Chapterبەش 6 · Lectureوانە 6.5

Properties of Determinantsتایبەتمەندییەکانی دیتەرمینانت

The notes' eight properties of determinants, each with a new example (transpose, zero and equal rows, row swaps, scaling a row, $\det(kA) = k^n\det A$ , triangular matrices, $\det(AB) = \det A\det B$ ), the row-replacement rule, and the method that turns any matrix triangular with a running factor — with a worked $4 \times 4$ example.

هەشت تایبەتمەندییەکەی لە تێبینییەکاندا، هەریەکەیان بە نموونەیەکی نوێ (، ڕیزی سفر و یەکسان، گۆڕینەوەی ڕیز، لێکدانی ڕیزێک، $\det(kA) = k^n\det A$ ، سێگۆشەییەکان، $\det(AB) = \det A\det B$ )، یاسای زیادکردنی چەند هێندەی ڕیزێک و ئەو ڕێگەیەی هەر بە لێکدەری تا ئێستا دەکات بە سێگۆشەیی — لەگەڵ نموونەیەکی شیکراوەی $4 \times 4$ .

18 min read20 خولەک خوێندنەوە · 18 stepsهەنگاو

What you will learnچی فێر دەبیت

Use the properties to find a determinant at a glance (zero row, equal or proportional rows, triangular).
Say what each elementary row operation does to the determinant, and why $\det(kA) = k^n\det A$ .
Reduce a $3 \times 3$ or $4 \times 4$ matrix to triangular form with a running factor.
Use $\det(AB) = \det A\det B$ and its consequences, and avoid the false “sum rule”.

تایبەتمەندییەکان بەکاربهێنیت بۆ دۆزینەوەی بە یەک سەیرکردن (ڕیزی سفر، ڕیزی یەکسان یان ڕێژەیی، سێگۆشەیی).
بڵێیت هەر چی بە دەکات و بۆچی $\det(kA) = k^n\det A$ .
$3 \times 3$ یان $4 \times 4$ بە لێکدەری تا ئێستا بکەیت بە سێگۆشەیی.
$\det(AB) = \det A\det B$ و ئەنجامەکانی بەکاربهێنیت و خۆت لە «یاسای کۆ»ی هەڵە بپارێزیت.

Why learn the properties?بۆچی تایبەتمەندییەکان فێر ببین؟

In Determinants, Minors and Cofactors you found determinants by cofactor expansion. It always works, but the work grows fast: a $4 \times 4$ determinant becomes four $3 \times 3$ ones, and a $5 \times 5$ becomes five $4 \times 4$ ones (about $5! = 120$ products).

لە دیتەرمینانتەکان، ماینەرەکان و کۆفاکتەرەکاندا بە کردنەوە بە دۆزییەوە. هەمیشە کار دەکات، بەڵام کارەکە خێرا گەورە دەبێت: $4 \times 4$ دەبێتە چوار $3 \times 3$ و $5 \times 5$ دەبێتە پێنج $4 \times 4$ (نزیکەی $5! = 120$ لێکدان).

The properties in this lesson are shortcuts for a $A$ of order $n \times n$ . Some give the answer at a glance (very often 0). Others let you change the matrix into an easy one and keep track of what each change did to the determinant. The notes number the properties 1 to 8; this lesson takes them in the order that builds a method, and each screen says which number the notes use.

تایبەتمەندییەکانی ئەم وانەیە ڕێگەی کورتن بۆ $A$ بە قەبارەی $n \times n$ . هەندێکیان بە یەک سەیرکردن وەڵامەکە دەدەن (زۆر جار ⁦0⁩). هەندێکی تریان ڕێگە دەدەن بکەیت بە ئاسان و ئاگات لەوە بێت هەر گۆڕانکارییەک چی بە کردووە. تێبینییەکان تایبەتمەندییەکان لە 1 تا 8 ژمارە دەکەن؛ ئەم وانەیە بەو ڕیزبەندییە دەیانخوێنێت کە ڕێگەیەکی کار دروست دەکات و هەر شاشەیەک دەڵێت تێبینییەکان چ ژمارەیەکیان پێداوە.

Property 1: $\det A^T = \det A$ تایبەتمەندیی 1: $\det A^T = \det A$

Turning the rows into columns — the Transpose — does not change the determinant. Take a new $3 \times 3$ example and expand both along their first row:

کردنی ڕیزەکان بە ستوون — جێگۆڕکێی ماتریکس — ناگۆڕێت. نموونەیەکی نوێی $3 \times 3$ وەربگرە و هەردووکیان بە درێژایی ڕیزی یەکەمیان بکەرەوە:

\begin{aligned} \det P &= \begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 1 \\ 4 & 0 & 2 \end{vmatrix} = 1(6 - 0) - 2(0 - 4) + 0 = 14 \\ \det P^T &= \begin{vmatrix} 1 & 0 & 4 \\ 2 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 1(6 - 0) - 0 + 4(2 - 0) = 14 \end{aligned}

Why it is true: expanding $A$ along row $i$ is the same calculation as expanding $A^T$ along column $i$ , and any row or column gives the same answer. The useful part: every rule below that speaks about rows is also true for columns.

بۆچی ڕاستە: کردنەوەی $A$ بە درێژایی ڕیزی $i$ هەمان ژمێریارییە وەک کردنەوەی $A^T$ بە درێژایی ستوونی $i$ و هەر ڕیز یان ستوونێک هەمان وەڵام دەدات. بەشە بەسوودەکەی: هەر یاسایەکی خوارەوە کە باسی ڕیز دەکات، بۆ ستوونیش ڕاستە.

A row or column of zeros gives 0ڕیز یان ستوونێکی سفر 0 دەدات

If one row (or one column) is all zeros, the determinant is 0. This is property 3 in the notes. Expand along that row: every term is $0 \times$ a cofactor.

