Chapterبەش 2 · Lectureوانە 2.9

The Median and the Modeناوەڕاستە و باو

The middle value and the most common value: the median of raw data (odd and even $n$ ) and of grouped data with class boundaries and the less-than table, the mode of raw data, of categories and of grouped data (with the crossing-lines picture), all the course examples and homework (H.W 3–7) with their corrections, when to prefer each average, and Python's median and mode functions.

نرخی ناوەڕاست و باوترین نرخ: ڕەسەن ( $n$ تاک و جووت) و بە و خشتەی «کەمتر لە»، ڕەسەن، جۆرەکان و (بە وێنەی هێڵە یەکبڕەکان)، هەموو نموونە و ڕاهێنانەکانی ماڵەوەی کۆرسەکە (ڕاهێنانی ⁦3–7⁩) بە ڕاستکردنەوەکانیانەوە، کەی هەر تێکڕایەک باشترە و و لە Pythonـدا.

17 min read17 خولەک خوێندنەوە · 21 stepsهەنگاو

What you will learnچی فێر دەبیت

Find the median of ungrouped data for odd and even $n$ , and explain why it resists outliers.
Find the median class and compute the grouped median with class boundaries.
Find the mode of raw data and categories, and the grouped mode with the $d_1, d_2$ formula.
Spot the typical slips: wrong median or modal class, limits instead of boundaries.

بۆ $n$ تاک و جووت بدۆزیتەوە و ڕوونی بکەیتەوە بۆچی بەرگەی دەگرێت.
بدۆزیتەوە و پۆلێنکراو بە بژمێریت.
ڕەسەن و جۆرەکان و پۆلێنکراو بە یاسای $d_1, d_2$ بدۆزیتەوە.
هەڵە باوەکان بناسیتەوە: یان هەڵە، سنوور لە جیاتی .

The median: the value in the middleناوەڕاستە: نرخەکەی ناوەڕاست

Line the values up from smallest to largest. The median is the value in the middle: half of the data lie below it and half above it.

نرخەکان لە بچووکەوە بۆ گەورە ڕیز بکە. ئەو نرخەیە کە لە ناوەڕاستدایە: نیوەی لە خوارییەوەیە و نیوەکەی تر لە سەرییەوە.

Definitionپێناسە

The middle value when the data is sorted; with an even number of values it is the mean of the two middle ones. Half of the data lies on each side.

نرخی ناوەڕاستە کاتێک دراوەکە ڕیز دەکرێت؛ ئەگەر ژمارەی نرخەکان جووت بێت، تێکڕای دوو نرخە ناوەڕاستەکەیە. نیوەی دراوەکە لە هەر لایەکیەتی.

Why we need it. A small tea house pays its ten people per month (in thousands of dinars): six earn 500, two earn 600, one earns 700 and the owner takes 10 000. The mean is $14900/10 = 1490$ — more than any worker earns. The median is 500, which really describes a typical worker. One extreme value pulls the mean far away, but it hardly moves the median.

بۆچی پێویستمانە. چایخانەیەکی بچووک مانگانە مووچەی دە کەسەکەی دەدات (بە هەزار دینار): شەشیان ⁦500⁩ وەردەگرن، دوویان ⁦600⁩، یەکێکیان ⁦700⁩ و خاوەنەکە ⁦10 000⁩ بۆ خۆی دەبات. $14900/10 = 1490$ ـە — زیاتر لە مووچەی هەر کرێکارێک. ⁦500⁩ـە کە بە ڕاستی کرێکارێکی ئاسایی وەسف دەکات. یەک نرخی زۆر دوور ناوەندەکە زۆر ڕادەکێشێت، بەڵام بە زەحمەت دەجووڵێنێت.

Quick checkپشکنینی خێراIn the tea-house example the owner's pay rises from 10 000 to 20 000. What happens?لە نموونەی چایخانەکەدا مووچەی خاوەنەکە لە ⁦10 000⁩ـەوە دەبێتە ⁦20 000⁩. چی ڕوو دەدات؟The mean goes up to 2490; the median stays 500ناوەندەکە بەرز دەبێتەوە بۆ ⁦2490⁩؛ ناوەڕاستەکە ⁦500⁩ دەمێنێتەوەBoth stay the sameهەردووکیان وەک خۆیان دەمێننەوەThe median goes up to 1000ناوەڕاستەکە بەرز دەبێتەوە بۆ ⁦1000⁩

The median of ungrouped dataناوەڕاستەی دراوەی پۆلێننەکراو

First sort the data. Then write $X_{(k)}$ for the value in position $k$ of the sorted list. Which position is the middle depends on whether $n$ is odd or even:

سەرەتا ڕیز بکە. پاشان $X_{(k)}$ بنووسە بۆ ئەو نرخەی لە شوێنی $k$ ـی لیستە ڕیزکراوەکەدایە. کام شوێن ناوەڕاستە بەندە بەوەی $n$ تاکە یان جووت:

M_e = X_{\left(\frac{n+1}{2}\right)}

M_e = \frac{X_{\left(\frac{n}{2}\right)} + X_{\left(\frac{n}{2}+1\right)}}{2}

Cards 80, 82, 76, 87, 84 line up as 76, 80, 82, 84, 87; n = 5 is odd and the third card, 82, is the median. Then cards 5, 4, 8, 7, 3, 12, 9, 2 line up as 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 12; n = 8 is even, the 4th and 5th cards (5 and 7) light up and the median is (5 + 7)/2 = 6. — Sort first, then find the middle position.سەرەتا ڕیز بکە، پاشان شوێنی ناوەڕاست بدۆزەرەوە.CêIT

The median of ungrouped dataناوەڕاستەی دراوەی پۆلێننەکراو

Examples (12) and (13)نموونەکانی ⁦(12)⁩ و ⁦(13)⁩

Example (12): sortنموونەی ⁦(12)⁩: ڕیزکردن
80, 82, 76, 87, 84 → 76, 80, 82, 84, 87.
⁦80⁩، ⁦82⁩، ⁦76⁩، ⁦87⁩، ⁦84⁩ ← ⁦76⁩، ⁦80⁩، ⁦82⁩، ⁦84⁩، ⁦87⁩.
$n = 5$ is odd $n = 5$ تاکە
$M_e = X_{((5+1)/2)} = X_{(3)} = 82$
$M_e = X_{((5+1)/2)} = X_{(3)} = 82$

Example (13): sortنموونەی ⁦(13)⁩: ڕیزکردن
5, 4, 8, 7, 3, 12, 9, 2 → 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 12.
5، 4، 8، 7، 3، ⁦12⁩، 9، 2 ← 2، 3، 4، 5، 7، 8، 9، ⁦12⁩.
$n = 8$ is even $n = 8$ جووتە
$M_e = \dfrac{X_{(4)} + X_{(4+1)}}{2} = \dfrac{5 + 7}{2} = 6$
$M_e = \dfrac{X_{(4)} + X_{(4+1)}}{2} = \dfrac{5 + 7}{2} = 6$

The median of grouped dataناوەڕاستەی دراوەی پۆلێنکراو

In a frequency table we cannot see the middle value itself. We can only find the class it falls in — the median class, the first class whose cumulative frequency reaches $\sum F_i / 2$ — and then estimate where inside that class it lies. The tool is the less-than table of cumulative frequencies.

