Chapterبەش 2 · Lectureوانە 2.2

Subscripts and Sigma (Σ) Notationژێرنووسەکان و نیشانەی سیگما (Σ)

How statistics names values with subscripts and writes long sums with Σ; Σ as a running total and as a loop; the summation rules 1–8 with numeric checks, why the printed “rule 9” is false, Examples (1) and (2) worked in full, common mistakes and a Python check.

چۆن بە ناو لە نرخەکان دەنێت و کۆی درێژ بە Σ دەنووسێت؛ Σ وەک کۆیەکی بەردەوام و وەک ؛ یاساکانی کۆکردنەوەی ⁦1–8⁩ بە پشکنینی ژمارەیی، بۆچی «یاسای 9»ـی چاپکراو هەڵەیە، نموونەکانی ⁦(1)⁩ و ⁦(2)⁩ بە تەواوی شیکراو، هەڵە باوەکان و پشکنین بە Python.

14 min read15 خولەک خوێندنەوە · 17 stepsهەنگاو

What you will learnچی فێر دەبیت

Read and write subscript notation $X_i$ and sigma notation $\sum_{i=1}^{n} X_i$ .
Expand a sigma sum and compute it by hand with a table.
Use the summation rules for constants, sums and differences, and check each with numbers.
Tell $\sum X_i^2$ from $(\sum X_i)^2$ , and explain why $\sum \frac{X_i}{Y_i} \ne \frac{\sum X_i}{\sum Y_i}$ .
Connect Σ with a loop and check sums with Python's sum().

$X_i$ و $\sum_{i=1}^{n} X_i$ بخوێنیتەوە و بنووسیت.
کۆیەکی سیگما بکەیتەوە و بە دەست و بە خشتە حسابی بکەیت.
یاساکانی کۆکردنەوە بۆ ، کۆ و جیاوازی بەکار بهێنیت و هەر یەکەیان بە ژمارە بپشکنیت.
$\sum X_i^2$ لە $(\sum X_i)^2$ جیا بکەیتەوە و ڕوونی بکەیتەوە بۆچی $\sum \frac{X_i}{Y_i} \ne \frac{\sum X_i}{\sum Y_i}$ .
Σ بە ببەستیتەوە و کۆکان بە sum()ـی Python بپشکنیت.

Subscripts: naming every valueژێرنووسەکان: ناونانی هەموو نرخێک

Statistics works with lists of numbers: the marks of a class, the prices in a shop. We need a short way to talk about any one of them. If a $X$ takes $n$ values, we call them $X_1, X_2, X_3, \dots, X_n$ . The symbol $X_i$ (read “X sub i”) means any one of these values.

لەگەڵ لیستی ژمارە کار دەکات: نمرەکانی پۆلێک، نرخەکانی دوکانێک. پێویستمان بە ڕێگایەکی کورتە بۆ قسەکردن دەربارەی هەر یەکێکیان. ئەگەر $X$ ژمارەی $n$ نرخ وەربگرێت، ناویان دەنێین $X_1, X_2, X_3, \dots, X_n$ . $X_i$ (دەخوێنرێتەوە «X ژێر i») واتە هەر یەکێک لەم نرخانە.

The small letter $i$ is the (or ). It can stand for any of the numbers $1, 2, 3, \dots, n$ and tells us which value we mean. If three students scored 8, 3 and 5, then $X_1 = 8$ , $X_2 = 3$ , $X_3 = 5$ and $n = 3$ .

پیتە بچووکەکەی $i$ (یان ). دەتوانێت هەر یەکێک لە ژمارەکانی $1, 2, 3, \dots, n$ بنوێنێت و پێمان دەڵێت مەبەستمان کام نرخە. ئەگەر سێ خوێندکار نمرەی 8، 3 و 5یان هێنابێت، ئەوا $X_1 = 8$ ، $X_2 = 3$ ، $X_3 = 5$ و $n = 3$ .

Sigma (Σ): a short way to write a sumسیگما (Σ): ڕێگایەکی کورت بۆ نووسینی کۆکردنەوە

Definitionپێناسە

A short way to write a long sum with the Greek letter $\Sigma$ (sigma): $\sum_{i=1}^{n} X_i = X_1 + X_2 + \cdots + X_n$ . It works like a that adds every term.

ڕێگایەکی کورتە بۆ نووسینی کۆکردنەوەیەکی درێژ بە پیتی گریکیی $\Sigma$ (سیگما): $\sum_{i=1}^{n} X_i = X_1 + X_2 + \cdots + X_n$ . وەک کار دەکات کە هەموو بڕەکان کۆ دەکاتەوە.

Writing $X_1 + X_2 + \cdots + X_{100}$ is long. Mathematicians use the capital Greek letter sigma, $\Sigma$ , which means “add up”. The below means: the sum of all $X_i$ from $i = 1$ to $n$ .

نووسینی $X_1 + X_2 + \cdots + X_{100}$ درێژە. بیرکاریزانەکان پیتی گەورەی گریکیی سیگما، $\Sigma$ ، بەکار دەهێنن کە واتە «کۆ بکەرەوە». ئەم خوارەوە واتە: کۆی هەموو $X_i$ ـەکان لە $i = 1$ ـەوە تا $n$ .

