Chapterبەش 4 · Lectureوانە 4.1

The Six Trigonometric Functionsشەش نەخشە سێگۆشەییەکە

Radians and the unit circle first; then sine, cosine, tangent, cotangent, secant and cosecant, each with its domain, range, period and exact graph — including the corrected cosecant row of the notes.

سەرەتا و ؛ پاشان ، ، ، ، و ، هەریەکەیان لەگەڵ ، ، و هێڵکارییە وردەکەی — لەگەڵ ڕاستکردنەوەی ڕیزی لە تێبینییەکاندا.

18 min read20 خولەک خوێندنەوە · 21 stepsهەنگاو

What you will learnچی فێر دەبیت

Explain what one radian is and convert between degrees and radians.
Read $\sin\theta$ and $\cos\theta$ from the unit circle and give exact values at the common angles.
Define $\tan$ , $\cot$ , $\sec$ and $\csc$ from sine and cosine and say where each one is undefined.
State the domain, range and period of all six functions and recognise their graphs.

ڕوونی بکەیتەوە یەک چییە و و بۆ یەکتر بگۆڕیت.
$\sin\theta$ و $\cos\theta$ لەسەر بخوێنیتەوە و نرخە وردەکانی گۆشە باوەکان بڵێیت.
$\tan$ ، $\cot$ ، $\sec$ و $\csc$ لە و پێناسە بکەیت و بڵێیت هەریەکەیان لە کوێ پێناسە نەکراوە.
، و هەر شەش بڵێیت و هێڵکارییەکانیان بناسیتەوە.

Functions that repeatنەخشەکان کە دووبارە دەبنەوە

Many things repeat in cycles. A seat on a Ferris wheel goes up and down again and again. The hands of a clock come back to the same place every 12 hours. In IT, the electricity in a wall socket, sound, radio and are all waves that repeat. The trigonometric functions are the functions that describe this kind of repeating motion.

زۆر شت بە شێوەی خولی دووبارە دەبنەوە. کورسییەکی چەرخ و فەلەک جار لە دوای جار بەرز و نزم دەبێتەوە. میلەکانی کاتژمێر هەموو ⁦12⁩ کاتژمێرێک دەگەڕێنەوە هەمان شوێن. لە ITـدا کارەبای پریزی دیوار، دەنگ، ڕادیۆ و هەموویان شەپۆلن و دووبارە دەبنەوە. ئەم جۆرە جووڵە دووبارەبووەوەیە وەسف دەکەن.

Everyday analogyنموونەیەک لە ژیانی ڕۆژانەوە

Think of a Ferris wheel in a park. Watch one seat while the wheel turns. Its height above the centre of the wheel goes up, comes down, goes below the centre and comes back. After one full turn everything repeats exactly. For a wheel of radius 1, that height is the sine of the angle the wheel has turned.

بیر لە چەرخ و فەلەکێکی ناو پارکێک بکەرەوە. کاتێک چەرخەکە دەسووڕێتەوە سەیری یەک کورسی بکە. بەرزییەکەی لە سەرووی ناوەندی چەرخەکەوە بەرز دەبێتەوە، دادەبەزێت، دەچێتە خوار ناوەندەکە و دەگەڕێتەوە. دوای سووڕانەوەیەکی تەواو هەموو شتێک وەک خۆی دووبارە دەبێتەوە. بۆ چەرخێک بە نیوەتیرەی 1، ئەو بەرزییە ئەو گۆشەیەیە کە چەرخەکە پێی سووڕاوەتەوە.

Where the analogy stops workingسنووری ئەم نموونەیە

A real wheel has a radius of many metres and its centre is high above the ground, so the real height is the sine wave stretched and raised (see vertical stretch and shifting up). Here only the angle matters, not the speed of the wheel.

چەرخی ڕاستەقینە نیوەتیرەکەی چەند مەترێکە و ناوەندەکەی زۆر لە زەوییەوە بەرزە، بۆیە بەرزییە ڕاستەقینەکە هەمان شەپۆلی ، بەڵام درێژکراوەتەوە و بەرزکراوەتەوە (بڕوانە درێژکردنەوەی ستوونی و کشانەوە بەرەو سەرەوە). لێرەدا تەنها گۆشەکە گرنگە، نەک خێرایی چەرخەکە.

Quick checkپشکنینی خێراWhich of these is a good job for a trigonometric function?کامیان کارێکی گونجاوە بۆ ؟Adding up the prices on a shopping listکۆکردنەوەی نرخەکانی لیستی بازاڕکردنDescribing the height of a seat on a turning Ferris wheelوەسفکردنی بەرزیی کورسییەک لەسەر چەرخ و فەلەکێکی سووڕاوەCounting the students in a classژماردنی خوێندکارانی پۆلێک

Functions that repeatنەخشەکان کە دووبارە دەبنەوە

The six functions and their short namesشەش نەخشەکە و ناوە کورتەکانیان

The notes list them as function family number 6. There are six of them: sine ( $\sin$ ), cosine ( $\cos$ ), tangent ( $\tan$ ), cotangent ( $\cot$ ), secant ( $\sec$ ) and cosecant ( $\csc$ ). Sine and cosine come first; the other four are built from them. Before we can define them, we need a way to measure angles that works well in calculus: radians.

تێبینییەکان ئەمانە وەک خێزانی ژمارە 6ی دەناسێنن. شەشیان هەن: ( $\sin$ )، ( $\cos$ )، ( $\tan$ )، ( $\cot$ )، ( $\sec$ ) و ( $\csc$ ). و سەرەتان؛ چوارەکەی تر لەوانەوە دروست دەکرێن. پێش ئەوەی پێناسەیان بکەین، پێویستمان بە ڕێگایەکی پێوانی گۆشە هەیە کە لە کالکولەسدا باش کار بکات: .

Definitionپێناسە

One of the six functions sine, cosine, tangent, cotangent, secant and cosecant. They link an angle θ to the point $(\cos\theta,\sin\theta)$ on the , and their values repeat (they are periodic).

یەکێک لە شەش نەخشەکەی ، ، ، ، و . گۆشەی θ بە خاڵی $(\cos\theta,\sin\theta)$ لەسەر دەبەستنەوە و نرخەکانیان دووبارە دەبنەوە ( هەیە).

Quick checkپشکنینی خێراWhich two functions are the other four trigonometric functions built from?چوار تر لە کام دوو دروست دەکرێن؟Tangent and cotangentتانجێنت و کۆتانجێنتSecant and cosecantسێکانت و کۆسێکانتSine and cosineساین و کۆساین

Measuring angles in radiansپێوانی گۆشە بە ڕادیان

At school you measured angles in degrees: a full turn is 360°. Calculus uses a second unit, the radian. The notes already use it when they write angles such as $\frac{\pi}{2}$ and $n\pi$ , but they never define it — so here it is.

لە قوتابخانە گۆشەت بە دەپێوا: سووڕانەوەیەکی تەواو ⁦360°⁩ـە. کالکولەس یەکەیەکی دووەم بەکار دەهێنێت: . تێبینییەکان کاتێک گۆشەی وەک $\frac{\pi}{2}$ و $n\pi$ دەنووسن هەر ئەم یەکەیە بەکار دەهێنن، بەڵام هیچ کات پێناسەی ناکەن — بۆیە لێرەدا پێناسەی دەکەین.

Definitionپێناسە

A unit for angles: one radian is the angle at the centre of a circle that cuts off an arc as long as the radius. A full turn is $2\pi$ radians = 360°.

یەکەیەکی پێوانی گۆشەیە: یەک ڕادیان ئەو گۆشەیەیە لە ناوەندی بازنەدا کە کەوانەیەک بە درێژیی نیوەتیرە دەبڕێت. سووڕانەوەیەکی تەواو $2\pi$ ڕادیانە = ⁦360°⁩.

One radian: the arc is as long as the radius.: کەوانەکە هێندەی نیوەتیرەکە درێژە.CêIT

Why does a full turn equal $2\pi$ radians? The circumference of a circle is $2\pi r$ . So exactly $2\pi$ radius-lengths (about 6.28) fit around the circle. A full turn is $2\pi$ radians, half a turn is $\pi$ radians and a quarter turn is $\frac{\pi}{2}$ radians.

