Chapterبەش 5 · Lectureوانە 5.5

Moments, Variance and Standard Deviation of a Random Variableمۆمێنتەکان، لێکنەچوون و لادانی پێوانەیی گۆڕاوێکی هەڕەمەکی

How far a random variable wanders from its expected value: moments about a point, about zero and about the mean, the variance $E(X - \mu)^2$ and its shortcut $E(X^2) - [E(X)]^2$ , the standard deviation, why the mean is the best centre, rules for $aX + b$ and sums, with the course's Examples 12–18, a corrected board calculation and a Python check.

چەند لە دوور دەکەوێتەوە: دەربارەی خاڵێک، دەربارەی سفر و دەربارەی ، $E(X - \mu)^2$ و ڕێگا کورتەکەی $E(X^2) - [E(X)]^2$ ، ، بۆچی باشترین خاڵە بۆ پێوانی دووری، یاساکانی $aX + b$ و کۆکان، لەگەڵ نموونەکانی ⁦12–18⁩ی کۆرسەکە، ژمێرکارییەکی ڕاستکراوەی سەر تەختە و پشکنینێک بە Python.

16 min read17 خولەک خوێندنەوە · 15 stepsهەنگاو

What you will learnچی فێر دەبیت

Compute moments of a random variable about a point, about zero and about the mean, for a pmf and for a density.
Find the variance and standard deviation with the definition and with the shortcut, and explain the difference between $E(X^2)$ and $E(X - \mu)^2$ .
Use $\operatorname{Var}(aX + b) = a^2 \operatorname{Var}(X)$ and the sum rule for independent variables.
Spot and correct mistakes in moment calculations.

دەربارەی خاڵێک، سفر و بژمێریت، بۆ و بۆ چڕی.
و بە پێناسەکە و بە ڕێگا کورتەکە بدۆزیتەوە و جیاوازیی نێوان $E(X^2)$ و $E(X - \mu)^2$ ڕوون بکەیتەوە.
$\operatorname{Var}(aX + b) = a^2\operatorname{Var}(X)$ و یاسای کۆ بۆ کە سەربەخۆن بەکاربهێنیت.
هەڵەکانی ژمێرکاریی بدۆزیتەوە و ڕاستیان بکەیتەوە.

Same expected value, different riskهەمان نرخی پێشبینیکراو، مەترسیی جیاواز

The expected value tells you where a random variable is centred. It does not tell you how far its values wander from that centre. Look at two games. In both, $E(X) = 0$ : on average you neither win nor lose.

نرخی پێشبینیکراو پێت دەڵێت لە کوێدا ناوەندی گرتووە. بەڵام پێت ناڵێت نرخەکانی چەند لەو ناوەندە دوور دەکەونەوە. سەیری دوو یاری بکە. لە هەردووکیاندا $E(X) = 0$ ـە: بە تێکڕا نە دەبەیتەوە و نە دەدۆڕێنیت.

Same centre, very different spread. The variance puts a number on the difference.هەمان ناوەند، بڵاوبوونەوەی زۆر جیاواز. ژمارەیەک بۆ ئەم جیاوازییە دادەنێت.CêIT

Game A usually ends close to 0; Game B always ends 3 points away from its average. That difference is the risk of the game. For data you measured spread with the variance and standard deviation; this lesson builds the same tools for a random variable, from its probabilities.

یاریی A زۆربەی جار لە نزیک 0 کۆتایی دێت؛ یاریی B هەمیشە 3 خاڵ لە تێکڕاکەی دوور کۆتایی دێت. ئەو جیاوازییە یارییەکەیە. بۆ بڵاوبوونەوەت بە لێکنەچوون و لادانی پێوانەیی پێوا؛ ئەم وانەیە هەمان ئامراز بۆ دروست دەکات، بە بەکارهێنانی .

Two taxi driversدوو شۆفێری تەکسی

Two taxi drivers both earn 40,000 dinars a day on average. The first earns between 35,000 and 45,000 almost every day; the second earns 10,000 on some days and 70,000 on others. Only the first can plan his month easily. The variance is the number that separates them.

دوو شۆفێری تەکسی هەردووکیان بە تێکڕا ڕۆژانە ⁦40,000⁩ دینار پەیدا دەکەن. یەکەمیان نزیکەی هەموو ڕۆژێک لە نێوان ⁦35,000⁩ و ⁦45,000⁩ دایە؛ دووەمیان هەندێک ڕۆژ ⁦10,000⁩ و هەندێک ڕۆژ ⁦70,000⁩ پەیدا دەکات. تەنها یەکەمیان دەتوانێت بە ئاسانی پلانی مانگەکەی دابنێت. ئەو ژمارەیەیە کە لێکیان جیا دەکاتەوە.

Where the analogy stops workingسنووری ئەم نموونەیە

Real incomes have no fixed table of probabilities; the point is only that the average alone is not enough.

داهاتی ڕاستەقینە خشتەیەکی جێگیری نییە؛ مەبەست تەنها ئەوەیە کە تێکڕا بە تەنها بەس نییە.

Quick checkپشکنینی خێراTwo random variables have the same expected value. What can you say about their spread?دوو هەمان هەیە. دەربارەی بڵاوبوونەوەیان چی دەتوانیت بڵێیت؟Nothing yet: the spread must be measured separatelyهێشتا هیچ: بڵاوبوونەوە دەبێت بە جیا بپێورێتThe spread is also the sameبڵاوبوونەوەکەشیان وەک یەکەThe one with more values has the larger spreadئەوەی نرخی زیاتری هەیە بڵاوبوونەوەی گەورەترە

Moments: one family of expectationsمۆمێنتەکان: یەک خێزانی نرخە پێشبینیکراوەکان

The course measures spread with moments. A moment is the expected value of a power of the distance from a chosen point $a$ . The power $r$ says which moment it is (first, second, …):

کۆرسەکە بڵاوبوونەوە بە دەپێوێت. دووریی نێوان $X$ و خاڵێکی هەڵبژێردراوی $a$ ـیە. $r$ دەڵێت کام (یەکەم، دووەم، …):

E(X - a)^r = \sum_{x} (x - a)^r\,P(x) \quad\text{(discrete)}, \qquad E(X - a)^r = \int_{-\infty}^{\infty} (x - a)^r f(x)\,dx \quad\text{(continuous)}

Three choices of the point $a$ get their own names. You met the same three for data in Moments; here the weights are probabilities instead of frequencies.