\sum_{i=1}^{n} X_i = X_1 + X_2 + X_3 + \cdots + X_n

The parts of Σ notation, and the same sum written as a loop.بەشەکانی و هەمان کۆ کە وەک نووسراوە.CêIT

For $X = 2, 4, 6, 2$ ( $n = 4$ ): $\sum_{i=1}^{4} X_i = 2 + 4 + 6 + 2 = 14$ . The limits may start or stop anywhere: $\sum_{i=2}^{4} X_i = 4 + 6 + 2 = 12$ . When the sum runs over all the values, people often write just $\sum X_i$ or $\sum X$ .

بۆ $X = 2, 4, 6, 2$ ( $n = 4$ ): $\sum_{i=1}^{4} X_i = 2 + 4 + 6 + 2 = 14$ . سنوورەکان دەتوانن لە هەر شوێنێک دەست پێبکەن یان بوەستن: $\sum_{i=2}^{4} X_i = 4 + 6 + 2 = 12$ . کاتێک کۆکە هەموو نرخەکان دەگرێتەوە، زۆرجار تەنها $\sum X_i$ یان $\sum X$ دەنووسرێت.

Sequences, Factorials, and Summation NotationProfessor Dave Explains · Englishئینگلیزی · 194K viewsبینین · 4.2K likesلایک · Partبەشی 5:21–8:35 (ofلە 11:11)
How to read the capital sigma: the index starts at the bottom number, goes up to the top number, and every term is added.
چۆن سیگمای گەورە ( $\Sigma$ ) دەخوێنیتەوە: لە ژمارەی خوارەوە دەست پێدەکات، تا ژمارەی سەرەوە دەڕوات و هەموو بڕەکان کۆ دەکرێنەوە.
Watch 5:21–8:35, the summation-notation part; the rest is about sequences and the number e.
لە ⁦5:21⁩ تا ⁦8:35⁩ سەیر بکە، بەشی ؛ ئەوانی تری ڤیدیۆکە دەربارەی زنجیرەی ژمارەکان و .

Σ is a running totalΣ کۆیەکی بەردەوامە

You can think of $\sum$ as a machine that walks through the values one by one, adding each new term to a running total. Watch it add $2 + 4 + 6 + 2$ :

دەتوانیت $\sum$ وەک ئامێرێک ببینیت کە یەک بە یەک بە نرخەکاندا دەڕوات و هەر بڕێکی نوێ دەخاتە سەر کۆی تا ئێرە. سەیری بکە چۆن $2 + 4 + 6 + 2$ کۆ دەکاتەوە:

Four boxes hold X₁ = 2, X₂ = 4, X₃ = 6 and X₄ = 2. The index i moves from 1 to 4, one box lights up at a time, and a running total shows 2, 6, 12 and finally 14. The last frame compares ΣXᵢ² = 4 + 16 + 36 + 4 = 60 with (ΣXᵢ)² = 14² = 196. — The running total grows 2, 6, 12, 14. Squaring first gives 60; adding first and then squaring gives 196.کۆی تا ئێرە دەبێتە 2، 6، ⁦12⁩، ⁦14⁩. سەرەتا دووجاکردن ⁦60⁩ دەدات؛ سەرەتا کۆکردنەوە و پاشان دووجاکردن ⁦196⁩ دەدات.CêIT

The cashier at the bazaarحسابکەری بازاڕ

A cashier in the bazaar adds your items one by one: tea 3,000, sugar 2,000, rice 6,000. After each item the screen shows the total so far. When the last item is added, the screen shows the whole sum. That is exactly what $\sum$ does.

حسابکەرێک لە بازاڕدا کاڵاکانت یەک بە یەک کۆ دەکاتەوە: چا ⁦3,000⁩، شەکر ⁦2,000⁩، برنج ⁦6,000⁩. دوای هەر کاڵایەک کۆی تا ئێستا پیشان دەدات. کاتێک دوایین کاڵا زیاد دەکرێت، هەموو کۆکە پیشان دەدات. ئەمە ڕێک ئەوەیە کە $\sum$ دەیکات.

Where the analogy stops workingسنووری ئەم نموونەیە

A cashier can make a mistake or skip an item; the notation never does. And Σ can add numbers that are not prices at all, such as squares or products.

حسابکەر دەتوانێت هەڵە بکات یان کاڵایەک لەبیر بکات؛ نیشانەکە هەرگیز ئەوە ناکات. Σ دەتوانێت ژمارەی وا کۆ بکاتەوە کە هەرگیز نرخ نین، وەک دووجا یان لێکدراو.

A loop is a sigmaخول هەمان سیگمایە

The essay's research notes join the two worlds. In , repeating a block of code is called , and it is done with a . In mathematics, adding many terms is called summation and is written with the Greek sigma. They are the same idea: a that adds each value to a total computes $\sum X_i$ .

تێبینییەکانی نامیلکەکە ئەم دوو جیهانە پێکەوە دەبەستن. لە دووبارەکردنەوەی بلۆکێک کۆد پێی دەگوترێت و بە ئەنجام دەدرێت. لە بیرکاریدا کۆکردنەوەی چەندین بڕ پێی دەگوترێت کۆکردنەوە ⁦(Summation)⁩ و بە سیگمای گریکی دەنووسرێت. هەمان بیرۆکەن: کە هەر نرخێک دەخاتە سەر کۆیەک، $\sum X_i$ حساب دەکات.

