Chapterبەش 2 · Lectureوانە 2.7

The Arithmetic Mean and the Weighted Meanناوەند و ناوەندی قورسکراو

The everyday average, taught properly: the mean of a list and of a frequency table (with class midpoints), why the mean is the balance point of the data, the weighted mean for marks and course hours (how a GPA works), the corrected Example (3), and the same calculations in Python.

ئەو تێکڕایەی ڕۆژانە، بە شێوەیەکی دروست: لیستێک و (بە )، بۆچی خاڵی هاوسەنگیی ، بۆ نمرە و کاتژمێری وانەکان (تێکڕای نمرەی زانکۆ چۆن کار دەکات)، نموونەی ⁦(3)⁩ی ڕاستکراوە و هەمان ژماردن لە Pythonـدا.

14 min read14 خولەک خوێندنەوە · 16 stepsهەنگاو

What you will learnچی فێر دەبیت

Compute the mean of ungrouped data and of a frequency table using class midpoints.
Explain why the mean is the balance point and why the deviations from it add up to zero.
Compute a weighted mean for ungrouped and grouped data, for example a semester average from marks and course hours.
Check your results with Python's statistics.mean and statistics.fmean.

و بە بەکارهێنانی بدۆزیتەوە.
ڕوونی بکەیتەوە بۆچی خاڵی هاوسەنگییە و بۆچی کۆی لێیەوە سفرە.
بۆ و بدۆزیتەوە، بۆ نموونە تێکڕای وەرزێک لە نمرە و کاتژمێری وانەکانەوە.
ئەنجامەکانت بە statistics.mean و statistics.fmeanـی Python بپشکنیت.

One number for the centre of the dataیەک ژمارە بۆ ناوەڕاستی دراوەکە

When a teacher says “the class average was 72”, one number describes thirty marks. A shop says “we sell about 40 glasses of tea an hour”. In both cases a long list of values is summed up by a single typical value. Statistics calls such a value a measure of central tendency.

کاتێک مامۆستایەک دەڵێت «تێکڕای پۆلەکە ⁦72⁩ بوو»، یەک ژمارە سی نمرە وەسف دەکات. چایخانەیەک دەڵێت «لە هەر کاتژمێرێکدا نزیکەی ⁦40⁩ پیاڵە چا دەفرۆشین». لە هەردوو حاڵەتەکەدا لیستێکی درێژی نرخ بە یەک نرخی ئاسایی کورت دەکرێتەوە. بە نرخێکی وا دەڵێت .

Definitionپێناسە

A single number that describes the centre of the data. The best known are the , the and the .

یەک ژمارەیە کە ناوەڕاستی دراوەکە وەسف دەکات. ناسراوترینەکانیان و و .

This lesson teaches the best-known one, the arithmetic mean (the everyday “average”), and its cousin the weighted mean. Both can be found for raw, ungrouped data and for grouped data in a frequency table. Later lessons add the geometric, harmonic and quadratic means, the median and the mode.

ئەم وانەیە ناسراوترینیان فێر دەکات، (ئەو «تێکڕا»یەی ڕۆژانە بەکاری دەهێنین)، لەگەڵ خزمە نزیکەکەی . هەردووکیان بۆ دراوەی پۆلێننەکراو و بۆ لە دەدۆزرێنەوە. وانەکانی دواتر ناوەندی ئەندازەیی، ناوەندی هارمۆنیک، ناوەندی دووجایی، ناوەڕاستە و باو زیاد دەکەن.

The mean of ungrouped dataناوەندی دراوەی پۆلێننەکراو

To find the arithmetic mean of a list, add all the values and divide by how many there are. With the sigma notation you already know:

بۆ دۆزینەوەی لیستێک، هەموو نرخەکان کۆ بکەرەوە و دابەشی ژمارەیان بکە. بە نیشانەی سیگما کە پێشتر ناسیوتە:

\bar X = \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i}{n} = \frac{X_1 + X_2 + \cdots + X_n}{n}

Example (2)نموونەی ⁦(2)⁩

Add the valuesنرخەکان کۆ بکەرەوە
Example (2): the values are 8, 3, 5, 12, 10. Their sum is $8+3+5+12+10 = 38$ .
نموونەی ⁦(2)⁩: نرخەکان 8، 3، 5، ⁦12⁩، ⁦10⁩ن. کۆکەیان $8+3+5+12+10 = 38$ ـە.
Count themبیانژمێرە
There are $n = 5$ values.
$n = 5$ نرخ هەیە.
Divideدابەش بکە
$\bar X = \frac{38}{5} = 7.6$
$\bar X = \frac{38}{5} = 7.6$