سێ هەڵبژاردنی خاڵی $a$ ناوی تایبەتیان هەیە. هەمان سێیانت بۆ لە مۆمێنتەکان بینی؛ لێرەدا نەک .

The three kinds of moments of a random variableسێ جۆری
Name in the courseناو لە کۆرسەکەدا	Point $a$ خاڵی $a$	Formulaفۆرمولە	Special casesحاڵەتە تایبەتەکان
(a) Non-central moment(أ)	any constant $a$ with $a \ne E(X)$ هەر $a$ کە $a \ne E(X)$	$E(X - a)^r$	Examples 12 and 13: about $a = 2$ نموونەکانی ⁦12⁩ و ⁦13⁩: دەربارەی $a = 2$
(b) Moment about the origin(ب) دەربارەی سفر	$a = 0$	$E(X^r)$	$r = 1$ : the mean; $r = 2$ : $E(X^2)$ $r = 1$ : ؛ $r = 2$ : $E(X^2)$
(c) Central moment(ج)	$a = E(X) = \mu$	$E(X - \mu)^r$	$r = 1$ : always 0; $r = 2$ : the variance $r = 1$ : هەمیشە 0؛ $r = 2$ :

Read

E(X - a)^r

as

E[(X - a)^r]

E(X - a)^r

وەک

E[(X - a)^r]

بخوێنەوە

The course writes $E(x - a)^r$ . The power belongs inside the expectation: raise every distance to the power $r$ first, then take the expected value. Many books write $E\big[(X - a)^r\big]$ to make this clear.

کۆرسەکە دەنووسێت $E(x - a)^r$ . ناو : سەرەتا هەموو دوورییەک بەرز بکەرەوە بۆ $r$ ، پاشان وەربگرە. زۆر کتێب $E\big[(X - a)^r\big]$ دەنووسن بۆ ئەوەی ئەمە ڕوون بێت.

Quick checkپشکنینی خێراWhich moment is the mean

E(X)

?

E(X)

کام ؟The first moment about the origin (

a = 0,\ r = 1

)مۆمێنتی یەکەم دەربارەی سفر (

a = 0,\ r = 1

)The first central momentمۆمێنتی ناوەندیی یەکەمThe second moment about the originمۆمێنتی دووەم دەربارەی سفر

Moments about a point: Example 12مۆمێنتەکان دەربارەی خاڵێک: نموونەی ⁦12⁩

Example 12. $P(x) = \frac{x}{10}$ for $x = 1, 2, 3, 4$ . Find the second non-central moment about 2, that is $r = 2$ and $a = 2$ . Work it as a table: one column for the squared distance, one for that times the probability.

نموونەی ⁦12⁩. $P(x) = \frac{x}{10}$ بۆ $x = 1, 2, 3, 4$ . دووەم دەربارەی 2 بدۆزەرەوە، واتە $r = 2$ و $a = 2$ . وەک خشتەیەک کاری لەسەر بکە: ستوونێک بۆ دووجای دووری و ستوونێک بۆ لێکدانی ئەو دووجایە لە .

Example 12: the second moment about 2نموونەی ⁦12⁩: دووەم دەربارەی 2
$x$	$P(x)$	$(x - 2)^2$	$(x - 2)^2\,P(x)$
$1$	$\tfrac{1}{10}$	$1$	$\tfrac{1}{10}$
$2$	$\tfrac{2}{10}$	$0$	$0$
$3$	$\tfrac{3}{10}$	$1$	$\tfrac{3}{10}$
$4$	$\tfrac{4}{10}$	$4$	$\tfrac{16}{10}$
Sumکۆ	$1$		$\tfrac{20}{10} = 2$

E(X - 2)^2 = (1-2)^2\tfrac{1}{10} + (2-2)^2\tfrac{2}{10} + (3-2)^2\tfrac{3}{10} + (4-2)^2\tfrac{4}{10} = \tfrac{1}{10} + 0 + \tfrac{3}{10} + \tfrac{16}{10} = 2

Moments about a point: Example 12مۆمێنتەکان دەربارەی خاڵێک: نموونەی ⁦12⁩

Find the mistake on the boardهەڵەکە لەسەر تەختەکە بدۆزەرەوە

The same Example 12 was also worked on the class whiteboard. The four terms were written as $\tfrac{1}{10} + 0 + \tfrac{3}{10} + \tfrac{8}{10} = \tfrac{12}{10}$ . Compare it with the table on the previous screen. Which term is wrong?

هەمان نموونەی ⁦12⁩ لەسەر تەختەی پۆلیش شیکرایەوە. چوار بەشەکە بەم شێوەیە نووسران: $\tfrac{1}{10} + 0 + \tfrac{3}{10} + \tfrac{8}{10} = \tfrac{12}{10}$ . لەگەڵ خشتەکەی پەڕەی پێشوو بەراوردی بکە. کام بەش هەڵەیە؟

Quick checkپشکنینی خێراWhich term of the board's sum is wrong?کام بەشی کۆکەی سەر تەختەکە هەڵەیە؟None:

\tfrac{12}{10}

is rightهیچیان:

\tfrac{12}{10}

ڕاستەThe first one:

(1 - 2)^2

is negativeیەکەمیان:

(1 - 2)^2

سالبەThe last one:

(4 - 2)^2 \cdot \tfrac{4}{10} = \tfrac{16}{10}

, not

\tfrac{8}{10}

دوایینیان:

(4 - 2)^2 \cdot \tfrac{4}{10} = \tfrac{16}{10}

، نەک

\tfrac{8}{10}

The board's

\tfrac{12}{10}

should be 2

\tfrac{12}{10}

ـی سەر تەختەکە دەبێت 2 بێت

On the board the last term was $\tfrac{8}{10}$ and the total $\tfrac{12}{10}$ . The correct total is $\tfrac{1 + 0 + 3 + 16}{10} = \tfrac{20}{10} = 2$ , as in the course notes. You can check it without the table: the next screens show that $E(X - a)^2 = \sigma^2 + (\mu - a)^2 = 1 + (3 - 2)^2 = 2$ .

لەسەر تەختەکە دوایین بەش $\tfrac{8}{10}$ و کۆکە $\tfrac{12}{10}$ بوو. کۆی ڕاست $\tfrac{1 + 0 + 3 + 16}{10} = \tfrac{20}{10} = 2$ ـە، وەک لە تێبینییەکانی کۆرسەکەدا. دەتوانیت بەبێ خشتەکە بیپشکنیت: پەڕەکانی داهاتوو نیشان دەدەن کە $E(X - a)^2 = \sigma^2 + (\mu - a)^2 = 1 + (3 - 2)^2 = 2$ .