Σ X in Python, twiceΣ X لە Pythonـدا، دوو جارPYTHONType in a terminalلە تێرمیناڵدا بینووسە

X = [2, 4, 6, 2]

total = 0
for x in X:
    total = total + x
print(total)

print(sum(X))

Explain the codeڕوونکردنەوەی کۆدەکە

Lineدێڕی 3

The running total starts at 0, like the empty sum.

کۆی تا ئێرە لە 0ـەوە دەست پێدەکات، وەک کۆی بەتاڵ.

Lineدێڕی 4-5

Each turn of the loop adds one term: 2, then 4, then 6, then 2.

لە هەر بڕێک زیاد دەکرێت: 2، پاشان 4، پاشان 6، پاشان 2.

Lineدێڕی 8

The sum() does the same loop for you.

sum() هەمان بۆت دەکات.

Rules 1 and 2: square then add, or add then square?یاساکانی 1 و 2: سەرەتا دووجا یان سەرەتا کۆ؟

The first two rules look alike but give very different numbers. Rule 1 squares every value first and then adds. Rule 2 adds first and then squares the total once.

دوو یاسای یەکەم لە یەک دەچن بەڵام ژمارەی زۆر جیاواز دەدەن. یاسای 1 سەرەتا هەموو نرخێک دووجا دەکات و پاشان کۆیان دەکاتەوە. یاسای 2 سەرەتا کۆ دەکاتەوە و پاشان کۆکە یەک جار دووجا دەکات.

\begin{aligned} 1)\ \ \sum_{i=1}^{n} X_i^2 &= X_1^2 + X_2^2 + \cdots + X_n^2 \\ 2)\ \ \Big(\sum_{i=1}^{n} X_i\Big)^2 &= (X_1 + X_2 + \cdots + X_n)^2 \end{aligned}

\begin{aligned} \textstyle\sum X_i^2 &= 2^2 + 4^2 + 6^2 + 2^2 = 4 + 16 + 36 + 4 = 60 \\ \Big(\textstyle\sum X_i\Big)^2 &= (2 + 4 + 6 + 2)^2 = 14^2 = 196 \end{aligned}

Rules 3 and 4: two variablesیاساکانی 3 و 4: دوو گۆڕاو

With two variables $X$ and $Y$ measured on the same members, rule 3 multiplies each pair $X_iY_i$ and then adds. Rule 4 adds each variable separately and then multiplies the two totals.

بە دوو $X$ و $Y$ کە لەسەر هەمان ئەندامەکان پێورراون، یاسای 3 هەر جووتێکی $X_iY_i$ لێک دەدات و پاشان کۆیان دەکاتەوە. یاسای 4 هەر بە جیا کۆ دەکاتەوە و پاشان دوو کۆکە لێک دەدات.

\begin{aligned} 3)\ \ \sum_{i=1}^{n} X_iY_i &= X_1Y_1 + X_2Y_2 + \cdots + X_nY_n \\ 4)\ \ \Big(\sum_{i=1}^{n} X_i\Big)\Big(\sum_{i=1}^{n} Y_i\Big) &= (X_1 + \cdots + X_n)(Y_1 + \cdots + Y_n) \end{aligned}

$X = 2, 4, 6, 2$ and $Y = 3, 9, 6, 1$ $X = 2, 4, 6, 2$ و $Y = 3, 9, 6, 1$
$i$	$X_i$	$Y_i$	$X_iY_i$
1	2	3	6
2	4	9	36
3	6	6	36
4	2	1	2
Sumکۆ	14	19	80

Rule 3 gives $\sum X_iY_i = 80$ , but rule 4 gives $(\sum X_i)(\sum Y_i) = 14 \times 19 = 266$ . Again, the order of “multiply” and “add” changes the answer.

یاسای 3 $\sum X_iY_i = 80$ دەدات، بەڵام یاسای 4 $(\sum X_i)(\sum Y_i) = 14 \times 19 = 266$ دەدات. دیسان ڕیزبەندیی «لێکدان» و «کۆکردنەوە» وەڵامەکە دەگۆڕێت.

Rules 5 and 6: constantsیاساکانی 5 و 6: نەگۆڕەکان

A $C$ is a number that does not depend on $i$ . Rule 5: adding the same constant $n$ times gives $nC$ . Rule 6: a constant factor can come out in front of the sum, because every term contains it (this is the distributive law).

$C$ ژمارەیەکە کە پەیوەندیی بە $i$ ـەوە نییە. یاسای 5: کۆکردنەوەی هەمان بە ژمارەی $n$ جار دەکاتە $nC$ . یاسای 6: کە لە هەموو بڕەکاندا هەیە دەتوانێت بچێتە پێش کۆکە (ئەمە ).

\begin{aligned} 5)\ \ \sum_{i=1}^{n} C &= \underbrace{C + C + \cdots + C}_{n} = nC \\ 6)\ \ \sum_{i=1}^{n} CX_i &= C\sum_{i=1}^{n} X_i \end{aligned}

\begin{aligned} \textstyle\sum_{i=1}^{4} 3 &= 3 + 3 + 3 + 3 = 4 \times 3 = 12 \\ \textstyle\sum 3X_i &= 6 + 12 + 18 + 6 = 42 = 3 \times 14 \end{aligned}

Rules 7 and 8: sums of sumsیاساکانی 7 و 8: کۆی کۆکان

Rule 7: a sum of several variables can be split into separate sums. Rule 8 is the special case where one of them is a constant: adding $C$ to every value adds $nC$ to the total, not just $C$ .

