Chapterبەش 6 · Lectureوانە 6.3

Multiplying Matricesلێکدانی ماتریکسەکان

When a product $AB$ exists and what size it has ( $(m \times n)(n \times p) \to m \times p$ ), products of non-square matrices and vectors (a shopping bill in IQD), the associative and distributive laws, powers of square matrices and the transpose rules $(A + B)^T = A^T + B^T$ and $(AB)^T = B^TA^T$ .

کەی لێکدراوی $AB$ هەیە و چ قەبارەیەکی هەیە ( $(m \times n)(n \times p) \to m \times p$ )، لێکدانی ناچوارگۆشەییەکان و (پسوولەی کڕین بە دینار)، و ، توانی و یاساکانی $(A + B)^T = A^T + B^T$ و $(AB)^T = B^TA^T$ .

16 min read18 خولەک خوێندنەوە · 18 stepsهەنگاو

What you will learnچی فێر دەبیت

Decide from the orders whether $AB$ and $BA$ exist and give their sizes.
Multiply non-square matrices and vectors entry by entry with row times column.
Use the associative and distributive laws, $AI = IA = A$ , and avoid $AB = BA$ .
Compute powers of square matrices and transposes of sums and products.

لە قەبارەکانەوە بڕیار بدەیت ئایا $AB$ و $BA$ هەن و قەبارەیان بڵێیت.
ناچوارگۆشەییەکان و بە ڕیز لە ستوون لێک بدەیت.
و و $AI = IA = A$ بەکاربهێنیت و خۆت لە $AB = BA$ بپارێزیت.
توانی و کۆ و لێکدراو بدۆزیتەوە.

Where we startلە کوێوە دەست پێدەکەین

You already multiplied two $2 \times 2$ matrices in Multiplying matrices: row times column: every entry of the answer is a row of the first matrix times a column of the second — multiply the pairs and add. You also saw that the order matters: in general $AB \ne BA$ .

پێشتر دوو $2 \times 2$ ت لە لێکدانی ماتریکسەکان: ڕیز لە ستووندا لێک دا: هەر ژمارەیەکی وەڵام ڕیزێکی یەکەمە لە ستوونێکی دووەم — جووتەکان لێک بدە و کۆیان بکەرەوە. هەروەها بینیت کە ڕیزبەندی گرنگە: بە گشتی $AB \ne BA$ .

This lesson answers the questions that the $2 \times 2$ case hides: when can two matrices of different shapes be multiplied, what size is the answer, how vectors work, which laws still hold, what $A^2$ means, and what happens to a product under the .

ئەم وانەیە وەڵامی ئەو پرسیارانە دەداتەوە کە حاڵەتی $2 \times 2$ دەیانشارێتەوە: کەی دوو بە شێوەی جیاواز لێک دەدرێن، وەڵامەکە چ قەبارەیەکی دەبێت، چۆن کار دەکەن، کام یاسا هێشتا ڕاستن، $A^2$ واتای چییە و چی بەسەر لێکدراوێکدا دەهێنێت.

When does $AB$ exist?کەی $AB$ هەیە؟

A row of $A$ must have exactly as many numbers as a column of $B$ , otherwise the pairs do not match up. A row of $A$ has one number for each column of $A$ , and a column of $B$ has one number for each row of $B$ . So:

ڕیزێکی $A$ دەبێت ڕێک بە ئەندازەی ستوونێکی $B$ ژمارەی هەبێت، ئەگەرنا جووتەکان یەک ناگرنەوە. ڕیزێکی $A$ بۆ هەر ستوونێکی $A$ یەک ژمارەی هەیە و ستوونێکی $B$ بۆ هەر ڕیزێکی $B$ یەک ژمارە. کەواتە:

A_{m \times \mathbf{n}} \; B_{\mathbf{n} \times p} = (AB)_{m \times p}

Like dominoes: the touching (inner) numbers must match; the outer numbers are the size of the answer.وەک دۆمینە: ژمارە نووساوەکان (ناوەکییەکان) دەبێت یەک بن؛ ژمارە دەرەکییەکان قەبارەی وەڵامەکەن.CêIT

Quick checkپشکنینی خێرا

A

is

3 \times 2

and

B

is

3 \times 2

. What is

AB

?

A

3 \times 2

ـە و

B

3 \times 2

ـە.

AB

چییە؟Not defined: 2 columns but 3 rowsپێناسە نەکراوە: 2 ستوون بەڵام 3 ڕیزA

3 \times 3

matrixماتریکسێکی

3 \times 3

A

3 \times 2

matrixماتریکسێکی

3 \times 2

Multiplying MatricesThe Organic Chemistry Tutor · Englishئینگلیزی · 2.7M viewsبینین · 41K likesلایک · Partبەشی 0:00–7:49 (ofلە 17:40)
How to check whether AB exists (inner sizes match), what size the answer has, and why AB and BA can differ.
چۆن دەزانیت $AB$ هەیە (قەبارە ناوەکییەکان یەک بگرنەوە)، وەڵامەکە چ قەبارەیەکی دەبێت، هەروەها بۆچی $AB$ و $BA$ دەکرێت جیاواز بن.
Plays 0:00-7:49: 0:58 determining the orders (inner numbers match, outer numbers give the size); 3:39 AB for a 1 × 3 row times a 3 × 1 column (1 × 1); 5:18 BA is 3 × 3 — the lesson's own quiz case.
لە ⁦0:00⁩ تا ⁦7:49⁩ پەخش دەبێت: ⁦0:58⁩ دیاریکردنی قەبارەکان (ژمارە ناوەکییەکان یەک دەگرنەوە، ژمارە دەرەکییەکان قەبارەی وەڵام دەدەن)؛ ⁦3:39⁩ $AB$ بۆ ڕیزێکی $1 \times 3$ لە ستوونێکی $3 \times 1$ ( $1 \times 1$ )؛ ⁦5:18⁩ $BA$ دەبێتە $3 \times 3$ ، هەمان پرسیارەکەی تاقیکردنەوەی وانەکە.

