Chapterبەش 3 · Lectureوانە 3.4

Skewness, Kurtosis and the Mean–Median–Mode Relationناهاوجێبوون، پلەی لووتکەیی و پەیوەندیی نێوان ناوەند، ناوەڕاستە و باو

The shape of a distribution: which way its tail stretches (skewness) and how it compares with the normal curve (kurtosis) — Pearson's mean–median–mode rule, Pearson's two skewness coefficients, the moment coefficient and the kurtosis measure, with the course's examples recomputed and corrected.

شێوەی دابەشبوونێک: کلکەکەی بەرەو کام لا درێژ دەبێتەوە () و چۆن بەراورد دەکرێت بە () — یاسای پیرسن بۆ ، و ، دوو هاوکۆلکەکەی پیرسن بۆ ، هاوکۆلکەی و پێوەری ، لەگەڵ نموونەکانی کۆرسەکە کە دووبارە حیساب و ڕاست کراونەتەوە.

18 min read19 خولەک خوێندنەوە · 18 stepsهەنگاو

What you will learnچی فێر دەبیت

Recognise positive, negative and zero skewness from a curve and from the order of the mean, median and mode.
Use Pearson's approximate rule to find one average from the other two.
Compute and interpret the skewness measures $\alpha_1$ , $\alpha_2$ and $\alpha_3$ .
Compute the kurtosis $B$ and name a curve mesokurtic, leptokurtic or platykurtic.

موجەب، سالب و سفر لە هێڵێکەوە و لە ڕیزبەندیی ، و بناسیتەوە.
یاسای نزیکەیی پیرسن بەکار بهێنیت بۆ دۆزینەوەی ناوەندێک لە دووەکەی تر.
پێوەرەکانی $\alpha_1$ ، $\alpha_2$ و $\alpha_3$ حیساب و لێک بدەیتەوە.
$B$ حیساب بکەیت و هێڵێک بە ، یان ناو بنێیت.

Same centre, different shapeهەمان ناوەڕاست، شێوەی جیاواز

Averages tell you where the data sit, and the standard deviation tells you how spread out they are. But two data sets can have the same mean and the same spread and still look different. The third thing to look at is the shape: is the histogram balanced, or does it stretch out further on one side?

پێت دەڵێن لە کوێدان و لادانی پێوانەیی پێت دەڵێت چەند پەرتن. بەڵام دوو دەتوانن هەمان و هەمان پەرتبوونیان هەبێت و هێشتا جیاواز دەربکەون. شتی سێیەم کە سەیری دەکەین شێوەیە: ئایا هاوسەنگە، یان بەلایەکدا زیاتر درێژ دەبێتەوە؟

Think of three everyday data sets. Waiting times for the university bus: most are short, a few are very long. Marks in an easy quiz: most are high, a few are very low. Heights of adult men in a city: as many a bit taller as a bit shorter than usual. The picture shows their three shapes.

بیر لە سێ ڕۆژانە بکەرەوە. کاتی چاوەڕوانیی پاسی زانکۆ: زۆربەی جار کورتە و هەندێک جار زۆر درێژ. نمرەی تاقیکردنەوەیەکی ئاسان: زۆربەیان بەرزن و چەند دانەیەک زۆر نزمن. باڵای پیاوە پێگەیشتووەکانی شارێک: ئەوانەی کەمێک لە ئاسایی درێژترن هێندەی ئەوانەن کە کەمێک کورتترن. وێنەکە سێ شێوەکەیان نیشان دەدات.

The three basic shapes. The mean (

\bar X

) is always the one pulled towards the long tail.سێ شێوە بنەڕەتییەکە. (

\bar X

) هەمیشە ئەوەیە کە بەرەو کلکە درێژەکە ڕادەکێشرێت.CêIT

Quick checkپشکنینی خێراIn a city most flats cost a normal price, but a few luxury villas cost ten times more. Which shape does a histogram of all house prices have?لە شارێکدا زۆربەی شوقەکان نرخی ئاساییان هەیە، بەڵام چەند ڤێلایەکی گران دە ئەوەندە نرخیان هەیە. نرخی هەموو خانووەکان چ شێوەیەکی هەیە؟Positively skewed: a long tail on the right (high prices)ناهاوجێبوونی موجەب: کلکێکی درێژ بەلای ڕاستدا (نرخە بەرزەکان)Negatively skewed: a long tail on the leftناهاوجێبوونی سالب: کلکێکی درێژ بەلای چەپداSymmetricهاوجێ

Skewness: which way the tail pointsناهاوجێبوون: کلکەکە بەرەو کوێیە

Definitionپێناسە

How much a distribution leans to one side. A long tail to the right is positive skewness (mean > median > mode); to the left, negative.

ئەوەیە کە دابەشبوونێک چەند بەلایەکدا لار بووەتەوە. کلکێکی درێژ بەلای ڕاستدا ناهاوجێبوونی ئەرێنییە ( > > )؛ بەلای چەپدا نەرێنییە.

The course notes define skewness as how far a frequency curve is from being symmetric: one side of the curve has a longer tail than the other. A curve is symmetric when a vertical line through its centre splits it into two mirror images.

تێبینییەکانی کۆرسەکە بەم شێوەیە پێناسە دەکەن: ئەوەی هێڵی چەماوەی چەند لە هاوجێبوون دوورە؛ واتە لایەکی هێڵەکە کلکێکی درێژتری هەیە لە لاکەی تر. هێڵێک هاوجێیە کاتێک هێڵێکی ستوونی کە بە ناوەڕاستیدا دەڕوات دوو نیوەی وەک وێنەی ئاوێنە لێ دروست بکات.

Longer tail on the right → positive skewness (skewed to the right).
Longer tail on the left → negative skewness (skewed to the left).
Both sides alike → skewness 0 (symmetric).

کلکی درێژتر بەلای ڕاستدا ← موجەب (لار بەرەو ڕاست).
کلکی درێژتر بەلای چەپدا ← سالب (لار بەرەو چەپ).
هەردوو لا وەک یەک ← 0ـە (هاوجێ).

Quick checkپشکنینی خێراThe marks in a very easy test: most students got 85–100 and a few got below 40. How is the distribution skewed?نمرەکانی تاقیکردنەوەیەکی زۆر ئاسان: زۆربەی قوتابیان ⁦85–100⁩یان هێنا و چەند کەسێک لە خوار ⁦40⁩. دابەشبوونەکە چۆن لارە؟Negatively (to the left)سالب (بەرەو چەپ)Not at all; it is symmetricهیچ؛ هاوجێیەPositively (to the right)موجەب (بەرەو ڕاست)

Skewness - Right, Left & Symmetric Distribution - Mean, Median, & Mode With Boxplots - StatisticsThe Organic Chemistry Tutor · Englishئینگلیزی · 938K viewsبینین · 15K likesلایک
Symmetric, right-skewed and left-skewed shapes, where the mean, median and mode sit in each, and how a box plot shows the skew.
شێوەی هاوجێ، لار بەرەو ڕاست و لار بەرەو چەپ؛ شوێنی ، و لە هەر یەکەیاندا، هەروەها چۆن پیشان دەدات.
Whole video: which way the tail points, and where the three averages sit
هەموو ڤیدیۆکە: کلکەکە بەرەو کام لا درێژ دەبێتەوە و سێ تێکڕاکە لە کوێ دادەنیشن.