لە خودی نرخی ناوەڕاست نابینین. تەنها دەتوانین ئەو بدۆزینەوە کە تێیدایە — ، یەکەم کە دەگاتە $\sum F_i / 2$ — پاشان خەمڵاندن بکەین کە لە کوێی ئەو . ئامرازەکە خشتەی «کەمتر لە»ی دووبارەبوونەوەی کەڵەکەبووـە.

M_e = L.B.L + \frac{\frac{\sum F_i}{2} - F_i^*}{F_i} \times L

$L.B.L$ — the lower boundary of the median class.
$F_i^*$ — the cumulative frequency before the median class (all values below it).
$F_i$ — the frequency of the median class itself.
$L$ — the width of the median class.

$L.B.L$ — سنووری خوارەوەی ڕاستەقینەی ().
$F_i^*$ — پێش (هەموو ئەو نرخانەی لە خوارییەوەن).
$F_i$ — خودی .
$L$ — پانیی .

Quick checkپشکنینی خێرا

\sum F_i = 80

and the cumulative frequencies are 6, 15, 27, 47, 61, 72, 80. Which class is the median class?

\sum F_i = 80

ـە و بەم شێوەیەیە: 6، ⁦15⁩، ⁦27⁩، ⁦47⁩، ⁦61⁩، ⁦72⁩، ⁦80⁩. کام ؟The 4th class (cumulative 47)کلاسی چوارەم (دووبارەبوونەوەی کەڵەکەبوو ⁦47⁩)The 3rd class (cumulative 27)کلاسی سێیەم (دووبارەبوونەوەی کەڵەکەبوو ⁦27⁩)The middle class of the list, the 4th, because there are 7 classesکلاسی ناوەڕاستی لیستەکە، چوارەم، چونکە 7 کلاس هەیە

Mean, Median & Mode for a Grouped Frequency Data Table | StatisticsBrain Station · Englishئینگلیزی · 654K viewsبینین · 12K likesلایک · Partبەشی 3:56–7:00 (ofلە 9:47)
The mean of a grouped frequency table: find each class midpoint, multiply by its frequency, add the products and divide by the total frequency.
پۆلێنکراو: بۆ هەر ، لە بدە، لێکدراوەکان کۆ بکەرەوە و دابەشی کۆی بکە.
Watch 3:56–7:00: find the median class (first cf ≥ Σf/2), then use the formula
لە ⁦3:56⁩ تا ⁦7:00⁩ سەیر بکە: بدۆزەرەوە (یەکەم کە $\ge \Sigma f/2$ بێت)، پاشان بەکار بهێنە.

The median of grouped dataناوەڕاستەی دراوەی پۆلێنکراو

Boundaries, not limitsسنوورە ڕاستەقینەکانی کلاس، نەک سنوورەکان

Boundaries, and a wrong name in the notesسنوورە ڕاستەقینەکان و ناوێکی هەڵە لە تێبینییەکاندا

For classes of whole numbers such as 11–13, the boundaries lie half a unit outside the limits: $L.B.L = LL - 0.5$ and $U.B.L = UL + 0.5$ , where LL and UL are the lower and upper class limits. So 11–13 runs from 10.5 to 13.5. For data with one decimal place use $\pm 0.05$ instead, and for continuous classes such as 66–69 the limits already touch, so $L.B.L = 66$ . The notes call $L.B.L$ the “true upper limit of the median class”; it is the true lower limit (lower boundary).

بۆ وەک ⁦11–13⁩، نیو یەکە لە دەرەوەی سنوورەکانن: $L.B.L = LL - 0.5$ و $U.B.L = UL + 0.5$ ، کە LL و UL سنووری خوارەوە و سەرەوەی . بۆیە ⁦11–13⁩ لە ⁦10.5⁩ـەوە تا ⁦13.5⁩ دەڕوات. بۆ کە یەک تێدایە لە جیاتی ئەوە $\pm 0.05$ بەکار بهێنە. بۆ بەردەوام وەک ⁦66–69⁩ سنوورەکان پێشتر بەیەکەوە لکاون، بۆیە $L.B.L = 66$ . تێبینییەکان بە $L.B.L$ دەڵێن «سنووری سەرەوەی ڕاستەقینەی »؛ لە ڕاستیدا سنووری خوارەوەی ڕاستەقینەیە.

Quick checkپشکنینی خێراThe class 25–29 holds whole numbers. What is its lower boundary

L.B.L

? ⁦25–29⁩ دەگرێتەخۆ. سنووری خوارەوەی ڕاستەقینەی،

L.B.L

، چەندە؟

24.5

24.5

25

25

25.5

25.5

The median of grouped dataناوەڕاستەی دراوەی پۆلێنکراو

Why the median formula worksبۆچی یاسای ناوەڕاستە کار دەکات

Why it works. We assume the $F_i$ values of the median class are spread evenly across it. We still need $\sum F_i/2 - F_i^*$ of them to reach the middle, so we walk that fraction of the class width from its lower boundary. On the ogive this is reading the curve at height $n/2$ :

بۆچی کار دەکات. وا دادەنێین کە $F_i$ نرخەکەی بە یەکسانی بەسەریدا بڵاو بوونەتەوە. هێشتا $\sum F_i/2 - F_i^*$ لەوانەمان پێویستە بۆ گەیشتن بە ناوەڕاست، بۆیە ئەو بەشەی پانیی لە سنووری خوارەوەیەوە دەڕۆین. لەسەر چەماوەی کەڵەکەبوو ئەمە واتە خوێندنەوەی چەماوەکە لە بەرزیی $n/2$ ـدا:

The formula is the ogive read at

n/2

, with a straight line inside the median class.یاساکە خوێندنەوەی لە

n/2

، بە هێڵێکی ڕاست لە ناو .CêIT

The median of grouped dataناوەڕاستەی دراوەی پۆلێنکراو

Example (14): classes of whole numbersنموونەی ⁦(14)⁩: کلاسەکانی ژمارە تەواوەکان

Find the median of Table (20). The classes 2–4, 5–7, … hold whole numbers, so their boundaries lie 0.5 below and above the limits.