One entry: row $i$ times column $j$ یەک ژمارە: ڕیزی $i$ لە ستوونی $j$

The entry in row $i$ , column $j$ of $AB$ uses only row $i$ of $A$ and column $j$ of $B$ . Walk along both at the same time, multiply the pairs and add:

ژمارەی ڕیزی $i$ ، ستوونی $j$ ی $AB$ تەنها ڕیزی $i$ ی $A$ و ستوونی $j$ ی $B$ بەکاردەهێنێت. بە هەردووکیاندا پێکەوە بڕۆ، جووتەکان لێک بدە و کۆیان بکەرەوە:

(AB)_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \cdots + a_{in}b_{nj} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}\,b_{kj}

Row slides over column: multiply the pairs, then add.ڕیز بەسەر ستووندا دەخزێت: جووتەکان لێک بدە، پاشان کۆیان بکەرەوە.CêIT

The notes write the whole product out for a $3 \times 2$ matrix times a $2 \times 2$ matrix. Each row of the answer comes from one row of $A$ , so the answer is $3 \times 2$ :

تێبینییەکان هەموو لێکدراوەکە بۆ $3 \times 2$ لە $2 \times 2$ دەنووسن. هەر ڕیزێکی وەڵام لە یەک ڕیزی $A$ ـەوە دێت، بۆیە وەڵامەکە $3 \times 2$ ـە:

A_{3\times2}B_{2\times2} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} \\ b_{21} & b_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_{11}b_{11} + a_{12}b_{21} & a_{11}b_{12} + a_{12}b_{22} \\ a_{21}b_{11} + a_{22}b_{21} & a_{21}b_{12} + a_{22}b_{22} \\ a_{31}b_{11} + a_{32}b_{21} & a_{31}b_{12} + a_{32}b_{22} \end{bmatrix}_{3\times2}

Quick checkپشکنینی خێراWhich entries are used for the entry in row 3, column 2 of this product?کام ژمارانە بۆ ژمارەی ڕیزی 3، ستوونی 2ی ئەم لێکدراوە بەکاردێن؟

a_{12}, a_{22}

and

b_{31}, b_{32}

a_{12}, a_{22}

و

b_{31}, b_{32}

a_{31}, a_{32}

and

b_{12}, b_{22}

a_{31}, a_{32}

و

b_{12}, b_{22}

a_{32}

and

b_{32}

a_{32}

و

b_{32}

4). Chapter Two : Matrices / part 2 in KurdishAvin Omer Karim · Kurdish (Sorani)کوردی (سۆرانی) · 5.2K viewsبینین · 135 likesلایک · Partبەشی 2:45–10:30 (ofلە 26:34)
A Kurdish university lecture: adding matrices of the same order, multiplying by a number, and multiplying matrices row by column.
وانەیەکی زانکۆ بە کوردی: کۆکردنەوەی کە هەمان قەبارەیان هەیە، لێکدان لە ژمارەیەک و لێکدانی ڕیز لە ستوون.
Kurdish: AB is defined when columns of A = rows of B; a 2×2 product row by column; a 1×3 row times a 3×1 column. Stops before the 2×3 × 3×2 example at 10:35.
بە کوردی: $AB$ پێناسە کراوە کاتێک ژمارەی ستوونەکانی A یەکسان بێت بە ژمارەی ڕیزەکانی B؛ لێکدانی $2 \times 2$ ڕیز لە ستوون؛ ڕیزێکی $1 \times 3$ لە ستوونێکی $3 \times 1$ . پێش نموونەی $(2 \times 3)(3 \times 2)$ لە ⁦10:35⁩ ڕادەوەستێت.

A $2 \times 3$ times a $3 \times 2$ $2 \times 3$ لە $3 \times 2$

Take $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & 4 \end{bmatrix}$ ( $2 \times 3$ ) and $B = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 0 \\ -1 & 5 \end{bmatrix}$ ( $3 \times 2$ ). The inner sizes are both 3, so $AB$ exists and is $2 \times 2$ : four entries, each a row of $A$ times a column of $B$ .

$A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 0 & -1 & 4 \end{bmatrix}$ ( $2 \times 3$ ) و $B = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 0 \\ -1 & 5 \end{bmatrix}$ ( $3 \times 2$ ) وەربگرە. قەبارە ناوەکییەکان هەردووکیان 3ـن، بۆیە $AB$ هەیە و $2 \times 2$ ـە: چوار ژمارە، هەریەکەیان ڕیزێکی $A$ ـە لە ستوونێکی $B$ .

A is 2 by 3 with rows 2, 1, 3 and 0, −1, 4; B is 3 by 2 with rows 1, 2 / 3, 0 / −1, 5; the answer AB is an empty 2 by 2 grid. Frame by frame one row of A and one column of B light up and their products are added into one cell: row 1 with column 1 gives 2 + 3 − 3 = 2, row 1 with column 2 gives 4 + 0 + 15 = 19, row 2 with column 1 gives 0 − 3 − 4 = −7, row 2 with column 2 gives 0 + 0 + 20 = 20. The last frame shows AB with rows 2, 19 and −7, 20. — Each cell of $AB$ : one row of $A$ times one column of $B$ .هەر خانەیەکی $AB$ : ڕیزێکی $A$ لە ستوونێکی $B$ .CêIT

\begin{aligned} (AB)_{11} &= (2)(1) + (1)(3) + (3)(-1) = 2 & (AB)_{12} &= (2)(2) + (1)(0) + (3)(5) = 19 \\ (AB)_{21} &= (0)(1) + (-1)(3) + (4)(-1) = -7 & (AB)_{22} &= (0)(2) + (-1)(0) + (4)(5) = 20 \end{aligned}

Now $BA$ : a different sizeئێستا $BA$ : قەبارەیەکی جیاواز

Swap the order. $B$ is $3 \times \mathbf{2}$ and $A$ is $\mathbf{2} \times 3$ : the inner sizes are both 2, so $BA$ exists too — but it is $3 \times 3$ , nine entries, each a row of $B$ (2 numbers) times a column of $A$ (2 numbers):

ڕیزبەندییەکە بگۆڕە. $B$ $3 \times \mathbf{2}$ ـە و $A$ $\mathbf{2} \times 3$ ـە: قەبارە ناوەکییەکان هەردووکیان 2ـن، بۆیە $BA$ ـیش هەیە — بەڵام $3 \times 3$ ـە، نۆ ژمارە، هەریەکەیان ڕیزێکی $B$ ـە (⁦2⁩ ژمارە) لە ستوونێکی $A$ (⁦2⁩ ژمارە):

BA = \begin{bmatrix} (1)(2) + (2)(0) & (1)(1) + (2)(-1) & (1)(3) + (2)(4) \\ (3)(2) + (0)(0) & (3)(1) + (0)(-1) & (3)(3) + (0)(4) \\ (-1)(2) + (5)(0) & (-1)(1) + (5)(-1) & (-1)(3) + (5)(4) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 11 \\ 6 & 3 & 9 \\ -2 & -6 & 17 \end{bmatrix}

$AB$ is $2 \times 2$ and $BA$ is $3 \times 3$ : they cannot even be compared. Non-square matrices show most clearly why the order of a product matters.