بۆچی سووڕانەوەیەکی تەواو دەکاتە $2\pi$ ؟ چێوەی بازنە $2\pi r$ ـە. واتە ڕێک $2\pi$ جار درێژیی نیوەتیرە (نزیکەی ⁦6.28⁩) بە دەوری بازنەکەدا جێدەبێتەوە. سووڕانەوەیەکی تەواو $2\pi$ ، نیو سووڕانەوە $\pi$ و چارەکە سووڕانەوەیەک $\frac{\pi}{2}$ .

360^\circ = 2\pi\ \text{rad}\qquad 180^\circ = \pi\ \text{rad}

What are Radians? | Radian (Unit of Plane Angle) | Infinity LearnSri Chaitanya Academy NEET · Englishئینگلیزی · 2.3M viewsبینین · 55K likesلایک · Partبەشی 0:00–2:14 (ofلە 5:40)
What one radian is (the arc as long as the radius), why a full turn is 2π radians, and how radians relate to degrees.
یەک چییە (ئەو گۆشەیەی کەوانەکەی هێندەی نیوەتیرە درێژە)، بۆچی خولێکی تەواو $2\pi$ ، هەروەها چ پەیوەندییەکیان بە هەیە.
Watch 0:00–2:14: degrees, what one radian is (0:46) and how radians relate to degrees (1:59). The rest converts degrees and radians, the next screen.
لە ⁦0:00⁩ تا ⁦2:14⁩ سەیر بکە: ، یەک چییە ⁦(0:46)⁩ و پەیوەندیی بە ⁦(1:59)⁩. ئەوەی دواتر دێت و بۆ یەکتر دەگۆڕێت، کە بابەتی شاشەی داهاتووە.

Measuring angles in radiansپێوانی گۆشە بە ڕادیان

Converting degrees and radiansگۆڕینی پلە و ڕادیان بۆ یەکتر

Because $180^\circ=\pi$ rad, divide both sides by 180 to get one degree, or by $\pi$ to get one radian:

لەبەر ئەوەی $180^\circ=\pi$ radـە، هەردوو لا دابەشی ⁦180⁩ بکە بۆ ئەوەی یەک بدۆزیتەوە، یان دابەشی $\pi$ بکە بۆ یەک :

1^\circ=\frac{\pi}{180}\ \text{rad}\qquad\qquad 1\ \text{rad}=\frac{180^\circ}{\pi}\approx57.3^\circ

Worked examplesنموونەی چارەسەرکراو

150° to radians⁦150°⁩ بۆ ڕادیان
$150\times\frac{\pi}{180}=\frac{150\pi}{180}=\frac{5\pi}{6}$ (divide 150 and 180 by 30).
$150\times\frac{\pi}{180}=\frac{150\pi}{180}=\frac{5\pi}{6}$ (⁦150⁩ و ⁦180⁩ دابەشی ⁦30⁩ بکە).
$\frac{7\pi}{4}$ to degrees $\frac{7\pi}{4}$ بۆ پلە
$\frac{7\pi}{4}\times\frac{180}{\pi}=\frac{7\times180}{4}=315^\circ$ . The $\pi$ cancels.
$\frac{7\pi}{4}\times\frac{180}{\pi}=\frac{7\times180}{4}=315^\circ$ . $\pi$ لە و لادەچێت.
1 radian in degrees1 ڕادیان بە پلە
$1\times\frac{180}{\pi}\approx57.3^\circ$ . One radian is a bit less than 60°.
$1\times\frac{180}{\pi}\approx57.3^\circ$ . یەک کەمێک لە ⁦60°⁩ کەمترە.

Common angles in both unitsگۆشە باوەکان بە هەردوو یەکەکە
Degrees	Radians
0°	$0$
30°	$\frac{\pi}{6}$
45°	$\frac{\pi}{4}$
60°	$\frac{\pi}{3}$
90°	$\frac{\pi}{2}$
120°	$\frac{2\pi}{3}$
135°	$\frac{3\pi}{4}$
150°	$\frac{5\pi}{6}$
180°	$\pi$
270°	$\frac{3\pi}{2}$
360°	$2\pi$

The unit circle: $\cos\theta=x$ and $\sin\theta=y$ بازنەی یەکە: $\cos\theta=x$ و $\sin\theta=y$

The unit circle is the circle with radius 1 and its centre at the origin. Put an angle $\theta$ on it like this: start on the positive x-axis and turn anticlockwise by $\theta$ (a negative angle turns clockwise). The arm you turned meets the circle at exactly one point $P=(x,y)$ . This one point gives the two basic functions:

ئەو بازنەیەیە کە نیوەتیرەکەی 1ـە و ناوەندەکەی . گۆشەی $\theta$ بەم شێوەیە لەسەری دابنێ: لە لای موجەبی x دەست پێبکە و $\theta$ بەپێچەوانەی ئاڕاستەی میلی کاتژمێر بسووڕێ (گۆشەی سالب بە ئاڕاستەی میلی کاتژمێر دەسووڕێت). ئەو قۆڵەی سووڕاندت ڕێک لە یەک خاڵدا بازنەکە دەبڕێت: $P=(x,y)$ . ئەم یەک خاڵە دوو دەدات:

\cos\theta = x\qquad\qquad \sin\theta = y

Cosine is the x-coordinate of P and sine is its y-coordinate. xـی خاڵی Pـە و yـیەتی.CêIT

Each angle gives exactly one point, so $\cos$ and $\sin$ are real functions: one input angle, one output number. You may turn as far as you like in either direction, so every real number is an allowed angle: the domain of both is $\mathbb{R}$ .

هەر گۆشەیەک ڕێک یەک خاڵ دەدات، بۆیە $\cos$ و $\sin$ ڕاستەقینەن: یەک گۆشە دێتە ژوورەوە و یەک ژمارە دەردەچێت. دەتوانیت بە هەر دوو ئاڕاستەکەدا تا هەر کوێ بتەوێت بسووڕێیت، بۆیە هەموو گۆشەیەکی ڕێگەپێدراوە: هەردووکیان $\mathbb{R}$ ـە.

“Radian line” and “the circle”«هێڵی ڕادیان» و «بازنەکە»

The notes say the point is where the “radian line” meets “the circle”. More exactly: the terminal side of the angle (the arm you turned) meets the unit circle, so the radius must be 1. On a circle of radius $r$ the point is $(r\cos\theta,\ r\sin\theta)$ .

تێبینییەکان دەڵێن خاڵەکە ئەو شوێنەیە کە «هێڵی » «بازنەکە» دەبڕێت. بە وردی: قۆڵی کۆتایی گۆشەکە (ئەو قۆڵەی سووڕاندت) دەبڕێت، بۆیە نیوەتیرەکە دەبێت 1 بێت. لەسەر بازنەیەک بە نیوەتیرەی $r$ خاڵەکە $(r\cos\theta,\ r\sin\theta)$ ـە.

The unit circle: $\cos\theta=x$ and $\sin\theta=y$ بازنەی یەکە: $\cos\theta=x$ و $\sin\theta=y$

Exact values at the common anglesنرخە وردەکان لە گۆشە باوەکاندا

For a few angles the point $P$ is known exactly; they come from the half-square (45°) and half-equilateral (30°–60°) triangles. Learn the first-quadrant values below — every other quadrant has the same numbers with signs that depend on the quadrant.

بۆ چەند گۆشەیەک خاڵی $P$ بە وردی دەزانرێت؛ لە سێگۆشەی نیوەی چوارگۆشە ⁦(45°)⁩ و نیوەی سێگۆشەی یەکلا ⁦(30°–60°)⁩ـەوە دێن. نرخەکانی چارەکی یەکەمی خوارەوە فێربە — هەموو چارەکەکانی تر هەمان ژمارەیان هەیە، تەنها هێماکانیان بەپێی چارەکەکە دەگۆڕێت.

Sine, cosine and tangent at the common first-quadrant angles، و لە گۆشە باوەکانی چارەکی یەکەمدا
$\theta$	$0$	$\frac{\pi}{6}$	$\frac{\pi}{4}$	$\frac{\pi}{3}$	$\frac{\pi}{2}$
$\sin\theta$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt2}{2}$	$\frac{\sqrt3}{2}$	$1$
$\cos\theta$	$1$	$\frac{\sqrt3}{2}$	$\frac{\sqrt2}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$
$\tan\theta$	$0$	$\frac{\sqrt3}{3}$	$1$	$\sqrt3$	undefinedپێناسە نەکراوە

The common angles in radians. Coordinates in one quadrant give the values in all four.گۆشە باوەکان بە . یەک چارەک نرخەکانی هەر چوار چارەکەکە دەدەن.CêIT

Example: the point at $\frac{2\pi}{3}$ (120°) is the mirror image of the point at $\frac{\pi}{3}$ in the y-axis: $\left(-\frac12,\frac{\sqrt3}{2}\right)$ . So $\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac12$ and $\sin\frac{2\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}$ .