ئەگەر ڕیزێک (یان ستوونێک) هەمووی سفر بێت، 0ـە. ئەمە تایبەتمەندیی 3ـە لە تێبینییەکاندا. بە درێژایی ئەو ڕیزە بیکەرەوە: هەموو بڕێک $0 \times$ .

\begin{vmatrix} 4 & -7 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 5 & 1 & 9 \end{vmatrix} = 0\cdot C_{21} + 0\cdot C_{22} + 0\cdot C_{23} = 0 \qquad \begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 0 - 0 = 0

Swapping two rows changes the signگۆڕینەوەی شوێنی دوو ڕیز هێما دەگۆڕێت

If $B$ is $A$ with two rows (or two columns) swapped, then $\det B = -\det A$ . This is property 4 in the notes. A new example:

ئەگەر $B$ هەمان $A$ بێت بەڵام شوێنی دوو ڕیز (یان دوو ستوون) گۆڕدرابێتەوە، ئەوا $\det B = -\det A$ . ئەمە تایبەتمەندیی 4ـە لە تێبینییەکاندا. نموونەیەکی نوێ:

\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 7 \end{vmatrix} = 7 - 6 = 1 \qquad \xrightarrow{\;R_1 \leftrightarrow R_2\;} \qquad \begin{vmatrix} 3 & 7 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 6 - 7 = -1

The notes' example: $A = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$ has $\det A = 4 - 6 = -2$ ; with the rows swapped, $B = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$ has $\det B = 6 - 4 = 2$ .

نموونەکەی تێبینییەکان: $A = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$ $\det A = 4 - 6 = -2$ ـە؛ دوای گۆڕینەوەی ڕیزەکان، $B = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$ $\det B = 6 - 4 = 2$ ـە.

The notes print B equal to Aتێبینییەکان B وەک A چاپ دەکەن

In properties 4 and 5 the notes print $B$ exactly like $A = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$ , so the example seems to say that one matrix has two different determinants. The numbers written under it ( $6 - 4 = 2$ and $8 - 12 = -4$ ) belong to the correct matrices: rows swapped, $\begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$ , and row 1 doubled, $\begin{bmatrix} 2 & 6 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$ (next screens).

لە تایبەتمەندیی 4 و 5دا تێبینییەکان $B$ ڕێک وەک $A = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$ چاپ دەکەن، بۆیە وا دەردەکەوێت کە یەک دوو جیاوازی هەبێت. ئەو ژمارانەی لە ژێریدا نووسراون ( $6 - 4 = 2$ و $8 - 12 = -4$ ) هی ڕاستەکانن: ڕیزەکان گۆڕدراونەتەوە، $\begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$ و ڕیزی 1 دوو هێندە کراوە، $\begin{bmatrix} 2 & 6 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$ (شاشەکانی داهاتوو).

Two equal rows give 0دوو ڕیزی یەکسان 0 دەدەن

If two rows (or two columns) are equal, the determinant is 0. This is property 2 in the notes. The swap rule explains why: swap the two equal rows. The matrix does not change, so its determinant $d$ stays the same — but the swap rule says it must become $-d$ . The only number with $d = -d$ is 0.

ئەگەر دوو ڕیز (یان دوو ستوون) یەکسان بن، 0ـە. ئەمە تایبەتمەندیی 2ـە لە تێبینییەکاندا. یاسای گۆڕینەوە ڕوونی دەکاتەوە بۆچی: شوێنی دوو ڕیزە یەکسانەکە بگۆڕەوە. ناگۆڕێت، بۆیە $d$ وەک خۆی دەمێنێتەوە — بەڵام یاسای گۆڕینەوە دەڵێت دەبێت ببێتە $-d$ . تاکە ژمارە کە $d = -d$ بێت 0ـە.

\begin{vmatrix} 2 & 5 & 1 \\ 3 & -1 & 4 \\ 2 & 5 & 1 \end{vmatrix} = 0 \qquad \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} = 2 - 2 = 0

Quick checkپشکنینی خێراWhich matrix has determinant 0?کام 0ـە؟

\begin{bmatrix} 4 & 1 & 2 \\ 2 & 7 & 4 \\ 9 & 3 & 1 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 4 & 1 & 2 \\ 2 & 7 & 4 \\ 9 & 3 & 1 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 4 & 1 & 4 \\ 2 & 7 & 2 \\ 9 & 3 & 9 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 4 & 1 & 4 \\ 2 & 7 & 2 \\ 9 & 3 & 9 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}

Multiplying one row by $k$ لێکدانی یەک ڕیز لە $k$

If $B$ is $A$ with one row (or column) multiplied by a number $k$ , then $\det B = k \det A$ . This is property 5 in the notes. Every term of the expansion along that row gets the factor $k$ once. Read it backwards too: a common factor of one row can be taken out in front of the determinant.

ئەگەر $B$ هەمان $A$ بێت بەڵام یەک ڕیز (یان ستوون) لە ژمارەی $k$ درابێت، ئەوا $\det B = k \det A$ . ئەمە تایبەتمەندیی 5ـە لە تێبینییەکاندا. هەر بڕێکی کردنەوە بە درێژایی ئەو ڕیزە یەک جار هۆکاری $k$ وەردەگرێت. بە پێچەوانەشەوە بیخوێنەوە: هۆکاری هاوبەشی یەک ڕیز دەکرێت ببرێتە پێش .

\begin{aligned} \begin{vmatrix} 5 & 10 \\ 2 & 7 \end{vmatrix} &= 35 - 20 = 15 \\ \begin{vmatrix} 5 & 10 \\ 2 & 7 \end{vmatrix} &= 5\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 7 \end{vmatrix} = 5(7 - 4) = 15 \end{aligned}

A useful result: if one row is a multiple of another (the rows are proportional), the determinant is 0. Take the factor out and two equal rows are left:

ئەنجامێکی بەسوود: ئەگەر ڕیزێک چەند هێندەی ڕیزێکی تر بێت، 0ـە. هۆکارەکە دەربهێنە و دوو ڕیزی یەکسان دەمێننەوە:

\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 6 \\ 0 & 1 & 5 \end{vmatrix} = 2\begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 5 \end{vmatrix} = 2 \cdot 0 = 0

Scaling the whole matrix: $\det(kA) = k^n \det A$ لێکدانی هەموو ماتریکسەکە: $\det(kA) = k^n \det A$