$AB$ $2 \times 2$ ـە و $BA$ $3 \times 3$ ـە: تەنانەت بەراوردیش ناکرێن. ناچوارگۆشەییەکان بە ڕوونترین شێوە پیشان دەدەن بۆچی ڕیزبەندیی لێکدان گرنگە.

Quick checkپشکنینی خێرا

A

is

1 \times 3

and

B

is

3 \times 1

. What are the orders of

AB

and

BA

?

A

1 \times 3

ـە و

B

3 \times 1

ـە. قەبارەی

AB

و

BA

چەندن؟

1 \times 1

and

3 \times 3

1 \times 1

و

3 \times 3

both

1 \times 1

هەردووکیان

1 \times 1

3 \times 3

and

1 \times 1

3 \times 3

و

1 \times 1

When $AB$ exists but $BA$ does notکاتێک $AB$ هەیە بەڵام $BA$ نییە

Sometimes only one order works. The notes' example is a $3 \times 2$ matrix $A$ times a $2 \times 2$ matrix $B$ : $AB$ is $3 \times 2$ , but $BA$ would need the 2 columns of $B$ to meet the 3 rows of $A$ , so it is not defined. A new example of the same shapes:

هەندێک جار تەنها یەک ڕیزبەندی کار دەکات. نموونەی تێبینییەکان $3 \times 2$ ی $A$ ـە لە $2 \times 2$ ی $B$ : $AB$ $3 \times 2$ ـە، بەڵام $BA$ پێویستی بەوەیە کە 2 ستوونی $B$ لەگەڵ 3 ڕیزی $A$ یەک بگرنەوە، بۆیە پێناسە نەکراوە. نموونەیەکی نوێ بە هەمان شێوە:

C = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & -1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}, \quad D = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -3 & 5 \end{bmatrix}, \quad CD = \begin{bmatrix} 2 - 12 & 1 + 20 \\ 4 + 3 & 2 - 5 \\ 0 - 9 & 0 + 15 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -10 & 21 \\ 7 & -3 \\ -9 & 15 \end{bmatrix}

When both $A$ and $B$ are square of the same size $n$ , both $AB$ and $BA$ exist and are $n \times n$ — and still, as the $2 \times 2$ example showed, they are usually different.

کاتێک $A$ و $B$ هەردووکیان چوارگۆشەیی بن بە هەمان قەبارەی $n$ ، $AB$ و $BA$ هەردووکیان هەن و $n \times n$ ـن — بەڵام هێشتا، وەک نموونە $2 \times 2$ ـەکە پیشانی دا، زۆرجار جیاوازن.

Vectors and matrices: a shopping bill in IQDئاڕاستەبڕەکان و ماتریکسەکان: پسوولەی کڕین بە دینار

A row or a column is a matrix too, so the same rule covers . Hana buys 2 kg of tomatoes, 1 kg of onions and 3 kg of potatoes at a bazaar in Erbil, where they cost 1,000, 750 and 500 IQD per kg. Write the amounts as a row $q$ and the prices as a column $p$ :

ڕیز یان ستوونیش ، بۆیە هەمان یاسا دەگرێتەوە. هانا لە بازاڕێکی هەولێر 2 کیلۆ تەماتە، 1 کیلۆ پیاز و 3 کیلۆ پەتاتە دەکڕێت کە کیلۆی بە ⁦1,000⁩، ⁦750⁩ و ⁦500⁩ دینارە. بڕەکان وەک ڕیزی $q$ و نرخەکان وەک ستوونی $p$ بنووسە:

q\,p = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1000 \\ 750 \\ 500 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2(1000) + 1(750) + 3(500) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4250 \end{bmatrix}

Quick checkپشکنینی خێراAt another stall potatoes cost 600 IQD per kg; tomatoes and onions cost the same as before. What is Hana's bill for

q = (2, 1, 3)

there?لە دوکانێکی تر کیلۆی پەتاتە ⁦600⁩ دینارە؛ تەماتە و پیاز وەک پێشوون. پسوولەی هانا بۆ

q = (2, 1, 3)

لەوێ چەندە؟4,250 IQD⁦4,250⁩ دینار4,550 IQD⁦4,550⁩ دینار3,350 IQD⁦3,350⁩ دینار

Vectors and matrices: a shopping bill in IQDئاڕاستەبڕەکان و ماتریکسەکان: پسوولەی کڕین بە دینار

Several shops, several shoppersچەند دوکانێک، چەند کڕیارێک

Row vector × matrix. To compare two shops, put each shop's prices in its own column (the bazaar first, then a supermarket). The $1 \times 3$ row times the $3 \times 2$ matrix gives a $1 \times 2$ row: one bill for each shop.

ڕیز × . بۆ بەراوردکردنی دوو دوکان، نرخەکانی هەر دوکانێک لە ستوونی خۆیدا دابنێ (سەرەتا بازاڕەکە، پاشان سوپەرمارکێتێک). ڕیزی $1 \times 3$ لە $3 \times 2$ ڕیزێکی $1 \times 2$ دەدات: پسوولەیەک بۆ هەر دوکانێک.

q\,P = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1000 & 1250 \\ 750 & 750 \\ 500 & 600 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4250 & 5050 \end{bmatrix}

Matrix × column vector. If Hana and Shilan both shop at the bazaar, put their amounts in the rows of a $2 \times 3$ matrix $Q$ . Then $Qp$ is a $2 \times 1$ column: one bill for each person. The other order, $pQ$ , is $(3 \times 1)(2 \times 3)$ and not defined.

× ستوون. ئەگەر هانا و شیلان هەردووکیان لە بازاڕەکە بکڕن، بڕەکانیان لە ڕیزەکانی $2 \times 3$ ی $Q$ دا دابنێ. ئەو کاتە $Qp$ ستوونێکی $2 \times 1$ ـە: پسوولەیەک بۆ هەر کەسێک. ڕیزبەندییەکەی تر، $pQ$ ، $(3 \times 1)(2 \times 3)$ ـە و پێناسە نەکراوە.

Q\,p = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1000 \\ 750 \\ 500 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2(1000) + 1(750) + 3(500) \\ 1(1000) + 2(750) + 0(500) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4250 \\ 2500 \end{bmatrix}

The notes practise the same four cases with a row $b$ , a column $a$ and $3 \times 3$ matrices: $bX$ works, $Xb$ does not ( $(3 \times 3)(1 \times 3)$ ), $Xa$ gives a column and $a^TX$ gives a row. Try them in the exercises.

تێبینییەکان هەمان چوار حاڵەت بە ڕیزی $b$ ، ستوونی $a$ و $3 \times 3$ ڕادەهێنن: $bX$ کار دەکات، $Xb$ کار ناکات ( $(3 \times 3)(1 \times 3)$ )، $Xa$ ستوونێک دەدات و $a^TX$ ڕیزێک. لە ڕاهێنانەکاندا تاقییان بکەرەوە.

