The 12 Rules of Boolean Algebraدوازدە یاساکەی جەبری بوول

Besides the three laws of the last lesson, Boolean algebra has twelve short rules that we use again and again to simplify expressions. Rules 1–9 involve a single variable (and 0, 1 or its complement); rules 10–12 involve two or three variables. Every one of them can be checked with a small truth table, and this lesson does exactly that.

جگە لە سێ یاساکەی وانەی پێشوو، جەبری بوول (Boolean algebra) دوازدە یاسای کورتی هەیە کە بۆ کورتکردنەوەی لۆجیکی (Logic simplification) دووبارە و دووبارە بەکاریان دەهێنین. یاساکانی ⁦1–9⁩ تەنها یەک گۆڕاویان تێدایە (لەگەڵ 0، 1 یان تەواوکەرەکەی)؛ یاساکانی ⁦10–12⁩ دوو یان سێ گۆڕاویان تێدایە. هەموویان دەتوانرێت بە خشتەیەکی ڕاستی بچووک بپشکنرێن و ئەم وانەیە ڕێک ئەوە دەکات.

Picture an OR gate whose lower input is wired to a fixed value. Rule 1, $A + 0 = A$: if the fixed input is 0, the output simply follows A — when A is 1 the output is 1, when A is 0 the output is 0. Rule 2, $A + 1 = 1$: if the fixed input is 1, the output is 1 whatever A does, because one HIGH input is enough for OR.

گەیتێکی OR بهێنە پێش چاوت کە نێوخستەی خوارەوەی بە نرخێکی جێگیرەوە بەستراوە. یاسای 1، $A + 0 = A$: ئەگەر نێوخستە جێگیرەکە 0 بێت، دەرخستە (Output) تەنها شوێن A دەکەوێت — کاتێک ⁦A 1⁩ـە دەرخستە 1ـە و کاتێک ⁦A 0⁩ـە دەرخستە 0ـە. یاسای 2، $A + 1 = 1$: ئەگەر نێوخستە جێگیرەکە 1 بێت، دەرخستە 1ـە A هەرچی بکات، چونکە یەک نێوخستەی HIGH بۆ OR بەسە.

Now fix one input of an AND gate. Rule 3, $A \cdot 0 = 0$: a 0 on any AND input makes the output 0, whatever the other input is. Rule 4, $A \cdot 1 = A$: with a 1 on the fixed input, the output follows A — 0 when A is 0, and 1 when A is 1 because then both inputs are 1.

ئێستا یەکێک لە نێوخستەکانی گەیتێکی AND (AND gate) جێگیر بکە. یاسای 3، $A \cdot 0 = 0$: 0 لەسەر هەر نێوخستەیەکی AND دەرخستە دەکاتە 0، نێوخستەکەی تر هەرچییەک بێت. یاسای 4، $A \cdot 1 = A$: بە 1 لەسەر نێوخستە جێگیرەکە، دەرخستە شوێن A دەکەوێت — کاتێک ⁦A 0⁩ـە 0 و کاتێک ⁦A 1⁩ـە 1، چونکە ئەو کاتە هەردوو نێوخستە 1ـن.

This is exactly how an AND gate works as an on/off gate: an enable input of 1 lets the signal through (rule 4), and an enable of 0 blocks it (rule 3).

ئەمە ڕێک ئەو شێوەیەیە کە گەیتی AND وەک دەرگای هەڵکردن/کوژاندنەوە کار دەکات: نێوخستەیەکی enable بە 1 ڕێگە بە سیگناڵ (Signal) دەدات تێبپەڕێت (یاسای ⁦4⁩) و enable بە 0 ڕێگەی لێ دەگرێت (یاسای ⁦3⁩).

Rule 5, $A + A = A$: if both OR inputs carry the same variable, the output equals that variable: $0 + 0 = 0$ and $1 + 1 = 1$. Rule 6, $A + \overline{A} = 1$: a variable ORed with its complement is always 1. If $A = 0$, then $0 + \overline{0} = 0 + 1 = 1$; if $A = 1$, then $1 + \overline{1} = 1 + 0 = 1$. One of the two inputs is always 1.

یاسای 5، $A + A = A$: ئەگەر هەردوو نێوخستەی OR هەمان گۆڕاو هەڵبگرن، دەرخستە یەکسانە بەو گۆڕاوە: $0 + 0 = 0$ و $1 + 1 = 1$. یاسای 6، $A + \overline{A} = 1$: گۆڕاوێک OR لەگەڵ تەواوکەرەکەی هەمیشە 1ـە. ئەگەر $A = 0$ بێت، $0 + \overline{0} = 0 + 1 = 1$؛ ئەگەر $A = 1$ بێت، $1 + \overline{1} = 1 + 0 = 1$. یەکێک لە دوو نێوخستەکە هەمیشە 1ـە.

Rule 7, $A \cdot A = A$: $0 \cdot 0 = 0$ and $1 \cdot 1 = 1$, so ANDing a variable with itself gives the variable. There are no powers in Boolean algebra: $AA$ is just A, never “A squared”. Rule 8, $A \cdot \overline{A} = 0$: either A or $\overline{A}$ is 0, and a 0 on an AND input makes the output 0.