Skewness: which way the tail pointsناهاوجێبوون: کلکەکە بەرەو کوێیە

Why so many data sets lean to the rightبۆچی زۆر کۆمەڵەدراوە بەرەو ڕاست لارن

Taxis at the garageتەکسییەکانی گەراج

At a shared-taxi garage in Erbil, most cars leave a few minutes after arriving, as soon as they are full. On a quiet afternoon one car may wait an hour. Plot the waiting times and you get a tall pile of short waits and a thin tail of long ones stretching to the right: positive skewness. Waiting times cannot be less than zero, but they can be very long, so the tail can only grow to the right.

لە گەراجێکی تەکسیی هاوبەش لە هەولێر، زۆربەی ئۆتۆمبێلەکان چەند خولەکێک دوای گەیشتنیان، هەر کە پڕ بوون، دەڕۆن. لە نیوەڕۆیەکی بێدەنگدا لەوانەیە ئۆتۆمبێلێک کاتژمێرێک چاوەڕێ بکات. گەر کاتەکانی چاوەڕوانی بکەیتە هێڵکاری، کۆمەڵێکی بەرز لە چاوەڕوانیی کورت و کلکێکی باریک لە چاوەڕوانیی درێژ دەبینیت کە بەرەو ڕاست درێژ دەبێتەوە: موجەب. کاتی چاوەڕوانی ناتوانێت لە سفر کەمتر بێت، بەڵام دەتوانێت زۆر درێژ بێت، بۆیە کلکەکە تەنها بەرەو ڕاست گەشە دەکات.

Where the analogy stops workingسنووری ئەم نموونەیە

Real waiting times are lumpy and depend on the hour; the analogy only shows why a quantity with a floor (0) but no ceiling usually has a right tail.

کاتی چاوەڕوانیی ڕاستەقینە ناڕێکە و بە کاتژمێری ڕۆژ دەگۆڕێت؛ ئەم بەراوردە تەنها ئەوە نیشان دەدات بۆچی بڕێک کە زەوییەکی هەیە ⁦(0)⁩ بەڵام بنمیچی نییە، زۆرجار کلکێکی ڕاستی هەیە.

Quick checkپشکنینی خێراWhich of these is most likely skewed to the right?کام لەمانە زیاتر دەگونجێت بەرەو ڕاست لار بێت؟The time it takes to download the same file many times over a busy networkئەو کاتەی دابەزاندنی هەمان فایل چەند جارێک بە ڕایەڵەیەکی قەرەباڵغدا دەیخایەنێتThe marks in a very easy testنمرەکانی تاقیکردنەوەیەکی زۆر ئاسانThe weights of 1 kg sugar bags filled by a good machineکێشی ئەو کیسە شەکرە 1 کیلۆییانەی ئامێرێکی باش پڕیان دەکات

Skewness: which way the tail pointsناهاوجێبوون: کلکەکە بەرەو کوێیە

Where the mean, median and mode sitناوەند، ناوەڕاستە و باو لە کوێدان

In a single-peaked curve the mode is under the peak (the most common value), the median cuts the area into two equal halves, and the mean is the balance point. Every value pulls the mean towards itself, and a value far out in the tail pulls hard. The median only counts how many values lie on each side, so a far value moves it very little. That is why the mean is pulled furthest into the tail.

لە هێڵێکی تاک‌لووتکەدا لە ژێر لووتکەکەدایە (باوترین نرخ)، ڕووبەرەکە دەکاتە دوو نیوەی یەکسان و خاڵی هاوسەنگییە. هەموو نرخێک بەرەو خۆی ڕادەکێشێت و نرخێکی دوور لە کلکەکەدا بەهێزتر ڕایدەکێشێت. تەنها دەژمێرێت چەند نرخ لە هەر لایەکن، بۆیە نرخێکی دوور زۆر کەم دەیجووڵێنێت. لەبەر ئەمە زیاتر لە هەمووان بەرەو ناو کلکەکە ڕادەکێشرێت.

Animation: a symmetric bell curve where mode, median and mean are one point slowly grows a long tail on the right. Frame by frame the three averages separate: the mode stays under the peak, the median moves a little to the right and the mean moves furthest. The last frame shows mean − mode = 0.71σ, about three times mean − median = 0.23σ. — As the right tail grows, the mean runs ahead of the median, and the median ahead of the mode.کاتێک کلکی ڕاست گەشە دەکات، لە پێش دەکەوێت و لە .CêIT

Quick checkپشکنینی خێراWhy is the mean pulled further into the tail than the median?بۆچی زیاتر لە بەرەو ناو کلکەکە ڕادەکێشرێت؟The mean uses the size of every value, so a far value pulls it hardناوەند قەبارەی هەموو نرخێک بەکار دەهێنێت، بۆیە نرخێکی دوور بە بەهێزی ڕایدەکێشێتThe mean is always the most common valueناوەند هەمیشە باوترین نرخەThe mean only counts how many values lie on each sideناوەند تەنها دەژمێرێت چەند نرخ لە هەر لایەکن

Skewness: which way the tail pointsناهاوجێبوون: کلکەکە بەرەو کوێیە

The usual order of the three averagesڕیزبەندیی ئاسایی سێ ناوەندەکە

Shapeشێوە	Usual orderڕیزبەندیی ئاسایی	Skewness
Symmetric, one peakهاوجێ، یەک لووتکە	$M_o = M_e = \bar X$	$0$
Long tail on the rightکلکی درێژ بەلای ڕاستدا	$M_o < M_e < \bar X$	positiveموجەب
Long tail on the leftکلکی درێژ بەلای چەپدا	$\bar X < M_e < M_o$	negativeسالب

A rule of thumb, not a lawیاسایەکی نزیکەیی، نەک یاسایەکی جێگیر

This order holds for smooth single-peaked curves, and it is what you should expect in the exam. Real data can break it, most often with whole-number (discrete) data or with two peaks, and a mean equal to the median does not prove that a data set is symmetric. Look at the graph, not only at the three numbers.

