Chapterبەش 3 · Lectureوانە 3.3

Coefficient of Variation and Momentsهاوکۆلکەی گۆڕان و مۆمێنتەکان

Comparing spread when means or units differ with the coefficient of variation (the course's Statistics-vs-Mathematics example, corrected and concluded), where the C.V may and may not be used, then moments about a constant, about zero and about the mean, the link $m_2 = m'_2 - (m'_1)^2$ , and Examples 7 (mean corrected to 46) and 8.

بەراوردکردنی کاتێک یان یەکەکان جیاوازن بە (نموونەی بەرامبەر بیرکاریی کۆرسەکە، ڕاستکراو و بە ئەنجام)، ⁦C.V⁩ لە کوێ بەکار دێت و لە کوێ نا، پاشان دەربارەی ، دەربارەی سفر و دەربارەی ، پەیوەندیی $m_2 = m'_2 - (m'_1)^2$ و نموونەکانی 7 ( ڕاستکراوە بۆ ⁦46⁩) و 8.

15 min read15 خولەک خوێندنەوە · 19 stepsهەنگاو

What you will learnچی فێر دەبیت

Compute and interpret the coefficient of variation for a population and a sample.
Decide when the C.V is meaningful and when it is not.
Compute moments about a constant, about zero and about the mean, for raw and grouped data.
Use $m_2 = m'_2 - (m'_1)^2$ to link the moments and to check a calculation.

بۆ و بژمێریت و لێکی بدەیتەوە.
بڕیار بدەیت ⁦C.V⁩ کەی واتادارە و کەی نا.
دەربارەی ، سفر و بۆ خاو و پۆلێنکراو بژمێریت.
پەیوەندیی $m_2 = m'_2 - (m'_1)^2$ بەکاربهێنیت بۆ بەستنەوەی و پشکنینی ژماردنێک.

When standard deviations cannot be comparedکاتێک لادانە پێوانەییەکان بەراورد ناکرێن

The standard deviation is in the units of the data. That is useful, but it makes some comparisons impossible. Are a group's heights (S.D. 7 cm) more spread out than their weights (S.D. 9 kg)? Centimetres and kilograms cannot be compared.

بە یەکەی . ئەمە بەسوودە، بەڵام هەندێک بەراورد مەحاڵ دەکات. ئایا باڵای کۆمەڵێک (⁦S.D 7⁩ سم) پەرتترە لە کێشیان (⁦S.D 9⁩ کگم)؟ سانتیمەتر و کیلۆگرام بەراورد ناکرێن.

Even with the same unit, the size of the mean matters. A spread of 1,000 dinars is huge for a 2,000-dinar sandwich and tiny for a 50-million-dinar car. What we need is the spread relative to the mean.

تەنانەت بە هەمان یەکە، گەورەیی گرنگە. جیاوازیی ⁦1,000⁩ دینار بۆ ساندویچێکی ⁦2,000⁩ دیناری زۆر گەورەیە و بۆ ئۆتۆمبێلێکی ⁦50⁩ ملیۆن دیناری زۆر بچووک. ئەوەی پێویستمانە بە بەراورد لەگەڵ .

Dividing the S.D. by the mean removes the units, so heights and weights can be compared.دابەشکردنی ⁦S.D⁩ بە یەکەکان لادەبات، بۆیە باڵا و کێش بەراورد دەکرێن.CêIT

Quick checkپشکنینی خێراTwo machines fill bags: machine 1 has mean 500 g and S.D. 5 g; machine 2 has mean 50 g and S.D. 2 g. Which is relatively more precise?دوو ئامێر کیسە پڕ دەکەنەوە: ئامێری 1 ⁦500⁩ گم و ⁦S.D 5⁩ گم؛ ئامێری 2 ⁦50⁩ گم و ⁦S.D 2⁩ گم. کامیان بە بەراورد وردترە؟Machine 1 (

5/500 = 1\%

, against

2/50 = 4\%

)ئامێری 1 (

5/500 = 1\%

، بەرامبەر

2/50 = 4\%

)Machine 2, because its S.D. is smallerئامێری 2، چونکە ⁦S.D⁩ ـەکەی بچووکترەThey are equally preciseبە یەکسانی وردن

The coefficient of variationهاوکۆلکەی گۆڕان

The coefficient of variation (C.V), also called the relative standard deviation (RSD), is a standardized measure of the dispersion of a frequency or probability distribution: the standard deviation divided by the mean, usually written as a percentage.

⁦(C.V)⁩، کە پێی دەوترێت ⁦(RSD)⁩ـیش، پێوەرێکی ستانداردکراوی دابەشبوونێکی یان : دابەش بە ، زۆرجار وەک دەنووسرێت.

Definitionپێناسە

The divided by the , usually as a percentage: $CV = \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100\%$ . It compares the spread of data with different units or sizes.

دابەش بە ، زۆرجار وەک ڕێژەی سەدی: $CV = \frac{\sigma}{\bar{x}} \times 100\%$ . بۆ بەراوردکردنی پەرتبوونی دراوەی یەکە یان قەبارەی جیاواز بەکار دێت.

C.V = \frac{\sigma}{\mu} \times 100, \qquad C.V = \frac{s}{\bar x} \times 100

Because S.D. and mean have the same unit, the units cancel: the C.V is a pure number. That makes it the tool for comparing the variability of different distributions and for deciding which one is more homogeneous — the one with the smaller C.V.

چونکە ⁦S.D⁩ و هەمان یەکەیان هەیە، یەکەکان لادەچن: ⁦C.V⁩ ژمارەیەکی پەتییە. ئەمە دەیکاتە ئامراز بۆ بەراوردکردنی گۆڕانی دابەشبوونە جیاوازەکان و بۆ بڕیاردان کامیان یەکدەستترە — ئەوەی ⁦C.V⁩ ـی بچووکترە.

