Chapterبەش 2 · Lectureوانە 2.3

Product (Π) Notationنیشانەی پی (Π)

Π is to multiplication what Σ is to addition. Learn to read and expand Π, the ten rules (constants become powers, roots and fractions move over the whole product, logarithms turn Π into Σ), the course's full worked example, the classic $a^n$ mistake, and Π in Python with math.prod().

Π بۆ لێکدان وەک Σـە بۆ کۆکردنەوە. فێر دەبیت Π بخوێنیتەوە و بیکەیتەوە، دە یاساکە ( دەبنە ، ڕەگ و بەسەر هەموو لێکدانەکەدا دەڕۆن، Π دەکاتە Σ)، نموونە شیکراوە تەواوەکەی کۆرسەکە، هەڵە باوەکەی $a^n$ و Π لە Pythonـدا بە math.prod().

13 min read14 خولەک خوێندنەوە · 14 stepsهەنگاو

What you will learnچی فێر دەبیت

Read and expand a product written with Π.
Use the ten product rules, and explain why a constant becomes $a^n$ .
Turn a product into a sum with logarithms.
Compute products in Python with math.prod() or a loop that starts at 1.

لێکدانێک کە بە Π نووسراوە بخوێنیتەوە و بیکەیتەوە.
دە یاسای لێکدان بەکار بهێنیت و ڕوونی بکەیتەوە بۆچی دەبێتە $a^n$ .
بە لێکدانێک بکەیتە کۆ.
لە Pythonـدا بە math.prod() یان کە لە 1 دەست پێدەکات لێکدان بژمێریت.

From Σ to Π: a short way to write a long multiplicationلە Σـەوە بۆ Π: ڕێگایەکی کورت بۆ نووسینی لێکدانێکی درێژ

In Sigma notation you met Σ, a short way to write a long sum. Statistics also needs long products. For example, the geometric mean in a later lesson multiplies all the values together. For a long product we use the Greek capital letter Π (pi). Think of it as the letter P for product.

لە نیشانەی سیگما Σـت ناسی، ڕێگایەکی کورت بۆ نووسینی کۆکردنەوەیەکی درێژ. پێویستی بە لێکدانی درێژیش هەیە. بۆ نموونە ناوەندی ئەندازەیی لە وانەیەکی داهاتوودا هەموو نرخەکان پێکەوە لێک دەدات. بۆ لێکدانێکی درێژ پیتی گەورەی گریکیی Π (پی) بەکار دەهێنین. وەک پیتی Pـی وشەی ئینگلیزیی product (لێکدان) بیری لێ بکەرەوە.

Definitionپێناسە

A short way to write a long multiplication with the Greek capital $\Pi$ (pi): $\prod_{i=1}^{n} X_i = X_1 \cdot X_2 \cdots X_n$ .

ڕێگایەکی کورتە بۆ نووسینی لێکدانێکی درێژ بە پیتی گەورەی گریکیی $\Pi$ (پی): $\prod_{i=1}^{n} X_i = X_1 \cdot X_2 \cdots X_n$ .

\prod_{i=1}^{n} X_i = X_1 \cdot X_2 \cdot X_3 \cdots X_n

Σ and Π work the same way. The only difference is the operation: Σ adds, Π multiplies. Because of that, they also start from different numbers:

Σ و Π بە هەمان شێوە کار دەکەن. تاکە جیاوازی ئەو ژمێریارییەیە کە دەیکەن: Σ کۆ دەکاتەوە و Π لێک دەدات. لەبەر ئەمە لە دوو ژمارەی جیاوازیشەوە دەست پێدەکەن:

A sum starts at 0 and a product starts at 1, because adding 0 and multiplying by 1 change nothing.کۆ لە 0 دەست پێدەکات و لێکدان لە 1، چونکە کۆکردنەوەی 0 و لێکدان لە 1 هیچ ناگۆڕن.CêIT

Reading Π step by stepخوێندنەوەی Π هەنگاو بە هەنگاو

Expanding a productکردنەوەی لێکدانێک

Write one factor for each iبۆ هەر iـیەک یەک بەش بنووسە
With $n = 4$ : $\prod_{i=1}^{4} X_i = X_1 \cdot X_2 \cdot X_3 \cdot X_4$ .
بە $n = 4$ : $\prod_{i=1}^{4} X_i = X_1 \cdot X_2 \cdot X_3 \cdot X_4$ .
Put in the valuesنرخەکان دابنێ
If $X = 2, 3, 4, 5$ , the product is $2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5$ .
ئەگەر $X = 2, 3, 4, 5$ بێت، $2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5$ بەدەست دێت.
Multiplyلێکیان بدە
$2 \cdot 3 = 6$ , $6 \cdot 4 = 24$ , $24 \cdot 5 = 120$ . So $\prod_{i=1}^{4} X_i = 120$ .
$2 \cdot 3 = 6$ ، $6 \cdot 4 = 24$ ، $24 \cdot 5 = 120$ . کەواتە $\prod_{i=1}^{4} X_i = 120$ .

