Random Variables and Probability Mass Functionsگۆڕاوە هەڕەمەکییەکان و نەخشەی بارستەی ئەگەر

Toss two coins. The sample space is $S = \{HH, HT, TH, TT\}$ ($H$: heads, $T$: tails). Often we do not care about the exact outcome, only about a number that comes from it: how many heads did we get? Call that number $X$. Then $HH \to 2$, $HT \to 1$, $TH \to 1$, $TT \to 0$, so $X$ can be 0, 1 or 2.

دوو دراو هەڵبدە. بۆشایی نموونە بریتییە لە $S = \{HH, HT, TH, TT\}$ ($H$ بۆ شێر و $T$ بۆ خەت). زۆر جار گرنگیمان بە خودی ئەنجامەکە نییە، تەنها بە ژمارەیەک کە لێیەوە دێت: چەند شێرمان هێنا؟ ناوی ئەو ژمارەیە بنێ $X$. ئەوسا $HH \to 2$، $HT \to 1$، $TH \to 1$، $TT \to 0$، بۆیە $X$ دەتوانێت 0، 1 یان 2 بێت.

A random variable is exactly this: a rule that gives a real number to every outcome of a random experiment. It is “random” because we do not know the outcome in advance, so we do not know the number either.

گۆڕاوی هەڕەمەکی ڕێک ئەمەیە: یاسایەک کە ژمارەیەکی ڕاستی (Real number) دەدات بە هەر ئەنجامێکی تاقیکردنەوەیەکی هەڕەمەکی (Random experiment). «هەڕەمەکی»ـیە چونکە پێشوەختە ئەنجامەکە نازانین، کەواتە ژمارەکەش نازانین.

Notation: a capital letter ($X$) names the random variable; a small letter ($x$) is one of its values. $X = 1$ is an event: “exactly one head”, which is $\{HT, TH\}$.

نیشانەکان: پیتی گەورە ($X$) ناوی گۆڕاوی هەڕەمەکییە؛ پیتی بچووک ($x$) یەکێکە لە بەهاکانی. $X = 1$ ڕووداوێکە: «ڕێک یەک شێر»، کە $\{HT, TH\}$ـە.

Despite its name, a random variable is not a variable and not random: it is a function. Its domain is the sample space and its range is the set of numbers it can give. Every outcome gets exactly one number, but several outcomes may share a number, just as in the definition of a function.

بە پێچەوانەی ناوەکەیەوە، گۆڕاوی هەڕەمەکی نە گۆڕاوە و نە هەڕەمەکییە: نەخشەیەکە. بوارەکەی (Domain) بۆشایی نموونەیە و مەوداکەی (Range) کۆمەڵەی ئەو ژمارانەیە کە دەیاندات. هەموو ئەنجامێک ڕێک یەک ژمارە وەردەگرێت، بەڵام چەند ئەنجامێک دەتوانن یەک ژمارە بەش بکەن، ڕێک وەک پێناسەی نەخشە.

For three coins the domain is the set of 8 outcomes and the range is $\{0, 1, 2, 3\}$. You can read more about these two sets in Domain, Range and Image.

بۆ سێ دراو بوار کۆمەڵەی هەشت ئەنجامەکەیە و مەودا $\{0, 1, 2, 3\}$ـە. دەتوانیت لە بوار، مەودا و وێنە زیاتر دەربارەی ئەم دوو کۆمەڵەیە بخوێنیتەوە.

A discrete random variable takes separate values that you can list (a countable set), usually by counting. The number of children in a family can be 0, 1, 2, 3, … but never 2.5 or 3.421.

گۆڕاوی هەڕەمەکیی پچڕاو بەهای جیاجیا وەردەگرێت کە دەتوانیت لیستیان بکەیت (کۆمەڵەیەکی ژمێردراو)، بە زۆری بە ژماردن. ژمارەی منداڵانی خێزانێک دەتوانێت 0، 1، 2، 3، … بێت، بەڵام هەرگیز ⁦2.5⁩ یان ⁦3.421⁩ نا.