What is the Coefficient Of Variation?? (+ examples!)zedstatistics · Englishئینگلیزی · 191K viewsبینین · 3.8K likesلایک
The coefficient of variation divides the standard deviation by the mean, so data with different means or units can be compared.
دابەش بە دەکات، بۆیە دەتوانیت بە جیاواز یان یەکەی جیاوازەوە بەراورد بکەیت.
Whole video: what the C.V is and two examples
هەموو ڤیدیۆکە: ⁦(C.V)⁩ چییە، لەگەڵ دوو نموونە.

Where the C.V is used — and where it is not⁦C.V⁩ لە کوێ بەکار دێت — و لە کوێ نا

Analytical chemistry: the %RSD of repeated measurements of one sample shows the precision and repeatability of a test (an assay). A lab may accept a method only if its %RSD stays below a limit.
Engineering and physics: quality-assurance studies, and ANOVA gauge R&R studies, which ask how much of the variation in measurements comes from the measuring instrument and the people using it (repeatability and reproducibility).
Computing: a server answering in $200 \pm 20$ ms (C.V 10%) is steadier than one answering in $40 \pm 8$ ms (C.V 20%), although the second is faster.

کیمیای شیکاری: %RSD ـی پێوانە دووبارەکان لەسەر یەک نموونەی ماددە وردی و توانای دووبارەکردنەوەی تاقیکردنەوەیەک (assay) نیشان دەدات. تاقیگەیەک دەکرێت ڕێگایەک تەنها قبوڵ بکات ئەگەر %RSD ـەکەی لە خوار سنوورێک بمێنێتەوە.
ئەندازیاری و فیزیا: لێکۆڵینەوەکانی دڵنیاکردنەوەی جۆرایەتی و لێکۆڵینەوەکانی gauge R&R بە ANOVA، کە دەپرسن چەند لە گۆڕانی پێوانەکان لە ئامرازی پێوان و ئەو کەسانەوە دێت کە بەکاری دەهێنن (repeatability و reproducibility).
: کە لە $200 \pm 20$ ms وەڵام دەداتەوە ⁦(C.V 10%)⁩ جێگیرترە لەوەی لە $40 \pm 8$ ms وەڵام دەداتەوە ⁦(C.V 20%)⁩، هەرچەندە دووەمیان خێراترە.

Quick checkپشکنینی خێراServer A answers in

200 \pm 20

ms, server B in

40 \pm 8

ms. Which one is steadier, relative to its own speed? A لە

200 \pm 20

ms وەڵام دەداتەوە، B لە

40 \pm 8

ms. بە بەراورد لەگەڵ خێراییەکەی، کامیان جێگیرترە؟They are equally steadyبە یەکسانی جێگیرنServer A: its C.V is 10%, against 20% for Bڕاژەکاری ⁦A: C.V⁩ ـەکەی ⁦10%⁩ـە، بەرامبەر ⁦20%⁩ بۆ BServer B, because

\pm 8

ms is smaller than

\pm 20

msڕاژەکاری B، چونکە

\pm 8

ms لە

\pm 20

ms بچووکترە

When the C.V must not be usedکەی ⁦C.V⁩ بەکار نایەت

Only for data with a true zeroتەنها بۆ دراوەیەک کە سفری ڕاستەقینەی هەیە

The C.V divides by the mean, so the mean must be positive and zero must mean “nothing” (a ratio scale: lengths, weights, times, money). Temperatures in °C fail: 0, 10, 20, 30, 40 °C give a C.V of about 79% (with the sample S.D.), but the same temperatures in °F (32 … 104) give about 42%. The spread did not change — only where zero was placed. With a mean near 0 the C.V explodes and means nothing.

⁦C.V⁩ دابەشی دەکات، بۆیە دەبێت ئەرێنی بێت و سفر دەبێت واتای «هیچ» بدات (پێوەری ڕێژەیی: درێژی، کێش، کات، پارە). پلەی گەرمی بە °C سەرناکەوێت: 0، ⁦10⁩، ⁦20⁩، ⁦30⁩، ⁦40 °C C.V⁩ ـی نزیکەی ⁦79%⁩ دەدەن (بە ⁦S.D⁩ ـی )، بەڵام هەمان پلەکان بە °⁦F (32⁩ … ⁦104⁩) نزیکەی ⁦42%⁩. نەگۆڕا — تەنها شوێنی سفر گۆڕا. بە نزیک لە 0، ⁦C.V⁩ دەتەقێتەوە و هیچ واتایەکی نامێنێت.

Quick checkپشکنینی خێراWhy is the C.V of temperatures in °C not meaningful?بۆچی ⁦C.V⁩ ـی پلەی گەرمی بە °C واتادار نییە؟0 °C is not “no temperature”, so dividing by the mean depends on an arbitrary zero⁦0 °C⁩ واتای «هیچ گەرمی» نییە، بۆیە دابەشکردن بە ناوەند پشت بە سفرێکی هەڕەمەکی دەبەستێتTemperatures have no standard deviationلادانی پێوانەیی بۆ پلەی گەرمی نییەBecause °C values are always negativeچونکە نرخەکانی °C هەمیشە نەرێنین

Example 6: Statistics or Mathematics — which marks vary more?نموونەی 6: ئامار یان بیرکاری — نمرەکانی کامیان زیاتر جیاوازن؟

Final-exam results of two subjects in the same stage:

ئەنجامی تاقیکردنەوەی کۆتایی دوو وانە لە هەمان قۆناغدا:

Table (7)خشتەی ⁦(7)⁩
Measureپێوەر	Statistics	Mathematicsبیرکاری
Mean	78	73
S.D.	8	7.6

Which subject has the larger dispersion? The S.D.s (8 and 7.6) belong to different means, so compare the C.V:

کام وانە گەورەتری هەیە؟ ⁦S.D⁩ ـەکان (⁦8⁩ و ⁦7.6⁩) هی دوو جیاوازن، بۆیە ⁦C.V⁩ بەراورد بکە:

C.V_{Stat} = \frac{8}{78} \times 100 = 10.26\%, \qquad C.V_{Math} = \frac{7.6}{73} \times 100 = 10.41\%

Conclusion: the Mathematics marks are relatively more spread ( $10.41\% > 10.26\%$ ), although their S.D. is smaller. The Statistics marks are the more homogeneous group. The difference is small: the two subjects vary almost equally.