Reading Π step by stepخوێندنەوەی Π هەنگاو بە هەنگاو

Products in daily life: price changesلێکدان لە ژیانی ڕۆژانەدا: گۆڕانی نرخ

Price changes in the bazaarگۆڕانی نرخ لە بازاڕدا

A phone in the Sulaimani bazaar gets 10% more expensive in one month ( $\times 1.10$ ), 5% more the next month ( $\times 1.05$ ), and then 10% cheaper ( $\times 0.90$ ). The total change is a product: $\prod = 1.10 \cdot 1.05 \cdot 0.90 = 1.0395$ , so the price went up by 3.95% — not by $10\% + 5\% - 10\% = 5\%$ . Changes that multiply are combined with Π, not with Σ.

مۆبایلێک لە بازاڕی سلێمانی لە مانگێکدا ⁦10%⁩ گران دەبێت ( $\times 1.10$ )، مانگی دواتر ⁦5%⁩ ( $\times 1.05$ ) و پاشان ⁦10%⁩ هەرزان دەبێت ( $\times 0.90$ ). کۆی گۆڕانەکە لێکدانێکە: $\prod = 1.10 \cdot 1.05 \cdot 0.90 = 1.0395$ ، کەواتە نرخەکە ⁦3.95%⁩ بەرز بووەتەوە — نەک $10\% + 5\% - 10\% = 5\%$ . گۆڕانە لێکدراوەکان بە Π پێکەوە دەبەسترێن، نەک بە Σ.

Where the analogy stops workingسنووری ئەم نموونەیە

This works only for changes in per cent (factors). If the shop simply adds 5,000 dinars each month, the changes add up and Σ is the right tool.

ئەمە تەنها بۆ گۆڕانی لە سەدا (لێکدەر) ڕاستە. ئەگەر دوکانەکە هەموو مانگێک تەنها ⁦5,000⁩ دینار زیاد بکات، گۆڕانەکان کۆ دەبنەوە و Σ ئامرازی دروستە.

Quick checkپشکنینی خێراA price rises by 20% and then falls by 20%. What is the total change?نرخێک ⁦20%⁩ بەرز دەبێتەوە و پاشان ⁦20%⁩ دادەبەزێت. کۆی گۆڕانەکە چەندە؟No changeهیچ گۆڕانێک نییە4% more expensive⁦4%⁩ گرانتر4% cheaper⁦4%⁩ هەرزانتر

Π in Python: `math.prod()` and a loopΠ لە Pythonـدا: `math.prod()` و خولێک

A Π is a loop that multiplies, just as a Σ is a loop that adds. Python can do it in two ways: the ready-made math.prod() (Python 3.8 and later) or your own for loop.

Π کە لێک دەدات، هەروەک چۆن Σ کە کۆ دەکاتەوە. Python دەتوانێت بە دوو ڕێگا بیکات: math.prod()ـی ئامادە (⁦Python 3.8⁩ و دواتر) یان کە خۆت دەینووسیت.

PYTHONType in a terminalلە تێرمیناڵدا بینووسە

import math

X = [2, 3, 4, 5]
print(math.prod(X))        # built-in product (Python 3.8+)

product = 1                # start at 1, not 0
for x in X:
    product = product * x
print(product)

print(math.prod([]))       # empty product
print(sum([]))             # empty sum

Explain the codeڕوونکردنەوەی کۆدەکە

Lineدێڕی 4

math.prod() multiplies every item of the list.

math.prod() هەموو ئەندامێکی لیستەکە لێک دەدات.

Lineدێڕی 6-8

The loop version. The running product must start at 1: starting at 0 would make every result 0.

وەشانی خول. لێکدانە بەردەوامەکە دەبێت لە 1 دەست پێبکات: دەستپێکردن لە 0 هەموو ئەنجامێک دەکاتە 0.

Lineدێڕی 11-12

With no factors at all, a product is 1 and a sum is 0 — the two starting values.

کاتێک هیچ بەشێک نییە، لێکدان دەکاتە 1 و کۆ دەکاتە 0 — هەمان دوو نرخی دەستپێک.

Rules 1–3: a constant becomes a powerیاساکانی ⁦1–3⁩: نەگۆڕ دەبێتە توان

In the rules of this lesson, $X_1, \dots, X_n$ and $Y_1, \dots, Y_n$ are two lists of $n$ values, and $a$ and $b$ are two constants (numbers that do not change with i).

لە یاساکانی ئەم وانەیەدا، $X_1, \dots, X_n$ و $Y_1, \dots, Y_n$ دوو لیستی $n$ نرخن و $a$ و $b$ دوو (ژمارەگەلێک کە بە گۆڕانی i ناگۆڕێن).

\begin{aligned} &(1)\quad \prod_{i=1}^{n} a = a^n \\ &(2)\quad \prod_{i=1}^{n} aX_i = a^n \prod_{i=1}^{n} X_i \\ &(3)\quad \prod_{i=1}^{n} aX_i\, bY_i = a^n b^n \prod_{i=1}^{n} X_iY_i \end{aligned}

Why rule 2 has $a^n$ and not $a$ : write the product out. With $n = 4$ it is $(aX_1)(aX_2)(aX_3)(aX_4)$ . Every factor brings its own a, so there are four a's: $a \cdot a \cdot a \cdot a = a^4$ . Rule 3 is the same idea twice: n copies of a and n copies of b, so $a^n b^n$ , which is also $(ab)^n$ .