بیرکاری پۆلی ۷ وانەی (٤-۷) ناوەند ، مەودا ، باو ، ناوەراست //berkare poli 7 wanaye (4-7)م / شهاب بیرکاری · Kurdish (Sorani)کوردی (سۆرانی) · 19K viewsبینین · 548 likesلایک · Partبەشی 3:10–8:15 (ofلە 27:19)
In Kurdish: the mean of a list is the sum of the numbers divided by how many there are, with a worked example.
بە کوردی: لیستێک کۆی ژمارەکانە دابەش بە ژمارەی دانەکان، لەگەڵ نموونەیەکی چارەسەرکراو.
In Kurdish; watch 3:10–8:15, the mean (ناوەند). The rest of the video does range, mode and median.
بە کوردی؛ لە ⁦3:10⁩ تا ⁦8:15⁩ سەیر بکە: . ئەوانی تری ڤیدیۆکە ، و باس دەکات.

Why it works: the mean is the balance pointبۆچی کار دەکات: ناوەند خاڵی هاوسەنگییە

Put each value as an equal block on a long ruler and try to hold the ruler on one finger. Under 10 it falls to the left, under 5 it falls to the right. It stays level only under 7.6, the mean.

هەر نرخێک وەک بلۆکێکی یەکسان لەسەر ڕاستەیەکی درێژ دابنێ و هەوڵ بدە ڕاستەکە لەسەر یەک پەنجە ڕابگریت. لە ژێر ⁦10⁩ـدا بەلای چەپدا دەکەوێت، لە ژێر 5ـدا بەلای ڕاستدا. تەنها لە ژێر ⁦7.6⁩ـدا، واتە ، ڕێک دەوەستێت.

A ruler marked 0 to 14 carries five blocks at 3, 5, 8, 10 and 12. Held at 10 it tips left, held at 5 it tips right, held at 6.5 it still tips right a little. Held at 7.6 it is level, and arrows show the distances −4.6, −2.6, +0.4, +2.4, +4.4, which add up to 0. — The support moves until the ruler balances — exactly at the mean.خاڵی ڕاگرتن دەجووڵێت تا ڕاستەکە هاوسەنگ دەبێت — ڕێک لە .CêIT

Quick checkپشکنینی خێراThe values 2, 4 and 9 stand as equal blocks on a ruler. Under which point does the ruler balance?نرخەکانی 2، 4 و 9 وەک بلۆکی یەکسان لەسەر ڕاستەیەک وەستاون. ڕاستەکە لە ژێر کام خاڵدا هاوسەنگ دەبێت؟

5

5

4

4

5.5

5.5

Why it works: the mean is the balance pointبۆچی کار دەکات: ناوەند خاڵی هاوسەنگییە

The deviations always add up to zeroکۆی لادانەکان هەمیشە سفرە

The distance of a value from the mean is its deviation, $X_i - \bar X$ . The deviations on the left ( $-4.6$ and $-2.6$ ) weigh exactly as much as those on the right ( $+0.4$ , $+2.4$ and $+4.4$ ). This is true for every data set:

دووریی نرخێک لە ، $X_i - \bar X$ . لای چەپ ( $-4.6$ و $-2.6$ ) ڕێک هێندەی ئەوانەی لای ڕاست ( $+0.4$ ، $+2.4$ و $+4.4$ ) قورسن. ئەمە بۆ هەموو کۆمەڵە ڕاستە:

\sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar X) = \sum X_i - n\bar X = \sum X_i - \sum X_i = 0

A tray of tea glassesسینییەکی پیاڵە چا

A waiter in a tea house carries a tray of glasses on one hand. If the glasses stand at 3, 5, 8, 10 and 12 cm from the edge, his hand must be under 7.6 cm, or the tray tips.

چایچییەک لە چایخانەیەکدا سینییەکی پیاڵە چا لەسەر یەک دەست هەڵدەگرێت. ئەگەر پیاڵەکان لە 3، 5، 8، ⁦10⁩ و ⁦12⁩ سانتیمەتری لێوارەکەوە بن، دەبێت دەستی لە ژێر ⁦7.6⁩ سانتیمەتردا بێت، دەنا سینییەکە لار دەبێتەوە.

Where the analogy stops workingسنووری ئەم نموونەیە

This works because every glass weighs the same. If one glass were heavier, the balance point would move towards it — that is the weighted mean later in this lesson.

ئەمە کار دەکات چونکە هەموو پیاڵەکان کێشیان وەک یەکە. ئەگەر پیاڵەیەک قورستر بوایە، خاڵی هاوسەنگی بەرەو ئەو دەڕۆیشت — ئەمە کە دواتر لەم وانەیەدا دێت.

The mean of grouped data: midpoints stand inناوەندی دراوەی پۆلێنکراو: خاڵە ناوەڕاستەکانی کلاس جێگە دەگرنەوە

In a frequency table the single values are gone. We only know how many values fall in each class. So we let the class midpoint (class mark) stand for every value of its class, and we count it as many times as the class frequency says.

