Chapterبەش 4 · Lectureوانە 4.6

Mutually Exclusive Events and the Addition Ruleڕووداوی جیا و یاسای کۆکردنەوەی ئەگەر

"Or" as a union, mutually exclusive (disjoint) events and their two properties, the general addition rule $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ with its proof, Examples (15), (16) and (19), a Venn diagram puzzle with Python and Flutter students, inclusion–exclusion for three events and the midterm bag question.

«یان» وەک ، و دوو تایبەتمەندییەکەیان، بە شێوە گشتییەکەی $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ لەگەڵ ، نموونەکانی ⁦(15)⁩، ⁦(16)⁩ و ⁦(19)⁩، مەتەڵێکی بە قوتابیانی Python و Flutter، بۆ سێ و پرسیاری توورەکەی تاقیکردنەوەی نیوەی وەرز.

13 min read15 خولەک خوێندنەوە · 13 stepsهەنگاو

What you will learnچی فێر دەبیت

Decide whether two events are mutually exclusive and use $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ when they are.
Apply and prove the general addition rule for overlapping events.
Solve Venn diagram problems, also backwards, and use inclusion–exclusion for three events.

بڕیار بدە ئایا دوو و گەر وابوون $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ بەکاربهێنە.
بە شێوە گشتییەکەی بۆ یەکتربڕ بەکاربهێنە و بیسەلمێنە.
کێشەی چارەسەر بکە (بە پێچەوانەشەوە) و بۆ سێ بەکاربهێنە.

"A or B" is a union«A یان B» یەکگرتنێکە

In probability, A or B means that A happens, or B happens, or both. As sets it is the union $A \cup B$ : every outcome that is in A, in B, or in both, listed once. A and B is the intersection $A \cap B$ : the outcomes in both. You met these in Union, Intersection, Difference and Complement and Or, and, not: combining events.

لە ، A یان B واتە A ڕوو دەدات، یان B ڕوو دەدات، یان هەردووکیان. وەک ئەمە $A \cup B$ : هەموو ئەو لە A، لە B یان لە هەردووکیاندان، هەر یەکەیان یەک جار. A و B $A \cap B$ : ئەو لە هەردووکیاندان. ئەمانەت لە یەکگرتن و یەکتربڕین و یان، و، نا: تێکەڵکردنی ڕووداوەکان بینیوە.

\cup

is a cup

\cup

پەرداخێکە

The sign $\cup$ looks like a cup, and a cup holds more: "or" lets in outcomes from both events, so it is at least as big as each of them. The sign $\cap$ is the cup turned upside down: "and" keeps only what both events share, so it is never bigger than either. So $P(A \cap B) \le P(A) \le P(A \cup B)$ .

نیشانەی $\cup$ لە پەرداخێک دەچێت و پەرداخ زیاتر هەڵدەگرێت: «یان» لە هەردوو وەردەگرێت، بۆیە لانیکەم بە قەد هەر یەکێکیان گەورەیە. نیشانەی $\cap$ پەرداخە بە سەرەوژێری: «و» تەنها ئەوە دەهێڵێتەوە کە هەردووکیان هاوبەشیانە، بۆیە هەرگیز لە هیچیان گەورەتر نییە. کەواتە $P(A \cap B) \le P(A) \le P(A \cup B)$ .

Where the analogy stops workingسنووری ئەم نموونەیە

A memory aid only: the inequalities are proved by theorem 1 of the axioms lesson (a subset is never more likely).

تەنها یارمەتییەک بۆ لەبیرکردنە: نایەکسانییەکان بە سەلمێنراوی 1ـی وانەی بەڵگەنەویستەکان دەسەلمێنرێن ( هەرگیز زیاتر نییە).