بۆچی یاسای 2 $a^n$ ـی تێدایە نەک $a$ : لێکدانەکە بە درێژی بنووسە. بە $n = 4$ دەکاتە $(aX_1)(aX_2)(aX_3)(aX_4)$ . هەر بەشێک aـی خۆی لەگەڵ خۆیدا دەهێنێت، بۆیە چوار a هەیە: $a \cdot a \cdot a \cdot a = a^4$ . یاسای 3 هەمان بیرۆکەیە دوو جار: n دانە a و n دانە b، کەواتە $a^n b^n$ کە هەمان $(ab)^n$ ـیشە.

Animation for Π(2·Xᵢ) with X = 2, 3, 4, 5. Four boxes show 2×2, 2×3, 2×4 and 2×5. The four 2s light up, then move to the front: 2·2·2·2·(2·3·4·5). This becomes 2⁴·120 = 16·120 = 1920. The last frame puts the correct 1920 next to the wrong 2·120 = 240, which counts only one of the four 2s. — Each factor carries its own 2, so the 2s collect into 2⁴.هەر بەشێک 2ـی خۆی هەڵدەگرێت، بۆیە 2ـەکان کۆ دەبنەوە بۆ 2⁴.CêIT

A constant comes out of Σ as a multiplier and out of Π as a power. لە Σ وەک لێکدەر دێتە دەرەوە و لە Π وەک .
Σ (sum)Σ (کۆ)	Π (product)Π (لێکدان)
$\sum_{i=1}^{n} c = nc$	$\prod_{i=1}^{n} a = a^n$
$\sum_{i=1}^{n} cX_i = c\sum_{i=1}^{n} X_i$	$\prod_{i=1}^{n} aX_i = a^n\prod_{i=1}^{n} X_i$

Quick checkپشکنینی خێراLet

X = 1, 2, 3

. What is

\prod_{i=1}^{3} 5X_i

?با

X = 1, 2, 3

بێت.

\prod_{i=1}^{3} 5X_i

چەندە؟

30

30

750

750

90

90

Rules 4, 5, 7, 8 and 10: fractions, roots and powersیاساکانی 4، 5، 7، 8 و ⁦10⁩: کەرت، ڕەگ و توان

\begin{aligned} &(4)\quad \prod_{i=1}^{n} \frac{1}{X_i} = \frac{1}{\prod_{i=1}^{n} X_i} \qquad (5)\quad \prod_{i=1}^{n} \frac{a}{X_i} = \frac{a^n}{\prod_{i=1}^{n} X_i} \\ &(7)\quad \prod_{i=1}^{n} \sqrt{X_i} = \sqrt{\prod_{i=1}^{n} X_i} \qquad (8)\quad \prod_{i=1}^{n} (X_i)^a = \Big(\prod_{i=1}^{n} X_i\Big)^a \\ &(10)\quad \prod_{i=1}^{n} \frac{X_i}{Y_i} = \frac{\prod_{i=1}^{n} X_i}{\prod_{i=1}^{n} Y_i} \end{aligned}

All five rules come from one fact: in a multiplication you may change the order of the factors and group them as you like. So you can multiply all the tops together and all the bottoms together (rules 4, 5, 10), or all the roots or powers together (rules 7, 8). Rule 5 is rule 4 with an a on every top, so the $a$ 's collect into $a^n$ , as in rule 2.

هەر پێنج یاساکە لە یەک ڕاستییەوە دێن: لە لێکداندا دەتوانیت ڕیزبەندیی بەشەکان بگۆڕیت و چۆنت پێ خۆشە گرووپیان بکەیت. بۆیە دەتوانیت هەموو پێکەوە و هەموو پێکەوە لێک بدەیت (یاساکانی 4، 5، ⁦10⁩)، یان هەموو ڕەگەکان یان پێکەوە (یاساکانی 7، ⁦8⁩). یاسای 5 هەمان یاسای 4ـە، بەڵام لە هەموو a هەیە، بۆیە $a$ ـەکان کۆ دەبنەوە بۆ $a^n$ ، وەک یاسای 2.

Quick check of rule 7 with $X = 2, 3, 4, 5$ : $\sqrt2\cdot\sqrt3\cdot\sqrt4\cdot\sqrt5 \approx 1.4142 \cdot 1.7321 \cdot 2 \cdot 2.2361 \approx 10.95$ and $\sqrt{120} \approx 10.95$ .

پشکنینێکی خێرای یاسای 7 بە $X = 2, 3, 4, 5$ : $\sqrt2\cdot\sqrt3\cdot\sqrt4\cdot\sqrt5 \approx 1.4142 \cdot 1.7321 \cdot 2 \cdot 2.2361 \approx 10.95$ و $\sqrt{120} \approx 10.95$ .