The matrix $kA$ multiplies every entry by $k$ — that is, every one of the $n$ rows. Each row gives one factor $k$ , so for an $n \times n$ matrix:

$kA$ هەموو ژمارەیەک لە $k$ دەدات — واتە هەر $n$ ڕیزەکە. هەر ڕیزێک یەک هۆکاری $k$ دەدات، بۆیە بۆ $n \times n$ :

\det(kA) = k^n \det A

A new $2 \times 2$ exampleنموونەیەکی نوێی $2 \times 2$
$A = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 2 \end{bmatrix}$ has $\det A = 6 - 4 = 2$ . Then $3A = \begin{bmatrix} 9 & 3 \\ 12 & 6 \end{bmatrix}$ has $54 - 36 = 18 = 3^2 \cdot 2$ .
$A = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 2 \end{bmatrix}$ $\det A = 6 - 4 = 2$ ـە. کەواتە $3A = \begin{bmatrix} 9 & 3 \\ 12 & 6 \end{bmatrix}$ $54 - 36 = 18 = 3^2 \cdot 2$ ـە.
A $3 \times 3$ exampleنموونەیەکی $3 \times 3$
$P$ of the first screen has $\det P = 14$ , so $\det(2P) = 2^3 \cdot 14 = 112$ .
$P$ ی شاشەی یەکەم $\det P = 14$ ـە، بۆیە $\det(2P) = 2^3 \cdot 14 = 112$ .
The notes' exampleنموونەکەی تێبینییەکان
$\det\begin{bmatrix} 2 & 6 \\ 4 & 8 \end{bmatrix} = 16 - 24 = -8 = 2^2 \cdot (-2)$ .
$\det\begin{bmatrix} 2 & 6 \\ 4 & 8 \end{bmatrix} = 16 - 24 = -8 = 2^2 \cdot (-2)$ .
A minus signهێمای سالب
$-A = (-1)A$ , so $\det(-A) = (-1)^n\det A$ : the same for a $2 \times 2$ matrix, the opposite sign for a $3 \times 3$ one ( $\det(-P) = -14$ ).
$-A = (-1)A$ ، بۆیە $\det(-A) = (-1)^n\det A$ : بۆ $2 \times 2$ هەمان شتە، بۆ $3 \times 3$ هێماکەی پێچەوانە دەبێتەوە ( $\det(-P) = -14$ ).

\det(2A)

is not

2\det A

\det(2A)

یەکسان نییە بە

2\det A

Under property 5 the notes write “ $2 * A = 2 * (4 - 6)$ ”, which mixes the matrix $2A$ with the number $2\det A$ . Doubling the whole matrix doubles both rows, so $\det(2A) = 4\det A = -8$ , as property 8 of the notes itself shows. $2\det A = -4$ is the determinant after doubling one row.

لە ژێر تایبەتمەندیی 5دا تێبینییەکان دەنووسن « $2 * A = 2 * (4 - 6)$ » کە $2A$ لەگەڵ ژمارەی $2\det A$ تێکەڵ دەکات. دوو هێندەکردنی هەموو هەردوو ڕیزەکە دوو هێندە دەکات، بۆیە $\det(2A) = 4\det A = -8$ ، وەک تایبەتمەندیی 8ی خودی تێبینییەکان پیشانی دەدات. $2\det A = -4$ دوای دوو هێندەکردنی یەک ڕیز.

Adding a multiple of a row changes nothingزیادکردنی چەند هێندەی ڕیزێک هیچ ناگۆڕێت

The notes do not list this rule, but it does most of the work: adding a multiple of one row to another row does not change the determinant. We write it $R_2 \to R_2 - 3R_1$ : “replace row 2 by row 2 minus 3 times row 1”. Only row 2 changes; row 1 stays as it is.

تێبینییەکان ئەم یاسایە ناهێنن، بەڵام زۆربەی کارەکە ئەو دەیکات: زیادکردنی چەند هێندەی ڕیزێک بۆ ڕیزێکی تر ناگۆڕێت. بەم شێوەیە دەینووسین $R_2 \to R_2 - 3R_1$ : «ڕیزی 2 بگۆڕە بە ڕیزی 2 کەم 3 هێندەی ڕیزی 1». تەنها ڕیزی 2 دەگۆڕێت؛ ڕیزی 1 وەک خۆی دەمێنێتەوە.

\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 6 & 5 \end{vmatrix} = 10 - 6 = 4 \qquad \xrightarrow{\;R_2 \to R_2 - 3R_1\;} \qquad \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} = 4 - 0 = 4

\begin{vmatrix} a & b \\ c + ka & d + kb \end{vmatrix} = a(d + kb) - b(c + ka) = ad - bc

The three row operations in one pictureسێ کاری سەرەتایی ڕیز لە یەک وێنەدا

Swapping two rows, multiplying a row by a number and adding a multiple of another row are called the three . The card shows what each one does to the determinant. The same three operations find inverses in Finding the Inverse by Row Operations; here we only watch the determinant.

گۆڕینەوەی شوێنی دوو ڕیز، لێکدانی ڕیزێک لە ژمارەیەک و زیادکردنی چەند هێندەی ڕیزێکی تر پێیان دەگوترێت سێ . کارتەکە پیشان دەدات هەریەکەیان چی بە دەکات. هەمان ئەم سێ کارە لە دۆزینەوەی پێچەوانە بە کارە سەرەتاییەکانی ڕیزدا پێچەوانە دەدۆزنەوە؛ لێرەدا تەنها چاودێری دەکەین.

The three row operations and their effect on the determinant.سێ و کاریگەرییان لەسەر .CêIT

Determinant and Elementary Row OperationPrime Newtons · Englishئینگلیزی · 113K viewsبینین · 2.8K likesلایک · Partبەشی 3:15–8:02 (ofلە 14:31)
What each row operation does to a determinant: a swap changes its sign, scaling a row scales it, adding a row multiple changes nothing.
و : گۆڕینەوەی دوو ڕیز هێماکەی پێچەوانە دەکاتەوە، لێکدانی ڕیزێک لە k ئەویش k هێندە دەکات و زیادکردنی چەند هێندەی ڕیزێک نایگۆڕێت.
Plays 3:15-8:02 ('Elementary row operations'). The rest of the video uses them to find a determinant.
لە ⁦3:15⁩ تا ⁦8:02⁩ پەخش دەبێت (بەشی «Elementary row operations»). ئەوەی تری ڤیدیۆکە بەکاریان دەهێنێت بۆ دۆزینەوەی .

