Chapterبەش 4 · Lectureوانە 4.3

Inverse Functions and Inverse Trigonometric Functionsپێچەوانەکانی نەخشە و نەخشە سێگۆشەییە پێچەوانەکان

What an inverse function is and when it exists: one-to-one functions, the horizontal line test, finding $f^{-1}$ , the mirror image in $y=x$ and restricted domains — then the six inverse trigonometric functions with their domains and ranges.

چییە و کەی هەیە: ، ، دۆزینەوەی $f^{-1}$ ، وێنەی ئاوێنەیی بەرامبەر $y=x$ و سنووردارکردنی — پاشان ، هەر شەشیان، لەگەڵ و .

13 min read14 خولەک خوێندنەوە · 16 stepsهەنگاو

What you will learnچی فێر دەبیت

Explain what an inverse function does and why only one-to-one functions have one.
Use the horizontal line test and find $f^{-1}$ algebraically, checking both compositions.
Sketch $f^{-1}$ as the reflection of $f$ in $y=x$ and restrict a domain to make a function invertible.
State the domains and ranges of the six inverse trigonometric functions and evaluate them exactly.

ڕوونی بکەیتەوە چی دەکات و بۆچی تەنها پێچەوانەیان هەیە.
بەکار بهێنیت و $f^{-1}$ بە جەبر بدۆزیتەوە و هەردوو ئاوێتەکردنەکە بپشکنیت.
$f^{-1}$ وەک $f$ بەرامبەر $y=x$ بکێشیت و سنووردار بکەیت بۆ ئەوەی پێچەوانەی هەبێت.
و (هەر شەشیان) بڵێیت و بە وردی هەژماریان بکەیت.

Undoing a functionهەڵوەشاندنەوەی کاری نەخشەیەک

Chapter Two lists inverse trigonometric functions (and, later, logarithms) but never says what an inverse is. This lesson fills that gap first. The idea is simple: a function takes an input to an output; its inverse takes the output back to the input.

بەشی دووەمی تێبینییەکان (و دواتر لۆگاریتمەکان) دەنووسێت، بەڵام هەرگیز ناڵێت پێچەوانە چییە. ئەم وانەیە سەرەتا ئەو کەلێنە پڕ دەکاتەوە. بیرۆکەکە سادەیە: نرخێک دەبات بۆ ئەنجامێک؛ پێچەوانەکەی ئەنجامەکە دەگەڕێنێتەوە بۆ نرخە سەرەتاییەکە.

Take $f(x)=2x+3$ : “double, then add 3”. To undo it, do the opposite steps in the opposite order: “subtract 3, then halve”. So the inverse is $f^{-1}(x)=\frac{x-3}{2}$ . Check: $f(4)=11$ and $f^{-1}(11)=\frac{11-3}{2}=4$ .

$f(x)=2x+3$ وەربگرە: «دوو هێندەی بکە، پاشان 3 زیاد بکە». بۆ هەڵوەشاندنەوەی، هەنگاوە پێچەوانەکان بە ڕیزبەندیی پێچەوانە بکە: «3 لێ دەربکە، پاشان نیوەی بکە». کەواتە پێچەوانەکەی $f^{-1}(x)=\frac{x-3}{2}$ ـە. پشکنین: $f(4)=11$ و $f^{-1}(11)=\frac{11-3}{2}=4$ .

f

takes every

x

to its

y

;

f^{-1}

brings every

y

back.

f

هەر

x

ێک دەبات بۆ

y

ـی خۆی؛

f^{-1}

هەر

y

ێک دەگەڕێنێتەوە.CêIT

Everyday analogyنموونەیەک لە ژیانی ڕۆژانەوە

In the bazaar a money changer turns dinars into dollars at a fixed rate. Changing the dollars back at the same rate gives you exactly the dinars you started with. The second exchange is the inverse of the first.

لە بازاڕدا سەرافێک بە نرخێکی جێگیر دینار دەکاتە دۆلار. گۆڕینەوەی دۆلارەکان بە هەمان نرخ ڕێک ئەو دینارانەت دەداتەوە کە پێی دەستت پێکرد. گۆڕینەوەی دووەم پێچەوانەی یەکەمە.

Where the analogy stops workingسنووری ئەم نموونەیە

Real money changers buy and sell at slightly different rates, so in real life you lose a little. A mathematical inverse gives back the input exactly.

سەرافی ڕاستەقینە بە دوو نرخی کەمێک جیاواز دەکڕێت و دەفرۆشێت، بۆیە لە ژیانی ڕاستەقینەدا کەمێک دەدۆڕێنیت. بیرکاری ڕێک هەمان نرخی سەرەتا دەداتەوە.

Quick checkپشکنینی خێرا

g(x)=\frac{x}{2}-5

means “halve, then subtract 5”. What undoes it?

g(x)=\frac{x}{2}-5

واتە «نیوەی بکە، پاشان 5 لێ دەربکە». چی کارەکەی هەڵدەوەشێنێتەوە؟Double, then add 5دوو هێندەی بکە، پاشان 5 زیاد بکەAdd 5, then double5 زیاد بکە، پاشان دوو هێندەی بکەSubtract 5, then halve5 لێ دەربکە، پاشان نیوەی بکە

Inverse Functions - GCSE Higher Maths1st Class Maths · Englishئینگلیزی · 378K viewsبینین · 6.1K likesلایک · Partبەشی 0:00–3:52 (ofلە 11:00)
A function as a machine of steps, and its inverse as the opposite steps in reverse order, with a first worked example.
وەک ئامێرێک لە چەند هەنگاوێک و وەک هەنگاوە پێچەوانەکان لە دواوە بۆ پێشەوە، لەگەڵ یەکەم نموونەی چارەسەرکراو.
Watch 0:00–3:52: what an inverse function is (function machines) and the first example of finding one.
لە ⁦0:00⁩ تا ⁦3:52⁩ سەیر بکە: چییە (ئامێری ) و یەکەم نموونەی دۆزینەوەی.

Definition and notationپێناسە و نیشانەکان

Definitionپێناسە

The function $f^{-1}$ that undoes f: if $f(a)=b$ then $f^{-1}(b)=a$ . Only a function has one; its graph is the mirror image of f's graph in the line $y=x$ .

نەخشەی $f^{-1}$ کە کاری f هەڵدەوەشێنێتەوە: ئەگەر $f(a)=b$ ، ئەوا $f^{-1}(b)=a$ . تەنها پێچەوانەی هەیە؛ هێڵکارییەکەی وێنەی ئاوێنەی هێڵکاریی fـە بەرامبەر هێڵی $y=x$ .