خشتەی ⁦(20)⁩ بدۆزەرەوە. ⁦2–4⁩، ⁦5–7⁩، … دەگرنەخۆ، بۆیە ⁦0.5⁩ لە خوار و سەرووی سنوورەکانەوەن.

Tables (20) and (21): frequencies and the less-than columnخشتەکانی ⁦(20)⁩ و ⁦(21)⁩: و ستوونی «کەمتر لە»
Class	$F_i$	Upper limitسنووری سەرەوە	Less thanکەمتر لە	$F_i^*$
2–4	6	4	$< 4.5$	6
5–7	9	7	$< 7.5$	15
8–10	12	10	$< 10.5$	27
11–13	20	13	$< 13.5$	47
14–16	14	16	$< 16.5$	61
17–19	11	19	$< 19.5$	72
20–22	8	22	$< 22.5$	80
Totalکۆ	80

Half of the dataنیوەی دراوەکە
$\sum F_i/2 = 80/2 = 40$ . 40 lies between 27 and 47, so the median class is 11–13.
$\sum F_i/2 = 80/2 = 40$ . ⁦40⁩ لە نێوان ⁦27⁩ و ⁦47⁩دایە، بۆیە ⁦11–13⁩ـە.
Read the partsبەشەکان بخوێنەرەوە
$L.B.L = 11 - 0.5 = 10.5$ , $F_i^* = 27$ , $F_i = 20$ , $L = 3$ .
$L.B.L = 11 - 0.5 = 10.5$ ، $F_i^* = 27$ ، $F_i = 20$ ، $L = 3$ .
Substituteدابنێ
$M_e = 10.5 + \frac{40 - 27}{20} \times 3 = 10.5 + 0.65 \times 3 = 12.45$
$M_e = 10.5 + \frac{40 - 27}{20} \times 3 = 10.5 + 0.65 \times 3 = 12.45$

(The notes write the total as $\sum_{i=1}^{5}$ ; the table has 7 classes, so the upper index is 7.)

(تێبینییەکان کۆکە بە $\sum_{i=1}^{5}$ دەنووسن؛ خشتەکە 7 هەیە، بۆیە ژمارەی سەرەوە 7ـە.)

Quick checkپشکنینی خێراWhy is

L = 3

for the class 11–13, and not 2?بۆچی بۆ ⁦11–13⁩

L = 3

ـە، نەک 2؟Because

13 - 11 = 3

چونکە

13 - 11 = 3

Because there are 3 classes before itچونکە 3 کلاس پێشیەتیIts boundaries are 10.5 and 13.5, which are 3 apartسنوورە ڕاستەقینەکانی کلاس ⁦10.5⁩ و ⁦13.5⁩ن کە 3 لێک دوورن

The median of grouped dataناوەڕاستەی دراوەی پۆلێنکراو

Example (15): continuous classesنموونەی ⁦(15)⁩: کلاسی بەردەوام

Table (22) has continuous classes 60–63, 63–66, …, 72–75 with frequencies 5, 18, 42, 27 and 8. The classes already touch, so no $\pm 0.5$ is needed.

خشتەی ⁦(22)⁩ بەردەوامی ⁦60–63⁩، ⁦63–66⁩، …، ⁦72–75⁩ی هەیە بە 5، ⁦18⁩، ⁦42⁩، ⁦27⁩ و 8. پێشتر بەیەکەوە لکاون، بۆیە $\pm 0.5$ پێویست نییە.

Table (23): the less-than cumulative frequenciesخشتەی ⁦(23)⁩: «کەمتر لە»
	$< 63$	$< 66$	$< 69$	$< 72$	$< 75$
$F_i^*$	5	23	65	92	100

Median classکلاسی ناوەڕاستە
$100/2 = 50$ ; 50 lies between 23 and 65, so the median class is 66–69.
$100/2 = 50$ ؛ ⁦50⁩ لە نێوان ⁦23⁩ و ⁦65⁩دایە، بۆیە ⁦66–69⁩ـە.
Partsبەشەکان
$L.B.L = 66$ (continuous: no $-0.5$ ), $F_i^* = 23$ , $F_i = 42$ , $L = 3$ .
$L.B.L = 66$ (بەردەوام: بێ $-0.5$ )، $F_i^* = 23$ ، $F_i = 42$ ، $L = 3$ .
Resultئەنجام
$M_e = 66 + \frac{50-23}{42} \times 3 = 66 + \frac{27}{42} \times 3 = 67.9286$
$M_e = 66 + \frac{50-23}{42} \times 3 = 66 + \frac{27}{42} \times 3 = 67.9286$

Quick checkپشکنینی خێراIn Example (15), what is

F_i^*

?لە نموونەی ⁦(15)⁩دا،

F_i^*

چەندە؟42, the frequency of 66–69⁦42⁩، دووبارەبوونەوەی ⁦66–69⁩23, the cumulative frequency before 66–69⁦23⁩، دووبارەبوونەوەی کەڵەکەبوو پێش ⁦66–69⁩65, the cumulative frequency at the end of 66–69⁦65⁩، دووبارەبوونەوەی کەڵەکەبوو لە کۆتایی ⁦66–69⁩

Homework (3)–(5): grouped mediansڕاهێنانەکانی ماڵەوە ⁦(3)–(5)⁩: ناوەڕاستەی پۆلێنکراو

ExerciseڕاهێنانH.W (3)ڕاهێنانی ⁦(3)⁩

Find the median of Table (24): classes 0–10, 10–20, …, 60–70 with frequencies 15, 20, 25, 24, 22, 14, 5.

خشتەی ⁦(24)⁩ بدۆزەرەوە: ⁦0–10⁩، ⁦10–20⁩، …، ⁦60–70⁩ بە ⁦15⁩، ⁦20⁩، ⁦25⁩، ⁦24⁩، ⁦22⁩، ⁦14⁩، 5.