Π does not split a sumΠ کۆکردنەوە دابەش ناکات

There is no rule for a sum inside Π: $\prod (X_i + Y_i) \ne \prod X_i + \prod Y_i$ . With our X and Y: $3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9 = 945$ , but $120 + 24 = 144$ . On the other hand rule 10 really is true for Π, while the similar-looking Σ rule $\sum \frac{X_i}{Y_i} = \frac{\sum X_i}{\sum Y_i}$ is false (see Sigma notation).

هیچ یاسایەک بۆ کۆکردنەوە لە ناو Πـدا نییە: $\prod (X_i + Y_i) \ne \prod X_i + \prod Y_i$ . بە Xـ و Yـی ئێمە: $3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 9 = 945$ ، بەڵام $120 + 24 = 144$ . لە لایەکی ترەوە یاسای ⁦10⁩ بۆ Π بەڕاستی دروستە، بەڵام یاسا هاوشێوەکەی Σ $\sum \frac{X_i}{Y_i} = \frac{\sum X_i}{\sum Y_i}$ هەڵەیە (سەیری نیشانەی سیگما بکە).

Quick checkپشکنینی خێراWith

X = 2, 3, 4, 5

and

Y = 1, 2, 3, 4

, what is

\prod_{i=1}^{4} \frac{X_i}{Y_i}

?بە

X = 2, 3, 4, 5

و

Y = 1, 2, 3, 4

،

\prod_{i=1}^{4} \frac{X_i}{Y_i}

چەندە؟

5

5

96

96

\frac{14}{10}

\frac{14}{10}

Rules 6 and 9: a logarithm turns Π into Σیاساکانی 6 و 9: لۆگاریتم Π دەکاتە Σ

\begin{aligned} &(6)\quad \log \prod_{i=1}^{n} X_i = \sum_{i=1}^{n} \log X_i \\ &(9)\quad \log \prod_{i=1}^{n} (X_i)^{a_i} = \sum_{i=1}^{n} a_i \log X_i \end{aligned}

Both rules come from two laws of logarithms: the log of a product is the sum of the logs, $\log(ab) = \log a + \log b$ , and a power comes down in front, $\log(x^k) = k\log x$ . Rule 9 uses both: each factor $X_i^{a_i}$ gives $a_i \log X_i$ , and the product turns into a sum. These laws are explained in Logarithmic functions.

هەردوو یاسا لە دوو یاسای دێن. لێکدانێک کۆی : $\log(ab) = \log a + \log b$ . هەروەها دێتە پێشەوە: $\log(x^k) = k\log x$ . یاسای 9 هەردووکیان بەکار دەهێنێت: هەر بەشێکی $X_i^{a_i}$ دەبێتە $a_i \log X_i$ و لێکدانەکە دەبێتە کۆ. ئەم یاسایانە لە نەخشە لۆگاریتمییەکان ڕوون کراونەتەوە.

Check rule 6 with $X = 2, 3, 4, 5$ : $\log 2 + \log 3 + \log 4 + \log 5 = 0.3010 + 0.4771 + 0.6021 + 0.6990 = 2.0792$ , and $\log 120 = 2.0792$ .

پشکنینی یاسای 6 بە $X = 2, 3, 4, 5$ : $\log 2 + \log 3 + \log 4 + \log 5 = 0.3010 + 0.4771 + 0.6021 + 0.6990 = 2.0792$ و $\log 120 = 2.0792$ .

Why computers love rule 6بۆچی کۆمپیوتەر یاسای 6ـی پێ خۆشە

Programs that work with probability (spam filters, speech recognition, machine learning) multiply many small numbers. The product can become too small for a float, and the computer rounds it to 0. The sum of the logs has no such problem:

ئەو بەرنامانەی دەژمێرن (فلتەری سپام، ناسینەوەی دەنگ، ) زۆر ژمارەی بچووک لێک دەدەن. لێکدانەکە دەکرێت بۆ زۆر بچووک بێت و کۆمپیوتەر دەیکاتە 0. کۆی ئەم کێشەیەی نییە:

PYTHONType in a terminalلە تێرمیناڵدا بینووسە

import math

probs = [0.00001] * 80          # 80 small probabilities
print(math.prod(probs))         # too small for a float

logs = [math.log10(p) for p in probs]
print(sum(logs))                # rule 6: log of the product

The true product is $10^{-400}$ : its log is $-400$ , which a computer stores easily.

لێکدانە ڕاستەقینەکە $10^{-400}$ ـە: $-400$ ـە کە کۆمپیوتەر بە ئاسانی هەڵیدەگرێت.