Quick checkپشکنینی خێراShilan's row of

Q

is

(1, 2, 0)

. What is her bill at the supermarket prices

(1250, 750, 600)

?ڕیزی شیلان لە

Q

دا

(1, 2, 0)

ـە. پسوولەکەی بە نرخەکانی سوپەرمارکێت

(1250, 750, 600)

چەندە؟2,750 IQD⁦2,750⁩ دینار2,600 IQD⁦2,600⁩ دینار2,500 IQD⁦2,500⁩ دینار

The laws of matrix multiplicationیاساکانی لێکدانی ماتریکسەکان

Let $A$ , $B$ , $C$ have orders for which the products below are defined, and let $r$ be a number. Then:

با $A$ ، $B$ ، $C$ ئەو قەبارانەیان هەبێت کە لێکدراوەکانی خوارەوە پێناسە بکەن و $r$ ژمارەیەک بێت. ئەو کاتە:

Laws that hold — and the one that does notئەو یاسایانەی ڕاستن — و ئەوەی ڕاست نییە
Lawیاسا	Formula	In wordsبە وشە
	$A(BC) = (AB)C$	multiply in any grouping, keep the orderبە هەر کۆمەڵکردنێک لێکی بدە، ڕیزبەندییەکە بپارێزە
(left) (چەپ)	$A(B + C) = AB + AC$	$A$ stays on the left $A$ لە لای چەپ دەمێنێتەوە
(right) (ڕاست)	$(A + B)C = AC + BC$	$C$ stays on the right $C$ لە لای ڕاست دەمێنێتەوە
Numbers move freelyژمارە بە ئازادی دەجووڵێت	$A(rB) = r(AB) = (rA)B$	a scalar can sit anywhere دەتوانێت لە هەر شوێنێک بێت
	$AI = IA = A$	$I$ acts like the number 1 $I$ وەک ژمارەی 1 ڕەفتار دەکات
Not commutativeئاڵوگۆڕ نییە	$AB \ne BA$	in general different: never swap the factorsبە گشتی جیاوازن: هەرگیز شوێنی لێکدراوەکان مەگۆڕە

A check with $L_1 = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$ , $L_2 = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$ , $L_3 = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 2 & 0 \end{bmatrix}$ :

پشکنینێک بە $L_1 = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$ ، $L_2 = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$ ، $L_3 = \begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 2 & 0 \end{bmatrix}$ :

\begin{aligned} (L_1L_2)L_3 &= \begin{bmatrix} 5 & 4 \\ -1 & -2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} -1 & 1 \\ 2 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 5 \\ -3 & -1 \end{bmatrix} \\ L_1(L_2L_3) &= \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} -3 & 3 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 5 \\ -3 & -1 \end{bmatrix} \\ L_1(L_2 + L_3) &= \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 & 5 \\ -3 & -2 \end{bmatrix} = L_1L_2 + L_1L_3 \end{aligned}

The must have the right size on each side. For the $2 \times 3$ matrix $A$ of this lesson, $I_2A = A$ and $AI_3 = A$ : a different $I$ on each side.

دەبێت لە هەر لایەک قەبارەی گونجاوی هەبێت. بۆ $2 \times 3$ ی $A$ ی ئەم وانەیە، $I_2A = A$ و $AI_3 = A$ : لە هەر لایەک $I$ ـێکی جیاواز.

Matrix Multiplication and Associated PropertiesProfessor Dave Explains · Englishئینگلیزی · 242K viewsبینین · 3.9K likesلایک · Partبەشی 2:31–6:21 (ofلە 6:21)
The laws of matrix multiplication: you may regroup a product (associative) and multiply out brackets (distributive), but you must keep the order.
یاساکانی لێکدانی : دەتوانیت لێکدراوێک بە شێوەیەکی تر گرووپ بکەیتەوە () و کەوانە بکەیتەوە ()، بەڵام دەبێت ڕیزبەندییەکە وەک خۆی بهێڵیتەوە.
Plays from 2:31: AB for a 2 × 3 times a 3 × 2 matrix, then BA (3 × 3, different), so multiplication is not commutative; 4:33 associative and 4:43 distributive laws (frames checked at 3:10, 4:10 and 5:05).
لە ⁦2:31⁩ـەوە پەخش دەبێت: $AB$ بۆ $2 \times 3$ لە $3 \times 2$ ، پاشان $BA$ ( $3 \times 3$ ، جیاواز)، کەواتە لێکدانی پەیڕەو ناکات؛ ⁦4:33⁩ و ⁦4:43⁩ (وێنەکانی ⁦3:10⁩، ⁦4:10⁩ و ⁦5:05⁩ پشکنراون).

Powers of a square matrixتوانی ماتریکسێکی چوارگۆشەیی

For a $A$ , $AA$ is written $A^2$ , $AAA = A^3$ , and in general $A \cdots A = A^n$ ( $n$ factors). The matrix must be square: for a $2 \times 3$ matrix, $(2 \times 3)(2 \times 3)$ is not defined.

بۆ $A$ ، $AA$ بە $A^2$ دەنووسرێت، $AAA = A^3$ و بە گشتی $A \cdots A = A^n$ ( $n$ جار). دەبێت چوارگۆشەیی بێت: بۆ $2 \times 3$ ، $(2 \times 3)(2 \times 3)$ پێناسە نەکراوە.

P = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 0 \end{bmatrix}, \quad P^2 = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 & 2 \\ 3 & 6 \end{bmatrix}, \quad P^3 = P^2P = \begin{bmatrix} 13 & 14 \\ 21 & 6 \end{bmatrix}

Because multiplication is associative, the grouping of the factors does not matter: $P^3 = P^2P = PP^2$ . Recall from Special matrices that an involutory matrix has $A^2 = I$ .

لەبەر ئەوەی لێکدان پەیڕەو دەکات، چۆنیەتیی کۆمەڵکردنی لێکدراوەکان گرنگ نییە: $P^3 = P^2P = PP^2$ . لە ماتریکسە تایبەتەکانەوە بیرت بێتەوە کە $A^2 = I$ ـی هەیە.

Quick checkپشکنینی خێراWhat is

\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}^2

?