Hintئاماژە

$n/2 = 62.5$ . Which cumulative frequency first reaches it?

$n/2 = 62.5$ . یەکەم کە دەگاتە ئەوە کامەیە؟

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

The less-than table of H.W (3)خشتەی «کەمتر لە»ی ڕاهێنانی ⁦(3)⁩
Class	$F_i$	Upper limitسنووری سەرەوە	Less thanکەمتر لە	$F_i^*$
0–10	15	10	$< 10$	15
10–20	20	20	$< 20$	35
20–30	25	30	$< 30$	60
30–40	24	40	$< 40$	84
40–50	22	50	$< 50$	106
50–60	14	60	$< 60$	120
60–70	5	70	$< 70$	125

\frac{125}{2} = 62.5 \qquad M_e = 30 + \frac{62.5 - 60}{24} \times 10 = 30 + 0.10417 \times 10 = 31.04

ExerciseڕاهێنانH.W (4)ڕاهێنانی ⁦(4)⁩

Find the median of Table (25): classes 0–10, 10–20, 20–30, 30–40, 40–50 with frequencies 22, 38, 46, 35, 20.

خشتەی ⁦(25)⁩ بدۆزەرەوە: ⁦0–10⁩، ⁦10–20⁩، ⁦20–30⁩، ⁦30–40⁩، ⁦40–50⁩ بە ⁦22⁩، ⁦38⁩، ⁦46⁩، ⁦35⁩، ⁦20⁩.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

Cumulative: 22, 60, 106, 141, 161; $\sum F_i/2 = 80.5$ , so the median class is 20–30.

: ⁦22⁩، ⁦60⁩، ⁦106⁩، ⁦141⁩، ⁦161⁩؛ $\sum F_i/2 = 80.5$ ، بۆیە ⁦20–30⁩ـە.

M_e = 20 + \frac{80.5 - 60}{46} \times 10 = 20 + 0.4457 \times 10 = 24.46

ExerciseڕاهێنانH.W (5) — and a classic slipڕاهێنانی ⁦(5)⁩ — و هەڵەیەکی باو

Find the median of Table (26): classes 51–55, 56–60, 61–65, 66–70 with frequencies 2, 7, 8, 4.

خشتەی ⁦(26)⁩ بدۆزەرەوە: ⁦51–55⁩، ⁦56–60⁩، ⁦61–65⁩، ⁦66–70⁩ بە 2، 7، 8، 4.

Hintئاماژە

Check that the median you get lies inside the median class.

بپشکنە کە ئەو دەیدۆزیتەوە لە ناو بێت.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

Cumulative: 2, 9, 17, 21; $\sum F_i/2 = 10.5$ . The first cumulative frequency that reaches 10.5 is 17, so the median class is 61–65 (whole numbers, so $L.B.L = 60.5$ , $L = 5$ ):

: 2، 9، ⁦17⁩، ⁦21⁩؛ $\sum F_i/2 = 10.5$ . یەکەم کە دەگاتە ⁦10.5⁩، ⁦17⁩ـە، بۆیە ⁦61–65⁩ـە (، بۆیە $L.B.L = 60.5$ ، $L = 5$ ):

M_e = 60.5 + \frac{10.5 - 9}{8} \times 5 = 60.5 + 0.9375 = 61.4375

The slip in the worked pageهەڵەکە لە پەڕە شیکراوەکەدا

A worked page marks 56–60 as the median class (its cumulative frequency is 9) and gets $55.5 + \frac{10.5-2}{7} \times 5 = 61.57$ . But 9 is less than 10.5: the middle value has not been reached yet. The median class is the first one whose cumulative frequency is at least $n/2$ . A good warning sign: the result 61.57 does not even lie inside 56–60.

پەڕەیەکی شیکراو ⁦56–60⁩ وەک دیاری دەکات ( 9ـە) و $55.5 + \frac{10.5-2}{7} \times 5 = 61.57$ وەردەگرێت. بەڵام 9 لە ⁦10.5⁩ کەمترە: هێشتا نەگەیشتووینەتە نرخی ناوەڕاست. یەکەم کە لانیکەم $n/2$ بێت. نیشانەیەکی ئاگادارکەرەوەی باش: ئەنجامی ⁦61.57⁩ تەنانەت لە ناو ⁦56–60⁩یشدا نییە.

The mode: the most common valueباو: باوترین نرخ

The mode is the value that occurs most often. Example (16): in 4, 8, 7, 6, 9, 8, 10, 5, 8 the value 8 appears three times, so $M_o = 8$ .

ئەو نرخەیە کە زۆرترین جار دووبارە دەبێتەوە. نموونەی ⁦(16)⁩: لە 4، 8، 7، 6، 9، 8، ⁦10⁩، 5، 8ـدا نرخی 8 سێ جار دەردەکەوێت، بۆیە $M_o = 8$ .

Definitionپێناسە

The value that occurs most often. Data can have one mode, several modes or none.

ئەو نرخەیە کە زۆرترین جار دووبارە دەبێتەوە. دراوە دەتوانێت یەک باو یان چەند باوێکی هەبێت یان هیچی نەبێت.

One mode — 4, 8, 7, 6, 9, 8, 10, 5, 8 → 8.
Two modes (bimodal) — 2, 3, 3, 5, 7, 7, 9 → 3 and 7.
No mode — 1, 2, 3, 4: every value appears once, so no value is “most common”.
Words, not numbers — a tea house sells tea, coffee, tea, juice, tea, coffee: the mode is tea. The mode is the only one of the three averages that works for categories.

یەک — 4، 8، 7، 6، 9، 8، ⁦10⁩، 5، 8 ← 8.
دوو — 2، 3، 3، 5، 7، 7، 9 ← 3 و 7.
بێ — 1، 2، 3، 4: هەموو نرخێک یەک جار دەردەکەوێت، بۆیە هیچ نرخێک «باوترین» نییە.
وشە، نەک ژمارە — چایخانەیەک چا، قاوە، چا، شەربەت، چا، قاوە دەفرۆشێت: چایە. تاکە یەکێکە لە سێ تێکڕاکە کە بۆ (جۆرەکان، وەک ناوی خواردنەوە) کار دەکات.

The mode of grouped dataباوی دراوەی پۆلێنکراو

In a frequency table the modal class is the class with the greatest frequency. Its midpoint is a rough mode (the crude mode). The formula below does better: it moves the mode inside the modal class towards the bigger neighbour.