Quick checkپشکنینی خێراWhich sum is equal to

\log (X_1 X_2 X_3)

?کام کۆ یەکسانە بە

\log (X_1 X_2 X_3)

؟

\log X_1 + \log X_2 + \log X_3

\log X_1 + \log X_2 + \log X_3

\log X_1 \cdot \log X_2 \cdot \log X_3

\log X_1 \cdot \log X_2 \cdot \log X_3

3\log(X_1 + X_2 + X_3)

3\log(X_1 + X_2 + X_3)

Worked example: the ten rules on one data setنموونەی شیکراوە: دە یاساکە لەسەر یەک کۆمەڵە نرخ

The course's product example uses four values of three lists and two constants:

نموونەی لێکدانی کۆرسەکە چوار نرخی سێ لیست و دوو بەکار دەهێنێت:

X_i = 2, 3, 4, 5 \qquad Y_i = 1, 2, 3, 4 \qquad a_i = 2, 4, 6, 3 \qquad a = 2,\; b = 3,\; n = 4

Example numbers in the notesژمارەی نموونەکان لە تێبینییەکاندا

The notes print this as “Example (2)” although Example (2) already exists; it is the third example, and the handwritten solutions call it Example (3). The notes ask only for rules 1, 2, 4, 6, 7, 9 and 10; the solutions also work rules 3, 5 and 8, so all ten are shown here.

تێبینییەکان ئەمە بە «نموونەی ⁦(2)⁩» چاپ دەکەن هەرچەندە نموونەی ⁦(2)⁩ پێشتر هەیە؛ ئەمە نموونەی سێیەمە و چارەسەرە دەستنووسەکان پێی دەڵێن نموونەی ⁦(3)⁩. تێبینییەکان تەنها یاساکانی 1، 2، 4، 6، 7، 9 و ⁦10⁩ دەخوازن؛ چارەسەرەکان یاساکانی 3، 5 و 8ـیش دەکەن، بۆیە لێرەدا هەر دەیانمان پیشان داوە.

Worked example: the ten rules on one data setنموونەی شیکراوە: دە یاساکە لەسەر یەک کۆمەڵە نرخ

Rules 1–5 workedیاساکانی ⁦1–5⁩ بە شیکردنەوە

Rules 1–5یاساکانی ⁦1–5⁩

Rule 1یاسای 1
$\prod_{i=1}^{4} a = a^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$
$\prod_{i=1}^{4} a = a^4 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 16$
Rule 2یاسای 2
$\prod aX_i = a^4 \prod X_i = 16 \cdot 120 = 1920$
$\prod aX_i = a^4 \prod X_i = 16 \cdot 120 = 1920$
Rule 3یاسای 3
$\prod aX_i\,bY_i = a^4 b^4 \prod X_iY_i = 16 \cdot 81 \cdot 2880 = 3{,}732{,}480$ . Here $X_iY_i = 2, 6, 12, 20$ and $2 \cdot 6 \cdot 12 \cdot 20 = 2880$ .
$\prod aX_i\,bY_i = a^4 b^4 \prod X_iY_i = 16 \cdot 81 \cdot 2880 = 3{,}732{,}480$ . لێرەدا $X_iY_i = 2, 6, 12, 20$ و $2 \cdot 6 \cdot 12 \cdot 20 = 2880$ .
Rule 4یاسای 4
$\prod \frac{1}{X_i} = \frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5} = \frac{1}{120} \approx 0.0083$
$\prod \frac{1}{X_i} = \frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5} = \frac{1}{120} \approx 0.0083$
Rule 5یاسای 5
$\prod \frac{a}{X_i} = \frac{a^4}{\prod X_i} = \frac{16}{120} = \frac{2}{15} \approx 0.1333$
$\prod \frac{a}{X_i} = \frac{a^4}{\prod X_i} = \frac{16}{120} = \frac{2}{15} \approx 0.1333$

Worked example: the ten rules on one data setنموونەی شیکراوە: دە یاساکە لەسەر یەک کۆمەڵە نرخ

Rules 6–10 workedیاساکانی ⁦6–10⁩ بە شیکردنەوە

Rules 6–10یاساکانی ⁦6–10⁩

Rule 6یاسای 6
$\log \prod X_i = \log 120 = 2.0792$
$\log \prod X_i = \log 120 = 2.0792$
Rule 7یاسای 7
$\prod \sqrt{X_i} = \sqrt{120} = 10.9545$
$\prod \sqrt{X_i} = \sqrt{120} = 10.9545$
Rule 8یاسای 8
$\prod (X_i)^a = (\prod X_i)^a = 120^2 = 14{,}400$
$\prod (X_i)^a = (\prod X_i)^a = 120^2 = 14{,}400$
Rule 9یاسای 9
$\log \prod X_i^{a_i} = \log(2^2 \cdot 3^4 \cdot 4^6 \cdot 5^3) = \log(4 \cdot 81 \cdot 4096 \cdot 125) = \log 165{,}888{,}000 = 8.2198$ . With rule 9 directly: $2\log 2 + 4\log 3 + 6\log 4 + 3\log 5 = 0.60206 + 1.90849 + 3.61236 + 2.09691 = 8.21982 \approx 8.2198$ . Keep extra digits in the middle steps: with logs rounded to 4 places first you would get 8.2200.
$\log \prod X_i^{a_i} = \log(2^2 \cdot 3^4 \cdot 4^6 \cdot 5^3) = \log(4 \cdot 81 \cdot 4096 \cdot 125) = \log 165{,}888{,}000 = 8.2198$ . ڕاستەوخۆ بە یاسای 9: $2\log 2 + 4\log 3 + 6\log 4 + 3\log 5 = 0.60206 + 1.90849 + 3.61236 + 2.09691 = 8.21982 \approx 8.2198$ . لە هەنگاوەکانی ناوەڕاستدا ژمارەی زیاتر بهێڵەرەوە: ئەگەر سەرەتا بۆ 4 خانە نزیک بکەیتەوە، ⁦8.2200⁩ بەدەست دێت.
Rule 10یاسای ⁦10⁩
$\prod \frac{X_i}{Y_i} = \frac{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} = \frac{120}{24} = 5$
$\prod \frac{X_i}{Y_i} = \frac{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} = \frac{120}{24} = 5$

