Chapterبەش 2 · Lectureوانە 2.9

Absolute Value Inequalities with Fractionsلاسەنگەکانی نرخی ڕووت لەگەڵ کەرتەکان

The course's hardest examples, $\left|\frac{x-1}{x+1}\right| \le 3$ , $|3x + 1| < 2|x - 6|$ and $\left|\frac2x - 4\right| < 3$ : why you multiply by the square of the denominator, two sign charts and their intersection, a shortcut by squaring both sides, the corrected answer $(-\infty, -2] \cup [-\tfrac12, \infty)$ , and two homework attempts to repair.

قورسترین نموونەکانی وانەکە، $\left|\frac{x-1}{x+1}\right| \le 3$ ، $|3x + 1| < 2|x - 6|$ و $\left|\frac2x - 4\right| < 3$ : بۆچی لە دووجای دەدەیت، دوو و ئەوان، ڕێگایەکی کورت بە دووجاکردنی هەردوو لا، وەڵامی ڕاستکراوەی $(-\infty, -2] \cup [-\tfrac12, \infty)$ و دوو هەوڵی ئەرکی ماڵەوە بۆ چاککردن.

13 min read15 خولەک خوێندنەوە · 13 stepsهەنگاو

What you will learnچی فێر دەبیت

Find the forbidden values of an absolute-value inequality with fractions, including hidden ones.
Explain why you multiply by the square of the denominator and not by the denominator.
Solve the two resulting inequalities with sign charts and combine them with an intersection.
Use squaring of both sides as a shortcut when both sides are non-negative.
Find and repair common mistakes in written solutions.

نرخە قەدەغەکانی کە تێدایە بدۆزیتەوە، شاراوەکانیشەوە.
ڕوونی بکەیتەوە بۆچی لە دووجای دەدەیت نەک لە خودی .
دوو بە شیکار بکەیت و بە پێکەوەیان ببەستیت.
دووجاکردنی هەردوو لا وەک ڕێگایەکی کورت بەکار بهێنیت کاتێک هەردوو لا نا-سالبن.
هەڵە باوەکان لە چارەسەرە نووسراوەکاندا بدۆزیتەوە و چاکیان بکەیتەوە.

When the unknown sits in a fractionکاتێک نەزانراوەکە لە کەرتێکدایە

Three examples are left on the course's list: Example 4 $\left|\frac{x-1}{x+1}\right| \le 3$ , Example 5 $|3x+1| < 2|x-6|$ and Example 7 $\left|\frac2x - 4\right| < 3$ . In each one $x$ sits in a , or on both sides. That brings two new dangers:

سێ نموونە لە لیستەکەی وانەکەدا ماونەتەوە: نموونەی 4 $\left|\frac{x-1}{x+1}\right| \le 3$ ، نموونەی 5 $|3x+1| < 2|x-6|$ و نموونەی 7 $\left|\frac2x - 4\right| < 3$ . لە هەریەکەیاندا $x$ لە ، یان لە هەردوو لادایە. ئەمە دوو مەترسیی نوێ دەهێنێت:

Forbidden values. A value that makes a denominator 0 can never be in the answer: $x \ne -1$ in Example 4 (the slide says so), $x \ne 0$ in Example 7 (hidden — the slide does not say it).
Unknown signs. You may not multiply an inequality by $x + 1$ or $x$ : you do not know whether it is positive or negative, and only multiplying by a negative number reverses the sign. This is the rule you met in Inequalities with fractions.

نرخە قەدەغەکان. نرخێک کە دەکاتە سفر هەرگیز ناتوانێت لە وەڵامدا بێت: $x \ne -1$ لە نموونەی 4 (سلایدەکە دەیڵێت)، $x \ne 0$ لە نموونەی 7 (شاراوەیە — سلایدەکە نایڵێت).
هێمای نەزانراو. نابێت لە $x + 1$ یان $x$ بدەیت: نازانیت موجەبە یان سالب، لە کاتێکدا تەنها لێدان لە ژمارەیەکی سالب هێماکە پێچەوانە دەکاتەوە. ئەمە ئەو یاسایەیە کە لە لاسەنگە ڕێژەییەکان ناسیت.

The lecturer's method in five stepsڕێگای مامۆستاکە لە پێنج هەنگاودا

Remove the bars with the theorem: $|F| \le r \iff -r \le F \le r$ (or the $<$ form).
هێڵەکان بە لابەرە: $|F| \le r \iff -r \le F \le r$ (یان شێوەی $<$ ).
Split the double inequality into two inequalities joined by and.
بکە بە دوو کە بە و بەستراون.
In each one, multiply by the square of the denominator (it is positive), move everything to one side and factor.
لە هەریەکەیاندا، لە دووجای بیدە (موجەبە)، هەموو شتێک بگوازەوە بۆ یەک لا و بکە.
Solve each one with a sign chart (see the sign-chart method).
هەریەکەیان بە شیکار بکە (بڕوانە ڕێگای خشتەی هێماکان).
Keep only the numbers that pass both (the intersection) and remove the forbidden values.
تەنها ئەو ژمارانە بهێڵەوە کە لە هەردووکیان دەردەچن () و نرخە قەدەغەکان لابەرە.

Quick checkپشکنینی خێراWhy does the lecturer multiply by

(x+1)^2

and not by

x+1

?بۆچی مامۆستاکە لە

(x+1)^2

دەیدات نەک لە

x+1

؟

x+1

is always negative

x+1

هەمیشە سالبەIt makes the numbers smallerژمارەکان بچووکتر دەکات

(x+1)^2

is positive for every allowed

x

, so the inequality keeps its direction

(x+1)^2

بۆ هەموو

x

ـێکی ڕێگەپێدراو موجەبە، بۆیە لاسەنگەکە ئاڕاستەکەی دەپارێزێت

Reminder: multiply by the square of the denominatorبیرخستنەوە: لە دووجای ژێرەکە بدە

You met this danger in Inequalities with fractions: $x + 1$ is negative for $x < -1$ and positive for $x > -1$ , so one multiplication rule cannot be right for every $x$ . Done carelessly in Example 4, it would give $x \ge -2$ , which wrongly keeps $x = -1.5$ and loses $x = -3$ . The square $(x+1)^2$ is positive for every allowed $x$ ( $x \ne -1$ ), so the sign never has to flip — this is method B again. Multiplying by $|x+1|$ is safe for the same reason; the shortcut screens below use it.