Quick checkپشکنینی خێراWhich is largest for any two events A and B?بۆ هەر دوو A و B کامیان گەورەترینە؟They are always equalهەمیشە یەکسانن

P(A \cup B)

P(A \cup B)

P(A \cap B)

P(A \cap B)

Mutually exclusive (disjoint) eventsڕووداوی جیا

Two events are mutually exclusive, or disjoint, if they cannot happen at the same time: when one happens, the other cannot. They share no outcome, $A \cap B = \varnothing$ . Rolling a die: "even" ( $\{2, 4, 6\}$ ) and "odd" ( $\{1, 3, 5\}$ ) are mutually exclusive, because no number is both.

دوو (جیاکراوە)، گەر نەتوانن لە هەمان کاتدا ڕوو بدەن: کاتێک یەکێکیان ڕوو دەدات، ئەوی تر ناتوانێت. هیچ هاوبەشیان نییە، $A \cap B = \varnothing$ . هەڵدانی بەردەزار: «جووت» ( $\{2, 4, 6\}$ ) و «تاک» ( $\{1, 3, 5\}$ ) ، چونکە هیچ ژمارەیەک هەردووکیان نییە.

Mutually exclusive events have two properties:

دوو تایبەتمەندییان هەیە:

P(A \cap B) = 0 \qquad\qquad P(A \cup B) = P(A) + P(B)

Separate circles: just add. Overlapping circles: add, then subtract the overlap.بازنەی جیا: تەنها کۆ بکەرەوە. بازنەی یەکتربڕ: کۆ بکەرەوە، پاشان بەشە هاوبەشەکە دەربکە.CêIT

"War and peace" is not a probability example«شەڕ و ئاشتی» نموونەی ئەگەر نییە

One of the definitions collected in the notes illustrates mutually exclusive events with "war and peace cannot coexist at the same time". War and peace are not outcomes of one random experiment, so the example does not help with probability. Use outcomes of the same experiment instead: on one roll of a die, "rolling a 2" and "rolling a 5" are mutually exclusive.

یەکێک لەو پێناسانەی لە تێبینییەکاندا کۆکراونەتەوە بە «شەڕ و ئاشتی ناتوانن لە هەمان کاتدا پێکەوە هەبن» ڕوون دەکاتەوە. شەڕ و ئاشتی یەک نین، بۆیە نموونەکە یارمەتی نادات. لەبری ئەوە هەمان تاقیکردنەوە بەکاربهێنە: لە یەک جار هەڵدانی بەردەزاردا «هێنانی 2» و «هێنانی 5» .

Quick checkپشکنینی خێراWhich pair of events is mutually exclusive when one die is rolled?کام جووتە لە یەک جار هەڵدانی بەردەزاردا؟"rolling an even number" and "rolling more than 3"«هێنانی ژمارەیەکی جووت» و «هێنانی زیاتر لە 3»"rolling a 1" and "rolling an even number"«هێنانی 1» و «هێنانی ژمارەیەکی جووت»"rolling less than 4" and "rolling an odd number"«هێنانی کەمتر لە 4» و «هێنانی ژمارەیەکی تاک»

Mutually exclusive (disjoint) eventsڕووداوی جیا

Example (15): one ball from a bagنموونەی ⁦(15)⁩: یەک تۆپ لە توورەکەیەک

Example (15). A bag holds 4 white, 3 black and 5 red balls (12 in all). One ball is drawn at random. What is the probability that it is white or red?

نموونەی ⁦(15)⁩. توورەکەیەک 4 تۆپی سپی، 3 ڕەش و 5 سووری تێدایە (هەمووی ⁦12⁩). یەک تۆپ بە هەڕەمەکی دەردەهێنرێت. ئەوە چەندە کە سپی یان سوور بێت؟

P(W \cup R) = P(W) + P(R) = \frac{4}{12} + \frac{5}{12} = \frac{9}{12} = \frac34

When events overlap: subtract onceکاتێک ڕووداوەکان یەکتر دەبڕن: یەک جار دەربکە

Roll a die. Let A be "even" ( $\{2, 4, 6\}$ ) and B "greater than 3" ( $\{4, 5, 6\}$ ). If you simply add, $P(A) + P(B) = \tfrac36 + \tfrac36 = 1$ , as if A or B were certain. But a roll of 1 or 3 is in neither event. The problem is that 4 and 6 belong to both events, so they were counted twice.