لە خشتەیەکی دووبارەبوونەوەدا نرخە تاکەکان نەماون. تەنها دەزانین چەند نرخ دەکەونە هەر . بۆیە ڕێگە دەدەین جێگەی هەموو نرخەکانی ئەو بگرێتەوە و بە ئەندازەی هەژماری دەکەین.

\bar X = \frac{\sum_{i=1}^{m} X_i F_i}{\sum_{i=1}^{m} F_i}

Multiplying by $F_i$ is the same idea as adding repeated values: in 1, 1, 1, 2, 2 you can add $1 \cdot 3 + 2 \cdot 2 = 7$ and divide by 5. A class with 30 values must count 30 times, not once.

لێکدان لە $F_i$ هەمان بیرۆکەی کۆکردنەوەی نرخە دووبارەکانە: لە 1، 1، 1، 2، 2ـدا دەتوانیت $1 \cdot 3 + 2 \cdot 2 = 7$ کۆ بکەیتەوە و دابەشی 5ی بکەیت. کە ⁦30⁩ نرخی تێدایە دەبێت ⁦30⁩ جار هەژمار بکرێت، نەک یەک جار.

The grouped mean is an estimateناوەندی دراوەی پۆلێنکراو نزیکەییە

The midpoint is only a stand-in, so the grouped mean is usually a little off. For the 60 values of Example (1) the raw mean is $6969/60 = 116.15$ , while the grouped mean from Table (1) is $7020/60 = 117$ . The grouping hid the exact values.

تەنها جێگرەوەیە، بۆیە زۆرجار کەمێک جیاوازە. بۆ ⁦60⁩ نرخەکەی نموونەی ⁦(1)⁩ نرخە ڕەسەنەکان $6969/60 = 116.15$ ـە، بەڵام پۆلێنکراو لە خشتەی ⁦(1)⁩ـەوە $7020/60 = 117$ ـە. پۆلێنکردن نرخە ورد و ڕاستەکانی شاردەوە.

Mean, Median & Mode for a Grouped Frequency Data Table | StatisticsBrain Station · Englishئینگلیزی · 654K viewsبینین · 12K likesلایک · Partبەشی 0:34–3:56 (ofلە 9:47)
The mean of a grouped frequency table: find each class midpoint, multiply by its frequency, add the products and divide by the total frequency.
پۆلێنکراو: بۆ هەر ، لە بدە، لێکدراوەکان کۆ بکەرەوە و دابەشی کۆی بکە.
Watch 0:34–3:56, the mean; the rest of the video does the median and mode of grouped data.
لە ⁦0:34⁩ تا ⁦3:56⁩ سەیر بکە: ؛ ئەوانی تری ڤیدیۆکە و دەدۆزێتەوە.

Example (3): the mean of a frequency tableنموونەی ⁦(3)⁩: ناوەندی خشتەیەکی دووبارەبوونەوە

Example (3) asks for the arithmetic mean of Table (5): five classes of width 10 with frequencies 8, 26, 30, 20 and 16. Add a midpoint column $X_i$ and a product column $X_iF_i$ :

نموونەی ⁦(3)⁩ داوای خشتەی ⁦(5)⁩ دەکات: پێنج بە پانیی ⁦10⁩ و 8، ⁦26⁩، ⁦30⁩، ⁦20⁩ و ⁦16⁩. ستوونێک بۆ $X_i$ و ستوونێک بۆ لێکدانەکان $X_iF_i$ زیاد بکە:

Table (6), corrected: the first product is $8 \cdot 25 = 200$ خشتەی ⁦(6)⁩، ڕاستکراوە: یەکەم لێکدان $8 \cdot 25 = 200$ ـە
Class	$F_i$	$X_i$	$X_iF_i$
20–30	8	25	200
30–40	26	35	910
40–50	30	45	1350
50–60	20	55	1100
60–70	16	65	1040
Totalکۆ	$\sum F_i = 100$		$\sum X_iF_i = 4600$

\bar X = \frac{\sum X_iF_i}{\sum F_i} = \frac{4600}{100} = 46

Example (3): the mean of a frequency tableنموونەی ⁦(3)⁩: ناوەندی خشتەیەکی دووبارەبوونەوە

Example (3) as a picture, and a correctionنموونەی ⁦(3)⁩ وەک وێنە و ڕاستکردنەوەیەک

Every class counts as its midpoint, F times; the histogram balances at 46.هەر وەک F جار هەژمار دەکرێت؛ لە ⁦46⁩ هاوسەنگ دەبێت.CêIT

The course notes give 44 — the correct mean is 46تێبینییەکانی کۆرسەکە ⁦44⁩ دەدەن — ناوەندی ڕاست ⁦46⁩ـە

In the notes the first row's product is written as “ $8 \cdot 25$ ” and the total is given as $\sum X_iF_i = 4400$ , so $\bar X = 44$ . But $8 \cdot 25 = 200$ , and $200 + 910 + 1350 + 1100 + 1040 = 4600$ , so $\bar X = 46$ (checked with Python). The same table comes back in the moments lesson, where its numbers only fit a mean of 46. The notes also copy the class header “ $C_i = LL + 15 - 1 = UL$ ” from Table (1); these classes are continuous with width 10, so that header does not apply.