ئەنجام: نمرەکانی بیرکاری بە بەراورد پەرتترن ( $10.41\% > 10.26\%$ )، هەرچەندە ⁦S.D⁩ ـەکەیان بچووکترە. نمرەکانی کۆمەڵە یەکدەستترەکەن. جیاوازییەکە بچووکە: دوو وانەکە نزیکەی بە یەکسانی جیاوازن.

Two small fixesدوو ڕاستکردنەوەی بچووک

(1) $8/78 \times 100 = 10.256$ , which rounds to 10.26, not 10.25. (2) The notes stop after the two numbers and never answer the question; the conclusion above is the answer. The question also says “dispersion (variance)”, but the C.V compares relative dispersion — a different thing from the variance.

⁦(1)⁩ $8/78 \times 100 = 10.256$ کە بۆ ⁦10.26⁩ نزیک دەکرێتەوە، نەک ⁦10.25. (2)⁩ تێبینییەکان دوای دوو ژمارەکە دەوەستن و هەرگیز وەڵامی پرسیارەکە نادەنەوە؛ ئەنجامەکەی سەرەوە وەڵامەکەیە. پرسیارەکە دەڵێت «dispersion (variance)»ـیش، بەڵام ⁦C.V⁩ ڕێژەیی بەراورد دەکات — شتێکی جیاوازە لە .

Quick checkپشکنینی خێراWhich subject has the larger S.D., and which the larger C.V?کام وانە ⁦S.D⁩ ـی گەورەتری هەیە و کامیان ⁦C.V⁩ ـی گەورەتر؟Statistics has the larger S.D.; Mathematics the larger C.Vئامار ⁦S.D⁩ ـی گەورەتری هەیە؛ بیرکاری ⁦C.V⁩ ـی گەورەترMathematics has bothبیرکاری هەردووکیانی هەیەStatistics has bothئامار هەردووکیانی هەیە

Moments: one family of averagesمۆمێنتەکان: یەک خێزانی تێکڕا

The course now gives a general tool. For any frequency distribution we can take the deviations from some point A, raise them to a power r, and average them. The result is the r-th moment about A. Several numbers you already know are moments: the mean, the mean of squares, the variance.

کۆرسەکە ئێستا ئامرازێکی گشتی دەدات. بۆ هەر دابەشبوونێکی دەتوانین لە خاڵێکی A وەربگرین، بیانگەیەنینە r و تێکڕایان وەربگرین. ئەنجامەکە r ـەم دەربارەی Aیە. چەند ژمارەیەک کە پێشتر دەیانناسیت : ، تێکڕای دووجاکان، .

Definitionپێناسە

An average of powers of deviations: the $r$ -th moment about $a$ is $\frac{\sum (x_i - a)^r}{n}$ (or $E[(X - a)^r]$ ). The first moment about 0 is the ; the second about the mean is the .

تێکڕای توانەکانی لادانە: مۆمێنتی $r$ ـەم دەربارەی $a$ دەکاتە $\frac{\sum (x_i - a)^r}{n}$ (یان $E[(X - a)^r]$ ). یەکەم مۆمێنت دەربارەی 0 ؛ دووەم مۆمێنت دەربارەی .

The seesaw in the parkجووڵانەی باخچە

In physics, a moment is a weight times its distance from a pivot. Put the values on a seesaw as equal weights. The first moment about the pivot measures how much the seesaw tips; it is zero exactly when the pivot is at the balance point — the mean. The second moment measures how far the weights sit from the pivot, which is the idea of spread.

لە فیزیادا یەکسانە بە کێش لێکدراو لە دووری لە خاڵی سووڕانەوە. نرخەکان وەک کێشی یەکسان بخەرە سەر جووڵانەیەک. یەکەم دەربارەی خاڵی سووڕانەوە دەپێوێت جووڵانەکە چەند لار دەبێتەوە؛ ڕێک کاتێک سفرە کە خاڵی سووڕانەوە لەسەر خاڵی هاوسەنگی بێت — . دووەم دەپێوێت کێشەکان چەند لە خاڵی سووڕانەوە دوورن، کە بیرۆکەی .

Where the analogy stops workingسنووری ئەم نموونەیە

A real seesaw has a fixed pivot; in statistics we may put A anywhere, and the moments change with A.

جووڵانەی ڕاستەقینە خاڵی سووڕانەوەی چەسپاوی هەیە؛ لە دەتوانین A لە هەر شوێنێک دابنێین و بە A دەگۆڕێن.

Quick checkپشکنینی خێراTo get the second moment about A, what do you do with each deviation

X - A

?بۆ دووەم دەربارەی A، چی بە هەر

X - A

دەکەیت؟Multiply it by 2, then add them upلە 2 لێکی دەدەیت، پاشان کۆیان دەکەیتەوەSquare it, then take the mean of all the squaresدووجای دەکەیت، پاشان تێکڕای هەموو دووجاکان وەردەگریتTake its absolute valueنرخی ڕووتەکەی وەردەگریت

What are "moments" in statistics? An intuitive video!zedstatistics · Englishئینگلیزی · 271K viewsبینین · 8.1K likesلایک · Partبەشی 0:00–12:10 (ofلە 15:44)
Moments as one family: the first describes the centre, the second the spread, the third the lean and the fourth the tails of the data.
وەک یەک خێزان: یەکەم چەقی وەسف دەکات، دووەم ، سێیەم بەرەو کام لا لارە و چوارەم کلکەکانی چۆنن.
Watch 0:00–12:10: the idea behind moments
لە ⁦0:00⁩ تا ⁦12:10⁩ سەیر بکە: بیرۆکەی پشت .