ئەم مەترسییەت لە لاسەنگە ڕێژەییەکان ناسی: $x + 1$ بۆ $x < -1$ سالبە و بۆ $x > -1$ موجەبە، بۆیە یەک یاسای لێدان ناتوانێت بۆ هەموو $x$ ـێک دروست بێت. ئەگەر لە نموونەی 4دا بێ ئاگایی ئەمە بکەیت، $x \ge -2$ دەستت دەکەوێت کە بە هەڵە $x = -1.5$ دەهێڵێتەوە و $x = -3$ لەدەست دەدات. دووجاکەی، $(x+1)^2$ ، بۆ هەموو $x$ ـێکی ڕێگەپێدراو ( $x \ne -1$ ) موجەبە، بۆیە هێماکە هەرگیز پێویستی بە پێچەوانەکردنەوە نییە — ئەمە دیسان ڕێگای Bـە. لێدان لە $|x+1|$ ـیش هەر بەو هۆیە بێ مەترسییە؛ شاشەکانی ڕێگای کورتی خوارەوە بەکاری دەهێنن.

Example 4: $\left|\frac{x-1}{x+1}\right| \le 3$ نموونەی 4: $\left|\frac{x-1}{x+1}\right| \le 3$

Example 4. Solve $\left|\frac{x-1}{x+1}\right| \le 3$ , where $x \ne -1$ .

نموونەی 4. $\left|\frac{x-1}{x+1}\right| \le 3$ شیکار بکە، کە $x \ne -1$ .

Algebra (answer sheet and board)جەبر (پەڕەی وەڵامەکان و تەختەکە)

Theorem, $\le$ form:
، شێوەی $\le$ :
$-3 \le \frac{x-1}{x+1} \le 3$
Split into two inequalities joined by and:
بیکە بە دوو کە بە و بەستراون:
$\frac{x-1}{x+1} \le 3 \quad\text{and}\quad \frac{x-1}{x+1} \ge -3$
Multiply each by $(x+1)^2 > 0$ ; one factor $x+1$ cancels with the denominator:
هەریەکەیان لە $(x+1)^2 > 0$ بدە؛ کۆلکەیەکی $x+1$ لەگەڵ دەسڕێتەوە:
$(x+1)(x-1) \le 3(x+1)^2 \quad\text{and}\quad (x+1)(x-1) \ge -3(x+1)^2$
Move everything to the left:
هەموو شتێک بگوازەوە بۆ لای چەپ:
$(x+1)(x-1) - 3(x+1)^2 \le 0 \quad\text{and}\quad (x+1)(x-1) + 3(x+1)^2 \ge 0$
Take out the common factor $(x+1)$ and tidy the brackets:
کۆلکە هاوبەشەکەی $(x+1)$ دەربهێنە و کەوانەکان ڕێک بخە:
$\begin{aligned} (x+1)\,[x - 1 - 3x - 3] &\le 0 &\quad&\text{and}\quad & (x+1)\,[x - 1 + 3x + 3] &\ge 0 \\ (x+1)(-2x-4) &\le 0 &&\text{and}& (x+1)(4x+2) &\ge 0 \end{aligned}$
The zeros of the factors are the only places where the signs can change:
سفرەکانی کۆلکەکان تاکە شوێنن کە هێماکان دەتوانن تێیدا بگۆڕێن:
$x = -1,\ x = -2 \qquad\text{and}\qquad x = -1,\ x = -\tfrac12$

Quick checkپشکنینی خێراWhy is

-2x - 4

the same as

x - 1 - 3x - 3

?بۆچی

-2x - 4

هەمان

x - 1 - 3x - 3

ـە؟

x - 3x = -2x

and

-1 - 3 = -4

x - 3x = -2x

و

-1 - 3 = -4

Because the brackets were droppedچونکە کەوانەکان لابرانIt is not: it should be

-2x + 4

نییە: دەبوو

-2x + 4

بێت

Example 4: $\left|\frac{x-1}{x+1}\right| \le 3$ نموونەی 4: $\left|\frac{x-1}{x+1}\right| \le 3$

Two sign chartsدوو خشتەی هێماکان

A product changes sign only at its zeros. So pick one test number in each region and look at the sign of the product. Write ✓ when the inequality holds there.

ئەنجامی لێکدان تەنها لە سفرەکانیدا هێما دەگۆڕێت. کەواتە لە هەر ناوچەیەکدا یەک ژمارەی تاقیکردنەوە هەڵبژێرە و سەیری هێمای ئەنجامەکە بکە. کاتێک لەوێدا ڕاستە ✓ بنووسە.

Chart 1: $(x + 1)(-2x - 4) \le 0$ خشتەی 1: $(x + 1)(-2x - 4) \le 0$
Regionناوچە	Test numberژمارەی تاقیکردنەوە	$(x+1)(-2x-4)$	Passes?دەردەچێت؟
$x < -2$	$-3$	$(-2)(2) = -4$	✓
$-2 < x < -1$	$-\tfrac32$	$(-\tfrac12)(-1) = \tfrac12$	✗
$x > -1$	$0$	$(1)(-4) = -4$	✓

At $x = -2$ the product is 0 and $0 \le 0$ holds, so $-2$ is included. $x = -1$ is forbidden. Chart 1 gives $(-\infty, -2] \cup (-1, \infty)$ .

لە $x = -2$ دا ئەنجامەکە سفرە و $0 \le 0$ ڕاستە، بۆیە $-2$ دەچێتە ناو وەڵامی ئەم خشتەیەوە. $x = -1$ قەدەغەیە. خشتەی 1 دەداتە $(-\infty, -2] \cup (-1, \infty)$ .