لە تێبینییەکاندا لێکدانی ڕیزی یەکەم وەک « $8 \cdot 25$ » نووسراوە و کۆکە $\sum X_iF_i = 4400$ نووسراوە، کەواتە $\bar X = 44$ . بەڵام $8 \cdot 25 = 200$ و $200 + 910 + 1350 + 1100 + 1040 = 4600$ ، کەواتە $\bar X = 46$ (بە Python پشکنراوە). هەمان خشتە لە وانەی مۆمێنتەکاندا دێتەوە کە ژمارەکانی تەنها لەگەڵ ⁦46⁩ دەگونجێن. هەروەها تێبینییەکان سەردێڕی « $C_i = LL + 15 - 1 = UL$ » لە خشتەی ⁦(1)⁩ـەوە کۆپی دەکەن؛ ئەم بەردەوامن و پانییان ⁦10⁩ـە، بۆیە ئەو سەردێڕە لێرەدا ناگونجێت.

Quick checkپشکنینی خێراA quick check: the mean of a frequency table must lie…پشکنینێکی خێرا: دەبێت…between the smallest and the largest midpointلە نێوان بچووکترین و گەورەترین خاڵی ناوەڕاستی کلاسدا بێتbelow the most frequent classلە خوار ئەو کلاسەوە بێت کە زۆرترین دووبارەبوونەوەی هەیەexactly on a midpointڕێک لەسەر خاڵێکی ناوەڕاستی کلاس بێت

The weighted mean: when some values count moreناوەندی قورسکراو: کاتێک هەندێک نرخ زیاتر هەژمار دەکرێن

In the arithmetic mean every value counts once. Sometimes values deserve different importance: a course with 3 hours a week should count more in a student's average than a course with 2 hours. The importance of each value is a number $W_i$ , its weight.

لە هەر نرخێک یەک جار هەژمار دەکرێت. هەندێک جار نرخەکان گرنگیی جیاوازیان هەیە: وانەیەک کە هەفتانە 3 کاتژمێرە دەبێت لە تێکڕای قوتابیدا زیاتر هەژمار بکرێت لە وانەیەکی 2 کاتژمێری. گرنگیی هەر نرخێک ژمارەیەکە $W_i$ ، .

Definitionپێناسە

A in which some values count more than others: $\bar{x}_w = \frac{\sum w_i x_i}{\sum w_i}$ , where $w_i$ is each value's .

کە تێیدا هەندێک نرخ لە هەندێکی تر زیاتر هەژمار دەکرێن: $\bar{x}_w = \frac{\sum w_i x_i}{\sum w_i}$ ، کە $w_i$ هەر نرخێکە.

\bar X_W = \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i W_i}{\sum_{i=1}^{n} W_i}

Buying tomatoes in the bazaarکڕینی تەماتە لە بازاڕ

You buy 2 kg of tomatoes at 1000 dinars a kilo and 1 kg at 1500 dinars. The average price per kilo is not $(1000+1500)/2 = 1250$ : you paid $2 \cdot 1000 + 1 \cdot 1500 = 3500$ for 3 kg, which is about 1167 dinars a kilo. The kilos are the weights.

2 کیلۆ تەماتە بە کیلۆی ⁦1000⁩ دینار و 1 کیلۆ بە ⁦1500⁩ دینار دەکڕیت. تێکڕای نرخی کیلۆیەک $(1000+1500)/2 = 1250$ نییە: $2 \cdot 1000 + 1 \cdot 1500 = 3500$ دینارت بۆ 3 کیلۆ داوە، واتە نزیکەی ⁦1167⁩ دینار بۆ هەر کیلۆیەک. کیلۆکان .

Where the analogy stops workingسنووری ئەم نموونەیە

Here the weights are real amounts. In other uses, such as marks and hours, the weights are a decision about importance that someone has to make.

لێرەدا بڕی ڕاستەقینەن. لە بەکارهێنانی تردا، وەک نمرە و کاتژمێر، بڕیارێکن دەربارەی گرنگی کە کەسێک دەبێت بیدات.

