Chapterبەش 2 · Lectureوانە 2.11

Practice: One Data Set from Table to Averagesڕاهێنان: یەک کۆمەڵەدراوە لە خشتەوە بۆ پێوەرەکانی ڕووکردنە چەق

Exam practice: the class test (Group B) solved end to end — 50 raw values into a frequency table with relative frequencies, then the arithmetic, harmonic and quadratic means, the median and the mode — and a daily quiz with real slips to find and fix.

ڕاهێنان بۆ تاقیکردنەوە: تاقیکردنەوەی پۆلی گرووپی B لە سەرەتاوە تا کۆتایی چارەسەر دەکرێت — ⁦50⁩ نرخی خاو دەبنە لەگەڵ ، پاشان ، و ، و — هەروەها تاقیکردنەوەیەکی ڕۆژانە کە هەڵەی ڕاستەقینەی تێدایە بۆ دۆزینەوە و ڕاستکردنەوە.

17 min read18 خولەک خوێندنەوە · 16 stepsهەنگاو

What you will learnچی فێر دەبیت

Turn raw whole-number data into a frequency table with relative frequencies, step by step.
Compute the arithmetic, harmonic, quadratic (and geometric) means of grouped data from one working table.
Find the median and the mode of grouped data with class boundaries.
Check your own work and find slips in a worked solution.

خاو () هەنگاو بە هەنگاو بکەیت بە لەگەڵ .
، ، (و ) ـی لە یەک خشتەی کارەوە بژمێریت.
و بە بدۆزیتەوە.
کاری خۆت بپشکنیت و هەڵە بچووکەکانی چارەسەرێک بدۆزیتەوە.

One problem, every stepیەک پرسیار، هەموو هەنگاوەکان

This lesson is exam practice. You solve one whole test question from the first number to the last answer: first you turn 50 raw values into a frequency table, then you find every average from that table. Each step has its own lesson; here you see how the steps fit together and how to check your own work.

ئەم وانەیە ڕاهێنانە بۆ تاقیکردنەوە. پرسیارێکی تەواوی تاقیکردنەوە لە یەکەم ژمارەوە تا دوایین وەڵام چارەسەر دەکەیت: سەرەتا ⁦50⁩ نرخی خاو دەکەیت بە ، پاشان هەموو لەو خشتەیەوە دەدۆزیتەوە. هەر هەنگاوێک وانەی تایبەتی خۆی هەیە؛ لێرەدا دەبینیت هەنگاوەکان چۆن پێکەوە دەبەسترێن و چۆن کارەکەی خۆت بپشکنیت.

The whole road from raw values to averages. Question 1 of the test needs steps 1–6, question 2 needs steps 7–12.هەموو ڕێگاکە لە نرخە خاوەکانەوە بۆ . پرسیاری 1ی تاقیکردنەوەکە هەنگاوەکانی ⁦1–6⁩ و پرسیاری 2 هەنگاوەکانی ⁦7–12⁩ی پێویستە.CêIT

The steps come from four earlier lessons: Grouping data: frequency tables (steps 1–6), The arithmetic and weighted mean (steps 7–9), Geometric, harmonic and quadratic means (step 9) and Median and mode (steps 10–11). Open them again if a step feels new.

هەنگاوەکان لە چوار وانەی پێشووەوە دێن: خشتەکانی دووبارەبوونەوە (هەنگاوەکانی ⁦1–6⁩)، ناوەند و ناوەندی قورسکراو (هەنگاوەکانی ⁦7–9⁩)، ناوەندی ئەندازەیی، ناوەندی هارمۆنیک و ناوەندی دووجایی (هەنگاوی ⁦9⁩) و ناوەڕاستە و باو (هەنگاوەکانی ⁦10–11⁩). ئەگەر هەنگاوێک نامۆ بوو، دیسان سەیری ئەو وانانە بکەرەوە.

The test: 50 values and two questionsتاقیکردنەوەکە: ⁦50⁩ نرخ و دوو پرسیار

A class test (Group B) gives these 50 values:

تاقیکردنەوەیەکی پۆل (گرووپی B) ئەم ⁦50⁩ نرخە دەدات:

The 50 values of the Group B test, 10 in each row⁦50⁩ نرخەکەی تاقیکردنەوەی گرووپی B، لە هەر ڕیزێکدا ⁦10⁩
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
50	40	41	17	11	7	22	4	28	21
19	23	37	51	54	42	86	41	78	56
72	56	17	7	69	30	80	56	29	33
46	31	39	20	18	29	34	59	73	77
36	39	30	62	54	67	39	31	53	44

Change these ungrouped data into grouped data with a frequency table, then find the relative frequency of each class.
Find the arithmetic, harmonic and quadratic means, the mode and the median.

ئەم بکە بە بە ، پاشان بۆ هەر بدۆزەرەوە.
، و ، و بدۆزەرەوە.

Before you calculate anything, look at the data. All 50 values are whole numbers, the smallest is 4 and the largest is 86. That the values are whole numbers decides how we write the classes in step 4.

پێش ئەوەی هیچ شتێک بژمێریت، سەیری بکە. هەموو ⁦50⁩ نرخەکە ، بچووکترینیان 4 و گەورەترینیان ⁦86⁩ـە. ئەوەی نرخەکان بڕیار دەدات کە لە هەنگاوی 4دا چۆن بنووسین.

Sort firstسەرەتا ڕیزیان بکە

Writing the values in order takes two minutes and makes the counting in step 5 much safer: 4, 7, 7, 11, 17, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 28, 29, 29, 30, 30, 31, 31, 33, 34, 36, 37, 39, 39, 39, 40, 41, 41, 42, 44, 46, 50, 51, 53, 54, 54, 56, 56, 56, 59, 62, 67, 69, 72, 73, 77, 78, 80, 86.

نووسینی نرخەکان بە ڕیز دوو خولەک دەخایەنێت و ژماردنی هەنگاوی 5 زۆر سەلامەتتر دەکات: 4، 7، 7، ⁦11⁩، ⁦17⁩، ⁦17⁩، ⁦18⁩، ⁦19⁩، ⁦20⁩، ⁦21⁩، ⁦22⁩، ⁦23⁩، ⁦28⁩، ⁦29⁩، ⁦29⁩، ⁦30⁩، ⁦30⁩، ⁦31⁩، ⁦31⁩، ⁦33⁩، ⁦34⁩، ⁦36⁩، ⁦37⁩، ⁦39⁩، ⁦39⁩، ⁦39⁩، ⁦40⁩، ⁦41⁩، ⁦41⁩، ⁦42⁩، ⁦44⁩، ⁦46⁩، ⁦50⁩، ⁦51⁩، ⁦53⁩، ⁦54⁩، ⁦54⁩، ⁦56⁩، ⁦56⁩، ⁦56⁩، ⁦59⁩، ⁦62⁩، ⁦67⁩، ⁦69⁩، ⁦72⁩، ⁦73⁩، ⁦77⁩، ⁦78⁩، ⁦80⁩، ⁦86⁩.