ئەم ڕیزبەندییە بۆ هێڵە چەماوە ڕێکەکانی خاوەن یەک لووتکە ڕاستە و لە تاقیکردنەوەدا ئەوە چاوەڕێ دەکرێت. ڕاستەقینە دەتوانن بیشکێنن، زۆرتر لە (پچڕاو) یان کاتێک دوو لووتکە هەبێت. هەروەها یەکسانبوونی و ئەوە ناسەلمێنێت کە هاوجێیە. سەیری هێڵکارییەکە بکە، نەک تەنها سێ ژمارەکە.

Pearson's mean–median–mode ruleیاسای پیرسن بۆ ناوەند، ناوەڕاستە و باو

The statistician Karl Pearson noticed a pattern in curves that are only moderately skewed and have one peak: the distance from the mode to the mean is about three times the distance from the median to the mean. Written as a formula, with the course's symbols $\bar X$ (mean), $M_e$ (median) and $M_o$ (mode):

ئاماریناس کارڵ پیرسن لە هێڵە چەماوەکاندا کە تەنها بە ڕادەیەکی مامناوەند لارن و یەک لووتکەیان هەیە، شێوازێکی تێبینی کرد: دووریی لە نزیکەی سێ ئەوەندەی دووریی لە . بە هێماکانی کۆرسەکە، $\bar X$ ()، $M_e$ () و $M_o$ ()، دەنووسرێت:

\bar X - M_o \approx 3\,(\bar X - M_e)

The notes rearrange this one rule into four more forms, so you can find any one average from the other two:

تێبینییەکان ئەم یەک یاسایە دەکەن بە چوار شێوەی تر، تا بتوانیت هەر ناوەندێک لە دووەکەی تر بدۆزیتەوە:

\begin{aligned} \bar X - M_e &\approx \frac{\bar X - M_o}{3} \\ \bar X &\approx \frac{3M_e - M_o}{2} \\ M_e &\approx \frac{2\bar X + M_o}{3} \\ M_o &\approx 3M_e - 2\bar X \end{aligned}

Approximately equal, not equalنزیکەی یەکسان، نەک یەکسان

The course notes print these five formulas with an equals sign. They are an empirical rule (found by looking at many real curves), not a theorem: they are only approximately true, and only for single-peaked curves with moderate skewness. They are exact only for a symmetric curve, where all three averages are equal and every difference is 0. Use them to estimate, and write $\approx$ .

تێبینییەکانی کۆرسەکە ئەم پێنج یاسایە بە نیشانەی یەکسانی دەنووسن. ئەمانە یاسایەکی ئەزموونین (لە سەیرکردنی زۆر هێڵی چەماوەی ڕاستەقینەوە دۆزراونەتەوە)، نەک سەلمێنراو: تەنها بە نزیکەیی ڕاستن و تەنها بۆ هێڵی خاوەن یەک لووتکە کە بە ڕادەیەکی مامناوەند لارن. تەنها بۆ هێڵێکی هاوجێ وردن، کە تێیدا هەر سێ ناوەندەکە یەکسانن و هەموو جیاوازییەکان 0ـن. بۆ خەمڵاندن بەکاریان بهێنە و $\approx$ بنووسە.

Quick checkپشکنینی خێراFor which kind of curve is Pearson's rule exactly true?یاسای پیرسن بۆ چ جۆرە هێڵێک ڕێک ڕاستە؟A symmetric curve, where all three averages are equalهێڵێکی هاوجێ، کە تێیدا هەر سێ ناوەندەکە یەکساننEvery single-peaked curveهەموو هێڵێکی تاک‌لووتکەEvery right-skewed curveهەموو هێڵێکی لار بەرەو ڕاست

Pearson's mean–median–mode ruleیاسای پیرسن بۆ ناوەند، ناوەڕاستە و باو

Example (19): the mean from the median and modeنموونەی ⁦(19)⁩: ناوەند لە ناوەڕاستە و باوەوە

Example (19): what is givenنموونەی ⁦(19)⁩: چی دراوە
The median is $M_e = 52$ and the mode is $M_o = 53$ . Find the mean.
$M_e = 52$ و $M_o = 53$ ـە. بدۆزەرەوە.
Use the mean formشێوەی ناوەند بەکار بهێنە
Put the two values into the form that has $\bar X$ alone:
هەردوو نرخەکە بخەرە ئەو شێوەیەی کە $\bar X$ بە تەنها تێیدایە:
$\bar X \approx \frac{3M_e - M_o}{2} = \frac{3(52) - 53}{2} = \frac{103}{2} = 51.5$
Check and read the shapeپشکنین و خوێندنەوەی شێوەکە
Check: $\bar X - M_o = 51.5 - 53 = -1.5$ and $3(\bar X - M_e) = 3(51.5 - 52) = -1.5$ . The mean (51.5) is the smallest of the three and the mode (53) the largest, so the curve has its long tail on the left: negatively skewed.
پشکنین: $\bar X - M_o = 51.5 - 53 = -1.5$ و $3(\bar X - M_e) = 3(51.5 - 52) = -1.5$ . ⁦(51.5)⁩ بچووکترینی هەر سێکەیە و ⁦(53)⁩ گەورەترینیان، بۆیە کلکە درێژەکەی هێڵەکە بەلای چەپـدایە: سالب.

Quick checkپشکنینی خێراA data set has mean 40 and median 42. Use Pearson's rule to estimate the mode. ⁦40⁩ و ⁦42⁩ـی هەیە. بە یاسای پیرسن بخەمڵێنە.

46

46

44

44

38

38

Three measures of skewnessسێ پێوەری ناهاوجێبوون

A picture shows the direction of the skew. A number also says how strong it is, so two data sets can be compared. Each measure below divides by the standard deviation $S$ , so the answer has no unit: skewness of marks and skewness of salaries can be compared directly.

وێنە ئاڕاستەی لاربوونەکە نیشان دەدات. ژمارەیەک دەشڵێت چەند بەهێزە، تا بتوانرێت دوو بەراورد بکرێن. هەر یەک لەم پێوەرانەی خوارەوە دابەش دەکات بە $S$ ، بۆیە وەڵامەکە یەکەی نییە: نمرەکان و مووچەکان ڕاستەوخۆ بەراورد دەکرێن.

\alpha_1 = \frac{\bar X - M_o}{S}

\alpha_2 = \frac{3\,(\bar X - M_e)}{S}

\alpha_3 = \frac{M_3}{\left(\sqrt{M_2}\right)^3} = \frac{M_3}{S^3}

The factor 3 in

\alpha_2

ژمارە 3 لە

\alpha_2

ـدا

The course notes print the median measure as $(\bar X - M_e)/S$ , without the 3. Pearson's median coefficient has the 3 in front: because $\bar X - M_o \approx 3(\bar X - M_e)$ , the 3 makes $\alpha_2$ come out close to $\alpha_1$ , so the two measures agree. Without it, $\alpha_2$ is only about one third of $\alpha_1$ . If a teacher asks for the notes' version, say which one you used.