Quick checkپشکنینی خێرا3 kg of apples cost 2000 dinars a kilo and 1 kg costs 1000 dinars. What is the mean price per kilo?3 کیلۆ سێو کیلۆی بە ⁦2000⁩ دینار و 1 کیلۆ بە ⁦1000⁩ دینار. تێکڕای نرخی کیلۆیەک چەندە؟1500 dinars⁦1500⁩ دینار1750 dinars⁦1750⁩ دینار7000 dinars⁦7000⁩ دینار

Example (4): marks and course hoursنموونەی ⁦(4)⁩: نمرە و کاتژمێری وانەکان

A student has seven marks: 62, 80, 75, 88, 84, 86 and 90. The first three courses have 2 hours a week and the last four have 3 hours. Find the weighted mean with the hours as weights.

قوتابییەک حەوت نمرەی هەیە: ⁦62⁩، ⁦80⁩، ⁦75⁩، ⁦88⁩، ⁦84⁩، ⁦86⁩ و ⁦90⁩. سێ وانەی یەکەم هەفتانە 2 کاتژمێرن و چوار وانەی کۆتایی 3 کاتژمێر. بدۆزەرەوە، کاتژمێرەکان .

Table (8)خشتەی ⁦(8)⁩
Courseوانە	Mark $X_i$ نمرە $X_i$	Hours $W_i$ کاتژمێر $W_i$	$X_iW_i$
Course 1وانەی 1	62	2	124
Course 2وانەی 2	80	2	160
Course 3وانەی 3	75	2	150
Course 4وانەی 4	88	3	264
Course 5وانەی 5	84	3	252
Course 6وانەی 6	86	3	258
Course 7وانەی 7	90	3	270
Totalکۆ		$\sum W_i = 18$	$\sum X_iW_i = 1478$

\bar X_W = \frac{1478}{18} = 82.111 \qquad\qquad \bar X = \frac{565}{7} = 80.714

Quick checkپشکنینی خێراWhy is the weighted mean higher than the plain mean here?بۆچی لێرەدا لە ئاسایی بەرزترە؟Because 18 is bigger than 7چونکە ⁦18⁩ لە 7 گەورەترەThe 3-hour courses have the higher marks, and they count moreوانە 3 کاتژمێرییەکان نمرەی بەرزتریان هەیە و زیاتر هەژمار دەکرێنWeighted means are always higherناوەندە قورسکراوەکان هەمیشە بەرزترن

Example (4): marks and course hoursنموونەی ⁦(4)⁩: نمرە و کاتژمێری وانەکان

Seeing the weightsبینینی کێشەکان

Area = mark × hours. The weighted mean is the height of one bar with the same total area.ڕووبەر = نمرە × کاتژمێر. بەرزیی یەک ستوونە کە هەمان کۆی ڕووبەری هەبێت.CêIT

The weighted mean of grouped dataناوەندی قورسکراوی دراوەی پۆلێنکراو

In a frequency table each class already counts $F_i$ times. If each class also has a weight $W_i$ , its midpoint counts $F_i \times W_i$ times:

لە هەر پێشتر $F_i$ جار هەژمار دەکرێت. ئەگەر هەر $W_i$ ـیشی هەبێت، $F_i \times W_i$ جار هەژمار دەکرێت:

\bar X_W = \frac{\sum X_i F_i W_i}{\sum F_i W_i}

Example (5): Tables (9) and (10)نموونەی ⁦(5)⁩: خشتەکانی ⁦(9)⁩ و ⁦(10)⁩
Class	$X_i$	$F_i$	$W_i$	$F_iW_i$	$X_iF_iW_i$
2–4	3	4	6	24	72
4–6	5	5	5	25	125
6–8	7	6	6	36	252
8–10	9	3	4	12	108
10–12	11	2	4	8	88
Totalکۆ				$\sum F_iW_i = 105$	$\sum X_iF_iW_i = 645$

\bar X_W = \frac{645}{105} = 6.1429

Quick checkپشکنینی خێراIn Example (5), what does the class 6–8 add to the bottom of the fraction?لە نموونەی ⁦(5)⁩دا، ⁦6–8⁩ چەند دەخاتە سەر بەشی خوارەوەی کەرتەکە؟

F_i = 6

F_i = 6

X_iF_iW_i = 252

X_iF_iW_i = 252

F_iW_i = 6 \cdot 6 = 36

F_iW_i = 6 \cdot 6 = 36

Means in Pythonناوەندەکان لە Pythonـدا

Python's statistics module has mean() for ordinary data and fmean(), which accepts weights (Python 3.11 and later). The same function gives the grouped mean (weights = frequencies) and the weighted mean (weights = hours, or $F_i \times W_i$ ).

statisticsـی Python mean()ـی بۆ ئاسایی هەیە و fmean() کە weights وەردەگرێت (⁦Python 3.11⁩ و دواتر). هەمان پۆلێنکراو دەدات ( = ) و ( = کاتژمێرەکان، یان $F_i \times W_i$ ).