Checking rules 2, 3, 6 and 9 in Pythonپشکنینی یاساکانی 2، 3، 6 و 9 لە PythonـداPYTHONType in a terminalلە تێرمیناڵدا بینووسە

import math

X = [2, 3, 4, 5]
Y = [1, 2, 3, 4]
A = [2, 4, 6, 3]
a, b, n = 2, 3, 4

print(math.prod(a * x for x in X))              # rule 2
print(a ** n * math.prod(X))                    # a^n * prod X
print(math.prod(a * x * b * y for x, y in zip(X, Y)))   # rule 3
print(round(math.log10(math.prod(X)), 4))       # rule 6, left side
print(round(sum(math.log10(x) for x in X), 4))  # rule 6, right side
print(round(sum(k * math.log10(x) for x, k in zip(X, A)), 4))  # rule 9

Common mistakesهەڵە باوەکان

Two wrong answers in the solution pagesدوو وەڵامی هەڵە لە لاپەڕەکانی چارەسەردا

The handwritten solutions give $\prod aX_i = 2 \cdot 120 = 240$ and $\prod aX_i\,bY_i = 6 \cdot 2880 = 17{,}280$ . Both take the constant only once. By rules 2 and 3 it appears in every one of the four factors: the correct answers are $2^4 \cdot 120 = 1920$ and $6^4 \cdot 2880 = 3{,}732{,}480$ .

چارەسەرە دەستنووسەکان $\prod aX_i = 2 \cdot 120 = 240$ و $\prod aX_i\,bY_i = 6 \cdot 2880 = 17{,}280$ دەدەن. هەردووکیان تەنها یەک جار وەردەگرن. بەپێی یاساکانی 2 و 3 لە هەر یەک لە چوار بەشەکەدا دەردەکەوێت: وەڵامە دروستەکان $2^4 \cdot 120 = 1920$ و $6^4 \cdot 2880 = 3{,}732{,}480$ ن.

Mistakeهەڵە	Why it is wrongبۆچی هەڵەیە	Correctدروست
$\prod aX_i = a\prod X_i$ $\prod aX_i = a\prod X_i$	Each of the n factors has its own a.هەر یەک لە n بەشەکە aـی خۆی هەیە.	$a^n\prod X_i$
Starting a product loop at 0دەستپێکردنی لێکدان لە 0	0 times anything is 0.0 جارانی هەر شتێک 0ـە.	Start at 1لە 1 دەست پێبکە
$\prod(X_i+Y_i) = \prod X_i + \prod Y_i$ $\prod(X_i+Y_i) = \prod X_i + \prod Y_i$	Π has no rule for a sum inside it ( $945 \ne 144$ ).Π هیچ یاسایەکی بۆ کۆ لە ناو خۆیدا نییە ( $945 \ne 144$ ).	Multiply the sums one by oneکۆکان یەک بە یەک لێک بدە
$\log \prod X_i = \prod \log X_i$ $\log \prod X_i = \prod \log X_i$	The log of a product is a sum of logs. لێکدان کۆی .	$\sum \log X_i$
Rounding each log early ( $\log 2 \approx 0.3$ ) هەر logـێک زوو ( $\log 2 \approx 0.3$ )	Small errors add up in the sum.هەڵە بچووکەکان لە کۆکەدا کەڵەکە دەبن.	Keep 4 decimal places, round at the end4 بهێڵەرەوە و لە کۆتاییدا نزیکی بکەرەوە

Rounding to 4 decimal places is explained in the next lesson, Rounding and decimal places.

بۆ 4 لە وانەی داهاتوودا ڕوون کراوەتەوە: نزیککردنەوە و خانە دەییەکان.

Quick checkپشکنینی خێراWhich answer for

\prod_{i=1}^{4} 2X_i

with

X = 2, 3, 4, 5

is right?کام وەڵام بۆ

\prod_{i=1}^{4} 2X_i

بە

X = 2, 3, 4, 5

دروستە؟

240

240

1920

1920

28

28

Exercisesڕاهێنانەکان

ExerciseڕاهێنانSpot the mistakeهەڵەکە بدۆزەرەوە

A solution page says: $\prod_{i=1}^{4} aX_i = a[X_1X_2X_3X_4] = 2[2\cdot3\cdot4\cdot5] = 240$ and $\prod 2X_i\,3Y_i = 6\prod X_iY_i = 17{,}280$ ( $X = 2, 3, 4, 5$ ; $Y = 1, 2, 3, 4$ ). Find the mistake and correct both answers.

