $\log G$ وەستان لە $\log G$	0.6171 is a log, not the mean⁦0.6171⁩ ، نەک	Finish with $G = 10^{\log G}$ بە $G = 10^{\log G}$ تەواوی بکە
Rounding logs to 2 placesنزیککردنەوەی بۆ 2	Small errors are multiplied by large frequenciesهەڵە بچووکەکان لە دەدرێن و گەورە دەبن	Keep 4 places, round only the final answer4 خانە بهێڵەرەوە، تەنها وەڵامی کۆتایی نزیک بکەرەوە
$\sum F_i / \sum X_i$ instead of $\sum F_i/X_i$ $\sum F_i / \sum X_i$ لە جیاتی $\sum F_i/X_i$	A different number altogetherژمارەیەکی بە تەواوی جیاواز	Divide each $F_i$ by its own $X_i$ , then addهەر $F_i$ ـێک دابەشی $X_i$ ـی خۆی بکە، پاشان کۆیان بکەرەوە
Forgetting the square root in $Q$ لەبیرکردنی لە $Q$ ـدا	You get the mean square (20 instead of 4.47)تێکڕای دووجاکان وەردەگریت (⁦20⁩ لە جیاتی ⁦4.47⁩)	Always finish with the square rootهەمیشە بە تەواوی بکە
$G$ or $H$ with a zero or negative value $G$ یان $H$ بە نرخی سفر یان نەرێنی	The formulas break downیاساکان تێک دەچن	Use $G$ and $H$ only for positive data $G$ و $H$ تەنها بۆ ئەرێنی بەکار بهێنە
Averaging speeds with the arithmetic meanتێکڕای خێرایی بە	50 km/h instead of 48 km/h⁦50 km/h⁩ لە جیاتی ⁦48 km/h⁩	Ask what is equal: distance → $H$ , time → $\bar X$ بپرسە چی یەکسانە: دووری ← $H$ ، کات ← $\bar X$

Quick checkپشکنینی خێراA solution gives

\log G = 1.4606

for a table where

\sum F_i \log X_i = 43.28

and

\sum F_i = 30

. What is wrong?چارەسەرێک

\log G = 1.4606

دەدات بۆ خشتەیەک کە

\sum F_i \log X_i = 43.28

و

\sum F_i = 30

. چی هەڵەیە؟NothingهیچIt should be divided by the number of classesدەبێت دابەشی ژمارەی کلاسەکان بکرێتThe division:

43.28 \div 30 = 1.4427

دابەشکردنەکە:

43.28 \div 30 = 1.4427

Exercisesڕاهێنانەکان

ExerciseڕاهێنانAverage yearly growthتێکڕای گەشەی ساڵانە

An online shop had 100 customers. The number grew by 20% in the first year, by 25% in the second and fell by 10% in the third ( $100 \to 120 \to 150 \to 135$ ). What is the average yearly growth?

فرۆشگایەکی ئۆنلاین ⁦100⁩ کڕیاری هەبوو. ژمارەکە لە ساڵی یەکەمدا ⁦20%⁩، لە ساڵی دووەمدا ⁦25%⁩ زیادی کرد و لە ساڵی سێیەمدا ⁦10%⁩ کەمی کرد ( $100 \to 120 \to 150 \to 135$ ). تێکڕای گەشەی ساڵانە چەندە؟

Hintئاماژە

Use the multipliers 1.2, 1.25 and 0.9.

ژمارە لێکدەرەکانی ⁦1.2⁩، ⁦1.25⁩ و ⁦0.9⁩ بەکار بهێنە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

G = \sqrt[3]{1.2 \cdot 1.25 \cdot 0.9} = \sqrt[3]{1.35} = 1.1052

ExerciseڕاهێنانPrediction errorsهەڵەکانی پێشبینی

A weather app missed the temperature by $+2, -1, 0, -3$ and $+2$ degrees. Find the arithmetic mean of the errors and their quadratic mean. Which one tells you how good the app is?