PYTHONType in a terminalلە تێرمیناڵدا بینووسە

import statistics as st

values = [8, 3, 5, 12, 10]                 # Example 2
print(st.mean(values))

midpoints = [25, 35, 45, 55, 65]           # Example 3
freq = [8, 26, 30, 20, 16]
print(st.fmean(midpoints, weights=freq))

marks = [62, 80, 75, 88, 84, 86, 90]       # Example 4
hours = [2, 2, 2, 3, 3, 3, 3]
print(round(st.fmean(marks, weights=hours), 4))
print(round(st.mean(marks), 4))            # no weights

X = [3, 5, 7, 9, 11]                       # Example 5
F = [4, 5, 6, 3, 2]
W = [6, 5, 6, 4, 4]
FW = [f * w for f, w in zip(F, W)]
print(FW)
print(round(st.fmean(X, weights=FW), 4))

Explain the codeڕوونکردنەوەی کۆدەکە

Lineدێڕی 4

mean() adds and divides by the number of values: 7.6.

mean() کۆ دەکاتەوە و دابەشی ژمارەی نرخەکان دەکات: ⁦7.6⁩.

Lineدێڕی 6-8

Midpoints with frequencies as weights give the grouped mean of Example (3): 46, not 44.

لەگەڵ وەک پۆلێنکراوی نموونەی ⁦(3)⁩ دەدەن: ⁦46⁩، نەک ⁦44⁩.

Lineدێڕی 10-13

Hours as weights: 82.1111; without weights: 80.7143.

کاتژمێرەکان وەک : ⁦82.1111⁩؛ بەبێ : ⁦80.7143⁩.

Lineدێڕی 15-20

For Example (5) the weight of each midpoint is $F_i \times W_i$ .

بۆ نموونەی ⁦(5)⁩ هەر $F_i \times W_i$ ـە.

Common mistakesهەڵە باوەکان

Mistakeهەڵە	What goes wrongچی تێک دەچێت	Do this insteadلە جیاتی ئەوە
Dividing by the number of classesدابەشکردن بەسەر ژمارەی	Example (3) gives $4600 \div 5 = 920$ — outside the dataنموونەی ⁦(3)⁩ دەبێتە $4600 \div 5 = 920$ — لە دەرەوەی	Divide by $\sum F_i$ دابەشی $\sum F_i$ بکە
Averaging the midpoints without $F_i$ تێکڕای بەبێ $F_i$	$(25 + 35 + 45 + 55 + 65) \div 5 = 45$ : every class counts once $(25 + 35 + 45 + 55 + 65) \div 5 = 45$ : هەر یەک جار هەژمار دەکرێت	Multiply each midpoint by its frequencyهەر لە بدە
Using a class limit instead of the midpointبەکارهێنانی لە جیاتی	Every value is pushed to one end of its classهەموو نرخەکان بۆ یەک لێواری پاڵ دەنرێن	$X_i = (LL + UL)/2$ $X_i = (LL + UL)/2$
Weighted mean divided by $n$ دابەش بە $n$	Example (4): $1478 \div 7 = 211.1$ , more than any markنموونەی ⁦(4)⁩: $1478 \div 7 = 211.1$ ، لە هەموو نمرەیەک زیاتر	Divide by $\sum W_i = 18$ دابەشی $\sum W_i = 18$ بکە
Averaging two averagesتێکڕای دوو تێکڕا	Groups of 20 (mean 70) and 30 (mean 80) give 76, not 75گرووپی ⁦20⁩ کەسی ( ⁦70⁩) و ⁦30⁩ کەسی ( ⁦80) 76⁩ دەدەن، نەک ⁦75⁩	Weight each mean by its group sizeهەر بە قەبارەی گرووپەکەی قورس بکە
Trusting one multiplicationمتمانەکردن بە یەک لێکدان	The 44 instead of 46 in Example (3)⁦44⁩ لە جیاتی ⁦46⁩ لە نموونەی ⁦(3)⁩دا	Redo the products, or check with Pythonلێکدانەکان دووبارە بکەرەوە، یان بە Python بیپشکنە

Quick checkپشکنینی خێراTwo classes take the same quiz. Class A has 20 students with mean 70; class B has 30 students with mean 80. What is the mean of all 50 students?دوو پۆل هەمان تاقیکردنەوە دەکەن. پۆلی ⁦A 20⁩ قوتابیی هەیە بە ⁦70⁩؛ پۆلی ⁦B 30⁩ قوتابیی هەیە بە ⁦80⁩. هەر ⁦50⁩ قوتابییەکە چەندە؟