بەردەزارێک هەڵبدە. با A «جووت» بێت ( $\{2, 4, 6\}$ ) و B «لە 3 گەورەتر» بێت ( $\{4, 5, 6\}$ ). گەر تەنها کۆیان بکەیتەوە، $P(A) + P(B) = \tfrac36 + \tfrac36 = 1$ ، وەک ئەوەی A یان B دڵنیا بێت. بەڵام هێنانی 1 یان 3 لە هیچ کامیاندا نییە. کێشەکە ئەوەیە کە 4 و 6 سەر بە هەردوو ، بۆیە دوو جار ژمێردراون.

Two circles A (even: 2, 4, 6) and B (greater than 3: 4, 5, 6) start apart, with 4 and 6 drawn in both. They slide together until 4 and 6 sit in the shared lens, marked × 2: 3/6 + 3/6 = 6/6 = 1, impossible because 1 and 3 are in neither event. The overlap 2/6 is subtracted once: 3/6 + 3/6 − 2/6 = 4/6. Last frame: A or B = {2, 4, 5, 6}, P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B) = 4/6. — The overlap is counted twice by $P(A) + P(B)$ , so it is subtracted once. $P(A) + P(B)$ بەشە هاوبەشەکە دوو جار دەژمێرێت، بۆیە یەک جار دەردەکرێت.CêIT

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)

Why the rule is true: the proofبۆچی یاساکە ڕاستە: سەلماندنەکە

The addition rule is proved from the axioms by cutting $A \cup B$ into pieces that do not overlap.

لە دەسەلمێنرێت، بە بڕینی $A \cup B$ بۆ چەند پارچەیەک کە یەکتر نابڕن.

Cut the unionیەکگرتنەکە ببڕە
$A \cup B = A \cup (A' \cap B)$ : all of A, plus the part of B that is outside A. These two pieces do not overlap.
$A \cup B = A \cup (A' \cap B)$ : هەموو A، لەگەڵ ئەو بەشەی B کە لە دەرەوەی Aـیە. ئەم دوو پارچەیە یەکتر نابڕن.
Use additivityکۆکراوەیی بەکاربهێنە
$P(A \cup B) = P(A) + P(A' \cap B)$ .
$P(A \cup B) = P(A) + P(A' \cap B)$ .
Split B (theorem 7)B دابەش بکە (سەلمێنراوی ⁦7⁩)
B is its part inside A plus its part outside A: $P(B) = P(A \cap B) + P(A' \cap B)$ , so $P(A' \cap B) = P(B) - P(A \cap B)$ .
B بریتییە لە بەشەکەی لە ناو A و بەشەکەی لە دەرەوەی A: $P(B) = P(A \cap B) + P(A' \cap B)$ ، بۆیە $P(A' \cap B) = P(B) - P(A \cap B)$ .
Substituteجێگیری بکە
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ .
$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ .

Quick checkپشکنینی خێراIn step 1, why is it important that A and

A' \cap B

do not overlap?لە هەنگاوی 1دا، بۆچی گرنگە کە A و

A' \cap B

یەکتر نەبڕن؟So that

P(A) = P(B)

بۆ ئەوەی

P(A) = P(B)

بێتSo that axiom 2 (additivity) can be used in step 2بۆ ئەوەی بەڵگەنەویستی 2 (کۆکراوەیی) لە هەنگاوی 2دا بەکاربهێنرێتIt is not importantگرنگ نییە

Example (16): a girl or an A gradeنموونەی ⁦(16)⁩: کچ یان نمرەی A

Example (16). A maths class has 30 students: 17 boys and 13 girls. 4 boys and 5 girls got an A grade. One student is chosen at random. What is the probability that the student is a girl or got an A?