نموونە: خاڵی $\frac{2\pi}{3}$ ⁦(120°)⁩ وێنەی ئاوێنەیی خاڵی $\frac{\pi}{3}$ ـە بەرامبەر y: $\left(-\frac12,\frac{\sqrt3}{2}\right)$ . کەواتە $\cos\frac{2\pi}{3}=-\frac12$ و $\sin\frac{2\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}$ .

لەڕێی ئەم فێرکاریە چیتر پێویستت بە بەکارهێنانی حاسیبە نابێت بۆ زانینی گۆشەکانی sinو cosو tanAbdullghafur Aziz · Kurdish (Sorani)کوردی (سۆرانی) · 24K viewsبینین · 1.3K likesلایک
In Kurdish: how to find the exact sine, cosine and tangent of the common angles without a calculator.
بە کوردی: چۆن نرخی وردی ، و گۆشە باوەکان بەبێ دەدۆزیتەوە.
Sorani; exact values of sin, cos and tan at the common angles, worked without a calculator.
بە سۆرانی: نرخە وردەکانی ، و لە گۆشە باوەکاندا، بەبێ دەدۆزرێنەوە.

The unit circle: $\cos\theta=x$ and $\sin\theta=y$ بازنەی یەکە: $\cos\theta=x$ و $\sin\theta=y$

Watch sine being drawnسەیری کێشانی ساین بکە

Now let $P$ travel once around the unit circle, from $\theta=0$ to $\theta=2\pi$ . Its height $y=\sin\theta$ is copied across to a graph whose horizontal axis is the angle $\theta$ . The copied heights draw the graph of sine.

ئێستا با $P$ جارێک بە دەوری بگەڕێت، لە $\theta=0$ ـەوە تا $\theta=2\pi$ . بەرزییەکەی، واتە $y=\sin\theta$ ، دەگوازرێتەوە بۆ هێڵکارییەک کە ئاسۆییەکەی گۆشەی $\theta$ ـە. ئەو بەرزییە گوازراوانە هێڵکاریی دەکێشن.

Animation in nine steps. On the left, a point P moves anticlockwise around the unit circle in steps of π/4. Its height is shown as an orange vertical bar. A dashed line carries the same height to a graph on the right, where the bar stands at x = θ and the sine curve is drawn up to that point. The readout under the pictures shows θ and sin θ: 0 and 0, π/4 and about 0.71, π/2 and 1, and so on down to −1 at 3π/2 and back to 0 at 2π. In the last frame the whole wave from 0 to 2π is drawn: one full turn is one period. — The height of P on the unit circle draws the graph of sine.بەرزیی P لەسەر هێڵکاریی دەکێشێت.CêIT

The height never goes above $1$ or below $-1$ : the range of sine is $[-1,1]$ .
After one full turn ( $2\pi$ ) $P$ is back where it started, so the curve repeats: the period of sine is $2\pi$ .
Cosine is the same story told with the x-coordinate (the shadow of P on the x-axis).

بەرزییەکە هەرگیز لە $1$ زیاتر و لە $-1$ کەمتر نابێت: $[-1,1]$ ـە.
دوای سووڕانەوەیەکی تەواو ( $2\pi$ ) $P$ دەگەڕێتەوە شوێنی دەستپێکی، بۆیە هێڵکارییەکە دووبارە دەبێتەوە: $2\pi$ ـە.
هەمان چیرۆکە بەڵام بە x (سێبەری P لەسەر x).

Quick checkپشکنینی خێراIn the animation, what happens after P has turned

2\pi

?لە ئەنیمەیشنەکەدا، دوای ئەوەی P

2\pi

سووڕایەوە چی ڕوودەدات؟The wave keeps getting higherشەپۆلەکە بەردەوام بەرزتر دەبێتThe same wave is drawn againهەمان شەپۆل دووبارە دەکێشرێتەوەThe graph stops, because sine is defined only up to

2\pi

هێڵکارییەکە دەوەستێت، چونکە ساین تەنها تا

2\pi

پێناسە کراوە

Why $\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$ بۆچی $\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$

The point $P=(x,y)$ lies on the unit circle, so its distance from the origin is 1. By Pythagoras' theorem in the right triangle under $P$ , $x^2+y^2=1$ . Now write $\cos\theta$ for $x$ and $\sin\theta$ for $y$ :

خاڵی $P=(x,y)$ لەسەر ، بۆیە دووریی لە 1ـە. بەپێی فیساغۆرس لە سێگۆشە گۆشەوەستاوەکەی ژێر $P$ دا، $x^2+y^2=1$ . ئێستا لە جیاتی $x$ بنووسە $\cos\theta$ و لە جیاتی $y$ بنووسە $\sin\theta$ :

\cos^2\theta+\sin^2\theta=1

Reading

\cos^2\theta

خوێندنەوەی

\cos^2\theta

$\cos^2\theta$ means $(\cos\theta)^2$ : first take the cosine, then square it. It does not mean $\cos(\theta^2)$ . The notes write the same identity once with $\theta$ and once with $x$ as the angle ( $\cos^2x+\sin^2x=1$ ); the letter does not matter, but do not confuse this $x$ (an angle) with the x-coordinate of $P$ .

$\cos^2\theta$ واتە $(\cos\theta)^2$ : سەرەتا وەربگرە، پاشان دووجای بکە. واتای $\cos(\theta^2)$ نییە. تێبینییەکان هەمان جارێک بە $\theta$ و جارێک بە $x$ وەک گۆشە دەنووسن ( $\cos^2x+\sin^2x=1$ )؛ پیتەکە گرنگ نییە، بەڵام ئەم $x$ ـە (کە گۆشەیە) لەگەڵ xـی $P$ تێکەڵ مەکە.

Worked example: from sine to cosineنموونەی چارەسەرکراو: لە ساینەوە بۆ کۆساین

Given $\sin\theta=\frac35$ and $0<\theta<\frac{\pi}{2}$ . Put it into the identity: $\cos^2\theta=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$ .
دراوە: $\sin\theta=\frac35$ و $0<\theta<\frac{\pi}{2}$ . بیخە ناو : $\cos^2\theta=1-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$ .
So $\cos\theta=\pm\frac45$ . The angle is in the first quadrant, where cosine is positive: $\cos\theta=\frac45$ .
کەواتە $\cos\theta=\pm\frac45$ . گۆشەکە لە چارەکی یەکەمدایە، کە تێیدا موجەبە: $\cos\theta=\frac45$ .

The next lesson, Trigonometric identities, builds seven more identities on this one.

وانەی داهاتوو، هاوئەنجامە سێگۆشەییەکان، حەوت تر لەسەر ئەمە بنیات دەنێت.

Quick checkپشکنینی خێراIf

\cos\theta=0.6

and

\theta

is in the fourth quadrant, what is

\sin\theta

?ئەگەر

\cos\theta=0.6

بێت و

\theta

لە چارەکی چوارەمدا بێت،

\sin\theta

چەندە؟

-0.8

-0.8

0.8

0.8

0.4

0.4

-0.4

-0.4

Four more functions from sine and cosineچوار نەخشەی تر لە ساین و کۆساینەوە

The other four trigonometric functions are quotients and of sine and cosine — that is, of the coordinates of $P$ :

چوار تر لە دابەشکردنی و یان لە ئەوانەوە دێن — واتە لە $P$ ـەوە:

\begin{aligned}\tan\theta&=\frac{\sin\theta}{\cos\theta}=\frac{y}{x} & \cot\theta&=\frac{\cos\theta}{\sin\theta}=\frac{x}{y}\\[4pt] \sec\theta&=\frac{1}{\cos\theta}=\frac{1}{x} & \csc\theta&=\frac{1}{\sin\theta}=\frac{1}{y}\end{aligned}

A fraction is undefined when its denominator is 0. On the unit circle, $x=0$ at the top and bottom of the circle ( $\theta=\frac{\pi}{2}+n\pi$ ): there $\tan$ and $\sec$ are undefined. $y=0$ on the x-axis ( $\theta=n\pi$ ): there $\cot$ and $\csc$ are undefined. Here and below, $n$ is any integer ( $n\in\mathbb{Z}$ ).