76

76

75

75

150

150

Common mistakesهەڵە باوەکان

The mean and extreme valuesناوەند و نرخە زۆر دوورەکان

Quick checkپشکنینی خێراFive friends earn 400, 450, 500, 550 and 600 thousand dinars a month (mean 500). A sixth friend earns 5000. What happens to the mean of the six?پێنج هاوڕێ مانگانە ⁦400⁩، ⁦450⁩، ⁦500⁩، ⁦550⁩ و ⁦600⁩ هەزار دینار وەردەگرن ( ⁦500⁩). هاوڕێیەکی شەشەم ⁦5000⁩ وەردەگرێت. شەش کەسەکە چی بەسەر دێت؟It jumps to 1250بەرز دەبێتەوە بۆ ⁦1250⁩It stays about 500نزیکەی ⁦500⁩ دەمێنێتەوەIt becomes 5000دەبێتە ⁦5000⁩

Exercisesڕاهێنانەکان

ExerciseڕاهێنانA missing valueنرخێکی ون

The mean of five numbers is 9. Four of them are 7, 12, 5 and 10. What is the fifth number?

پێنج ژمارە 9ـە. چواریان 7، ⁦12⁩، 5 و ⁦10⁩ن. ژمارەی پێنجەم چەندە؟

Hintئاماژە

$\bar X \times n = \sum X_i$ : the mean times the number of values gives the sum.

$\bar X \times n = \sum X_i$ : جارانی ژمارەی نرخەکان کۆکە دەدات.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

The five numbers must add up to $5 \cdot 9 = 45$ . The four known ones add up to 34, so the fifth is $45 - 34 = 11$ .

پێنج ژمارەکە دەبێت کۆکەیان $5 \cdot 9 = 45$ بێت. کۆی چوار ژمارە زانراوەکە ⁦34⁩ـە، کەواتە پێنجەم $45 - 34 = 11$ ـە.

ExerciseڕاهێنانThe grouped mean of H.W (2)ناوەندی پۆلێنکراوی ڕاهێنانی ⁦(2)⁩

Table (4) of H.W (2) in the graphs lesson has eight classes 0–10, 10–20, …, 70–80 with frequencies 2, 8, 12, 18, 28, 22, 6, 4. Find its arithmetic mean.

خشتەی ⁦(4)⁩ی ڕاهێنانی ⁦(2)⁩ لە وانەی هێڵکارییەکان هەشت هەیە: ⁦0–10⁩، ⁦10–20⁩، …، ⁦70–80⁩، بە 2، 8، ⁦12⁩، ⁦18⁩، ⁦28⁩، ⁦22⁩، 6، 4. بدۆزەرەوە.

Hintئاماژە

Make the columns $X_i$ and $X_iF_i$ first.

سەرەتا ستوونەکانی $X_i$ و $X_iF_i$ دروست بکە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

Midpoints 5, 15, …, 75. $\sum X_iF_i = 10 + 120 + 300 + 630 + 1260 + 1210 + 390 + 300 = 4220$ and $\sum F_i = 100$ , so $\bar X = 4220/100 = 42.2$ .

5، ⁦15⁩، …، ⁦75⁩. $\sum X_iF_i = 10 + 120 + 300 + 630 + 1260 + 1210 + 390 + 300 = 4220$ و $\sum F_i = 100$ ، کەواتە $\bar X = 4220/100 = 42.2$ .

ExerciseڕاهێنانA semester averageتێکڕای وەرزێک

Hana's marks this semester: Mathematics 65 (4 units), Programming 92 (4 units), English 80 (2 units), Kurdish 95 (1 unit). Find her weighted average and compare it with the plain average.

نمرەکانی هانا لەم وەرزەدا: بیرکاری ⁦65 (4⁩ یەکە)، ⁦92 (4⁩ یەکە)، ئینگلیزی ⁦80 (2⁩ یەکە)، کوردی ⁦95 (1⁩ یەکە). بدۆزەرەوە و بەراوردی بکە بە تێکڕا ئاساییەکەی.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

\bar X_W = \frac{65\cdot4 + 92\cdot4 + 80\cdot2 + 95\cdot1}{4+4+2+1} = \frac{883}{11} = 80.27 \qquad \bar X = \frac{332}{4} = 83

ExerciseڕاهێنانSpot the slipهەڵەکە بدۆزەرەوە

A solution to Example (3) writes $\sum X_iF_i = 4400$ and $\bar X = 44$ . Without redoing the whole table, how can you find the slip?

چارەسەرێکی نموونەی ⁦(3)⁩ $\sum X_iF_i = 4400$ و $\bar X = 44$ دەنووسێت. بەبێ دووبارەکردنەوەی هەموو خشتەکە، چۆن هەڵەکە دەدۆزیتەوە؟

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

Check each product: 910, 1350, 1100 and 1040 are right, but the first row is $8 \cdot 25 = 200$ . With it the sum is 4600 and the mean 46. Python's fmean([25, 35, 45, 55, 65], weights=[8, 26, 30, 20, 16]) also gives 46.0.