تێبینییەکانی کۆرسەکە پێوەری بە $(\bar X - M_e)/S$ دەنووسن، بێ ژمارە 3. هاوکۆلکەی پیرسن ژمارە 3ـی لە پێشەوەیە: چونکە $\bar X - M_o \approx 3(\bar X - M_e)$ ، ژمارە 3 وا دەکات $\alpha_2$ نزیک بێت لە $\alpha_1$ و هەردوو پێوەرەکە یەک بگرنەوە. بەبێ 3، $\alpha_2$ تەنها نزیکەی سێیەکی $\alpha_1$ ـە. گەر مامۆستا شێوەی تێبینییەکانی داوا کرد، بڵێ کامەت بەکار هێناوە.

Quick checkپشکنینی خێراA data set has

\bar X = 60

,

M_o = 66

and

S = 12

. What is

\alpha_1

?

\bar X = 60

،

M_o = 66

و

S = 12

ـی هەیە.

\alpha_1

چەندە؟

-0.5

-0.5

0.5

0.5

-6

-6

What is skewness? A detailed explanation (with moments!)zedstatistics · Englishئینگلیزی · 156K viewsبینین · 3.4K likesلایک · Partبەشی 4:28–10:52 (ofلە 15:11)
Putting a number on skewness: Pearson's coefficients (mean − mode)/S and 3(mean − median)/S, and the moment coefficient M3/S³.
پێوانەکردنی بە ژمارە: پیرسن $(\text{mean} - \text{mode})/S$ و $3(\text{mean} - \text{median})/S$ ، هەروەها $M_3/S^3$ .
Watch 4:28–10:52: Pearson's mode and median coefficients and the moment coefficient
لە ⁦4:28⁩ تا ⁦10:52⁩ سەیر بکە: پیرسن بە و بە ، هەروەها .

Three measures of skewnessسێ پێوەری ناهاوجێبوون

Reading the signخوێندنەوەی نیشانەکە

How to read the sign of each measureچۆن نیشانەی هەر پێوەرێک بخوێنیتەوە
Resultئەنجام	$\alpha_1$	$\alpha_2$	$\alpha_3$	Shapeشێوە
equal to 0یەکسان بە 0	$\bar X = M_o$	$\bar X = M_e$	$M_3 = 0$	symmetricهاوجێ
positiveموجەب	$\bar X > M_o$	$\bar X > M_e$	$M_3 > 0$	positively skewed موجەب
negativeسالب	$\bar X < M_o$	$\bar X < M_e$	$M_3 < 0$	negatively skewed سالب

Why a cube in $\alpha_3$ ? Cubing keeps the sign of each deviation: values above the mean give positive cubes, values below give negative ones. Cubing also makes far values count much more than near ones, so whichever side has the longer tail wins the sum, and the sign of $M_3$ tells you that side. The moments themselves are explained in Coefficient of Variation and Moments.

بۆچی سێجا لە $\alpha_3$ ـدا؟ سێجاکردن نیشانەی هەر لادانێک دەپارێزێت: نرخەکانی سەرووی سێجای موجەب دەدەن و ئەوانەی خوارەوەی سێجای سالب. سێجاکردن هەروەها وا دەکات نرخە دوورەکان زۆر زیاتر لە نزیکەکان بژمێردرێن، بۆیە ئەو لایەی کلکی درێژتری هەیە کۆکە دەباتەوە و نیشانەی $M_3$ ئەو لایەت پێ دەڵێت. خودی لە هاوکۆلکەی گۆڕان و مۆمێنتەکان ڕوون کراونەتەوە.

Quick checkپشکنینی خێراFor a data set

\alpha_3 = -0.4

. What does this tell you?بۆ

\alpha_3 = -0.4

ـە. ئەمە چیت پێ دەڵێت؟The longer tail is on the right: positively skewedکلکە درێژترەکە بەلای ڕاستدایە: ناهاوجێبوونی موجەبThe data are symmetricدراوەکە هاوجێیەThe longer tail is on the left: negatively skewedکلکە درێژترەکە بەلای چەپدایە: ناهاوجێبوونی سالب

Three measures of skewnessسێ پێوەری ناهاوجێبوون

Example (9): a slightly right-skewed data setنموونەی ⁦(9)⁩: کۆمەڵەدراوەیەکی کەمێک لار بەرەو ڕاست

Example (9) gives $\bar X = 79.76$ , median $M_e = 79.0$ , mode $M_o = 77.5$ and $S = 15.60$ .

نموونەی ⁦(9)⁩ ئەمانە دەدات: $\bar X = 79.76$ ، $M_e = 79.0$ ، $M_o = 77.5$ و $S = 15.60$ .

\alpha_1 = \frac{79.76 - 77.5}{15.60} = \frac{2.26}{15.60} = 0.1449 > 0

\alpha_2 = \frac{3\,(79.76 - 79.0)}{15.60} = \frac{2.28}{15.60} = 0.1462 > 0

What the notes computedتێبینییەکان چییان حیساب کردووە

The notes compute $\alpha_2$ without the 3 and with the median 79.06 instead of the given 79.0: $(79.76 - 79.06)/15.60 = 0.0449$ . With the given median it is $(79.76 - 79.0)/15.60 = 0.0487$ . Every version is positive, so the conclusion is the same: slightly positively skewed.

تێبینییەکان $\alpha_2$ بەبێ 3 و بە ⁦79.06⁩ لە جیاتی ⁦79.0⁩ـی دراو حیساب دەکەن: $(79.76 - 79.06)/15.60 = 0.0449$ . بە دراو دەبێتە $(79.76 - 79.0)/15.60 = 0.0487$ . هەموو شێوەکان موجەبن، بۆیە دەرئەنجامەکە یەکە: کەمێک موجەب.

Quick checkپشکنینی خێراIn Example (9), why are

\alpha_1

and the corrected

\alpha_2

so close?لە نموونەی ⁦(9)⁩ـدا، بۆچی

\alpha_1

و

\alpha_2

ـی ڕاستکراوە ئەوەندە لە یەک نزیکن؟Because

S

is largeچونکە

S

گەورەیەBecause

\bar X - M_o \approx 3(\bar X - M_e)

, and the 3 in

\alpha_2

makes up for itچونکە

\bar X - M_o \approx 3(\bar X - M_e)

و ژمارە 3ـی ناو

\alpha_2

ئەمە قەرەبوو دەکاتەوەBecause the median equals the modeچونکە ناوەڕاستە یەکسانە بە باو

Three measures of skewnessسێ پێوەری ناهاوجێبوون

H.W (5): skewness from momentsئەرکی ⁦(5)⁩: ناهاوجێبوون لە مۆمێنتەکانەوە

H.W (5) gives a grouped frequency table and its moments about the mean, $M_2 = 8.5275$ and $M_3 = -2.6932$ , and asks for $\alpha_3$ .