Chart 2: $(x + 1)(4x + 2) \ge 0$ خشتەی 2: $(x + 1)(4x + 2) \ge 0$
Regionناوچە	Test numberژمارەی تاقیکردنەوە	$(x+1)(4x+2)$	Passes?دەردەچێت؟
$x < -1$	$-2$	$(-1)(-6) = 6$	✓
$-1 < x < -\tfrac12$	$-\tfrac23$	$(\tfrac13)(-\tfrac23) = -\tfrac29$	✗
$x > -\tfrac12$	$1$ (board: $0$ ) $1$ (تەختە: $0$ )	$(2)(6) = 12$ (board: $2$ ) $(2)(6) = 12$ (تەختە: $2$ )	✓

At $x = -\tfrac12$ the product is 0 and $0 \ge 0$ holds, so $-\tfrac12$ is included. Chart 2 gives $(-\infty, -1) \cup [-\tfrac12, \infty)$ .

لە $x = -\tfrac12$ دا ئەنجامەکە سفرە و $0 \ge 0$ ڕاستە، بۆیە $-\tfrac12$ ـیش دەچێتە ناو وەڵامی ئەم خشتەیەوە. خشتەی 2 دەداتە $(-\infty, -1) \cup [-\tfrac12, \infty)$ .

A small slip on the answer sheetهەڵەیەکی بچووک لە پەڕەی وەڵامەکاندا

In the first test of chart 2 the answer sheet writes $(-2+1)(-8-2) = (-1)(-10)$ . The second bracket is $4x + 2$ at $x = -2$ , which is $4(-2) + 2 = -6$ , not $-10$ . The sign is still positive, so the ✓ is right; only the number was wrong.

لە یەکەم تاقیکردنەوەی خشتەی 2دا پەڕەی وەڵامەکان دەنووسێت $(-2+1)(-8-2) = (-1)(-10)$ . کەوانەی دووەم $4x + 2$ ـە لە $x = -2$ دا، کە دەکاتە $4(-2) + 2 = -6$ نەک $-10$ . هێماکە هەر موجەبە، بۆیە ✓ەکە دروستە؛ تەنها ژمارەکە هەڵە بوو.

Quick checkپشکنینی خێراA test number must lie inside its region. Which is a correct test number for the region

-1 < x < -\tfrac12

?ژمارەی تاقیکردنەوە دەبێت لە ناو ناوچەکەی خۆیدا بێت. کامە ژمارەی تاقیکردنەوەی دروستە بۆ ناوچەی

-1 < x < -\tfrac12

؟

-0.75

-0.75

-0.25

-0.25

-1.5

-1.5

Example 4: $\left|\frac{x-1}{x+1}\right| \le 3$ نموونەی 4: $\left|\frac{x-1}{x+1}\right| \le 3$

Keep what passes bothئەوە بهێڵەوە کە لە هەردووکیان دەردەچێت

The word between the two inequalities is and: a number is a solution only if it passes both charts. Stack the two number lines and keep the overlap — the intersection of the two sets.

وشەی نێوان دوو وـە: ژمارەیەک تەنها کاتێک شیکارە کە لە هەردوو خشتەکە دەربچێت. دوو هێڵەکە لەسەر یەک دابنێ و بەشە هاوبەشەکە بهێڵەوە — دوو .

Three stacked number lines with the points −2, −1 and −1/2, and the note x ≠ −1. Line 1, (x + 1)(−2x − 4) ≤ 0, is shaded to the left of −2 (filled dot) and to the right of −1 (open circle). Line 2, (x + 1)(4x + 2) ≥ 0, is shaded to the left of −1 (open circle) and to the right of −1/2 (filled dot). Columns where both are shaded light up with ticks; the two middle regions get crosses. Line 3, both together, keeps (−∞, −2] ∪ [−1/2, ∞). — “And” means: keep only the overlap.«و» واتە: تەنها بەشە هاوبەشەکە بهێڵەوە.CêIT

S.S = (-\infty, -2] \cup \left[-\tfrac12, \infty\right)

The edge at

-2

and the dot at

-1

لێواری

-2

و خاڵی

-1

Two things to fix in the course's pictures of this example. (1) The answer sheet ends with $S.S = \{(-\infty,-2),\ [-\tfrac12,\infty)\}$ — open at $-2$ . But $x = -2$ satisfies the inequality ( $3 \le 3$ ), so $-2$ belongs to the answer; the board in class has it right with a square bracket. Written as a union: $(-\infty,-2] \cup [-\tfrac12,\infty)$ . (2) Both the sheet and the board draw a filled dot at $-1$ . $x = -1$ makes the denominator 0, so it must always be an open circle.

دوو شت لە وێنەکانی وانەکەدا بۆ ئەم نموونەیە ڕاست دەکرێنەوە. ⁦(1)⁩ پەڕەی وەڵامەکان بە $S.S = \{(-\infty,-2),\ [-\tfrac12,\infty)\}$ کۆتایی دێت — لە $-2$ دا کراوە. بەڵام $x = -2$ ڕاست دەکاتەوە ( $3 \le 3$ )، بۆیە $-2$ سەر بە وەڵامەکەیە؛ تەختەکەی ناو پۆل بە کەوانەی چوارگۆشە ڕاستی نووسیوە. بە : $(-\infty,-2] \cup [-\tfrac12,\infty)$ . ⁦(2)⁩ هەم پەڕەکە و هەم تەختەکە لە $-1$ دا خاڵێکی پڕکراو دەکێشن. $x = -1$ دەکاتە سفر، بۆیە دەبێت هەمیشە بازنەیەکی کراوە بێت.

A shorter checkپشکنینێکی کورتتر

Because $|x+1| > 0$ for $x \ne -1$ , you may multiply by it: $|x - 1| \le 3|x + 1|$ . Both sides are now $\ge 0$ , so you may square them: $(x-1)^2 \le 9(x+1)^2 \iff 8x^2 + 20x + 8 \ge 0 \iff 4(2x+1)(x+2) \ge 0$ . One chart gives $x \le -2$ or $x \ge -\tfrac12$ — the same answer, a useful check.