\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}^2

چەندە؟

\begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

The transpose of sums and productsجێگۆڕکێی ماتریکسی کۆ و لێکدراو

Recall the Transpose: rows become columns, and $(A^T)^T = A$ . Three more rules connect it to this chapter's operations:

جێگۆڕکێی ماتریکست بیر بێتەوە: ڕیزەکان دەبنە ستوون و $(A^T)^T = A$ . سێ یاسای تر پەیوەندی بە کۆکردنەوە و لێکدانی ئەم بەشەوە دەکەن:

(kA)^T = kA^T \qquad (A + B)^T = A^T + B^T \qquad (AB)^T = B^TA^T

(A + B)^T

, not

A + B

(A + B)^T

، نەک

A + B

On one slide of the notes the sum rule is printed as $A + B = A^T + B^T$ . That would mean every sum equals its own transpose, which is false. The rule is $(A + B)^T = A^T + B^T$ , as the notes' later summary says. Check with $F = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ -2 & 0 \end{bmatrix}$ , $G = \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ 6 & 2 \end{bmatrix}$ : $(F + G)^T = \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 4 & 2 \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} 4 & 4 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} = F^T + G^T$ .

لە یەکێک لە سلایدەکانی تێبینییەکاندا یاسای کۆ بە $A + B = A^T + B^T$ چاپ کراوە. ئەمە واتای ئەوەیە کە هەموو کۆیەک یەکسانە بە خۆی کە هەڵەیە. یاساکە $(A + B)^T = A^T + B^T$ ـە، وەک پوختەکەی دواتری تێبینییەکان دەڵێت. پشکنین بە $F = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ -2 & 0 \end{bmatrix}$ ، $G = \begin{bmatrix} 3 & -1 \\ 6 & 2 \end{bmatrix}$ : $(F + G)^T = \begin{bmatrix} 4 & 3 \\ 4 & 2 \end{bmatrix}^T = \begin{bmatrix} 4 & 4 \\ 3 & 2 \end{bmatrix} = F^T + G^T$ .

The transpose of sums and productsجێگۆڕکێی ماتریکسی کۆ و لێکدراو

$(AB)^T = B^TA^T$ : the order reverses $(AB)^T = B^TA^T$ : ڕیزبەندییەکە پێچەوانە دەبێتەوە

Socks and shoesگۆرەوی و پێڵاو

In the morning you put on your socks, then your shoes. In the evening you undo it in the reverse order: shoes first, then socks. $(AB)^T = B^TA^T$ follows the same pattern: the last factor comes first.

بەیانی سەرەتا گۆرەوییەکانت لە پێ دەکەیت، پاشان پێڵاوەکانت. ئێوارە بە ڕیزبەندیی پێچەوانە دایاندەکەنیت: سەرەتا پێڵاو، پاشان گۆرەوی. $(AB)^T = B^TA^T$ هەمان شێوە پەیڕەو دەکات: دوایین لێکدراو یەکەم دێت.

Where the analogy stops workingسنووری ئەم نموونەیە

The analogy shows the order only; it does not explain why the rule holds. The reason is that row $i$ times column $j$ of $AB$ is the same sum as row $j$ of $B^T$ times column $i$ of $A^T$ .

ئەم بەراوردکردنە تەنها ڕیزبەندییەکە پیشان دەدات؛ ڕوون ناکاتەوە بۆچی یاساکە ڕاستە. هۆکەی ئەوەیە کە ڕیزی $i$ لە ستوونی $j$ ی $AB$ هەمان کۆیە وەک ڕیزی $j$ ی $B^T$ لە ستوونی $i$ ی $A^T$ .

\begin{aligned} A &= \begin{bmatrix} 2 & 0 & 1 \\ 1 & 3 & -1 \end{bmatrix}, \; B = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \\ 4 & -1 \end{bmatrix}, \; AB = \begin{bmatrix} 6 & 3 \\ -3 & 6 \end{bmatrix} \\ (AB)^T &= \begin{bmatrix} 6 & -3 \\ 3 & 6 \end{bmatrix}, \quad B^TA^T = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 4 \\ 2 & 1 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & -3 \\ 3 & 6 \end{bmatrix} \end{aligned}

Practice: solve it or explain why notڕاهێنان: شیکاری بکە یان ڕوونی بکەرەوە بۆچی ناکرێت

This set follows the notes' practice questions, with new matrices of the same shapes. First write each order, then decide.

ئەم کۆمەڵەیە پرسیارەکانی ڕاهێنانی تێبینییەکان پەیڕەو دەکات، بە نوێ کە هەمان شێوەیان هەیە. سەرەتا قەبارەی هەریەکەیان بنووسە، پاشان بڕیار بدە.

A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & -1 \\ 1 & 4 & 3 \end{bmatrix}\; B = \begin{bmatrix} 3 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix}\; C = \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 0 & -2 \\ 4 & 3 \end{bmatrix}\; D = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\; E = \begin{bmatrix} 0 & 5 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}\; F = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 \\ -3 & 0 & 6 \end{bmatrix}

Review questionsپرسیارەکانی پێداچوونەوە

Question 1:

A + F

پرسیاری 1:

A + F

Both $2 \times 3$ : $\begin{bmatrix} 3 & 1 & 1 \\ -2 & 4 & 9 \end{bmatrix}$ .

هەردووکیان $2 \times 3$ : $\begin{bmatrix} 3 & 1 & 1 \\ -2 & 4 & 9 \end{bmatrix}$ .

Question 2:

E - D

پرسیاری 2:

E - D

Both $2 \times 2$ : $\begin{bmatrix} -2 & 6 \\ -5 & -3 \end{bmatrix}$ .

هەردووکیان $2 \times 2$ : $\begin{bmatrix} -2 & 6 \\ -5 & -3 \end{bmatrix}$ .

Question 3:

C + B

پرسیاری 3:

C + B

Not possible: $3 \times 2$ and $3 \times 1$ are different orders.

ناکرێت: $3 \times 2$ و $3 \times 1$ قەبارەی جیاوازن.

Question 4:

CD

پرسیاری 4:

CD

$(3 \times 2)(2 \times 2) \to 3 \times 2$ : $\begin{bmatrix} 17 & 19 \\ -6 & -8 \\ 17 & 8 \end{bmatrix}$ .

Question 5:

AF

پرسیاری 5:

AF

Not possible: $(2 \times 3)(2 \times 3)$ , 3 columns but 2 rows.

ناکرێت: $(2 \times 3)(2 \times 3)$ ، 3 ستوون بەڵام 2 ڕیز.

Question 6:

C^T

پرسیاری 6:

C^T

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 4 \\ 5 & -2 & 3 \end{bmatrix}$ ( $2 \times 3$ ).

Question 7:

F^TE

پرسیاری 7:

F^TE

$(3 \times 2)(2 \times 2) \to 3 \times 2$ : $\begin{bmatrix} 6 & 2 \\ 0 & 5 \\ -12 & 16 \end{bmatrix}$ .