Moments about a point: Example 12مۆمێنتەکان دەربارەی خاڵێک: نموونەی ⁦12⁩

Example 13: the same moment for a densityنموونەی ⁦13⁩: هەمان مۆمێنت بۆ چڕییەک

Example 13. X has density $f(x) = 2x$ for $0 < x < 1$ . Find the second moment about 2. First check that $f$ is a density, as on the board:

نموونەی ⁦13⁩. X ئەم چڕییەی هەیە: $f(x) = 2x$ بۆ $0 < x < 1$ . دووەم دەربارەی 2 بدۆزەرەوە. سەرەتا بپشکنە کە $f$ چڕییە، وەک لەسەر تەختەکە:

\int_0^1 2x\,dx = 2\left[\frac{x^2}{2}\right]_0^1 = 1

\begin{aligned} E(X - 2)^2 &= \int_0^1 (x - 2)^2\, 2x\,dx = \int_0^1 (x^2 - 4x + 4)\,2x\,dx \\ &= \int_0^1 (2x^3 - 8x^2 + 8x)\,dx = \left[\frac{x^4}{2} - \frac{8x^3}{3} + 4x^2\right]_0^1 \\ &= \frac12 - \frac83 + 4 = \frac{3 - 16 + 24}{6} = \frac{11}{6} \approx 1.83 \end{aligned}

The notes and the board stop half-way; the working is finished above. If the integrals feel new, the power rule is explained with densities.

تێبینییەکان و تەختەکە لە نیوەی ڕێگادا دەوەستن؛ کارەکە لە سەرەوە تەواو کراوە. گەر نوێن بۆت، یاسای توان بە چڕییەکان ڕوون کراوەتەوە.

Moments about zero: Examples 14 and 15مۆمێنتەکان دەربارەی سفر: نموونەکانی ⁦14⁩ و ⁦15⁩

Put $a = 0$ and the distance to the point is just the value itself: $E(X - 0)^r = E(X^r)$ . This is the moment about the origin. For $r = 1$ it is the mean $E(X) = \mu$ ; for $r = 2$ it is $E(X^2)$ , the expected value of the square.

$a = 0$ دابنێ و دووری تا خاڵەکە تەنها خودی نرخەکەیە: $E(X - 0)^r = E(X^r)$ . ئەمە دەربارەی سفرـە. بۆ $r = 1$ دەبێتە $E(X) = \mu$ ؛ بۆ $r = 2$ دەبێتە $E(X^2)$ ، دووجا.

Example 14: $P(x) = x/10,\ x = 1, \dots, 4$ نموونەی ⁦14⁩: $P(x) = x/10,\ x = 1, \dots, 4$
Second moment about zero, worked as on the board:
دووەم دەربارەی سفر، وەک سەر تەختەکە:
$E(X^2) = \sum x^2\,\frac{x}{10} = \frac{1}{10} + \frac{8}{10} + \frac{27}{10} + \frac{64}{10} = \frac{100}{10} = 10$
And the first moment about zeroو مۆمێنتی یەکەم دەربارەی سفر
The same table with $x$ instead of $x^2$ gives the mean:
هەمان خشتە بە $x$ لە جیاتی $x^2$ دەدات:
$E(X) = \sum x\,\frac{x}{10} = \frac{1}{10} + \frac{4}{10} + \frac{9}{10} + \frac{16}{10} = \frac{30}{10} = 3$
Example 15: $f(x) = 2x,\ 0 < x < 1$ نموونەی ⁦15⁩: $f(x) = 2x,\ 0 < x < 1$
Second moment about zero of the density:
دووەم دەربارەی سفر بۆ چڕییەکە:
$E(X^2) = \int_0^1 x^2\cdot 2x\,dx = \int_0^1 2x^3\,dx = \left[\frac{x^4}{2}\right]_0^1 = \frac12$

Sum over all valuesبەسەر هەموو نرخەکاندا کۆ بکەرەوە

The note in the course prints the two sums as $\sum_{x=1}$ and $\sum_{x=2}$ , as if $r$ were the starting value. Both sums run over all values of X; $r$ is only the power: $E(X) = \sum_{x} x\,P(x)$ and $E(X^2) = \sum_{x} x^2 P(x)$ . The class notes also leave Examples 14 and 15 unfinished; the answers are 10 and $\tfrac12$ .

تێبینییەکەی کۆرسەکە دوو کۆکە بەم شێوەیە چاپ دەکات: $\sum_{x=1}$ و $\sum_{x=2}$ ، وەک ئەوەی $r$ نرخی دەستپێک بێت. هەردوو کۆکە بەسەر هەموو نرخەکانی $X$ ـدا دەڕۆن؛ $r$ تەنها : $E(X) = \sum_{x} x\,P(x)$ و $E(X^2) = \sum_{x} x^2 P(x)$ . تێبینییەکانی پۆلیش نموونەکانی ⁦14⁩ و ⁦15⁩ بە تەواونەکراوی جێدەهێڵن؛ وەڵامەکان ⁦10⁩ و $\tfrac12$ ـن.

Mathematical Statistics-Uniform Distribution Kurdish by Didar Akram part_1Didar Akram · Kurdish (Sorani)کوردی (سۆرانی) · 5.5K viewsبینین · 155 likesلایک · Partبەشی 12:00–19:35 (ofلە 23:29)
In Kurdish: for the discrete uniform distribution (like a die), find E(X), then E(X squared), then the variance from E(X squared) minus the squared mean.
بە کوردی: بۆ پچڕاو (وەک بەردەزار)، $E(X)$ بدۆزەرەوە، پاشان $E(X^2)$ ، پاشان بە $E(X^2) - (EX)^2$ .
Plays 12:00-19:35: the mean (N + 1)/2 and the moment about the origin E(X^2) = (N + 1)(2N + 1)/6 of f(x) = 1/N, then V(X) = E(X^2) - (EX)^2 = (N^2 - 1)/12.
لە ⁦12:00⁩ تا ⁦19:35⁩ پەخش دەبێت: $(N+1)/2$ و دەربارەی سفر $E(X^2) = (N+1)(2N+1)/6$ بۆ $f(x) = 1/N$ ، پاشان $V(X) = E(X^2) - (EX)^2 = (N^2-1)/12$ .