چونکە بۆ $x \ne -1$ ، $|x+1| > 0$ ، دەتوانیت لێی بدەیت: $|x - 1| \le 3|x + 1|$ . ئێستا هەردوو لا $\ge 0$ ن، بۆیە دەتوانیت دووجایان بکەیت: $(x-1)^2 \le 9(x+1)^2 \iff 8x^2 + 20x + 8 \ge 0 \iff 4(2x+1)(x+2) \ge 0$ . یەک خشتە دەداتە $x \le -2$ یان $x \ge -\tfrac12$ — هەمان وەڵام، پشکنینێکی بەسوود.

Quick checkپشکنینی خێراIs

x = -2

in the solution set of Example 4?ئایا

x = -2

لە نموونەی 4دایە؟Yes:

\left|\tfrac{-3}{-1}\right| = 3 \le 3

بەڵێ:

\left|\tfrac{-3}{-1}\right| = 3 \le 3

No:

-2

makes the denominator 0نەخێر:

-2

ژێرەکە دەکاتە سفرNo: the answer sheet leaves it outنەخێر: پەڕەی وەڵامەکان دەری دەکات

Example 5: $|3x + 1| < 2|x - 6|$ نموونەی 5: $|3x + 1| < 2|x - 6|$

Example 5 (homework on the slide, with the note $x \ne 6$ ). The lecturer divides both sides by $|x - 6|$ , which is positive when $x \ne 6$ , and turns it into an Example-4 type:

نموونەی 5 (ئەرکی ماڵەوە لە سلایدەکەدا، لەگەڵ تێبینیی $x \ne 6$ ). مامۆستاکە هەردوو لا دابەشی $|x - 6|$ دەکات، کە کاتێک $x \ne 6$ بێت موجەبە. بەم شێوەیە دەیکاتە جۆرێکی وەک نموونەی 4:

\begin{aligned} \frac{|3x+1|}{|x-6|} < 2 \;&\Longrightarrow\; \left|\frac{3x+1}{x-6}\right| < 2 \;\Longrightarrow\; -2 < \frac{3x+1}{x-6} < 2 \\ \frac{3x+1}{x-6} < 2 \quad&\text{and}\quad \frac{3x+1}{x-6} > -2 \\ (x-6)(3x+1) < 2(x-6)^2 \quad&\text{and}\quad (x-6)(3x+1) > -2(x-6)^2 \quad (\times (x-6)^2) \\ (x-6)\,[(3x+1) - 2(x-6)] < 0 \quad&\text{and}\quad (x-6)\,[3x + 1 + 2x - 12] > 0 \\ (x-6)(x+13) < 0 \quad&\text{and}\quad (x-6)(5x-11) > 0 \end{aligned}

Chart 1: $(x - 6)(x + 13) < 0$ خشتەی 1: $(x - 6)(x + 13) < 0$
Regionناوچە	Test numberژمارەی تاقیکردنەوە	$(x-6)(x+13)$	Passes?دەردەچێت؟
$x < -13$	$-14$	$(-20)(-1) = 20$	✗
$-13 < x < 6$	$0$	$(-6)(13) = -78$	✓
$x > 6$	$7$	$(1)(20) = 20$	✗

Chart 2: $(x - 6)(5x - 11) > 0$ خشتەی 2: $(x - 6)(5x - 11) > 0$
Regionناوچە	Test numberژمارەی تاقیکردنەوە	$(x-6)(5x-11)$	Passes?دەردەچێت؟
$x < \tfrac{11}{5}$	$0$	$(-6)(-11) = 66$	✓
$\tfrac{11}{5} < x < 6$	$3$	$(-3)(4) = -12$	✗
$x > 6$	$7$	$(1)(24) = 24$	✓

The overlap of the two charts:

\left(-13, \tfrac{11}{5}\right)

.بەشە هاوبەشەکەی دوو خشتەکە:

\left(-13, \tfrac{11}{5}\right)

.CêIT

: $\left(-13, \tfrac{11}{5}\right)$ . The answer sheet writes the right end as the mixed number $2\tfrac15$ ; $\tfrac{11}{5} = 2\tfrac15 = 2.2$ .

: $\left(-13, \tfrac{11}{5}\right)$ . پەڕەی وەڵامەکان لێواری ڕاست وەک ژمارەی تێکەڵی $2\tfrac15$ دەنووسێت؛ $\tfrac{11}{5} = 2\tfrac15 = 2.2$ .

Quick checkپشکنینی خێراIn Example 5, why may we divide both sides by

|x - 6|

without reversing

<

?لە نموونەی 5دا، بۆچی دەتوانین هەردوو لا دابەشی

|x - 6|

بکەین بێ ئەوەی

<

پێچەوانە بکەینەوە؟Because

x - 6

is positiveچونکە

x - 6

موجەبەDividing never changes an inequalityدابەشکردن هەرگیز لاسەنگە ناگۆڕێتBecause

|x - 6| > 0

when

x \ne 6

چونکە کاتێک

x \ne 6

،

|x - 6| > 0

Example 5: $|3x + 1| < 2|x - 6|$ نموونەی 5: $|3x + 1| < 2|x - 6|$

A shorter road: square both sidesڕێگایەکی کورتتر: هەردوو لا دووجا بکە

Both sides of $|3x+1| < 2|x-6|$ are $\ge 0$ , and for non-negative numbers $u < v \iff u^2 < v^2$ (see the two tools). So square once and avoid both charts:

هەردوو لای $|3x+1| < 2|x-6|$ $\ge 0$ ن و بۆ ژمارە نا-سالبەکان $u < v \iff u^2 < v^2$ (بڕوانە دوو ئامرازەکە). کەواتە یەک جار دووجا بکە و لە هەردوو خشتەکە ڕزگارت بێت:

\begin{aligned} (3x+1)^2 &< 4(x-6)^2 \\ 9x^2 + 6x + 1 &< 4x^2 - 48x + 144 \\ 5x^2 + 54x - 143 &< 0 \\ (5x - 11)(x + 13) &< 0 \iff -13 < x < \tfrac{11}{5} \end{aligned}

One quadratic inequality instead of two charts (see Quadratic inequalities). Notice too that $x \ne 6$ is not needed for the original inequality: at $x = 6$ it reads $19 < 0$ , which is false anyway. The condition only protects the division step of the first method.

