Half and Full Addersنیوەکۆکەرەوە و کۆکەرەوەی تەواو

In binary addition one column of two bits has only four cases: $0 + 0 = 0$, $0 + 1 = 1$, $1 + 0 = 1$ and $1 + 1 = 10$. The answer always fits in two bits: a sum bit S that stays in the column and a carry bit C that moves to the next column. So adding one column is just a truth table with two outputs:

لە کۆکردنەوەی دووانیدا ستوونێک لە دوو بیت تەنها چوار حاڵەتی هەیە: $0 + 0 = 0$، $0 + 1 = 1$، $1 + 0 = 1$ و $1 + 1 = 10$. وەڵامەکە هەمیشە لە دوو بیتدا جێ دەبێتەوە: بیتێکی کۆ S کە لە ستوونەکەدا دەمێنێتەوە و بیتێکی گواستراوە (Carry) C کە دەچێتە ستوونی دواتر. کەواتە کۆکردنەوەی یەک ستوون تەنها خشتەیەکی ڕاستییە (Truth table) بە دوو دەرخستە (Output):

Now compare the output columns with the gates you know. The S column is 1 when A and B are different — that is XOR. The C column is 1 only when both are 1 — that is AND. Notice that S is not OR: OR would give 1 for $1 + 1$. This is exactly where the OR-gate report went wrong when it called OR "binary addition".

ئێستا ستوونەکانی دەرخستە بەراورد بکە لەگەڵ گەیتەکان کە دەیانناسیت. ستوونی S کاتێک 1ـە کە A و B جیاواز بن — ئەوە XORـە. ستوونی C تەنها کاتێک 1ـە کە هەردووکیان 1 بن — ئەوە ANDـە. سەرنج بدە کە ⁦S OR⁩ نییە: OR بۆ $1 + 1$ دەیدا 1. ئەمە ڕێک ئەو شوێنەیە کە ڕاپۆرتی گەیتی OR هەڵەی کرد کاتێک ORـی ناو نا «کۆکردنەوەی دووانی».

So the circuit for one column is an XOR gate and an AND gate side by side, sharing the inputs A and B:

کەواتە سووڕی (Electric circuit) یەک ستوون بریتییە لە گەیتێکی XOR (XOR gate) و گەیتێکی AND (AND gate) لە تەنیشت یەک کە نێوخستەکانی (Input) A و B بەکار دەهێنن:

Why only "half"? A half adder has no input for a carry coming from the column on its right. It can add the rightmost column of a number, but no other column, because every other column may receive a carry.

بۆچی تەنها «نیوە»؟ نیوەکۆکەرەوە هیچ نێوخستەیەکی نییە بۆ گواستراوەیەک کە لە ستوونەکەی لای ڕاستییەوە دێت. دەتوانێت ستوونی هەرە ڕاستی ژمارەیەک کۆ بکاتەوە، بەڵام هیچ ستوونێکی تر نا، چونکە هەموو ستوونێکی تر لەوانەیە گواستراوەیەک وەربگرێت.

A full adder has three inputs — the two bits A and B and the carry in $C_{in}$ from the column on the right — and two outputs, S and the carry out $C_{out}$. The largest total is $1 + 1 + 1 = 3 = 11$ in binary, so two output bits are still enough.

کۆکەرەوەی تەواو سێ نێوخستەی هەیە — دوو بیتەکەی A و B و گواستراوەی هاتوو $C_{in}$ لە ستوونەکەی لای ڕاستەوە — و دوو دەرخستە: S و گواستراوەی دەرچوو $C_{out}$. گەورەترین کۆ $1 + 1 + 1 = 3 = 11$ـە بە دووانی (Binary)، بۆیە دوو بیتی دەرخستە هێشتا بەسن.

Reading the table: S is 1 when an odd number of inputs are 1 — a 3-input XOR, the same odd-parity idea as in XOR. $C_{out}$ is 1 when at least two inputs are 1. You can get $AB + AC_{in} + BC_{in}$ directly from a Karnaugh map of the minterms 3, 5, 6 and 7 (three overlapping pairs).