Central moments: Examples 16 and 17مۆمێنتە ناوەندییەکان: نموونەکانی ⁦16⁩ و ⁦17⁩

Now take the point a at the centre, $a = E(X) = \mu$ . These are the central moments $E(X - \mu)^r$ . The first one is always 0. On the board, for $P(x) = x/10$ with $\mu = 3$ :

ئێستا خاڵی a لە ناوەند دابنێ، $a = E(X) = \mu$ . ئەمانە ـن، $E(X - \mu)^r$ . یەکەمیان هەمیشە 0ـە. لەسەر تەختەکە، بۆ $P(x) = x/10$ بە $\mu = 3$ :

E(X - 3) = (1-3)\tfrac{1}{10} + (2-3)\tfrac{2}{10} + (3-3)\tfrac{3}{10} + (4-3)\tfrac{4}{10} = \tfrac{-2 - 2 + 0 + 4}{10} = 0

E\!\left(X - \tfrac23\right) = \int_0^1 \left(x - \tfrac23\right) 2x\,dx = \int_0^1 2x^2\,dx - \tfrac23\int_0^1 2x\,dx = \tfrac23 - \tfrac23 = 0

This is no accident. The course left it as a homework question, "how??". By the rules of expectation, for every random variable:

ئەمە ڕێکەوت نییە. کۆرسەکە وەک پرسیارێکی ئەرکی ماڵەوە جێی هێشت: «چۆن؟؟». بە یاساکانی نرخی پێشبینیکراو، بۆ هەموو :

E(X - \mu) = E(X) - \mu = \mu - \mu = 0

r

is the power,

a

is the point

r

توانە،

a

خاڵەکەیە

The course's first summary (Lec 3) writes "if $a = 1$ : $M_r = E(x - M) = 0$ " and "if $a = 2$ : $M_r = E(x - M)^2 = \sigma_x^2$ ". There the numbers 1 and 2 are the power $r$ , not the point $a$ ; the point is $a = \mu$ both times. Correctly: $r = 1$ gives $E(X - \mu) = 0$ and $r = 2$ gives $E(X - \mu)^2 = \sigma^2$ .

پوختەی یەکەمی کۆرسەکە (وانەی ⁦3⁩) دەنووسێت: «بۆ $a = 1$ : $M_r = E(x - M) = 0$ » و «بۆ $a = 2$ : $M_r = E(x - M)^2 = \sigma_x^2$ ». لەوێدا ژمارەکانی 1 و 2 $r$ ـن، نەک خاڵی $a$ ؛ خاڵەکە هەردوو جار $a = \mu$ ـە. بە ڕاستی: $r = 1$ دەدات $E(X - \mu) = 0$ و $r = 2$ دەدات $E(X - \mu)^2 = \sigma^2$ .

Variance and standard deviation of Xلێکنەچوون و لادانی پێوانەیی X

The variance of X is its second central moment: the expected value of the squared distance from the mean. The standard deviation is its square root, which brings the unit back to the unit of X.

ی X دووەمیەتی: دووجای دووری لە . ئەوەیە، کە یەکەکە دەگەڕێنێتەوە بۆ یەکەی X.

\sigma^2 = \operatorname{Var}(X) = E(X - \mu)^2 = \begin{cases} \displaystyle\sum_{x} (x - \mu)^2\,P(x) & \text{discrete} \\[2mm] \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} (x - \mu)^2 f(x)\,dx & \text{continuous} \end{cases} \qquad \sigma = \sqrt{\sigma^2}

The pmf of Examples 12–18:

\mu = 3

and

\sigma = 1

. Values within one

\sigma

of

\mu

carry probability 0.9 here. نموونەکانی ⁦12–18⁩:

\mu = 3

و

\sigma = 1

. نرخەکانی ناو یەک

\sigma

لە دەوری

\mu

لێرەدا ⁦0.9⁩یان هەیە.CêIT

This is the same idea as the population variance of data. If X picks one of $N$ data values at random, each has probability $\tfrac1N$ , and $\sum (x - \mu)^2 \cdot \tfrac1N$ is exactly $\frac{\sum (x_i - \mu)^2}{N}$ . Data give a variance from what happened; a random variable gives it from what can happen and how likely it is.

ئەمە هەمان بیرۆکەی لێکنەچوونی کۆمەڵگەی دراوەـە. گەر $X$ بە هەڕەمەکی یەکێک لە $N$ نرخی هەڵبژێرێت، هەریەکەیان $\tfrac1N$ ـی هەیە و $\sum (x - \mu)^2 \cdot \tfrac1N$ ڕێک دەکاتە $\frac{\sum (x_i - \mu)^2}{N}$ . لەوەوە دەدات کە ڕوویداوە؛ لەوەوە دەیدات کە دەکرێت ڕوو بدات و چەندە.

Three printing slips in the notesسێ هەڵەی چاپ لە تێبینییەکاندا

Lec 3 prints $E x^2 = E(x - M)^2$ . These are different numbers: for $P(x) = x/10$ , $E(X^2) = 10$ but $E(X - 3)^2 = 1$ . The variance is $E(X - \mu)^2$ , and it equals $E(X^2) - \mu^2$ (next screen).
Lec 4 writes the continuous variance with $\sum_{x \in S}$ . For a density it is an integral, $\int (x - \mu)^2 f(x)\,dx$ , as above.
"Stander Division" means standard deviation, $\sigma = \sqrt{\sigma^2}$ .

وانەی 3 چاپ دەکات $E x^2 = E(x - M)^2$ . ئەمانە دوو ژمارەی جیاوازن: بۆ $P(x) = x/10$ ، $E(X^2) = 10$ بەڵام $E(X - 3)^2 = 1$ . $E(X - \mu)^2$ ـە و یەکسانە بە $E(X^2) - \mu^2$ (پەڕەی داهاتوو).
وانەی 4 بەردەوام بە $\sum_{x \in S}$ دەنووسێت. بۆ چڕییەک ، $\int (x - \mu)^2 f(x)\,dx$ ، وەک سەرەوە.
«⁦Stander Division⁩» واتە ، $\sigma = \sqrt{\sigma^2}$ .