نموونەی ⁦(16)⁩. پۆلێکی بیرکاری ⁦30⁩ قوتابیی تێدایە: ⁦17⁩ کوڕ و ⁦13⁩ کچ. 4 کوڕ و 5 کچ نمرەی Aیان وەرگرت. قوتابییەک بە هەڕەمەکی هەڵدەبژێردرێت. ئەوە چەندە کە کچ بێت یان نمرەی Aـی وەرگرتبێت؟

Writing the class as a two-way table shows the overlap (girls with an A) at once.نووسینی پۆلەکە وەک خشتەیەکی دوولایەنە بەشە هاوبەشەکە (کچانی خاوەن A) یەکسەر پیشان دەدات.
Studentsقوتابیان	Got an Aنمرەی A	No Aبێ A	Totalکۆ
Boysکوڕ	4	13	17
Girlsکچ	5	8	13
Totalکۆ	9	21	30

P(G \cup T) = P(G) + P(T) - P(G \cap T) = \frac{13}{30} + \frac{9}{30} - \frac{5}{30} = \frac{17}{30}

Example (19): the sum of two diceنموونەی ⁦(19)⁩: کۆی دوو بەردەزار

Example (19). Two dice are rolled. What is the probability that the sum is 4 or the sum is greater than 8? Put the 36 equally likely pairs in a grid and colour each event.

نموونەی ⁦(19)⁩. دوو بەردەزار هەڵدەدرێن. ئەوە چەندە کە کۆکەیان 4 بێت یان لە 8 گەورەتر بێت؟ ⁦36⁩ جووتەکە (هەموویان بە هەمان ) لە خانەبەندییەکدا دابنێ و هەر ڕەنگ بکە.

A (sum 4) and B (sum greater than 8) share no cell, so their probabilities add.A (کۆی ⁦4⁩) و B (کۆی گەورەتر لە ⁦8⁩) هیچ خانەیەکی هاوبەشیان نییە، بۆیە کۆ دەکرێنەوە.CêIT

\begin{aligned} A &= \{(1,3), (2,2), (3,1)\}, & P(A) &= \tfrac{3}{36} \\ B &= \{(3,6), (6,3), (4,5), (5,4), (4,6), (6,4), (5,5), (5,6), (6,5), (6,6)\}, & P(B) &= \tfrac{10}{36} \\ P(A \cup B) &= \tfrac{3}{36} + \tfrac{10}{36} = \tfrac{13}{36} & & \end{aligned}

Quick checkپشکنینی خێراTwo dice. What is the probability that the sum is 7 or the two dice show the same number?دوو بەردەزار. ئەوە چەندە کە کۆکە 7 بێت یان هەردوو بەردەزارەکە هەمان ژمارە نیشان بدەن؟

12/36 = 1/3

12/36 = 1/3

6/36

6/36

11/36

11/36

A Venn diagram problem: Python and Flutterکێشەیەکی هێڵکاریی ڤێن: Python و Flutter

In a class of 30 students, 16 study Python and 21 study Flutter. Every student studies at least one of them. How many study both? This puzzle is the addition rule used backwards.

لە پۆلێکی ⁦30⁩ قوتابیدا، ⁦16⁩ کەس Python دەخوێنن و ⁦21⁩ کەس Flutter. هەموو قوتابییەک لانیکەم یەکێکیان دەخوێنێت. چەند کەس هەردووکیان دەخوێنن؟ ئەم مەتەڵە بە پێچەوانەوە بەکارهێنراو.

