Chapterبەش 5 · Lectureوانە 5.6

The Binomial Distribution (Supplementary)دابەشبوونی دووڕادەیی (زیادە)

Counting successes in repeated independent trials: Bernoulli trials, the binomial setting, the formula $\binom{n}{x}p^x q^{n-x}$ built from penalty kicks, the course's coin pmfs as binomial, how the shape changes with $p$ , mean $np$ and variance $npq$ , "at least" questions, Python, and the contrast with drawing without replacement (hypergeometric).

ژماردنی سەرکەوتنەکان لە کاری دووبارە و سەربەخۆدا: ، بارودۆخی دووڕادەیی، فۆرمولەی $\binom{n}{x}p^x q^{n-x}$ کە لە لێدانی پەنالتی دروست دەکرێت، دراوەکانی کۆرسەکە وەک دووڕادەیی، چۆنێتیی گۆڕانی شێوە لەگەڵ $p$ ، $np$ و $npq$ ، پرسیارەکانی «لانیکەم»، Python و بەراورد لەگەڵ دەرهێنان ().

13 min read13 خولەک خوێندنەوە · 14 stepsهەنگاو

What you will learnچی فێر دەبیت

Decide whether a situation is binomial (fixed $n$ , two outcomes, same $p$ , independent trials).
Compute binomial probabilities with $\binom{n}{x}p^x q^{n-x}$ and the complement rule.
Use $\mu = np$ , $\sigma^2 = npq$ and $\sigma = \sqrt{npq}$ , and describe the shape for different $p$ .
Explain when drawing without replacement is hypergeometric instead of binomial.

بڕیار بدەیت کە بارودۆخێک دووڕادەییە یان نا ( $n$ ـی جێگیر، دوو ، هەمان $p$ ، سەربەخۆ).
دووڕادەیی بە $\binom{n}{x}p^x q^{n-x}$ و بژمێریت.
$\mu = np$ ، $\sigma^2 = npq$ و $\sigma = \sqrt{npq}$ بەکاربهێنیت و شێوەکە بۆ $p$ ـی جیاواز وەسف بکەیت.
ڕوون بکەیتەوە کەی دەرهێنان نەک دووڕادەیی.

Trials with two outcomesکارە هەڕەمەکییەکان بە دوو ئەنجام

Many random experiments have only two outcomes that matter to us. A penalty kick is a goal or a miss. A coin shows heads or not. A die shows a six or not. A light bulb from a factory works or is faulty. Call the outcome you are counting a success and the other a failure, even when the "success" is a faulty bulb.

زۆر تەنها دوو هەیە کە بۆمان گرنگن. لێدانی پەنالتی یان گۆڵە یان نا. دراو یان شێر نیشان دەدات یان نا. بەردەزار یان 6 نیشان دەدات یان نا. گڵۆپێکی کارگە یان کار دەکات یان تێکچووە. ئەو دەیژمێریت ناوی بنێ سەرکەوتن و ئەوی تر شکست، تەنانەت گەر «سەرکەوتن»ەکە گڵۆپێکی تێکچوو بێت.

One such trial is a Bernoulli trial. Its success probability is written $p$ and its failure probability $q = 1 - p$ . If you write 1 for a success and 0 for a failure, you get the simplest random variable there is:

یەک کاری لەم جۆرە . سەرکەوتنەکەی بە $p$ دەنووسرێت و شکستەکەی بە $q = 1 - p$ . گەر بۆ سەرکەوتن 1 و بۆ شکست 0 بنووسیت، سادەترین بەدەست دێت کە هەیە:

Definitionپێناسە

A with only two outcomes, “success” (probability $p$ ) and “failure” ( $q = 1 - p$ ).

کە تەنها دوو ئەنجامی هەیە: «سەرکەوتن» (ئەگەری $p$ ) و «شکست» ( $q = 1 - p$ ).