The shortcut: Example 18ڕێگای کورت: نموونەی ⁦18⁩

The course gives a second formula that is quicker by hand: the variance is "the mean of the square minus the square of the mean". It follows from the rules of expectation, because $\mu$ is a constant:

کۆرسەکە فۆرمولەیەکی دووەم دەدات کە بە دەست خێراترە: « دووجا کەم دووجای »ـە. لە یاساکانی دەردەچێت، چونکە $\mu$ :

\begin{aligned} E(X - \mu)^2 &= E\big(X^2 - 2\mu X + \mu^2\big) \\ &= E(X^2) - 2\mu\,E(X) + \mu^2 \\ &= E(X^2) - 2\mu^2 + \mu^2 = E(X^2) - [E(X)]^2 \end{aligned}

Example 18. For $P(x) = \frac{x}{10}$ , $x = 1, \dots, 4$ , find $\sigma^2(X)$ and $\sigma$ . Both moments are already known (Example 14 and the board):

نموونەی ⁦18⁩. بۆ $P(x) = \frac{x}{10}$ ، $x = 1, \dots, 4$ ، $\sigma^2(X)$ و $\sigma$ بدۆزەرەوە. هەردوو پێشتر زانراون (نموونەی ⁦14⁩ و تەختەکە):

\sigma^2 = E(X^2) - [E(X)]^2 = 10 - 3^2 = 10 - 9 = 1, \qquad \sigma = \sqrt{1} = 1

Check with the definition: $(1-3)^2(0.1) + (2-3)^2(0.2) + (3-3)^2(0.3) + (4-3)^2(0.4) = 0.4 + 0.2 + 0 + 0.4 = 1$ . Same answer. For the density $f(x) = 2x$ on $(0, 1)$ the shortcut gives $\sigma^2 = \tfrac12 - \left(\tfrac23\right)^2 = \tfrac{1}{18}$ and $\sigma = \tfrac{\sqrt2}{6} \approx 0.236$ .

بە پێناسەکە بیپشکنە: $(1-3)^2(0.1) + (2-3)^2(0.2) + (3-3)^2(0.3) + (4-3)^2(0.4) = 0.4 + 0.2 + 0 + 0.4 = 1$ . هەمان وەڵام. بۆ چڕیی $f(x) = 2x$ لەسەر $(0, 1)$ ڕێگا کورتەکە دەدات $\sigma^2 = \tfrac12 - \left(\tfrac23\right)^2 = \tfrac{1}{18}$ و $\sigma = \tfrac{\sqrt2}{6} \approx 0.236$ .

Variance is never negativeلێکنەچوون هەرگیز سالب نییە

The class notes add $\ge 0$ next to Example 18. A variance is an average of squares, so $\sigma^2 \ge 0$ always, and therefore $E(X^2) \ge [E(X)]^2$ . It is 0 only when X has a single possible value. If your shortcut gives a negative number, a moment was computed wrongly.

تێبینییەکانی پۆل $\ge 0$ لە تەنیشت نموونەی ⁦18⁩ زیاد دەکەن. تێکڕای دووجاکانە، بۆیە هەمیشە $\sigma^2 \ge 0$ و لەبەر ئەوە $E(X^2) \ge [E(X)]^2$ . تەنها کاتێک 0ـە کە $X$ تەنها یەک نرخی ڕوودانی هەبێت. گەر ڕێگا کورتەکەت دا، بە هەڵە ژمێردراوە.

Quick checkپشکنینی خێرا

E(X) = 2

and

E(X^2) = 7

. What is the standard deviation of X?

E(X) = 2

و

E(X^2) = 7

. X چەندە؟

\sqrt5 \approx 2.24

\sqrt5 \approx 2.24

\sqrt3 \approx 1.73

\sqrt3 \approx 1.73

3

3

Computing the Mean, Variance and Standard Deviation of a Discrete Probability Distribution Example 2Research and Statistics Tutorials (ReStats) · Englishئینگلیزی · 677K viewsبینین · 10K likesلایک · Partبەشی 0:25–9:56 (ofلە 9:56)
A probability table worked column by column: x times P(x) for the mean, x squared times P(x), then the variance and the standard deviation.
خشتەیەکی ستوون بە ستوون: $xP(x)$ بۆ ، $x^2P(x)$ ، پاشان و .
From 0:25: the table with columns x, P(x), xP(x), x^2 and x^2 P(x), then sigma^2 = Sum x^2 P(x) - mu^2 and sigma, the shortcut of Example 18.
لە ⁦0:25⁩ـەوە: خشتەکە بە ستوونەکانی $x$ ، $P(x)$ ، $xP(x)$ ، $x^2$ و $x^2P(x)$ ، پاشان $\sigma^2 = \sum x^2P(x) - \mu^2$ و $\sigma$ ، ڕێگا کورتەکەی نموونەی ⁦18⁩.

Why measure from the mean?بۆچی لە ناوەندەوە دەپێوین؟

You can measure the second moment about any point $a$ . Move $a$ along the axis and watch $E(X - a)^2$ change for $P(x) = x/10$ :

دەتوانیت دووەم دەربارەی هەر خاڵێکی $a$ بپێویت. $a$ بەسەر تەوەرەکەدا بجووڵێنە و سەیری گۆڕانی $E(X - a)^2$ بکە بۆ $P(x) = x/10$ :

Animation in nine frames. Left: the four stems of P(x) = x/10 and a small triangle marking the point a, with dashed lines from a to each stem. Right: a graph of E(X − a) squared against a. As a moves through 0, 1, 2, 2.5, 3, 3.5, 4 and 5, the value goes 10, 5, 2, 1.25, 1, 1.25, 2, 5 and traces a U-shaped curve. The last frame stops at a = 3 and says that the smallest value, 1, is the variance. — The second moment about $a$ is smallest when $a$ is the mean. That smallest value is the variance. دووەم دەربارەی $a$ کاتێک بچووکترینە کە $a$ بێت. ئەو بچووکترین نرخە .CêIT

The curve is a parabola, and the shortcut explains it. Expanding as before gives a formula that holds for every point $a$ :

چەماوەکە و ڕێگا کورتەکە ڕوونی دەکاتەوە. کردنەوەی دووجاکە وەک پێشوو فۆرمولەیەک دەدات کە بۆ هەموو خاڵێکی $a$ ڕاستە:

E(X - a)^2 = \sigma^2 + (\mu - a)^2

It also checks the earlier examples in one line: Example 12, $1 + (3 - 2)^2 = 2$ ; Example 14 ( $a = 0$ ), $1 + 3^2 = 10$ ; Example 13, $\tfrac{1}{18} + \left(\tfrac23 - 2\right)^2 = \tfrac{1}{18} + \tfrac{32}{18} = \tfrac{11}{6}$ .