Name the unknownنەزانراوەکە ناو بنێ
Let $b$ be the number who study both. Then $16 - b$ study only Python and $21 - b$ only Flutter.
با $b$ ژمارەی ئەوانە بێت کە هەردووکیان دەخوێنن. ئەوکات $16 - b$ کەس تەنها Python دەخوێنن و $21 - b$ کەس تەنها Flutter.
Add the three regionsسێ ناوچەکە کۆ بکەرەوە
$(16 - b) + b + (21 - b) = 30 \Rightarrow 37 - b = 30 \Rightarrow b = 7$ .
$(16 - b) + b + (21 - b) = 30 \Rightarrow 37 - b = 30 \Rightarrow b = 7$ .
Fill the diagramهێڵکاریی ڤێنەکە پڕ بکەرەوە
Python only 9, both 7, Flutter only 14, neither 0; $9 + 7 + 14 = 30$ .
تەنها ⁦Python 9⁩، هەردووکیان 7، تەنها ⁦Flutter 14⁩، هیچیان 0؛ $9 + 7 + 14 = 30$ .

The overlap is what the two circles count twice:

16 + 21 - 30 = 7

.بەشە هاوبەشەکە ئەوەیە کە دوو بازنەکە دوو جار دەیژمێرن:

16 + 21 - 30 = 7

.CêIT

Event (one student at random) (یەک قوتابی بە هەڕەمەکی)	Probability
studies PythonPython دەخوێنێت	$\tfrac{16}{30}$
studies FlutterFlutter دەخوێنێت	$\tfrac{21}{30}$
Python onlyتەنها Python	$\tfrac{9}{30}$
Flutter onlyتەنها Flutter	$\tfrac{14}{30}$
Python and FlutterPython و Flutter	$\tfrac{7}{30}$
Python or FlutterPython یان Flutter	$\tfrac{16}{30} + \tfrac{21}{30} - \tfrac{7}{30} = \tfrac{30}{30} = 1$

بیرکاری پۆلی 11 وێژەیی وانەی (۱-۳) یاسای ئەگەر فیدیۆی دووەمم / شهاب بیرکاری · Kurdish (Sorani)کوردی (سۆرانی) · 18K viewsبینین · 470 likesلایک · Partبەشی 10:10–15:20 (ofلە 23:20)
A Kurdish teacher explains complementary events and P(Ā) = 1 − P(A), then reads probabilities from a three-circle Venn diagram.
مامۆستایەکی کورد و $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$ ڕوون دەکاتەوە، پاشان لە سێ بازنەیی دەخوێنێتەوە.
Plays 10:10-15:20 in Sorani: 60 students and three subjects in a Venn diagram; the chance that a student studies two subjects, all three, and so on.
لە ⁦10:10⁩ تا ⁦15:20⁩ بە سۆرانی پەخش دەبێت: ⁦60⁩ خوێندکار و سێ بابەت لە ؛ ئەوەی خوێندکارێک دوو بابەت یان هەر سێ بابەتەکە بخوێنێت، لەگەڵ پرسیاری تر.

Three events: inclusion–exclusionسێ ڕووداو: بنەمای تێخستن و دەرکردن

For three events the same idea needs one more correction: adding the three probabilities counts every pairwise overlap twice, so subtract the pairs, but then the middle part (in all three) has been added three times and subtracted three times, so add it back once.

بۆ سێ هەمان بیرۆکە پێویستی بە ڕاستکردنەوەیەکی تر هەیە: کۆکردنەوەی سێ هەر بەشێکی هاوبەشی دوو دانە دوو جار دەژمێرێت، بۆیە جووتەکان دەربکە. بەڵام بەشی ناوەڕاست (لە هەر سێکیاندا) سێ جار کۆکراوەتەوە و سێ جار دەرکراوە، بۆیە یەک جار بیخەرەوە سەری.

P(A_1 \cup A_2 \cup A_3) = P(A_1) + P(A_2) + P(A_3) - P(A_1 \cap A_2) - P(A_2 \cap A_3) - P(A_3 \cap A_1) + P(A_1 \cap A_2 \cap A_3)

Example. A number is chosen at random from 1 to 30. Let A = divisible by 2 (15 numbers), B = divisible by 3 (10), C = divisible by 5 (6). Pairs: by 6 (5 numbers), by 15 (2), by 10 (3); all three: by 30 (1).