پێناسە نەکراوە کاتێک 0 بێت. لەسەر ، $x=0$ ـە لە سەرەوە و خوارەوەی بازنەکە ( $\theta=\frac{\pi}{2}+n\pi$ ): لەوێ $\tan$ و $\sec$ پێناسە نەکراون. $y=0$ ـە لەسەر x ( $\theta=n\pi$ ): لەوێ $\cot$ و $\csc$ پێناسە نەکراون. لێرە و لە خوارەوە $n$ هەر دەتوانێت بێت ( $n\in\mathbb{Z}$ ).

Worked example: all six from one pointنموونەی چارەسەرکراو: هەر شەشیان لە یەک خاڵەوە

With $\sin\theta=\frac35$ and $\cos\theta=\frac45$ (the example above): $\tan\theta=\frac{3/5}{4/5}=\frac34$ and $\cot\theta=\frac43$ .
بە $\sin\theta=\frac35$ و $\cos\theta=\frac45$ (نموونەکەی سەرەوە): $\tan\theta=\frac{3/5}{4/5}=\frac34$ و $\cot\theta=\frac43$ .
$\sec\theta=\frac{1}{4/5}=\frac54$ and $\csc\theta=\frac{1}{3/5}=\frac53$ .
$\sec\theta=\frac{1}{4/5}=\frac54$ و $\csc\theta=\frac{1}{3/5}=\frac53$ .

Sine and cosine in a right triangleساین و کۆساین لە سێگۆشەی گۆشەوەستاودا

For an acute angle $\theta$ in a right triangle with hypotenuse $c$ , opposite side $a$ and adjacent side $b$ , the same functions are side ratios: $\sin\theta=\frac{a}{c}$ , $\cos\theta=\frac{b}{c}$ and $\tan\theta=\frac{a}{b}$ . This is the unit-circle picture scaled up: a triangle with hypotenuse 1 has legs $\cos\theta$ and $\sin\theta$ . Example: a 10 m ladder leaning against a wall at 60° to the ground reaches a height of $10\sin60^\circ=5\sqrt3\approx8.66$ m.

بۆ گۆشەی تیژی $\theta$ لە سێگۆشەیەکی گۆشەوەستاودا کە ژێکەی $c$ ، لای بەرامبەری $a$ و لای تەنیشتی $b$ بێت، هەمان ڕێژەی لاکانن: $\sin\theta=\frac{a}{c}$ ، $\cos\theta=\frac{b}{c}$ و $\tan\theta=\frac{a}{b}$ . ئەمە هەمان وێنەی بە گەورەکراوی: سێگۆشەیەک کە ژێکەی 1 بێت، دوو لاکەی تری $\cos\theta$ و $\sin\theta$ ـن. نموونە: پەیژەیەکی ⁦10⁩ مەتری کە بە گۆشەی ⁦60°⁩ لەگەڵ زەوی بە دیوارێکەوە نراوە، دەگاتە بەرزیی $10\sin60^\circ=5\sqrt3\approx8.66$ مەتر.

Quick checkپشکنینی خێراAt

\theta=\frac{\pi}{2}

, which two functions are undefined?لە

\theta=\frac{\pi}{2}

، کام دوو پێناسە نەکراون؟

\cot

and

\csc

\cot

و

\csc

\tan

and

\cot

\tan

و

\cot

\sin

and

\cos

\sin

و

\cos

\tan

and

\sec

\tan

و

\sec

Domain, range and period of all sixبوار، مەودا و کاتی خولیی هەر شەشیان

A function is periodic if its values repeat. Its period is the length of the shortest piece that repeats:

خولاوەیە ئەگەر نرخەکانی دووبارە ببنەوە. درێژیی کورتترین پارچەیە کە دووبارە دەبێتەوە:

Definitionپێناسە

The smallest positive number p with $f(x+p)=f(x)$ for every x: after each period the graph repeats. A function with a period is periodic.

بچووکترین ژمارەی موجەبی p کە بۆ هەموو x $f(x+p)=f(x)$ : دوای هەر کاتێکی خولی هێڵکارییەکە دووبارە دەبێتەوە. نەخشەیەک کە کاتی خولیی هەبێت پێی دەوترێت نەخشەی خولاوە.

The six trigonometric functions ( $n$ is any integer)شەش ( $n$ هەر )
Function	Domain	Range	Period
$\sin x$	$\mathbb{R}$	$[-1,1]$	$2\pi$
$\cos x$	$\mathbb{R}$	$[-1,1]$	$2\pi$
$\tan x$	$x\ne\frac{\pi}{2}+n\pi$	$\mathbb{R}$	$\pi$
$\cot x$	$x\ne n\pi$	$\mathbb{R}$	$\pi$
$\sec x$	$x\ne\frac{\pi}{2}+n\pi$	$(-\infty,-1]\cup[1,\infty)$	$2\pi$
$\csc x$	$x\ne n\pi$	$(-\infty,-1]\cup[1,\infty)$	$2\pi$

The notes write the domain of $\tan$ and $\sec$ as $\mathbb{R}-\left\{n\frac{\pi}{2}\right\}$ with $n$ odd. That is the same set as “all $x\ne\frac{\pi}{2}+n\pi$ ”: an odd number is $2k+1$ , and $(2k+1)\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}+k\pi$ .

تێبینییەکان $\tan$ و $\sec$ بەم شێوەیە دەنووسن: $\mathbb{R}-\left\{n\frac{\pi}{2}\right\}$ کە تێیدا $n$ تاکە. ئەمە هەمان وەک «هەموو $x\ne\frac{\pi}{2}+n\pi$ »: ژمارەی تاک $2k+1$ ـە و $(2k+1)\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{2}+k\pi$ .

Quick checkپشکنینی خێراWhich number is not in the domain of

\tan x

?کام ژمارە لە

\tan x

دا نییە؟

\frac{3\pi}{2}

\frac{3\pi}{2}

0

0

\frac{\pi}{4}

\frac{\pi}{4}

\pi

\pi

Domain, range and period of all sixبوار، مەودا و کاتی خولیی هەر شەشیان

Why these ranges and periods?مەودا و کاتی خولی: ئەم نرخانە لە کوێوە دێن؟

Ranges. The coordinates of $P$ are between $-1$ and $1$ , so $\sin$ and $\cos$ stay in $[-1,1]$ . Dividing 1 by a number between $-1$ and $1$ (not 0) gives a number whose absolute value is at least 1, so $\sec$ and $\csc$ are never strictly between $-1$ and $1$ . $\tan$ and $\cot$ are slopes, and a slope can be any real number.
Periods. After a full turn ( $2\pi$ ) $P$ is back, so $\sin$ , $\cos$ , $\sec$ and $\csc$ repeat every $2\pi$ . After only half a turn ( $\pi$ ) $P$ moves to $(-x,-y)$ , and $\frac{-y}{-x}=\frac{y}{x}$ : $\tan$ and $\cot$ already repeat every $\pi$ .

. $P$ لە نێوان $-1$ و $1$ دان، بۆیە $\sin$ و $\cos$ لە ناو $[-1,1]$ دا دەمێننەوە. دابەشکردنی 1 بەسەر ژمارەیەک لە نێوان $-1$ و $1$ (جگە لە ⁦0⁩) ژمارەیەک دەدات کە لانیکەم 1ـە، بۆیە $\sec$ و $\csc$ هەرگیز بە تەواوی لە نێوان $-1$ و $1$ دا نین. $\tan$ و $\cot$ و دەتوانێت هەر بێت.
. دوای سووڕانەوەیەکی تەواو ( $2\pi$ ) $P$ دەگەڕێتەوە، بۆیە $\sin$ ، $\cos$ ، $\sec$ و $\csc$ هەموو $2\pi$ جارێک دووبارە دەبنەوە. دوای تەنها نیو سووڕانەوە ( $\pi$ ) $P$ دەچێتە $(-x,-y)$ و $\frac{-y}{-x}=\frac{y}{x}$ : بۆیە $\tan$ و $\cot$ هەموو $\pi$ جارێک دووبارە دەبنەوە.