بەرنامەیەکی کەشوهەوا پلەی گەرمی بە $+2, -1, 0, -3$ و $+2$ پلە بە هەڵە پێشبینی کرد. هەڵەکان و بۆیان بدۆزەرەوە. کامیان پێت دەڵێت بەرنامەکە چەند باشە؟

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

Mean error: $(2-1+0-3+2)/5 = 0$ . Quadratic mean: $\sqrt{(4+1+0+9+4)/5} = \sqrt{3.6} = 1.90$ degrees. Q tells you the typical size of a miss; the mean only says the misses are balanced.

تێکڕای هەڵە: $(2-1+0-3+2)/5 = 0$ . : $\sqrt{(4+1+0+9+4)/5} = \sqrt{3.6} = 1.90$ پلە. Q قەبارەی ئاسایی هەڵەیەک پیشان دەدات؛ تەنها دەڵێت هەڵەکان هاوسەنگن.

ExerciseڕاهێنانAll four means of a tableهەر چوار ناوەندەکەی خشتەیەک

Use the classes of Example (5) without the weights: midpoints 3, 5, 7, 9, 11 with frequencies 4, 5, 6, 3, 2. Find $\bar X$ , $G$ , $H$ and $Q$ and check the order.

نموونەی ⁦(5)⁩ بەبێ بەکار بهێنە: 3، 5، 7، 9، ⁦11⁩ بە 4، 5، 6، 3، 2. $\bar X$ ، $G$ ، $H$ و $Q$ بدۆزەرەوە و ڕیزبەندییەکە بپشکنە.

Hintئاماژە

Make the columns $F_iX_i$ , $F_i\log X_i$ , $F_i/X_i$ and $F_iX_i^2$ .

ستوونەکانی $F_iX_i$ ، $F_i\log X_i$ ، $F_i/X_i$ و $F_iX_i^2$ دروست بکە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

\begin{aligned} \bar X &= \tfrac{128}{20} = 6.4 \\ \log G &= \tfrac{15.4194}{20} = 0.77097 \Rightarrow G = 5.9016 \\ H &= \tfrac{20}{3.7056} = 5.3972 \\ Q &= \sqrt{\tfrac{940}{20}} = \sqrt{47} = 6.8557 \end{aligned}

ExerciseڕاهێنانThe minibusمینیپاسەکە

A minibus drives 60 km at 30 km/h and the next 60 km at 90 km/h. Find its average speed in two ways: from the total time, and with the harmonic mean.

مینیپاسێک ⁦60 km⁩ بە ⁦30 km/h⁩ دەڕوات و ⁦60 km⁩ـی دواتر بە ⁦90 km/h⁩. تێکڕای خێراییەکەی بە دوو ڕێگا بدۆزەرەوە: لە کۆی کاتەکەوە و بە .

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

Time: $60/30 + 60/90 = 2 + 0.667 = 2.667$ h, so $120/2.667 = 45$ km/h. Harmonic mean: $2/(1/30 + 1/90) = 45$ km/h.

کات: $60/30 + 60/90 = 2 + 0.667 = 2.667$ کاتژمێر، کەواتە $120/2.667 = 45$ ⁦km/h⁩. : $2/(1/30 + 1/90) = 45$ ⁦km/h⁩.

ExerciseڕاهێنانCorrect the orderڕیزبەندییەکە ڕاست بکەرەوە

A summary sheet says: “for positive values, $Q \le H \le G \le \bar X$ ”. Use Example (10)'s data 1, 3, 4, 5, 7 to show that this is wrong, and write the correct order.