Triangular matrices: multiply the diagonalماتریکسە سێگۆشەییەکان: تیرەکە لێک بدە

A matrix is upper triangular when every entry below the is 0, and lower triangular when every entry above it is 0 (see Types of matrices). The notes' property 6: the determinant of a triangular matrix is the product of its main diagonal.

سێگۆشەیی سەرەوەیە کاتێک هەموو ژمارەکانی ژێر 0 بن و سێگۆشەیی خوارەوەیە کاتێک هەموو ژمارەکانی سەرووی 0 بن (بڕوانە جۆرەکانی ماتریکس). تایبەتمەندیی 6ی تێبینییەکان: سێگۆشەیی لێکدراوی ژمارەکانی .

\begin{aligned} \begin{vmatrix} 2 & 7 & -3 \\ 0 & -1 & 5 \\ 0 & 0 & 4 \end{vmatrix} &= 2 \cdot (-1) \cdot 4 = -8 \qquad \begin{vmatrix} 3 & 0 & 0 \\ 5 & 2 & 0 \\ -1 & 8 & 1 \end{vmatrix} = 3 \cdot 2 \cdot 1 = 6 \\ \begin{vmatrix} 1 & 19 & 45 \\ 0 & 2 & 34 \\ 0 & 0 & 3 \end{vmatrix} &= 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6 \end{aligned}

Why: expand along column 1. Only $a_{11}$ is not 0, and its minor is again triangular, so the same thing happens again, down the diagonal. A diagonal matrix is both upper and lower triangular: $\det\begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix} = 30$ , and $\det I = 1$ .

بۆچی: بە درێژایی ستوونی 1 بیکەرەوە. تەنها $a_{11}$ سفر نییە و دیسان سێگۆشەییە، بۆیە هەمان شت دووبارە دەبێتەوە بە درێژایی تیرەکە. تیرەیی هەم سێگۆشەیی سەرەوەیە هەم خوارەوە: $\det\begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix} = 30$ و $\det I = 1$ .

The method: make it triangularڕێگەکە: بیکە بە سێگۆشەیی

Now put the rules together. Use row operations to make zeros below the main diagonal. Keep a number $f$ , the running factor, so that $\det A = f \times$ (the determinant of the matrix you have now). Start with $f = 1$ , then:

ئێستا یاساکان پێکەوە بەکاربهێنە. بە لە ژێر سفر دروست بکە. ژمارەیەک $f$ بهێڵەرەوە، لێکدەری تا ئێستا، بە شێوەیەک کە $\det A = f \times$ ( ئەو ئێستا هەتە). بە $f = 1$ دەست پێبکە، پاشان:

swap two rows → $f$ becomes $-f$ ;
take a common factor $k$ out of a row → $f$ becomes $k \cdot f$ ;
add a multiple of another row → $f$ stays the same.

گۆڕینەوەی شوێنی دوو ڕیز ← $f$ دەبێتە $-f$ ؛
دەرهێنانی هۆکاری هاوبەشی $k$ لە ڕیزێک ← $f$ دەبێتە $k \cdot f$ ؛
زیادکردنی چەند هێندەی ڕیزێکی تر ← $f$ وەک خۆی دەمێنێتەوە.

When the matrix is triangular, multiply its diagonal and then by $f$ . Watch it on $A = \begin{bmatrix} 0 & 2 & 4 \\ 1 & 3 & 2 \\ 2 & 8 & 9 \end{bmatrix}$ :

کاتێک سێگۆشەیی بوو، ژمارەکانی تیرەکەی لێک بدە و پاشان لە $f$ . لەسەر $A = \begin{bmatrix} 0 & 2 & 4 \\ 1 & 3 & 2 \\ 2 & 8 & 9 \end{bmatrix}$ سەیری بکە:

Six frames. The matrix rows (0, 2, 4), (1, 3, 2), (2, 8, 9) with running factor f = 1. Frame 2: R1 and R2 swapped, f = −1. Frame 3: R3 → R3 − 2R1 gives row (0, 2, 5), f stays −1. Frame 4: the factor 2 is taken out of row 2, which becomes (0, 1, 2), f = −2. Frame 5: R3 → R3 − 2R2 gives (0, 0, 1); the matrix is triangular. Frame 6: the diagonal 1, 1, 1 is highlighted and det A = (−2) · 1 = −2. — Row operations with a running factor: $\det A = -2$ . لەگەڵ لێکدەری تا ئێستا: $\det A = -2$ .CêIT

\begin{aligned} &R_1 \leftrightarrow R_2 && f = -1 \\ &R_3 \to R_3 - 2R_1 && f = -1 \\ &R_2 \to \tfrac12 R_2 && f = -1 \cdot 2 = -2 \\ &R_3 \to R_3 - 2R_2 && f = -2 \\ &\det A = -2 \cdot (1 \cdot 1 \cdot 1) = -2 \end{aligned}

Quick checkپشکنینی خێراYou swapped two rows once and took a factor 3 out of a row. The triangular matrix has diagonal 1, 2, 5. What is

\det A

?یەک جار شوێنی دوو ڕیزت گۆڕییەوە و هۆکاری 3ت لە ڕیزێک دەرهێنا. سێگۆشەییەکە تیرەی 1، 2، 5ـی هەیە.

\det A

چەندە؟

-30

-30

30

30

-10

-10

A $4 \times 4$ by row operationsدیتەرمینانتێکی $4 \times 4$ بە کارە سەرەتاییەکانی ڕیز

Expansion of this $4 \times 4$ matrix would need three $3 \times 3$ determinants. Row operations are quicker. Only swaps and “add a multiple” are needed, so $f$ only changes sign.