Let $f$ be a one-to-one function with domain $D$ and range $R$ . Its inverse $f^{-1}$ has domain $R$ and range $D$ , and

با $f$ بێت بە $D$ و $R$ . پێچەوانەکەی، $f^{-1}$ ، $R$ ـە و $D$ ـە و

f^{-1}(y)=x\iff f(x)=y

f^{-1}\big(f(x)\big)=x\qquad\qquad f\big(f^{-1}(y)\big)=y

f^{-1}

is not

\frac{1}{f}

f^{-1}

هەمان

\frac{1}{f}

نییە

The $-1$ in $f^{-1}$ is not a power. $f^{-1}(x)$ is the inverse function; $\frac{1}{f(x)}$ is the reciprocal, which you would write $\big(f(x)\big)^{-1}$ . For $f(x)=2x+3$ : $f^{-1}(5)=1$ but $\frac{1}{f(5)}=\frac{1}{13}$ .

$-1$ ـی ناو $f^{-1}$ نییە. $f^{-1}(x)$ ؛ $\frac{1}{f(x)}$ کە دەینووسیت $\big(f(x)\big)^{-1}$ . بۆ $f(x)=2x+3$ : $f^{-1}(5)=1$ بەڵام $\frac{1}{f(5)}=\frac{1}{13}$ .

Only one-to-one functions have an inverseتەنها نەخشە یەک بۆ یەکەکان پێچەوانەیان هەیە

Look at $f(x)=x^2$ . It sends both $2$ and $-2$ to $4$ . An inverse would have to send $4$ back to $2$ and to $-2$ at the same time — but a function gives only one output for each input. So a function has an inverse only when it is one-to-one: different inputs always give different outputs (see one-to-one functions).

سەیری $f(x)=x^2$ بکە. هەم $2$ و هەم $-2$ دەبات بۆ $4$ . پێچەوانەیەک دەبێت $4$ لە یەک کاتدا بگەڕێنێتەوە بۆ $2$ و بۆ $-2$ — بەڵام بۆ هەر نرخێک تەنها یەک ئەنجام دەدات. کەواتە تەنها کاتێک پێچەوانەی هەیە کە یەک بۆ یەک بێت: نرخی جیاواز هەمیشە ئەنجامی جیاواز دەدات (بڕوانە نەخشە یەک بۆ یەکەکان).

The horizontal line test:

x^2

fails,

x^3

passes.:

x^2

دەکەوێت،

x^3

دەردەچێت.CêIT

You met this test in the horizontal line test. Why does it fit inverses so well? A horizontal line $y=c$ collects every input that gives the output $c$ . One hit means exactly one input — just what $f^{-1}(c)$ needs.

ئەم تاقیکردنەوەیەت لە تاقیکردنەوەی هێڵی ئاسۆیی ناسی. بۆچی ئەوەندە بۆ پێچەوانە گونجاوە؟ هێڵی ئاسۆیی $y=c$ هەموو ئەو نرخانە کۆ دەکاتەوە کە ئەنجامی $c$ دەدەن. یەک خاڵی بڕین واتە ڕێک یەک نرخ — ڕێک ئەوەی $f^{-1}(c)$ پێویستی پێیەتی.

Quick checkپشکنینی خێراWhich function has an inverse on the whole real line?کام لەسەر هەموو پێچەوانەی هەیە؟

f(x)=x^2

f(x)=x^2

f(x)=\cos x

f(x)=\cos x

f(x)=|x|

f(x)=|x|

f(x)=x^3

f(x)=x^3

Finding the inverse step by stepدۆزینەوەی پێچەوانە هەنگاو بە هەنگاو

The methodڕێگاکە

Check that $f$ is one-to-one (horizontal line test or algebra).
دڵنیا ببەرەوە کە $f$ ( یان جەبر).
Write $y=f(x)$ and solve the equation for $x$ .
بنووسە $y=f(x)$ و بۆ $x$ شیکار بکە.
Swap the letters $x$ and $y$ . The result is $y=f^{-1}(x)$ .
پیتەکانی $x$ و $y$ جێگۆڕکێ پێ بکە. ئەنجامەکە $y=f^{-1}(x)$ ـە.
Check both compositions: $f\big(f^{-1}(x)\big)=x$ and $f^{-1}\big(f(x)\big)=x$ . The domain of $f^{-1}$ is the range of $f$ .
هەردوو ئاوێتەکردنەکە بپشکنە: $f\big(f^{-1}(x)\big)=x$ و $f^{-1}\big(f(x)\big)=x$ . $f^{-1}$ هەمان $f$ ـە.

Two worked examplesدوو نموونەی چارەسەرکراو

$f(x)=2x+3$ $f(x)=2x+3$
Solve $y=2x+3$ for $x$ , swap, and check:
$y=2x+3$ بۆ $x$ شیکار بکە، جێگۆڕکێیان پێ بکە و بیپشکنە:
$y=2x+3\ \Rightarrow\ x=\frac{y-3}{2}\ \Rightarrow\ f^{-1}(x)=\frac{x-3}{2};\qquad f\big(f^{-1}(x)\big)=2\cdot\frac{x-3}{2}+3=x\ \checkmark$
$f(x)=x^3+1$ $f(x)=x^3+1$
$x^3+1$ is one-to-one on $\mathbb{R}$ , so the inverse exists everywhere:
$x^3+1$ لەسەر $\mathbb{R}$ ، بۆیە پێچەوانەکەی لە هەموو شوێنێک هەیە:
$y=x^3+1\ \Rightarrow\ x=\sqrt[3]{y-1}\ \Rightarrow\ f^{-1}(x)=\sqrt[3]{x-1}$

Quick checkپشکنینی خێراWhat is the inverse of

f(x)=5-4x

?پێچەوانەی

f(x)=5-4x

چییە؟

f^{-1}(x)=4x-5

f^{-1}(x)=4x-5

f^{-1}(x)=\frac{5-x}{4}

f^{-1}(x)=\frac{5-x}{4}

f^{-1}(x)=\frac{1}{5-4x}

f^{-1}(x)=\frac{1}{5-4x}

f^{-1}(x)=\frac{x-5}{4}

f^{-1}(x)=\frac{x-5}{4}

Inverse FunctionsProfessor Dave Explains · Englishئینگلیزی · 174K viewsبینین · 3.3K likesلایک
What an inverse function is, how to find it with algebra, why domain and range swap, how to check it, and its mirror-image graph.
چییە، چۆن بە دەیدۆزیتەوە، بۆچی و شوێن دەگۆڕنەوە، چۆن دەیپشکنیت و بۆچی هێڵکارییەکەی وێنەی ئاوێنەییە.
The method (swap and solve), why domain and range swap, checking with both compositions, and the mirror-image graph.
ڕێگاکە (شوێن گۆڕینەوە و چارەسەرکردن)، بۆچی و شوێن دەگۆڕنەوە، پشکنین بە $f(f^{-1}(x))$ و $f^{-1}(f(x))$ ، هەروەها هێڵکارییە ئاوێنەییەکە.