لاپەڕەیەکی چارەسەر دەڵێت: $\prod_{i=1}^{4} aX_i = a[X_1X_2X_3X_4] = 2[2\cdot3\cdot4\cdot5] = 240$ و $\prod 2X_i\,3Y_i = 6\prod X_iY_i = 17{,}280$ ( $X = 2, 3, 4, 5$ ؛ $Y = 1, 2, 3, 4$ ). هەڵەکە بدۆزەرەوە و هەردوو وەڵامەکە ڕاست بکەرەوە.

Hintئاماژە

Write the product out factor by factor.

لێکدانەکە بەش بە بەش بە درێژی بنووسە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

The constant must appear once in each of the four factors. $\prod 2X_i = 2^4 \cdot 120 = 1920$ and $\prod 2X_i\,3Y_i = 2^4 \cdot 3^4 \cdot 2880 = 6^4 \cdot 2880 = 3{,}732{,}480$ .

دەبێت لە هەر یەک لە چوار بەشەکەدا یەک جار دەربکەوێت. $\prod 2X_i = 2^4 \cdot 120 = 1920$ و $\prod 2X_i\,3Y_i = 2^4 \cdot 3^4 \cdot 2880 = 6^4 \cdot 2880 = 3{,}732{,}480$ .

ExerciseڕاهێنانThe homework items (5), (7) and (8)بڕگەکانی ڕاهێنانی ماڵەوە ⁦(5)⁩، ⁦(7)⁩ و ⁦(8)⁩

With $X = 2, 3, 4, 5$ and $a = 2$ , find $\prod \frac{a}{X_i}$ , $\prod \sqrt{X_i}$ and $\prod (X_i)^a$ . Give decimals to 4 places.

بە $X = 2, 3, 4, 5$ و $a = 2$ ، $\prod \frac{a}{X_i}$ ، $\prod \sqrt{X_i}$ و $\prod (X_i)^a$ بدۆزەرەوە. ژمارە دەییەکان بە 4 بنووسە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

\begin{aligned} \prod \tfrac{a}{X_i} &= \tfrac{a^4}{\prod X_i} = \tfrac{16}{120} = \tfrac{2}{15} \approx 0.1333 \\ \prod \sqrt{X_i} &= \sqrt{120} \approx 10.9545 \\ \prod (X_i)^a &= 120^2 = 14{,}400 \end{aligned}

Exercisesڕاهێنانەکان

More exercisesڕاهێنانی زیاتر

ExerciseڕاهێنانΠ and the factorialΠ و فاکتۆریێل

Compute $\prod_{i=1}^{5} i$ . Which well-known number is it?

$\prod_{i=1}^{5} i$ بدۆزەرەوە. ئەمە کام ژمارەی ناسراوە؟

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

$1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5 = 120$ . This is $5!$ (5 factorial). In general $n! = \prod_{i=1}^{n} i$ ; factorials are used for counting in Counting and permutations.

$1\cdot2\cdot3\cdot4\cdot5 = 120$ . ئەمە $5!$ ـە ( ⁦5⁩). بە گشتی $n! = \prod_{i=1}^{n} i$ ؛ لە ژماردن و گۆڕینەکان بۆ ژماردن بەکار دێت.

ExerciseڕاهێنانCounting passwordsژماردنی تێپەڕەوشەکان

A very short code has 2 lowercase English letters followed by 2 digits, for example ka47. Write the number of possible codes as a product and compute it.

کۆدێکی زۆر کورت 2 پیتی بچووکی ئینگلیزی و دوای ئەوان 2 ژمارەی هەیە، بۆ نموونە ka47. ژمارەی کۆدە گونجاوەکان وەک لێکدانێک بنووسە و بیدۆزەرەوە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

$\prod = 26 \cdot 26 \cdot 10 \cdot 10 = 67{,}600$ . That is far too few for a real password: a computer can try them all in a moment. Counting like this is taught in Counting passwords; what makes a password safe today is in Why length beats complexity.

$\prod = 26 \cdot 26 \cdot 10 \cdot 10 = 67{,}600$ . ئەمە بۆ ڕاستەقینە زۆر کەمە: کۆمپیوتەرێک لە ساتێکدا هەموویان تاقی دەکاتەوە. ژماردنی لەم جۆرە لە ژماردنی تێپەڕەوشەکان فێر دەبیت؛ ئەوەی ئەمڕۆ سەلامەت دەکات لە بۆچی درێژی لە ئاڵۆزی بەهێزترەدایە.

ExerciseڕاهێنانRule 6 in Pythonیاسای 6 لە Pythonـدا

Write a short Python program that prints $\prod X_i$ for $X = 2, 3, 4, 5$ , then checks rule 6 by printing both $\log \prod X_i$ and $\sum \log X_i$ to 4 decimal places.

بەرنامەیەکی کورتی Python بنووسە کە $\prod X_i$ بۆ $X = 2, 3, 4, 5$ چاپ بکات، پاشان یاسای 6 بپشکنێت بە چاپکردنی $\log \prod X_i$ و $\sum \log X_i$ بە 4 .