کردنەوەی ئەم $4 \times 4$ سێ $3 \times 3$ ی پێویست دەبوو. خێراترن. تەنها گۆڕینەوە و «زیادکردنی چەند هێندە» پێویستن، بۆیە $f$ تەنها هێماکەی دەگۆڕێت.

F = \begin{bmatrix} 0 & 2 & 1 & 3 \\ 1 & 1 & 0 & 2 \\ 2 & 4 & 1 & 5 \\ -1 & 1 & 3 & 2 \end{bmatrix}

Get a 1 in the top-left corner1 بخە گۆشەی سەرەوەی چەپ
$R_1 \leftrightarrow R_2$ , so $f = -1$ .
$R_1 \leftrightarrow R_2$ ، بۆیە $f = -1$ .
$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 1 & 3 \\ 2 & 4 & 1 & 5 \\ -1 & 1 & 3 & 2 \end{bmatrix}$
Clear column 1ستوونی 1 پاک بکەرەوە
$R_3 \to R_3 - 2R_1$ and $R_4 \to R_4 + R_1$ ; $f$ stays $-1$ .
$R_3 \to R_3 - 2R_1$ و $R_4 \to R_4 + R_1$ ؛ $f$ هەر $-1$ ـە.
$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 3 & 4 \end{bmatrix}$
Clear column 2ستوونی 2 پاک بکەرەوە
$R_3 \to R_3 - R_2$ and $R_4 \to R_4 - R_2$ . Row 3 now has a 0 on the diagonal.
$R_3 \to R_3 - R_2$ و $R_4 \to R_4 - R_2$ . ئێستا ڕیزی 3 لەسەر تیرەکە 0ـی هەیە.
$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \end{bmatrix}$
Swap to fix the diagonalبیگۆڕەوە بۆ چاککردنی تیرەکە
$R_3 \leftrightarrow R_4$ , so $f = +1$ (two swaps). The matrix is triangular.
$R_3 \leftrightarrow R_4$ ، بۆیە $f = +1$ (دوو گۆڕینەوە). سێگۆشەییە.
$\begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -2 \end{bmatrix}$
Multiply the diagonalتیرەکە لێک بدە
$\det F = (+1)\cdot(1 \cdot 2 \cdot 2 \cdot (-2)) = -8$ . A computer check (sympy) gives the same $-8$ .
$\det F = (+1)\cdot(1 \cdot 2 \cdot 2 \cdot (-2)) = -8$ . پشکنین بە ⁦(sympy)⁩ هەمان $-8$ دەدات.

Quick checkپشکنینی خێراWhy did the running factor end at

+1

?بۆچی لێکدەری تا ئێستا بە

+1

کۆتایی هات؟Row replacements multiply

f

by

-1

گۆڕینی ڕیز

f

لە

-1

دەداتA

4 \times 4

determinant is always positiveدیتەرمینانتێکی

4 \times 4

هەمیشە موجەبەThere were two swaps, and the other steps were “add a multiple”دوو گۆڕینەوە هەبوو و هەنگاوەکانی تر «زیادکردنی چەند هێندە» بوون

The product rule: $\det(AB) = \det A \cdot \det B$ یاسای لێکدان: $\det(AB) = \det A \cdot \det B$

The determinant of a product is the product of the determinants. This is property 7 in the notes. A new example:

لێکدراوێک لێکدراوی . ئەمە تایبەتمەندیی 7ـە لە تێبینییەکاندا. نموونەیەکی نوێ:

\begin{aligned} A &= \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix},\; \det A = 5 \qquad B = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 0 & 2 \end{bmatrix},\; \det B = 2 \\ AB &= \begin{bmatrix} 2 & 10 \\ 1 & 10 \end{bmatrix},\; \det(AB) = 20 - 10 = 10 = 5 \cdot 2 \\ BA &= \begin{bmatrix} 6 & 13 \\ 2 & 6 \end{bmatrix},\; \det(BA) = 36 - 26 = 10 \end{aligned}

The notes' example multiplies $A = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$ ( $\det A = -2$ ) by $B = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$ ( $\det B = 0$ , a zero row): $AB = \begin{bmatrix} 3 & 9 \\ 4 & 12 \end{bmatrix}$ and $\det(AB) = 36 - 36 = 0 = (-2)(0)$ .

نموونەکەی تێبینییەکان $A = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$ ( $\det A = -2$ ) لە $B = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$ ( $\det B = 0$ ، ڕیزێکی سفر) دەدات: $AB = \begin{bmatrix} 3 & 9 \\ 4 & 12 \end{bmatrix}$ و $\det(AB) = 36 - 36 = 0 = (-2)(0)$ .

Powers: $\det(A^n) = (\det A)^n$ . With $A$ above, $\det(A^3) = 5^3 = 125$ .
A zero factor wins: if $\det A = 0$ , then $\det(AB) = 0$ for every $B$ .
Inverses: $AA^{-1} = I$ gives $\det A \cdot \det A^{-1} = \det I = 1$ , so $\det A^{-1} = \frac{1}{\det A}$ — see The Inverse of a Matrix.

: $\det(A^n) = (\det A)^n$ . بە $A$ ی سەرەوە، $\det(A^3) = 5^3 = 125$ .
هۆکاری سفر دەباتەوە: ئەگەر $\det A = 0$ ، ئەوا $\det(AB) = 0$ بۆ هەموو $B$ ـێک.
پێچەوانەکان: $AA^{-1} = I$ دەدات $\det A \cdot \det A^{-1} = \det I = 1$ ، بۆیە $\det A^{-1} = \frac{1}{\det A}$ — بڕوانە پێچەوانەی ماتریکس.

Practice: which property?ڕاهێنان: کام تایبەتمەندی؟

Name the property first, then the answer. No expansion is needed.

سەرەتا ناوی تایبەتمەندییەکە بهێنە، پاشان وەڵامەکە. هیچ کردنەوەیەک پێویست نییە.

Quick checkپشکنینی خێرا

\det A = 6

(

3 \times 3

).

B

is made by

R_1 \leftrightarrow R_3

and then

R_2 \to 2R_2

. What is

\det B

?

\det A = 6

(

3 \times 3

).