The graph of $f^{-1}$ is a mirror imageهێڵکاریی $f^{-1}$ وێنەیەکی ئاوێنەییە

If the point $(a,b)$ is on the graph of $f$ (so $f(a)=b$ ), then $f^{-1}(b)=a$ , so $(b,a)$ is on the graph of $f^{-1}$ . Swapping the two coordinates of every point is exactly a reflection in the line $y=x$ .

ئەگەر خاڵی $(a,b)$ لەسەر هێڵکاریی $f$ بێت (واتە $f(a)=b$ )، ئەوا $f^{-1}(b)=a$ ، بۆیە $(b,a)$ لەسەر هێڵکاریی $f^{-1}$ ـە. جێگۆڕکێی هەردوو هەموو خاڵێک ڕێک بەرامبەر هێڵی $y=x$ .

f(x)=x^2

(

x\ge0

) and its inverse

\sqrt{x}

are mirror images in

y=x

.

f(x)=x^2

(

x\ge0

) و پێچەوانەکەی

\sqrt{x}

وێنەی ئاوێنەیی یەکترن بەرامبەر

y=x

.CêIT

Tipئامۆژگاری

To see the mirror, draw both axes with the same scale. On a stretched grid the reflection still swaps the coordinates, but it no longer looks like a mirror image. Do not confuse this mirror with the flips $-f(x)$ and $f(-x)$ from reflecting graphs: those mirror a graph in the x-axis or the y-axis, while $f^{-1}$ mirrors it in the line $y=x$ .

بۆ بینینی ئاوێنەکە، هەردوو بە هەمان پێوەر بکێشە. لەسەر تۆڕێکی کێشراو هێشتا جێگۆڕکێ دەکات، بەڵام ئیتر وەک وێنەی ئاوێنە دەرناکەوێت. ئەم ئاوێنەیە لەگەڵ هەڵگەڕاندنەوەکانی $-f(x)$ و $f(-x)$ لە وێنەدانەوەی هێڵکاری تێکەڵ مەکە: ئەوان هێڵکارییەکە بەرامبەر x یان y هەڵدەگەڕێننەوە، بەڵام $f^{-1}$ بەرامبەر هێڵی $y=x$ هەڵیدەگەڕێنێتەوە.

Restricting the domainسنووردارکردنی بوار

A function that is not one-to-one can still get an inverse if we keep only a piece of its domain where it is one-to-one. Choose the piece so that the function still takes every value of its range. For $f(x)=x^2$ there are two natural choices:

کە یەک بۆ یەک نییە هێشتا دەتوانێت پێچەوانەی هەبێت، ئەگەر تەنها پارچەیەک لە بهێڵینەوە کە تێیدا یەک بۆ یەکە. پارچەکە بە شێوەیەک هەڵبژێرە کە هێشتا هەموو نرخەکانی وەربگرێت. بۆ $f(x)=x^2$ دوو هەڵبژاردەی سروشتی هەن:

Two ways to make $x^2$ invertibleدوو ڕێگا بۆ ئەوەی $x^2$ پێچەوانەی هەبێت
Restricted domain سنووردارکراو	Inverseپێچەوانە	Domain of the inverse پێچەوانەکە	Range of the inverse پێچەوانەکە
$x\ge0$	$\sqrt{x}$	$[0,\infty)$	$[0,\infty)$
$x\le0$	$-\sqrt{x}$	$[0,\infty)$	$(-\infty,0]$

This is why $\sqrt{x^2}$ is not always $x$ : the square root undoes squaring only on $x\ge0$ . For negative $x$ you get $\sqrt{x^2}=|x|$ (see absolute value) — the same fact that put the absolute value into the trigonometric identities homework.

بۆیە $\sqrt{x^2}$ هەمیشە $x$ نییە: تەنها لەسەر $x\ge0$ کاری دووجاکردن هەڵدەوەشێنێتەوە. بۆ $x$ ـی سالب $\sqrt{x^2}=|x|$ دەبێت (بڕوانە نرخی ڕووت) — هەمان ڕاستی کە هێنایە ناو ئەرکی ماڵەوەی هاوئەنجامە سێگۆشەییەکان.

Inverse trigonometric functionsنەخشە سێگۆشەییە پێچەوانەکان

The notes list the inverse trigonometric functions “such as $\sin^{-1}x$ , $\cos^{-1}x$ , $\tan^{-1}x$ , …”. But the trigonometric functions are periodic, so they fail the horizontal line test badly: $\sin x=\frac12$ at $\frac{\pi}{6}$ , $\frac{5\pi}{6}$ , $\frac{13\pi}{6}$ , … To build an inverse we restrict each one to a piece where it is one-to-one.

تێبینییەکان دەنووسن «وەک $\sin^{-1}x$ ، $\cos^{-1}x$ ، $\tan^{-1}x$ ، …». بەڵام خولاوەن، بۆیە بە خراپی لە دەکەون: $\sin x=\frac12$ ـە لە $\frac{\pi}{6}$ ، $\frac{5\pi}{6}$ ، $\frac{13\pi}{6}$ ، … بۆ دروستکردنی پێچەوانە، هەریەکەیان بە پارچەیەک سنووردار دەکەین کە تێیدا یەک بۆ یەکە.

Definitionپێناسە

The inverse of a trigonometric function on a restricted domain, such as $\sin^{-1}x=\arcsin x$ : it gives back the angle. $\sin^{-1}x$ is not $\frac{1}{\sin x}$ .

پێچەوانەی لەسەر بوارێکی سنووردارکراو، وەک $\sin^{-1}x=\arcsin x$ : گۆشەکە دەگەڕێنێتەوە. $\sin^{-1}x$ هەمان $\frac{1}{\sin x}$ نییە.

For sine the chosen piece is $\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$ : there sine increases from $-1$ to $1$ and takes each value exactly once. So $\sin^{-1}x$ (also written $\arcsin x$ ) is the angle in $\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$ whose sine is $x$ . Its domain is $[-1,1]$ and its range is $\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$ .