Steps 1–3: range, number of classes, class widthهەنگاوەکانی ⁦1–3⁩: مەودا، ژمارەی کلاسەکان، پانیی کلاس

\begin{aligned} T.R &= 86 - 4 = 82 \\ m &= 2.5\sqrt[4]{50} = 2.5 \times 2.659 = 6.65 \approx 7 \\ L &= \frac{T.R}{m} = \frac{82}{7} = 11.71 \;\rightarrow\; 12 \end{aligned}

The two roundings are different on purpose. The number of classes is rounded in the usual way ( $6.65 \to 7$ ). The width is always rounded up ( $11.71 \to 12$ ), because the classes must reach the largest value: $7 \times 12 = 84 \ge 82$ , but $7 \times 11 = 77 < 82$ would leave 81 and 86 without a class.

ئەم دوو بە مەبەست جیاوازن. ژمارەی بە شێوەی ئاسایی نزیک دەکرێتەوە ( $6.65 \to 7$ ). بەڵام هەمیشە بەرەو سەرەوە نزیک دەکرێتەوە ( $11.71 \to 12$ )، چونکە دەبێت بگەنە گەورەترین نرخ: $7 \times 12 = 84 \ge 82$ ، بەڵام $7 \times 11 = 77 < 82$ ⁦81⁩ و ⁦86⁩ بێ بەجێ دەهێڵێت.

Sturges' rule, $m = 1 + 3.322\log_{10} 50 = 6.64$ , also gives 7 classes, so both rules of the course agree here. More about both rules and about rounding up: Step 3: the class width.

، $m = 1 + 3.322\log_{10} 50 = 6.64$ ، ئەویش 7 دەدات، کەواتە لێرەدا هەردوو یاساکەی کۆرسەکە ڕێک دەکەون. زیاتر دەربارەی هەردوو یاساکە و بەرەو سەرەوە: هەنگاوی 3: پانیی کلاس.

Step 4: the seven classesهەنگاوی 4: حەوت کلاسەکە

The values are whole numbers, so each class is a block of 12 whole numbers. A class starts at its lower limit LL and ends 11 units later: $UL = LL + (L - 1) = LL + 11$ . The next class starts at the next whole number. The first class starts at the smallest value, 4.

نرخەکان ، بۆیە هەر کۆمەڵەیەکی ⁦12⁩ . لە خوارەوە LL دەست پێدەکات و ⁦11⁩ یەکە دواتر کۆتایی دێت: $UL = LL + (L - 1) = LL + 11$ . دواتر لە ژمارە تەواوەکەی دواتر دەست پێدەکات. یەکەم لە بچووکترین نرخ، واتە 4، دەست پێدەکات.

The classes of the Group B test. Boundaries lie half a unit outside the limits. تاقیکردنەوەی گرووپی B. نیو یەکە لە دەرەوەی .
Class	Upper limitسنووری سەرەوە	Limits	Boundaries
1	$4 + 11 = 15$	4–15	3.5 – 15.5
2	$16 + 11 = 27$	16–27	15.5 – 27.5
3	$28 + 11 = 39$	28–39	27.5 – 39.5
4	$40 + 11 = 51$	40–51	39.5 – 51.5
5	$52 + 11 = 63$	52–63	51.5 – 63.5
6	$64 + 11 = 75$	64–75	63.5 – 75.5
7	$76 + 11 = 87$	76–87	75.5 – 87.5

Check the last class: 76–87 contains the largest value 86 ✓. The boundaries (3.5, 15.5, 27.5, …) close the gaps between classes; you need them in steps 10 and 11. Why $\pm 0.5$ : Class boundaries.

دوایین بپشکنە: ⁦76–87⁩ گەورەترین نرخ، ⁦86⁩، لەخۆ دەگرێت ✓. (⁦3.5⁩، ⁦15.5⁩، ⁦27.5⁩، …) بۆشایی نێوان دادەخەن؛ لە هەنگاوەکانی ⁦10⁩ و ⁦11⁩دا پێویستیانە. بۆچی $\pm 0.5$ : سنوورە ڕاستەقینەکانی کلاس.

Steps 5–6: count the values, then the relative frequencyهەنگاوەکانی ⁦5–6⁩: نرخەکان بژمێرە، پاشان دووبارەبوونەوەی ڕێژەیی

Put every value into its class (with tally marks or straight from the sorted list) and count. Then divide each frequency by $\sum F_i = 50$ for the relative frequency, and multiply by 100 for a percentage:

هەر نرخێک بخەرە ناو خۆی (بە یان ڕاستەوخۆ لە لیستە ڕیزکراوەکەوە) و بیانژمێرە. پاشان هەر دابەشی $\sum F_i = 50$ بکە بۆ . بۆ ئەنجامەکە لێک بدە لە ⁦100⁩:

Answer to question 1: the frequency table with relative frequenciesوەڵامی پرسیاری 1: لەگەڵ
Class	Values in the classنرخەکانی ناو	F	$F/\sum F$	$F^*$ (%)
4–15	4, 7, 7, 114، 7، 7، ⁦11⁩	4	0.08	8
16–27	17, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23⁦17⁩، ⁦17⁩، ⁦18⁩، ⁦19⁩، ⁦20⁩، ⁦21⁩، ⁦22⁩، ⁦23⁩	8	0.16	16
28–39	28, 29, 29, 30, 30, 31, 31, 33, 34, 36, 37, 39, 39, 39⁦28⁩، ⁦29⁩، ⁦29⁩، ⁦30⁩، ⁦30⁩، ⁦31⁩، ⁦31⁩، ⁦33⁩، ⁦34⁩، ⁦36⁩، ⁦37⁩، ⁦39⁩، ⁦39⁩، ⁦39⁩	14	0.28	28
40–51	40, 41, 41, 42, 44, 46, 50, 51⁦40⁩، ⁦41⁩، ⁦41⁩، ⁦42⁩، ⁦44⁩، ⁦46⁩، ⁦50⁩، ⁦51⁩	8	0.16	16
52–63	53, 54, 54, 56, 56, 56, 59, 62⁦53⁩، ⁦54⁩، ⁦54⁩، ⁦56⁩، ⁦56⁩، ⁦56⁩، ⁦59⁩، ⁦62⁩	8	0.16	16
64–75	67, 69, 72, 73⁦67⁩، ⁦69⁩، ⁦72⁩، ⁦73⁩	4	0.08	8
76–87	77, 78, 80, 86⁦77⁩، ⁦78⁩، ⁦80⁩، ⁦86⁩	4	0.08	8
Totalکۆ		50	1	100