B

بە

R_1 \leftrightarrow R_3

و پاشان

R_2 \to 2R_2

دروست دەکرێت.

\det B

چەندە؟

-12

-12

12

12

-48

-48

In computing: how computers find determinantsلە کۆمپیوتەردا: کۆمپیوتەر چۆن دیتەرمینانت دەدۆزێتەوە

Triangular form, not expansionشێوەی سێگۆشەیی، نەک کردنەوە

Programs use this lesson's method: row operations to triangular form, then the product of the diagonal. It takes about $n^3$ steps instead of the $n!$ of expansion (see In computing in the previous lesson). MATLAB's det works this way (see Linear algebra in one word in the MATLAB track), and so does Python's numpy.linalg.det. Because computers round decimals, a matrix with determinant 0 can come out as a tiny number such as $10^{-16}$ — a (A determinant that should be 0). MATLAB's documentation therefore warns against using det to test whether a matrix is singular and suggests cond or rcond instead.

ڕێگەکەی ئەم وانەیە بەکاردەهێنن: بۆ شێوەی سێگۆشەیی، پاشان لێکدراوی تیرەکە. نزیکەی $n^3$ هەنگاو دەخایەنێت لە جیاتی $n!$ ی کردنەوە (بڕوانە لە کۆمپیوتەردا لە وانەی پێشوودا). detـی MATLAB بەم شێوەیە کار دەکات (بڕوانە جەبری هێڵی بە یەک وشە لە بەشی MATLAB) و numpy.linalg.detـی Pythonیش. چونکە ژمارە دەییەکان نزیک دەکاتەوە، کە 0ـە دەشێت وەک ژمارەیەکی زۆر بچووک دەربچێت وەک $10^{-16}$ — (دیتەرمینانتێک کە دەبوو 0 بێت). بۆیە MATLAB ئاگاداری دەکەنەوە لە بەکارهێنانی det بۆ زانینی ئەوەی یان نا و لە جیاتی ئەوە cond یان rcond پێشنیار دەکەن.

Common mistakesهەڵە باوەکان

Mistakeهەڵە	What is trueڕاستییەکە
$\det(2A) = 2\det A$ for a $2 \times 2$ matrix $\det(2A) = 2\det A$ بۆ $2 \times 2$	$\det(kA) = k^n\det A$ : here $4\det A$ . $\det(kA) = k^n\det A$ : لێرەدا $4\det A$ .
$\det(A + B) = \det A + \det B$ $\det(A + B) = \det A + \det B$	There is no sum rule; only $\det(AB) = \det A\det B$ .یاسای کۆ نییە؛ تەنها $\det(AB) = \det A\det B$ .
Forgetting the sign after a swap.لەبیرچوونی هێما دوای گۆڕینەوە.	Every swap multiplies the determinant by $-1$ .هەر گۆڕینەوەیەک لە $-1$ دەدات.
Using $R_2 \to 3R_2 - R_1$ as if nothing changed.بەکارهێنانی $R_2 \to 3R_2 - R_1$ وەک ئەوەی هیچ نەگۆڕابێت.	That step also multiplies row 2 by 3, so the determinant by 3.ئەو هەنگاوە ڕیزی 2یش لە 3 دەدات، بۆیە لە 3.
Multiplying the diagonal of a matrix that is not triangular.لێکدانی تیرەی کە سێگۆشەیی نییە.	The diagonal rule needs zeros below (or above) the diagonal first.یاسای تیرە سەرەتا پێویستی بە سفرە لە ژێر (یان سەرووی) تیرەکەدا.
Taking a factor 5 out of $\begin{vmatrix} 5 & 10 \\ 15 & 20 \end{vmatrix}$ only once.دەرهێنانی هۆکاری 5 لە $\begin{vmatrix} 5 & 10 \\ 15 & 20 \end{vmatrix}$ تەنها یەک جار.	One factor per row: $5 \cdot 5 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = 25(-2) = -50$ .هۆکارێک بۆ هەر ڕیزێک: $5 \cdot 5 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{vmatrix} = 25(-2) = -50$ .

Exercisesڕاهێنانەکان

ExerciseڕاهێنانExercise 1: at a glanceڕاهێنانی 1: بە یەک سەیرکردن

Find without expanding: $\begin{vmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 0 & 0 & 0 \\ 2 & 5 & 8 \end{vmatrix}$ , $\begin{vmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 1 & 4 & 7 \end{vmatrix}$ and $\begin{vmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9 \end{vmatrix}$ .

بێ کردنەوە بیاندۆزەرەوە: $\begin{vmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 0 & 0 & 0 \\ 2 & 5 & 8 \end{vmatrix}$ ، $\begin{vmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 1 & 4 & 7 \end{vmatrix}$ و $\begin{vmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9 \end{vmatrix}$ .

Hintئاماژە

For the third, subtract neighbouring rows.

بۆ سێیەم، ڕیزە دراوسێکان لە یەکتر دەربکە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

All three are 0: a zero row; two equal rows (1 and 3); and for the third, $R_3 \to R_3 - R_2$ and $R_2 \to R_2 - R_1$ make rows 2 and 3 both $(1, 1, 1)$ — two equal rows.

هەر سێکیان 0ـن: ڕیزێکی سفر؛ دوو ڕیزی یەکسان (⁦1⁩ و ⁦3⁩)؛ بۆ سێیەم، $R_3 \to R_3 - R_2$ و $R_2 \to R_2 - R_1$ ڕیزی 2 و 3 هەردووکیان دەکەن بە $(1, 1, 1)$ — دوو ڕیزی یەکسان.

ExerciseڕاهێنانExercise 2: what happens to

\det A

?ڕاهێنانی 2: چی بەسەر

\det A

دێت؟

$A$ is $3 \times 3$ with $\det A = 5$ . Find the determinant after each change: (a) swap rows 1 and 3; (b) multiply row 1 by 3; (c) $2A$ ; (d) $A^T$ ; (e) $R_2 \to R_2 + 4R_1$ ; (f) $A^2$ ; (g) $-A$ .