Question 8:

AB

and

BA

پرسیاری 8:

AB

و

BA

$AB$ : $(2 \times 3)(3 \times 1) \to 2 \times 1$ , $\begin{bmatrix} 5 \\ -2 \end{bmatrix}$ . $BA$ : $(3 \times 1)(2 \times 3)$ , not possible.

$AB$ : $(2 \times 3)(3 \times 1) \to 2 \times 1$ ، $\begin{bmatrix} 5 \\ -2 \end{bmatrix}$ . $BA$ : $(3 \times 1)(2 \times 3)$ ، ناکرێت.

In computing: three loops and moving picturesلە کۆمپیوتەردا: سێ خول و وێنەی جووڵاو

Matrix multiplication is a triple loopلێکدانی ماتریکس سێ خولی ناوەکییە

In code, $(AB)_{ij} = \sum_k a_{ik}b_{kj}$ becomes three nested loops: one over the rows $i$ of $A$ , one over the columns $j$ of $B$ , and an inner one over $k$ that walks along both. For two $n \times n$ matrices that is $n^3$ multiplications, which is why big products are slow and why graphics cards are built to do them fast. Every turn of a 3-D object in a game is such a product (see Matrices move, turn and resize pictures).

لە کۆددا $(AB)_{ij} = \sum_k a_{ik}b_{kj}$ دەبێتە سێ خولی ناوەکی: یەکێکیان بەسەر ڕیزەکانی $i$ ی $A$ دا، یەکێکیان بەسەر ستوونەکانی $j$ ی $B$ دا و یەکێکی ناوەوە بەسەر $k$ دا کە بە هەردووکیاندا دەڕوات. بۆ دوو $n \times n$ ئەمە $n^3$ لێکدانە، بۆیە لێکدانی گەورە خاوە و بۆیە بۆ ئەوە دروست کراون کە بە خێرایی ئەنجامی بدەن. هەر سووڕاندنێکی شتێکی سێ‌ڕەهەندی لە یارییەکدا لێکدانێکی لەم جۆرەیە (بڕوانە ماتریکسەکان وێنە دەجووڵێنن، دەسووڕێنن و قەبارەیان دەگۆڕن).

The product AB of this lessonلێکدراوی ABی ئەم وانەیەmatmul.pyPYTHONType in a terminalلە تێرمیناڵدا بینووسە

A = [[2, 1, 3], [0, -1, 4]]          # 2 x 3
B = [[1, 2], [3, 0], [-1, 5]]        # 3 x 2
m, n, p = len(A), len(B), len(B[0])  # A is m x n, B is n x p
C = [[0] * p for _ in range(m)]
for i in range(m):                   # row of A
    for j in range(p):               # column of B
        for k in range(n):           # walk along both
            C[i][j] += A[i][k] * B[k][j]
print(C)

Explain the codeڕوونکردنەوەی کۆدەکە

Lineدێڕی 3

The inner sizes must agree: len(A[0]) must equal len(B).

قەبارە ناوەکییەکان دەبێت یەک بگرنەوە: len(A[0]) دەبێت یەکسان بێت بە len(B).

Lineدێڕی 8

One pair of the row-times-column sum.

یەک جووتی کۆی ڕیز لە ستوون.

Common mistakesهەڵە باوەکان

Mistakeهەڵە	What is trueڕاستییەکە
Multiplying matrices entry by entry, like addition.لێکدانی ژمارە بە ژمارە، وەک کۆکردنەوە.	Each entry is a row times a column, added up.هەر ژمارەیەک ڕیزێکە لە ستوونێک، کۆکراوە.
Checking the outer sizes: “ $2 \times 3$ times $2 \times 3$ is fine, both are $2 \times 3$ ”.پشکنینی قەبارە دەرەکییەکان: « $2 \times 3$ لە $2 \times 3$ باشە، هەردووکیان $2 \times 3$ ـن».	The inner sizes must match (columns of the first = rows of the second).قەبارە ناوەکییەکان دەبێت یەک بن (ستوونی یەکەم = ڕیزی دووەم).
Assuming $AB = BA$ , or that $BA$ exists because $AB$ does.وا دانان کە $AB = BA$ ، یان $BA$ هەیە چونکە $AB$ هەیە.	Check each order separately; even when both exist they usually differ.هەر ڕیزبەندییەک جیا بپشکنە؛ تەنانەت کاتێک هەردووکیان هەن زۆرجار جیاوازن.
$A^2$ = each entry squared. $A^2$ = هەر ژمارەیەک بە دووجا.	$A^2 = AA$ , and only for square $A$ . $A^2 = AA$ و تەنها بۆ $A$ ـی چوارگۆشەیی.
$(AB)^T = A^TB^T$ . $(AB)^T = A^TB^T$ .	The order reverses: $(AB)^T = B^TA^T$ .ڕیزبەندییەکە پێچەوانە دەبێتەوە: $(AB)^T = B^TA^T$ .
$A(B + C) = BA + CA$ . $A(B + C) = BA + CA$ .	Keep $A$ on the left: $AB + AC$ . $A$ لە لای چەپ بهێڵەوە: $AB + AC$ .

Exercisesڕاهێنانەکان

ExerciseڕاهێنانExercise 1: a row and a matrixڕاهێنانی 1: ڕیزێک و ماتریکسێک

Let $b = \begin{bmatrix} 3 & 1 & 4 \end{bmatrix}$ and $X = \begin{bmatrix} 3 & 5 & 4 \\ 2 & 6 & 1 \\ 4 & 6 & 2 \end{bmatrix}$ . Find $bX$ and $Xb$ if they exist.

با $b = \begin{bmatrix} 3 & 1 & 4 \end{bmatrix}$ و $X = \begin{bmatrix} 3 & 5 & 4 \\ 2 & 6 & 1 \\ 4 & 6 & 2 \end{bmatrix}$ بن. $bX$ و $Xb$ بدۆزەرەوە ئەگەر هەبن.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

bX = \begin{bmatrix} 9 + 2 + 16 & 15 + 6 + 24 & 12 + 1 + 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 27 & 45 & 21 \end{bmatrix}

$Xb$ is $(3 \times 3)(1 \times 3)$ : the inner sizes 3 and 1 differ, so it is not defined.

$Xb$ $(3 \times 3)(1 \times 3)$ ـە: قەبارە ناوەکییەکان 3 و 1 جیاوازن، بۆیە پێناسە نەکراوە.

ExerciseڕاهێنانExercise 2: a matrix and a columnڕاهێنانی 2: ماتریکسێک و ستوونێک

Let $Y = \begin{bmatrix} 4 & 5 & 3 \\ 5 & 7 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \end{bmatrix}$ and $a = \begin{bmatrix} 4 \\ 2 \\ 6 \end{bmatrix}$ . Find $Ya$ and $a^TY$ .