یاسای 7: کۆی چەند دەتوانرێت بۆ چەند کۆیەکی جیا جیا بکرێتەوە. یاسای 8 حاڵەتێکی تایبەتە کە یەکێکیان : زیادکردنی $C$ بۆ هەموو نرخێک $nC$ دەخاتە سەر کۆکە، نەک تەنها $C$ .

\begin{aligned} 7)\ \ \sum_{i=1}^{n} (X_i + Y_i + Z_i) &= \sum_{i=1}^{n} X_i + \sum_{i=1}^{n} Y_i + \sum_{i=1}^{n} Z_i \\ 8)\ \ \sum_{i=1}^{n} (X_i + C) &= \sum_{i=1}^{n} X_i + nC \end{aligned}

\begin{aligned} \textstyle\sum (X_i + Y_i + Z_i) &= 10 + 13 + 14 + 4 = 41 = 14 + 19 + 8 \\ \textstyle\sum (X_i + 3) &= 5 + 7 + 9 + 5 = 26 = 14 + 4 \times 3 \end{aligned}

The same rule works with minus: $\sum (X_i - C) = \sum X_i - nC$ .

هەمان یاسا لەگەڵ کەمکردنەوەش کار دەکات: $\sum (X_i - C) = \sum X_i - nC$ .

“Rule 9” is false«یاسای 9» هەڵەیە

The lecturer's sheet prints a ninth rule, and a later homework (H.W 10) asks: “Is it true or not?”

پەڕەکەی مامۆستاکە یاسایەکی نۆیەم چاپ دەکات و ئەرکێکی دواتر ⁦(H.W 10)⁩ دەپرسێت: «ئایا ڕاستە یان نا؟»

\sum_{i=1}^{n} \frac{X_i}{Y_i} \overset{?}{=} \frac{\sum_{i=1}^{n} X_i}{\sum_{i=1}^{n} Y_i}

\sum \frac{X_i}{Y_i}

is not

\frac{\sum X_i}{\sum Y_i}

\sum \frac{X_i}{Y_i}

هەمان

\frac{\sum X_i}{\sum Y_i}

نییە

It is not true. A sum cannot be split across a division. With Example 1's data ( $X = 2, 4, 6, 2$ , $Y = 3, 9, 6, 1$ ): $\sum \frac{X_i}{Y_i} = \frac23 + \frac49 + 1 + 2 = \frac{37}{9} \approx 4.111$ , but $\frac{\sum X_i}{\sum Y_i} = \frac{14}{19} \approx 0.737$ . With Example 2's data, the H.W 10 case ( $n = 5$ ): $\sum \frac{X_i}{Y_i} \approx 7.277$ but $\frac{31}{44} \approx 0.705$ . The rule that does hold is for products: $\prod \frac{X_i}{Y_i} = \frac{\prod X_i}{\prod Y_i}$ , see Product (Π) notation.

ڕاست نییە. کۆ ناتوانرێت بەسەر دابەشکردندا دابەش بکرێت. بە نموونەی ⁦(1)⁩ ( $X = 2, 4, 6, 2$ ، $Y = 3, 9, 6, 1$ ): $\sum \frac{X_i}{Y_i} = \frac23 + \frac49 + 1 + 2 = \frac{37}{9} \approx 4.111$ ، بەڵام $\frac{\sum X_i}{\sum Y_i} = \frac{14}{19} \approx 0.737$ . بە نموونەی ⁦(2)⁩، کە حاڵەتی ⁦H.W 10⁩ـە ( $n = 5$ ): $\sum \frac{X_i}{Y_i} \approx 7.277$ بەڵام $\frac{31}{44} \approx 0.705$ . ئەو یاسایەی ڕاستە هی لێکدانە: $\prod \frac{X_i}{Y_i} = \frac{\prod X_i}{\prod Y_i}$ ، بڕوانە نیشانەی پی.

The general lesson. Σ passes through plus and minus (rules 7–8) and lets a constant factor out (rule 6). It does not pass through multiplication of variables, division, squares, square roots or logarithms: $\sum X_iY_i \ne \sum X_i \sum Y_i$ , $\sum X_i^2 \ne (\sum X_i)^2$ , $\sum \frac{X_i}{Y_i} \ne \frac{\sum X_i}{\sum Y_i}$ .

وانە گشتییەکە. Σ بە کۆ و کەمکردنەوەدا تێدەپەڕێت (یاساکانی ⁦7–8⁩) و ڕێگا دەدات بچێتە دەرەوە (یاسای ⁦6⁩). بە لێکدانی ، دابەشکردن، دووجا، یان تێناپەڕێت: $\sum X_iY_i \ne \sum X_i \sum Y_i$ ، $\sum X_i^2 \ne (\sum X_i)^2$ ، $\sum \frac{X_i}{Y_i} \ne \frac{\sum X_i}{\sum Y_i}$ .

