Chapterبەش 7 · Lectureوانە 7.4

Simplifying Boolean Expressionsکورتکردنەوەی دەربڕینە بوولییەکان

Why fewer literals mean fewer gates, a toolbox of laws and rules, a seven-step strategy, and the course's solved exercises — $AB + A(B+C) + B(B+C) = B + AC$ , the exam question $\overline{AB+AC} + \overline{A}\,\overline{B}C$ and the quiz question checked with a truth table — with the law named at every step.

بۆچی کەمتر واتە کەمتر، کارتێکی یاساکان و ڕێگایەکی حەوت هەنگاوی. پاشان ڕاهێنانە شیکراوەکانی کۆرسەکە: $AB + A(B+C) + B(B+C) = B + AC$ ، پرسیاری تاقیکردنەوەی $\overline{AB+AC} + \overline{A}\,\overline{B}C$ و پرسیاری کویز کە بە پشکنینی بۆ کراوە — و لە هەموو هەنگاوێکدا ناوی یاساکە نووسراوە.

12 min read14 خولەک خوێندنەوە · 13 stepsهەنگاو

What you will learnچی فێر دەبیت

Explain why a simpler expression gives a cheaper circuit, and count literals and gates.
Simplify an expression step by step, naming the law or rule used at each step.
Use De Morgan's theorems, absorption (rule 10) rule 11 and the consensus theorem inside a longer simplification.
Check a simplification with a truth table.

ڕوون بکەیتەوە بۆچی سادەتر هەرزانتر دەدات. هەروەها و بژمێریت.
هەنگاو بە هەنگاو کورت بکەیتەوە و لە هەر هەنگاوێکدا ناوی ئەو یاسایە بنووسیت کە بەکارت هێناوە.
، یاسای ⁦10⁩، یاسای ⁦11⁩ و کۆدەنگی لە ناو کورتکردنەوەیەکی درێژتردا بەکاربهێنیت.
کورتکردنەوەیەک بە پشکنین بکەیت.

Why simplify?بۆچی کورتی دەکەینەوە؟

A Boolean expression is a recipe for a circuit: every AND, OR and NOT in it is a gate. Many different expressions have the same truth table, and so do the same job. The simplest one needs the fewest gates and wires, so the circuit is cheaper, smaller, faster and uses less power. To simplify means to find an equal expression with fewer terms and fewer literals. A literal is one variable or its complement, such as $A$ or $\overline{B}$ .

ڕێنمایی دروستکردنی : هەر AND، OR و NOTـێکی ناوی . زۆر جیاواز هەمان هەیە و هەمان کار دەکەن. سادەترینیان کەمترین و وایەری پێویستە، بۆیە هەرزانتر، بچووکتر و خێراترە و وزەی کەمتریش بەکار دەهێنێت. کورتکردنەوە واتە دۆزینەوەی یەکسان کە بڕ و کەمتری هەبێت. یەک یان ، وەک $A$ یان $\overline{B}$ .

Six gates or one: both circuits have the same truth table.شەش یان یەک: هەردوو هەمان هەیە.CêIT

Here is the algebra behind the picture. Each line names the law or rule it uses (the rule numbers are those of the 12 rules):

ئەمە جەبرەکەی پشت وێنەکەیە. هەر دێڕێک ناوی ئەو یاسایە دەهێنێت کە بەکاری دەهێنێت (ژمارەی یاساکان هی ⁦12⁩ یاساکەن):

Start with the given expression:
بە دراوەکە دەست پێبکە:
$AB + A\overline{B} + \overline{A}B$
Distributive law: factor A out of the first two terms.
: A لە دوو بڕی یەکەم دەربهێنە.
$= A(B + \overline{B}) + \overline{A}B$
Rule 6: $B + \overline{B} = 1$ .
یاسای 6: $B + \overline{B} = 1$ .
$= A \cdot 1 + \overline{A}B$
Rule 4: $A \cdot 1 = A$ .
یاسای 4: $A \cdot 1 = A$ .
$= A + \overline{A}B$
Rule 11: $A + \overline{A}B = A + B$ .
یاسای ⁦11⁩: $A + \overline{A}B = A + B$ .
$= A + B$

Your toolboxئامرازەکانت

Simplifying uses only tools you already know: the laws, the 12 rules and De Morgan's theorems. Keep this card next to you; each name links to the screen that teaches it:

کورتکردنەوە تەنها ئەو ئامرازانە بەکار دەهێنێت کە پێشتر فێریان بوویت: یاساکان، ⁦12⁩ یاساکە و . ئەم کارتە لە نزیک خۆت دابنێ؛ هەر ناوێک بەستەرە بۆ ئەو شاشەیەی فێری دەکات:

Laws and rules used in simplificationئەو یاسایانەی لە کورتکردنەوەدا بەکار دێن
Toolئامراز	Ruleیاسا	Use it to …بەکاری بهێنە بۆ …
Distributive lawیاسای بەشینەوەی بوولی	$A(B+C)=AB+AC$	multiply out brackets, or factor out a common letterکردنەوەی کەوانەکان، یان دەرهێنانی پیتێکی هاوبەش
Rule 1 and rule 4یاسای 1 و یاسای 4	$A+0=A,\; A\cdot1=A$	drop a 0 term or a factor 1لابردنی بڕێکی 0 یان لێکدەرێکی 1
Rule 2 and rule 3یاسای 2 و یاسای 3	$A+1=1,\; A\cdot0=0$	a sum with a 1 is 1; a product with a 0 is 0کۆیەک کە 1ـی تێدا بێت 1ـە؛ لێکدانێک کە 0ـی تێدا بێت 0ـە
Rule 5 and rule 7یاسای 5 و یاسای 7	$A+A=A,\; AA=A$	remove repeated terms and repeated lettersلابردنی بڕی دووبارە و پیتی دووبارە
Rule 6 and rule 8یاسای 6 و یاسای 8	$A+\overline{A}=1,\; A\overline{A}=0$	a product with A and $\overline{A}$ is 0لێکدانێک کە A و $\overline{A}$ ـی تێدا بێت 0ـە
Rule 9یاسای 9	$\overline{\overline{A}}=A$	cancel a double barلابردنی هێڵی دووانە
Rule 10یاسای ⁦10⁩	$A+AB=A$	a term that contains another term disappearsبڕێک کە بڕێکی تری تێدایە نامێنێت
Rule 11یاسای ⁦11⁩	$A+\overline{A}B=A+B$	drop the complemented letter from the second termلابردنی پیتە هێڵدارەکە لە بڕی دووەم
Rule 12یاسای ⁦12⁩	$(A+B)(A+C)=A+BC$	shorten a product of sums with a common letterکورتکردنەوەی کە پیتێکی هاوبەشیان هەیە
De Morganدی مۆرگان	$\overline{AB}=\overline{A}+\overline{B},\; \overline{A+B}=\overline{A}\,\overline{B}$	remove long barsلابردنی هێڵە درێژەکان
Combiningیەکخستن	$XY+X\overline{Y}=X$	merge two terms that differ in one letterیەکخستنی دوو بڕ کە تەنها لە یەک پیتدا جیاوازن
Consensusکۆدەنگی	$XY+\overline{X}Z+YZ=XY+\overline{X}Z$	drop the third term, YZلابردنی بڕی سێیەم، YZ

Your toolboxئامرازەکانت

Combining two termsیەکخستنی دوو بڕ

Two products that differ in one letter only combine into one: $XY + X\overline{Y} = X(Y+\overline{Y}) = X$ (distributive law, then rules 6 and 4). It is worth learning by heart: computer tools that simplify circuits, and the Karnaugh maps of a later lesson, use this step again and again.

دوو لێکدان کە تەنها لە یەک پیتدا جیاوازن دەبنە یەک: $XY + X\overline{Y} = X(Y+\overline{Y}) = X$ (، پاشان یاساکانی 6 و ⁦4⁩). شایەنی لەبەرکردنە: ئەو بەرنامانەی کورت دەکەنەوە و نەخشەکانی کارنۆ لە وانەیەکی داهاتوودا ئەم هەنگاوە جار لە دوای جار بەکار دەهێنن.

Your toolboxئامرازەکانت

The consensus theoremسەلمێنراوی کۆدەنگی

One more tool from the textbooks removes a term that looks useful but is not, the consensus theorem:

ئامرازێکی تری کتێبەکان بڕێک لادەبات کە بەسوود دەردەکەوێت بەڵام نییە، ئەویش کۆدەنگییە:

XY + \overline{X}Z + YZ = XY + \overline{X}Z

Why? Whenever $YZ = 1$ , either $X = 1$ and then $XY = 1$ , or $X = 0$ and then $\overline{X}Z = 1$ . The third term never adds a 1 of its own. The algebra:

بۆچی؟ هەر کاتێک $YZ = 1$ بێت، یان $X = 1$ ـە و ئەو کاتە $XY = 1$ ، یان $X = 0$ ـە و ئەو کاتە $\overline{X}Z = 1$ . بڕی سێیەم هەرگیز 1ـێکی تازە زیاد ناکات. جەبرەکەی:

Start with the given expression:
بە دراوەکە دەست پێبکە:
$XY + \overline{X}Z + YZ$
Rules 6 and 4: multiply YZ by $X + \overline{X} = 1$ .
یاساکانی 6 و ⁦4: YZ⁩ لێک بدە لە $X + \overline{X} = 1$ .
$= XY + \overline{X}Z + YZ(X + \overline{X})$
Distributive law.
.
$= XY + \overline{X}Z + XYZ + \overline{X}YZ$
Factor XY out of the first and third terms, $\overline{X}Z$ out of the second and fourth.
XY لە بڕی یەکەم و سێیەم دەربهێنە و $\overline{X}Z$ لە بڕی دووەم و چوارەم.
$= XY(1 + Z) + \overline{X}Z(1 + Y)$
Rules 2 and 4: $1 + Z = 1$ and $1 + Y = 1$ .
یاساکانی 2 و 4: $1 + Z = 1$ و $1 + Y = 1$ .
$= XY + \overline{X}Z$

Example: $AB + \overline{A}C + BC = AB + \overline{A}C$ . A is plain in AB and barred in $\overline{A}C$ , so BC goes. Practice 5 checks it with a truth table.

نموونە: $AB + \overline{A}C + BC = AB + \overline{A}C$ . A لە ABـدا ئاساییە و لە $\overline{A}C$ ـدا هێڵدارە، بۆیە BC لادەچێت. مەشقی 5 بە پشکنینی بۆ دەکات.