$A$ $3 \times 3$ ـە و $\det A = 5$ . دوای هەر گۆڕانکارییەک بدۆزەرەوە: (أ) شوێنی ڕیزی 1 و 3 بگۆڕەوە؛ (ب) ڕیزی 1 لە 3 بدە؛ (ج) $2A$ ؛ (د) $A^T$ ؛ (هـ) $R_2 \to R_2 + 4R_1$ ؛ (و) $A^2$ ؛ (ز) $-A$ .

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

\text{(a) } -5 \quad \text{(b) } 15 \quad \text{(c) } 2^3 \cdot 5 = 40 \quad \text{(d) } 5 \quad \text{(e) } 5 \quad \text{(f) } 5^2 = 25 \quad \text{(g) } (-1)^3 \cdot 5 = -5

ExerciseڕاهێنانExercise 3: reduce a

3 \times 3

ڕاهێنانی 3: دیتەرمینانتێکی

3 \times 3

بکە بە سێگۆشەیی

Find $\begin{vmatrix} 2 & 4 & 2 \\ 1 & 3 & 4 \\ 3 & 7 & 5 \end{vmatrix}$ by turning it triangular.

$\begin{vmatrix} 2 & 4 & 2 \\ 1 & 3 & 4 \\ 3 & 7 & 5 \end{vmatrix}$ بدۆزەرەوە بە کردنی بە سێگۆشەیی.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

\begin{aligned} &R_1 = 2 \cdot (1, 2, 1):\; f = 2 && \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 4 \\ 3 & 7 & 5 \end{bmatrix} \\ &R_2 \to R_2 - R_1,\; R_3 \to R_3 - 3R_1: && \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \end{bmatrix} \\ &R_3 \to R_3 - R_2: && \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix} \\ &\det = 2 \cdot (1 \cdot 1 \cdot (-1)) = -2 && \end{aligned}

ExerciseڕاهێنانExercise 4: a

4 \times 4

ڕاهێنانی 4: دیتەرمینانتێکی

4 \times 4

Find $\begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 5 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 4 \\ 1 & 3 & 3 & 6 \end{vmatrix}$ .

$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 5 & 3 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 4 \\ 1 & 3 & 3 & 6 \end{vmatrix}$ بدۆزەرەوە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

\begin{aligned} &R_2 \to R_2 - 2R_1,\; R_4 \to R_4 - R_1: && \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 6 \end{bmatrix} \\ &R_3 \to R_3 - R_2,\; R_4 \to R_4 - R_2: && \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 5 \end{bmatrix} \\ &R_4 \to R_4 - R_3: && \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} \\ &\det = 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 2 = 2 && \end{aligned}

ExerciseڕاهێنانExercise 5: products and sumsڕاهێنانی 5: لێکدان و کۆ

Let $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ and $B = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$ . Find $\det(AB)$ , $\det(A^2B)$ and $\det(3A)$ . Then compare $\det(A + B)$ with $\det A + \det B$ .

با $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ و $B = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$ بن. $\det(AB)$ ، $\det(A^2B)$ و $\det(3A)$ بدۆزەرەوە. پاشان $\det(A + B)$ لەگەڵ $\det A + \det B$ بەراورد بکە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

\begin{aligned} \det A &= -2,\quad \det B = 6 \\ \det(AB) &= (-2)(6) = -12 \\ \det(A^2B) &= (-2)^2 \cdot 6 = 24 \\ \det(3A) &= 3^2(-2) = -18 \\ \det(A + B) &= \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 7 \end{vmatrix} = 13 \ne -2 + 6 = 4 \end{aligned}

ExerciseڕاهێنانExercise 6: spot the mistakeڕاهێنانی 6: هەڵەکە بدۆزەرەوە

Lana wrote: “ $A$ is $3 \times 3$ and $\det A = 2$ , so $\det(3A) = 3 \cdot 2 = 6$ .” What is wrong?

لانا نووسی: « $A$ $3 \times 3$ ـە و $\det A = 2$ ، بۆیە $\det(3A) = 3 \cdot 2 = 6$ .» چی هەڵەیە؟

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

$3A$ multiplies all three rows by 3, so $\det(3A) = 3^3 \cdot 2 = 54$ . $3 \cdot 2 = 6$ is the determinant after multiplying only one row by 3.

$3A$ هەر سێ ڕیزەکە لە 3 دەدات، بۆیە $\det(3A) = 3^3 \cdot 2 = 54$ . $3 \cdot 2 = 6$ دوای لێکدانی تەنها یەک ڕیز لە 3.

ExerciseڕاهێنانExercise 7: when is it 0?ڕاهێنانی 7: کەی 0ـە؟

For which numbers $k$ is $\begin{vmatrix} k & 2 \\ 8 & k \end{vmatrix} = 0$ ?

بۆ کام ژمارەکانی $k$ $\begin{vmatrix} k & 2 \\ 8 & k \end{vmatrix} = 0$ ـە؟

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

$k^2 - 16 = 0$ , so $k = 4$ or $k = -4$ . Then the rows are proportional: $(4, 2)$ and $(8, 4)$ , or $(-4, 2)$ and $(8, -4)$ .

$k^2 - 16 = 0$ ، بۆیە $k = 4$ یان $k = -4$ . ئەوکات ڕیزەکان ڕێژەیین: $(4, 2)$ و $(8, 4)$ ، یان $(-4, 2)$ و $(8, -4)$ .

Summaryپوختە

$\det A^T = \det A$ , so every row rule also works for columns.
Determinant 0 at a glance: a zero row, two equal rows, or two proportional rows.
Swap two rows: $\times(-1)$ . Multiply one row by $k$ : $\times k$ . Add a multiple of another row: no change.
$\det(kA) = k^n\det A$ — for a $2 \times 2$ matrix $\det(2A) = 4\det A$ .
Triangular (or diagonal): the determinant is the product of the main diagonal. Method: reduce to triangular with a running factor.
$\det(AB) = \det A \cdot \det B$ , $\det A^{-1} = 1/\det A$ ; there is no sum rule.