F^*_i = \frac{F_i}{\sum F_i} \times 100 \qquad \frac{14}{50} \times 100 = 28\%

Steps 7–8: midpoints and one working tableهەنگاوەکانی ⁦7–8⁩: خاڵە ناوەڕاستەکانی کلاس و یەک خشتەی کار

In a grouped table the single values are gone, so each class is represented by its midpoint $X_i = (LL + UL)/2$ : $(4 + 15)/2 = 9.5$ , then 21.5, 33.5 and so on, always 12 apart. Then add one column for each mean you need. Doing all columns in one table saves time and keeps the numbers together.

لە خشتەیەکی پۆلێنکراودا نرخە تاکەکان نەماون، بۆیە هەر بە نوێنەرایەتی دەکرێت $X_i = (LL + UL)/2$ : $(4 + 15)/2 = 9.5$ ، پاشان ⁦21.5⁩، ⁦33.5⁩ و هەروەها، هەمیشە ⁦12⁩ لە یەکەوە دوور. پاشان بۆ هەر ناوەندێک کە پێویستە ستوونێک زیاد بکە. کردنی هەموو ستوونەکان لە یەک خشتەدا کات دەگەڕێنێتەوە و ژمارەکان پێکەوە دەهێڵێتەوە.

Animation: the working table of the Group B test grows column by column. Seven chips at the top light up in turn: classes, F, X, FX, F/X, FX² and finally median and mode. The totals appear in the last row: ΣF = 50, ΣFX = 2107, Σ(F/X) = 1.63263, ΣFX² = 108672.5, with the means X̄ = 42.14, H = 30.63 and Q = 46.62. In the last frame the row 28–39 is highlighted with Me = 38.64 and Mo = 33.5. — One working table answers question 2: each column feeds one mean.یەک خشتەی کار وەڵامی پرسیاری 2 دەداتەوە: هەر ستوونێک ناوەندێک دەدات.CêIT

FX for the arithmetic mean $\bar X = \sum F_iX_i / \sum F_i$ .
$F/X$ for the harmonic mean $H = \sum F_i / \sum (F_i/X_i)$ .
$FX^2$ for the quadratic mean $Q = \sqrt{\sum F_iX_i^2 / \sum F_i}$ .
$F\log X$ for the geometric mean (not asked here, but useful as a check).

FX بۆ $\bar X = \sum F_iX_i / \sum F_i$ .
$F/X$ بۆ $H = \sum F_i / \sum (F_i/X_i)$ .
$FX^2$ بۆ $Q = \sqrt{\sum F_iX_i^2 / \sum F_i}$ .
$F\log X$ بۆ (لێرەدا داوا نەکراوە، بەڵام بۆ پشکنین بەسوودە).

Step 9: the three means, and a fourth one for checkingهەنگاوی 9: سێ ناوەندەکە و چوارەمێک بۆ پشکنین

The working table of the Group B test ( $F/X$ to 5 and $F\log X$ to 4 decimal places)خشتەی کاری تاقیکردنەوەی گرووپی B ( $F/X$ بە 5 و $F\log X$ بە 4 )
Class	F	X	FX	$F/X$	$FX^2$	$F\log X$
4–15	4	9.5	38	0.42105	361	3.9109
16–27	8	21.5	172	0.37209	3698	10.6595
28–39	14	33.5	469	0.41791	15711.5	21.3506
40–51	8	45.5	364	0.17582	16562	13.2641
52–63	8	57.5	460	0.13913	26450	14.0773
64–75	4	69.5	278	0.05755	19321	7.3679
76–87	4	81.5	326	0.04908	26569	7.6446
Σ	50		2107	1.63263	108672.5	78.2749

\begin{aligned} \bar X &= \frac{\sum F_iX_i}{\sum F_i} = \frac{2107}{50} = 42.14 \\ H &= \frac{\sum F_i}{\sum F_i/X_i} = \frac{50}{1.63263} = 30.63 \\ Q &= \sqrt{\frac{\sum F_iX_i^2}{\sum F_i}} = \sqrt{\frac{108672.5}{50}} = \sqrt{2173.45} = 46.62 \end{aligned}

\log G = \frac{\sum F_i \log X_i}{\sum F_i} = \frac{78.2749}{50} = 1.5655 \quad\Rightarrow\quad G = 10^{1.5655} = 36.77

Quick checkپشکنینی خێراA classmate gets

H = 30.63

,

\bar X = 42.14

and

Q = 40.10

. What does the order check tell you?هاوپۆلێک

H = 30.63

،

\bar X = 42.14

و

Q = 40.10

وەردەگرێت. پشکنینی ڕیزبەندی چیت پێ دەڵێت؟Q is wrong: it can never be smaller than

\bar X

Q هەڵەیە: هەرگیز ناتوانێت لە

\bar X

بچووکتر بێتH is wrong: it must be the largestH هەڵەیە: دەبێت گەورەترین بێتAll three are fineهەر سێکیان دروستن

Steps 10–11: the median and the modeهەنگاوەکانی ⁦10–11⁩: ناوەڕاستە و باو

Cumulative frequencies: the first one that reaches 25 marks the median class: یەکەمیان کە دەگاتە ⁦25⁩ دیاری دەکات
Class	F	Cumulative FF ـی کەڵەکەبوو
4–15	4	4
16–27	8	12
28–39	14	26	← $n/2 = 25$
40–51	8	34
52–63	8	42
64–75	4	46
76–87	4	50