هەروەها نموونەکانی پێشوو بە یەک دێڕ دەپشکنێت: نموونەی ⁦12⁩، $1 + (3 - 2)^2 = 2$ ؛ نموونەی ⁦14⁩ $(a = 0)$ ، $1 + 3^2 = 10$ ؛ نموونەی ⁦13⁩، $\tfrac{1}{18} + \left(\tfrac23 - 2\right)^2 = \tfrac{1}{18} + \tfrac{32}{18} = \tfrac{11}{6}$ .

Rules for the varianceیاساکانی لێکنەچوون

These rules are the model version of the properties for data. Here $a$ and $b$ are constants:

ئەم یاسایانە وەشانی مۆدێلی تایبەتمەندییەکانی دراوەـن. لێرەدا $a$ و $b$ :

Variance rules ( $a$ , $b$ constants)یاساکانی ( $a$ و $b$ )
Ruleیاسا	Formulaفۆرمولە	In wordsبە وشە
Shift and scaleجووڵاندن و گەورەکردن	$\operatorname{Var}(aX + b) = a^2\operatorname{Var}(X), \quad \sigma_{aX+b} = \|a\|\,\sigma_X$	Adding $b$ moves every value and the mean together: no change in spread. Multiplying by $a$ stretches every distance by $\|a\|$ .زیادکردنی $b$ هەموو نرخەکان و پێکەوە دەجووڵێنێت: بڵاوبوونەوە ناگۆڕێت. لێکدان لە $a$ هەموو دوورییەک $\|a\|$ هێندە درێژ دەکات.
Independent sumکۆی سەربەخۆ	$\operatorname{Var}(X + Y) = \operatorname{Var}(X) + \operatorname{Var}(Y)$	Only when $X$ and $Y$ are independent (variances add, standard deviations do not).تەنها کاتێک $X$ و $Y$ سەربەخۆ بن ( کۆ دەکرێتەوە، نا).
Constant	$\operatorname{Var}(b) = 0$	A value that never changes has no spread.نرخێک کە هەرگیز ناگۆڕێت بڵاوبوونەوەی نییە.

Example 11 of the expected-value lesson ( $x = -1, 0, 1$ with $0.2, 0.3, 0.5$ ): $E(X^2) = 0.2 + 0 + 0.5 = 0.7$ , so $\operatorname{Var}(X) = 0.7 - 0.3^2 = 0.61$ . Then $\operatorname{Var}(2X + 1) = 4 \times 0.61 = 2.44$ : the $+1$ does nothing and the $\times 2$ multiplies the variance by 4. For one die $\operatorname{Var}(X) = \tfrac{91}{6} - 3.5^2 = \tfrac{35}{12} \approx 2.92$ , and for the sum of two independent dice $\tfrac{35}{12} + \tfrac{35}{12} = \tfrac{35}{6} \approx 5.83$ .

نموونەی ⁦11⁩ی وانەی ( $x = -1, 0, 1$ بە $0.2, 0.3, 0.5$ ): $E(X^2) = 0.2 + 0 + 0.5 = 0.7$ ، بۆیە $\operatorname{Var}(X) = 0.7 - 0.3^2 = 0.61$ . پاشان $\operatorname{Var}(2X + 1) = 4 \times 0.61 = 2.44$ : $+1$ هیچ ناکات و $\times 2$ 4 هێندە دەکات. بۆ یەک بەردەزار $\operatorname{Var}(X) = \tfrac{91}{6} - 3.5^2 = \tfrac{35}{12} \approx 2.92$ و بۆ کۆی دوو بەردەزاری سەربەخۆ $\tfrac{35}{12} + \tfrac{35}{12} = \tfrac{35}{6} \approx 5.83$ .

One special case appears in the next lesson: a variable that is 1 with probability $p$ and 0 with probability $q = 1 - p$ has variance $pq$ , and by the sum rule $n$ independent copies have variance $npq$ . The binomial distribution works this out.

حاڵەتێکی تایبەت لە وانەی داهاتوودا دێت: گۆڕاوێک کە بە $p$ دەبێتە 1 و بە $q = 1 - p$ دەبێتە 0، $pq$ ـە و بە یاسای کۆ، $n$ وێنەی سەربەخۆی $npq$ ـیان هەیە. دابەشبوونی دووڕادەیی ئەمە بە وردی ڕوون دەکاتەوە.

Checking with Pythonپشکنین بە Python

A few lines of Python compute exact moments with fractions, and a simulation shows that the formulas describe real long runs:

چەند دێڕێکی Python بە کەرتی ورد دەژمێرێت و تاقیکردنەوەیەکی لاسایی نیشان دەدات کە فۆرمولەکان زنجیرە درێژە ڕاستەقینەکان وەسف دەکەن:

Mean and variance of a pmfناوەند و لێکنەچوونی نەخشەی بارستەی ئەگەرvariance_of_x.pyPYTHONType in a terminalلە تێرمیناڵدا بینووسە

from fractions import Fraction
import random
import statistics

def mean_var(pmf):
    """pmf = {value: probability}. Returns E(X), E(X^2) and Var(X)."""
    assert sum(pmf.values()) == 1, "not a pmf: probabilities must add up to 1"
    ex = sum(x * p for x, p in pmf.items())
    ex2 = sum(x**2 * p for x, p in pmf.items())
    return ex, ex2, ex2 - ex**2

x10 = {x: Fraction(x, 10) for x in range(1, 5)}       # P(x) = x/10
die = {x: Fraction(1, 6) for x in range(1, 7)}         # one fair die
for name, pmf in [("x/10", x10), ("die", die)]:
    ex, ex2, var = mean_var(pmf)
    print(f"{name:5} E(X) = {ex}, E(X^2) = {ex2}, Var(X) = {var}")

# check x/10 by simulation: 100,000 draws
random.seed(1)
draws = random.choices(list(x10), weights=list(x10.values()), k=100_000)
print("simulated mean     =", round(statistics.fmean(draws), 3))
print("simulated variance =", round(statistics.pvariance(draws), 3))

Explain the codeڕوونکردنەوەی کۆدەکە

Lineدێڕی 5-10

The pmf is a dictionary {value: probability}. The function mean_var checks that the probabilities add up to 1, then uses the shortcut $E(X^2) - [E(X)]^2$ .