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

PYTHONType in a terminalلە تێرمیناڵدا بینووسە

import math

X = [2, 3, 4, 5]
p = math.prod(X)
print(p)
print(round(math.log10(p), 4))
print(round(sum(math.log10(x) for x in X), 4))

Summaryپوختە

$\prod_{i=1}^{n} X_i = X_1 X_2 \cdots X_n$ : one factor for each i, all multiplied. A product starts at 1.
A constant comes out of Π as a power: $\prod a = a^n$ , $\prod aX_i = a^n \prod X_i$ .
Fractions, roots and powers can be taken over the whole product (rules 4, 5, 7, 8, 10).
A logarithm turns Π into Σ: $\log \prod X_i = \sum \log X_i$ (rules 6 and 9).
In Python: math.prod(), or a loop that starts at 1.

$\prod_{i=1}^{n} X_i = X_1 X_2 \cdots X_n$ : بۆ هەر iـیەک یەک بەش و هەموویان لێک دەدرێن. لێکدان لە 1 دەست پێدەکات.
لە Π وەک دێتە دەرەوە: $\prod a = a^n$ ، $\prod aX_i = a^n \prod X_i$ .
، ڕەگ و دەکرێت بەسەر هەموو لێکدانەکەدا وەربگیرێن (یاساکانی 4، 5، 7، 8، ⁦10⁩).
Π دەکاتە Σ: $\log \prod X_i = \sum \log X_i$ (یاساکانی 6 و ⁦9⁩).
لە Pythonـدا: math.prod()، یان کە لە 1 دەست پێدەکات.

Review questionsپرسیارەکانی پێداچوونەوە

What is

\prod_{i=1}^{4} 3

?

\prod_{i=1}^{4} 3

چەندە؟

$3^4 = 81$ (rule 1).

$3^4 = 81$ (یاسای ⁦1⁩).

Why does a product loop start at 1?بۆچی خولی لێکدان لە 1 دەست پێدەکات؟

Because multiplying by 1 changes nothing; starting at 0 would make the result 0.

چونکە لێکدان لە 1 هیچ ناگۆڕێت؛ دەستپێکردن لە 0 ئەنجامەکە دەکاتە 0.

Which mean in this course is built on Π?کام ناوەند لەم کۆرسەدا لەسەر Π بنیات نراوە؟

The geometric mean, $G = \sqrt[n]{\prod X_i}$ , usually found with logs (rule 6).

ناوەندی ئەندازەیی، $G = \sqrt[n]{\prod X_i}$ ، کە زۆرجار بە log دەدۆزرێتەوە (یاسای ⁦6⁩).

Lesson complete!وانەکە تەواو بوو!

Well done. Review the key terms, then go on to the next lesson.دەستخۆش. سەیرێکی زاراوە سەرەکییەکان بکەرەوە، پاشان بڕۆ بۆ وانەی داهاتوو.

Key termsزاراوە سەرەکییەکان

Next lessonوانەی داهاتوو

Rounding and Decimal Placesنزیککردنەوە و خانە دەییەکان

Related lecturesوانە پەیوەندیدارەکان

References and further readingسەرچاوەکان و خوێندنەوەی زیاتر

This lecture is a first edition. The Kurdish text and terminology are waiting for review by Kurdish IT teachers.ئەم وانەیە چاپی یەکەمە. دەقە کوردییەکە و زاراوەکانی چاوەڕێی پێداچوونەوەی مامۆستایانی کوردی بواری IT ن.

Product (Π) Notationنیشانەی پی (Π)

What you will learnچی فێر دەبیت

From Σ to Π: a short way to write a long multiplicationلە Σـەوە بۆ Π: ڕێگایەکی کورت بۆ نووسینی لێکدانێکی درێژ

Reading Π step by stepخوێندنەوەی Π هەنگاو بە هەنگاو

Products in daily life: price changesلێکدان لە ژیانی ڕۆژانەدا: گۆڕانی نرخ

Π in Python: math.prod() and a loopΠ لە Pythonـدا: math.prod() و خولێک

Rules 1–3: a constant becomes a powerیاساکانی ⁦1–3⁩: نەگۆڕ دەبێتە توان

Rules 4, 5, 7, 8 and 10: fractions, roots and powersیاساکانی 4، 5، 7، 8 و ⁦10⁩: کەرت، ڕەگ و توان

Rules 6 and 9: a logarithm turns Π into Σیاساکانی 6 و 9: لۆگاریتم Π دەکاتە Σ

Worked example: the ten rules on one data setنموونەی شیکراوە: دە یاساکە لەسەر یەک کۆمەڵە نرخ

Rules 1–5 workedیاساکانی ⁦1–5⁩ بە شیکردنەوە

Rules 6–10 workedیاساکانی ⁦6–10⁩ بە شیکردنەوە

Common mistakesهەڵە باوەکان

Exercisesڕاهێنانەکان

More exercisesڕاهێنانی زیاتر

Summaryپوختە

Lesson complete!وانەکە تەواو بوو!

Key termsزاراوە سەرەکییەکان

Related lecturesوانە پەیوەندیدارەکان

Π in Python: `math.prod()` and a loopΠ لە Pythonـدا: `math.prod()` و خولێک