A step-by-step strategyڕێگایەکی هەنگاو بە هەنگاو

There is no single fixed recipe, and two people may take different paths to the same answer. But this order works for almost every exercise in this course:

تاکە ڕێچکەیەکی جێگیر نییە و دوو کەس لەوانەیە بە دوو ڕێگای جیاواز بگەنە هەمان وەڵام. بەڵام ئەم ڕیزبەندییە بۆ نزیکەی هەموو ڕاهێنانەکانی ئەم کۆرسە کار دەکات:

Simplifying in seven stepsکورتکردنەوە بە حەوت هەنگاو

Remove long bars with De Morgan's theorems, one bar at a time, and cancel double bars (rule 9).
هێڵە درێژەکان لابە بە ، هەر جارە یەک هێڵ. پاشان هێڵی دووانە لابە (یاسای ⁦9⁩).
Multiply out brackets with the distributive law until you have a sum of products.
بە کەوانەکان بکەرەوە تا بەدەست دەهێنیت.
Clean each term: $AA = A$ ; a term containing both A and $\overline{A}$ is 0 and disappears; drop factors of 1.
هەر بڕێک پاک بکەرەوە: $AA = A$ ؛ بڕێک کە A و $\overline{A}$ ـی پێکەوە تێدا بێت 0ـە و نامێنێت؛ لێکدەری 1 لابە.
Remove repeated terms ( $X + X = X$ ).
بڕە دووبارەکان لابە ( $X + X = X$ ).
Absorb: if every letter of one term also appears in a longer term, delete the longer term (rule 10: $B + AB = B$ ).
هەڵیانمژە: ئەگەر هەموو پیتەکانی بڕێک لە بڕێکی درێژتردا هەبن، بڕە درێژەکە بسڕەوە (یاسای ⁦10⁩: $B + AB = B$ ).
Combine and factor: $XY + X\overline{Y} = X$ , factor a common letter, use rule 11 ( $A + \overline{A}B = A + B$ ) and drop consensus terms.
یەکیان بخە و دەریان بهێنە: $XY + X\overline{Y} = X$ ، پیتی هاوبەش بە دەربهێنە. هەروەها یاسای ⁦11⁩ بەکاربهێنە ( $A + \overline{A}B = A + B$ ) و بڕی کۆدەنگی لابە.
Check with a truth table, or at least test a few rows, before you trust the answer.
پێش ئەوەی متمانە بە وەڵامەکە بکەیت، بە پشکنینی بکە، یان لانیکەم چەند ڕیزێک تاقی بکەرەوە.

Quick checkپشکنینی خێراFollowing the strategy, what do you do first with

\overline{A+B}\,C + A

?بەپێی ئەم ڕێگایە، یەکەم شت چی دەکەیت لەگەڵ

\overline{A+B}\,C + A

؟Remove the long bar with De Morganهێڵە درێژەکە بە دی مۆرگان لابەCheck with a truth tableبە خشتەی ڕاستی پشکنینی بکەMultiply out the bracketsکەوانەکان بکەرەوە

A step-by-step strategyڕێگایەکی هەنگاو بە هەنگاو

Why extra terms vanishبۆچی بڕە زیادەکان نامێنن

Tidying a shopping listڕێکخستنی لیستی بازاڕ

Your mother's list says: “Bring bread, or bread and yoghurt, or bread and yoghurt.” Any trip that brings bread and yoghurt has already brought bread, so the whole list really says “bring bread” — that is rule 10. And writing “bread and yoghurt” twice adds nothing — that is rule 5.

لیستەکەی دایکت دەڵێت: «نان بهێنە، یان نان و ماست، یان نان و ماست.» هەر گەڕانێک کە نان و ماست بهێنێت پێشتر نانی هێناوە، بۆیە هەموو لیستەکە لە ڕاستیدا دەڵێت «نان بهێنە» — ئەوە یاسای ⁦10⁩ـە. هەروەها دوو جار نووسینی «نان و ماست» هیچ زیاد ناکات — ئەوە یاسای 5ـە.

Where the analogy stops workingسنووری ئەم نموونەیە

In real life the yoghurt may still be welcome. In Boolean algebra only the final 0 or 1 counts, so the extra term really is useless.

لە ژیانی ڕاستەقینەدا ماستەکە لەوانەیە هێشتا جێی خۆشحاڵی بێت. لە تەنها 0 یان 1ـی کۆتایی گرنگە، بۆیە بڕە زیادەکە بەڕاستی بێسوودە.

Worked example: the lecture's first exerciseنموونەی شیکراوە: ڕاهێنانی یەکەمی وانەکە

Simplify $AB + A(B+C) + B(B+C)$ . Watch the expression first grow and then shrink, with the law named at each step:

$AB + A(B+C) + B(B+C)$ کورت بکەرەوە. سەیر بکە چۆن یەکەم جار گەورە دەبێت و پاشان بچووک دەبێتەوە. لە هەر هەنگاوێکدا ناوی یاساکە نووسراوە:

Animation of AB + A(B + C) + B(B + C) being simplified. A row of ten small boxes counts the literals. Start: 8 literals. The distributive law multiplies out the brackets: AB + AB + AC + BB + BC, 10 literals. Rule 7 turns BB into B: 9 literals. Rule 5 removes the repeated AB: 7 literals. Rule 10 lets B absorb AB and BC, which fade out. The result B + AC has 3 literals, and the last frame says 2 gates instead of 5. — The expression grows from 8 to 10 literals, then shrinks to 3. لە 8 دەبێتە ⁦10⁩، پاشان دەبێتە 3.CêIT