Quick checkپشکنینی خێراAfter half a turn (

\pi

), which two functions already take the same values again?دوای نیو سووڕانەوە (

\pi

)، کام دوو هەمان نرخەکانیان دەگەڕێتەوە؟

\tan

and

\cot

\tan

و

\cot

\sec

and

\csc

\sec

و

\csc

\sin

and

\tan

\sin

و

\tan

\sin

and

\cos

\sin

و

\cos

Domain, range and period of all sixبوار، مەودا و کاتی خولیی هەر شەشیان

The cosecant row, correctedڕاستکردنەوەی ڕیزی کۆسێکانت

The cosecant row of Chapter Twoڕیزی کۆسێکانت لە بەشی دووەمدا

The notes give the cosecant row as $D_f=\mathbb{R}-\{x\ne0,\pm\pi,\pm2\pi,\pm4\pi,\dots\}$ and $R_f=\mathbb{R}$ . Two things are wrong. Domain: inside the braces you list the excluded numbers themselves (“ $x\ne$ ” does not belong there), and $\pm3\pi$ is missing. The excluded numbers are all multiples of $\pi$ : $x\ne n\pi$ . Range: $\csc x=\frac{1}{\sin x}$ is never strictly between $-1$ and $1$ , so the range is $(-\infty,-1]\cup[1,\infty)$ , exactly like $\sec$ . The graph page of the notes already shows the correct range.

تێبینییەکان ڕیزی بەم شێوەیە دەنووسن: $D_f=\mathbb{R}-\{x\ne0,\pm\pi,\pm2\pi,\pm4\pi,\dots\}$ و $R_f=\mathbb{R}$ . دوو شت هەڵەن. : لە ناو کەوانەکاندا خودی ئەو ژمارانە دەنووسرێن کە لادەبرێن (« $x\ne$ » جێی ئەوێ نییە)، هەروەها $\pm3\pi$ نەنووسراوە. ژمارە لابراوەکان هەموو چەندجارەکانی $\pi$ ـن: $x\ne n\pi$ . : $\csc x=\frac{1}{\sin x}$ هەرگیز بە تەواوی لە نێوان $-1$ و $1$ دا نییە، بۆیە $(-\infty,-1]\cup[1,\infty)$ ـە، ڕێک وەک $\sec$ . لاپەڕەی هێڵکارییەکانی تێبینییەکان هەر ڕاستەکەی پیشان داوە.

Quick checkپشکنینی خێراWhat is the range of

\csc x

?

\csc x

چییە؟

(0,\infty)

(0,\infty)

(-\infty,-1]\cup[1,\infty)

(-\infty,-1]\cup[1,\infty)

[-1,1]

[-1,1]

\mathbb{R}

\mathbb{R}

The graphs of sine and cosineهێڵکاریی ساین و کۆساین

Next to each function the notes say “Draw graph”. Here are the graphs, computed point by point. Start with sine and cosine, the two smooth waves.

تێبینییەکان لە تەنیشت هەر دەڵێن «هێڵکارییەکەی بکێشە». ئەمانە هێڵکارییەکانن کە خاڵ بە خاڵ هەژمار کراون. بە و دەست پێدەکەین، دوو شەپۆلە نەرمەکە.

Sine and cosine: domain

\mathbb{R}

, range

[-1,1]

, period

2\pi

. و :

\mathbb{R}

،

[-1,1]

،

2\pi

.CêIT

Sine crosses the x-axis at $x=n\pi$ ; cosine at $x=\frac{\pi}{2}+n\pi$ .
Cosine is sine moved $\frac{\pi}{2}$ to the left (a horizontal shift): $\cos x=\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)$ .
Sine is an odd function (symmetric about the origin, $\sin(-x)=-\sin x$ ); cosine is an even function (symmetric about the y-axis, $\cos(-x)=\cos x$ ). See even and odd functions.

لە $x=n\pi$ x دەبڕێت؛ لە $x=\frac{\pi}{2}+n\pi$ .
هەمان کە $\frac{\pi}{2}$ بەرەو چەپ جووڵێنراوە (کشانەوەیەکی ئاسۆیی): $\cos x=\sin\left(x+\frac{\pi}{2}\right)$ .
(بەرامبەر هاوجێیە، $\sin(-x)=-\sin x$ )؛ (بەرامبەر y هاوجێیە، $\cos(-x)=\cos x$ ). بڕوانە نەخشە جووتەکان و نەخشە تاکەکان.

Graphing Trigonometric FunctionsProfessor Dave Explains · Englishئینگلیزی · 371K viewsبینین · 6.7K likesلایک · Partبەشی 0:00–4:45 (ofلە 11:40)
How the graphs of sine and cosine come from the unit circle: waves between −1 and 1 that repeat every 2π.
چۆن و لە دروست دەبن: شەپۆلێک لە نێوان $-1$ و $1$ کە دوای هەر $2\pi$ دووبارە دەبێتەوە.
Watch 0:00–4:45, graphing sine and cosine; the transformations after 4:45 are outside this lesson.
لە ⁦0:00⁩ تا ⁦4:45⁩ سەیر بکە: کێشانی و ؛ دوای ⁦4:45⁩ لە دەرەوەی ئەم وانەیەن.

The graphs of sine and cosineهێڵکاریی ساین و کۆساین

The graphs of tangent and cotangentهێڵکاریی تانجێنت و کۆتانجێنت

Where a function is undefined because of a zero denominator, its graph shoots up or down along a vertical asymptote. $\tan$ has asymptotes where $\cos x=0$ ; $\cot$ where $\sin x=0$ . Between two asymptotes the graph runs through every real number, so the range of both is $\mathbb{R}$ , and the same branch repeats every $\pi$ .

لەو شوێنانەی بەهۆی سفرەوە پێناسە نەکراوە، هێڵکارییەکەی بە درێژایی ستوونی بەرەو سەرەوە یان خوارەوە دەڕوات. $\tan$ لەو شوێنانەی $\cos x=0$ ـە هەیە؛ $\cot$ لەو شوێنانەی $\sin x=0$ ـە. لە نێوان دوو هێڵکارییەکە بە هەموو تێدەپەڕێت، بۆیە هەردووکیان $\mathbb{R}$ ـە و هەمان لق هەموو $\pi$ جارێک دووبارە دەبێتەوە.

Definitionپێناسە

A line that a graph gets closer and closer to but never reaches, usually drawn dashed.

هێڵێکە کە هێڵکارییەک هەتا دێت لێی نزیکتر دەبێتەوە بەڵام هەرگیز پێی ناگات؛ زۆرجار بە هێڵی پچڕپچڕ دەکێشرێت.

Tangent and cotangent: range

\mathbb{R}

, period

\pi

, asymptotes where they are undefined. و :

\mathbb{R}

،

\pi

، لەو شوێنانەی پێناسە نەکراون.CêIT

The graphs of sine and cosineهێڵکاریی ساین و کۆساین

The graphs of secant and cosecantهێڵکاریی سێکانت و کۆسێکانت

Draw $\sec$ from $\cos$ and $\csc$ from $\sin$ . Where $\cos x$ is $1$ or $-1$ , $\sec x$ is also $1$ or $-1$ (the turning points). Where $\cos x$ gets close to 0, $\sec x=\frac{1}{\cos x}$ becomes huge, so there is an asymptote. The band between $-1$ and $1$ stays empty: that is the range $(-\infty,-1]\cup[1,\infty)$ you see in the picture.

$\sec$ لە $\cos$ ـەوە و $\csc$ لە $\sin$ ـەوە بکێشە. لەو شوێنانەی $\cos x$ یەکسانە بە $1$ یان $-1$ ، $\sec x$ ـیش $1$ یان $-1$ ـە (خاڵە وەرچەرخانەکان). کاتێک $\cos x$ لە 0 نزیک دەبێتەوە، $\sec x=\frac{1}{\cos x}$ زۆر گەورە دەبێت، بۆیە دروست دەبێت. پشتێنەی نێوان $-1$ و $1$ بەتاڵ دەمێنێتەوە: بۆیە $(-\infty,-1]\cup[1,\infty)$ ـە، وەک لە وێنەکەدا دەیبینیت.

Secant and cosecant never take values strictly between

-1

and

1

. و هەرگیز نرخێک بە تەواوی لە نێوان

-1

و

1

دا وەرناگرن.CêIT

Radians in your codeڕادیان لە کۆدەکەتدا

In computingلە کۆمپیوتەردا

Programming languages measure angles in radians. In Python, math.sin(30) means the sine of 30 radians, not 30°. Convert first with math.radians(). (The math module itself is introduced in Python modules.)