Median and mode of the Group B tableناوەڕاستە و باوی خشتەی گرووپی B

Find the median classکلاسی ناوەڕاستە بدۆزەرەوە
Half of the values: $n/2 = 50/2 = 25$ . The cumulative frequencies are 4, 12, 26, … The first one that reaches 25 is 26, so the median class is 28–39.
نیوەی نرخەکان: $n/2 = 50/2 = 25$ . ئەمانەن: 4، ⁦12⁩، ⁦26⁩، … یەکەمیان کە دەگاتە ⁦25⁩ ژمارە ⁦26⁩ـە، کەواتە ⁦28–39⁩ـە.
Read the four numbersچوار ژمارەکە بخوێنەرەوە
Lower boundary $L.B.L = 28 - 0.5 = 27.5$ ; cumulative frequency before the class $F_i^* = 12$ ; frequency of the class $F = 14$ ; width $L = 12$ .
خوارەوە $L.B.L = 28 - 0.5 = 27.5$ ؛ پێش $F_i^* = 12$ ؛ $F = 14$ ؛ پانی $L = 12$ .
Medianناوەڕاستە
$M_e = 27.5 + \frac{25 - 12}{14} \times 12 = 27.5 + 11.14 = 38.64$
$M_e = 27.5 + \frac{25 - 12}{14} \times 12 = 27.5 + 11.14 = 38.64$
Modeباو
The modal class is the one with the largest frequency, 28–39 $(F = 14)$ . $d_1 = 14 - 8 = 6$ (class before), $d_2 = 14 - 8 = 6$ (class after): $M_o = 27.5 + \frac{6}{6 + 6} \times 12 = 27.5 + 6 = 33.5$ .
ئەوەیە کە گەورەترین هەیە، ⁦28–39⁩ $(F = 14)$ . $d_1 = 14 - 8 = 6$ ( پێشوو)، $d_2 = 14 - 8 = 6$ ( دواتر): $M_o = 27.5 + \frac{6}{6 + 6} \times 12 = 27.5 + 6 = 33.5$ .

Here $d_1 = d_2$ : the classes on both sides of the modal class are equally full, so the mode sits exactly in the middle of its class (33.5 is also the midpoint of 28–39). That is a quick way to check the mode formula.

لێرەدا $d_1 = d_2$ : هەردوو لای بە یەکسانی پڕن، بۆیە ڕێک لە ناوەڕاستی (⁦33.5⁩ خاڵی ناوەڕاستی ⁦28–39⁩یشە). ئەمە ڕێگایەکی خێرایە بۆ پشکنینی فۆرمولەی .

Quick checkپشکنینی خێراThe median class is the class … ئەو کە …whose cumulative frequency first reaches

n/2

دووبارەبوونەوەی کەڵەکەبووی یەکەم جار دەگاتە

n/2

with the largest frequencyگەورەترین دووبارەبوونەوەی هەیەwritten in the middle row of the tableلە ڕیزی ناوەڕاستی خشتەکەدا نووسراوە

The full answer, and what grouping costsوەڵامی تەواو و نرخی پۆلێنکردن

Answer to question 2 (bold), next to the same measures computed from the raw valuesوەڵامی پرسیاری 2 (تۆخ)، لە تەنیشت هەمان پێوەرەکان کە لە نرخە خاوەکانەوە ژمێردراون
Measureپێوەر	From the tableلە خشتەکەوە	From the 50 raw valuesلە ⁦50⁩ نرخە خاوەکەوە
Arithmetic mean $\bar X$ $\bar X$	42.14	41.16
Harmonic mean H H	30.63	26.35
Quadratic mean Q Q	46.62	46.01
Median	38.64	39
Mode	33.5	39 and 56 (each appears 3 times)⁦39⁩ و ⁦56⁩ (هەریەکەیان 3 جار دێت)

The grouped answers are estimates: the table pretends that every value sits at its class midpoint. The mean and the median move only a little. The harmonic mean moves most, because it is very sensitive to small values: the table replaces 4, 7 and 7 by 9.5, and $1/4 = 0.25$ is much bigger than $1/9.5 = 0.105$ . The raw values even have two modes; the grouped mode 33.5 only describes where the tallest class is.

وەڵامە پۆلێنکراوەکان خەمڵاندنن: خشتەکە وا دادەنێت کە هەموو نرخێک لەسەر خۆیەتی. و تەنها کەمێک دەجووڵێن. زیاتر لە هەموویان دەجووڵێت، چونکە زۆر هەستیارە بە نرخە بچووکەکان: خشتەکە 4، 7 و 7 بە ⁦9.5⁩ دەگۆڕێتەوە. $1/4 = 0.25$ زۆر گەورەترە لە $1/9.5 = 0.105$ . نرخە خاوەکان تەنانەت دوو هەیە؛ پۆلێنکراوی ⁦33.5⁩ تەنها دەڵێت بەرزترین لە کوێیە.

The three answers on the histogram. The long right tail pulls the mean above the median and the mode.سێ وەڵامەکە لەسەر . کلکی درێژی لای ڕاست بەرەو سەرووی و ڕادەکێشێت.CêIT

Quick checkپشکنینی خێراWhy is the grouped harmonic mean (30.63) so much larger than the raw one (26.35)?بۆچی پۆلێنکراو ⁦(30.63)⁩ ئەوەندە لە هی نرخە خاوەکان ⁦(26.35)⁩ گەورەترە؟H is always larger for grouped dataH بۆ دراوەی پۆلێنکراو هەمیشە گەورەترەThe smallest values 4, 7, 7 are replaced by 9.5, and H depends strongly on small valuesبچووکترین نرخەکان، 4، 7، 7، بە ⁦9.5⁩ گۆڕدراون و H بە توندی پشت بە نرخە بچووکەکان دەبەستێتThe table has a calculation errorخشتەکە هەڵەیەکی ژماردنی تێدایە

Check your work: a daily quiz with slipsکارەکەت بپشکنە: تاقیکردنەوەیەکی ڕۆژانە لەگەڵ هەڵەی بچووک

Now play the examiner. Below is a real daily quiz from this course, solved by a student. Most of the work is right, but there are a few slips. Use the checks of this lesson ( $\sum F = n$ , the order $H \le G \le \bar X \le Q$ , recomputing sums) to find them before you open the answers.

ئێستا ببە بە مامۆستای پشکنەر. لە خوارەوە تاقیکردنەوەیەکی ڕۆژانەی ڕاستەقینەی ئەم کۆرسە هەیە کە قوتابییەک چارەسەری کردووە. زۆربەی کارەکە دروستە، بەڵام چەند هەڵەیەکی بچووکی تێدایە. پشکنینەکانی ئەم وانەیە بەکاربهێنە ( $\sum F = n$ ، ڕیزبەندیی $H \le G \le \bar X \le Q$ ، دووبارە ژماردنەوەی کۆکان) بۆ دۆزینەوەیان پێش ئەوەی وەڵامەکان بکەیتەوە.