Start with the given expression:
بە دراوەکە دەست پێبکە:
$AB + A(B+C) + B(B+C)$
Distributive law: multiply out both brackets.
: هەردوو کەوانەکە بکەرەوە.
$= AB + AB + AC + BB + BC$
Rule 7: $BB = B$ .
یاسای 7: $BB = B$ .
$= AB + AB + AC + B + BC$
Rule 5: $AB + AB = AB$ .
یاسای 5: $AB + AB = AB$ .
$= AB + AC + B + BC$
Rule 10: $B + AB = B$ and $B + BC = B$ .
یاسای ⁦10⁩: $B + AB = B$ و $B + BC = B$ .
$= AC + B$
Commutative law: write the short term first.
: بڕە کورتەکە یەکەم بنووسە.
$= B + AC$

Five gates (an OR for $B + C$ , three ANDs and the final OR) become two (one AND and one OR).

پێنج (OR بۆ $B + C$ ، سێ AND و ORـی کۆتایی) دەبنە دوو (یەک AND و یەک OR).

Exam question: draw and simplifyپرسیاری تاقیکردنەوە: بیکێشە و کورتی بکەرەوە

This expression appears in the course twice: as lecture exercise 2 and as a solved exam-style question with two parts, (A) draw the logic circuit and (B) simplify. Part A, drawing the circuit, is solved in The exam circuit, in the lesson From Expression to Circuit and Back. Here is part B. Try it before opening the answer.

ئەم دوو جار لە کۆرسەکەدا هاتووە: وەک ڕاهێنانی 2ـی وانەکە و وەک پرسیارێکی شیکراوەی شێوە تاقیکردنەوە بە دوو بەش: ⁦(A)⁩ بکێشە و ⁦(B)⁩ کورتی بکەرەوە. بەشی A، کێشانی ، لە سووڕی لۆجیکیی تاقیکردنەوەکە شیکراوەتەوە. ئەمە بەشی Bـیە. پێش کردنەوەی وەڵامەکە هەوڵی بدە.

ExerciseڕاهێنانSimplify the exam expressionدەربڕینی تاقیکردنەوەکە کورت بکەرەوە

Simplify $X = \overline{AB+AC} + \overline{A}\,\overline{B}C$ .

$X = \overline{AB+AC} + \overline{A}\,\overline{B}C$ کورت بکەرەوە.

Hintئاماژە

Start with the long bar: it covers an OR of two products.

بە هێڵە درێژەکە دەست پێبکە: ORـی دوو لێکدان دادەپۆشێت.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

Start with the given expression:
بە دراوەکە دەست پێبکە:
$X = \overline{AB+AC} + \overline{A}\,\overline{B}C$
De Morgan (theorem 2) on the long bar: NOT of an OR.
دی مۆرگان ( دووەم) لەسەر هێڵە درێژەکە: NOTـی OR.
$= \overline{AB}\cdot\overline{AC} + \overline{A}\,\overline{B}C$
De Morgan (theorem 1) on each of the two bars.
دی مۆرگان ( یەکەم) لەسەر هەر یەک لە دوو هێڵەکە.
$= (\overline{A}+\overline{B})(\overline{A}+\overline{C}) + \overline{A}\,\overline{B}C$
Distributive law: multiply out the brackets.
: کەوانەکان بکەرەوە.
$= \overline{A}\,\overline{A} + \overline{A}\,\overline{C} + \overline{A}\,\overline{B} + \overline{B}\,\overline{C} + \overline{A}\,\overline{B}C$
Rule 7: $\overline{A}\,\overline{A} = \overline{A}$ .
یاسای 7: $\overline{A}\,\overline{A} = \overline{A}$ .
$= \overline{A} + \overline{A}\,\overline{C} + \overline{A}\,\overline{B} + \overline{B}\,\overline{C} + \overline{A}\,\overline{B}C$
Rule 10: $\overline{A}$ absorbs every term that contains it.
یاسای ⁦10⁩: $\overline{A}$ هەموو ئەو بڕانە هەڵدەمژێت کە خۆی تێیاندایە.
$= \overline{A} + \overline{B}\,\overline{C}$

Quick check: $A = 1$ , $B = 0$ , $C = 0$ gives 1 in both forms; $A = 1$ , $B = 0$ , $C = 1$ gives 0 in both forms; any row with $A = 0$ gives 1 in both forms.

پشکنینی خێرا: $A = 1$ ، $B = 0$ ، $C = 0$ لە هەردوو شێوەکەدا 1 دەدات؛ $A = 1$ ، $B = 0$ ، $C = 1$ لە هەردووکیاندا 0 دەدات؛ هەر ڕیزێک کە $A = 0$ بێت لە هەردووکیاندا 1 دەدات.

Name the rule in every stepلە هەموو هەنگاوێکدا ناوی یاساکە بنووسە

The handwritten course solution reaches the right answer, $\overline{A} + \overline{B}\,\overline{C}$ , but its last line drops the term $\overline{A}\,\overline{C}$ without giving a reason. Always name the rule: here it is rule 10, $\overline{A} + \overline{A}\,\overline{C} = \overline{A}$ . Another tidy way is to factor out $\overline{A}$ : $\overline{A}(1 + \overline{C} + \overline{B} + \overline{B}C) + \overline{B}\,\overline{C} = \overline{A} + \overline{B}\,\overline{C}$ (rules 2 and 4).