یەک لە جیاتیی دوو خشتە. هەروەها سەرنج بدە کە $x \ne 6$ بۆ سەرەتا پێویست نییە: لە $x = 6$ دا دەبێتە $19 < 0$ کە بە هەر حاڵ هەڵەیە. مەرجەکە تەنها هەنگاوی دابەشکردنی ڕێگای یەکەم دەپارێزێت.

Quick checkپشکنینی خێراWhy are we allowed to square both sides here?بۆچی لێرەدا دەتوانین هەردوو لا دووجا بکەین؟Both sides are absolute values (one of them times 2), so both are

\ge 0

هەردوو لا نرخی ڕووتن (یەکێکیان لێدراو لە ⁦2⁩)، بۆیە هەردووکیان

\ge 0

نSquaring is always allowed in an inequalityدووجاکردن لە لاسەنگەیەکدا هەمیشە ڕێگەپێدراوەBecause the answer is an intervalچونکە وەڵامەکە ماوەیەکە

Example 5: $|3x + 1| < 2|x - 6|$ نموونەی 5: $|3x + 1| < 2|x - 6|$

Spot the mistakes: a homework attemptهەڵەکان بدۆزەوە: هەوڵێکی ئەرکی ماڵەوە

ExerciseڕاهێنانThree mistakes and one good ideaسێ هەڵە و بیرۆکەیەکی باش

Here is a student's homework attempt at Example 5, typed out. Find three mistakes. Then say what the student got right, and finish the solution.

ئەمە هەوڵی ئەرکی ماڵەوەی خوێندکارێکە بۆ نموونەی 5، دووبارە نووسراوەتەوە. سێ هەڵە بدۆزەوە. پاشان بڵێ خوێندکارەکە چی ڕاست کردووە و چارەسەرەکە تەواو بکە.

\begin{aligned} &\frac{|3x+1|}{|x-6|} < \frac{2|x-6|}{|x-6|} \;\Rightarrow\; \frac{|3x+1|}{|x-6|} < \frac21 \quad \text{(“positive case”)} \\ &\frac{3x+1}{x-6} \;\text{cross-multiplied with}\; \frac21: \quad 3x + 1 = 2(x-6) \;\Rightarrow\; 3x - 2x = -12 - 1 \;\Rightarrow\; x = -13 \\ &-\left(\frac{3x+1}{x-6}\right) < 2 \quad \text{(“negative case”, multiply both sides by } -1\text{)} \;\Rightarrow\; \frac{3x+1}{x-6} = -2 \\ &3x + 1 = -2(x-6) = -2x + 12 \;\Rightarrow\; 5x = 11 \;\Rightarrow\; x = \tfrac{11}{5} \end{aligned}

Hintئاماژە

Look at the sign between the two sides in each line, and at what happens to $<$ when you multiply by $-1$ .

سەیری هێمای نێوان دوو لاکە لە هەر دێڕێکدا بکە و سەیری ئەوە بکە چی بەسەر $<$ دێت کاتێک لە $-1$ دەیدەیت.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

Mistake 1: $<$ silently became $=$ . Solving equations gives only the boundary points, not the solution set.
Mistake 2: cross-multiplying by $x - 6$ . Its sign is unknown, so in an inequality this is not allowed.
Mistake 3: multiplying by $-1$ without reversing. $-y < 2$ means $y > -2$ , not $y < -2$ (and not $y = -2$ ): multiplying by a negative number reverses the sign (order rules).

هەڵەی 1: $<$ بە بێدەنگی بوو بە $=$ . شیکارکردنی تەنها خاڵە سنوورییەکان دەدات، نەک .
هەڵەی 2: لێکدان بە شێوەی خاچ لە $x - 6$ . هێماکەی نەزانراوە، بۆیە لە ڕێگەپێدراو نییە.
هەڵەی 3: لێدان لە $-1$ بەبێ پێچەوانەکردنەوە. $-y < 2$ واتە $y > -2$ ، نەک $y < -2$ (و نەک $y = -2$ ): لێدان لە هێماکە پێچەوانە دەکاتەوە (یاساکانی ڕیزبەندی).

What was right. The margin note “every number has the denominator 1” ( $2 = \tfrac21$ ) is true and useful. And the two boundary numbers, $-13$ and $\tfrac{11}{5}$ , are exactly right — they are where $|3x+1| = 2|x-6|$ .

ئەوەی ڕاست بوو. تێبینیی پەراوێزەکە «هەموو ژمارەیەک ژێرەکەی بریتییە لە یەک» ( $2 = \tfrac21$ ) ڕاستە و بەسوودە. هەروەها دوو ژمارە سنوورییەکە، $-13$ و $\tfrac{11}{5}$ ، ڕێک دروستن — ئەو شوێنانەن کە $|3x+1| = 2|x-6|$ .

Finish with test numbers. The boundary points cut the line into three regions. Test one number in each, in the original inequality:

بە ژمارەی تاقیکردنەوە تەواوی بکە. خاڵە سنوورییەکان هێڵەکە دەکەنە سێ ناوچە. لە هەر ناوچەیەکدا ژمارەیەک لە سەرەتادا تاقی بکەرەوە:

\begin{aligned} x = -20:&\quad |-59| = 59 < 2|-26| = 52 \;? \quad \text{✗} \\ x = 0:&\quad |1| = 1 < 2|-6| = 12 \;? \quad \text{✓} \\ x = 3:&\quad |10| = 10 < 2|-3| = 6 \;? \quad \text{✗} \end{aligned}

Example 7: $\left|\frac2x - 4\right| < 3$ نموونەی 7: $\left|\frac2x - 4\right| < 3$

Example 7 (homework on the slide). First the hidden condition: $\frac2x$ has no value at $x = 0$ , so $x \ne 0$ .