A continuous random variable can take any value in an interval, usually by measuring. A person's height can be 157 cm, 157.8 cm or 157.83 cm: only the accuracy of the ruler decides how many digits we write.

گۆڕاوی هەڕەمەکیی بەردەوام دەتوانێت هەر بەهایەک لە ماوەیەکدا (Interval) وەربگرێت، بە زۆری بە پێوان. باڵای کەسێک دەتوانێت ⁦157 cm⁩، ⁦157.8 cm⁩ یان ⁦157.83 cm⁩ بێت: تەنها وردیی پێوەرەکە بڕیار دەدات چەند ژمارە دوای فاریزە بنووسین.

This lesson is about discrete random variables. Continuous ones need areas instead of lists: see Continuous Random Variables and Density Functions.

ئەم وانەیە دەربارەی گۆڕاوە هەڕەمەکییە پچڕاوەکانە. گۆڕاوە هەڕەمەکییە بەردەوامەکان لە جیاتی لیست پێویستیان بە ڕووبەرە: بڕوانە گۆڕاوە هەڕەمەکییە بەردەوامەکان و نەخشەی چڕیی ئەگەر.

For a discrete random variable with values $x_1, x_2, x_3, \dots$, the probability mass function (pmf) gives the probability of each value. The course writes it $P(x)$ or $f(x)$; both mean $P(X = x)$. For any number that is not one of the values, $P(x) = 0$.

بۆ گۆڕاوێکی هەڕەمەکیی پچڕاو بە بەهاکانی $x_1, x_2, x_3, \dots$، نەخشەی بارستەی ئەگەر ئەگەری هەر بەهایەک دەدات. کۆرسەکە بە $P(x)$ یان $f(x)$ دەینووسێت؛ هەردووکیان واتە $P(X = x)$. بۆ هەر ژمارەیەک کە یەکێک لە بەهاکان نەبێت، $P(x) = 0$.

A list of values with their probabilities that add to 1 is a (discrete) probability distribution. The lecture also calls the pmf the probability function or frequency function.

لیستێکی بەهاکان لەگەڵ ئەگەرەکانیان کە کۆیان 1 بێت دابەشبوونێکی ئەگەر (Probability distribution) (پچڕاو)ـە. وانەکە هەروەها بە نەخشەی بارستەی ئەگەر دەڵێت نەخشەی ئەگەر یان نەخشەی دووبارەبوونەوە (Frequency).

A coin is tossed twice; $X$ is the number of heads. The four outcomes are equally likely, $\frac14$ each. Group them by their value of $X$:

دراوێک دوو جار هەڵدەدرێت؛ $X$ ژمارەی شێرەکانە. چوار ئەنجامەکە یەکسان لە ئەگەردان (Equally likely)، هەر یەکە $\frac14$. بەپێی بەهای $X$ کۆیان بکەرەوە:

Both rules hold: every value is between 0 and 1, and the sum is 1. Draw a pmf as stems: a vertical line at each value whose height is the probability, with nothing in between. There is no curve to join, because $X$ can never be 0.5 or 1.3.

هەردوو یاساکە دروستن: هەموو بەهایەک لە نێوان 0 و 1دایە و کۆکە 1ـە. نەخشەی بارستەی ئەگەر وەک ستوونی باریک بکێشە: هێڵێکی ستوونی لە سەر هەر بەهایەک کە بەرزییەکەی ئەگەرەکەیە و لە نێوانیاندا هیچ نییە. هیچ هێڵێکی چەماوە نییە کە بیانبەستێتەوە، چونکە $X$ هەرگیز ناتوانێت ⁦0.5⁩ یان ⁦1.3⁩ بێت.