نموونە. ژمارەیەک بە هەڕەمەکی لە 1 تا ⁦30⁩ هەڵدەبژێردرێت. با A = دابەشبوو بە ⁦2 (15⁩ ژمارە)، B = دابەشبوو بە ⁦3 (10)⁩، C = دابەشبوو بە ⁦5 (6)⁩ بن. جووتەکان: بە ⁦6 (5⁩ ژمارە)، بە ⁦15 (2)⁩، بە ⁦10 (3)⁩؛ هەر سێکیان: بە ⁦30 (1)⁩.

P(A \cup B \cup C) = \frac{15 + 10 + 6 - 5 - 2 - 3 + 1}{30} = \frac{22}{30} = \frac{11}{15}

Quick checkپشکنینی خێراIn the three-event formula, why is

P(A \cap B \cap C)

added back?لە سێ ، بۆچی

P(A \cap B \cap C)

دەخرێتەوە سەر؟To make the answer bigger than 1بۆ ئەوەی وەڵامەکە لە 1 گەورەتر بێتIt was never countedهەرگیز نەژمێردرابووIt was added 3 times and subtracted 3 times, so it would be missing3 جار کۆکراوەتەوە و 3 جار دەرکراوە، بۆیە ون دەبوو

Common mistakesهەڵە باوەکان

Mistakeهەڵە	Why it is wrongبۆچی هەڵەیە	Do this insteadلەبری ئەوە ئەمە بکە
Adding $P(A) + P(B)$ for overlapping eventsکۆکردنەوەی $P(A) + P(B)$ بۆ یەکتربڕ	The shared outcomes are counted twice; the answer can even pass 1. هاوبەش دوو جار دەژمێردرێن؛ وەڵامەکە دەشێت لە 1 تێپەڕێت.	Ask: can both happen at once? If yes, subtract $P(A \cap B)$ .بپرسە: دەکرێت هەردووکیان پێکەوە ڕوو بدەن؟ گەر بەڵێ، $P(A \cap B)$ دەربکە.
Subtracting the overlap twiceدەرکردنی بەشە هاوبەشەکە دوو جار	Then the shared outcomes are not counted at all.ئەوکات هاوبەش هەر ناژمێردرێن.	Subtract it exactly once (for two events).ڕێک یەک جار دەری بکە (بۆ دوو ).
Thinking "disjoint" means "independent"وابزانیت «جیا» واتە «سەربەخۆ»	Disjoint events with positive probabilities are dependent. بە ئەرێنی .	Use $P(A \cap B) = 0$ for disjoint, $P(A \cap B) = P(A)P(B)$ for independent.بۆ جیا $P(A \cap B) = 0$ و بۆ سەربەخۆ $P(A \cap B) = P(A)P(B)$ بەکاربهێنە.
Adding an impossible colour as if it had balls (midterm Q2A b)کۆکردنەوەی ڕەنگێکی ئەستەم وەک ئەوەی تۆپی هەبێت (پرسیاری ⁦2A b⁩)	A colour that is not in the bag has probability 0.ڕەنگێک کە لە توورەکەکەدا نییە 0ـە.	$P(K) = 0$ , so $P(K \cup G) = 0 + \tfrac{4}{18}$ (K = black, G = green). $P(K) = 0$ ، بۆیە $P(K \cup G) = 0 + \tfrac{4}{18}$ (K ڕەش، G سەوز).

Quick checkپشکنینی خێرا

P(A) = 0.6

and

P(B) = 0.7

. What can you say for sure?