وەڵامی دەستنووسی کۆرسەکە دەگاتە وەڵامە دروستەکە، $\overline{A} + \overline{B}\,\overline{C}$ ، بەڵام دێڕی کۆتایی بڕی $\overline{A}\,\overline{C}$ بەبێ هۆکار لادەبات. هەمیشە ناوی یاساکە بنووسە: لێرەدا یاسای ⁦10⁩ـە، $\overline{A} + \overline{A}\,\overline{C} = \overline{A}$ . ڕێگایەکی ڕێکی تر دەرهێنانی $\overline{A}$ ـە بە : $\overline{A}(1 + \overline{C} + \overline{B} + \overline{B}C) + \overline{B}\,\overline{C} = \overline{A} + \overline{B}\,\overline{C}$ (یاساکانی 2 و ⁦4⁩).

Quiz question: simplify, then checkپرسیاری کویز: کورتی بکەرەوە، پاشان پشکنینی بکە

In a course quiz this expression had to be “designed”: simplified first, then checked with a truth table. It is also the lecture's exercise 4.

لە کویزێکی کۆرسەکەدا داوا کرابوو ئەم «دیزاین بکرێت»: یەکەم کورت بکرێتەوە، پاشان بە پشکنینی بۆ بکرێت. هەروەها ڕاهێنانی 4ـی وانەکەیە.

ExerciseڕاهێنانSimplify and checkکورتی بکەرەوە و پشکنینی بکە

Simplify $X = A\overline{B} + A\overline{(B+C)} + B\overline{(B+C)}$ , then check your answer with a truth table.

$X = A\overline{B} + A\overline{(B+C)} + B\overline{(B+C)}$ کورت بکەرەوە، پاشان وەڵامەکەت بە پشکنین بکە.

Hintئاماژە

Use De Morgan on the bar over $B + C$ first.

یەکەم دی مۆرگان لەسەر هێڵەکەی سەر $B + C$ بەکاربهێنە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

Start with the given expression:
بە دراوەکە دەست پێبکە:
$X = A\overline{B} + A\overline{(B+C)} + B\overline{(B+C)}$
De Morgan: $\overline{B+C} = \overline{B}\,\overline{C}$ .
دی مۆرگان: $\overline{B+C} = \overline{B}\,\overline{C}$ .
$= A\overline{B} + A\overline{B}\,\overline{C} + B\overline{B}\,\overline{C}$
Rules 8 and 3: $B\overline{B} = 0$ , and a product with 0 is 0.
یاساکانی 8 و 3: $B\overline{B} = 0$ و لێکدانێک کە 0ـی تێدا بێت 0ـە.
$= A\overline{B} + A\overline{B}\,\overline{C} + 0$
Rule 1: adding 0 changes nothing.
یاسای 1: زیادکردنی 0 هیچ ناگۆڕێت.
$= A\overline{B} + A\overline{B}\,\overline{C}$
Distributive law: factor out $A\overline{B}$ .
: $A\overline{B}$ دەربهێنە.
$= A\overline{B}(1 + \overline{C})$
Rules 2 and 4: $1 + \overline{C} = 1$ and $A\overline{B} \cdot 1 = A\overline{B}$ .
یاساکانی 2 و 4: $1 + \overline{C} = 1$ و $A\overline{B} \cdot 1 = A\overline{B}$ .
$= A\overline{B}$

The course's check table: X and $A\overline{B}$ agree in all 8 rows.خشتەی پشکنینی کۆرسەکە: X و $A\overline{B}$ لە هەر 8 ڕیزەکەدا وەک یەکن.
$ABC$	$\overline{B}$	$A\overline{B}$	$B+C$	$\overline{B+C}$	$A\overline{B+C}$	X (given)X (دراو)	$A\overline{B}$ (simplified) $A\overline{B}$ (کورتکراوە)
000	1	0	0	1	0	0	0
001	1	0	1	0	0	0	0
010	0	0	1	0	0	0	0
011	0	0	1	0	0	0	0
100	1	1	0	1	1	1	1
101	1	1	1	0	0	1	1
110	0	0	1	0	0	0	0
111	0	0	1	0	0	0	0

The column of the given expression equals the column of $A\overline{B}$ in every row, so the simplification is correct. X is 1 only for $A = 1$ , $B = 0$ .

ستوونی دراوەکە لە هەموو ڕیزێکدا یەکسانە بە ستوونی $A\overline{B}$ ، بۆیە کورتکردنەوەکە دروستە. X تەنها بۆ $A = 1$ ، $B = 0$ 1ـە.