لە ئەو کە زۆرترین هەیە. نزیکەییە. یاساکەی خوارەوە باشتر کار دەکات: لە ناو بەرەو دراوسێ گەورەکە دەبات.

M_o = L.B.L + \frac{d_1}{d_1 + d_2} \times L

$L.B.L$ — lower boundary of the modal class (the lower limit minus $\tfrac12$ for classes of whole numbers).
$d_1$ — frequency of the modal class − frequency of the class before it.
$d_2$ — frequency of the modal class − frequency of the class after it.
$L$ — the class width.

$L.B.L$ — سنووری خوارەوەی ڕاستەقینەی (سنووری خوارەوە کەم $\tfrac12$ بۆ ).
$d_1$ — − پێش ئەو.
$d_2$ — − دوای ئەو.
$L$ — .

Mean, Median & Mode for a Grouped Frequency Data Table | StatisticsBrain Station · Englishئینگلیزی · 654K viewsبینین · 12K likesلایک · Partبەشی 7:00–9:22 (ofلە 9:47)
The mean of a grouped frequency table: find each class midpoint, multiply by its frequency, add the products and divide by the total frequency.
پۆلێنکراو: بۆ هەر ، لە بدە، لێکدراوەکان کۆ بکەرەوە و دابەشی کۆی بکە.
Watch 7:00–9:22: the modal class and the mode formula
لە ⁦7:00⁩ تا ⁦9:22⁩ سەیر بکە: و .

The mode of grouped dataباوی دراوەی پۆلێنکراو

Why the mode formula worksبۆچی یاسای باو کار دەکات

Why it works. If the class before is much smaller than the class after ( $d_1 > d_2$ ), the peak leans to the right, and $d_1/(d_1+d_2)$ is more than $\tfrac12$ . If both neighbours are equal, the mode is exactly the midpoint. On a histogram the formula is where two crossing lines meet:

بۆچی کار دەکات. ئەگەر پێشەوە زۆر لە دواوە بچووکتر بێت ( $d_1 > d_2$ )، لووتکەکە بەلای ڕاستدا لار دەبێتەوە و $d_1/(d_1+d_2)$ لە $\tfrac12$ زیاترە. ئەگەر هەردوو دراوسێ یەکسان بن، ڕێک . لەسەر یاساکە ئەو شوێنەیە کە دوو هێڵی یەکبڕ تێیدا بەیەک دەگەن:

The crossing point lies

24/39

of the way across the modal class:

M_o = 67.85

.خاڵی یەکبڕین لە

24/39

ی پانیی :

M_o = 67.85

.CêIT

The mode of grouped dataباوی دراوەی پۆلێنکراو

Example (17): classes of whole numbersنموونەی ⁦(17)⁩: کلاسەکانی ژمارە تەواوەکان

Example (17)نموونەی ⁦(17)⁩

Example (17): modal classنموونەی ⁦(17)⁩: کلاسی باو
Table (27): 60–74 (2), 75–89 (6), 90–104 (14), 105–119 (10). The largest frequency is 14, so the modal class is 90–104.
خشتەی ⁦(27): 60–74 (2)⁩، ⁦75–89 (6)⁩، ⁦90–104 (14)⁩، ⁦105–119 (10)⁩. گەورەترین ⁦14⁩ـە، بۆیە ⁦90–104⁩ـە.
Partsبەشەکان
$L.B.L = 90 - \tfrac12 = 89.5$ , $d_1 = 14 - 6 = 8$ , $d_2 = 14 - 10 = 4$ , $L = 15$ .
$L.B.L = 90 - \tfrac12 = 89.5$ ، $d_1 = 14 - 6 = 8$ ، $d_2 = 14 - 10 = 4$ ، $L = 15$ .
Resultئەنجام
$M_o = 89.5 + \frac{8}{8+4} \times 15 = 89.5 + 10 = 99.5$ . The crude mode (the midpoint 97) is pulled 2.5 towards the bigger neighbour 105–119.
$M_o = 89.5 + \frac{8}{8+4} \times 15 = 89.5 + 10 = 99.5$ . نزیکەیی ( ⁦97) 2.5⁩ بەرەو دراوسێ گەورەکە ⁦105–119⁩ ڕادەکێشرێت.

Quick checkپشکنینی خێراIn Example (17), what would the mode be if the classes before and after the modal class had the same frequency?لە نموونەی ⁦(17)⁩دا، ئەگەر پێش و دوای هەمان هەبووایە، چەند دەبوو؟97, the midpoint of 90–104⁦97⁩، خاڵی ناوەڕاستی کلاس لە ⁦90–104⁩89.5, the lower boundary⁦89.5⁩، سنووری خوارەوەی ڕاستەقینە104.5, the upper boundary⁦104.5⁩، سنووری سەرەوەی ڕاستەقینە

The mode of grouped dataباوی دراوەی پۆلێنکراو

Continuous classes: Example (18)کلاسی بەردەوام: نموونەی ⁦(18)⁩

For continuous classes the formula is the same, but $L.B.L$ is simply the lower limit of the modal class (no $-\tfrac12$ ). Example (18) uses Table (28), the same table as Example (15): 60–63, 63–66, 66–69, 69–72, 72–75 with frequencies 5, 18, 42, 27, 8.

بۆ بەردەوام یاساکە هەمانە، بەڵام $L.B.L$ تەنها سنووری خوارەوەی (بێ $-\tfrac12$ ). نموونەی ⁦(18)⁩ خشتەی ⁦(28)⁩ بەکار دەهێنێت، هەمان خشتەی نموونەی ⁦(15): 60–63⁩، ⁦63–66⁩، ⁦66–69⁩، ⁦69–72⁩، ⁦72–75⁩ بە 5، ⁦18⁩، ⁦42⁩، ⁦27⁩، 8.

\begin{gathered} L.B.L = 66,\quad d_1 = 42 - 18 = 24,\quad d_2 = 42 - 27 = 15,\quad L = 3 \\ M_o = 66 + \frac{24}{24 + 15} \times 3 = 66 + \frac{24}{39} \times 3 = 67.846 \end{gathered}

A typo in the workingهەڵەیەکی چاپ لە ژماردنەکەدا

The notes' working line shows $\frac{24}{24-15} \times 3$ and then $66 + \frac{24}{9} \times 3$ , which would give 74 — outside the modal class. The denominator is $d_1 + d_2 = 24 + 15 = 39$ ; the printed final answer 67.846 is right.