با $Y = \begin{bmatrix} 4 & 5 & 3 \\ 5 & 7 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \end{bmatrix}$ و $a = \begin{bmatrix} 4 \\ 2 \\ 6 \end{bmatrix}$ بن. $Ya$ و $a^TY$ بدۆزەرەوە.

Hintئاماژە

$a^T$ is the row $(4, 2, 6)$ .

$a^T$ ڕیزی $(4, 2, 6)$ ـە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

Ya = \begin{bmatrix} 16 + 10 + 18 \\ 20 + 14 + 6 \\ 8 + 2 + 12 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 44 \\ 40 \\ 22 \end{bmatrix}, \qquad a^TY = \begin{bmatrix} 16 + 10 + 12 & 20 + 14 + 6 & 12 + 2 + 12 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 38 & 40 & 26 \end{bmatrix}

ExerciseڕاهێنانExercise 3: both ordersڕاهێنانی 3: هەردوو ڕیزبەندی

With $D$ and $E$ from the practice set, find $DE$ and $ED$ .

بە $D$ و $E$ ی کۆمەڵەی ڕاهێنانەکە، $DE$ و $ED$ بدۆزەرەوە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

DE = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 0 & 5 \\ -2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 9 \\ -8 & 19 \end{bmatrix}, \qquad ED = \begin{bmatrix} 0 & 5 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 15 & 20 \\ -1 & 6 \end{bmatrix}

ExerciseڕاهێنانExercise 4: row times column, column times rowڕاهێنانی 4: ڕیز لە ستوون، ستوون لە ڕیز

Find $\begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 4 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix}$ and $\begin{bmatrix} 4 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 \end{bmatrix}$ .

$\begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 4 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix}$ و $\begin{bmatrix} 4 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 \end{bmatrix}$ بدۆزەرەوە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

\begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 4 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 + 0 - 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \end{bmatrix}, \qquad \begin{bmatrix} 4 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & -2 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & -8 & 12 \\ 0 & 0 & 0 \\ -1 & 2 & -3 \end{bmatrix}

ExerciseڕاهێنانExercise 5: a surprising squareڕاهێنانی 5: دووجایەکی سەرسوڕهێنەر

Find $N^2$ for $N = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ . What is surprising?

$N^2$ بدۆزەرەوە بۆ $N = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{bmatrix}$ . چی سەرسوڕهێنەرە؟

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

N^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = O

ExerciseڕاهێنانExercise 6: a pattern of powersڕاهێنانی 6: نەخشێکی توانەکان

Let $K = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ . Find $K^2$ and $K^3$ , then guess $K^{10}$ .

با $K = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ بێت. $K^2$ و $K^3$ بدۆزەرەوە، پاشان $K^{10}$ پێشبینی بکە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

K^2 = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad K^3 = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \quad K^{10} = \begin{bmatrix} 1 & 10 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}

ExerciseڕاهێنانExercise 7: an unknown entryڕاهێنانی 7: ژمارەیەکی نەزانراو

Find $x$ so that $\begin{bmatrix} x & 1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 8 \end{bmatrix}$ .

$x$ بدۆزەرەوە بە شێوەیەک کە $\begin{bmatrix} x & 1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 8 \end{bmatrix}$ .

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

\begin{bmatrix} x + 2 \\ 2 + 6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 8 \end{bmatrix} \;\Rightarrow\; x = 3

ExerciseڕاهێنانExercise 8: the notes' productsڕاهێنانی 8: لێکدانەکانی تێبینییەکان

Find $AB$ and $BA$ for $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 3 & 1 & 4 \end{bmatrix}$ and $B = \begin{bmatrix} -2 & 5 \\ 4 & -3 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$ . Then find $CD$ and $DC$ for $C = \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 4 \\ 1 & 10 \end{bmatrix}$ and $D = \begin{bmatrix} 3 & 8 \\ 10 & 4 \end{bmatrix}$ , or explain why one does not exist.

$AB$ و $BA$ بدۆزەرەوە بۆ $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 3 & 1 & 4 \end{bmatrix}$ و $B = \begin{bmatrix} -2 & 5 \\ 4 & -3 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$ . پاشان $CD$ و $DC$ بدۆزەرەوە بۆ $C = \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 3 & 4 \\ 1 & 10 \end{bmatrix}$ و $D = \begin{bmatrix} 3 & 8 \\ 10 & 4 \end{bmatrix}$ ، یان ڕوونی بکەرەوە بۆچی یەکێکیان نییە.

Hintئاماژە

Write the orders first: $(2 \times 3)(3 \times 2)$ , $(3 \times 2)(2 \times 3)$ , $(3 \times 2)(2 \times 2)$ , $(2 \times 2)(3 \times 2)$ .

سەرەتا قەبارەکان بنووسە: $(2 \times 3)(3 \times 2)$ ، $(3 \times 2)(2 \times 3)$ ، $(3 \times 2)(2 \times 2)$ ، $(2 \times 2)(3 \times 2)$ .

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

AB = \begin{bmatrix} 4 & -2 \\ 6 & 16 \end{bmatrix}_{2 \times 2}, \qquad BA = \begin{bmatrix} 13 & 1 & 22 \\ -5 & 5 & -16 \\ 5 & 5 & 2 \end{bmatrix}_{3 \times 3}

CD = \begin{bmatrix} 56 & 36 \\ 49 & 40 \\ 103 & 48 \end{bmatrix}_{3 \times 2}

Summaryپوختە

$(m \times n)(n \times p) \to m \times p$ : the inner sizes must match, the outer sizes give the answer.
$(AB)_{ij} = \sum_k a_{ik}b_{kj}$ : row $i$ of $A$ times column $j$ of $B$ .
$AB$ and $BA$ may have different sizes, one may not exist, and even for square matrices $AB \ne BA$ in general.
A row of amounts times a column of prices is a bill: $(1 \times n)(n \times 1) \to 1 \times 1$ .
Associative and distributive laws hold, $A(rB) = r(AB)$ , $AI = IA = A$ ; commutativity does not.
$A^n$ only for square $A$ , and $A^2 = AA$ , not the squared entries.
$(kA)^T = kA^T$ , $(A + B)^T = A^T + B^T$ (the slide's “ $A + B$ ” is a typo), $(AB)^T = B^TA^T$ .