گۆشە بە دەپێون. لە Pythonـدا math.sin(30) واتە ⁦30⁩ ، نەک ⁦30°⁩. سەرەتا بە math.radians() بیگۆڕە. (خودی math لە وانەی مۆدیوڵەکانی Python ناسێنراوە.)

trig_units.pyPYTHONType in a terminalلە تێرمیناڵدا بینووسە

import math

print(math.sin(30))                 # 30 is read as 30 radians!
print(math.sin(math.radians(30)))   # convert degrees to radians first
print(math.sin(math.pi / 6))
print(math.degrees(math.pi))

Explain the codeڕوونکردنەوەی کۆدەکە

Lineدێڕی 3

30 radians is almost 5 full turns, so the answer is not 0.5.

⁦30⁩ نزیکەی 5 سووڕانەوەی تەواوە، بۆیە ئەنجامەکە ⁦0.5⁩ نییە.

Lineدێڕی 4-5

Both give 0.49999999999999994 instead of 0.5: the computer stores $\pi$ only approximately (a tiny rounding error).

هەردووکیان لە جیاتی ⁦0.5⁩ ئەنجامی ⁦0.49999999999999994⁩ دەدەن: $\pi$ تەنها بە نزیکەیی هەڵدەگرێت ( زۆر بچووک).

Games and computer graphics use the unit circle all the time: to move an object round a circle of radius $r$ , set $x=r\cos\theta$ and $y=r\sin\theta$ and let $\theta$ grow a little in every frame. Flutter is no different: Matrix4.rotationZ also takes its angle in radians (see turning a box).

و هەمیشە بەکار دەهێنن: بۆ جووڵاندنی شتێک بە دەوری بازنەیەک بە نیوەتیرەی $r$ ، $x=r\cos\theta$ و $y=r\sin\theta$ دابنێ و لە هەر وێنەیەکدا $\theta$ کەمێک گەورە بکە. Flutterـیش هەروایە: Matrix4.rotationZـیش گۆشەکە بە وەردەگرێت (بڕوانە سووڕاندنی سندووقێک).

Common mistakesهەڵە باوەکان

Mistakeهەڵە	Why it is wrongبۆچی هەڵەیە	Correctڕاست
Using degrees where radians are expected (calculator in DEG mode, `math.sin(30)` for 30°)بەکارهێنانی لە شوێنی ( لە دۆخی DEG، `math.sin(30)` بۆ ⁦30°⁩)	$\sin30\approx-0.988$ (30 radians), but $\sin30^\circ=0.5$ $\sin30\approx-0.988$ (⁦30⁩ )، بەڵام $\sin30^\circ=0.5$	Convert: $30^\circ=\frac{\pi}{6}$ rad; in calculus, work in radiansبیگۆڕە: $30^\circ=\frac{\pi}{6}$ rad؛ لە کالکولەسدا بە کار بکە
Range of $\csc x$ is $\mathbb{R}$ $\csc x$ $\mathbb{R}$ ـە	$\csc x=\frac{1}{\sin x}$ is never strictly between $-1$ and $1$ $\csc x=\frac{1}{\sin x}$ هەرگیز بە تەواوی لە نێوان $-1$ و $1$ دا نییە	$(-\infty,-1]\cup[1,\infty)$ $(-\infty,-1]\cup[1,\infty)$
“ $\tan\frac{\pi}{2}$ is a very big number”« $\tan\frac{\pi}{2}$ ژمارەیەکی زۆر گەورەیە»	$\cos\frac{\pi}{2}=0$ and you cannot divide by 0 $\cos\frac{\pi}{2}=0$ و ناتوانیت بەسەر 0دا دابەش بکەیت	$\tan$ is undefined at $\frac{\pi}{2}$ ; the graph has an asymptote there $\tan$ لە $\frac{\pi}{2}$ پێناسە نەکراوە؛ هێڵکارییەکە لەوێ هەیە
Reading $\sin^2x$ as $\sin(x^2)$ خوێندنەوەی $\sin^2x$ وەک $\sin(x^2)$	The square belongs to the value of $\sin x$ دووجاکە هی نرخی $\sin x$ ـە	$\sin^2x=(\sin x)^2$ $\sin^2x=(\sin x)^2$
Writing $\sin^{-1}x$ for $\frac{1}{\sin x}$ نووسینی $\sin^{-1}x$ بۆ $\frac{1}{\sin x}$	$\sin^{-1}$ is the inverse function (an angle), not the $\sin^{-1}$ (گۆشەیەک)، نەک	$\frac{1}{\sin x}=\csc x$ ; see inverse functions $\frac{1}{\sin x}=\csc x$ ؛ بڕوانە پێچەوانەکانی نەخشە
Forgetting what $n$ is in $x\ne n\pi$ لەبیرکردنی ئەوەی $n$ چییە لە $x\ne n\pi$	Without it the set of excluded points is not definedبەبێ ئەو، خاڵە لابراوەکان دیار نییە	Always add “ $n\in\mathbb{Z}$ ” ( $n$ is any integer)هەمیشە « $n\in\mathbb{Z}$ » زیاد بکە ( $n$ هەر )
Reading $\sin\theta$ as the y-coordinate on a circle of radius 5خوێندنەوەی $\sin\theta$ وەک y لەسەر بازنەیەک بە نیوەتیرەی 5	The definition needs radius 1پێناسەکە نیوەتیرەی 1ی پێویستە	On radius $r$ : $\sin\theta=\frac{y}{r}$ and $\cos\theta=\frac{x}{r}$ بە نیوەتیرەی $r$ : $\sin\theta=\frac{y}{r}$ و $\cos\theta=\frac{x}{r}$

Exercisesڕاهێنانەکان

Exerciseڕاهێنان1. Degrees and radians1. پلە و ڕادیان

Convert: (a) 210° to radians, (b) $-45^\circ$ to radians, (c) $\frac{3\pi}{2}$ to degrees, (d) 2 rad to degrees (one decimal).

بیگۆڕە: (أ) ⁦210°⁩ بۆ ، (ب) $-45^\circ$ بۆ ، (ج) $\frac{3\pi}{2}$ بۆ ، (د) ⁦2 rad⁩ بۆ (بە یەک ژمارەی دوای ).

Hintئاماژە

Multiply by $\frac{\pi}{180}$ or by $\frac{180}{\pi}$ .

لێکدان لە $\frac{\pi}{180}$ یان $\frac{180}{\pi}$ بکە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

\begin{aligned}(a)\ &210\times\tfrac{\pi}{180}=\tfrac{7\pi}{6} & (b)\ &-45\times\tfrac{\pi}{180}=-\tfrac{\pi}{4}\\ (c)\ &\tfrac{3\pi}{2}\times\tfrac{180}{\pi}=270^\circ & (d)\ &2\times\tfrac{180}{\pi}\approx114.6^\circ\end{aligned}

Exerciseڕاهێنان2. Exact values2. نرخە وردەکان

Find exactly: $\sin\frac{2\pi}{3}$ , $\cos\frac{5\pi}{4}$ , $\tan\frac{3\pi}{4}$ , $\sec\frac{\pi}{3}$ , $\csc\frac{3\pi}{2}$ , $\cot\frac{\pi}{2}$ .

بە وردی بیدۆزەرەوە: $\sin\frac{2\pi}{3}$ ، $\cos\frac{5\pi}{4}$ ، $\tan\frac{3\pi}{4}$ ، $\sec\frac{\pi}{3}$ ، $\csc\frac{3\pi}{2}$ ، $\cot\frac{\pi}{2}$ .

Hintئاماژە

Find the point P first, then read or divide its coordinates.

سەرەتا خاڵی P بدۆزەرەوە، پاشان بخوێنەوە یان دابەشیان بکە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

$\sin\frac{2\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}$ (point $(-\frac12,\frac{\sqrt3}{2})$ ).
$\cos\frac{5\pi}{4}=-\frac{\sqrt2}{2}$ (third quadrant: both coordinates negative).
$\tan\frac{3\pi}{4}=\frac{\sqrt2/2}{-\sqrt2/2}=-1$ .
$\sec\frac{\pi}{3}=\frac{1}{1/2}=2$ .
$\csc\frac{3\pi}{2}=\frac{1}{-1}=-1$ .
$\cot\frac{\pi}{2}=\frac{0}{1}=0$ (defined, because the denominator $\sin\frac{\pi}{2}$ is 1).