نموونەی 7 (ئەرکی ماڵەوە لە سلایدەکەدا). یەکەم مەرجە شاراوەکە: $\frac2x$ لە $x = 0$ دا نرخی نییە، بۆیە $x \ne 0$ .

\begin{aligned} -3 < \frac2x - 4 &< 3 \\ 1 < \frac2x &< 7 && (+4) \\ \frac2x < 7 \quad&\text{and}\quad \frac2x > 1 \\ 2x - 7x^2 < 0 \quad&\text{and}\quad 2x - x^2 > 0 && (\times x^2 > 0) \\ x(2 - 7x) < 0 \quad&\text{and}\quad x(2 - x) > 0 \end{aligned}

Chart 1: $x(2 - 7x) < 0$ خشتەی 1: $x(2 - 7x) < 0$
Regionناوچە	Test numberژمارەی تاقیکردنەوە	$x(2-7x)$	Passes?دەردەچێت؟
$x < 0$	$-1$	$(-1)(9) = -9$	✓
$0 < x < \tfrac27$	$\tfrac17$	$(\tfrac17)(1) = \tfrac17$	✗
$x > \tfrac27$	$1$	$(1)(-5) = -5$	✓

Chart 2: $x(2 - x) > 0$ خشتەی 2: $x(2 - x) > 0$
Regionناوچە	Test numberژمارەی تاقیکردنەوە	$x(2-x)$	Passes?دەردەچێت؟
$x < 0$	$-1$	$(-1)(3) = -3$	✗
$0 < x < 2$	$1$	$(1)(1) = 1$	✓
$x > 2$	$3$	$(3)(-1) = -3$	✗

Overlap of the two charts:

\left(\tfrac27, 2\right)

.بەشە هاوبەشەکەی دوو خشتەکە:

\left(\tfrac27, 2\right)

.CêIT

: $\left(\tfrac27, 2\right)$ ; 0 is excluded automatically. The middle test number of chart 1 is $\tfrac17$ (on the sheet it looks like $\tfrac12$ ). It must be $\tfrac17$ : a test number has to lie inside its region, and $\tfrac12$ is not between 0 and $\tfrac27 \approx 0.29$ .

: $\left(\tfrac27, 2\right)$ ؛ 0 خۆکارانە دەردەکرێت. ژمارەی تاقیکردنەوەی ناوەڕاستی خشتەی 1 $\tfrac17$ ـە (لە پەڕەکەدا وەک $\tfrac12$ دەردەکەوێت). دەبێت $\tfrac17$ بێت: ژمارەی تاقیکردنەوە دەبێت لە ناو ناوچەکەی خۆیدا بێت و $\tfrac12$ لە نێوان 0 و $\tfrac27 \approx 0.29$ دا نییە.

Example 7: $\left|\frac2x - 4\right| < 3$ نموونەی 7: $\left|\frac2x - 4\right| < 3$

Spot the mistake: the “flip”هەڵەکە بدۆزەوە: «وەرگێڕانەکە»

ExerciseڕاهێنانA right answer with an impossible lineوەڵامێکی ڕاست لەگەڵ دێڕێکی مەحاڵ

Here is a student's homework attempt at Example 7, typed out. The final answer is right, but one line is impossible as written. Which line, why, and when is the “flip” allowed?

ئەمە هەوڵی ئەرکی ماڵەوەی خوێندکارێکە بۆ نموونەی 7، دووبارە نووسراوەتەوە. وەڵامی کۆتایی ڕاستە، بەڵام دێڕێک بەو شێوەیەی نووسراوە مەحاڵە. کام دێڕ، بۆچی و «وەرگێڕان» کەی ڕێگەپێدراوە؟

\begin{aligned} -3 < \frac2x - 4 < 3 \;&\Rightarrow\; 1 < \frac2x < 7 \;\Rightarrow\; \frac12 < \frac1x < \frac72 \quad (\div 2) \\ &\Rightarrow\; 2 < x < \frac27 \quad \text{(“flip”)} \;\Rightarrow\; 2 < x,\ \ x < \frac27 \;\Rightarrow\; \text{answer } \left]\tfrac27, 2\right[ \end{aligned}

Hintئاماژە

$2 < 3$ , but which is bigger: $\tfrac12$ or $\tfrac13$ ?

$2 < 3$ ، بەڵام کامیان گەورەترە: $\tfrac12$ یان $\tfrac13$ ؟

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

The impossible line is $2 < x < \tfrac27$ : it says $x$ is bigger than 2 and smaller than $\tfrac27$ at the same time — and $2 < \tfrac27$ is itself false.

دێڕە مەحاڵەکە $2 < x < \tfrac27$ ـە: دەڵێت $x$ لە یەک کاتدا لە 2 گەورەترە و لە $\tfrac27$ بچووکتر — خودی $2 < \tfrac27$ یش هەڵەیە.

Taking of positive numbers reverses the order (rule 6 of the order rules): if $0 < a < b$ then $\tfrac1a > \tfrac1b$ . So the correct line is:

وەرگرتنی ڕیزبەندییەکە پێچەوانە دەکاتەوە (یاسای 6ی یاساکانی ڕیزبەندی): ئەگەر $0 < a < b$ ئەوا $\tfrac1a > \tfrac1b$ . کەواتە دێڕە دروستەکە ئەمەیە:

\frac12 < \frac1x < \frac72 \;\Longrightarrow\; 2 > x > \frac27, \quad\text{that is}\quad \frac27 < x < 2

The flip is allowed here only because all three parts are positive: $\tfrac1x > \tfrac12 > 0$ forces $x > 0$ . If the parts had different signs, it would fail. The lecturer avoids the problem altogether by multiplying by $x^2$ . The student's margin note «ماویەتی؟» (“is something missing?”) was a good instinct: always check a line like $2 < x < \tfrac27$ before moving on.