بۆ پارچە هەڵبژێردراوەکە $\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$ ـە: لەوێدا لە $-1$ ـەوە بۆ $1$ بەرز دەبێتەوە و هەر نرخێک ڕێک یەک جار وەردەگرێت. کەواتە $\sin^{-1}x$ (هەروەها دەنووسرێت $\arcsin x$ ) ئەو گۆشەیەیە لە $\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$ دا کە $x$ ـە. $[-1,1]$ ـە و $\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$ .

Quick checkپشکنینی خێراWhy is sine restricted to

\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]

before taking its inverse?بۆچی پێش وەرگرتنی پێچەوانەکەی بە

\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]

سنووردار دەکرێت؟There it is one-to-one and still takes every value from

-1

to

1

لەوێدا یەک بۆ یەکە و هێشتا هەموو نرخەکانی

-1

تا

1

وەردەگرێتSine is undefined outside itساین لە دەرەوەی ئەو پێناسە نەکراوەBecause

\frac{\pi}{2}

is the period of sineچونکە

\frac{\pi}{2}

کاتی خولیی ساینە

Inverse trigonometric functionsنەخشە سێگۆشەییە پێچەوانەکان

Watch sine turn into arcsinسەیری گۆڕانی ساین بۆ arcsin بکە

The animation puts the three ideas of this lesson together: a horizontal line shows that sine is not one-to-one, one piece is kept, and that piece is reflected in $y=x$ .

ئەنیمەیشنەکە سێ بیرۆکەکەی ئەم وانەیە پێکەوە دادەنێت: هێڵێکی ئاسۆیی پیشان دەدات کە یەک بۆ یەک نییە، پارچەیەک دەهێڵرێتەوە و ئەو پارچەیە بەرامبەر $y=x$ بۆ دەکرێت.

Animation in six steps. 1: the sine wave from −2π to 2π with the dashed line y = 1/2 crossing it at four marked points; sine is not one-to-one. 2: only the piece from −π/2 to π/2 stays bold, the rest fades; this piece is one-to-one. 3: a zoomed view with the dashed mirror line y = x. 4 and 5: the piece moves across the mirror line. 6: its mirror image, the graph of y = sin⁻¹ x from (−1, −π/2) to (1, π/2), with the end point (π/2, 1) of sine joined to its image (1, π/2); a box says sin⁻¹ takes [−1, 1] to [−π/2, π/2]. — Restrict, then reflect: the birth of arcsin.سنووردارکردن، پاشان : لەدایکبوونی arcsin.CêIT

Quick checkپشکنینی خێراThe point

\left(\frac{\pi}{6},\ \frac12\right)

lies on the restricted sine graph. Which point lies on the graph of

\sin^{-1}

?خاڵی

\left(\frac{\pi}{6},\ \frac12\right)

لەسەر هێڵکاریی سنووردارکراوە. کام خاڵ لەسەر هێڵکاریی

\sin^{-1}

ـە؟

\left(\frac{\pi}{6},\ 2\right)

\left(\frac{\pi}{6},\ 2\right)

\left(\frac12,\ \frac{\pi}{6}\right)

\left(\frac12,\ \frac{\pi}{6}\right)

\left(-\frac{\pi}{6},\ -\frac12\right)

\left(-\frac{\pi}{6},\ -\frac12\right)

Inverse trigonometric functionsنەخشە سێگۆشەییە پێچەوانەکان

All six inverse trigonometric functionsهەموو نەخشە سێگۆشەییە پێچەوانەکان

Each function is restricted to a piece where it is one-to-one; the inverse then has that piece as its range. The table follows the notes (the same choices as most calculus textbooks).

هەر بە پارچەیەک سنووردار دەکرێت کە تێیدا یەک بۆ یەکە؛ پاشان ئەو پارچەیە دەبێتە پێچەوانەکە. خشتەکە شوێنی تێبینییەکان دەکەوێت (هەمان هەڵبژاردەی زۆربەی کتێبەکانی کالکولەس).

Domains and ranges of the inverse trigonometric functions و
Function	Domain	Range
$y=\sin^{-1}x$	$-1\le x\le1$	$-\frac{\pi}{2}\le y\le\frac{\pi}{2}$
$y=\cos^{-1}x$	$-1\le x\le1$	$0\le y\le\pi$
$y=\tan^{-1}x$	$-\infty<x<\infty$	$-\frac{\pi}{2}<y<\frac{\pi}{2}$
$y=\sec^{-1}x$	$x\le-1$ or $x\ge1$ $x\le-1$ یان $x\ge1$	$0\le y\le\pi,\ y\ne\frac{\pi}{2}$
$y=\csc^{-1}x$	$x\le-1$ or $x\ge1$ $x\le-1$ یان $x\ge1$	$-\frac{\pi}{2}\le y\le\frac{\pi}{2},\ y\ne0$
$y=\cot^{-1}x$	$-\infty<x<\infty$	$0<y<\pi$

The six inverse trigonometric functions, redrawn from the notes’ figure.، هەر شەشیان، لە وێنەکەی تێبینییەکانەوە دووبارە کێشراونەتەوە.CêIT

Different books, different rangesکتێبی جیاواز، مەودای جیاواز

Books do not all agree on the ranges of $\sec^{-1}$ and $\cot^{-1}$ . Some use $\left[0,\frac{\pi}{2}\right)\cup\left[\pi,\frac{3\pi}{2}\right)$ for $\sec^{-1}$ , and some software uses $\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$ for $\cot^{-1}$ — the computer algebra system SymPy, for example, gives $\cot^{-1}(-1)=-\frac{\pi}{4}$ , while the range in our table gives $\frac{3\pi}{4}$ . Always check which convention a book or program uses. This course uses the table above.

کتێبەکان هەموویان لەسەر $\sec^{-1}$ و $\cot^{-1}$ ڕێک نین. هەندێکیان بۆ $\sec^{-1}$ $\left[0,\frac{\pi}{2}\right)\cup\left[\pi,\frac{3\pi}{2}\right)$ بەکار دەهێنن و هەندێک بەرنامە بۆ $\cot^{-1}$ $\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$ بەکار دەهێنێت — بۆ نموونە سیستەمی جەبری SymPy $\cot^{-1}(-1)=-\frac{\pi}{4}$ دەدات، لە کاتێکدا خشتەکەی ئێمە $\frac{3\pi}{4}$ دەدات. هەمیشە بپشکنە کتێبێک یان بەرنامەیەک کام ڕێککەوتن بەکار دەهێنێت. ئەم کۆرسە خشتەکەی سەرەوە بەکار دەهێنێت.

Quick checkپشکنینی خێراWhat is the range of

\cos^{-1}x

?