Lecture 3, Example 1: three coins are tossed and $X$ is the number of heads. There are $2^3 = 8$ equally likely outcomes, $\frac18$ each. Drop every outcome into the bin of its value and count:

وانەی 3، نموونەی 1: سێ دراو هەڵدەدرێن و $X$ ژمارەی شێرەکانە. $2^3 = 8$ ئەنجام هەیە کە یەکسان لە ئەگەردان، هەر یەکە $\frac18$. هەر ئەنجامێک بخە ناو سندووقی بەهاکەی خۆی و بژمێرە:

In class the lecturer checked this table step by step on the board. The two checks that matter are:

لە پۆلدا مامۆستاکە ئەم خشتەیەی هەنگاو بە هەنگاو لە سەر تەختە پشکنی. ئەو دوو پشکنینەی گرنگن ئەمانەن:

A pmf can be a formula: $P(x) = \frac{x}{15}$ for $x = 1, 2, 3, 4, 5$. Is it a pmf? Every value is positive, and $\frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5}{15} = \frac{15}{15} = 1$. ✓

نەخشەی بارستەی ئەگەر دەکرێت فۆرمولەیەک (Formula) بێت: $P(x) = \frac{x}{15}$ بۆ $x = 1, 2, 3, 4, 5$. ئایا نەخشەی بارستەی ئەگەرە؟ هەموو بەهایەک ئەرێنییە و $\frac{1 + 2 + 3 + 4 + 5}{15} = \frac{15}{15} = 1$. ✓

The binomial coefficient $\binom{3}{x}$ comes from Combinations, and this pattern grows into the binomial distribution: every coin pmf in this lesson is a binomial one.

هاوکۆلکەی دووڕادەیی (Binomial coefficient) $\binom{3}{x}$ لە گونجێنەکانـەوە دێت و ئەم شێوەیە گەشە دەکات بۆ دابەشبوونی دووڕادەیی: لە هەموو نموونەکانی دراوی ئەم وانەیەدا نەخشەی بارستەی ئەگەر دووڕادەییە.

H.W 3 in both lectures says: let $P(x) = \frac16$ for $x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$. Check it before you use it. Each value is $\ge 0$, but count the values: there are seven of them.

ڕاهێنانی ماڵەوەی 3 لە هەردوو وانەکەدا دەڵێت: با $P(x) = \frac16$ بێت بۆ $x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6$. پێش بەکارهێنان بیپشکنە. هەموو بەهایەک $\ge 0$ـە، بەڵام بەهاکان بژمێرە: حەوت دانەن.

With $x = 1, 2, \dots, 6$ (a fair die) it is a pmf: six values of $\frac16$ add to 1. The course notes quietly made this change. The rest of the homework, the CDF and $P(2 < X \le 4) = \frac26$, is solved in the CDF lesson.

بە $x = 1, 2, \dots, 6$ (بەردەزارێکی دادپەروەر) نەخشەی بارستەی ئەگەرە: شەش بەهای $\frac16$ کۆیان 1ـە. تێبینییەکانی کۆرسەکە بێدەنگ ئەم گۆڕانکارییەیان کردووە. بەشەکەی تری ڕاهێنانەکە، نەخشەی دابەشبوونی کەڵەکەبوو و $P(2 < X \le 4) = \frac26$، لە وانەی نەخشەی دابەشبوونی کەڵەکەبوو چارەسەر کراوە.

Once you have the pmf you do not need the outcomes any more. The probability of any event about $X$ is the sum of the pmf over the values in that event:

کاتێک نەخشەی بارستەی ئەگەرت هەبوو، چیتر پێویستت بە ئەنجامەکان نییە. ئەگەری هەر ڕووداوێک دەربارەی $X$ کۆی نەخشەی بارستەی ئەگەرە لە سەر بەهاکانی ناو ئەو ڕووداوە:

Next: the cumulative distribution function keeps a running total of the pmf.

دواتر: نەخشەی دابەشبوونی کەڵەکەبوو کۆیەکی ڕۆیشتووی نەخشەی بارستەی ئەگەر هەڵدەگرێت.