ئەرکی ⁦(5)⁩ بۆ دەدات لەگەڵ لە دەوری ( $M_2 = 8.5275$ و $M_3 = -2.6932$ ) و داوای $\alpha_3$ دەکات.

H.W (5), with the last frequency corrected to 8ئەرکی ⁦(5)⁩، دوایین ڕاستکراوەتەوە بۆ 8
Class	Midpoint X X	Frequency F F
60–62	61	5
63–65	64	18
66–68	67	42
69–71	70	27
72–74	73	8
Totalکۆ		100

\alpha_3 = \frac{M_3}{\left(\sqrt{M_2}\right)^3} = \frac{-2.6932}{\left(\sqrt{8.5275}\right)^3} = \frac{-2.6932}{24.9019} = -0.1082

The last frequency is 8, not 5دوایین دووبارەبوونەوە 8ـە، نەک 5

The notes print 5 for the class 72–74. The moments given in the question only fit the frequencies 5, 18, 42, 27, 8 (total 100, mean 67.45; this is the same table used earlier in the course). With 5 the total would be 97 and the moments would change ( $M_2 = 7.81$ , $M_3 = -4.04$ ), giving $\alpha_3 = -0.185$ . The exact third moment is $-2.69325$ , which the notes round to $-2.6932$ .

تێبینییەکان بۆ ⁦72–74⁩ ژمارە 5 دەنووسن. ئەو کە لە پرسیارەکەدا دراون تەنها لەگەڵ 5، ⁦18⁩، ⁦42⁩، ⁦27⁩، 8 دەگونجێن (کۆ ⁦100⁩، ⁦67.45⁩؛ ئەمە هەمان خشتەیە کە پێشتر لە کۆرسەکەدا بەکار هاتووە). بە 5 کۆکە دەبێتە ⁦97⁩ و دەگۆڕێن ( $M_2 = 7.81$ ، $M_3 = -4.04$ ) و $\alpha_3$ دەبێتە $-0.185$ . سێیەمی ورد $-2.69325$ ـە کە تێبینییەکان بە $-2.6932$ نزیکی دەکەنەوە.

Quick checkپشکنینی خێراA student writes

\alpha_3 = M_3/(M_2)^3

. Which part is wrong?قوتابییەک دەنووسێت

\alpha_3 = M_3/(M_2)^3

. کام بەشی هەڵەیە؟Nothing; it is correctهیچ؛ ڕاستەThe denominator: it must be

(\sqrt{M_2})^3 = S^3

, not

(M_2)^3

ژێرەکە: دەبێت

(\sqrt{M_2})^3 = S^3

بێت، نەک

(M_2)^3

The numerator: it must be

M_2

سەرەکە: دەبێت

M_2

بێت

Kurtosis: compared with the normal curveپلەی لووتکەیی: بەراورد بە دابەشبوونی ئاسایی

Definitionپێناسە

How peaked or flat a distribution is compared with the . The excess kurtosis $B$ is 0 for the normal curve.

ئەوەیە کە دابەشبوونێک بە بەراورد لەگەڵ چەند لووتکەتیژ یان پانە. لووتکەیی زیادە $B$ بۆ چەماوەی ئاسایی 0ـە.

Skewness compares the two sides of a curve. Kurtosis compares a symmetric curve with the bell-shaped normal curve (the lesson The Normal Distribution later in this course is about it). The course notes say it measures how peaked or flat-topped the curve is. It is computed from the fourth and second moments about the mean:

دوو لای هێڵێک بەراورد دەکات. هێڵێکی هاوجێ بەراورد دەکات بە هێڵی زەنگئاسای (وانەی دابەشبوونی ئاسایی لە دواتری ئەم کۆرسەدا تایبەتە بەو). تێبینییەکانی کۆرسەکە دەڵێن ئەوە دەپێوێت هێڵەکە چەند لووتکەتیژ یان سەرپانـە. لە چوارەم و دووەم لە دەوری حیساب دەکرێت:

B = \frac{M_4}{(M_2)^2} - 3

Why minus 3? For the normal curve the ratio $M_4/(M_2)^2$ is exactly 3. Subtracting 3 makes the normal curve the zero point, so $B$ tells you how far a curve is from normal. This version is called excess kurtosis.

بۆچی کەمکردنەوەی 3؟ بۆ ڕێژەی $M_4/(M_2)^2$ ڕێک 3ـە. لابردنی 3 دەکاتە خاڵی سفر، بۆیە $B$ پێت دەڵێت هێڵێک چەند لە ئاسایی دوورە. ئەم شێوەیە پێی دەگوترێت زیادە ⁦(excess kurtosis)⁩.

Quick checkپشکنینی خێراA curve has

M_2 = 4

and

M_4 = 40

. What is

B

and what type is it?هێڵێک

M_2 = 4

و

M_4 = 40

ـی هەیە.

B

چەندە و چ جۆرێکە؟

B = 2.5

, leptokurtic

B = 2.5

، لووتکەتیژ

B = 7

, leptokurtic

B = 7

، لووتکەتیژ

B = -0.5

, platykurtic

B = -0.5

، لووتکەپان

Skewness and Kurtosis : the two summary stats they never taught youritvikmath · Englishئینگلیزی · 55K viewsبینین · 1.9K likesلایک · Partبەشی 6:53–10:42 (ofلە 13:38)
Kurtosis compares tails with the normal curve: excess kurtosis 0 is normal, positive means heavier tails (leptokurtic), negative lighter (platykurtic).
کلکەکان بە چەماوەی بەراورد دەکات: کاتێک کەم 3 سفرە، دابەشبوونەکە ئاساییە؛ موجەب واتە کلکی قورستر ()، سالب واتە کلکی سووکتر ().
Watch 6:53–10:42: kurtosis as tailedness, excess kurtosis 0 for the normal curve, lepto-, meso- and platykurtic
لە ⁦6:53⁩ تا ⁦10:42⁩ سەیر بکە: وەک قورسیی کلکەکان، کەم 3 کە بۆ چەماوەی ئاسایی سفرە، پاشان ، و .

Kurtosis: compared with the normal curveپلەی لووتکەیی: بەراورد بە دابەشبوونی ئاسایی

Pearson's three types of curveسێ جۆرە هێڵەکەی پیرسن

Pearson's three types of curve, all with the same mean and standard deviation.سێ جۆرە هێڵەکەی پیرسن، هەموویان بە هەمان و .CêIT

Mesokurtic (the normal curve): neither peaked nor flat, $B = 0$ .
Leptokurtic: more peaked than the normal curve, $B > 0$ .
Platykurtic: flatter than the normal curve, $B < 0$ .