\cos^{-1}x

چییە؟

\mathbb{R}

\mathbb{R}

\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]

\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]

[0,\pi]

[0,\pi]

[-1,1]

[-1,1]

Inverse trigonometric functionsنەخشە سێگۆشەییە پێچەوانەکان

Evaluating inverse trigonometric functionsهەژمارکردنی نەخشە سێگۆشەییە پێچەوانەکان

To find $\sin^{-1}a$ , ask: “which angle in the range $\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$ has sine $a$ ?” Many angles have that sine, but only one is in the range.

بۆ دۆزینەوەی $\sin^{-1}a$ بپرسە: «کام گۆشە لە ناو $\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$ دا $a$ ـە؟» زۆر گۆشە ئەو هەیە، بەڵام تەنها یەکیان لە ناو .

\begin{aligned}\sin^{-1}\tfrac12&=\tfrac{\pi}{6} & \cos^{-1}\left(-\tfrac12\right)&=\tfrac{2\pi}{3} & \tan^{-1}1&=\tfrac{\pi}{4}\\ \tan^{-1}\left(-\sqrt3\right)&=-\tfrac{\pi}{3} & \cos^{-1}0&=\tfrac{\pi}{2} & \sin^{-1}1&=\tfrac{\pi}{2}\end{aligned}

Composing a function with its inverse needs care. $\sin(\sin^{-1}x)=x$ for every $x$ in $[-1,1]$ . But $\sin^{-1}(\sin x)=x$ only when $x$ is in $\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$ : for example $\sin^{-1}\left(\sin\frac{3\pi}{4}\right)=\sin^{-1}\frac{\sqrt2}{2}=\frac{\pi}{4}$ , not $\frac{3\pi}{4}$ .

ئاوێتەکردنی لەگەڵ پێچەوانەکەی وریایی دەوێت. $\sin(\sin^{-1}x)=x$ بۆ هەموو $x$ ێک لە $[-1,1]$ . بەڵام $\sin^{-1}(\sin x)=x$ تەنها کاتێک ڕاستە کە $x$ لە $\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$ دا بێت: بۆ نموونە $\sin^{-1}\left(\sin\frac{3\pi}{4}\right)=\sin^{-1}\frac{\sqrt2}{2}=\frac{\pi}{4}$ ، نەک $\frac{3\pi}{4}$ .

Quick checkپشکنینی خێراWhat is

\cos^{-1}\left(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right)

?

\cos^{-1}\left(\cos\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right)

چەندە؟

-\frac{\pi}{3}

-\frac{\pi}{3}

\frac{2\pi}{3}

\frac{2\pi}{3}

\frac{\pi}{3}

\frac{\pi}{3}

\frac12

\frac12

Evaluating Inverse Trigonometric Functions (arcsin, arccos, arctan) Using Unit CircleMario's Math Tutoring · Englishئینگلیزی · 247K viewsبینین · 5.1K likesلایک
How to find arcsin, arccos and arctan of a value with the unit circle, choosing the one angle that lies in the allowed range.
چۆن $\arcsin$ ، $\arccos$ و $\arctan$ بۆ ژمارەیەک بە دەدۆزیتەوە، بە هەڵبژاردنی تاکە گۆشەیەک کە لە .
Exact values of sin⁻¹, cos⁻¹ and tan⁻¹ read from the unit circle, with the restricted ranges.
نرخە وردەکانی $\sin^{-1}$ ، $\cos^{-1}$ و $\tan^{-1}$ لەسەر دەخوێنرێنەوە، لەگەڵ .

$\sin^{-1}x$ is not $\frac{1}{\sin x}$ $\sin^{-1}x$ هەمان $\frac{1}{\sin x}$ نییە

Read the

-1

carefully

-1

بە وردی بخوێنەوە

With trigonometric functions a small number after the name usually means a power: $\sin^2x=(\sin x)^2$ . The exception is $-1$ : $\sin^{-1}x$ means the inverse function (an angle), not $(\sin x)^{-1}$ . The reciprocal $\frac{1}{\sin x}$ has its own name: $\csc x$ . To avoid the confusion, many books and programs write $\arcsin x$ .

لەگەڵ ژمارەیەکی بچووک دوای ناوەکە زۆرجار دەگەیەنێت: $\sin^2x=(\sin x)^2$ . ئاوارتەکە $-1$ ـە: $\sin^{-1}x$ واتە (گۆشەیەک)، نەک $(\sin x)^{-1}$ . ، واتە $\frac{1}{\sin x}$ ، ناوی خۆی هەیە: $\csc x$ . بۆ دوورکەوتنەوە لەم تێکەڵبوونە، زۆر کتێب و بەرنامە دەنووسن $\arcsin x$ .

\sin^{-1}\tfrac12=\tfrac{\pi}{6}\approx0.524\qquad\qquad \frac{1}{\sin\frac12}\approx2.086

Quick checkپشکنینی خێراWhich expression equals

\csc x

?کام یەکسانە بە

\csc x

؟

\sin^{-1}x

\sin^{-1}x

(\sin x)^{-1}

(\sin x)^{-1}

\arcsin x

\arcsin x

\sin(x^{-1})

\sin(x^{-1})

Inverse functions in your codeپێچەوانەکانی نەخشە لە کۆدەکەتدا

In computingلە کۆمپیوتەردا

Python's math.asin, math.acos and math.atan are exactly the inverse functions of this lesson: they return an angle in radians, in the same ranges as our table. A value outside the domain raises an error.

math.asin، math.acos و math.atanـی Python ڕێک ئەم وانەیەن: گۆشەیەک بە دەگەڕێننەوە، لە هەمان خشتەکەی ئێمە. نرخێک لە دەرەوەی هەڵەیەک دروست دەکات.

inverse_trig.pyPYTHONType in a terminalلە تێرمیناڵدا بینووسە

import math

print(math.asin(0.5))                       # an angle in radians
print(math.degrees(math.asin(0.5)))
print(math.degrees(math.acos(-0.5)))
print(math.degrees(math.atan(1)))
print(math.degrees(math.atan2(1, -1)))      # the point (-1, 1): 135 degrees
print(math.asin(2))                         # 2 is outside [-1, 1]

Explain the codeڕوونکردنەوەی کۆدەکە

Lineدێڕی 3

$0.5236$ is $\frac{\pi}{6}$ : $\sin^{-1}\frac12=\frac{\pi}{6}$ .

$0.5236$ هەمان $\frac{\pi}{6}$ ـە: $\sin^{-1}\frac12=\frac{\pi}{6}$ .