پەڕەیەکی کورتە دەڵێت: «بۆ نرخی ئەرێنی، $Q \le H \le G \le \bar X$ ». بە نموونەی ⁦(10)⁩، 1، 3، 4، 5، 7، پیشانی بدە کە ئەمە هەڵەیە و ڕیزبەندیی ڕاست بنووسە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

For 1, 3, 4, 5, 7: $\bar X = 4$ and $Q = \sqrt{20} = 4.47$ , so $Q$ is above $\bar X$ , not below $H$ . With Python, $H = 2.60$ and $G = 3.35$ . Correct order: $H = 2.60 \le G = 3.35 \le \bar X = 4 \le Q = 4.47$ .

بۆ 1، 3، 4، 5، 7: $\bar X = 4$ و $Q = \sqrt{20} = 4.47$ ، کەواتە $Q$ لە سەرووی $\bar X$ ـەوەیە، نەک لە خوار $H$ . بە Python، $H = 2.60$ و $G = 3.35$ . ڕیزبەندیی ڕاست: $H = 2.60 \le G = 3.35 \le \bar X = 4 \le Q = 4.47$ .

Summaryپوختە

Geometric mean $G = \sqrt[n]{\prod X_i}$ , computed with $\log G = \sum \log X_i / n$ : for growth and ratios, positive data only.
Harmonic mean $H = n / \sum (1/X_i)$ : for rates over equal amounts, such as average speed over equal distances.
Quadratic mean (RMS) $Q = \sqrt{\sum X_i^2 / n}$ : for the size of values with signs — errors, AC voltage.
Grouped versions count every term $F_i$ times and divide by $\sum F_i$ .
For positive data $H \le G \le \bar X \le Q$ (the notes print it the wrong way round); equal only when all values are equal.
Corrected values: Example (6) $G = 4.1407$ , Example (7) $G = 67.3865$ , Example (9) $H = 67.3226$ .

$G = \sqrt[n]{\prod X_i}$ ، بە $\log G = \sum \log X_i / n$ دەدۆزرێتەوە: بۆ گەشە و ڕێژە، تەنها ئەرێنی.
$H = n / \sum (1/X_i)$ : بۆ ڕێژە لەسەر بڕی یەکسان، وەک تێکڕای خێرایی لەسەر دووریی یەکسان.
⁦(RMS)⁩ $Q = \sqrt{\sum X_i^2 / n}$ : بۆ قەبارەی نرخی نیشانەدار — هەڵە، .
وەشانە پۆلێنکراوەکان هەر بڕگەیەک $F_i$ جار هەژمار دەکەن و دابەشی $\sum F_i$ دەکەن.
بۆ ئەرێنی $H \le G \le \bar X \le Q$ (تێبینییەکان بە پێچەوانەوە چاپی دەکەن)؛ تەنها کاتێک یەکسانن کە هەموو نرخەکان یەکسان بن.
نرخە ڕاستکراوەکان: نموونەی ⁦(6)⁩ $G = 4.1407$ ، نموونەی ⁦(7)⁩ $G = 67.3865$ ، نموونەی ⁦(9)⁩ $H = 67.3226$ .

Review questionsپرسیارەکانی پێداچوونەوە

Why do we use logarithms for the geometric mean?بۆچی لۆگاریتم بۆ ناوەندی ئەندازەیی بەکار دەهێنین؟

A log turns the long product into a sum, so the numbers stay small: $\log G$ is just the mean of the logs.

لێکدانە درێژەکە دەکاتە کۆ، بۆیە ژمارەکان بچووک دەمێننەوە: $\log G$ تەنها .

You drive equal distances at 60 and 40 km/h. Average speed?دووریی یەکسان بە ⁦60⁩ و ⁦40 km/h⁩ لێدەخوڕیت. تێکڕای خێرایی؟

48 km/h, the harmonic mean — not 50.

⁦48 km/h⁩، — نەک ⁦50⁩.

Which of the four means is the largest?کام لە چوار ناوەندەکە گەورەترینە؟

The quadratic mean $Q$ (unless all values are equal).

$Q$ (مەگەر هەموو نرخەکان یەکسان بن).