One Bernoulli trial: mean $p$ , variance $p - p^2 = pq$ یەک : $p$ ، $p - p^2 = pq$
$x$	$P(x)$	$x\,P(x)$	$x^2 P(x)$
$0$	$q = 1 - p$	$0$	$0$
$1$	$p$	$p$	$p$
Sumکۆ	$1$	$E(X) = p$	$E(X^2) = p$

So one trial has mean $p$ and, by the shortcut for the variance, variance $p - p^2 = pq$ . For a penalty taker who scores 80% of the time, $p = 0.8$ , $q = 0.2$ , mean 0.8 goals per kick and variance $0.8 \times 0.2 = 0.16$ .

کەواتە یەک کار $p$ ـە و بە ڕێگا کورتەکەی لێکنەچوون $p - p^2 = pq$ ـە. بۆ یاریزانێک کە لە ⁦80%⁩ی پەنالتییەکاندا گۆڵ دەکات، $p = 0.8$ ، $q = 0.2$ ، ⁦0.8⁩ گۆڵ بۆ هەر لێدانێک و $0.8 \times 0.2 = 0.16$ .

Quick checkپشکنینی خێراA fair die is rolled once and "success" means a six. What are

p

and

q

?بەردەزارێکی دادپەروەر یەک جار فڕێ دەدرێت و «سەرکەوتن» واتە 6.

p

و

q

چەندن؟

p = \tfrac16,\ q = \tfrac16

p = \tfrac16,\ q = \tfrac16

p = \tfrac12,\ q = \tfrac12

p = \tfrac12,\ q = \tfrac12

p = \tfrac16,\ q = \tfrac56

p = \tfrac16,\ q = \tfrac56

Counting successes: the binomial settingژماردنی سەرکەوتنەکان: بارودۆخی دووڕادەیی

Now repeat the trial $n$ times and count the successes. The count X follows the binomial distribution when four conditions hold:

ئێستا کارەکە $n$ جار دووبارە بکەرەوە و سەرکەوتنەکان بژمێرە. ژمارەی X هەیە کاتێک ئەم چوار مەرجە هەبن:

A fixed number $n$ of trials, decided before you start.
Two outcomes in each trial: success or failure.
The same $p$ in every trial.
Independent trials: one result does not change the chances of another.

ژمارەیەکی جێگیری $n$ کار، کە پێش دەستپێکردن دیاری کراوە.
دوو لە هەر کارێکدا: سەرکەوتن یان شکست.
هەمان $p$ لە هەموو کارێکدا.
کاری سەربەخۆ: ئەنجامی یەکێکیان چانسی ئەوی تر ناگۆڕێت.

Then we write $X \sim B(n, p)$ , read "X is binomial with $n$ trials and success probability $p$ ". The values of X are $0, 1, 2, \dots, n$ . The name binomial ("two terms") comes from the two outcomes, and from the binomial coefficients in its formula.

پاشان دەنووسین $X \sim B(n, p)$ ، بەم شێوەیە دەخوێنرێتەوە: «X هەیە بە $n$ کار و سەرکەوتنی $p$ ». نرخەکانی X بریتین لە $0, 1, 2, \dots, n$ . ناوی «دووڕادەیی» لە دوو دێت و لە هاوکۆلکە دووڕادەییەکانی ناو فۆرمولەکەی.

Quick checkپشکنینی خێراWhich of these counts is binomial?کام لەم ژماردنانە دووڕادەییە؟The number of sixes in 8 rolls of a fair dieژمارەی 6ـەکان لە 8 جار فڕێدانی بەردەزارێکی دادپەروەرThe number of red balls among 3 taken, without putting any back, from 5 red and 5 blueژمارەی تۆپە سوورەکان لە 3 تۆپدا کە بەبێ گەڕاندنەوە لە 5 سوور و 5 شین دەردەهێنرێنThe number of rolls until the first sixژمارەی فڕێدانەکان تا یەکەم 6

A binomial model for penaltiesمۆدێلێکی دووڕادەیی بۆ پەنالتی

Penalties at the end of a matchپەنالتییەکانی کۆتایی یاری

A player takes 5 penalties in training. Each kick is a goal or a miss (two outcomes), he always takes exactly 5 (fixed n), he is equally good every time (same $p = 0.8$ ), and one kick does not affect the next (independent). The number of goals is $B(5, 0.8)$ .