هەر لێکدانێک بپشکنە: ⁦910⁩، ⁦1350⁩، ⁦1100⁩ و ⁦1040⁩ ڕاستن، بەڵام ڕیزی یەکەم $8 \cdot 25 = 200$ ـە. لەگەڵ ئەودا کۆکە ⁦4600⁩ و ⁦46⁩ـە. fmean([25, 35, 45, 55, 65], weights=[8, 26, 30, 20, 16])ـی Pythonـیش ⁦46.0⁩ دەدات.

ExerciseڕاهێنانBalance checkپشکنینی هاوسەنگی

Dilan's quiz marks are 12, 15, 11, 18 and 14. Find the mean and check that the deviations add up to zero.

نمرەکانی تاقیکردنەوەی دیلان ⁦12⁩، ⁦15⁩، ⁦11⁩، ⁦18⁩ و ⁦14⁩ن. بدۆزەرەوە و بپشکنە کە کۆی سفرە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

$\bar X = 70/5 = 14$ . Deviations: $-2, +1, -3, +4, 0$ ; their sum is $-2 + 1 - 3 + 4 + 0 = 0$ .

$\bar X = 70/5 = 14$ . : $-2, +1, -3, +4, 0$ ؛ کۆکەیان $-2 + 1 - 3 + 4 + 0 = 0$ ـە.

Summaryپوختە

Ungrouped mean: $\bar X = \sum X_i / n$ . It is the balance point: $\sum (X_i - \bar X) = 0$ .
Grouped mean: midpoints stand for their classes, $\bar X = \sum X_iF_i / \sum F_i$ . It is an estimate.
Weighted mean: $\bar X_W = \sum X_iW_i / \sum W_i$ ; grouped: $\sum X_iF_iW_i / \sum F_iW_i$ . A GPA is a weighted mean.
Example (3)'s correct mean is 46 (the notes' 44 comes from a wrong product).
In Python: statistics.mean() and statistics.fmean(data, weights=...).

: $\bar X = \sum X_i / n$ . خاڵی هاوسەنگییە: $\sum (X_i - \bar X) = 0$ .
: جێگەی دەگرنەوە، $\bar X = \sum X_iF_i / \sum F_i$ . نزیکەییە.
: $\bar X_W = \sum X_iW_i / \sum W_i$ ؛ بۆ : $\sum X_iF_iW_i / \sum F_iW_i$ . تێکڕای نمرەی زانکۆ .
ڕاستی نموونەی ⁦(3) 46⁩ـە (⁦44⁩ـی تێبینییەکان لە لێکدانێکی هەڵەوە هاتووە).
لە Pythonـدا: statistics.mean() و statistics.fmean(data, weights=...).

Review questionsپرسیارەکانی پێداچوونەوە

Why do we multiply each midpoint by its frequency?بۆچی هەر خاڵێکی ناوەڕاستی کلاس لە دووبارەبوونەوەکەی دەدەین؟

Because the midpoint stands for all $F_i$ values of its class, so it must be counted $F_i$ times.

چونکە جێگەی هەموو $F_i$ نرخەکەی دەگرێتەوە، بۆیە دەبێت $F_i$ جار هەژمار بکرێت.

When does the weighted mean equal the ordinary mean?ناوەندی قورسکراو کەی یەکسانە بە ناوەندی ئاسایی؟

When all weights are equal: they cancel from the top and the bottom.

کاتێک هەموو یەکسان بن: لە سەرەوە و خوارەوە لادەچن.

A list has mean 20. What is the sum of the deviations from 20?لیستێک ناوەندەکەی ⁦20⁩ـە. کۆی لادانەکان لە ⁦20⁩ چەندە؟

0 — always, for any list.

0 — هەمیشە، بۆ هەر لیستێک.

Lesson complete!وانەکە تەواو بوو!

Well done. Review the key terms, then go on to the next lesson.دەستخۆش. سەیرێکی زاراوە سەرەکییەکان بکەرەوە، پاشان بڕۆ بۆ وانەی داهاتوو.

Key termsزاراوە سەرەکییەکان

Next lessonوانەی داهاتوو

Geometric, Harmonic and Quadratic Meansناوەندی ئەندازەیی، ناوەندی هارمۆنیک و ناوەندی دووجایی

Related lecturesوانە پەیوەندیدارەکان

References and further readingسەرچاوەکان و خوێندنەوەی زیاتر

This lecture is a first edition. The Kurdish text and terminology are waiting for review by Kurdish IT teachers.ئەم وانەیە چاپی یەکەمە. دەقە کوردییەکە و زاراوەکانی چاوەڕێی پێداچوونەوەی مامۆستایانی کوردی بواری IT ن.