وەرگێڕان لێرەدا تەنها بەو هۆیە ڕێگەپێدراوە کە هەر سێ بەشەکە موجەبن: $\tfrac1x > \tfrac12 > 0$ $x > 0$ دەسەپێنێت. ئەگەر بەشەکان هێمای جیاوازیان هەبوایە، سەری نەدەگرت. مامۆستاکە بە لێدان لە $x^2$ بە تەواوی لەم کێشەیە دوور دەکەوێتەوە. تێبینیی پەراوێزی خوێندکارەکە «ماویەتی؟» هەستێکی باش بوو: هەمیشە دێڕێکی وەک $2 < x < \tfrac27$ پێش ئەوەی بەردەوام بیت بپشکنە.

Practiceڕاهێنان

ExerciseڕاهێنانSquare both sidesهەردوو لا دووجا بکە

Solve $\left|\frac{2x-1}{x+2}\right| < 1$ .

$\left|\frac{2x-1}{x+2}\right| < 1$ شیکار بکە.

Hintئاماژە

Multiply by $|x + 2| > 0$ , then square.

لە $|x + 2| > 0$ بدە، پاشان دووجا بکە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

\begin{aligned} |2x - 1| &< |x + 2| \quad (x \ne -2) \\ (2x-1)^2 &< (x+2)^2 \\ (x+2)^2 - (2x-1)^2 &= (3 - x)(3x + 1) > 0 \\ -\tfrac13 &< x < 3 \end{aligned}

: $\left(-\tfrac13, 3\right)$ . The forbidden value $-2$ is outside it anyway.

: $\left(-\tfrac13, 3\right)$ . نرخی قەدەغەی $-2$ بە هەر حاڵ لە دەرەوەیەتی.

ExerciseڕاهێنانEqual size or smallerقەبارەی یەکسان یان بچووکتر

Solve $\left|\frac{x+2}{x-1}\right| \le 1$ .

$\left|\frac{x+2}{x-1}\right| \le 1$ شیکار بکە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

(x+2)^2 \le (x-1)^2 \iff 4x + 4 \le -2x + 1 \iff x \le -\tfrac12

: $\left(-\infty, -\tfrac12\right]$ (and $x \ne 1$ , which is not in it). In words: $x$ is at least as close to $-2$ as to 1.

: $\left(-\infty, -\tfrac12\right]$ (و $x \ne 1$ ، کە لەناویدا نییە). بە وشە: دووریی $x$ لە $-2$ ـەوە لە دوورییەکەی لە 1ـەوە زیاتر نییە.

ExerciseڕاهێنانA reciprocalهەڵگەڕاوەیەک

Solve $\left|\frac1x\right| > 2$ .

$\left|\frac1x\right| > 2$ شیکار بکە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

\frac{1}{|x|} > 2 \iff |x| < \tfrac12 \ \text{and}\ x \ne 0 \iff x \in \left(-\tfrac12, 0\right) \cup \left(0, \tfrac12\right)

Multiplying by $|x| > 0$ is safe. Do not forget to remove 0.

لێدان لە $|x| > 0$ بێ مەترسییە. لابردنی 0 لەبیر مەکە.

ExerciseڕاهێنانBars on both sidesهێڵ لە هەردوو لا

Solve $|x + 3| \ge 2|x|$ .

$|x + 3| \ge 2|x|$ شیکار بکە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

(x+3)^2 \ge 4x^2 \iff 3x^2 - 6x - 9 \le 0 \iff 3(x - 3)(x + 1) \le 0 \iff -1 \le x \le 3

: $[-1, 3]$ . Check the edge $x = 3$ : $|6| = 6 \ge 2 \cdot 3 = 6$ ✓.

: $[-1, 3]$ . لێواری $x = 3$ بپشکنە: $|6| = 6 \ge 2 \cdot 3 = 6$ ✓.

Common mistakesهەڵە باوەکان

Eight slips with fractions inside barsهەشت هەڵە لەگەڵ لە ناو هێڵەکاندا
Mistakeهەڵە	What happensچی ڕوودەدات	Do this insteadلە جیاتیی ئەوە ئەمە بکە
Multiplying by the denominator $x + 1$ لێدان لە $x + 1$	solutions are lost and false ones appearشیکارەکان ون دەبن و شیکاری هەڵە دەردەکەون	multiply by $(x+1)^2$ or $\|x+1\|$ لە $(x+1)^2$ یان $\|x+1\|$ بدە
A filled dot at a forbidden valueخاڵی پڕکراو لە نرخێکی قەدەغەدا	the expression has no value there لەوێدا نرخی نییە	open circle; write $x \ne -1$ بازنەی کراوە؛ $x \ne -1$ بنووسە
Joining the two charts with “or”بەستنی دوو خشتەکە بە «یان»	you get a union, far too big دەستت دەکەوێت، زۆر گەورە	keep the overlap: “and” means intersectionبەشە هاوبەشەکە بهێڵەوە: «و» واتە
An open bracket where equality holdsکەوانەی کراوە لە شوێنێکدا کە یەکسانی ڕاستە	Example 4 loses $x = -2$ نموونەی 4 $x = -2$ لەدەست دەدات	test every edge in the original inequalityهەموو لێوارێک لە سەرەتادا تاقی بکەرەوە
Turning $<$ into $=$ and stoppingگۆڕینی $<$ بۆ $=$ و وەستان	only the boundary pointsتەنها خاڵە سنوورییەکان	then test one number per regionپاشان لە هەر ناوچەیەکدا یەک ژمارە تاقی بکەرەوە
“Flipping” without reversing: $2 < x < \tfrac27$ «وەرگێڕان» بەبێ پێچەوانەکردنەوە: $2 < x < \tfrac27$	an impossible chainزنجیرەیەکی مەحاڵ	of positives reverse the order: $\tfrac27 < x < 2$ ڕیز پێچەوانە دەکەنەوە: $\tfrac27 < x < 2$
Multiplying by $-1$ without reversingلێدان لە $-1$ بەبێ پێچەوانەکردنەوە	$-y < 2$ read as $y < -2$ $-y < 2$ وەک $y < -2$ دەخوێنرێتەوە	$-y < 2 \iff y > -2$
A test number outside its regionژمارەی تاقیکردنەوە لە دەرەوەی ناوچەکەی	you read the sign of the wrong regionهێمای ناوچەی هەڵە دەخوێنیتەوە	pick a number strictly between the two zerosژمارەیەک ڕێک لە نێوان دوو سفرەکەدا هەڵبژێرە

Summaryپوختە

Write down the forbidden values first: every zero of a denominator, including hidden ones such as $x \ne 0$ in $\tfrac2x$ .
Remove the bars with the theorem, split into two inequalities joined by and, multiply each by the square of the denominator, factor, and solve each with a sign chart.
The answer is the intersection of the two charts, minus the forbidden values; test the edges in the original inequality.
Shortcut: when both sides are absolute values (or positive multiples of them), square both sides — one quadratic inequality instead of two charts.
Answers: Example 4 $(-\infty,-2] \cup [-\tfrac12,\infty)$ ; Example 5 $(-13, \tfrac{11}{5})$ ; Example 7 $(\tfrac27, 2)$ .