$(m \times n)(n \times p) \to m \times p$ : قەبارە ناوەکییەکان دەبێت یەک بن، دەرەکییەکان قەبارەی وەڵامەکە دەدەن.
$(AB)_{ij} = \sum_k a_{ik}b_{kj}$ : ڕیزی $i$ ی $A$ لە ستوونی $j$ ی $B$ .
$AB$ و $BA$ دەشێت قەبارەی جیاوازیان هەبێت، یەکێکیان دەشێت نەبێت و تەنانەت بۆ بە گشتی $AB \ne BA$ .
ڕیزێک لە بڕەکان لە ستوونێک لە نرخەکان دەکاتە پسوولەیەک: $(1 \times n)(n \times 1) \to 1 \times 1$ .
و ڕاستن، $A(rB) = r(AB)$ ، $AI = IA = A$ ؛ ئاڵوگۆڕ ڕاست نییە.
$A^n$ تەنها بۆ $A$ ـی چوارگۆشەیی و $A^2 = AA$ ، نەک ژمارە دووجاکراوەکان.
$(kA)^T = kA^T$ ، $(A + B)^T = A^T + B^T$ (« $A + B$ »ی سلایدەکە هەڵەی چاپە)، $(AB)^T = B^TA^T$ .

Review questionsپرسیارەکانی پێداچوونەوە

Can two

3 \times 2

matrices be multiplied?ئایا دوو ماتریکسی

3 \times 2

لێک دەدرێن؟

No: 2 columns meet 3 rows. They can be added, but not multiplied.

نەخێر: 2 ستوون لەگەڵ 3 ڕیز. کۆ دەکرێنەوە، بەڵام لێک نادرێن.

Why is

A^2

not defined for a

2 \times 3

matrix?بۆچی

A^2

بۆ ماتریکسێکی

2 \times 3

پێناسە نەکراوە؟

$AA$ would be $(2 \times 3)(2 \times 3)$ : the inner sizes 3 and 2 differ.

$AA$ دەبێتە $(2 \times 3)(2 \times 3)$ : قەبارە ناوەکییەکان 3 و 2 جیاوازن.

Next: Determinants, Minors and Cofactors.

دواتر: دیتەرمینانتەکان، ماینەرەکان و کۆفاکتەرەکان.

Videoڤیدیۆ

Watch a videoسەیری ڤیدیۆیەک بکە

A video that viewers liked a lot and praised in their comments, chosen for this lesson.ڤیدیۆیەک کە بینەران زۆریان پێ خۆش بووە و لە کۆمێنتەکانیاندا ستایشیان کردووە، بۆ ئەم وانەیە هەڵبژێردراوە.

How to organize, add and multiply matrices - Bill ShillitoTED-Ed · Englishئینگلیزی · 572K viewsبینین · 12K likesلایک
Why numbers are kept in a matrix, and how each product entry is a row of the first times a column of the second.
چین و چۆن لێکیان دەدەیت: ڕیزێکی یەکەم لە ستوونێکی دووەم، ژمارە بە ژمارە لێک دەدرێن، پاشان کۆ دەکرێنەوە.
Short animated overview: 0:48 what matrices are, 1:58 how to multiply (row times column), 3:49 an example.
ناساندنێکی کورت بە : ⁦0:48⁩ چین، ⁦1:58⁩ چۆن لێک دەدرێن (ڕیز لە ستوون)، ⁦3:49⁩ نموونەیەک.

Lesson complete!وانەکە تەواو بوو!

Well done. Review the key terms, then go on to the next lesson.دەستخۆش. سەیرێکی زاراوە سەرەکییەکان بکەرەوە، پاشان بڕۆ بۆ وانەی داهاتوو.

Key termsزاراوە سەرەکییەکان

Next lessonوانەی داهاتوو

Determinants, Minors and Cofactorsدیتەرمینانتەکان، ماینەرەکان و کۆفاکتەرەکان

Related lecturesوانە پەیوەندیدارەکان

References and further readingسەرچاوەکان و خوێندنەوەی زیاتر

This lecture is a first edition. The Kurdish text and terminology are waiting for review by Kurdish IT teachers.ئەم وانەیە چاپی یەکەمە. دەقە کوردییەکە و زاراوەکانی چاوەڕێی پێداچوونەوەی مامۆستایانی کوردی بواری IT ن.

Multiplying Matricesلێکدانی ماتریکسەکان

What you will learnچی فێر دەبیت

Where we startلە کوێوە دەست پێدەکەین

When does ABABAB exist?کەی ABABAB هەیە؟

One entry: row iii times column jjjیەک ژمارە: ڕیزی iii لە ستوونی jjj

A 2×32 \times 32×3 times a 3×23 \times 23×22×32 \times 32×3 لە 3×23 \times 23×2

Now BABABA: a different sizeئێستا BABABA: قەبارەیەکی جیاواز

When ABABAB exists but BABABA does notکاتێک ABABAB هەیە بەڵام BABABA نییە

Vectors and matrices: a shopping bill in IQDئاڕاستەبڕەکان و ماتریکسەکان: پسوولەی کڕین بە دینار

Several shops, several shoppersچەند دوکانێک، چەند کڕیارێک

The laws of matrix multiplicationیاساکانی لێکدانی ماتریکسەکان

Powers of a square matrixتوانی ماتریکسێکی چوارگۆشەیی

The transpose of sums and productsجێگۆڕکێی ماتریکسی کۆ و لێکدراو

(AB)T=BTAT(AB)^T = B^TA^T(AB)T=BTAT: the order reverses(AB)T=BTAT(AB)^T = B^TA^T(AB)T=BTAT: ڕیزبەندییەکە پێچەوانە دەبێتەوە

Practice: solve it or explain why notڕاهێنان: شیکاری بکە یان ڕوونی بکەرەوە بۆچی ناکرێت

In computing: three loops and moving picturesلە کۆمپیوتەردا: سێ خول و وێنەی جووڵاو

Common mistakesهەڵە باوەکان

Exercisesڕاهێنانەکان

Summaryپوختە

Watch a videoسەیری ڤیدیۆیەک بکە

Lesson complete!وانەکە تەواو بوو!

Key termsزاراوە سەرەکییەکان

Related lecturesوانە پەیوەندیدارەکان

When does $AB$ exist?کەی $AB$ هەیە؟

One entry: row $i$ times column $j$ یەک ژمارە: ڕیزی $i$ لە ستوونی $j$

A $2 \times 3$ times a $3 \times 2$ $2 \times 3$ لە $3 \times 2$

Now $BA$ : a different sizeئێستا $BA$ : قەبارەیەکی جیاواز

When $AB$ exists but $BA$ does notکاتێک $AB$ هەیە بەڵام $BA$ نییە

$(AB)^T = B^TA^T$ : the order reverses $(AB)^T = B^TA^T$ : ڕیزبەندییەکە پێچەوانە دەبێتەوە