Quick checkپشکنینی خێراIs

\sum \frac{X_i}{Y_i} = \frac{\sum X_i}{\sum Y_i}

true in general?ئایا

\sum \frac{X_i}{Y_i} = \frac{\sum X_i}{\sum Y_i}

بە گشتی ڕاستە؟Only when

n

is evenتەنها کاتێک

n

جووت بێتNo: one counter-example (4.111 vs 0.737) is enough to show itنەخێر: یەک نموونەی پێچەوانە (⁦4.111⁩ بەرانبەر ⁦0.737⁩) بەسە بۆ پیشاندانیYes, it is rule 9بەڵێ، یاسای 9ـە

Example (1): worked items 1–3نموونەی ⁦(1)⁩: بڕگەکانی ⁦1–3⁩ بە شیکردنەوە

Let $X_i = 2, 4, 6, 2$ and $Y_i = 3, 9, 6, 1$ for $i = 1, \dots, 4$ . The best way to work by hand is a table: one column for each piece, then add each column.

با $X_i = 2, 4, 6, 2$ و $Y_i = 3, 9, 6, 1$ بن بۆ $i = 1, \dots, 4$ . باشترین ڕێگا بۆ کارکردن بە دەست خشتەیەکە: ستوونێک بۆ هەر پارچەیەک، پاشان هەر ستوونێک کۆ بکەرەوە.

Example (1), items 1–3 as one tableنموونەی ⁦(1)⁩، بڕگەکانی ⁦1–3⁩ لە یەک خشتەدا
$i$	$X_i$	$Y_i$	$(Y_i - X_i)^2$	$(X_i - 3)(Y_i - 5)$	$X_iY_i^2$
1	2	3	$1^2 = 1$	$(-1)(-2) = 2$	$2 \cdot 9 = 18$
2	4	9	$5^2 = 25$	$(1)(4) = 4$	$4 \cdot 81 = 324$
3	6	6	$0^2 = 0$	$(3)(1) = 3$	$6 \cdot 36 = 216$
4	2	1	$(-1)^2 = 1$	$(-1)(-4) = 4$	$2 \cdot 1 = 2$
Sumکۆ	14	19	27	13	560

\begin{aligned} 1)\ \textstyle\sum (Y_i - X_i)^2 &= 1 + 25 + 0 + 1 = 27 \\ 2)\ \textstyle\sum (X_i - 3)(Y_i - 5) &= 2 + 4 + 3 + 4 = 13 \\ 3)\ \textstyle\sum X_iY_i^2 &= 18 + 324 + 216 + 2 = 560 \end{aligned}

Example (1): homework items 4–9نموونەی ⁦(1)⁩: ئەرکەکانی ⁦4–9⁩

The lecturer left items 4 to 9 as homework. Try each one, then open the answer. Use the totals $\sum X_i = 14$ , $\sum Y_i = 19$ , $\sum Y_i^2 = 127$ and $\sum X_iY_i = 80$ , with $n = 4$ .

مامۆستاکە بڕگەکانی 4 تا 9ی وەک ئەرک بەجێهێشت. هەر یەکێکیان تاقی بکەرەوە، پاشان وەڵامەکە بکەرەوە. کۆکانی $\sum X_i = 14$ ، $\sum Y_i = 19$ ، $\sum Y_i^2 = 127$ و $\sum X_iY_i = 80$ بەکار بهێنە، لەگەڵ $n = 4$ .

ExerciseڕاهێنانItem 4بڕگەی 4

Find $\sum (X_i - 2)$ .

$\sum (X_i - 2)$ بدۆزەوە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

\textstyle\sum (X_i - 2) = \sum X_i - 2n = 14 - 8 = 6

ExerciseڕاهێنانItem 5بڕگەی 5

Find $\sum (Y_i - 4)$ .

$\sum (Y_i - 4)$ بدۆزەوە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

\textstyle\sum (Y_i - 4) = 19 - 4 \times 4 = 3

ExerciseڕاهێنانItem 6بڕگەی 6

Find $\sum \frac{X_i + 3}{Y_i}$ .

$\sum \frac{X_i + 3}{Y_i}$ بدۆزەوە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

\textstyle\sum \frac{X_i + 3}{Y_i} = \frac53 + \frac79 + \frac96 + \frac51 = \frac{161}{18} \approx 8.944

ExerciseڕاهێنانItem 7بڕگەی 7

Find $\frac{\sum (X_i + 4)}{\sum Y_i}$ .

$\frac{\sum (X_i + 4)}{\sum Y_i}$ بدۆزەوە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

\frac{\sum (X_i + 4)}{\sum Y_i} = \frac{\sum X_i + 4n}{\sum Y_i} = \frac{14 + 16}{19} = \frac{30}{19} \approx 1.579

ExerciseڕاهێنانItem 8بڕگەی 8

Find $\sum Y_i^2 - \frac{(\sum Y_i)^2}{4}$ .

$\sum Y_i^2 - \frac{(\sum Y_i)^2}{4}$ بدۆزەوە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

\textstyle\sum Y_i^2 - \frac{(\sum Y_i)^2}{4} = 127 - \frac{19^2}{4} = 127 - \frac{361}{4} = 127 - 90.25 = 36.75

ExerciseڕاهێنانItem 9بڕگەی 9

Find $\sum X_iY_i - \frac{(\sum X_i)(\sum Y_i)}{4}$ .