1) Moments about a constant A⁦1⁩) مۆمێنتەکان دەربارەی نەگۆڕێکی A

m'_r = \frac{\sum_{i=1}^{n} (X_i - A)^r}{n}, \qquad m'_1 = \frac{\sum (X_i - A)}{n}, \qquad m'_2 = \frac{\sum (X_i - A)^2}{n}

The first moment about A is simply $m'_1 = \bar x - A$ : how far the mean is from A, with a sign. The second moment about A is smallest when A is the mean. Watch both as A slides along the axis:

یەکەم دەربارەی A تەنها $m'_1 = \bar x - A$ ـە: چەند لە A دوورە، لەگەڵ نیشانەکەی. دووەم دەربارەی A کاتێک بچووکترینە کە A بێت. سەیری هەردووکیان بکە کاتێک A بە درێژایی دەخزێت:

Animation for the values 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 (mean 5). A pointer A moves to 0, 2, 4, 5, 7 and 10; bars show each value's deviation from A. A box shows m′₁ = x̄ − A (5, 3, 1, 0, −2, −5) and m′₂ = 4 + (5 − A)² (29, 13, 5, 4, 8, 29). A small graph of m′₂ against A is a U-shaped curve whose lowest point, 4, is reached at A = 5: the variance. — The first moment about A changes sign at the mean; the second moment is smallest there and equals the variance.یەکەم دەربارەی A لە نیشانە دەگۆڕێت؛ دووەم لەوێدا بچووکترینە و یەکسانە بە .CêIT

M^r

is not a power

M^r

توان نییە

The notes write the moments as $M^r$ , $M^1$ , $M^2$ . Here r is a label (“the r-th moment”), not an exponent: $M^2$ is not $M \times M$ . To avoid that confusion, this lesson writes $m'_r$ for moments about a point A or about 0 (raw moments) and $m_r$ for moments about the mean (central moments).

تێبینییەکان بە $M^r$ ، $M^1$ ، $M^2$ دەنووسن. لێرەدا r ناونیشانە (« r ـەم»)، نەک : $M^2$ واتای $M \times M$ نییە. بۆ دوورکەوتنەوە لەو تێکەڵبوونە، ئەم وانەیە $m'_r$ بۆ دەربارەی خاڵێکی A یان 0 ( خاو) و $m_r$ بۆ دەربارەی ( ناوەندی) دەنووسێت.

2) Moments about zero⁦2⁩) مۆمێنتەکان دەربارەی سفر

m'_r = \frac{\sum (X_i - 0)^r}{n} = \frac{\sum X_i^r}{n}, \qquad m'_1 = \frac{\sum X_i}{n} = \bar x, \qquad m'_2 = \frac{\sum X_i^2}{n}

You have met $m'_2$ before: the quadratic mean is its square root, $Q = \sqrt{m'_2}$ .

پێشتر $m'_2$ ت ناسیوە: ناوەندی دووجایی ، $Q = \sqrt{m'_2}$ .

3) Moments about the mean⁦3⁩) مۆمێنتەکان دەربارەی ناوەند

m_r = \frac{\sum (X_i - \bar x)^r}{n}, \qquad m_1 = \frac{\sum (X_i - \bar x)}{n} = 0, \qquad m_2 = \frac{\sum (X_i - \bar x)^2}{n} = \sigma^2

The third and fourth central moments describe the shape: $m_3$ measures lopsidedness (skewness) and $m_4$ how peaked or heavy-tailed the data are (kurtosis). Both are taught in the next lesson, Skewness and kurtosis.

سێیەم و چوارەم ناوەندی شێوە وەسف دەکەن: $m_3$ دەپێوێت چەند بەلایەکدا لار بووە () و $m_4$ شێوەی لووتکە و قورسیی کلکەکان دەپێوێت (). هەردووکیان لە وانەی داهاتوودا دەخوێندرێن: ناهاوجێبوون و پلەی لووتکەیی.

Example 7: three kinds of moments on one tableنموونەی 7: سێ جۆری مۆمێنت لەسەر یەک خشتە

Find the first and second moments about the mean, about $A = 50$ and about zero for Table (8): classes 20–30, 30–40, 40–50, 50–60, 60–70 with frequencies 8, 26, 30, 20, 16.

یەکەم و دووەم دەربارەی ، دەربارەی $A = 50$ و دەربارەی سفر بۆ خشتەی ⁦(8)⁩ بدۆزەرەوە: ⁦20–30⁩، ⁦30–40⁩، ⁦40–50⁩، ⁦50–60⁩، ⁦60–70⁩ بە 8، ⁦26⁩، ⁦30⁩، ⁦20⁩، ⁦16⁩.

The mean is 46, not 44ناوەند ⁦46⁩ـە، نەک ⁦44⁩

The printed table gives $\sum X_iF_i = 4400$ and $\bar X = 44$ . But its own column adds up to $200 + 910 + 1350 + 1100 + 1040 = 4600$ , so $\bar X = 46$ (the same slip as Example 3 of the arithmetic mean lesson). The other printed results agree only with 46: $m'_1 = -4 = 46 - 50$ , and $2257 - 46^2 = 141 = 157 - (-4)^2$ , while $2257 - 44^2 = 321$ contradicts them.

خشتە چاپکراوەکە $\sum X_iF_i = 4400$ و $\bar X = 44$ دەدات. بەڵام کۆی ستوونەکەی خۆی $200 + 910 + 1350 + 1100 + 1040 = 4600$ ـە، بۆیە $\bar X = 46$ (هەمان هەڵەی نموونەی 3ی وانەی ناوەند). ئەنجامە چاپکراوەکانی تر تەنها لەگەڵ ⁦46⁩ ڕێکن: $m'_1 = -4 = 46 - 50$ و $2257 - 46^2 = 141 = 157 - (-4)^2$ ، لە کاتێکدا $2257 - 44^2 = 321$ دژیانە.