Check your work: a daily quiz with slipsکارەکەت بپشکنە: تاقیکردنەوەیەکی ڕۆژانە لەگەڵ هەڵەی بچووک

Quiz question 1: the table and the modeپرسیاری 1ی تاقیکردنەوەکە: خشتەکە و باو

The quiz gave 30 raw values (only part of the question sheet can be read today, for example 37, 43, 18, 21, 25, 27, 36, 34, 18, 23, 29, 44, 22, 13, …). It asked for a frequency table with relative frequencies, and then $\bar X$ , G, H, Q and the mode. The student began like this:

تاقیکردنەوەکە ⁦30⁩ نرخی خاوی دابوو (ئەمڕۆ تەنها بەشێکی پەڕەی پرسیارەکە دەخوێنرێتەوە، بۆ نموونە ⁦37⁩، ⁦43⁩، ⁦18⁩، ⁦21⁩، ⁦25⁩، ⁦27⁩، ⁦36⁩، ⁦34⁩، ⁦18⁩، ⁦23⁩، ⁦29⁩، ⁦44⁩، ⁦22⁩، ⁦13⁩، …). داوای لەگەڵ کردبوو، پاشان $\bar X$ ، G، H، Q و . قوتابییەکە بەم شێوەیە دەستی پێکرد:

\begin{aligned} T.R &= 48 - 13 = 35 \\ m &= 2.5\sqrt[4]{30} = 5.85 \approx 6 \\ L &= 35/6 = 5.83 \;\rightarrow\; 6 \end{aligned}

The student's three tries at the classesسێ هەوڵەکەی قوتابییەکە بۆ
Tryهەوڵ	Classes written (نووسراو)	What is wrongچی هەڵەیە
1 (crossed out)1 (هێڵی بەسەردا کێشراوە)	13–18, 18–23, 23–28, 28–33, 33–38, 38–43	Each class starts on the last value of the previous one, so 18, 23, … are in two classes; and 44–48 have no class.هەر لەسەر دوایین نرخی پێشووەکە دەست پێدەکات، بۆیە ⁦18⁩، ⁦23⁩، … لە دوو ؛ و ⁦44–48⁩ نییە.
2 (crossed out)2 (هێڵی بەسەردا کێشراوە)	13–19, 20–26, 27–33, 34–40, 41–47, 48–54	$UL = LL + 6$ puts 7 whole numbers in each class (width 7, not 6), and the classes run on to 54. $UL = LL + 6$ حەوت دەخاتە هەر (پانی 7، نەک ⁦6⁩) و تا ⁦54⁩ دەڕۆن.
3 (final)3 (کۆتایی)	13–18, 19–24, 25–30, 31–36, 37–42, 43–48	Correct: $UL = LL + (6 - 1)$ . The working shows “ $43 + 5 = 47,\ +1 = 48$ ”, but $43 + 5$ is simply 48; no patch is needed.دروستە: $UL = LL + (6 - 1)$ . لە کارەکەدا نووسراوە « $43 + 5 = 47,\ +1 = 48$ »، بەڵام $43 + 5$ خۆی ⁦48⁩ـە؛ پێویستی بە پینە نییە.

The quiz table (the student's numbers, all correct)خشتەی تاقیکردنەوەکە (ژمارەکانی قوتابییەکە، هەموویان دروستن)
Class	F	X	FX
13–18	4	15.5	62
19–24	6	21.5	129
25–30	8	27.5	220
31–36	4	33.5	134
37–42	3	39.5	118.5
43–48	5	45.5	227.5
Σ	30		891

M_o = (25 - 0.5) + \frac{2}{2 + 4} \times 6 = 24.5 + 2 = 26.5 \qquad (d_1 = 8 - 6 = 2,\; d_2 = 8 - 4 = 4)

ExerciseڕاهێنانFix the relative frequencyدووبارەبوونەوەی ڕێژەیی ڕاست بکەرەوە

Under the table the student started to write $F^* = \frac{\sum F_iX_i}{2} \times 100$ and stopped. What is wrong? Write the correct formula and find the six relative frequencies.

لە ژێر خشتەکەدا قوتابییەکە دەستی کرد بە نووسینی $F^* = \frac{\sum F_iX_i}{2} \times 100$ و وەستا. چی هەڵەیە؟ فۆرمولە دروستەکە بنووسە و شەش بدۆزەرەوە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

The relative frequency compares one class with all values; it has nothing to do with FX. $F^*_i = \frac{F_i}{\sum F_i} \times 100$ : $\frac{4}{30} \times 100 = 13.33$ , 20, 26.67, 13.33, 10, 16.67 (%). They add up to 100.

یەک بەراورد دەکات لەگەڵ هەموو نرخەکان؛ هیچ پەیوەندییەکی بە FX ـەوە نییە. $F^*_i = \frac{F_i}{\sum F_i} \times 100$ : $\frac{4}{30} \times 100 = 13.33$ ، ⁦20⁩، ⁦26.67⁩، ⁦13.33⁩، ⁦10⁩، ⁦16.67 (%)⁩. کۆیان دەکاتە ⁦100⁩.

Check your work: a daily quiz with slipsکارەکەت بپشکنە: تاقیکردنەوەیەکی ڕۆژانە لەگەڵ هەڵەی بچووک

Quiz question 2: four means, two slipsپرسیاری 2ی تاقیکردنەوەکە: چوار ناوەند، دوو هەڵە

The four means of the quizچوار ناوەندەکەی تاقیکردنەوەکە
Meanناوەند	Student's workingکاری قوتابییەکە	Checkپشکنین	Correct valueنرخی دروست
$\bar X$	$891/30 = 29.7$	✓	29.7
G	$\log G = 43.28/30 = 1.4606$	✗	28.08
H	$30/1.09 = 27.5229$	✗	26.47
Q	$\sqrt{29305.5/30} = \sqrt{976.85} = 31.2545$	✓	31.25

ExerciseڕاهێنانFind the slips in Gهەڵەکانی G بدۆزەرەوە

The student's log column was 1.19, 1.33, 1.43, 1.52, 1.59, 1.65, with $\sum F_i\log X_i = 43.28$ , and then $\log G = 43.28/30 = 1.4606$ . Find two problems and the correct G.