Quick checkپشکنینی خێراWhich rule makes the term

B\overline{B}\,\overline{C}

disappear?کام یاسا وا دەکات بڕی

B\overline{B}\,\overline{C}

نەمێنێت؟Rule 8,

B\overline{B} = 0

یاسای 8،

B\overline{B} = 0

Rule 9,

\overline{\overline{B}} = B

یاسای 9،

\overline{\overline{B}} = B

Rule 6,

B + \overline{B} = 1

یاسای 6،

B + \overline{B} = 1

Common mistakesهەڵە باوەکان

Mistakeهەڵە	Fixچارەسەر
Using school algebra: $A + A = 2A$ or $A\cdot A = A^2$ .بەکارهێنانی قوتابخانە: $A + A = 2A$ یان $A\cdot A = A^2$ .	Values are only 0 and 1: $A + A = A$ and $AA = A$ (rules 5 and 7).بەهاکان تەنها 0 و 1ـن: $A + A = A$ و $AA = A$ (یاساکانی 5 و ⁦7⁩).
Cancelling: from $AB = AC$ concluding $B = C$ .لابردن: لە $AB = AC$ ـەوە گەیشتن بە $B = C$ .	There is no division in Boolean algebra. With $A = 0$ , $B = 0$ , $C = 1$ both sides are 0 but $B \neq C$ .لە دابەشکردن نییە. بە $A = 0$ ، $B = 0$ ، $C = 1$ هەردوو لا 0ـن بەڵام $B \neq C$ .
Deleting a term without a reason.سڕینەوەی بڕێک بەبێ هۆکار.	Write the law or rule beside every line; if you cannot name one, the step is probably wrong.لە تەنیشت هەموو دێڕێک ناوی یاساکە بنووسە؛ ئەگەر نەتوانیت ناوی بهێنیت، لەوانەیە هەنگاوەکە هەڵە بێت.
Stopping too early at $A + \overline{A}B$ .وەستان زوو لە $A + \overline{A}B$ .	Rule 11 shortens it to $A + B$ .یاسای ⁦11⁩ کورتی دەکاتەوە بۆ $A + B$ .
Losing brackets after De Morgan: $\overline{AB + C} \to \overline{A} + \overline{B}\,\overline{C}$ .لەدەستدانی کەوانە دوای دی مۆرگان: $\overline{AB + C} \to \overline{A} + \overline{B}\,\overline{C}$ .	Keep the block together: $\overline{AB}\cdot\overline{C} = (\overline{A} + \overline{B})\overline{C}$ .بلۆکەکە پێکەوە بهێڵەوە: $\overline{AB}\cdot\overline{C} = (\overline{A} + \overline{B})\overline{C}$ .
Not checking the final answer.پشکنین نەکردنی وەڵامی کۆتایی.	Test a few rows, or build the full truth table.چەند ڕیزێک تاقی بکەرەوە، یان تەواو دروست بکە.

Exercisesڕاهێنانەکان

Five new practice exercises (the lecture's own exercises are solved above). Name the rule at every step and check each answer.

پێنج مەشقی نوێ (ڕاهێنانەکانی خودی وانەکە لە سەرەوە شیکراونەتەوە). لە هەموو هەنگاوێکدا ناوی یاساکە بنووسە و هەر وەڵامێک پشکنین بکە.

ExerciseڕاهێنانPractice 1مەشقی 1

Simplify $\overline{A}B + AB + \overline{A}\,\overline{B}$ .

$\overline{A}B + AB + \overline{A}\,\overline{B}$ کورت بکەرەوە.

Hintئاماژە

Two of the terms differ only in B.

دوو لە بڕەکان تەنها لە Bـدا جیاوازن.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

Start with the given expression:
بە دراوەکە دەست پێبکە:
$\overline{A}B + AB + \overline{A}\,\overline{B}$
Distributive law: factor $\overline{A}$ out of the two terms that differ only in B.
: $\overline{A}$ لەو دوو بڕە دەربهێنە کە تەنها لە Bـدا جیاوازن.
$= \overline{A}(B + \overline{B}) + AB$
Rules 6 and 4.
یاساکانی 6 و 4.
$= \overline{A} + AB$
Rule 11, with $\overline{A}$ in the role of A.
یاسای ⁦11⁩، کە $\overline{A}$ لە جێگای A دایە.
$= \overline{A} + B$

ExerciseڕاهێنانPractice 2مەشقی 2

Simplify $(A + B)(A + \overline{B})$ .

$(A + B)(A + \overline{B})$ کورت بکەرەوە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

Start with the given expression:
بە دراوەکە دەست پێبکە:
$(A + B)(A + \overline{B})$
Rule 12: $(A + B)(A + C) = A + BC$ .
یاسای ⁦12⁩: $(A + B)(A + C) = A + BC$ .
$= A + B\overline{B}$
Rule 8: $B\overline{B} = 0$ .
یاسای 8: $B\overline{B} = 0$ .
$= A + 0$
Rule 1.
یاسای 1.
$= A$

Multiplying out works too: $AA + A\overline{B} + AB + B\overline{B} = A + A(\overline{B} + B) + 0 = A$ .

کردنەوەی کەوانەکانیش کار دەکات: $AA + A\overline{B} + AB + B\overline{B} = A + A(\overline{B} + B) + 0 = A$ .

ExerciseڕاهێنانPractice 3مەشقی 3

Simplify $\overline{\overline{A} + B} + AB$ .

$\overline{\overline{A} + B} + AB$ کورت بکەرەوە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

Start with the given expression:
بە دراوەکە دەست پێبکە:
$\overline{\overline{A} + B} + AB$
De Morgan on the long bar.
دی مۆرگان لەسەر هێڵە درێژەکە.
$= \overline{\overline{A}}\,\overline{B} + AB$
Rule 9: the double bar cancels.
یاسای 9: هێڵی دووانە لادەچێت.
$= A\overline{B} + AB$
Distributive law: factor out A.
: A دەربهێنە.
$= A(\overline{B} + B)$
Rules 6 and 4.
یاساکانی 6 و 4.
$= A$

ExerciseڕاهێنانPractice 4مەشقی 4

Simplify $A\overline{B}C + A\overline{B}\,\overline{C} + ABC$ .