Example 7: three kinds of moments on one tableنموونەی 7: سێ جۆری مۆمێنت لەسەر یەک خشتە

About $A = 50$ دەربارەی $A = 50$

Table (9), with the corrected total $\sum XF = 4600$ خشتەی ⁦(9)⁩، لەگەڵ کۆی ڕاستکراوەی $\sum XF = 4600$
Class	$F_i$	$X_i$	$X_iF_i$	$X_i - 50$	$F_i(X_i - 50)$	$(X_i - 50)^2$	$F_i(X_i - 50)^2$
20–30	8	25	200	$-25$	$-200$	625	5000
30–40	26	35	910	$-15$	$-390$	225	5850
40–50	30	45	1350	$-5$	$-150$	25	750
50–60	20	55	1100	5	100	25	500
60–70	16	65	1040	15	240	225	3600
Σ	100		4600		$-400$		15700

m'_1 = \frac{\sum F_i(X_i - 50)}{\sum F_i} = \frac{-400}{100} = -4, \qquad m'_2 = \frac{\sum F_i(X_i - 50)^2}{\sum F_i} = \frac{15700}{100} = 157

Quick checkپشکنینی خێراThe first moment about 50 is

m'_1 = -4

. What does it tell you about the mean?یەکەم دەربارەی ⁦50⁩

m'_1 = -4

ـە. چی دەربارەی پێ دەڵێت؟It is

-4

-4

ـەIt lies 4 below 50, so it is 464 لە خوار ⁦50⁩ـەوەیە، واتە ⁦46⁩ـەIt lies 4 above 50, so it is 544 لە سەرووی ⁦50⁩ـەوەیە، واتە ⁦54⁩ـە

Example 7: three kinds of moments on one tableنموونەی 7: سێ جۆری مۆمێنت لەسەر یەک خشتە

About zeroدەربارەی سفر

Table (10)خشتەی ⁦(10)⁩
Class	$F_i$	$X_i$	$X_i^2$	$F_iX_i^2$
20–30	8	25	625	5000
30–40	26	35	1225	31850
40–50	30	45	2025	60750
50–60	20	55	3025	60500
60–70	16	65	4225	67600
Σ	100			225700

m'_1 = \frac{\sum F_iX_i}{\sum F_i} = \frac{4600}{100} = 46 = \bar x, \qquad m'_2 = \frac{\sum F_iX_i^2}{\sum F_i} = \frac{225700}{100} = 2257

Example 7: three kinds of moments on one tableنموونەی 7: سێ جۆری مۆمێنت لەسەر یەک خشتە

About the mean (H.W 2 and 3)دەربارەی ناوەند (ئەرکی ماڵەوەی 2 و ⁦3⁩)

The notes leave the moments about the mean as H.W 2 and H.W 3. With $\bar x = 46$ :

تێبینییەکان دەربارەی وەک ئەرکی ماڵەوەی 2 و 3 بەجێ دەهێڵن. بە $\bar x = 46$ :

$X_i$	$F_i$	$X_i - 46$	$F_i(X_i - 46)$	$(X_i - 46)^2$	$F_i(X_i - 46)^2$
25	8	$-21$	$-168$	441	3528
35	26	$-11$	$-286$	121	3146
45	30	$-1$	$-30$	1	30
55	20	9	180	81	1620
65	16	19	304	361	5776
Σ	100		0		14100

m_1 = \frac{0}{100} = 0, \qquad m_2 = \frac{14100}{100} = 141 = \sigma^2

Two quicker routes give the same 141 and show how the moments are linked (next screen): $m_2 = m'_2 - (\bar x)^2 = 2257 - 46^2 = 141$ and $m_2 = 157 - (-4)^2 = 141$ .

دوو ڕێگای خێراتر هەمان ⁦141⁩ دەدەن و نیشان دەدەن چۆن بەیەکەوە بەستراون (پەڕەی داهاتوو): $m_2 = m'_2 - (\bar x)^2 = 2257 - 46^2 = 141$ و $m_2 = 157 - (-4)^2 = 141$ .

Quick checkپشکنینی خێراWhy must the column

F_i(X_i - 46)

add up to 0?بۆچی دەبێت کۆی ستوونی

F_i(X_i - 46)

0 بێت؟46 is the mean, and deviations from the mean cancel⁦46⁩ ناوەندە و لادانەکان لە ناوەند یەکتر دەسڕنەوەIt is a coincidence of this tableڕێکەوتێکی ئەم خشتەیەیەBecause the frequencies add up to 100چونکە کۆی دووبارەبوونەوەکان ⁦100⁩ـە

One formula links them allیەک فۆرمولە هەموویان دەبەستێتەوە

Split each deviation from A into two parts, $X - A = (X - \bar x) + (\bar x - A)$ , square and average. The cross term disappears because the deviations from the mean add up to 0, and what remains is:

هەر لە A بکە بە دوو بەش، $X - A = (X - \bar x) + (\bar x - A)$ ، دووجای بکە و تێکڕا وەربگرە. بەشی ناوەڕاست نامێنێت چونکە کۆی لە 0ـە و ئەوەی دەمێنێتەوە ئەمەیە:

m'_2(A) = m_2 + (\bar x - A)^2 \qquad\Longleftrightarrow\qquad m_2 = m'_2 - (m'_1)^2

With $A = 0$ this is the shortcut of the variance lesson: $\sigma^2 = \frac{\sum X^2}{n} - \bar x^2$ . Example 7: $2257 - 46^2 = 141$ . It also explains a coincidence in Example 8 (next screen).

بە $A = 0$ ئەمە دەبێتە ڕێگا کورتەکەی وانەی لێکنەچوون: $\sigma^2 = \frac{\sum X^2}{n} - \bar x^2$ . نموونەی 7: $2257 - 46^2 = 141$ . هەروەها ڕێکەوتێک لە نموونەی 8 ڕوون دەکاتەوە (پەڕەی داهاتوو).