(): نە لووتکەتیژە و نە پان، $B = 0$ .
: لە لووتکەتیژترە، $B > 0$ .
: لە پانترە، $B < 0$ .

Kurtosis is really about the tailsپلەی لووتکەیی لە ڕاستیدا پەیوەندیی بە کلکەکانەوە هەیە

Karl Pearson named the three types in 1905 by the look of the peak, and many books still describe kurtosis that way. Modern statisticians point out that $B$ is driven mostly by the tails: the fourth power makes values far from the mean count enormously, so a few outliers raise $B$ a lot, whatever the peak looks like. A high $B$ warns you: "expect extreme values". Examples: a flat uniform spread has $B = -1.2$ ; the sharp Laplace curve in the picture has $B = 3$ . (The notes spell the middle type "Measo-kurtic"; the standard spelling is mesokurtic.)

کارڵ پیرسن لە ساڵی ⁦1905⁩ سێ جۆرەکەی بە پێی شێوەی لووتکەکە ناونا و زۆر کتێب هێشتا بەو شێوەیە وەسف دەکەن. ئاماریناسانی ئەمڕۆ ئاماژە بەوە دەدەن کە $B$ زۆرتر بە کلکەکان دیاری دەکرێت: توانی چوار وا دەکات نرخە دوورەکان لە زۆر زیاتر بژمێردرێن، بۆیە چەند $B$ زۆر بەرز دەکەنەوە، شێوەی لووتکەکە هەرچۆنێک بێت. $B$ ـی بەرز ئاگادارت دەکاتەوە: «چاوەڕێی نرخی زۆر دوور بکە». نموونە: بڵاوبوونەوەیەکی پانی یەکسان $B = -1.2$ ـی هەیە؛ هێڵە تیژەکەی لاپلاس لە وێنەکەدا $B = 3$ ـی هەیە. (تێبینییەکان ناوی جۆری ناوەڕاست بە «⁦Measo-kurtic⁩» دەنووسن؛ ڕێنووسی ستاندارد mesokurticـە.)

Quick checkپشکنینی خێراA data set has a few values very far from the mean on both sides. What do you expect for

B

? چەند نرخێکی زۆر دوور لە لە هەردوو لاوە هەیە. چاوەڕێی چی دەکەیت بۆ

B

؟

B > 0

: heavy tails, leptokurtic

B > 0

: کلکی قورس، لووتکەتیژ

B < 0

: platykurtic

B < 0

: لووتکەپان

B = 0

, because the two sides cancel

B = 0

، چونکە دوو لاکە یەکتر لادەبەن

Kurtosis: compared with the normal curveپلەی لووتکەیی: بەراورد بە دابەشبوونی ئاسایی

Example (10)نموونەی ⁦(10)⁩

Example (10) uses the same table as H.W (5): $M_2 = 8.5275$ and $M_4 = 199.3759$ .

نموونەی ⁦(10)⁩ هەمان خشتەی ئەرکی ⁦(5)⁩ بەکار دەهێنێت: $M_2 = 8.5275$ و $M_4 = 199.3759$ .

\begin{aligned} B &= \frac{M_4}{(M_2)^2} - 3 = \frac{199.3759}{(8.5275)^2} - 3 \\ &= \frac{199.3759}{72.7183} - 3 = 2.7418 - 3 = -0.2582 < 0 \end{aligned}

Shape numbers in Pythonژمارەکانی شێوە لە Pythonـدا

Python's built-in statistics module has no skewness function, but the moments take only a few lines. This program recomputes H.W (5) and Example (10) from the table:

statistics لە Pythonـدا هیچ بۆ تێدا نییە، بەڵام تەنها چەند دێڕێک دەخایەنن. ئەم بەرنامەیە ئەرکی ⁦(5)⁩ و نموونەی ⁦(10)⁩ لە خشتەکەوە دووبارە حیساب دەکاتەوە:

Skewness and kurtosis of a frequency tableناهاوجێبوون و پلەی لووتکەیی بۆ خشتەیەکی دووبارەبوونەوەPYTHON

midpoints = [61, 64, 67, 70, 73]      # classes 60-62, 63-65, ..., 72-74
freq      = [5, 18, 42, 27, 8]        # H.W (5), last frequency corrected to 8

N = sum(freq)
mean = sum(f * x for x, f in zip(midpoints, freq)) / N

def moment(k):
    """k-th moment about the mean: sum F(X - mean)^k / N"""
    return sum(f * (x - mean) ** k for x, f in zip(midpoints, freq)) / N

M2, M3, M4 = moment(2), moment(3), moment(4)
alpha3 = M3 / M2 ** 1.5               # skewness
B = M4 / M2 ** 2 - 3                  # kurtosis (excess)

print(f"N = {N}, mean = {mean}")
print(f"M2 = {M2:.4f}, M3 = {M3:.4f}, M4 = {M4:.4f}")
print(f"alpha3 = {alpha3:.4f}")
print(f"B = {B:.4f}")

Explain the codeڕوونکردنەوەی کۆدەکە

Lineدێڕی 7-9

moment(k) is the k-th moment about the mean: each midpoint's distance from the mean, raised to the power k, weighted by its frequency.

moment(k) $k$ ـەمە لە دەوری : دووریی هەر لە ، بەرز کراوەتەوە بۆ توانی $k$ و بە کێش کراوە.

Lineدێڕی 12-13

M2 ** 1.5 is $(\sqrt{M_2})^3 = S^3$ ; M2 ** 2 is $(M_2)^2$ .

M2 ** 1.5 هەمان $(\sqrt{M_2})^3 = S^3$ ـە؛ M2 ** 2 هەمان $(M_2)^2$ ـە.

Software may give slightly different numbersلەوانەیە نەرمەکاڵا ژمارەی کەمێک جیاواز بدات

These are the population formulas used in the course. Spreadsheet functions such as SKEW, and packages such as SPSS, use an adjusted formula meant for small samples, so their answers differ a little for small data sets. SciPy's scipy.stats.skew and scipy.stats.kurtosis give exactly $\alpha_3$ and $B$ by default.

ئەمانە یاسا کۆمەڵگەییەکانن کە لە کۆرسەکەدا بەکار دێن. SKEW لە Excelـدا و وەک SPSS یاسایەکی ڕێکخراو بۆ بچووک بەکار دەهێنن، بۆیە وەڵامەکانیان بۆ بچووک کەمێک جیاوازە. scipy.stats.skew و scipy.stats.kurtosisـی SciPy بە شێوەی بنەڕەتی ڕێک $\alpha_3$ و $B$ دەدەن.