$\sin\frac{2\pi}{3}=\frac{\sqrt3}{2}$ (خاڵی $(-\frac12,\frac{\sqrt3}{2})$ ).
$\cos\frac{5\pi}{4}=-\frac{\sqrt2}{2}$ (چارەکی سێیەم: هەردوو سالبن).
$\tan\frac{3\pi}{4}=\frac{\sqrt2/2}{-\sqrt2/2}=-1$ .
$\sec\frac{\pi}{3}=\frac{1}{1/2}=2$ .
$\csc\frac{3\pi}{2}=\frac{1}{-1}=-1$ .
$\cot\frac{\pi}{2}=\frac{0}{1}=0$ (پێناسە کراوە، چونکە ، واتە $\sin\frac{\pi}{2}$ ، یەکسانە بە ⁦1⁩).

Exerciseڕاهێنان3. From one value to all six3. لە یەک نرخەوە بۆ هەر شەشیان

$\cos\theta=-\frac{5}{13}$ and $\frac{\pi}{2}<\theta<\pi$ . Find the other five values.

$\cos\theta=-\frac{5}{13}$ و $\frac{\pi}{2}<\theta<\pi$ . پێنج نرخەکەی تر بدۆزەرەوە.

Hintئاماژە

Use $\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$ , then choose the sign of $\sin\theta$ from the quadrant.

$\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$ بەکار بهێنە، پاشان هێمای $\sin\theta$ بەپێی چارەکەکە هەڵبژێرە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

\sin^2\theta=1-\tfrac{25}{169}=\tfrac{144}{169}\ \Rightarrow\ \sin\theta=\pm\tfrac{12}{13}

\tan\theta=\tfrac{12/13}{-5/13}=-\tfrac{12}{5},\qquad \cot\theta=-\tfrac{5}{12},\qquad \sec\theta=-\tfrac{13}{5},\qquad \csc\theta=\tfrac{13}{12}

Exercisesڕاهێنانەکان

Exercises: graphs, code and periodsڕاهێنانەکان: هێڵکاری، کۆد و کاتی خولی

Exerciseڕاهێنان4. Draw the graph of

\csc x

4. هێڵکاریی

\csc x

بکێشە

The notes ask you to draw each graph. Sketch $y=\csc x$ on $[-2\pi,2\pi]$ using the graph of $y=\sin x$ . Mark the asymptotes and the turning points.

تێبینییەکان داوا دەکەن هێڵکاریی هەر بکێشیت. هێڵکاریی $y=\csc x$ لەسەر $[-2\pi,2\pi]$ بە یارمەتیی هێڵکاریی $y=\sin x$ بکێشە. و خاڵە وەرچەرخانەکان نیشان بدە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

Draw $y=\sin x$ lightly. Its zeros $-2\pi,-\pi,0,\pi,2\pi$ become vertical asymptotes of $\csc x$ .
$y=\sin x$ بە کاڵی بکێشە. سفرەکانی، واتە $-2\pi,-\pi,0,\pi,2\pi$ ، دەبنە $\csc x$ .
Where $\sin x=1$ ( $x=\frac{\pi}{2}$ and $x=-\frac{3\pi}{2}$ ), $\csc x=1$ ; where $\sin x=-1$ ( $x=-\frac{\pi}{2}$ and $x=\frac{3\pi}{2}$ ), $\csc x=-1$ . These are the turning points.
لەو شوێنانەی $\sin x=1$ ـە ( $x=\frac{\pi}{2}$ و $x=-\frac{3\pi}{2}$ )، $\csc x=1$ ـە؛ لەو شوێنانەی $\sin x=-1$ ـە ( $x=-\frac{\pi}{2}$ و $x=\frac{3\pi}{2}$ )، $\csc x=-1$ ـە. ئەمانە خاڵە وەرچەرخانەکانن.
Above each positive arch of sine draw a U opening upwards; below each negative arch draw an upside-down U. Each branch approaches the asymptotes. Compare with the graph of $\csc x$ .
لە سەرووی هەر کەوانەیەکی موجەبی شێوەی U بکێشە کە بەرەو سەرەوە کراوەیە؛ لە ژێر هەر کەوانەیەکی سالب U ـی سەرەوخوار بکێشە. هەر لقێک لە نزیک دەبێتەوە. لەگەڵ هێڵکاریی $\csc x$ بەراوردی بکە.

Exerciseڕاهێنان5. Spot the mistake5. هەڵەکە بدۆزەرەوە

Karwan wants the height of a 10 m ladder at 30° to the ground. He types 10 * math.sin(30) into Python and gets about $-9.88$ m. What went wrong, and what is the right answer?

کاروان دەیەوێت بەرزیی پەیژەیەکی ⁦10⁩ مەتری بزانێت کە بە گۆشەی ⁦30°⁩ لەگەڵ زەوی دانراوە. لە Pythonـدا دەنووسێت 10 * math.sin(30) و نزیکەی $-9.88$ مەتر وەردەگرێت. چی هەڵە بوو و وەڵامی ڕاست چییە؟

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

math.sin expects radians, so it computed the sine of 30 radians. Use 10 * math.sin(math.radians(30)). It prints 4.999999999999999, which is 5 up to a tiny rounding error: $\sin30^\circ=\frac12$ , so the height is 5 m.

math.sin چاوەڕێی دەکات، بۆیە ⁦30⁩ هەژمار کرد. 10 * math.sin(math.radians(30)) بەکار بهێنە. ⁦4.999999999999999⁩ چاپ دەکات، کە دەکاتە 5 بە زۆر بچووکەوە: $\sin30^\circ=\frac12$ ، بۆیە بەرزییەکە 5 مەترە.

Exerciseڕاهێنان6. Why

\pi

?6. بۆچی

\pi

؟

Explain why $\tan$ has period $\pi$ although $\sin$ and $\cos$ have period $2\pi$ .

ڕوونی بکەرەوە بۆچی $\tan$ $\pi$ ـە لە کاتێکدا $\sin$ و $\cos$ $2\pi$ ـە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

Adding $\pi$ turns $P=(x,y)$ half way round to $(-x,-y)$ . Both coordinates change sign, so $\tan(\theta+\pi)=\frac{-y}{-x}=\frac{y}{x}=\tan\theta$ . $\sin$ and $\cos$ themselves change sign after $\pi$ , so they need the full $2\pi$ to repeat.

زیادکردنی $\pi$ خاڵی $P=(x,y)$ نیو سووڕانەوە دەسووڕێنێت بۆ $(-x,-y)$ . هێمای هەردوو دەگۆڕێت، بۆیە $\tan(\theta+\pi)=\frac{-y}{-x}=\frac{y}{x}=\tan\theta$ . بەڵام خودی $\sin$ و $\cos$ دوای $\pi$ هێمایان دەگۆڕێت، بۆیە بۆ دووبارەبوونەوە پێویستیان بە $2\pi$ ـی تەواوە.

Exerciseڕاهێنان7. Stretch, squeeze and flip the wave7. شەپۆلەکە درێژ بکەرەوە، بیپەستێنە و هەڵیگەڕێنەوە

Give the range and the period of (a) $y=3\sin x$ , (b) $y=\sin2x$ and (c) $y=-\cos x$ . Use what you know about stretching, compressing and reflecting graphs.

و ئەمانە بنووسە: (أ) $y=3\sin x$ ، (ب) $y=\sin2x$ و (ج) $y=-\cos x$ . ئەوەی دەربارەی درێژکردنەوە، پەستاندن و وێنەدانەوەی هێڵکاری دەیزانیت بەکاری بهێنە.

Hintئاماژە

A number outside the function changes the heights; a number inside, next to $x$ , changes the period.

ژمارەیەک لە دەرەوەی بەرزییەکان دەگۆڕێت؛ ژمارەیەک لە ناوەوە، لە تەنیشت $x$ ، دەگۆڕێت.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

(a) Every height is multiplied by 3 (a vertical stretch): range $[-3,3]$ , period still $2\pi$ .
(b) The wave is compressed horizontally by 2, so one full wave fits in $\frac{2\pi}{2}=\pi$ : range $[-1,1]$ , period $\pi$ .
(c) The cosine wave is flipped in the x-axis: the heights change sign, so the range is still $[-1,1]$ and the period $2\pi$ .

(أ) هەموو بەرزییەک لێکدانی 3 دەکرێت ( ستوونی): $[-3,3]$ ، هێشتا $2\pi$ ـە.
(ب) شەپۆلەکە بە ئاسۆیی بە 2 دەپەستێنرێت، بۆیە شەپۆلێکی تەواو لە $\frac{2\pi}{2}=\pi$ دا جێدەبێتەوە: $[-1,1]$ ، $\pi$ .
(ج) شەپۆلی بەرامبەر x هەڵدەگەڕێتەوە: هێمای بەرزییەکان دەگۆڕێت، بۆیە هێشتا $[-1,1]$ ـە و $2\pi$ .