Lineدێڕی 7

atan2(y, x) looks at both signs and returns the full angle of the point $(x,y)$ , between $-\pi$ and $\pi$ . Games use it to turn a character towards a target.

atan2(y, x) سەیری هەردوو هێما دەکات و گۆشەی تەواوی خاڵی $(x,y)$ لە نێوان $-\pi$ و $\pi$ دا دەگەڕێنێتەوە. بۆ ئاڕاستەکردنی کارەکتەرێک بەرەو ئامانجێک بەکاری دەهێنن.

Lineدێڕی 8

asin(2) is undefined, just as in mathematics.

asin(2) پێناسە نەکراوە، ڕێک وەک لە بیرکاریدا.

Inverse functions are everywhere in IT: encryption and decryption, compressing and decompressing a file, encoding text as bytes and decoding it again. Each pair only works because the first step is one-to-one — if two different messages turned into the same code, nobody could decode it.

لە ITـدا لە هەموو شوێنێکن: و ، و کردنەوەی، گۆڕینی دەق بۆ () و گەڕاندنەوەی بۆ دەق. هەر جووتێکیان تەنها بەو هۆیە کار دەکات کە هەنگاوی یەکەم یەک بۆ یەکە — ئەگەر دوو نامەی جیاواز ببوونایە بە هەمان کۆد، کەس نەیدەتوانی بیکاتەوە.

You will meet one more famous pair in this chapter: the exponential function and its inverse, the logarithm.

لەم بەشەدا جووتێکی ناسراوی تر دەبینیت: نەخشەی توانی و پێچەوانەکەی، لۆگاریتم.

Common mistakesهەڵە باوەکان

Mistakeهەڵە	Why it is wrongبۆچی هەڵەیە	Correctڕاست
$f^{-1}(x)=\frac{1}{f(x)}$ $f^{-1}(x)=\frac{1}{f(x)}$	$-1$ is not an exponent hereلێرەدا $-1$ نییە	$f^{-1}$ undoes $f$ ; $\frac{1}{f}$ is the reciprocal $f^{-1}$ کاری $f$ هەڵدەوەشێنێتەوە؛ $\frac{1}{f}$
Looking for the inverse of $x^2$ on all of $\mathbb{R}$ گەڕان بەدوای پێچەوانەی $x^2$ لەسەر هەموو $\mathbb{R}$	$x^2$ is not one-to-one: $2$ and $-2$ both give $4$ $x^2$ یەک بۆ یەک نییە: $2$ و $-2$ هەردووکیان $4$ دەدەن	Restrict first: $x\ge0$ gives $\sqrt{x}$ سەرەتا سنووردار بکە: $x\ge0$ دەکاتە $\sqrt{x}$
Undoing the steps in the same orderهەڵوەشاندنەوەی هەنگاوەکان بە هەمان ڕیزبەندی	For $2x+3$ , “halve then subtract 3” gives $\frac{x}{2}-3$ , which is wrongبۆ $2x+3$ ، «نیوەی بکە پاشان 3 لێ دەربکە» $\frac{x}{2}-3$ دەدات کە هەڵەیە	Undo the last step first: $\frac{x-3}{2}$ دوایین هەنگاو یەکەم جار هەڵبوەشێنەوە: $\frac{x-3}{2}$
$\sin^{-1}\frac12=\frac{5\pi}{6}$ $\sin^{-1}\frac12=\frac{5\pi}{6}$	$\frac{5\pi}{6}$ has sine $\frac12$ but is outside $\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$ $\frac{5\pi}{6}$ یەکسانە بە $\frac12$ بەڵام لە دەرەوەی $\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$ ـە	The answer must lie in the range: $\frac{\pi}{6}$ وەڵامەکە دەبێت لە ناو بێت: $\frac{\pi}{6}$
$\sin^{-1}(\sin x)=x$ for every $x$ $\sin^{-1}(\sin x)=x$ بۆ هەموو $x$ ێک	$\sin^{-1}\left(\sin\frac{3\pi}{4}\right)=\frac{\pi}{4}$ , not $\frac{3\pi}{4}$ $\sin^{-1}\left(\sin\frac{3\pi}{4}\right)=\frac{\pi}{4}$ ، نەک $\frac{3\pi}{4}$	True only for $x$ in $\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$ تەنها بۆ $x$ لە $\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$ دا ڕاستە
Calculator in degree mode for $\sin^{-1}$ لە دۆخی بۆ $\sin^{-1}$	You get 30 instead of 0.5236لە جیاتی ⁦0.5236⁩ ئەنجامی ⁦30⁩ وەردەگریت	In calculus give inverse trig values in radiansلە کالکولەسدا نرخی بە بدە

Exercisesڕاهێنانەکان

Exerciseڕاهێنان1. Which ones have an inverse?1. کامیان پێچەوانەیان هەیە؟

On their whole domain, which of these have an inverse? (a) $f(x)=3x-7$ (b) $g(x)=x^2+1$ (c) $h(x)=x^3$ (d) $k(x)=|x|$

لەسەر هەموو ، کامیان پێچەوانەیان هەیە؟ (أ) $f(x)=3x-7$ (ب) $g(x)=x^2+1$ (ج) $h(x)=x^3$ (د) $k(x)=|x|$

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

(a) Yes: a line that is not horizontal passes the horizontal line test. $f^{-1}(x)=\frac{x+7}{3}$ .
(b) No: $g(1)=g(-1)=2$ .
(c) Yes: $x^3$ always increases; $h^{-1}(x)=\sqrt[3]{x}$ .
(d) No: $k(3)=k(-3)=3$ .

(أ) بەڵێ: هێڵێکی ڕاست کە ئاسۆیی نەبێت لە دەردەچێت. $f^{-1}(x)=\frac{x+7}{3}$ .
(ب) نەخێر: $g(1)=g(-1)=2$ .
(ج) بەڵێ: $x^3$ هەمیشە بەرز دەبێتەوە؛ $h^{-1}(x)=\sqrt[3]{x}$ .
(د) نەخێر: $k(3)=k(-3)=3$ .

Exerciseڕاهێنان2. The inverse of a fraction2. پێچەوانەی کەرتێک

Find the inverse of $f(x)=\frac{x+1}{x-2}$ ( $x\ne2$ ). Give the domain and range of $f^{-1}$ .

پێچەوانەی $f(x)=\frac{x+1}{x-2}$ ( $x\ne2$ ) بدۆزەرەوە. و $f^{-1}$ بنووسە.

Hintئاماژە

Multiply by $(x-2)$ , collect the $x$ terms on one side and factor out $x$ .