$A\overline{B}C + A\overline{B}\,\overline{C} + ABC$ کورت بکەرەوە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

Start with the given expression:
بە دراوەکە دەست پێبکە:
$A\overline{B}C + A\overline{B}\,\overline{C} + ABC$
Distributive law on the first two terms.
لەسەر دوو بڕی یەکەم.
$= A\overline{B}(C + \overline{C}) + ABC$
Rules 6 and 4.
یاساکانی 6 و 4.
$= A\overline{B} + ABC$
Distributive law: factor out A.
: A دەربهێنە.
$= A(\overline{B} + BC)$
Rule 11, with $\overline{B}$ in the role of A.
یاسای ⁦11⁩، کە $\overline{B}$ لە جێگای A دایە.
$= A(\overline{B} + C)$
Distributive law again (both forms are fine).
دیسان (هەردوو شێوەکە دروستن).
$= A\overline{B} + AC$

Check: the answer is 1 for $ABC = 100$ , 101 and 111, exactly the three rows of the given terms.

پشکنین: وەڵامەکە لە ڕیزەکانی ⁦100⁩، ⁦101⁩ و ⁦111⁩ـدا 1ـە، ڕێک سێ ڕیزەکەی بڕە دراوەکان.

ExerciseڕاهێنانPractice 5مەشقی 5

Check with a truth table that $AB + \overline{A}C + BC = AB + \overline{A}C$ (the consensus theorem). In which rows is BC equal to 1, and why does it change nothing there?

بە پشکنین بکە کە $AB + \overline{A}C + BC = AB + \overline{A}C$ (سەلمێنراوی کۆدەنگی). BC لە کام ڕیزانەدا 1ـە و بۆچی لەوێدا هیچ ناگۆڕێت؟

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

$ABC$	$AB$	$\overline{A}C$	$BC$	$AB + \overline{A}C + BC$	$AB + \overline{A}C$
000	0	0	0	0	0
001	0	1	0	1	1
010	0	0	0	0	0
011	0	1	1	1	1
100	0	0	0	0	0
101	0	0	0	0	0
110	1	0	0	1	1
111	1	0	1	1	1

The last two columns agree in all 8 rows. BC is 1 only in rows 011 and 111; in 011 the term $\overline{A}C$ is already 1, and in 111 the term AB is already 1.

دوو ستوونی کۆتایی لە هەر 8 ڕیزەکەدا وەک یەکن. BC تەنها لە ڕیزەکانی ⁦011⁩ و ⁦111⁩ـدا 1ـە؛ لە ⁦011⁩ـدا بڕی $\overline{A}C$ پێشتر 1ـە و لە ⁦111⁩ـدا بڕی AB پێشتر 1ـە.

Summaryپوختە

Simplifying finds an equal expression with fewer terms and literals, so the circuit needs fewer gates.
Order: remove long bars → multiply out → clean terms → remove repeats → absorb → combine and factor → check.
Key patterns: $A + AB = A$ , $A + \overline{A}B = A + B$ , $XY + X\overline{Y} = X$ and the consensus theorem $XY + \overline{X}Z + YZ = XY + \overline{X}Z$ .
Results: $AB + A(B+C) + B(B+C) = B + AC$ , $\overline{AB+AC} + \overline{A}\,\overline{B}C = \overline{A} + \overline{B}\,\overline{C}$ , $A\overline{B} + A\overline{(B+C)} + B\overline{(B+C)} = A\overline{B}$ .
Name the rule at every step and check the result with a truth table.

کورتکردنەوە یەکسان دەدۆزێتەوە بە بڕ و کەمتر. بۆیە کەمتری دەوێت.
ڕیزبەندی: لابردنی هێڵە درێژەکان ← کردنەوەی کەوانەکان ← پاککردنەوەی بڕەکان ← لابردنی دووبارەکان ← هەڵمژین ← یەکخستن و ← پشکنین.
شێوازە سەرەکییەکان: $A + AB = A$ ، $A + \overline{A}B = A + B$ ، $XY + X\overline{Y} = X$ و کۆدەنگی $XY + \overline{X}Z + YZ = XY + \overline{X}Z$ .
ئەنجامەکان: $AB + A(B+C) + B(B+C) = B + AC$ ، $\overline{AB+AC} + \overline{A}\,\overline{B}C = \overline{A} + \overline{B}\,\overline{C}$ ، $A\overline{B} + A\overline{(B+C)} + B\overline{(B+C)} = A\overline{B}$ .
لە هەموو هەنگاوێکدا ناوی یاساکە بنووسە و ئەنجامەکە بە پشکنین بکە.

Review questionsپرسیارەکانی پێداچوونەوە

Why can an expression get longer during simplification?بۆچی دەربڕینێک لە کاتی کورتکردنەوەدا درێژتر دەبێت؟

Multiplying out brackets repeats letters. That is fine: the repeats are what rules 5, 7 and 10 remove afterwards.

کردنەوەی کەوانەکان پیتەکان دووبارە دەکاتەوە. ئەوە ئاساییە: یاساکانی 5، 7 و ⁦10⁩ دواتر ئەو دووبارانە لادەبەن.

How do you know a simplification is correct?چۆن دەزانیت کورتکردنەوەیەک دروستە؟

Every step uses a named rule, and the truth tables of the start and the result are equal in every row.