یاریزانێک لە ڕاهێناندا 5 پەنالتی لێ دەدات. هەر لێدانێک یان گۆڵە یان نا (دوو )، هەمیشە ڕێک 5 لێدەدات ( $n$ ـی جێگیر)، هەموو جارێک بە هەمان ئاست باشە (هەمان $p = 0.8$ ) و لێدانێک کار لە لێدانی داهاتوو ناکات (سەربەخۆ). ژمارەی گۆڵەکان $B(5, 0.8)$ ـە.

Where the analogy stops workingسنووری ئەم نموونەیە

Real players get tired or nervous, so $p$ may change from kick to kick. The binomial model is an idealisation; it works well when those effects are small.

یاریزانی ڕاستەقینە ماندوو یان دڵەڕاوکێ دەبێت، بۆیە لەوانەیە $p$ لە لێدانێکەوە بۆ لێدانێکی تر بگۆڕێت. مۆدێلی دووڕادەیی وێنەیەکی ئایدیاڵە؛ کاتێک ئەو کاریگەرییانە بچووکن باش کار دەکات.

Quick checkپشکنینی خێراWhich binomial condition is the weakest for a real penalty taker?کام مەرجی دووڕادەیی بۆ لێدەری پەنالتیی ڕاستەقینە لاوازترە؟Two outcomes for each kickدوو ئەنجام بۆ هەر لێدانێکA fixed number of kicksژمارەیەکی جێگیری لێدانThe same

p

for every kickهەمان

p

بۆ هەموو لێدانێک

The binomial formulaفۆرمولەی دووڕادەیی

What is the chance that the player scores exactly 4 of the 5 penalties? One way is goal, goal, goal, goal, miss. Because the kicks are independent, its probability is a product: $0.8 \times 0.8 \times 0.8 \times 0.8 \times 0.2 = 0.8^4 \times 0.2 = 0.08192$ . But the miss can be any one of the 5 kicks:

چانسی ئەوە چەندە کە یاریزانەکە ڕێک 4 لە 5 پەنالتییەکە بکاتە گۆڵ؟ یەک ڕێگا ئەمەیە: گۆڵ، گۆڵ، گۆڵ، گۆڵ، بەفیڕۆچوون. لەبەر ئەوەی لێدانەکان سەربەخۆن، لێکدانە: $0.8 \times 0.8 \times 0.8 \times 0.8 \times 0.2 = 0.8^4 \times 0.2 = 0.08192$ . بەڵام لێدانە بەفیڕۆچووەکە دەکرێت هەر یەکێک لە 5 لێدانەکە بێت:

Every order of 4 goals and 1 miss has the same probability; there are

\binom54 = 5

orders.هەموو ڕیزبەندییەکی 4 گۆڵ و 1 بەفیڕۆچوون هەمان هەیە؛

\binom54 = 5

ڕیزبەندی هەیە.CêIT

Each order has the same probability, and the number of orders is the number of ways to choose which 4 kicks are goals, $\binom54 = 5$ . So $P(X = 4) = 5 \times 0.08192 = 0.4096$ . The same reasoning for any $n$ , $p$ and $x$ gives the binomial formula:

هەموو ڕیزبەندییەک هەمان هەیە و ژمارەی ڕیزبەندییەکان ژمارەی ڕێگاکانی هەڵبژاردنی ئەو 4 لێدانەیە کە گۆڵن، $\binom54 = 5$ . کەواتە $P(X = 4) = 5 \times 0.08192 = 0.4096$ . هەمان بیرکردنەوە بۆ هەر $n$ ، $p$ و $x$ فۆرمولەی دووڕادەیی دەدات:

P(X = x) = \binom{n}{x}\,p^{x}\,q^{\,n-x}, \qquad x = 0, 1, \dots, n, \qquad q = 1 - p

The probabilities add up to 1, because by the binomial theorem $\sum_{x=0}^{n} \binom{n}{x} p^x q^{n-x} = (p + q)^n = 1^n = 1$ . The coefficients $\binom{n}{x}$ are the rows of Pascal's triangle: 1, 5, 10, 10, 5, 1 for $n = 5$ .