$\det A^T = \det A$ ، بۆیە هەر یاسایەکی ڕیز بۆ ستوونیش کار دەکات.
0 بە یەک سەیرکردن: ڕیزێکی سفر، دوو ڕیزی یەکسان یان دوو ڕیزی ڕێژەیی.
گۆڕینەوەی دوو ڕیز: $\times(-1)$ . لێکدانی یەک ڕیز لە $k$ : $\times k$ . زیادکردنی چەند هێندەی ڕیزێکی تر: هیچ ناگۆڕێت.
$\det(kA) = k^n\det A$ — بۆ $2 \times 2$ $\det(2A) = 4\det A$ .
سێگۆشەیی (یان تیرەیی): یەکسانە بە لێکدراوی . ڕێگە: بیکە بە سێگۆشەیی لەگەڵ لێکدەری تا ئێستا.
$\det(AB) = \det A \cdot \det B$ ، $\det A^{-1} = 1/\det A$ ؛ یاسای کۆ نییە.

Review questionsپرسیارەکانی پێداچوونەوە

Why does a swap change the sign, but adding a multiple does not?بۆچی گۆڕینەوە هێما دەگۆڕێت، بەڵام زیادکردنی چەند هێندە ناگۆڕێت؟

Adding $k$ times another row adds $k$ times a determinant with two equal rows, which is 0. A swap reverses the order of two rows, and the expansion's signs follow that order.

زیادکردنی $k$ هێندەی ڕیزێکی تر $k$ هێندەی دوو ڕیزی یەکسان زیاد دەکات کە 0ـە. گۆڕینەوە ڕیزبەندیی دوو ڕیز پێچەوانە دەکاتەوە و هێماکانی کردنەوە دوای ئەو ڕیزبەندییە دەکەون.

What is the running factor for?لێکدەری تا ئێستا بۆ چییە؟

It remembers what the swaps and the factors you took out did, so that $\det A = f \times$ the determinant of the triangular matrix.

لەبیری دەهێڵێت گۆڕینەوەکان و ئەو هۆکارانەی دەرتهێنان چییان کرد، تا $\det A = f \times$ سێگۆشەییەکە بێت.

Next: The Inverse of a Matrix — where a non-zero determinant is exactly what you need.

دواتر: پێچەوانەی ماتریکس — کە تێیدا ناسفر ڕێک ئەوەیە کە پێویستتە.

Lesson complete!وانەکە تەواو بوو!

Well done. Review the key terms, then go on to the next lesson.دەستخۆش. سەیرێکی زاراوە سەرەکییەکان بکەرەوە، پاشان بڕۆ بۆ وانەی داهاتوو.

Key termsزاراوە سەرەکییەکان

Next lessonوانەی داهاتوو

The Inverse of a Matrixپێچەوانەی ماتریکس

Related lecturesوانە پەیوەندیدارەکان

References and further readingسەرچاوەکان و خوێندنەوەی زیاتر

This lecture is a first edition. The Kurdish text and terminology are waiting for review by Kurdish IT teachers.ئەم وانەیە چاپی یەکەمە. دەقە کوردییەکە و زاراوەکانی چاوەڕێی پێداچوونەوەی مامۆستایانی کوردی بواری IT ن.

Properties of Determinantsتایبەتمەندییەکانی دیتەرمینانت

What you will learnچی فێر دەبیت

Why learn the properties?بۆچی تایبەتمەندییەکان فێر ببین؟

Property 1: det⁡AT=det⁡A\det A^T = \det AdetAT=detAتایبەتمەندیی 1: det⁡AT=det⁡A\det A^T = \det AdetAT=detA

A row or column of zeros gives 0ڕیز یان ستوونێکی سفر 0 دەدات

Swapping two rows changes the signگۆڕینەوەی شوێنی دوو ڕیز هێما دەگۆڕێت

Two equal rows give 0دوو ڕیزی یەکسان 0 دەدەن

Multiplying one row by kkkلێکدانی یەک ڕیز لە kkk

Scaling the whole matrix: det⁡(kA)=kndet⁡A\det(kA) = k^n \det Adet(kA)=kndetAلێکدانی هەموو ماتریکسەکە: det⁡(kA)=kndet⁡A\det(kA) = k^n \det Adet(kA)=kndetA

Adding a multiple of a row changes nothingزیادکردنی چەند هێندەی ڕیزێک هیچ ناگۆڕێت

The three row operations in one pictureسێ کاری سەرەتایی ڕیز لە یەک وێنەدا

Triangular matrices: multiply the diagonalماتریکسە سێگۆشەییەکان: تیرەکە لێک بدە

The method: make it triangularڕێگەکە: بیکە بە سێگۆشەیی

A 4×44 \times 44×4 by row operationsدیتەرمینانتێکی 4×44 \times 44×4 بە کارە سەرەتاییەکانی ڕیز

The product rule: det⁡(AB)=det⁡A⋅det⁡B\det(AB) = \det A \cdot \det Bdet(AB)=detA⋅detBیاسای لێکدان: det⁡(AB)=det⁡A⋅det⁡B\det(AB) = \det A \cdot \det Bdet(AB)=detA⋅detB

Practice: which property?ڕاهێنان: کام تایبەتمەندی؟

In computing: how computers find determinantsلە کۆمپیوتەردا: کۆمپیوتەر چۆن دیتەرمینانت دەدۆزێتەوە

Common mistakesهەڵە باوەکان

Exercisesڕاهێنانەکان

Summaryپوختە

Lesson complete!وانەکە تەواو بوو!

Key termsزاراوە سەرەکییەکان

Related lecturesوانە پەیوەندیدارەکان

Property 1: $\det A^T = \det A$ تایبەتمەندیی 1: $\det A^T = \det A$

Multiplying one row by $k$ لێکدانی یەک ڕیز لە $k$

Scaling the whole matrix: $\det(kA) = k^n \det A$ لێکدانی هەموو ماتریکسەکە: $\det(kA) = k^n \det A$

A $4 \times 4$ by row operationsدیتەرمینانتێکی $4 \times 4$ بە کارە سەرەتاییەکانی ڕیز

The product rule: $\det(AB) = \det A \cdot \det B$ یاسای لێکدان: $\det(AB) = \det A \cdot \det B$