دێڕی ژماردنی تێبینییەکان $\frac{24}{24-15} \times 3$ و پاشان $66 + \frac{24}{9} \times 3$ پیشان دەدات، کە ⁦74⁩ دەدات — لە دەرەوەی . پشکی خوارەوە $d_1 + d_2 = 24 + 15 = 39$ ـە؛ وەڵامە کۆتاییە چاپکراوەکە، ⁦67.846⁩، ڕاستە.

Quick checkپشکنینی خێراFor the same table, the median was 67.93 and the mode is 67.85. Where must a grouped mode always lie?بۆ هەمان خشتە، ⁦67.93⁩ بوو و ⁦67.85⁩ـە. پۆلێنکراو دەبێت هەمیشە لە کوێ بێت؟Inside the modal classلە ناو کلاسی باوەکەداExactly at the midpointڕێک لەسەر خاڵی ناوەڕاستی کلاسInside the median classلە ناو کلاسی ناوەڕاستەکەدا

Homework (6) and (7): grouped modesڕاهێنانەکانی ماڵەوە ⁦(6)⁩ و ⁦(7)⁩: باوی پۆلێنکراو

ExerciseڕاهێنانH.W (6) — find the modeڕاهێنانی ⁦(6)⁩ — باوەکە بدۆزەرەوە

Table (29): classes 150–154, 155–159, 160–164, 165–169, 170–174, 175–179, 180–184, 185–189 with frequencies 5, 2, 6, 8, 9, 11, 6, 3.

خشتەی ⁦(29)⁩: ⁦150–154⁩، ⁦155–159⁩، ⁦160–164⁩، ⁦165–169⁩، ⁦170–174⁩، ⁦175–179⁩، ⁦180–184⁩، ⁦185–189⁩ بە 5، 2، 6، 8، 9، ⁦11⁩، 6، 3.

Hintئاماژە

Look for the largest frequency first.

سەرەتا بەدوای گەورەترین بگەڕێ.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

The largest frequency is 11, so the modal class is 175–179. Whole numbers: $L.B.L = 174.5$ , $L = 5$ , $d_1 = 11 - 9 = 2$ , $d_2 = 11 - 6 = 5$ .

گەورەترین ⁦11⁩ـە، بۆیە ⁦175–179⁩ـە. : $L.B.L = 174.5$ ، $L = 5$ ، $d_1 = 11 - 9 = 2$ ، $d_2 = 11 - 6 = 5$ .

M_o = 174.5 + \frac{2}{2+5} \times 5 = 174.5 + 1.43 = 175.93

A worked page picked the wrong classپەڕەیەکی شیکراو کلاسی هەڵەی هەڵبژارد

One worked solution takes 165–169 (frequency 8) as the modal class and gets $d_2 = 8 - 9 = -1$ and $M_o = 164.5 + \frac{2}{2-1} \times 5 = 174.5$ . A negative $d_2$ is the warning sign: the next class is bigger, so this cannot be the peak. The modal class is the one with the largest frequency, 175–179.

چارەسەرێکی شیکراو ⁦165–169⁩ ( ⁦8⁩) وەک وەردەگرێت و $d_2 = 8 - 9 = -1$ و $M_o = 164.5 + \frac{2}{2-1} \times 5 = 174.5$ دەدۆزێتەوە. $d_2$ ـی نەرێنی نیشانەی ئاگادارکردنەوەیە: دواتر گەورەترە، بۆیە ئەمە ناتوانێت لووتکە بێت. ئەوەیە کە گەورەترین هەیە، ⁦175–179⁩.

ExerciseڕاهێنانH.W (7) — find the modeڕاهێنانی ⁦(7)⁩ — باوەکە بدۆزەرەوە

Table (30): continuous classes 150–160, 160–170, 170–180, 180–190, 190–200 with frequencies 8, 12, 15, 9, 6.

خشتەی ⁦(30)⁩: بەردەوامی ⁦150–160⁩، ⁦160–170⁩، ⁦170–180⁩، ⁦180–190⁩، ⁦190–200⁩ بە 8، ⁦12⁩، ⁦15⁩، 9، 6.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

\begin{gathered} L.B.L = 170,\quad d_1 = 15 - 12 = 3,\quad d_2 = 15 - 9 = 6,\quad L = 10 \\ M_o = 170 + \frac{3}{3+6} \times 10 = 173.33 \end{gathered}

Median and mode in Pythonناوەڕاستە و باو لە Pythonـدا

The statistics module sorts the data for you. median() averages the two middle values when $n$ is even; median_low() and median_high() return one of the two. mode() returns the first most common value and multimode() returns all of them. median_grouped() uses the same interpolation as the grouped formula: give it the class midpoints, repeated by frequency, and the class width as interval.

statistics خۆی ڕیز دەکات. median() کاتێک $n$ جووتە تێکڕای دوو نرخە ناوەڕاستەکە وەردەگرێت؛ median_low() و median_high() یەکێک لەو دووانە دەگەڕێننەوە. mode() یەکەم باوترین نرخ دەگەڕێنێتەوە و multimode() هەموویان. median_grouped() هەمان ڕێگای یاسای پۆلێنکراو بەکار دەهێنێت: بە ئەندازەی دووبارەکراو و وەک intervalـی پێ بدە.

PYTHONType in a terminalلە تێرمیناڵدا بینووسە

import statistics as st

print(st.median([80, 82, 76, 87, 84]))           # Example (12)
data = [5, 4, 8, 7, 3, 12, 9, 2]                 # Example (13)
print(st.median(data), st.median_low(data), st.median_high(data))

print(st.mode([4, 8, 7, 6, 9, 8, 10, 5, 8]))     # Example (16)
print(st.multimode([2, 3, 3, 5, 7, 7, 9]))       # two modes
print(st.multimode([1, 2, 3, 4]))                # every value once

drinks = ["tea", "coffee", "tea", "juice", "tea", "coffee"]
print(st.mode(drinks))                           # works for words too

mids = [61.5, 64.5, 67.5, 70.5, 73.5]            # Example (15)
freq = [5, 18, 42, 27, 8]
values = [m for m, f in zip(mids, freq) for _ in range(f)]
print(round(st.median_grouped(values, interval=3), 4))

Explain the codeڕوونکردنەوەی کۆدەکە

Lineدێڕی 4-5

Example (13): the median 6.0 is not in the data; median_low and median_high give 5 and 7.