Common mistakesهەڵە باوەکان

Mistakeهەڵە	Correct ideaبیرۆکەی ڕاست
"The peak is on the right, so it is right-skewed."«لووتکەکە لە ڕاستە، کەواتە لار بەرەو ڕاستە.»	Skewness is named after the long tail. A peak on the right means a tail on the left: negative. بە ناوی کلکە درێژەکە ناو دەنرێت. لووتکە لە ڕاست واتە کلک لە چەپ: سالب.
Writing Pearson's rule with "=" and using it for any data.نووسینی یاسای پیرسن بە «=» و بەکارهێنانی بۆ هەموو .	It is $\approx$ , for single-peaked, moderately skewed curves only. $\approx$ ـە، تەنها بۆ هێڵی تاک‌لووتکەی بە ڕادەیەکی مامناوەند لار.
Forgetting the 3 in the median coefficient.لەبیرکردنی 3 لە هاوکۆلکەی .	$\alpha_2 = 3(\bar X - M_e)/S$ ; then $\alpha_2 \approx \alpha_1$ . $\alpha_2 = 3(\bar X - M_e)/S$ ؛ ئەوسا $\alpha_2 \approx \alpha_1$ .
Dividing $M_3$ by $(M_2)^3$ .دابەشکردنی $M_3$ بە $(M_2)^3$ .	Divide by $(\sqrt{M_2})^3 = S^3 = M_2^{1.5}$ .دابەشی بکە بە $(\sqrt{M_2})^3 = S^3 = M_2^{1.5}$ .
Forgetting the $-3$ in $B$ , so the normal curve gets 3.لەبیرکردنی $-3$ لە $B$ ـدا، بەمەش 3 وەردەگرێت.	$B = M_4/(M_2)^2 - 3$ ; for the normal curve $B = 0$ . $B = M_4/(M_2)^2 - 3$ ؛ بۆ $B = 0$ .
"The mean equals the median, so the data are symmetric."« و یەکسانن، کەواتە هاوجێیە.»	Usually true for smooth curves, but not a proof; look at the graph.بۆ هێڵە ڕێکەکان زۆرجار ڕاستە، بەڵام سەلماندن نییە؛ سەیری هێڵکارییەکە بکە.

Quick checkپشکنینی خێراWhich statement is correct?کام ڕستە ڕاستە؟A few very large outliers raise both

\alpha_3

and

B

.چەند بەهایەکی پەڕگری زۆر گەورە هەم

\alpha_3

و هەم

B

بەرز دەکەنەوە.A leptokurtic curve always has

B < 0

.هێڵێکی لووتکەتیژ هەمیشە

B < 0

ـی هەیە.Pearson's rule is exact for every right-skewed curve.یاسای پیرسن بۆ هەموو هێڵێکی لار بەرەو ڕاست وردە.

Exercisesڕاهێنانەکان

Exerciseڕاهێنان1. Example (19)1. نموونەی ⁦(19)⁩

The median of a distribution is 52 and the mode is 53. Estimate the mean and say which way the distribution is skewed.

دابەشبوونێک ⁦52⁩ و ⁦53⁩ـە. بخەمڵێنە و بڵێ دابەشبوونەکە بەرەو کام لا لارە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

\bar X \approx \frac{3M_e - M_o}{2} = \frac{156 - 53}{2} = 51.5

$\bar X < M_e < M_o$ ( $51.5 < 52 < 53$ ): negatively skewed, long tail on the left.

$\bar X < M_e < M_o$ ( $51.5 < 52 < 53$ ): سالب، کلکی درێژ بەلای چەپدا.

Exerciseڕاهێنان2. Find the median2. ناوەڕاستە بدۆزەرەوە

A moderately skewed distribution has mean 45 and mode 42. Estimate the median.

دابەشبوونێکی بە ڕادەیەکی مامناوەند لار ⁦45⁩ و ⁦42⁩ـی هەیە. بخەمڵێنە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

M_e \approx \frac{2\bar X + M_o}{3} = \frac{90 + 42}{3} = 44

Check: $\bar X - M_o = 3$ and $3(\bar X - M_e) = 3(1) = 3$ . $M_o < M_e < \bar X$ ( $42 < 44 < 45$ ): positively skewed.

پشکنین: $\bar X - M_o = 3$ و $3(\bar X - M_e) = 3(1) = 3$ . $M_o < M_e < \bar X$ ( $42 < 44 < 45$ ): موجەب.

Exerciseڕاهێنان3. Example (9)3. نموونەی ⁦(9)⁩

$\bar X = 79.76$ , $M_e = 79.0$ , $M_o = 77.5$ , $S = 15.60$ . Compute $\alpha_1$ and $\alpha_2$ and describe the shape.

$\bar X = 79.76$ ، $M_e = 79.0$ ، $M_o = 77.5$ ، $S = 15.60$ . $\alpha_1$ و $\alpha_2$ حیساب بکە و شێوەکە وەسف بکە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

\alpha_1 = \frac{2.26}{15.60} = 0.1449, \qquad \alpha_2 = \frac{3(0.76)}{15.60} = 0.1462

Both positive and small: slightly positively skewed. (The notes' $\alpha_2$ without the 3: 0.0487 with the given median, 0.0449 with 79.06.)

هەردووکیان موجەب و بچووکن: کەمێک موجەب. ( $\alpha_2$ ـی تێبینییەکان بەبێ ⁦3: 0.0487⁩ بە دراو و ⁦0.0449⁩ بە ⁦79.06.⁩)

Exerciseڕاهێنان4. H.W (5)4. ئەرکی ⁦(5)⁩

For the table 60–62: 5, 63–65: 18, 66–68: 42, 69–71: 27, 72–74: 8 the moments about the mean are $M_2 = 8.5275$ , $M_3 = -2.6932$ . Find $\alpha_3$ .

بۆ خشتەی ⁦60–62: 5⁩، ⁦63–65: 18⁩، ⁦66–68: 42⁩، ⁦69–71: 27⁩، ⁦72–74: 8⁩، لە دەوری $M_2 = 8.5275$ و $M_3 = -2.6932$ ـن. $\alpha_3$ بدۆزەرەوە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

\alpha_3 = \frac{-2.6932}{8.5275^{1.5}} = \frac{-2.6932}{24.9019} = -0.1082

Slightly negatively skewed.

کەمێک سالب.

Exerciseڕاهێنان5. Example (10)5. نموونەی ⁦(10)⁩

With $M_2 = 8.5275$ and $M_4 = 199.3759$ , find $B$ and name the type of curve.

بە $M_2 = 8.5275$ و $M_4 = 199.3759$ ، $B$ بدۆزەرەوە و جۆری هێڵەکە ناو بنێ.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

B = \frac{199.3759}{72.7183} - 3 = -0.2582

$B < 0$ , so the curve is platykurtic.

چونکە $B < 0$ ، هێڵەکە .