Summaryپوختە

Radians measure angles by arc length on the unit circle: $180^\circ=\pi$ rad, a full turn is $2\pi$ .
The angle $\theta$ gives the point $P=(\cos\theta,\sin\theta)$ on the unit circle, so $\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$ .
$\tan=\frac{\sin}{\cos}$ , $\cot=\frac{\cos}{\sin}$ , $\sec=\frac{1}{\cos}$ , $\csc=\frac{1}{\sin}$ ; each is undefined where its denominator is 0.
$\sin$ , $\cos$ : domain $\mathbb{R}$ , range $[-1,1]$ , period $2\pi$ . $\tan$ , $\cot$ : range $\mathbb{R}$ , period $\pi$ . $\sec$ , $\csc$ : range $(-\infty,-1]\cup[1,\infty)$ , period $2\pi$ .
The domain of $\csc$ is $x\ne n\pi$ and its range is not $\mathbb{R}$ (correction to the notes).

گۆشە بە درێژیی کەوانە لەسەر دەپێوێت: $180^\circ=\pi$ rad، سووڕانەوەی تەواو $2\pi$ ـە.
گۆشەی $\theta$ خاڵی $P=(\cos\theta,\sin\theta)$ لەسەر دەدات، بۆیە $\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$ .
$\tan=\frac{\sin}{\cos}$ ، $\cot=\frac{\cos}{\sin}$ ، $\sec=\frac{1}{\cos}$ ، $\csc=\frac{1}{\sin}$ ؛ هەریەکەیان لەو شوێنەی 0 بێت پێناسە نەکراوە.
$\sin$ ، $\cos$ : $\mathbb{R}$ ، $[-1,1]$ ، $2\pi$ . $\tan$ ، $\cot$ : $\mathbb{R}$ ، $\pi$ . $\sec$ ، $\csc$ : $(-\infty,-1]\cup[1,\infty)$ ، $2\pi$ .
$\csc$ بریتییە لە $x\ne n\pi$ و $\mathbb{R}$ نییە (ڕاستکردنەوەی تێبینییەکان).

Review questionsپرسیارەکانی پێداچوونەوە

Why is a full turn

2\pi

radians?بۆچی سووڕانەوەی تەواو

2\pi

ڕادیانە؟

The circumference is $2\pi r$ , so $2\pi$ radius-lengths fit around the circle, and one radian is the angle of one radius-length of arc.

چێوەی بازنە $2\pi r$ ـە، بۆیە $2\pi$ جار درێژیی نیوەتیرە بە دەوری بازنەکەدا جێدەبێتەوە و یەک گۆشەی کەوانەیەکە بە درێژیی یەک نیوەتیرە.

Where is

\sec x

undefined, and why?

\sec x

لە کوێ پێناسە نەکراوە و بۆچی؟

At $x=\frac{\pi}{2}+n\pi$ , because $\cos x=0$ there and $\sec x=\frac{1}{\cos x}$ .

لە $x=\frac{\pi}{2}+n\pi$ ، چونکە لەوێ $\cos x=0$ ـە و $\sec x=\frac{1}{\cos x}$ .

Can

\sin x

equal

1.5

?دەکرێت

\sin x

یەکسان بێت بە

1.5

؟

No. $\sin x$ is the y-coordinate of a point on the unit circle, so it is always between $-1$ and $1$ .

نەخێر. $\sin x$ yـی خاڵێکە لەسەر ، بۆیە هەمیشە لە نێوان $-1$ و $1$ دایە.

Videoڤیدیۆ

Watch a videoسەیری ڤیدیۆیەک بکە

A video that viewers liked a lot and praised in their comments, chosen for this lesson.ڤیدیۆیەک کە بینەران زۆریان پێ خۆش بووە و لە کۆمێنتەکانیاندا ستایشیان کردووە، بۆ ئەم وانەیە هەڵبژێردراوە.

All the TRIG you need for calculus actually explainedDr. Trefor Bazett · Englishئینگلیزی · 576K viewsبینین · 20K likesلایک · Partبەشی 0:40–14:36 (ofلە 20:50)
Sine and cosine from the unit circle, why calculus uses radians, the graphs, exact values, and tan, cot, sec, csc with their graphs.
و لە ، بۆچی کالکولەس بەکار دەهێنێت، ، نرخە وردەکان، هەروەها ، ، و لەگەڵ هێڵکارییەکانیان.
Watch 0:40–14:36: unit-circle definitions, radians, Pythagoras, graphs, special triangles, the other four functions and their graphs. Stops before identities and the sponsor.
لە ⁦0:40⁩ تا ⁦14:36⁩ سەیر بکە: پێناسەکان لەسەر ، ، فیساغۆرس، ، سێگۆشە تایبەتەکان، چوار تر و هێڵکارییەکانیان. پێش و ڕیکلامی سپۆنسەر ڕادەوەستێت.

Lesson complete!وانەکە تەواو بوو!

Well done. Review the key terms, then go on to the next lesson.دەستخۆش. سەیرێکی زاراوە سەرەکییەکان بکەرەوە، پاشان بڕۆ بۆ وانەی داهاتوو.

Key termsزاراوە سەرەکییەکان

Next lessonوانەی داهاتوو

Trigonometric Identitiesهاوئەنجامە سێگۆشەییەکان

Related lecturesوانە پەیوەندیدارەکان

References and further readingسەرچاوەکان و خوێندنەوەی زیاتر

This lecture is a first edition. The Kurdish text and terminology are waiting for review by Kurdish IT teachers.ئەم وانەیە چاپی یەکەمە. دەقە کوردییەکە و زاراوەکانی چاوەڕێی پێداچوونەوەی مامۆستایانی کوردی بواری IT ن.

The Six Trigonometric Functionsشەش نەخشە سێگۆشەییەکە

What you will learnچی فێر دەبیت

Functions that repeatنەخشەکان کە دووبارە دەبنەوە

The six functions and their short namesشەش نەخشەکە و ناوە کورتەکانیان

Measuring angles in radiansپێوانی گۆشە بە ڕادیان

Converting degrees and radiansگۆڕینی پلە و ڕادیان بۆ یەکتر

The unit circle: cos⁡θ=x\cos\theta=xcosθ=x and sin⁡θ=y\sin\theta=ysinθ=yبازنەی یەکە: cos⁡θ=x\cos\theta=xcosθ=x و sin⁡θ=y\sin\theta=ysinθ=y

Exact values at the common anglesنرخە وردەکان لە گۆشە باوەکاندا

Watch sine being drawnسەیری کێشانی ساین بکە

Why cos⁡2θ+sin⁡2θ=1\cos^2\theta+\sin^2\theta=1cos2θ+sin2θ=1بۆچی cos⁡2θ+sin⁡2θ=1\cos^2\theta+\sin^2\theta=1cos2θ+sin2θ=1

Four more functions from sine and cosineچوار نەخشەی تر لە ساین و کۆساینەوە

Domain, range and period of all sixبوار، مەودا و کاتی خولیی هەر شەشیان

Why these ranges and periods?مەودا و کاتی خولی: ئەم نرخانە لە کوێوە دێن؟

The cosecant row, correctedڕاستکردنەوەی ڕیزی کۆسێکانت

The graphs of sine and cosineهێڵکاریی ساین و کۆساین

The graphs of tangent and cotangentهێڵکاریی تانجێنت و کۆتانجێنت

The graphs of secant and cosecantهێڵکاریی سێکانت و کۆسێکانت

Radians in your codeڕادیان لە کۆدەکەتدا

Common mistakesهەڵە باوەکان

Exercisesڕاهێنانەکان

Exercises: graphs, code and periodsڕاهێنانەکان: هێڵکاری، کۆد و کاتی خولی

Summaryپوختە

Watch a videoسەیری ڤیدیۆیەک بکە

Lesson complete!وانەکە تەواو بوو!

Key termsزاراوە سەرەکییەکان

Related lecturesوانە پەیوەندیدارەکان

The unit circle: $\cos\theta=x$ and $\sin\theta=y$ بازنەی یەکە: $\cos\theta=x$ و $\sin\theta=y$

Why $\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$ بۆچی $\cos^2\theta+\sin^2\theta=1$