P(A) = 0.6

و

P(B) = 0.7

. چی بە دڵنیاییەوە دەتوانیت بڵێیت؟A and B are independentA و B ڕووداوی سەربەخۆنA and B are not mutually exclusiveA و B ڕووداوی جیا نین

P(A \cup B) = 1.3

P(A \cup B) = 1.3

Exercisesڕاهێنانەکان

ExerciseڕاهێنانMidterm Q2A: a bag of coloured ballsپرسیاری ⁦2A⁩ـی تاقیکردنەوەی نیوەی وەرز: توورەکەیەک تۆپی ڕەنگاوڕەنگ

A bag contains 4 green, 6 yellow and 8 blue balls. One ball is drawn at random. (a) What is the probability that it is blue or green? (b) What is the probability that it is black or green?

توورەکەیەک 4 تۆپی سەوز، 6 زەرد و 8 شینی تێدایە. یەک تۆپ بە هەڕەمەکی دەردەهێنرێت. (أ) ئەوە چەندە کە شین یان سەوز بێت؟ (ب) ئەوە چەندە کە ڕەش یان سەوز بێت؟

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

\begin{aligned} \text{a)}\; P(B \cup G) &= \tfrac{8}{18} + \tfrac{4}{18} = \tfrac{12}{18} = \tfrac23 \approx 0.667 \\ \text{b)}\; P(K \cup G) &= \tfrac{0}{18} + \tfrac{4}{18} = \tfrac{4}{18} \approx 0.222 \end{aligned}

ExerciseڕاهێنانOverlap on two diceبەشی هاوبەش لە دوو بەردەزاردا

Two dice are rolled. Find the probability that the first die shows 6 or the sum is at least 10.

دوو بەردەزار هەڵدەدرێن. ئەوە بدۆزەرەوە کە بەردەزاری یەکەم 6 نیشان بدات یان کۆکە لانیکەم ⁦10⁩ بێت.

Hintئاماژە

List the pairs with a sum of at least 10 and see which start with 6.

ئەو جووتانە بنووسە کە کۆیان لانیکەم ⁦10⁩ـە و سەیر بکە کامیان بە 6 دەست پێ دەکەن.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

P = \frac{6}{36} + \frac{6}{36} - \frac{3}{36} = \frac{9}{36} = \frac14

ExerciseڕاهێنانNeither eventهیچ کام لە دوو ڕووداوەکە

One die. A = even, B = greater than 3. What is the probability that neither A nor B happens?

یەک بەردەزار. A = جووت، B = لە 3 گەورەتر. ئەوە چەندە کە هیچ کام لە A و B ڕوو نەدەن؟

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

"Neither" is the complement of "A or B": $1 - P(A \cup B) = 1 - \tfrac46 = \tfrac26 = \tfrac13$ . Check: only 1 and 3 are in neither event.

«هیچ کامیان» «A یان B»ـە: $1 - P(A \cup B) = 1 - \tfrac46 = \tfrac26 = \tfrac13$ . پشکنین: تەنها 1 و 3 لە هیچ نین.

ExerciseڕاهێنانFind the overlapبەشی هاوبەش بدۆزەرەوە

In a survey, L = "a student uses a laptop" and T = "a student uses a tablet", with $P(L) = 0.7$ , $P(T) = 0.4$ and $P(L \cup T) = 0.85$ . What is $P(L \cap T)$ , the probability of using both?

لە ڕاپرسییەکدا، L واتە «قوتابییەک لاپتۆپ بەکاردەهێنێت» و T واتە «تابلێت بەکاردەهێنێت»: $P(L) = 0.7$ ، $P(T) = 0.4$ و $P(L \cup T) = 0.85$ . $P(L \cap T)$ ، واتە بەکارهێنانی هەردووکیان، چەندە؟

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

P(L \cap T) = P(L) + P(T) - P(L \cup T) = 0.7 + 0.4 - 0.85 = 0.25

Summaryپوختە

"A or B" is the union $A \cup B$ ; "A and B" is the intersection $A \cap B$ ( $\cup$ is a cup: it holds more).
Mutually exclusive (disjoint): $P(A \cap B) = 0$ and $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ .
Any two events: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ ; the overlap is subtracted once.
Three events: add singles, subtract pairs, add the triple (inclusion–exclusion).
The rule also works backwards: $P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B)$ ( $16 + 21 - 30 = 7$ ).