ستوونی log ـی قوتابییەکە ئەمە بوو: ⁦1.19⁩، ⁦1.33⁩، ⁦1.43⁩، ⁦1.52⁩، ⁦1.59⁩، ⁦1.65⁩، لەگەڵ $\sum F_i\log X_i = 43.28$ ، پاشان $\log G = 43.28/30 = 1.4606$ . دوو کێشە و G ـی دروست بدۆزەرەوە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

(1) The division: $43.28/30 = 1.4427$ , not 1.4606. (2) The logs were cut after 2 decimals instead of being kept: $\log 27.5 = 1.43933$ is closer to 1.44, $\log 39.5 = 1.59660$ to 1.60. With 5 decimals the column is 4.76132, 7.99464, 11.51464, 6.10016, 4.78980, 8.29005:

⁦(1)⁩ دابەشکردنەکە: $43.28/30 = 1.4427$ ، نەک ⁦1.4606. (2)⁩ لە دوای 2 بڕدراون لە جیاتی ئەوەی بهێڵدرێنەوە: $\log 27.5 = 1.43933$ نزیکترە لە ⁦1.44⁩، $\log 39.5 = 1.59660$ لە ⁦1.60⁩. بە 5 ستوونەکە دەبێتە ⁦4.76132⁩، ⁦7.99464⁩، ⁦11.51464⁩، ⁦6.10016⁩، ⁦4.78980⁩، ⁦8.29005⁩:

\log G = \frac{43.45061}{30} = 1.44835 \quad\Rightarrow\quad G = 10^{1.44835} = 28.08

ExerciseڕاهێنانFind the slip in Hهەڵەی H بدۆزەرەوە

The student wrote $\sum F_i/X_i = 1.09$ . Recompute the column $F/X$ and H.

قوتابییەکە نووسیبووی $\sum F_i/X_i = 1.09$ . ستوونی $F/X$ و H دووبارە بژمێرەوە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

\begin{aligned} \sum \tfrac{F_i}{X_i} &= 0.25806 + 0.27907 + 0.29091 + 0.11940 + 0.07595 + 0.10989 = 1.13328 \\ H &= \frac{30}{1.13328} = 26.47 \end{aligned}

A passed check is not a proofپشکنینێکی سەرکەوتوو بەڵگە نییە

With the wrong values the order check still passes: $27.52 \le 28.88 \le 29.7 \le 31.25$ ( $G = 10^{1.4606} = 28.88$ ). The check catches only some mistakes. When a check passes, still recompute any sum you did quickly; the correct order is $26.47 \le 28.08 \le 29.7 \le 31.25$ .

بە نرخە هەڵەکانیش پشکنینی ڕیزبەندی هەر سەردەکەوێت: $27.52 \le 28.88 \le 29.7 \le 31.25$ ( $G = 10^{1.4606} = 28.88$ ). پشکنینەکە تەنها هەندێک لە هەڵەکان دەگرێت. کاتێک پشکنینێک سەردەکەوێت، هێشتا هەر کۆیەک کە بە خێرایی کردووتە دووبارە بژمێرەوە؛ ڕیزبەندیی دروست $26.47 \le 28.08 \le 29.7 \le 31.25$ ـە.

Quick checkپشکنینی خێراWhich two answers of the quiz were right?کام دوو وەڵامی تاقیکردنەوەکە دروست بوون؟G and HG و H

\bar X = 29.7

and

Q = 31.25

\bar X = 29.7

و

Q = 31.25

H and QH و Q

Common mistakesهەڵە باوەکان

Mistakeهەڵە	What goes wrongچی تێک دەچێت	Do this insteadلە جیاتی ئەوە ئەمە بکە
Rounding the width down $(L = 11)$ پانی بەرەو خوار $(L = 11)$	The classes stop at 80; 81 and 86 have no class. لە ⁦80⁩دا دەوەستن؛ ⁦81⁩ و ⁦86⁩ نییە.	Always round L up.هەمیشە L بەرەو سەرەوە نزیک بکەرەوە.
Overlapping classes (4–16, 16–28) سەریەککەوتوو (⁦4–16⁩، ⁦16–28⁩)	Values on a shared limit are counted twice; $\sum F \ne n$ .نرخەکانی سەر سنووری هاوبەش دوو جار دەژمێردرێن؛ $\sum F \ne n$ .	Whole numbers: $UL = LL + (L - 1)$ .: $UL = LL + (L - 1)$ .
Dividing by the number of classes (7)دابەشکردن بە ژمارەی ⁦(7)⁩	The mean comes out 7 times too big. 7 جار گەورەتر دەردەچێت.	Divide by $\sum F = n = 50$ .دابەش بکە بە $\sum F = n = 50$ .
Using class limits instead of midpointsبەکارهێنانی لە جیاتی	Every product FX is shifted.هەموو لێکدانەکانی FX دەجووڵێن.	$X = (LL + UL)/2$ . $X = (LL + UL)/2$ بەکاربهێنە.
Cutting logs or $F/X$ to 2 decimalsبڕینی log یان $F/X$ بۆ 2	G and H drift (the quiz above).G و H لادەدەن (تاقیکردنەوەکەی سەرەوە).	Keep 4–5 decimals; round only the answer.⁦4–5⁩ بهێڵەرەوە؛ تەنها وەڵامەکە نزیک بکەرەوە.
Median class = class with the largest F = ئەو گەورەترین F ـی هەیە	That is the modal class.ئەوە .	Use the first cumulative F that reaches $n/2$ .یەکەم F ـی کەڵەکەبوو بەکاربهێنە کە دەگاتە $n/2$ .
Using the limit 28 instead of the boundary 27.5بەکارهێنانی سنووری ⁦28⁩ لە جیاتی ⁦27.5⁩	Median and mode come out 0.5 too big. و ⁦0.5⁩ گەورەتر دەردەچن.	For whole-number classes start from $LL - 0.5$ .بۆ لە $LL - 0.5$ دەست پێبکە.

Quick checkپشکنینی خێراA classmate divides

\sum FX = 2107

by 7 and gets a mean of 301. What went wrong?هاوپۆلێک

\sum FX = 2107

دابەشی 7 دەکات و ⁦301⁩ وەردەگرێت. چی هەڵە بووە؟

\sum FX

is wrong

\sum FX

هەڵەیەThey divided by the number of classes instead of

n = 50

دابەشی ژمارەی کلاسەکانی کردووە لە جیاتی

n = 50

Nothing; 301 is rightهیچ؛ ⁦301⁩ دروستە

Exercisesڕاهێنانەکان

ExerciseڕاهێنانThe median of the quiz tableناوەڕاستەی خشتەی تاقیکردنەوەکە

The quiz did not ask for it, but find the median of the quiz table (classes 13–18 … 43–48 with frequencies 4, 6, 8, 4, 3, 5).