$\sum X_iY_i - \frac{(\sum X_i)(\sum Y_i)}{4}$ بدۆزەوە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

\textstyle\sum X_iY_i - \frac{(\sum X_i)(\sum Y_i)}{4} = 80 - \frac{14 \times 19}{4} = 80 - 66.5 = 13.5

A real mistake:

\sum Y_i^2

is not

(\sum Y_i)^2

هەڵەیەکی ڕاستەقینە:

\sum Y_i^2

هەمان

(\sum Y_i)^2

نییە

A student's solution of item 8 divided $\sum Y_i^2$ instead of $(\sum Y_i)^2$ : $127 - \frac{3^2 + 9^2 + 6^2 + 1^2}{4} = 127 - 31.75 = 95.25$ . That mixes up rule 1 and rule 2. The second term needs the square of the sum: $19^2 / 4 = 90.25$ , so the answer is 36.75. (This expression returns later: item 8 is $n - 1 = 3$ times the sample variance of Y, $36.75 = 3 \times 12.25$ .)

چارەسەرێکی خوێندکارێک بۆ بڕگەی 8، $\sum Y_i^2$ ـی دابەش کرد لە جیاتی $(\sum Y_i)^2$ : $127 - \frac{3^2 + 9^2 + 6^2 + 1^2}{4} = 127 - 31.75 = 95.25$ . ئەمە یاسای 1 و یاسای 2 تێکەڵ دەکات. بڕی دووەم دووجای کۆکەی پێویستە: $19^2 / 4 = 90.25$ ، بۆیە وەڵامەکە ⁦36.75⁩ـە. (ئەم دەربڕینە دواتر دەگەڕێتەوە: بڕگەی 8 $n - 1 = 3$ هێندەی Yـە، $36.75 = 3 \times 12.25$ .)

Example (2): eight sumsنموونەی ⁦(2)⁩: هەشت کۆ

Let $X_i = 2, 4, 5, 9, 11$ and $Y_i = 9, 7, 1, 12, 15$ for $i = 1, \dots, 5$ . Find: 1) $\sum X_i$ ; 2) $\sum Y_i$ ; 3) $\sum X_iY_i$ ; 4) $K\sum X_i$ with $K = 3$ ; 5) $\sum X_i^2$ ; 6) $\sum \frac16 Y_i$ ; 7) $\sum \log X_i$ ; 8) $\sum \sqrt{Y_i}$ .

با $X_i = 2, 4, 5, 9, 11$ و $Y_i = 9, 7, 1, 12, 15$ بن بۆ $i = 1, \dots, 5$ . بدۆزەوە: ⁦1⁩) $\sum X_i$ ؛ ⁦2⁩) $\sum Y_i$ ؛ ⁦3⁩) $\sum X_iY_i$ ؛ ⁦4⁩) $K\sum X_i$ بە $K = 3$ ؛ ⁦5⁩) $\sum X_i^2$ ؛ ⁦6⁩) $\sum \frac16 Y_i$ ؛ ⁦7⁩) $\sum \log X_i$ ؛ ⁦8⁩) $\sum \sqrt{Y_i}$ .

\begin{aligned} 1)\ \textstyle\sum X_i &= 2 + 4 + 5 + 9 + 11 = 31 \\ 2)\ \textstyle\sum Y_i &= 9 + 7 + 1 + 12 + 15 = 44 \\ 3)\ \textstyle\sum X_iY_i &= 18 + 28 + 5 + 108 + 165 = 324 \\ 4)\ K\textstyle\sum X_i &= 3 \times 31 = 93 \\ 5)\ \textstyle\sum X_i^2 &= 4 + 16 + 25 + 81 + 121 = 247 \\ 6)\ \textstyle\sum \frac16 Y_i &= \frac16 \times 44 = \frac{22}{3} \approx 7.333 \end{aligned}

\begin{aligned} 7)\ \textstyle\sum \log X_i &= 0.3010 + 0.6021 + 0.6990 + 0.9542 + 1.0414 = 3.5977 = \log 3960 \\ 8)\ \textstyle\sum \sqrt{Y_i} &= 3 + 2.6458 + 1 + 3.4641 + 3.8730 \approx 13.9828 \end{aligned}

Quick checkپشکنینی خێراIn item 6, why can we multiply the total 44 by

\frac16

instead of dividing each

Y_i

?لە بڕگەی 6دا، بۆچی دەتوانین کۆی ⁦44⁩ بە

\frac16

لێک بدەین لە جیاتی دابەشکردنی هەر

Y_i

ـێک؟Rule 9: a sum can be split across a divisionیاسای 9: کۆ دەتوانێت بەسەر دابەشکردندا دابەش بکرێتRule 2: square the sumیاسای 2: کۆکە دووجا بکەRule 6: a constant factor can come out of the sumیاسای 6: نەگۆڕێک دەتوانێت لە کۆکە بچێتە دەرەوە

Spot the mistakesهەڵەکان بدۆزەوە

ExerciseڕاهێنانExercise: check a handwritten solutionڕاهێنان: چارەسەرێکی دەستنووس بپشکنە

A handwritten solution of Example (2) wrote: (a) $\sum X_iY_i = 18 + 28 + 5 + 108 + 55 = 214$ ; (b) $K\sum X_i = 3(31) = 91$ ; (c) $\sum \log X_i = 0.301 + 0.60205 + 0.69897 + 0.9542 + 1.04 = 3.59622$ ; (d) $\sum \sqrt{Y_i} = 3 + 2.645 + 1 + 3.464 + 3.8729 = 13.9819$ . Find each mistake.