خوێندنەوەی خشتەکە: S کاتێک 1ـە کە ژمارەیەکی تاک لە نێوخستەکان 1 بن — XORـێکی سێ نێوخستە، هەمان بیرۆکەی پاریتیی تاک وەک لە XOR. $C_{out}$ کاتێک 1ـە کە لانیکەم دوو نێوخستە 1 بن. دەتوانیت $AB + AC_{in} + BC_{in}$ ڕاستەوخۆ بە نەخشەیەکی کارنۆ بۆ مینتێرمەکان (Minterm) 3، 5، 6 و 7 وەربگریت (سێ جووتی یەکتربڕ).

You do not need a new design. The first half adder adds A and B; the second adds $C_{in}$ to that partial sum. Each can produce a carry, and an OR gate joins the two carries:

پێویستت بە دیزاینێکی نوێ نییە. نیوەکۆکەرەوەی یەکەم A و B کۆ دەکاتەوە؛ دووەم $C_{in}$ بۆ ئەو کۆ ناتەواوە زیاد دەکات. هەر یەکێکیان دەتوانێت گواستراوەیەک دروست بکات و گەیتێکی OR دوو گواستراوەکان پێکەوە دەبەستێت:

Why is a simple OR enough for the two carries? They can never both be 1: the first carry needs $A = B = 1$, and then $A \oplus B = 0$, so the second half adder cannot carry. So the full adder costs 5 gates: 2 XOR, 2 AND and 1 OR.

بۆچی ORـێکی سادە بۆ دوو گواستراوەکە بەسە؟ هەرگیز هەردووکیان پێکەوە 1 نابن: گواستراوەی یەکەم پێویستی بە $A = B = 1$ـە و ئەو کاتە $A \oplus B = 0$، بۆیە نیوەکۆکەرەوەی دووەم ناتوانێت گواستراوە بدات. کەواتە کۆکەرەوەی تەواو 5 گەیت دەخایەنێت: ⁦2 XOR⁩، ⁦2 AND⁩ و ⁦1 OR⁩.

To add two 4-bit numbers $A_3A_2A_1A_0$ and $B_3B_2B_1B_0$, put four full adders side by side, one per column, and connect the carry out of each stage to the carry in of the stage on its left — exactly like carrying by hand. The first carry in, $C_0$, is 0 (that stage could even be a half adder). The last carry out, $C_4$, is the fifth bit of the answer.

بۆ کۆکردنەوەی دوو ژمارەی چوار بیتی $A_3A_2A_1A_0$ و $B_3B_2B_1B_0$، چوار کۆکەرەوەی تەواو لە تەنیشت یەک دابنێ (بۆ هەر ستوونێک یەکێک) و گواستراوەی دەرچووی هەر قۆناغێک ببەستە بە گواستراوەی هاتووی قۆناغەکەی لای چەپی — ڕێک وەک گواستنەوە بە دەست. یەکەم گواستراوەی هاتوو، $C_0$، 0ـە (ئەو قۆناغە تەنانەت دەتوانێت نیوەکۆکەرەوە بێت). دوایین گواستراوەی دەرچوو، $C_4$، پێنجەمین بیتی وەڵامەکەیە.

Example: $1011 + 0110$ ($11 + 6$). Each stage adds its two bits and the carry it receives:

نموونە: $1011 + 0110$ ($11 + 6$). هەر قۆناغێک دوو بیتەکەی و ئەو گواستراوەیەی وەری دەگرێت کۆ دەکاتەوە:

Reading S from stage 3 down to stage 0 and putting $C_4 = 1$ in front gives $1\,0001_2 = 17$ — the same result as adding by hand.

خوێندنەوەی S لە قۆناغی 3ـەوە بۆ قۆناغی 0 و دانانی $C_4 = 1$ لە پێشەوە $1\,0001_2 = 17$ دەدات — هەمان ئەنجامی کۆکردنەوە بە دەست.