بە شێوەی {value: probability}. mean_var دەپشکنێت کە کۆی 1ـە، پاشان ڕێگا کورتەکەی $E(X^2) - [E(X)]^2$ بەکار دەهێنێت.

Lineدێڕی 12-13

Fraction keeps exact values, so the die gives $\tfrac{35}{12}$ instead of 2.9166….

Fraction نرخە وردەکان دەپارێزێت، بۆیە بەردەزار $\tfrac{35}{12}$ دەدات نەک ⁦2.9166⁩….

Lineدێڕی 19-22

random.choices draws 100,000 values with the pmf's probabilities as weights. statistics.pvariance ( $\div N$ ) of the draws lands close to the exact 1.

random.choices بە وەک کێش ⁦100,000⁩ نرخ دەردەهێنێت. statistics.pvariance ( $\div N$ ) بۆ ئەو نرخانە لە 1ـی ورد نزیک دەبێتەوە.

pvariance, not variancepvariance، نەک variance

Here the 100,000 draws are treated as the whole long run, so pvariance (divide by $N$ ) is used. With so many values the sample version variance (divide by $n - 1$ ) would give almost the same number; the difference matters for small samples, as explained in Variance in Python.

لێرەدا ⁦100,000⁩ دەرهێنانەکە وەک هەموو زنجیرە درێژەکە هەژمار دەکرێن، بۆیە pvariance (دابەشکردن بە $N$ ) بەکار دێت. بەم هەموو نرخە، وەشانی نموونەیی variance (دابەشکردن بە $n - 1$ ) نزیکەی هەمان ژمارە دەدات؛ جیاوازییەکە بۆ نموونە بچووکەکان گرنگە، وەک لە لێکنەچوون لە Pythonـدا ڕوون کراوەتەوە.

Common mistakesهەڵە باوەکان

Mistakeهەڵە	Why it is wrongبۆچی هەڵەیە	Correctڕاست
Writing $E(X^2) = E(X - \mu)^2$ نووسینی $E(X^2) = E(X - \mu)^2$	For $x/10$ : 10 against 1بۆ $x/10$ : ⁦10⁩ بەرامبەر 1	$E(X - \mu)^2 = E(X^2) - \mu^2$
Using $E(X^2) = [E(X)]^2$ بەکارهێنانی $E(X^2) = [E(X)]^2$	Square first, then average: they differ by the varianceسەرەتا دووجا، پاشان تێکڕا: جیاوازییەکەیان	$E(X^2) = \sigma^2 + \mu^2$
Forgetting to square a distanceلەبیرکردنی دووجاکردنی دوورییەک	The board's $\tfrac{8}{10}$ for $(4-2)^2 \cdot \tfrac{4}{10}$ $\tfrac{8}{10}$ ـی سەر تەختەکە بۆ $(4-2)^2 \cdot \tfrac{4}{10}$	$\tfrac{16}{10}$
Calling $r$ the point and $a$ the powerناونانی $r$ بە خاڵ و $a$ بە	$a = 2$ in the notes means $r = 2$ $a = 2$ لە تێبینییەکاندا واتە $r = 2$	$E(X - a)^r$
Reporting the variance as the S.D.نووسینی وەک	Units are squaredیەکەکان دووجان	$\sigma = \sqrt{\sigma^2}$
Writing $\operatorname{Var}(aX + b) = a\operatorname{Var}(X) + b$ نووسینی $\operatorname{Var}(aX + b) = a\operatorname{Var}(X) + b$	Shifts do not spread; scales are squaredجووڵاندن بڵاو ناکاتەوە؛ گەورەکردن دووجا دەبێت	$a^2\operatorname{Var}(X)$
A negative variance سالب	An average of squares cannot be negativeتێکڕای دووجاکان ناتوانێت سالب بێت	Recheck $E(X^2)$ and $E(X)$ $E(X^2)$ و $E(X)$ دووبارە بپشکنەوە

Quick checkپشکنینی خێراA student gets

E(X^2) = 4

and

E(X) = 3

. What do you tell them?قوتابییەک

E(X^2) = 4

و

E(X) = 3

دەدۆزێتەوە. چی پێ دەڵێیت؟The variance is

4 - 9 = -5

لێکنەچوون دەکاتە

4 - 9 = -5

Something is wrong:

E(X^2)

can never be smaller than

[E(X)]^2 = 9

شتێک هەڵەیە:

E(X^2)

هەرگیز لە

[E(X)]^2 = 9

بچووکتر نابێتThe variance is

4 - 3 = 1

لێکنەچوون دەکاتە

4 - 3 = 1

Exercisesڕاهێنانەکان

ExerciseڕاهێنانThe dieبەردەزار

Find the variance and the standard deviation of the number shown by one fair die.

و ئەو ژمارەیە بدۆزەرەوە کە بەردەزارێکی دادپەروەر نیشانی دەدات.

Hintئاماژە

You know $E(X) = 3.5$ already. Find $E(X^2)$ first.

$E(X) = 3.5$ پێشتر دەزانیت. سەرەتا $E(X^2)$ بدۆزەرەوە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

E(X^2) = \frac{1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36}{6} = \frac{91}{6}, \qquad \sigma^2 = \frac{91}{6} - 3.5^2 = \frac{35}{12} \approx 2.92, \qquad \sigma \approx 1.71

ExerciseڕاهێنانA densityچڕییەک

X has density $f(x) = \frac{x}{2}$ for $0 < x < 2$ (Example 10 of the expected-value lesson, $E(X) = \tfrac43$ ). Find $\operatorname{Var}(X)$ and $\sigma$ .

X ئەم چڕییەی هەیە: $f(x) = \frac{x}{2}$ بۆ $0 < x < 2$ (نموونەی ⁦10⁩ی وانەی ، $E(X) = \tfrac43$ ). $\operatorname{Var}(X)$ و $\sigma$ بدۆزەرەوە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

E(X^2) = \int_0^2 x^2 \cdot \frac{x}{2}\,dx = \left[\frac{x^4}{8}\right]_0^2 = 2, \qquad \sigma^2 = 2 - \frac{16}{9} = \frac{2}{9}, \qquad \sigma = \frac{\sqrt2}{3} \approx 0.471

ExerciseڕاهێنانHow risky is the phone?مۆبایلەکە چەند مەترسیدارە؟

In the expected-value lesson a repair costs 120,000 dinars with probability 0.1 and nothing otherwise, so the expected cost is 12,000 dinars. Find the standard deviation of the cost. What does it say?