تاقیکردنەوەکە داوای نەکردبوو، بەڵام خشتەی تاقیکردنەوەکە بدۆزەرەوە ( ⁦13–18⁩ … ⁦43–48⁩ بە 4، 6، 8، 4، 3، ⁦5⁩).

Hintئاماژە

Use the cumulative frequencies and the lower boundary 24.5.

و خوارەوەی ⁦24.5⁩ بەکاربهێنە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

$n/2 = 15$ . Cumulative F: 4, 10, 18, … → the median class is 25–30 (boundary 24.5), with $F^* = 10$ , $F = 8$ , $L = 6$ :

$n/2 = 15$ . F ـی کەڵەکەبوو: 4، ⁦10⁩، ⁦18⁩، … ← ⁦25–30⁩ـە ( ⁦24.5⁩)، لەگەڵ $F^* = 10$ ، $F = 8$ ، $L = 6$ :

M_e = 24.5 + \frac{15 - 10}{8} \times 6 = 24.5 + 3.75 = 28.25

Check: $M_o = 26.5 < M_e = 28.25 < \bar X = 29.7$ (mode, then median, then mean), the same order as in the Group B test.

پشکنین: $M_o = 26.5 < M_e = 28.25 < \bar X = 29.7$ (سەرەتا ، پاشان ، پاشان )، هەمان ڕیزبەندیی تاقیکردنەوەی گرووپی B.

ExerciseڕاهێنانThe same data with six classesهەمان دراوە بە شەش کلاس

Suppose you chose $m = 6$ classes for the Group B data. Find L, the classes, the frequencies, the mean, the median and the mode, and compare them with the 7-class answers.

وا دابنێ بۆ گرووپی B ژمارەی $m = 6$ هەڵبژێریت. L، ، ، ، و بدۆزەرەوە و بەراوردیان بکە لەگەڵ وەڵامەکانی 7 .

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

$L = 82/6 = 13.67$ → 14. Classes 4–17, 18–31, 32–45, 46–59, 60–73, 74–87 with frequencies 6, 13, 12, 10, 5, 4 ( $\sum F = 50$ ). Midpoints 10.5, 24.5, …, 80.5 give $\bar X = 2023/50 = 40.46$ . Median: $n/2 = 25$ falls in 32–45 (cumulative 6, 19, 31): $31.5 + (25 - 19)/12 \times 14 = 38.5$ . Mode: modal class 18–31 $(F = 13)$ , $d_1 = 7$ , $d_2 = 1$ : $17.5 + 7/8 \times 14 = 29.75$ .

$L = 82/6 = 13.67$ ← ⁦14⁩. ⁦4–17⁩، ⁦18–31⁩، ⁦32–45⁩، ⁦46–59⁩، ⁦60–73⁩، ⁦74–87⁩ بە 6، ⁦13⁩، ⁦12⁩، ⁦10⁩، 5، 4 ( $\sum F = 50$ ). ⁦10.5⁩، ⁦24.5⁩، …، ⁦80.5⁩ دەدەن $\bar X = 2023/50 = 40.46$ . : $n/2 = 25$ دەکەوێتە ⁦32–45⁩ (کەڵەکەبوو 6، ⁦19⁩، ⁦31⁩): $31.5 + (25 - 19)/12 \times 14 = 38.5$ . : ⁦18–31⁩ـە $(F = 13)$ ، $d_1 = 7,\ d_2 = 1$ : $17.5 + 7/8 \times 14 = 29.75$ .

The median hardly moves (38.64 → 38.5), the mean moves a little (42.14 → 40.46) and the mode moves most (33.5 → 29.75). Grouped answers depend on how you group; the mode is the most fragile.

بە زەحمەت دەجووڵێت (⁦38.64⁩ ← ⁦38.5⁩)، کەمێک دەجووڵێت (⁦42.14⁩ ← ⁦40.46⁩) و زیاتر لە هەموویان (⁦33.5⁩ ← ⁦29.75⁩). وەڵامە پۆلێنکراوەکان پشت بە شێوازی پۆلێنکردن دەبەستن؛ لە هەموویان ناسکترە.

ExerciseڕاهێنانCheck the whole table with Pythonهەموو خشتەکە بە Python بپشکنە

Write a short Python program that builds the Group B frequency table (Yule's rule, width rounded up, whole-number classes) and prints the arithmetic, harmonic and quadratic means.

بەرنامەیەکی کورتی Python بنووسە کە گرووپی B دروست بکات (، پانیی بەرەو سەرەوە، ) و ، و چاپ بکات.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

Group B in Pythonگرووپی B لە Pythonـداgroup_b.pyPYTHONType in a terminalلە تێرمیناڵدا بینووسە

import math

data = [50, 40, 41, 17, 11, 7, 22, 4, 28, 21, 19, 23, 37, 51, 54, 42, 86,
        41, 78, 56, 72, 56, 17, 7, 69, 30, 80, 56, 29, 33, 46, 31, 39, 20,
        18, 29, 34, 59, 73, 77, 36, 39, 30, 62, 54, 67, 39, 31, 53, 44]

n = len(data)
m = round(2.5 * n ** 0.25)                      # Yule: number of classes
L = math.ceil((max(data) - min(data)) / m)      # class width, rounded up

F, X = [], []
for k in range(m):
    low = min(data) + k * L
    high = low + L - 1                          # whole numbers: LL + (L - 1)
    F.append(sum(low <= x <= high for x in data))
    X.append((low + high) / 2)
    print(f"{low:>2}-{high:<2}  F = {F[-1]:>2}  X = {X[-1]}")

mean = sum(f * x for f, x in zip(F, X)) / n
H = n / sum(f / x for f, x in zip(F, X))
Q = math.sqrt(sum(f * x * x for f, x in zip(F, X)) / n)
print(f"n = {n}, sum of F = {sum(F)}")
print(f"mean = {mean:.2f}, H = {H:.2f}, Q = {Q:.2f}")

Explain the codeڕوونکردنەوەی کۆدەکە

Lineدێڕی 8-9

round() gives $m = 7$ ; math.ceil() always rounds the width up to 12.

round() $m = 7$ دەدات؛ math.ceil() هەمیشە پانییەکە بەرەو سەرەوە بۆ ⁦12⁩ نزیک دەکاتەوە.

Lineدێڕی 14

Whole-number classes end at $LL + (L - 1)$ .

لە $LL + (L - 1)$ دا کۆتایی دێن.