نموونەی ⁦(13)⁩: ⁦6.0⁩ لە نییە؛ median_low و median_high 5 و 7 دەدەن.

Lineدێڕی 8-9

multimode() shows two modes, and for 1, 2, 3, 4 it lists every value — that is, there is no real mode.

multimode() دوو پیشان دەدات و بۆ 1، 2، 3، 4 هەموو نرخەکان ڕیز دەکات — واتە ڕاستەقینە نییە.

Lineدێڕی 11-12

The mode works for words too.

بۆ وشەش کار دەکات.

Lineدێڕی 14-17

The grouped median of Example (15): 67.9286, the same as the formula.

پۆلێنکراوی نموونەی ⁦(15): 67.9286⁩، هەمان ئەنجامی یاساکە.

Mean, median or mode?ناوەند، ناوەڕاستە یان باو؟

Averageتێکڕا	Use it when…بەکاری بهێنە کاتێک…	Carefulئاگاداربە
Mean	the data are numbers without extreme values; you need totals ( $\bar X \times n = \sum X_i$ ) ژمارەن بێ نرخی زۆر دوور؛ کۆت پێویستە ( $\bar X \times n = \sum X_i$ )	pulled by outliers ڕایدەکێشن
Median	there are outliers or a long tail (incomes, house prices) یان کلکێکی درێژ هەیە (داهات، نرخی خانوو)	ignores how far the extreme values areگوێ ناداتە ئەوەی نرخە دوورەکان چەند دوورن
Mode	the data are categories, or you want the most common value (sizes, drinks) جۆرن نەک ژمارە ()، یان باوترین نرخت دەوێت (قەبارە، خواردنەوە)	may not exist or may not be uniqueلەوانەیە نەبێت یان تەنها یەک نەبێت

For a symmetric data set with a single peak the three are equal. When the data have a long tail, they separate — the skewness lesson shows how, together with the course's mean–median–mode relation.

بۆ کۆمەڵە هاوجێ کە یەک لووتکەی هەیە، هەر سێکیان یەکسانن. کاتێک کلکێکی درێژی هەیە، لێک جیا دەبنەوە — وانەی ناهاوجێبوون چۆنییەتییەکەی پیشان دەدات، لەگەڵ پەیوەندیی –– کۆرسەکە.

Common mistakesهەڵە باوەکان

Mistakeهەڵە	Fixچارەسەر
Taking the middle of the unsorted listوەرگرتنی ناوەڕاستی لیستی ڕیزنەکراو	Sort firstسەرەتا ڕیز بکە
Giving $(n + 1)/2$ as the medianدانانی $(n + 1)/2$ وەک	It is the position; read the value thereئەوە شوێنەکەیە؛ نرخەکەی ئەوێ بخوێنەرەوە
Median class = the class in the middle of the table = ناوەڕاستی خشتەکە	Use the first cumulative frequency $\ge n/2$ یەکەم کە $\ge n/2$ بێت بەکار بهێنە
Median class whose cumulative frequency is still below $n/2$ (H.W 5) کە هێشتا لە خوار $n/2$ ـەوەیە (ڕاهێنانی ⁦5⁩)	Go on to the next classبڕۆ بۆ دواتر
$F_i^$ = cumulative frequency of the median class $F_i^$ = خودی	Use the one before itئەوەی پێش ئەو بەکار بهێنە
Class limit instead of boundary for whole numbers لە جیاتی بۆ	Subtract 0.5 (or 0.05 for one decimal)⁦0.5⁩ لێ دەربکە (یان ⁦0.05⁩ بۆ یەک )
Modal class with a negative $d_2$ (H.W 6) بە $d_2$ ـی نەرێنی (ڕاهێنانی ⁦6⁩)	Pick the class with the largest frequencyئەو هەڵبژێرە کە گەورەترین هەیە
$d_1 - d_2$ in the denominator $d_1 - d_2$ لە پشکی خوارەوەدا	It is $d_1 + d_2$ $d_1 + d_2$ ـە

Exercisesڕاهێنانەکان

ExerciseڕاهێنانMedian and mode of H.W (2)ناوەڕاستە و باوی ڕاهێنانی ⁦(2)⁩

Table (4) of H.W (2) has classes 0–10, 10–20, …, 70–80 with frequencies 2, 8, 12, 18, 28, 22, 6, 4. Find the median and the mode. Compare the median with the point where the two ogives cross in the graphs lesson.

خشتەی ⁦(4)⁩ی ڕاهێنانی ⁦(2)⁩ ⁦0–10⁩، ⁦10–20⁩، …، ⁦70–80⁩ی هەیە بە 2، 8، ⁦12⁩، ⁦18⁩، ⁦28⁩، ⁦22⁩، 6، 4. و بدۆزەرەوە. بەراورد بکە بەو خاڵەی کە هەردوو لە وانەی هێڵکارییەکاندا یەکتر دەبڕن.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

\begin{aligned} M_e &= 40 + \tfrac{50 - 40}{28} \times 10 = 43.57 \\ M_o &= 40 + \tfrac{28-18}{(28-18) + (28-22)} \times 10 = 40 + \tfrac{10}{16} \times 10 = 46.25 \end{aligned}

ExerciseڕاهێنانRaw dataدراوەی ڕەسەن

Find the median and the mode of 12, 15, 11, 15, 18, 14, 15, 20, 11, 13.

و بۆ ⁦12⁩، ⁦15⁩، ⁦11⁩، ⁦15⁩، ⁦18⁩، ⁦14⁩، ⁦15⁩، ⁦20⁩، ⁦11⁩، ⁦13⁩ بدۆزەرەوە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

Sorted: 11, 11, 12, 13, 14, 15, 15, 15, 18, 20. $n = 10$ is even: $M_e = (X_{(5)} + X_{(6)})/2 = (14 + 15)/2 = 14.5$ . 15 appears three times, so $M_o = 15$ .

ڕیزکراو: ⁦11⁩، ⁦11⁩، ⁦12⁩، ⁦13⁩، ⁦14⁩، ⁦15⁩، ⁦15⁩، ⁦15⁩، ⁦18⁩، ⁦20⁩. $n = 10$ جووتە: $M_e = (X_{(5)} + X_{(6)})/2 = (14 + 15)/2 = 14.5$ . ⁦15⁩ سێ جار دەردەکەوێت، بۆیە $M_o = 15$ .