Exerciseڕاهێنان6. One outlier changes everything6. یەک بەهای پەڕگر هەموو شتێک دەگۆڕێت

Set 1 is 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 5. Set 2 is the same, but the 5 is replaced by 14. For each set, find the mean, median, mode, $\alpha_3$ and $B$ .

یەکەم بریتییە لە 1، 2، 2، 3، 3، 3، 4، 4، 5. دووەم هەمانە، بەڵام 5 بە ⁦14⁩ گۆڕدراوە. بۆ هەر یەکێکیان ، ، ، $\alpha_3$ و $B$ بدۆزەرەوە.

Hintئاماژە

Use $M_k = \sum (X - \bar X)^k / n$ . For Set 2 the mean is 4, so $M_3 = \sum (X - 4)^3 / 9$ .

$M_k = \sum (X - \bar X)^k / n$ بەکار بهێنە. بۆ دووەم 4ـە، بۆیە $M_3 = \sum (X - 4)^3 / 9$ .

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

Setکۆمەڵە	Mean	Median	Mode	$M_2$	$M_3$	$M_4$	$\alpha_3$	$B$
1	3	3	3	$4/3$	0	4	0	$-0.75$
2	4	3	3	$40/3$	106	1124	2.18	3.32

Set 1 is symmetric ( $\alpha_3 = 0$ ) and a little flat ( $B < 0$ ). Moving one value far out makes Set 2 strongly right-skewed ( $\alpha_3 = 2.18$ ) and leptokurtic ( $B = 3.32$ ): the mean jumps from 3 to 4 while the median and mode stay at 3.

یەکەم هاوجێیە ( $\alpha_3 = 0$ ) و کەمێک پانە ( $B < 0$ ). بردنی تەنها یەک نرخ بۆ دوور، دووەم بە بەهێزی بەرەو ڕاست لار دەکات ( $\alpha_3 = 2.18$ ) و دەکات ( $B = 3.32$ ): لە 3ـەوە بازدەدات بۆ 4 کەچی و لە 3 دەمێننەوە.

Exerciseڕاهێنان7. Which shape?7. کام شێوە؟

Say whether each is most likely positively skewed, negatively skewed or symmetric: (a) the number of children in families; (b) the age at which people retire; (c) the error of a well-made kitchen scale.

بڵێ هەر یەکێک لەمانە بە زۆری موجەبی هەیە، سالب، یان هاوجێیە: (أ) ژمارەی منداڵانی خێزانەکان؛ (ب) ئەو تەمەنەی خەڵک خانەنشین دەبن؛ (ج) هەڵەی تەرازوویەکی چێشتخانەی باش دروستکراو.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

(a) Positive: it cannot go below 0, but a few families are very large.
(b) Negative: most people retire near the legal age, a few retire much earlier.
(c) Symmetric: small errors up and down are equally likely.

(أ) موجەب: ناتوانێت لە 0 کەمتر بێت، بەڵام چەند خێزانێک زۆر گەورەن.
(ب) سالب: زۆربەی خەڵک نزیک تەمەنی یاسایی خانەنشین دەبن و چەند کەسێک زۆر زووتر.
(ج) هاوجێ: هەڵەی بچووکی سەرەوە و خوارەوە هێندەی یەک دەگونجێن.

Summaryپوختە

Skewness describes the tail: long right tail → positive; long left tail → negative; symmetric → 0.
The mean is pulled furthest into the tail: usually $M_o < M_e < \bar X$ for a right tail.
Pearson's rule (approximate): $\bar X - M_o \approx 3(\bar X - M_e)$ .
Measures: $\alpha_1 = (\bar X - M_o)/S$ , $\alpha_2 = 3(\bar X - M_e)/S$ , $\alpha_3 = M_3/S^3$ .
Kurtosis $B = M_4/(M_2)^2 - 3$ : $B = 0$ mesokurtic (normal), $B > 0$ leptokurtic, $B < 0$ platykurtic; it is driven mostly by the tails.

کلکەکە وەسف دەکات: کلکی درێژی ڕاست ← موجەب؛ کلکی درێژی چەپ ← سالب؛ هاوجێ ← 0.
زیاتر لە هەمووان بەرەو کلکەکە ڕادەکێشرێت: بۆ کلکی ڕاست زۆرجار $M_o < M_e < \bar X$ .
یاسای پیرسن (نزیکەیی): $\bar X - M_o \approx 3(\bar X - M_e)$ .
پێوەرەکان: $\alpha_1 = (\bar X - M_o)/S$ ، $\alpha_2 = 3(\bar X - M_e)/S$ ، $\alpha_3 = M_3/S^3$ .
$B = M_4/(M_2)^2 - 3$ : $B = 0$ (ئاسایی)، $B > 0$ ، $B < 0$ ؛ زۆرتر بە کلکەکان دیاری دەکرێت.

Review questionsپرسیارەکانی پێداچوونەوە

Why is the mean, not the median, pulled into the tail?بۆچی ناوەند، نەک ناوەڕاستە، بەرەو کلکەکە ڕادەکێشرێت؟

The mean uses the size of every value, so far values pull it strongly. The median only depends on the order of the values.

قەبارەی هەموو نرخێک بەکار دەهێنێت، بۆیە نرخە دوورەکان بە بەهێزی ڕایدەکێشن. تەنها پشت بە ڕیزبەندیی نرخەکان دەبەستێت.

What does

B = 0

mean?

B = 0

واتای چییە؟

The curve has the same kurtosis as the normal curve (mesokurtic).

هێڵەکە هەمان لەگەڵ هەیە ().

Why divide by

S

(or

S^3

) in the skewness measures?بۆچی لە پێوەرەکانی ناهاوجێبووندا بە

S

(یان

S^3

) دابەش دەکەین؟

To remove the unit, so data sets measured in different units can be compared.

بۆ لابردنی یەکەکە، تا کە بە یەکەی جیاواز پێوراون بەراورد بکرێن.

Lesson complete!وانەکە تەواو بوو!

Well done. Review the key terms, then go on to the next lesson.دەستخۆش. سەیرێکی زاراوە سەرەکییەکان بکەرەوە، پاشان بڕۆ بۆ وانەی داهاتوو.

Key termsزاراوە سەرەکییەکان

Next lessonوانەی داهاتوو

What Is Probability?ئەگەرێتی چییە؟

Related lecturesوانە پەیوەندیدارەکان

References and further readingسەرچاوەکان و خوێندنەوەی زیاتر

This lecture is a first edition. The Kurdish text and terminology are waiting for review by Kurdish IT teachers.ئەم وانەیە چاپی یەکەمە. دەقە کوردییەکە و زاراوەکانی چاوەڕێی پێداچوونەوەی مامۆستایانی کوردی بواری IT ن.