Videoڤیدیۆ

Watch a videoسەیری ڤیدیۆیەک بکە

A video that viewers liked a lot and praised in their comments, chosen for this lesson.ڤیدیۆیەک کە بینەران زۆریان پێ خۆش بووە و لە کۆمێنتەکانیاندا ستایشیان کردووە، بۆ ئەم وانەیە هەڵبژێردراوە.

Why Few Math Students Actually Understand the Meaning of MeansMath The World · Englishئینگلیزی · 366K viewsبینین · 17K likesلایک
A mean is the value that keeps the total unchanged: growth needs the geometric mean, speeds the harmonic mean, errors the root mean square.
تێکڕا ئەو نرخەیە کە کۆی گشتی وەک خۆی دەهێڵێتەوە: بۆ گەشە پێویستە، بۆ خێرایی و بۆ هەڵەکان .
Whole video: why there are several means and which question each one answers
هەموو ڤیدیۆکە: بۆچی چەند جۆرێک تێکڕا هەیە و هەر یەکەیان وەڵامی کام پرسیار دەداتەوە.

Lesson complete!وانەکە تەواو بوو!

Well done. Review the key terms, then go on to the next lesson.دەستخۆش. سەیرێکی زاراوە سەرەکییەکان بکەرەوە، پاشان بڕۆ بۆ وانەی داهاتوو.

Key termsزاراوە سەرەکییەکان

Next lessonوانەی داهاتوو

The Median and the Modeناوەڕاستە و باو

Related lecturesوانە پەیوەندیدارەکان

References and further readingسەرچاوەکان و خوێندنەوەی زیاتر

This lecture is a first edition. The Kurdish text and terminology are waiting for review by Kurdish IT teachers.ئەم وانەیە چاپی یەکەمە. دەقە کوردییەکە و زاراوەکانی چاوەڕێی پێداچوونەوەی مامۆستایانی کوردی بواری IT ن.

Geometric, Harmonic and Quadratic Meansناوەندی ئەندازەیی، ناوەندی هارمۆنیک و ناوەندی دووجایی

What you will learnچی فێر دەبیت

Four means, four questionsچوار ناوەند، چوار پرسیار

The geometric mean: the mean of multiplyingناوەندی ئەندازەیی: ناوەندی لێکدان

Computing G with logarithmsدۆزینەوەی G بە لۆگاریتم

The geometric mean of grouped dataناوەندی ئەندازەیی بۆ دراوەی پۆلێنکراو

The harmonic mean: the mean of ratesناوەندی هارمۆنیک: ناوەندی ڕێژەکان

Examples (8) and (9)نموونەکانی ⁦(8)⁩ و ⁦(9)⁩

The quadratic mean (root mean square)ناوەندی دووجایی (ڕەگی تێکڕای دووجاکان)

Examples (10) and (11)نموونەکانی ⁦(10)⁩ و ⁦(11)⁩

The order of the means: H≤G≤Xˉ≤QH \le G \le \bar X \le QH≤G≤Xˉ≤Qڕیزبەندیی ناوەندەکان: H≤G≤Xˉ≤QH \le G \le \bar X \le QH≤G≤Xˉ≤Q

Watching the order holdسەیرکردنی ڕیزبەندییەکە

Which mean when?کام ناوەند کەی؟

The means in Pythonناوەندەکان لە Pythonـدا

A formula card: HAGWQکارتێکی یاساکان: HAGWQ

Common mistakesهەڵە باوەکان

Exercisesڕاهێنانەکان

Summaryپوختە

Watch a videoسەیری ڤیدیۆیەک بکە

Lesson complete!وانەکە تەواو بوو!

Key termsزاراوە سەرەکییەکان

Related lecturesوانە پەیوەندیدارەکان

The order of the means: $H \le G \le \bar X \le Q$ ڕیزبەندیی ناوەندەکان: $H \le G \le \bar X \le Q$