Watch $0111 + 0001$. Stage 1 cannot finish until stage 0 has produced its carry, stage 2 waits for stage 1, and so on: the carry travels along the chain like a ripple on water.

سەیری $0111 + 0001$ بکە. قۆناغی 1 ناتوانێت تەواو بێت تا قۆناغی 0 گواستراوەکەی دروست نەکات، قۆناغی 2 چاوەڕێی قۆناغی 1 دەکات و بەم شێوەیە: گواستراوەکە بە درێژایی زنجیرەکە دەڕوات وەک شەپۆلێک لەسەر ئاو.

Each stage needs a little time, so the delay grows with the number of bits: a 64-bit ripple-carry adder must wait for the carry to pass 64 stages. Real processors therefore use faster adders that work out the carries in advance (called carry-lookahead adders). The idea of adding with full adders stays the same.

هەر قۆناغێک کەمێک کاتی پێویستە، بۆیە دواکەوتنەکە لەگەڵ ژمارەی بیتەکان زیاد دەبێت: کۆکەرەوەیەکی زنجیرەیی بە ⁦64⁩ بیت دەبێت چاوەڕێ بکات تا گواستراوەکە بە ⁦64⁩ قۆناغدا تێدەپەڕێت. بۆیە پرۆسێسەرە ڕاستەقینەکان کۆکەرەوەی خێراتر بەکار دەهێنن کە گواستراوەکان پێشوەختە هەژمار دەکەن (پێیان دەوترێت ⁦carry-lookahead⁩). بیرۆکەی کۆکردنەوە بە کۆکەرەوەی تەواو وەک خۆی دەمێنێتەوە.

Subtraction can also be built straight from gates. One column of $A - B$ has four cases (the subtraction rules): $0 - 0 = 0$, $1 - 0 = 1$, $1 - 1 = 0$, and $0 - 1$, which gives 1 and a borrow from the next column. A half subtractor has two outputs: the difference D and the borrow for the next column, $B_{out}$.

لێدەرکردنیش دەتوانرێت ڕاستەوخۆ بە گەیتەکان دروست بکرێت. یەک ستوونی $A - B$ چوار حاڵەتی هەیە (یاساکانی لێدەرکردن): $0 - 0 = 0$، $1 - 0 = 1$، $1 - 1 = 0$ و $0 - 1$ کە 1 دەدات لەگەڵ خواستن (Borrow) لە ستوونی دواتر. نیوەلێدەرکەر دوو دەرخستەی هەیە: جیاوازی D و خواستن بۆ ستوونی دواتر، $B_{out}$.

D is the same XOR as the adder's sum bit; only the borrow is new, and it is 1 only for $0 - 1$. Like the full adder, a full subtractor can be built from two half subtractors and an OR gate. Processors seldom use them: the next screen shows how one adder does both jobs with the 2's complement.

D هەمان XORـی بیتی کۆی کۆکەرەوەکەیە؛ تەنها خواستن نوێیە و تەنها بۆ $0 - 1$ یەکسانە بە 1. وەک کۆکەرەوەی تەواو، لێدەرکەری تەواو دەتوانرێت لە دوو نیوەلێدەرکەر و گەیتێکی OR دروست بکرێت. پرۆسێسەرەکان کەم بەکاریان دەهێنن: پەڕەی دواتر نیشان دەدات چۆن یەک کۆکەرەوە بە تەواوکەری دوو (2's complement) هەردوو کارەکە دەکات.