یەکەم جار نرخە قەدەغەکان بنووسە: هەموو سفرێکی ، شاراوەکانیشەوە وەک $x \ne 0$ لە $\tfrac2x$ دا.
هێڵەکان بە لابەرە، بیکە بە دوو کە بە و بەستراون، هەریەکەیان لە دووجای بدە، بکە و هەریەکەیان بە شیکار بکە.
وەڵامەکە دوو خشتەکەیە، بەبێ نرخە قەدەغەکان؛ لێوارەکان لە سەرەتادا تاقی بکەرەوە.
ڕێگای کورت: کاتێک هەردوو لا (یان چەند جارێکی موجەبی ئەوان)، هەردوو لا دووجا بکە — یەک لە جیاتیی دوو خشتە.
وەڵامەکان: نموونەی 4 $(-\infty,-2] \cup [-\tfrac12,\infty)$ ؛ نموونەی 5 $(-13, \tfrac{11}{5})$ ؛ نموونەی 7 $(\tfrac27, 2)$ .

Review questionsپرسیارەکانی پێداچوونەوە

Why “and” and not “or” between the two inequalities?بۆچی «و» نەک «یان» لە نێوان دوو لاسەنگەکە؟

Because they come from one double inequality $-r \le F \le r$ : $F$ must be $\ge -r$ and at the same time $\le r$ .

چونکە لە یەک هاتوون، $-r \le F \le r$ : $F$ دەبێت $\ge -r$ بێت و لە هەمان کاتدا $\le r$ .

Why is

x = -1

never in the answer of Example 4?بۆچی

x = -1

هەرگیز لە وەڵامی نموونەی 4دا نییە؟

It makes the denominator $x + 1$ equal to 0, so the fraction has no value there.

$x + 1$ دەکاتە سفر، بۆیە لەوێدا نرخی نییە.

When may you square both sides of an inequality?کەی دەتوانیت هەردوو لای لاسەنگەیەک دووجا بکەیت؟

Only when both sides are $\ge 0$ , for example when both are absolute values.

تەنها کاتێک هەردوو لا $\ge 0$ ن، بۆ نموونە کاتێک هەردووکیان .

Lesson complete!وانەکە تەواو بوو!

Well done. Review the key terms, then go on to the next lesson.دەستخۆش. سەیرێکی زاراوە سەرەکییەکان بکەرەوە، پاشان بڕۆ بۆ وانەی داهاتوو.

Key termsزاراوە سەرەکییەکان

Next lessonوانەی داهاتوو

What Is a Function?نەخشە چییە؟

Related lecturesوانە پەیوەندیدارەکان

References and further readingسەرچاوەکان و خوێندنەوەی زیاتر

This lecture is a first edition. The Kurdish text and terminology are waiting for review by Kurdish IT teachers.ئەم وانەیە چاپی یەکەمە. دەقە کوردییەکە و زاراوەکانی چاوەڕێی پێداچوونەوەی مامۆستایانی کوردی بواری IT ن.

Absolute Value Inequalities with Fractionsلاسەنگەکانی نرخی ڕووت لەگەڵ کەرتەکان

What you will learnچی فێر دەبیت

When the unknown sits in a fractionکاتێک نەزانراوەکە لە کەرتێکدایە

Reminder: multiply by the square of the denominatorبیرخستنەوە: لە دووجای ژێرەکە بدە

Example 4: ∣x−1x+1∣≤3\left|\frac{x-1}{x+1}\right| \le 3​x+1x−1​​≤3نموونەی 4: ∣x−1x+1∣≤3\left|\frac{x-1}{x+1}\right| \le 3​x+1x−1​​≤3

Two sign chartsدوو خشتەی هێماکان

Keep what passes bothئەوە بهێڵەوە کە لە هەردووکیان دەردەچێت

Example 5: ∣3x+1∣<2∣x−6∣|3x + 1| < 2|x - 6|∣3x+1∣<2∣x−6∣نموونەی 5: ∣3x+1∣<2∣x−6∣|3x + 1| < 2|x - 6|∣3x+1∣<2∣x−6∣

A shorter road: square both sidesڕێگایەکی کورتتر: هەردوو لا دووجا بکە

Spot the mistakes: a homework attemptهەڵەکان بدۆزەوە: هەوڵێکی ئەرکی ماڵەوە

Example 7: ∣2x−4∣<3\left|\frac2x - 4\right| < 3​x2​−4​<3نموونەی 7: ∣2x−4∣<3\left|\frac2x - 4\right| < 3​x2​−4​<3

Spot the mistake: the “flip”هەڵەکە بدۆزەوە: «وەرگێڕانەکە»

Practiceڕاهێنان

Common mistakesهەڵە باوەکان

Summaryپوختە

Lesson complete!وانەکە تەواو بوو!

Key termsزاراوە سەرەکییەکان

Related lecturesوانە پەیوەندیدارەکان

Example 4: $\left|\frac{x-1}{x+1}\right| \le 3$ نموونەی 4: $\left|\frac{x-1}{x+1}\right| \le 3$

Example 5: $|3x + 1| < 2|x - 6|$ نموونەی 5: $|3x + 1| < 2|x - 6|$

Example 7: $\left|\frac2x - 4\right| < 3$ نموونەی 7: $\left|\frac2x - 4\right| < 3$