«A یان B» $A \cup B$ ـە؛ «A و B» $A \cap B$ ـە ( $\cup$ پەرداخە: زیاتر هەڵدەگرێت).
: $P(A \cap B) = 0$ و $P(A \cup B) = P(A) + P(B)$ .
هەر دوو : $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ ؛ بەشە هاوبەشەکە یەک جار دەردەکرێت.
سێ : تاکەکان کۆ بکەرەوە، جووتەکان دەربکە، سێیەکە بخەرەوە سەر ().
یاساکە بە پێچەوانەشەوە کار دەکات: $P(A \cap B) = P(A) + P(B) - P(A \cup B)$ ( $16 + 21 - 30 = 7$ ).

Review questionsپرسیارەکانی پێداچوونەوە

Why is the probability of "sum 4 or sum greater than 8" just

\tfrac{3}{36} + \tfrac{10}{36}

?بۆچی ئەگەری «کۆی 4 یان کۆی گەورەتر لە 8» تەنها

\tfrac{3}{36} + \tfrac{10}{36}

ـە؟

A sum cannot be 4 and greater than 8 at once: the events are mutually exclusive.

کۆیەک ناتوانێت لە یەک کاتدا 4 بێت و لە 8 گەورەتر بێت: .

What does "mutually inclusive" mean in the notes?«ڕووداوی ناجیا» لە تێبینییەکاندا چ واتایەکی هەیە؟

Events that can happen together; textbooks say "not mutually exclusive".

ئەو کە دەتوانن پێکەوە ڕوو بدەن؛ کتێبەکان دەڵێن «جیا نین».

Videoڤیدیۆ

Watch a videoسەیری ڤیدیۆیەک بکە

A video that viewers liked a lot and praised in their comments, chosen for this lesson.ڤیدیۆیەک کە بینەران زۆریان پێ خۆش بووە و لە کۆمێنتەکانیاندا ستایشیان کردووە، بۆ ئەم وانەیە هەڵبژێردراوە.

The Probability of the Union of Events (6.3)Simple Learning Pro · Englishئینگلیزی · 143K viewsبینین · 2.9K likesلایک
Probability of "A or B" with two dice: add both events and subtract the overlap once, shown on a Venn diagram.
«A یان B» بە دوو بەردەزار: هەردوو کۆ بکەرەوە و بەشە هاوبەشەکە یەک جار لێی کەم بکەرەوە، لەسەر .
Reviews sample spaces and simple probability with two dice, then the union of two overlapping events from 4:14 (9/36 + 11/36 − 5/36 = 15/36).
سەرەتا و سادە بە دوو بەردەزار دووبارە دەکاتەوە، پاشان لە ⁦4:14⁩ـەوە دوو کە بەشی هاوبەشیان هەیە ( $9/36 + 11/36 - 5/36 = 15/36$ ).

Lesson complete!وانەکە تەواو بوو!

Well done. Review the key terms, then go on to the next lesson.دەستخۆش. سەیرێکی زاراوە سەرەکییەکان بکەرەوە، پاشان بڕۆ بۆ وانەی داهاتوو.

Key termsزاراوە سەرەکییەکان

Next lessonوانەی داهاتوو

Conditional Probability, Independence and the Multiplication Ruleئەگەری مەرجدار، سەربەخۆیی و یاسای لێکدانی ئەگەر

Related lecturesوانە پەیوەندیدارەکان

References and further readingسەرچاوەکان و خوێندنەوەی زیاتر

This lecture is a first edition. The Kurdish text and terminology are waiting for review by Kurdish IT teachers.ئەم وانەیە چاپی یەکەمە. دەقە کوردییەکە و زاراوەکانی چاوەڕێی پێداچوونەوەی مامۆستایانی کوردی بواری IT ن.