لێکدان لە $(x-2)$ بکە، بڕەکانی $x$ بخە یەک لا و $x$ دەربهێنە دەرەوەی کەوانە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

y=\frac{x+1}{x-2}\ \Rightarrow\ y(x-2)=x+1\ \Rightarrow\ xy-x=2y+1\ \Rightarrow\ x=\frac{2y+1}{y-1}

f^{-1}(x)=\frac{2x+1}{x-1}

Exerciseڕاهێنان3. Restrict and invert3. سنووردار بکە و پێچەوانەکەی بدۆزەرەوە

$f(x)=(x-1)^2$ is not one-to-one. Restrict its domain so that it has an inverse, and find the inverse with its domain and range.

$f(x)=(x-1)^2$ نییە. سنووردار بکە بۆ ئەوەی پێچەوانەی هەبێت و پێچەوانەکەی لەگەڵ و بدۆزەرەوە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

Keep $x\ge1$ (the right half of the parabola). Then $y=(x-1)^2\Rightarrow x-1=\sqrt y$ (positive, because $x\ge1$ ), so $f^{-1}(x)=1+\sqrt x$ with domain $[0,\infty)$ and range $[1,\infty)$ . (Keeping $x\le1$ instead gives $1-\sqrt x$ .)

$x\ge1$ بهێڵەوە (نیوەی ڕاستی ). پاشان $y=(x-1)^2\Rightarrow x-1=\sqrt y$ (موجەبە، چونکە $x\ge1$ )، کەواتە $f^{-1}(x)=1+\sqrt x$ بە $[0,\infty)$ و $[1,\infty)$ . (ئەگەر لە جیاتی ئەوە $x\le1$ بهێڵیتەوە، $1-\sqrt x$ دەردەچێت.)

Exerciseڕاهێنان4. Exact values4. نرخە وردەکان

Find exactly: $\sin^{-1}\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)$ , $\cos^{-1}\frac{\sqrt3}{2}$ , $\sec^{-1}2$ , $\csc^{-1}(-2)$ , $\cot^{-1}1$ .

بە وردی بیدۆزەرەوە: $\sin^{-1}\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)$ ، $\cos^{-1}\frac{\sqrt3}{2}$ ، $\sec^{-1}2$ ، $\csc^{-1}(-2)$ ، $\cot^{-1}1$ .

Hintئاماژە

$\sec^{-1}a=\cos^{-1}\frac{1}{a}$ and $\csc^{-1}a=\sin^{-1}\frac{1}{a}$ .

$\sec^{-1}a=\cos^{-1}\frac{1}{a}$ و $\csc^{-1}a=\sin^{-1}\frac{1}{a}$ .

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

\sin^{-1}\left(-\tfrac{\sqrt2}{2}\right)=-\tfrac{\pi}{4},\quad \cos^{-1}\tfrac{\sqrt3}{2}=\tfrac{\pi}{6},\quad \sec^{-1}2=\tfrac{\pi}{3}\ (\cos=\tfrac12),\quad \csc^{-1}(-2)=-\tfrac{\pi}{6}\ (\sin=-\tfrac12),\quad \cot^{-1}1=\tfrac{\pi}{4}

Exerciseڕاهێنان5. Compositions5. ئاوێتەکردن

Find $\cos^{-1}\left(\cos\frac{5\pi}{4}\right)$ , $\tan^{-1}\left(\tan\frac{3\pi}{4}\right)$ and $\cos\left(\sin^{-1}\frac45\right)$ .

$\cos^{-1}\left(\cos\frac{5\pi}{4}\right)$ ، $\tan^{-1}\left(\tan\frac{3\pi}{4}\right)$ و $\cos\left(\sin^{-1}\frac45\right)$ بدۆزەرەوە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

$\cos\frac{5\pi}{4}=-\frac{\sqrt2}{2}$ ; the angle in $[0,\pi]$ with this cosine is $\frac{3\pi}{4}$ .
$\tan\frac{3\pi}{4}=-1$ ; the angle in $\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$ with tangent $-1$ is $-\frac{\pi}{4}$ .
Let $\theta=\sin^{-1}\frac45$ , so $\sin\theta=\frac45$ and $\theta\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$ , where cosine is not negative: $\cos\theta=\sqrt{1-\frac{16}{25}}=\frac35$ .

$\cos\frac{5\pi}{4}=-\frac{\sqrt2}{2}$ ؛ ئەو گۆشەیەی لە $[0,\pi]$ دا ئەم هەیە $\frac{3\pi}{4}$ ـە.
$\tan\frac{3\pi}{4}=-1$ ؛ ئەو گۆشەیەی لە $\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$ دا $-1$ ـە $-\frac{\pi}{4}$ ـە.
با $\theta=\sin^{-1}\frac45$ بێت، کەواتە $\sin\theta=\frac45$ و $\theta\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$ ، کە تێیدا سالب نییە: $\cos\theta=\sqrt{1-\frac{16}{25}}=\frac35$ .

Exerciseڕاهێنان6. Spot the mistake6. هەڵەکە بدۆزەرەوە

Lana computes $\sin^{-1}\frac12$ as $\frac{1}{\sin\frac12}\approx2.09$ . What went wrong?

لانا $\sin^{-1}\frac12$ وەها هەژمار دەکات: $\frac{1}{\sin\frac12}\approx2.09$ . چی هەڵە بوو؟

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

She read $-1$ as a power and computed the reciprocal of a sine. $\sin^{-1}\frac12$ is the angle in $\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$ whose sine is $\frac12$ : $\frac{\pi}{6}\approx0.524$ .

$-1$ ـی وەک خوێندەوە و هەژمار کرد. $\sin^{-1}\frac12$ ئەو گۆشەیەیە لە $\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$ دا کە $\frac12$ ـە: $\frac{\pi}{6}\approx0.524$ .

Summaryپوختە

The inverse $f^{-1}$ undoes $f$ : $f^{-1}(y)=x$ exactly when $f(x)=y$ . Domain and range swap.
Only one-to-one functions have an inverse; the horizontal line test checks this on a graph.
To find $f^{-1}$ : solve $y=f(x)$ for $x$ , swap $x$ and $y$ , check both compositions.
The graph of $f^{-1}$ is the reflection of the graph of $f$ in the line $y=x$ .
Trigonometric functions are restricted before inverting: $\sin$ to $\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$ , $\cos$ to $[0,\pi]$ , $\tan$ to $\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$ . The results are $\sin^{-1}$ , $\cos^{-1}$ and $\tan^{-1}$ (and $\sec^{-1}$ , $\csc^{-1}$ , $\cot^{-1}$ ).
$\sin^{-1}x$ is an angle, not $\frac{1}{\sin x}$ .