From signed arithmetic you know that $A - B$ is $A$ plus the 2's complement of B, and the 2's complement is "invert every bit, then add 1". A ripple-carry adder can do both with one extra control input, SUB:

لە ژمێرکاریی ژمارە نیشانەدارەکان دەزانیت کە $A - B$ یەکسانە بە $A$ زائید تەواوکەری دووی B و تەواوکەری دوو واتە «هەموو بیتێک پێچەوانە بکەرەوە، پاشان 1 زیاد بکە». کۆکەرەوەیەکی زنجیرەیی دەتوانێت هەردووکیان بکات بە یەک نێوخستەی کۆنترۆڵی زیادە، SUB:

This is how a processor's arithmetic unit does both + and − with one adder. Overflow is checked with the rule of the signed arithmetic lesson: it happens when the carry into the last stage differs from the carry out of it.

ئەمە ئەو ڕێگایەیە کە یەکەی ژمێرکاریی پرۆسێسەرێک بە یەک کۆکەرەوە هەم + و هەم − دەکات. سەرڕێژبوون (Overflow) بە ڕێسای وانەی ژمێرکاریی ژمارە نیشانەدارەکان دەپشکنرێت: ڕوو دەدات کاتێک گواستراوەی هاتوو بۆ دوایین قۆناغ جیاواز بێت لە گواستراوەی دەرچوو لێی.

With adders you have built a circuit that calculates. Here is the road so far, chapter by chapter:

بە کۆکەرەوەکان سووڕێکت دروست کرد کە ژمێرکاری دەکات. ئەمە ئەو ڕێگایەیە کە تا ئێستا بڕیوتە، بەش بە بەش:

Notice how this lesson ties the course together: binary addition became a circuit of logic gates, described with Boolean algebra.

سەرنج بدە چۆن ئەم وانەیە کۆرسەکە پێکەوە دەبەستێتەوە: کۆکردنەوەی دووانی بوو بە سووڕێک لە گەیتە لۆجیکییەکان کە بە جەبری بوول وەسف دەکرێت.

Every circuit so far is combinational: same inputs, same outputs, no memory. The course goes on. The next lesson, Simulating and Testing Logic Circuits, lets a computer check your circuits, and the last chapter, Building Blocks and Sequential Logic, adds bigger building blocks and circuits with memory. Here is the map of the road ahead.

هەموو سووڕێکی تا ئێستا تێکەڵەییـە: هەمان نێوخستە، هەمان دەرخستە، بێ بیرگە (Memory). کۆرسەکە بەردەوامە. وانەی دواتر فێرت دەکات چۆن کۆمپیوتەر سووڕەکانت تاقی بکاتەوە ⁦(simulation)⁩ و کۆتا بەش، بلۆکە بنیاتنەرەکان و سووڕە زنجیرەییەکان، بلۆکی گەورەتر و سووڕەکانی خاوەن بیرگە زیاد دەکات. ئەمە نەخشەی ڕێگای داهاتووە.

Put an adder–subtractor, a few logic operations (AND, OR, XOR) and a multiplexer together and you have an arithmetic logic unit. An ALU, registers and a control unit that follows a clock form a CPU. CêIT's Information Technology course continues from here: the CPU and its ALU, registers and buses and how a computer runs a program. For the English words of the parts inside a computer see Inside the computer.

کۆکەرەوە و لێدەرکەرێک، چەند کارێکی لۆجیکی (Logical operation) (AND، OR، XOR) و مەڵتیپلێکسەرێک (Multiplexer) پێکەوە دابنێ و یەکەی ژیربێژیی بیرکارییانەت (Arithmetic logic unit) دەبێت. ALU، تۆمارگەکان و یەکەیەکی جڵەوکردن (Control unit) کە سیگناڵی کاتژمێر پەیڕەو دەکات CPU پێک دەهێنن. کۆرسی تەکنەلۆژیای زانیاری (Information technology) لە CêIT لێرەوە بەردەوام دەبێت: CPU و ALU، تۆمارگەکان و تێپەڕگەکان و کۆمپیوتەر چۆن بەرنامەیەک جێبەجێ دەکات. بۆ وشە ئینگلیزییەکانی بەشەکانی ناو کۆمپیوتەر بڕوانە ناو کۆمپیوتەر.