هەموو هەنگاوێک یاسایەکی ناودار بەکار دەهێنێت. هەروەها دەستپێک و ئەنجام لە هەموو ڕیزێکدا یەکسانن.

Videoڤیدیۆ

Watch a videoسەیری ڤیدیۆیەک بکە

A video that viewers liked a lot and praised in their comments, chosen for this lesson.ڤیدیۆیەک کە بینەران زۆریان پێ خۆش بووە و لە کۆمێنتەکانیاندا ستایشیان کردووە، بۆ ئەم وانەیە هەڵبژێردراوە.

Boolean Algebra 2 – Simplifying Complex ExpressionsComputer Science Lessons · Englishئینگلیزی · 213K viewsبینین · 3.8K likesلایک · Partبەشی 0:00–18:48 (ofلە 19:04)
Simplifies long Boolean expressions step by step with the distributive law, factoring, absorption and identity laws.
هەنگاو بە هەنگاو کورت دەکاتەوە بە ، ، یاسای هەڵمژین و .
0:00-18:48 (stops before the online calculator tip).
لە ⁦0:00⁩ تا ⁦18:48⁩ (پێش ئامۆژگاریی ئۆنلاین ڕادەوەستێت).

Lesson complete!وانەکە تەواو بوو!

Well done. Review the key terms, then go on to the next lesson.دەستخۆش. سەیرێکی زاراوە سەرەکییەکان بکەرەوە، پاشان بڕۆ بۆ وانەی داهاتوو.

Key termsزاراوە سەرەکییەکان

Next lessonوانەی داهاتوو

Sum-of-Products and Product-of-Sumsکۆی لێکدانەکان و لێکدانی کۆکان

Related lecturesوانە پەیوەندیدارەکان

References and further readingسەرچاوەکان و خوێندنەوەی زیاتر

MIT 6.004 Computation Structures, notes: Combinational logic (sum of products, reduction identity, simplification)
Wikipedia: Boolean algebra (laws: absorption, idempotence, complementation)
T. L. Floyd, Digital Fundamentals, 11th ed., §4-5 Logic Simplification Using Boolean Algebra (Pearson, 2015) — topics only
Wikipedia: Consensus theorem

This lecture is a first edition. The Kurdish text and terminology are waiting for review by Kurdish IT teachers.ئەم وانەیە چاپی یەکەمە. دەقە کوردییەکە و زاراوەکانی چاوەڕێی پێداچوونەوەی مامۆستایانی کوردی بواری IT ن.

$ABC$	$\overline{B}$	$A\overline{B}$	$B+C$	$\overline{B+C}$	$A\overline{B+C}$	X (given)X (دراو)	$A\overline{B}$ (simplified) $A\overline{B}$ (کورتکراوە)
000	1	0	0	1	0	0	0
001	1	0	1	0	0	0	0
010	0	0	1	0	0	0	0
011	0	0	1	0	0	0	0
100	1	1	0	1	1	1	1
101	1	1	1	0	0	1	1
110	0	0	1	0	0	0	0
111	0	0	1	0	0	0	0

$ABC$	$AB$	$\overline{A}C$	$BC$	$AB + \overline{A}C + BC$	$AB + \overline{A}C$
000	0	0	0	0	0
001	0	1	0	1	1
010	0	0	0	0	0
011	0	1	1	1	1
100	0	0	0	0	0
101	0	0	0	0	0
110	1	0	0	1	1
111	1	0	1	1	1

$ABC$	$\overline{B}$	$A\overline{B}$	$B+C$	$\overline{B+C}$	$A\overline{B+C}$	X (given)X (دراو)	$A\overline{B}$ (simplified) $A\overline{B}$ (کورتکراوە)
000	1	0	0	1	0	0	0
001	1	0	1	0	0	0	0
010	0	0	1	0	0	0	0
011	0	0	1	0	0	0	0
100	1	1	0	1	1	1	1
101	1	1	1	0	0	1	1
110	0	0	1	0	0	0	0
111	0	0	1	0	0	0	0

$ABC$	$AB$	$\overline{A}C$	$BC$	$AB + \overline{A}C + BC$	$AB + \overline{A}C$
000	0	0	0	0	0
001	0	1	0	1	1
010	0	0	0	0	0
011	0	1	1	1	1
100	0	0	0	0	0
101	0	0	0	0	0
110	1	0	0	1	1
111	1	0	1	1	1

$ABC$	$\overline{B}$	$A\overline{B}$	$B+C$	$\overline{B+C}$	$A\overline{B+C}$	X (given)X (دراو)	$A\overline{B}$ (simplified) $A\overline{B}$ (کورتکراوە)
000	1	0	0	1	0	0	0
001	1	0	1	0	0	0	0
010	0	0	1	0	0	0	0
011	0	0	1	0	0	0	0
100	1	1	0	1	1	1	1
101	1	1	1	0	0	1	1
110	0	0	1	0	0	0	0
111	0	0	1	0	0	0	0

$ABC$	$AB$	$\overline{A}C$	$BC$	$AB + \overline{A}C + BC$	$AB + \overline{A}C$
000	0	0	0	0	0
001	0	1	0	1	1
010	0	0	0	0	0
011	0	1	1	1	1
100	0	0	0	0	0
101	0	0	0	0	0
110	1	0	0	1	1
111	1	0	1	1	1