Lineدێڕی 15

low <= x <= high is True (1) or False (0), so sum() counts the values in the class.

low <= x <= high یان ⁦True (1)⁩ـە یان ⁦False (0)⁩، بۆیە sum() نرخەکانی ناو دەژمێرێت.

Summaryپوختە

Question 1 (the table): range → number of classes (round normally) → width (round up) → classes → tally → F (check $\sum F = n$ ) → relative frequency.
Question 2 (the averages): midpoints → one working table with FX, $F/X$ , $FX^2$ (and $F\log X$ ) → $\bar X$ , H, Q (and G); cumulative F → median; largest F → mode.
Group B: $\bar X = 42.14$ , $H = 30.63$ , $Q = 46.62$ , $M_e = 38.64$ , $M_o = 33.5$ (and $G = 36.77$ ).
Checks: $\sum F = n$ , percentages add to 100, $H \le G \le \bar X \le Q$ , every average lies between the smallest and largest value. A passed check is not a proof.
Grouped answers are estimates; the next chapter (Measuring spread) measures how spread out these same values are.

پرسیاری 1 (خشتەکە): ← ژمارەی (ئاسایی نزیک بکەرەوە) ← پانی (بەرەو سەرەوە) ← ← ژماردن ← F (پشکنینی $\sum F = n$ ) ← .
پرسیاری 2 (): ← یەک خشتەی کار بە FX، $F/X$ ، $FX^2$ (و $F\log X$ ) ← $\bar X$ ، H، Q (و G)؛ F ـی کەڵەکەبوو ← ؛ گەورەترین F ← .
گرووپی B: $\bar X = 42.14$ ، $H = 30.63$ ، $Q = 46.62$ ، $M_e = 38.64$ ، $M_o = 33.5$ (و $G = 36.77$ ).
پشکنینەکان: $\sum F = n$ ، کۆی ⁦100⁩ـە، $H \le G \le \bar X \le Q$ ، هەموو ناوەندێک لە نێوان بچووکترین و گەورەترین نرخدایە. پشکنینێکی سەرکەوتوو بەڵگە نییە.
وەڵامە پۆلێنکراوەکان خەمڵاندنن؛ بەشی داهاتوو (پێوانی پەرتبوون) دەپێوێت کە هەمان ئەم نرخانە چەند پەرتن.

Review questionsپرسیارەکانی پێداچوونەوە

Why is the width rounded up but the number of classes rounded normally?بۆچی پانی بەرەو سەرەوە نزیک دەکرێتەوە، بەڵام ژمارەی کلاسەکان بە ئاسایی؟

The classes must cover the whole range $(m \times L \ge T.R)$ . A slightly different number of classes is harmless.

دەبێت هەموو بگرنەوە $(m \times L \ge T.R)$ . ژمارەیەکی کەمێک جیاوازی زیانی نییە.

Why use the boundary 27.5 and not the limit 28 in the median formula?بۆچی لە فۆرمولەی ناوەڕاستەدا سنووری ڕاستەقینەی کلاسی ⁦27.5⁩ بەکار دەهێنرێت نەک سنووری ⁦28⁩؟

With whole numbers a class really covers 27.5 to 39.5; the formula measures how far into the class the middle value lies.

بە لە ڕاستیدا لە ⁦27.5⁩ تا ⁦39.5⁩ دەگرێتەوە؛ فۆرمولەکە دەپێوێت نرخی ناوەڕاست چەند چووەتە ناو .

Which mean changes most when values are grouped?کاتێک نرخەکان پۆلێن دەکرێن کام ناوەند زیاتر دەگۆڕێت؟

Usually the harmonic mean, because small values dominate it (30.63 grouped vs 26.35 raw here).

زۆرجار ، چونکە نرخە بچووکەکان بەسەریدا زاڵن (لێرەدا ⁦30.63⁩ پۆلێنکراو بەرامبەر ⁦26.35⁩ خاو).

Videoڤیدیۆ

Watch a videoسەیری ڤیدیۆیەک بکە

A video that viewers liked a lot and praised in their comments, chosen for this lesson.ڤیدیۆیەک کە بینەران زۆریان پێ خۆش بووە و لە کۆمێنتەکانیاندا ستایشیان کردووە، بۆ ئەم وانەیە هەڵبژێردراوە.

Mean, Median & Mode for a Grouped Frequency Data Table | StatisticsBrain Station · Englishئینگلیزی · 654K viewsبینین · 12K likesلایک
The mean of a grouped frequency table: find each class midpoint, multiply by its frequency, add the products and divide by the total frequency.
پۆلێنکراو: بۆ هەر ، لە بدە، لێکدراوەکان کۆ بکەرەوە و دابەشی کۆی بکە.
Whole video: one grouped table from midpoints to the mean, median and mode
هەموو ڤیدیۆکە: یەک پۆلێنکراو لە تا ، و .

Lesson complete!وانەکە تەواو بوو!

Well done. Review the key terms, then go on to the next lesson.دەستخۆش. سەیرێکی زاراوە سەرەکییەکان بکەرەوە، پاشان بڕۆ بۆ وانەی داهاتوو.

Key termsزاراوە سەرەکییەکان

Next lessonوانەی داهاتوو

Measuring Spread: Range and Mean Deviationپێوانی پەرتبوون: مەودا و لادانی نێوانەیی

Related lecturesوانە پەیوەندیدارەکان

References and further readingسەرچاوەکان و خوێندنەوەی زیاتر

This lecture is a first edition. The Kurdish text and terminology are waiting for review by Kurdish IT teachers.ئەم وانەیە چاپی یەکەمە. دەقە کوردییەکە و زاراوەکانی چاوەڕێی پێداچوونەوەی مامۆستایانی کوردی بواری IT ن.

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
50	40	41	17	11	7	22	4	28	21
19	23	37	51	54	42	86	41	78	56
72	56	17	7	69	30	80	56	29	33
46	31	39	20	18	29	34	59	73	77
36	39	30	62	54	67	39	31	53	44

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
50	40	41	17	11	7	22	4	28	21
19	23	37	51	54	42	86	41	78	56
72	56	17	7	69	30	80	56	29	33
46	31	39	20	18	29	34	59	73	77
36	39	30	62	54	67	39	31	53	44

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
50	40	41	17	11	7	22	4	28	21
19	23	37	51	54	42	86	41	78	56
72	56	17	7	69	30	80	56	29	33
46	31	39	20	18	29	34	59	73	77
36	39	30	62	54	67	39	31	53	44