چارەسەرێکی دەستنووسی نموونەی ⁦(2)⁩ نووسیبووی: (أ) $\sum X_iY_i = 18 + 28 + 5 + 108 + 55 = 214$ ؛ (ب) $K\sum X_i = 3(31) = 91$ ؛ (ج) $\sum \log X_i = 0.301 + 0.60205 + 0.69897 + 0.9542 + 1.04 = 3.59622$ ؛ (د) $\sum \sqrt{Y_i} = 3 + 2.645 + 1 + 3.464 + 3.8729 = 13.9819$ . هەر هەڵەیەک بدۆزەوە.

Hintئاماژە

Recompute every product and check how many decimal places each term kept.

هەموو لێکدراوێک دووبارە حساب بکەرەوە و سەیر بکە هەر بڕێک بە چەند نووسراوە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

(a) $11 \times 15 = 165$ , not 55. The sum is 324.
(b) $3 \times 31 = 93$ , not 91.
(c) $\log 11 = 1.0414$ , not 1.04. Rounding one term too early moves the answer: the correct total is 3.5977.
(d) The square roots were cut short ( $\sqrt7 = 2.6458$ , $\sqrt{12} = 3.4641$ ), so the total is a little low: 13.9828.

(أ) $11 \times 15 = 165$ ـە، نەک ⁦55⁩. کۆکە ⁦324⁩ـە.
(ب) $3 \times 31 = 93$ ـە، نەک ⁦91⁩.
(ج) $\log 11 = 1.0414$ ـە، نەک ⁦1.04⁩. بڕێک زۆر زوو وەڵامەکە دەجووڵێنێت: کۆی دروست ⁦3.5977⁩ـە.
(د) کورت کرانەوە ( $\sqrt7 = 2.6458$ ، $\sqrt{12} = 3.4641$ )، بۆیە کۆکە کەمێک کەمە: ⁦13.9828⁩.

Check your sums with Pythonکۆکانت بە Python بپشکنە

A computer is a perfect checker for long sums. These lines recompute all eight items of Example (2); zip(X, Y) pairs $X_i$ with $Y_i$ , exactly like the $i$ in $\sum X_iY_i$ .

پشکنەرێکی تەواوە بۆ کۆی درێژ. ئەم دێڕانە هەر هەشت بڕگەکەی نموونەی ⁦(2)⁩ دووبارە حساب دەکەنەوە؛ zip(X, Y) $X_i$ لەگەڵ $Y_i$ جووت دەکات، ڕێک وەک $i$ لە $\sum X_iY_i$ ـدا.

PYTHONType in a terminalلە تێرمیناڵدا بینووسە

import math

X = [2, 4, 5, 9, 11]
Y = [9, 7, 1, 12, 15]

print(sum(X), sum(Y))                            # items 1 and 2
print(sum(x * y for x, y in zip(X, Y)))          # item 3
print(3 * sum(X), sum(x ** 2 for x in X))        # items 4 and 5
print(round(sum(y / 6 for y in Y), 4))           # item 6
print(round(sum(math.log10(x) for x in X), 4))   # item 7
print(round(sum(math.sqrt(y) for y in Y), 4))    # item 8

Explain the codeڕوونکردنەوەی کۆدەکە

Lineدێڕی 7

zip(X, Y) walks through both lists together: (2, 9), (4, 7), (5, 1), …

zip(X, Y) پێکەوە بە هەردوو لیستەکەدا دەڕوات: (⁦2⁩، ⁦9⁩)، (⁦4⁩، ⁦7⁩)، (⁦5⁩، ⁦1⁩)، …

Lineدێڕی 10-11

math.log10 is the base-10 logarithm and math.sqrt the square root.

math.log10 و math.sqrt .

Common mistakesهەڵە باوەکان

Mistakeهەڵە	Correctدروست	Check with $X = 2, 4, 6, 2$ پشکنین بە $X = 2, 4, 6, 2$
$\sum X_i^2 = (\sum X_i)^2$ $\sum X_i^2 = (\sum X_i)^2$	They differجیاوازن	$60 \ne 196$
$\sum X_iY_i = \sum X_i \sum Y_i$ $\sum X_iY_i = \sum X_i \sum Y_i$	They differجیاوازن	$80 \ne 266$
$\sum \frac{X_i}{Y_i} = \frac{\sum X_i}{\sum Y_i}$ $\sum \frac{X_i}{Y_i} = \frac{\sum X_i}{\sum Y_i}$	False (the old “rule 9”)هەڵەیە («یاسای 9»ـی کۆن)	$4.111 \ne 0.737$
$\sum (X_i + 3) = \sum X_i + 3$ $\sum (X_i + 3) = \sum X_i + 3$	$\sum X_i + 3n$ $\sum X_i + 3n$	$26 \ne 17$
Reading $X_3$ as “X times 3”خوێندنەوەی $X_3$ وەک «X جاران 3»	$X_3$ is the third value $X_3$ سێیەم نرخە	$X_3 = 6$
Rounding each term early هەر بڕێک زوو	Round only the final answerتەنها وەڵامی کۆتایی نزیک بکەرەوە	$\log 11 = 1.0414$

Exercisesڕاهێنانەکان

ExerciseڕاهێنانExercise 1: five sumsڕاهێنانی 1: پێنج کۆ

Let $X = 1, 3, 5, 7$ . Find $\sum X_i$ , $\sum X_i^2$ , $(\sum X_i)^2$ , $\sum (2X_i + 1)$ and $\sum (X_i - 4)^2$ .