لە وانەی چاککردنەوە بە ⁦0.1⁩ تێچووی ⁦120,000⁩ دینارە و ئەگینا هیچ، بۆیە تێچووی چاوەڕوانکراو ⁦12,000⁩ دینارە. تێچووەکە بدۆزەرەوە. چی دەڵێت؟

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

E(X^2) = 0.1 \times 120000^2 = 1.44 \times 10^9, \quad \sigma^2 = 1.44 \times 10^9 - 12000^2 = 1.296 \times 10^9, \quad \sigma = 36000

The typical distance from the average cost is 36,000 dinars, three times the average itself. For one customer the cost is very uncertain; that uncertainty is what a warranty removes.

دووریی ئاسایی لە تێچووی تێکڕا ⁦36,000⁩ دینارە، سێ هێندەی خودی تێکڕاکە. بۆ یەک کڕیار تێچووەکە زۆر نادیارە؛ ئەو نادیارییە ئەوەیە کە گەرەنتی لای دەبات.

ExerciseڕاهێنانA third central momentمۆمێنتی ناوەندیی سێیەم

For $P(x) = x/10$ ( $\mu = 3$ ) find $E(X - 3)^3$ . What does its sign tell you?

بۆ $P(x) = x/10$ ( $\mu = 3$ ) $E(X - 3)^3$ بدۆزەرەوە. نیشانەکەی چی پێت دەڵێت؟

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

E(X - 3)^3 = (-2)^3(0.1) + (-1)^3(0.2) + 0 + 1^3(0.4) = -0.8 - 0.2 + 0.4 = -0.6

Negative: the long tail is on the left (the value 1 lies far below the mean). This is the idea behind skewness.

سالبە: کلکە درێژەکە لە چەپە (نرخی 1 زۆر لە خوار ). ئەمە بیرۆکەی پشت ناهاوجێبوونـە.

ExerciseڕاهێنانProve the parabolaبڕگە هاوتاکە بسەلمێنە

Show that $E(X - a)^2 = \sigma^2 + (\mu - a)^2$ for any constant $a$ .

نیشانی بدە کە بۆ هەر $a$ : $E(X - a)^2 = \sigma^2 + (\mu - a)^2$ .

Hintئاماژە

Write $X - a$ as $(X - \mu) + (\mu - a)$ .

$X - a$ وەک $(X - \mu) + (\mu - a)$ بنووسە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

\begin{aligned} E(X - a)^2 &= E\big((X - \mu) + (\mu - a)\big)^2 \\ &= E(X - \mu)^2 + 2(\mu - a)\,E(X - \mu) + (\mu - a)^2 \\ &= \sigma^2 + 2(\mu - a)\cdot 0 + (\mu - a)^2 \end{aligned}

The middle term vanishes because the first central moment is 0.

بەشی ناوەڕاست نامێنێت چونکە یەکەم 0ـە.

Summaryپوختە

The r-th moment about a is $E(X - a)^r$ (a sum or an integral). $a = 0$ : moments about the origin; $a = \mu$ : central moments; any other $a$ : non-central.
The first central moment is always 0: $E(X - \mu) = 0$ .
Variance $\sigma^2 = E(X - \mu)^2 = E(X^2) - [E(X)]^2 \ge 0$ ; standard deviation $\sigma = \sqrt{\sigma^2}$ in the unit of X.
$E(X - a)^2 = \sigma^2 + (\mu - a)^2$ : the second moment is smallest about the mean.
$\operatorname{Var}(aX + b) = a^2\operatorname{Var}(X)$ ; for independent X and Y, variances add; a Bernoulli variable has variance $pq$ .
Course results for $x/10$ : $E(X) = 3$ , $E(X^2) = 10$ , $E(X - 2)^2 = 2$ (not the board's $\tfrac{12}{10}$ ), $\sigma^2 = 1$ , $\sigma = 1$ . For $2x$ : $\tfrac{11}{6}$ , $\tfrac12$ , 0, $\sigma^2 = \tfrac{1}{18}$ .

$r$ ـەم دەربارەی $a$ دەکاتە $E(X - a)^r$ (کۆ یان ). $a = 0$ : دەربارەی سفر؛ $a = \mu$ : ؛ $a$ ـی تر: ناناوەندی.
یەکەم هەمیشە 0ـە: $E(X - \mu) = 0$ .
$\sigma^2 = E(X - \mu)^2 = E(X^2) - [E(X)]^2 \ge 0$ ؛ $\sigma = \sqrt{\sigma^2}$ بە یەکەی X.
$E(X - a)^2 = \sigma^2 + (\mu - a)^2$ : دووەم دەربارەی بچووکترینە.
$\operatorname{Var}(aX + b) = a^2\operatorname{Var}(X)$ ؛ بۆ $X$ و $Y$ ـی سەربەخۆ کۆ دەکرێتەوە؛ گۆڕاوی بێرنۆلی $pq$ ـیە.
ئەنجامەکانی کۆرسەکە بۆ $x/10$ : $E(X) = 3$ ، $E(X^2) = 10$ ، $E(X - 2)^2 = 2$ (نەک $\tfrac{12}{10}$ ـی تەختەکە)، $\sigma^2 = 1$ ، $\sigma = 1$ . بۆ $2x$ : $\tfrac{11}{6}$ ، $\tfrac12$ ، 0، $\sigma^2 = \tfrac{1}{18}$ .

Lesson complete!وانەکە تەواو بوو!

Well done. Review the key terms, then go on to the next lesson.دەستخۆش. سەیرێکی زاراوە سەرەکییەکان بکەرەوە، پاشان بڕۆ بۆ وانەی داهاتوو.

Key termsزاراوە سەرەکییەکان

Next lessonوانەی داهاتوو

The Binomial Distribution (Supplementary)دابەشبوونی دووڕادەیی (زیادە)

Related lecturesوانە پەیوەندیدارەکان

References and further readingسەرچاوەکان و خوێندنەوەی زیاتر

This lecture is a first edition. The Kurdish text and terminology are waiting for review by Kurdish IT teachers.ئەم وانەیە چاپی یەکەمە. دەقە کوردییەکە و زاراوەکانی چاوەڕێی پێداچوونەوەی مامۆستایانی کوردی بواری IT ن.