یاسای 7، $A \cdot A = A$: $0 \cdot 0 = 0$ و $1 \cdot 1 = 1$، بۆیە AND کردنی گۆڕاوێک لەگەڵ خۆی هەمان گۆڕاو دەدات. لە جەبری بوولدا توان نییە: $AA$ تەنها Aـیە، هەرگیز «A دووجا» نییە. یاسای 8، $A \cdot \overline{A} = 0$: یان A یان $\overline{A}$ 0ـە و 0 لەسەر نێوخستەیەکی AND دەرخستە دەکاتە 0.

Rule 9, $\overline{\overline{A}} = A$: complement A once and you get $\overline{A}$; complement that again and you are back at A. In hardware, two inverters in a row cancel: a 0 becomes 1 after the first and 0 again after the second.

یاسای 9، $\overline{\overline{A}} = A$: یەک جار تەواوکەری A وەربگرە، $\overline{A}$ وەردەگریت؛ جارێکی تر تەواوکەرەکەی وەربگرە، دەگەڕێیتەوە بۆ A. لە ڕەقەواڵەدا (Hardware) دوو گەیتی NOT (NOT gate) بە دوای یەکدا یەکتر هەڵدەوەشێننەوە: 0 دوای یەکەمیان دەبێتە 1 و دوای دووەمیان دیسان دەبێتە 0.

The same idea helps when reading symbols: when a bubble meets another bubble on the same wire, the two inversions cancel.

هەمان بیرۆکە لە خوێندنەوەی هێماکاندا (Symbol) یارمەتی دەدات: کاتێک بازنەیەکی پێچەوانەکردن (Bubble) بە بازنەیەکی تر دەگات لەسەر هەمان وایەر، دوو پێچەوانەکردنەوەکە یەکتر هەڵدەوەشێننەوە.

The slides list rules 10–12 without explaining them, so let us see why each is true. Start with the meaning of $A + AB = A$. If $A = 1$, the left side is $1 + B = 1$, which is A. If $A = 0$, then $AB = 0$ too, and the left side is $0 + 0 = 0$, which is A again. In both cases the answer is A, and B never matters. We say A absorbs the term AB.

سلایدەکان یاساکانی ⁦10–12⁩ بەبێ ڕوونکردنەوە ڕیز دەکەن، بۆیە با ببینین بۆچی هەر یەکێکیان ڕاستە. لە واتای $A + AB = A$ـەوە دەست پێبکە. ئەگەر $A = 1$ بێت، لای چەپ دەبێتە $1 + B = 1$ کە هەمان Aـیە. ئەگەر $A = 0$ بێت، $AB$ـیش 0ـە و لای چەپ دەبێتە $0 + 0 = 0$ کە دیسان هەمان Aـیە. لە هەردوو حاڵەتدا وەڵامەکە Aـیە و B هەرگیز گرنگ نییە. دەڵێین A بڕی AB هەڵدەمژێت.

Again think it through. If $A = 1$, both sides are 1. If $A = 0$, then $\overline{A} = 1$, so $\overline{A}B = B$ and both sides equal B. So the $\overline{A}$ in front of B adds nothing and can be dropped. The course author proved this rule twice in his notes — once with a truth table and once with algebra.

دیسان بیری لێ بکەرەوە. ئەگەر $A = 1$ بێت، هەردوو لا 1ـن. ئەگەر $A = 0$ بێت، $\overline{A} = 1$، بۆیە $\overline{A}B = B$ و هەردوو لا یەکسانن بە B. کەواتە ئەو $\overline{A}$ـەی پێش B هیچ زیاد ناکات و دەتوانرێت لابدرێت. خاوەنی کۆرسەکە لە تێبینییەکانیدا ئەم یاسایەی دوو جار سەلماند — جارێک بە خشتەی ڕاستی و جارێک بە جەبر.

Rule 12 is the second distributive law: OR distributes over AND. It is the dual of $A(B + C) = AB + AC$, and it has no twin in ordinary arithmetic. Prove it by multiplying out the left side:

یاسای ⁦12⁩ یاسای بەشینەوەی دووەمە: OR بەسەر ANDـدا دابەش دەبێت. دووانەی $A(B + C) = AB + AC$ـە و لە ژمێریاریی ئاساییدا هاوتای نییە. بە لێکدانی لای چەپ بیسەلمێنە:

In circuit terms: two OR gates and an AND (left side) can be replaced by one AND and one OR (right side).

بە زمانی سووڕ: دوو گەیتی OR و یەک AND (لای چەپ) دەتوانرێت بە یەک AND و یەک OR (لای ڕاست) بگۆڕدرێت.

Simplifying means applying rules one step at a time and naming the rule each time. Two short examples:

سادەکردنەوە واتە بەکارهێنانی یاساکان هەنگاو بە هەنگاو و ناوبردنی یاساکە لە هەر هەنگاوێکدا. دوو نموونەی کورت:

The next lessons of this chapter add De Morgan's theorems and then a full step-by-step strategy for longer expressions.

وانەکانی داهاتووی ئەم بەشە سەلمێنراوەکانی دی مۆرگان و پاشان ڕێگایەکی تەواوی هەنگاو بە هەنگاو بۆ دەربڕینەکانی درێژتر زیاد دەکەن.