$f^{-1}$ کاری $f$ هەڵدەوەشێنێتەوە: $f^{-1}(y)=x$ تەنها کاتێک کە $f(x)=y$ . و جێگۆڕکێ دەکەن.
تەنها پێچەوانەیان هەیە؛ ئەمە لەسەر هێڵکاری دەپشکنێت.
بۆ دۆزینەوەی $f^{-1}$ : $y=f(x)$ بۆ $x$ شیکار بکە، $x$ و $y$ جێگۆڕکێ پێ بکە و هەردوو ئاوێتەکردنەکە بپشکنە.
هێڵکاریی $f^{-1}$ هێڵکاریی $f$ ـە بەرامبەر هێڵی $y=x$ .
پێش پێچەوانەکردن سنووردار دەکرێن: $\sin$ بە $\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$ ، $\cos$ بە $[0,\pi]$ ، $\tan$ بە $\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$ . ئەنجامەکان $\sin^{-1}$ ، $\cos^{-1}$ و $\tan^{-1}$ ن (هەروەها $\sec^{-1}$ ، $\csc^{-1}$ و $\cot^{-1}$ ).
$\sin^{-1}x$ گۆشەیەکە، نەک $\frac{1}{\sin x}$ .

Review questionsپرسیارەکانی پێداچوونەوە

Why does

x^2

have no inverse on

\mathbb{R}

?بۆچی

x^2

لەسەر

\mathbb{R}

پێچەوانەی نییە؟

Because it is not one-to-one: $x$ and $-x$ give the same square, so $f^{-1}$ would not know which one to return.

چونکە یەک بۆ یەک نییە: $x$ و $-x$ هەمان دووجا دەدەن، بۆیە $f^{-1}$ نازانێت کامیان بگەڕێنێتەوە.

What are the domain and range of

\tan^{-1}x

?بوار و مەودای

\tan^{-1}x

چین؟

Domain all real numbers; range the open interval $\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$ .

: هەموو ؛ : $\left(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right)$ .

Is

\sin^{-1}(\sin\pi)

equal to

\pi

?ئایا

\sin^{-1}(\sin\pi)

یەکسانە بە

\pi

؟

No. $\sin\pi=0$ and $\sin^{-1}0=0$ , because the answer must lie in $\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$ .

نەخێر. $\sin\pi=0$ و $\sin^{-1}0=0$ ، چونکە وەڵامەکە دەبێت لە $\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$ دا بێت.

Videoڤیدیۆ

Watch a videoسەیری ڤیدیۆیەک بکە

A video that viewers liked a lot and praised in their comments, chosen for this lesson.ڤیدیۆیەک کە بینەران زۆریان پێ خۆش بووە و لە کۆمێنتەکانیاندا ستایشیان کردووە، بۆ ئەم وانەیە هەڵبژێردراوە.

بیرکاری پۆلی ١١ی زانستی بەشی چوارەم وانەی دووەمIbrahim Ismahil · Kurdish (Sorani)کوردی (سۆرانی) · 32K viewsبینین · 725 likesلایک
In Kurdish: the inverse of a function, from the Grade 11 book, lesson 4-2, page 219.
بە کوردی: ، لە کتێبی پۆلی ⁦11⁩، وانەی ⁦4-2⁩، لاپەڕە ⁦219⁩.
Sorani, Grade 11 science lesson (4-2) Inverse Function (پێچەوانەی نەخشە), page 219.
بە سۆرانی، وانەی پۆلی ⁦11⁩ـی زانستی ⁦(4-2)⁩: ، لاپەڕە ⁦219⁩.

Lesson complete!وانەکە تەواو بوو!

Well done. Review the key terms, then go on to the next lesson.دەستخۆش. سەیرێکی زاراوە سەرەکییەکان بکەرەوە، پاشان بڕۆ بۆ وانەی داهاتوو.

Key termsزاراوە سەرەکییەکان

Next lessonوانەی داهاتوو

Exponential Functions and the Number eنەخشە توانییەکان و ژمارەی e

Related lecturesوانە پەیوەندیدارەکان

References and further readingسەرچاوەکان و خوێندنەوەی زیاتر

This lecture is a first edition. The Kurdish text and terminology are waiting for review by Kurdish IT teachers.ئەم وانەیە چاپی یەکەمە. دەقە کوردییەکە و زاراوەکانی چاوەڕێی پێداچوونەوەی مامۆستایانی کوردی بواری IT ن.

Inverse Functions and Inverse Trigonometric Functionsپێچەوانەکانی نەخشە و نەخشە سێگۆشەییە پێچەوانەکان

What you will learnچی فێر دەبیت

Undoing a functionهەڵوەشاندنەوەی کاری نەخشەیەک

Definition and notationپێناسە و نیشانەکان

Only one-to-one functions have an inverseتەنها نەخشە یەک بۆ یەکەکان پێچەوانەیان هەیە

Finding the inverse step by stepدۆزینەوەی پێچەوانە هەنگاو بە هەنگاو

The graph of f−1f^{-1}f−1 is a mirror imageهێڵکاریی f−1f^{-1}f−1 وێنەیەکی ئاوێنەییە

Restricting the domainسنووردارکردنی بوار

Inverse trigonometric functionsنەخشە سێگۆشەییە پێچەوانەکان

Watch sine turn into arcsinسەیری گۆڕانی ساین بۆ arcsin بکە

All six inverse trigonometric functionsهەموو نەخشە سێگۆشەییە پێچەوانەکان

Evaluating inverse trigonometric functionsهەژمارکردنی نەخشە سێگۆشەییە پێچەوانەکان

sin⁡−1x\sin^{-1}xsin−1x is not 1sin⁡x\frac{1}{\sin x}sinx1​sin⁡−1x\sin^{-1}xsin−1x هەمان 1sin⁡x\frac{1}{\sin x}sinx1​ نییە

Inverse functions in your codeپێچەوانەکانی نەخشە لە کۆدەکەتدا

Common mistakesهەڵە باوەکان

Exercisesڕاهێنانەکان

Summaryپوختە

Watch a videoسەیری ڤیدیۆیەک بکە

Lesson complete!وانەکە تەواو بوو!

Key termsزاراوە سەرەکییەکان

Related lecturesوانە پەیوەندیدارەکان

The graph of $f^{-1}$ is a mirror imageهێڵکاریی $f^{-1}$ وێنەیەکی ئاوێنەییە

$\sin^{-1}x$ is not $\frac{1}{\sin x}$ $\sin^{-1}x$ هەمان $\frac{1}{\sin x}$ نییە