Example 8 (H.W 4): moments of raw dataنموونەی 8 (ئەرکی ماڵەوەی ⁦4⁩): مۆمێنتەکانی دراوەی خاو

ExerciseڕاهێنانExample 8نموونەی 8

Find the first and second moments about the mean, about $A = 10$ and about zero for Table (9), the values 2, 3, 5, 4, 7, 8, 6.

یەکەم و دووەم دەربارەی ، دەربارەی $A = 10$ و دەربارەی سفر بۆ خشتەی ⁦(9)⁩ بدۆزەرەوە، واتە نرخەکانی 2، 3، 5، 4، 7، 8، 6.

Hintئاماژە

Use $m'_1 = \bar x - A$ and $m'_2 = \sigma ^2 + (\bar x - A)^2$ to check.

بۆ پشکنین $m'_1 = \bar x - A$ و $m'_2 = \sigma^2 + (\bar x - A)^2$ بەکاربهێنە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

\begin{aligned} \bar x &= 35/7 = 5 \\ A = 10:\ m'_1 &= \tfrac{-8 - 7 - 5 - 6 - 3 - 2 - 4}{7} = \tfrac{-35}{7} = -5, & m'_2 &= \tfrac{64 + 49 + 25 + 36 + 9 + 4 + 16}{7} = \tfrac{203}{7} = 29 \\ A = 0:\ m'_1 &= 35/7 = 5, & m'_2 &= \tfrac{4 + 9 + 25 + 16 + 49 + 64 + 36}{7} = \tfrac{203}{7} = 29 \\ A = \bar x:\ m_1 &= 0, & m_2 &= \tfrac{9 + 4 + 0 + 1 + 4 + 9 + 1}{7} = \tfrac{28}{7} = 4 \end{aligned}

Why is $m'_2 = 29$ both about 10 and about 0? Both points are 5 away from the mean: $4 + (5 - 10)^2 = 4 + (5 - 0)^2 = 29$ .

بۆچی $m'_2 = 29$ هەم دەربارەی ⁦10⁩ و هەم دەربارەی 0؟ هەردوو خاڵ 5 لە دوورن: $4 + (5 - 10)^2 = 4 + (5 - 0)^2 = 29$ .

Moments in Pythonمۆمێنتەکان لە Pythonـدا

One small function covers every case: any power r, any point A, with or without frequencies. It reproduces Examples 7 and 8:

یەک بچووک هەموو حاڵەتەکان دەگرێتەوە: هەر r، هەر خاڵێکی A، لەگەڵ یان بەبێ . نموونەکانی 7 و 8 دووبارە دەکاتەوە:

A moment functionکردارێکی مۆمێنتmoments.pyPYTHONType in a terminalلە تێرمیناڵدا بینووسە

def moment(values, r, about=0, freqs=None):
    """r-th moment of the values about the point `about`."""
    if freqs is None:
        freqs = [1] * len(values)
    n = sum(freqs)
    return sum(f * (x - about) ** r for f, x in zip(freqs, values)) / n

data = [2, 3, 5, 4, 7, 8, 6]                    # Example 8
mean = moment(data, 1)                          # first moment about 0
for A, name in [(10, "A = 10"), (0, "zero"), (mean, "the mean")]:
    print(f"about {name}: m1 = {moment(data, 1, A)}, m2 = {moment(data, 2, A)}")

X = [25, 35, 45, 55, 65]                        # Example 7 (grouped)
F = [8, 26, 30, 20, 16]
xbar = moment(X, 1, 0, F)
print("Example 7 mean:", xbar)
print("about 50:", moment(X, 1, 50, F), moment(X, 2, 50, F))
print("about 0: ", moment(X, 2, 0, F))
print("central: ", moment(X, 1, xbar, F), moment(X, 2, xbar, F))

Explain the codeڕوونکردنەوەی کۆدەکە

Lineدێڕی 1-6

With no frequencies every value counts once; n is the number of values $\sum F$ .

بەبێ هەر نرخێک یەک جار هەژمار دەکرێت؛ n ژمارەی نرخەکانە، $\sum F$ .

Lineدێڕی 9

The first moment about 0 is the mean.

یەکەم دەربارەی 0 .

Lineدێڕی 13-19

Grouped data: midpoints X with frequencies F (Example 7).

: X لەگەڵ F (نموونەی ⁦7⁩).

Common mistakesهەڵە باوەکان

Mistakeهەڵە	Why it is wrongبۆچی هەڵەیە	Correctدروست
Comparing S.D.s of data with different means or unitsبەراوردکردنی ⁦S.D⁩ ـی بە یان یەکەی جیاواز	cm and kg cannot be comparedسم و کگم بەراورد ناکرێن	Compare the C.V, $s/\bar x \times 100$ ⁦C.V⁩ بەراورد بکە، $s/\bar x \times 100$
Using the C.V for °C or a mean near 0بەکارهێنانی ⁦C.V⁩ بۆ °C یان نزیک لە 0	The zero is arbitrary; the ratio means nothingسفرەکە هەڕەمەکییە؛ ڕێژەکە هیچ واتایەکی نییە	Only ratio-scale data with a positive meanتەنها پێوەری ڕێژەیی بە ئەرێنی
Reading $M^r$ as a powerخوێندنەوەی $M^r$ وەک	r is the order of the momentr پلەی	Write $m'_r$ or $m_r$ $m'_r$ یان $m_r$ بنووسە
Forgetting F in grouped momentsلەبیرکردنی F لە پۆلێنکراو	Each midpoint stands for F valuesهەر نوێنەری F نرخە	$\sum F(X - A)^r / \sum F$
Expecting $m_1 \ne 0$ about the meanچاوەڕوانیی $m_1 \ne 0$ دەربارەی	Deviations from the mean cancel لە یەکتر دەسڕنەوە	$m_1 = 0$ always: a free checkهەمیشە $m_1 = 0$ : پشکنینێکی بەخۆڕایی
A slip in $\sum XF$ (4400)هەڵەیەکی بچووک لە $\sum XF$ ⁦(4400)⁩	Every moment about the mean changesهەموو دەربارەی دەگۆڕێت	Check: $m_2 = m'_2 - (m'_1)^2$ must agree for every Aپشکنین: $m_2 = m'_2 - (m'_1)^2$ دەبێت بۆ هەموو A ـیەک ڕێک بێت