با $X = 1, 3, 5, 7$ بێت. $\sum X_i$ ، $\sum X_i^2$ ، $(\sum X_i)^2$ ، $\sum (2X_i + 1)$ و $\sum (X_i - 4)^2$ بدۆزەوە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

\begin{aligned} \textstyle\sum X_i &= 16 \qquad \textstyle\sum X_i^2 = 1 + 9 + 25 + 49 = 84 \qquad (\textstyle\sum X_i)^2 = 256 \\ \textstyle\sum (2X_i + 1) &= 2 \times 16 + 4 \times 1 = 36 \qquad \textstyle\sum (X_i - 4)^2 = 9 + 1 + 1 + 9 = 20 \end{aligned}

ExerciseڕاهێنانExercise 2: write it with Σڕاهێنانی 2: بە Σ بینووسە

Write $3 + 6 + 9 + 12 + 15$ with sigma notation, then use rule 6 to find it quickly.

$3 + 6 + 9 + 12 + 15$ بە بنووسە، پاشان بە یاسای 6 خێرا بیدۆزەوە.

Hintئاماژە

Each term is 3 times its position.

هەر بڕێک 3 هێندەی شوێنەکەیەتی.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

\sum_{i=1}^{5} 3i = 3\sum_{i=1}^{5} i = 3(1 + 2 + 3 + 4 + 5) = 3 \times 15 = 45

ExerciseڕاهێنانExercise 3: true or false?ڕاهێنانی 3: ڕاست یان هەڵە؟

Decide, and test with $X = 1, 2$ , $Y = 3, 4$ : (a) $\sum (X_i + Y_i) = \sum X_i + \sum Y_i$ ; (b) $\sum X_iY_i = \sum X_i \sum Y_i$ ; (c) $\sum 5X_i = 5\sum X_i$ .

بڕیار بدە و بە $X = 1, 2$ ، $Y = 3, 4$ تاقی بکەرەوە: (أ) $\sum (X_i + Y_i) = \sum X_i + \sum Y_i$ ؛ (ب) $\sum X_iY_i = \sum X_i \sum Y_i$ ؛ (ج) $\sum 5X_i = 5\sum X_i$ .

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

(a) True (rule 7): $4 + 6 = 10 = 3 + 7$ .
(b) False: $3 + 8 = 11$ but $3 \times 7 = 21$ .
(c) True (rule 6): $5 + 10 = 15 = 5 \times 3$ .

(أ) ڕاستە (یاسای ⁦7⁩): $4 + 6 = 10 = 3 + 7$ .
(ب) هەڵەیە: $3 + 8 = 11$ بەڵام $3 \times 7 = 21$ .
(ج) ڕاستە (یاسای ⁦6⁩): $5 + 10 = 15 = 5 \times 3$ .

Summaryپوختە

$X_i$ is the $i$ -th value of $X$ ; the subscript $i$ runs over $1, 2, \dots, n$ .
$\sum_{i=1}^{n} X_i = X_1 + \cdots + X_n$ : a running total, the same as a loop that adds each value.
Σ splits over $+$ and $-$ , lets constants out ( $\sum C = nC$ , $\sum CX_i = C\sum X_i$ , $\sum (X_i + C) = \sum X_i + nC$ ).
It does not split over products, squares or division: $60 \ne 196$ , $80 \ne 266$ , and “rule 9” is false ( $4.111 \ne 0.737$ ).
Work in a table, keep four decimals, and check long sums with Python's sum().

$X_i$ نرخی $i$ ـەمی $X$ ـە؛ $i$ بە $1, 2, \dots, n$ دا دەڕوات.
$\sum_{i=1}^{n} X_i = X_1 + \cdots + X_n$ : کۆیەکی بەردەوام، هەمان کە هەموو نرخێک کۆ دەکاتەوە.
Σ بەسەر $+$ و $-$ دا دابەش دەبێت و ڕێگا دەدات بچنە دەرەوە ( $\sum C = nC$ ، $\sum CX_i = C\sum X_i$ ، $\sum (X_i + C) = \sum X_i + nC$ ).
بەسەر لێکدان، دووجا یان دابەشکردندا دابەش نابێت: $60 \ne 196$ ، $80 \ne 266$ و «یاسای 9» هەڵەیە ( $4.111 \ne 0.737$ ).
لە خشتەیەکدا کار بکە، چوار بهێڵەوە و کۆی درێژ بە sum()ـی Python بپشکنە.

Next: the same idea for multiplication, Product (Π) notation.

دواتر: هەمان بیرۆکە بۆ لێکدان، نیشانەی پی.

Lesson complete!وانەکە تەواو بوو!

Well done. Review the key terms, then go on to the next lesson.دەستخۆش. سەیرێکی زاراوە سەرەکییەکان بکەرەوە، پاشان بڕۆ بۆ وانەی داهاتوو.

Key termsزاراوە سەرەکییەکان

Next lessonوانەی داهاتوو

Product (Π) Notationنیشانەی پی (Π)

Related lecturesوانە پەیوەندیدارەکان

References and further readingسەرچاوەکان و خوێندنەوەی زیاتر

This lecture is a first edition. The Kurdish text and terminology are waiting for review by Kurdish IT teachers.ئەم وانەیە چاپی یەکەمە. دەقە کوردییەکە و زاراوەکانی چاوەڕێی پێداچوونەوەی مامۆستایانی کوردی بواری IT ن.