ExerciseڕاهێنانWhich class?کام کلاس؟

A table has frequencies 4, 9, 15, 7, 5 ( $n = 40$ ). Name the median class and the modal class, and say whether they must always be the same.

خشتەیەک 4، 9، ⁦15⁩، 7، 5ی هەیە ( $n = 40$ ). و دیاری بکە و بڵێ ئایا هەمیشە دەبێت وەک یەک بن.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

Cumulative: 4, 13, 28, 35, 40; $n/2 = 20$ , so the 3rd class is the median class. The largest frequency, 15, is also in the 3rd class, so here both are the same. They need not be: with frequencies 6, 3, 3, 3, 5 ( $n = 20$ ) the median class is the 3rd (cumulative 6, 9, 12 — the first that is $\ge 10$ ) but the modal class is the 1st.

: 4، ⁦13⁩، ⁦28⁩، ⁦35⁩، ⁦40⁩؛ $n/2 = 20$ ، بۆیە سێیەم . گەورەترین ، ⁦15⁩، لە سێیەمیشدایە، بۆیە لێرەدا هەردووکیان یەکن. پێویست ناکات وابن: بە 6، 3، 3، 3، 5 ( $n = 20$ )، سێیەمە ( 6، 9، ⁦12⁩ — یەکەمیان کە $\ge 10$ ـە) بەڵام یەکەمە.

Summaryپوختە

Median: sort, then take the middle value (odd $n$ ) or the mean of the two middle values (even $n$ ). It resists outliers.
Grouped median: median class = first cumulative frequency $\ge n/2$ ; $M_e = L.B.L + \frac{n/2 - F_i^*}{F_i} \times L$ .
Mode: the most common value; there may be one, two or none. It works for categories.
Grouped mode: modal class = largest frequency; $M_o = L.B.L + \frac{d_1}{d_1+d_2} \times L$ .
Whole-number classes use boundaries (limits $\mp 0.5$ ); continuous classes use the limits.
Python: median, median_low, median_high, median_grouped, mode, multimode.

: ڕیز بکە، پاشان نرخی ناوەڕاست ( $n$ تاک) یان دوو نرخە ناوەڕاستەکە ( $n$ جووت) وەربگرە. بەرگەی دەگرێت.
پۆلێنکراو: = یەکەم کە $\ge n/2$ بێت؛ $M_e = L.B.L + \frac{n/2 - F_i^*}{F_i} \times L$ .
: باوترین نرخ؛ لەوانەیە یەک، دوو یان هیچ هەبێت. بۆ پۆلەکان (جۆرەکان) کار دەکات.
پۆلێنکراو: = گەورەترین ؛ $M_o = L.B.L + \frac{d_1}{d_1+d_2} \times L$ .
بەکار دەهێنن (سنوور $\mp 0.5$ )؛ بەردەوام سنوورەکان خۆیان.
Python: median، median_low، median_high، median_grouped، mode، multimode.

Review questionsپرسیارەکانی پێداچوونەوە

Why is the median a better “typical salary” than the mean?بۆچی ناوەڕاستە «مووچەی ئاسایی»یەکی باشترە لە ناوەند؟

A few very high salaries pull the mean up, but they do not change which value is in the middle.

چەند مووچەیەکی زۆر بەرز بەرز دەکەنەوە، بەڵام ئەوە ناگۆڕن کە کام نرخ لە ناوەڕاستدایە.

In the median formula, what is

F_i^*

?لە یاسای ناوەڕاستەدا،

F_i^*

چییە؟

The cumulative frequency of all the classes before the median class.

هەموو ئەو پێش .

Your grouped mode comes out outside the modal class. What went wrong?باوی پۆلێنکراوەکەت لە دەرەوەی کلاسی باوەکە دەرچوو. چی هەڵە بوو؟

Either the wrong modal class (a negative $d_1$ or $d_2$ ) or a slip such as $d_1 - d_2$ in the denominator.

یان هەڵە ( $d_1$ یان $d_2$ ـی نەرێنی) یان هەڵەیەکی وەک $d_1 - d_2$ لە پشکی خوارەوەدا.

Videoڤیدیۆ

Watch a videoسەیری ڤیدیۆیەک بکە

A video that viewers liked a lot and praised in their comments, chosen for this lesson.ڤیدیۆیەک کە بینەران زۆریان پێ خۆش بووە و لە کۆمێنتەکانیاندا ستایشیان کردووە، بۆ ئەم وانەیە هەڵبژێردراوە.

Math Antics - Mean, Median and Modemathantics · Englishئینگلیزی · 7.1M viewsبینین · 111K likesلایک · Partبەشی 5:18–10:22 (ofلە 11:03)
Math Antics on the three kinds of average: the mean, the median (the middle value) and the mode (the most common value), with a real-world example.
⁦Math Antics⁩ دەربارەی سێ جۆری ناوەندگیری: ، (نرخی ناوەڕاست) و (ئەو نرخەی زۆرتر دووبارە دەبێتەوە)، لەگەڵ نموونەیەکی ژیانی ڕۆژانە.
Plays 5:18–10:22: the median (with an even count, the mean of the two middle values), the mode, and a real-world example that compares the three. The mean is in the previous lesson.
لە ⁦5:18⁩ تا ⁦10:22⁩ پەخش دەبێت: (کاتێک ژمارەی جووتە، دوو نرخە ناوەڕاستەکە)، و نموونەیەکی ژیانی ڕۆژانە کە هەر سێکیان بەراورد دەکات. لە وانەی پێشوودایە.

Lesson complete!وانەکە تەواو بوو!

Well done. Review the key terms, then go on to the next lesson.دەستخۆش. سەیرێکی زاراوە سەرەکییەکان بکەرەوە، پاشان بڕۆ بۆ وانەی داهاتوو.

Key termsزاراوە سەرەکییەکان

Next lessonوانەی داهاتوو

Quartiles, Percentiles and Box Plots (Supplementary)چواریەکەکان، سەدیەکەکان و هێڵکارییە سندووقییەکان (زیادە)

Related lecturesوانە پەیوەندیدارەکان

References and further readingسەرچاوەکان و خوێندنەوەی زیاتر

This lecture is a first edition. The Kurdish text and terminology are waiting for review by Kurdish IT teachers.ئەم وانەیە چاپی یەکەمە. دەقە کوردییەکە و زاراوەکانی چاوەڕێی پێداچوونەوەی مامۆستایانی کوردی بواری IT ن.