Quick checkپشکنینی خێراFor a table,

m'_2

about zero is 2257 and the mean is 44. Why should you be suspicious?بۆ خشتەیەک

m'_2

دەربارەی سفر ⁦2257⁩ـە و ⁦44⁩ـە. بۆچی دەبێت گومانت هەبێت؟2257 is too large to be a moment⁦2257⁩ زۆر گەورەیە بۆ ئەوەی مۆمێنت بێتIt gives a variance of 321, which disagrees with

157 - (-4)^2 = 141

from

A = 50

لێکنەچوونێکی ⁦321⁩ دەدات کە لەگەڵ

157 - (-4)^2 = 141

لە

A = 50

ڕێک نییەMoments about zero cannot be computed for grouped dataمۆمێنتەکان دەربارەی سفر بۆ دراوەی پۆلێنکراو ناژمێردرێن

Exercisesڕاهێنانەکان

ExerciseڕاهێنانC.V of the two classes⁦C.V⁩ ـی دوو پۆلەکە

Classes A and B both have mean 70, with $\sigma = 2.29$ and $\sigma = 15.27$ . Find their coefficients of variation. Does the C.V tell you anything the S.D. did not?

پۆلەکانی A و B هەردووکیان ⁦70⁩یان هەیە، بە $\sigma = 2.29$ و $\sigma = 15.27$ . هەریەکەیان بدۆزەرەوە. ئایا ⁦C.V⁩ شتێکت پێ دەڵێت کە ⁦S.D⁩ نەیگوت؟

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

$C.V_A = 2.29/70 \times 100 = 3.27\%$ , $C.V_B = 15.27/70 \times 100 = 21.81\%$ . With equal means the C.V gives the same ranking as the S.D.; it becomes necessary only when the means or units differ.

$C.V_A = 2.29/70 \times 100 = 3.27\%$ ، $C.V_B = 15.27/70 \times 100 = 21.81\%$ . بە یەکسان ⁦C.V⁩ هەمان ڕیزبەندیی ⁦S.D⁩ دەدات؛ تەنها کاتێک پێویست دەبێت کە یان یەکەکان جیاواز بن.

ExerciseڕاهێنانC.V of the Group B test⁦C.V⁩ ـی تاقیکردنەوەی گرووپی B

The Group B table of the practice lesson has $\bar x = 42.14$ and (from the variance lesson) $s = 20.14$ . Find the sample C.V. Is the class homogeneous?

خشتەی گرووپی B لە وانەی ڕاهێنان $\bar x = 42.14$ ی هەیە و (لە وانەی لێکنەچوون) $s = 20.14$ . ⁦C.V⁩ ـی بدۆزەرەوە. ئایا پۆلەکە یەکدەستە؟

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

$C.V = 20.14/42.14 \times 100 = 47.8\%$ . The typical distance from the mean is almost half of the mean: the marks are very spread out, far from homogeneous (compare the 10% of Example 6).

$C.V = 20.14/42.14 \times 100 = 47.8\%$ . دووریی ئاسایی لە نزیکەی نیوەی : نمرەکان زۆر پەرتن، زۆر دوورن لە یەکدەستی (بەراوردی بکە لەگەڵ ⁦10%⁩ی نموونەی ⁦6⁩).

ExerciseڕاهێنانA third momentمۆمێنتێکی سێیەم

Find the third moment about the mean, $m_3$ , for Example 8 (2, 3, 5, 4, 7, 8, 6) and for Example 7. What do the signs suggest?

سێیەم دەربارەی ، $m_3$ ، بۆ نموونەی ⁦8 (2⁩، 3، 5، 4، 7، 8، ⁦6⁩) و بۆ نموونەی 7 بدۆزەرەوە. نیشانەکان چی پیشان دەدەن؟

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

Example 8: deviations $-3,\ -2,\ 0,\ -1,\ 2,\ 3,\ 1$ ; cubes $-27,\ -8,\ 0,\ -1,\ 8,\ 27,\ 1$ add up to 0, so $m_3 = 0$ : the data are symmetric. Example 7: $\sum F(X - 46)^3 = -74088 - 34606 - 30 + 14580 + 109744 = 15600$ , so $m_3 = 156 > 0$ : a longer tail on the right. Skewness is the topic of the next lesson, Skewness and kurtosis.

نموونەی 8: $-3,\ -2,\ 0,\ -1,\ 2,\ 3,\ 1$ ؛ سێجاکانیان $-27,\ -8,\ 0,\ -1,\ 8,\ 27,\ 1$ کۆیان 0ـە، بۆیە $m_3 = 0$ : هاوجێیە. نموونەی 7: $\sum F(X - 46)^3 = -74088 - 34606 - 30 + 14580 + 109744 = 15600$ ، بۆیە $m_3 = 156 > 0$ : کلکێکی درێژتر لە لای ڕاست. بابەتی وانەی داهاتووە: ناهاوجێبوون و پلەی لووتکەیی.

Summaryپوختە

C.V: the S.D. divided by the mean, times 100 (population $\sigma/\mu \times 100$ , sample $s/\bar x \times 100$ ): a unit-free measure of relative spread; the group with the smaller C.V is the more homogeneous one.
Use it only for ratio-scale data with a positive mean (not °C). Uses: %RSD in chemistry, quality assurance, gauge R&R.
Example 6: C.V 10.26% (Statistics) vs 10.41% (Mathematics) — Mathematics is relatively more spread.
Moments: $m'_r = \sum (X - A)^r/n$ about A. About 0: $m'_1$ is the mean and $m'_2$ the mean of squares. About the mean: $m_1 = 0$ and $m_2$ is the variance. Grouped: put F in the numerator and the denominator.
Link: $m_2 = m'_2 - (m'_1)^2$ . Example 7 (mean 46): about 50 the first two moments are $-4$ and 157; about 0, 46 and 2257; about the mean, 0 and 141.
For a random variable the same moments are weighted by probabilities: Moments of a random variable.

⁦C.V: S.D⁩ دابەش بە ، لێکدراو لە ⁦100⁩ ( $\sigma/\mu \times 100$ ، $s/\bar x \times 100$ ): پێوەرێکی بێ یەکەی ڕێژەیی؛ ئەو کۆمەڵەیەی ⁦C.V⁩ ـی بچووکترە یەکدەستترە.
تەنها بۆ پێوەری ڕێژەیی بە ئەرێنی بەکاری بهێنە (نەک °C). بەکارهێنانەکان: %RSD لە کیمیا، دڵنیاکردنەوەی جۆرایەتی، gauge R&R.
نموونەی ⁦6: C.V 10.26%⁩ () بەرامبەر ⁦10.41%⁩ (بیرکاری) — بیرکاری بە بەراورد پەرتترە.
: $m'_r = \sum (X - A)^r/n$ دەربارەی A. دەربارەی 0: $m'_1$ و $m'_2$ تێکڕای دووجاکانە. دەربارەی : $m_1 = 0$ و $m_2$ . پۆلێنکراو: F لە سەرەوە و خوارەوەی کەرتەکە دابنێ.
پەیوەندی: $m_2 = m'_2 - (m'_1)^2$ . نموونەی 7 ( ⁦46⁩): دوو یەکەم دەربارەی ⁦50⁩، $-4$ و ⁦157⁩ن؛ دەربارەی 0، ⁦46⁩ و ⁦2257⁩؛ دەربارەی ، 0 و ⁦141⁩.
بۆ هەمان بە کێش دەکرێن: مۆمێنتەکانی گۆڕاوێکی هەڕەمەکی.

Review questionsپرسیارەکانی پێداچوونەوە

Why is the C.V unit-free?بۆچی ⁦C.V⁩ بێ یەکەیە؟

Because the S.D. and the mean have the same unit, which cancels in the division.

چونکە ⁦S.D⁩ و هەمان یەکەیان هەیە کە لە دابەشکردنەکەدا لادەچێت.

About which point is the second moment smallest?دووەم مۆمێنت دەربارەی کام خاڵ بچووکترینە؟

About the mean, where it equals the variance.

دەربارەی ، کە لەوێدا یەکسانە بە .

What do the third and fourth central moments describe?سێیەم و چوارەم مۆمێنتی ناوەندی چی وەسف دەکەن؟

The shape: skewness and kurtosis, in Skewness and kurtosis.

شێوە: و ، لە ناهاوجێبوون و پلەی لووتکەیی.

Lesson complete!وانەکە تەواو بوو!

Well done. Review the key terms, then go on to the next lesson.دەستخۆش. سەیرێکی زاراوە سەرەکییەکان بکەرەوە، پاشان بڕۆ بۆ وانەی داهاتوو.

Key termsزاراوە سەرەکییەکان

Next lessonوانەی داهاتوو

Skewness, Kurtosis and the Mean–Median–Mode Relationناهاوجێبوون، پلەی لووتکەیی و پەیوەندیی نێوان ناوەند، ناوەڕاستە و باو

Related lecturesوانە پەیوەندیدارەکان

References and further readingسەرچاوەکان و خوێندنەوەی زیاتر

This lecture is a first edition. The Kurdish text and terminology are waiting for review by Kurdish IT teachers.ئەم وانەیە چاپی یەکەمە. دەقە کوردییەکە و زاراوەکانی چاوەڕێی پێداچوونەوەی مامۆستایانی کوردی بواری IT ن.

Coefficient of Variation and Momentsهاوکۆلکەی گۆڕان و مۆمێنتەکان

What you will learnچی فێر دەبیت

When standard deviations cannot be comparedکاتێک لادانە پێوانەییەکان بەراورد ناکرێن

The coefficient of variationهاوکۆلکەی گۆڕان

Where the C.V is used — and where it is not⁦C.V⁩ لە کوێ بەکار دێت — و لە کوێ نا

When the C.V must not be usedکەی ⁦C.V⁩ بەکار نایەت

Example 6: Statistics or Mathematics — which marks vary more?نموونەی 6: ئامار یان بیرکاری — نمرەکانی کامیان زیاتر جیاوازن؟

Moments: one family of averagesمۆمێنتەکان: یەک خێزانی تێکڕا

1) Moments about a constant A⁦1⁩) مۆمێنتەکان دەربارەی نەگۆڕێکی A

2) Moments about zero⁦2⁩) مۆمێنتەکان دەربارەی سفر

3) Moments about the mean⁦3⁩) مۆمێنتەکان دەربارەی ناوەند

Example 7: three kinds of moments on one tableنموونەی 7: سێ جۆری مۆمێنت لەسەر یەک خشتە

About A=50A = 50A=50دەربارەی A=50A = 50A=50

About zeroدەربارەی سفر

About the mean (H.W 2 and 3)دەربارەی ناوەند (ئەرکی ماڵەوەی 2 و ⁦3⁩)

One formula links them allیەک فۆرمولە هەموویان دەبەستێتەوە

Example 8 (H.W 4): moments of raw dataنموونەی 8 (ئەرکی ماڵەوەی ⁦4⁩): مۆمێنتەکانی دراوەی خاو

Moments in Pythonمۆمێنتەکان لە Pythonـدا

Common mistakesهەڵە باوەکان

Exercisesڕاهێنانەکان

Summaryپوختە

Lesson complete!وانەکە تەواو بوو!

Key termsزاراوە سەرەکییەکان

Related lecturesوانە پەیوەندیدارەکان

About $A = 50$ دەربارەی $A = 50$