کۆی 1ـە، چونکە بە دووڕادەیی $\sum_{x=0}^{n} \binom{n}{x} p^x q^{n-x} = (p + q)^n = 1^n = 1$ . $\binom{n}{x}$ ڕیزەکانی سێگۆشەی پاسکاڵـن: بۆ $n = 5$ ، 1، 5، ⁦10⁩، ⁦10⁩، 5، 1.

Quick checkپشکنینی خێراSame player, 5 penalties,

p = 0.8

. What is the probability that all 5 are goals?هەمان یاریزان، 5 پەنالتی،

p = 0.8

. ئەوە چەندە کە هەر 5ـیان گۆڵ بن؟

0.32768

0.32768

0.4096

0.4096

0.8

0.8

Overexplaining the binomial distributionPrimer · Englishئینگلیزی · 1.6M viewsبینین · 60K likesلایک
Builds the binomial formula from coin flips: list the orders, multiply the probabilities, count the orders with Pascal's triangle and n choose k.
لە هەڵدانی دراوەوە دروست دەکات: ڕیزبەندییەکان بنووسە، لێک بدە، ڕیزبەندییەکان بە و $\binom{n}{k}$ بژمێرە.
Whole video: small cases by hand (0:41), independence (5:54), Pascal's triangle (6:50), the binomial coefficient (9:03) and a simulation check (13:27).
هەموو ڤیدیۆکە: حاڵەتی بچووک بە دەست ⁦(0:41)⁩، ⁦(5:54)⁩، ⁦(6:50)⁩، ⁦(9:03)⁩ و پشکنین بە لاساییکردنەوە ⁦(13:27)⁩.

Coins: the course's pmfs were binomialدراوەکان: نەخشەی بارستەی ئەگەری کۆرسەکە دووڕادەیی بوو

You have met binomial distributions already. The number of heads in two fair coins ( $\tfrac14, \tfrac24, \tfrac14$ ) is $B(2, \tfrac12)$ , and in three coins ( $\tfrac18, \tfrac38, \tfrac38, \tfrac18$ ) it is $B(3, \tfrac12)$ . The homework pmf $P(x) = \frac{0.75}{x!\,(3-x)!}$ in Random Variables is the same $B(3, \tfrac12)$ in disguise:

پێشتر بینیوە. ژمارەی شێرەکان لە دوو دراوی دادپەروەردا ( $\tfrac14, \tfrac24, \tfrac14$ ) $B(2, \tfrac12)$ ـە و لە سێ دراودا ( $\tfrac18, \tfrac38, \tfrac38, \tfrac18$ ) $B(3, \tfrac12)$ ـە. ئەرکی ماڵەوە $P(x) = \frac{0.75}{x!\,(3-x)!}$ لە گۆڕاوە هەڕەمەکییەکان هەمان $B(3, \tfrac12)$ ـە بە شێوەیەکی تر:

\binom{3}{x}\left(\tfrac12\right)^{x}\left(\tfrac12\right)^{3-x} = \frac{3!}{x!\,(3-x)!}\cdot\frac18 = \frac{6/8}{x!\,(3-x)!} = \frac{0.75}{x!\,(3-x)!}

With 10 coins the shape becomes clearer. The $\binom{10}{x}$ ways are the 11th row of Pascal's triangle, each divided by $2^{10} = 1024$ :

بە ⁦10⁩ دراو شێوەکە ڕوونتر دەبێت. $\binom{10}{x}$ ڕێگاکان ڕیزی ⁦11⁩ی ، هەریەکە دابەش بە $2^{10} = 1024$ :

B(10, 0.5)

: symmetric, with its peak at 5. Exactly 5 heads happens only about one time in four.

B(10, 0.5)

: هاوجێیە و لووتکەکەی لە 5ـە. ڕێک 5 شێر تەنها نزیکەی یەک جار لە چوار جار ڕوو دەدات.CêIT

Quick checkپشکنینی خێراToss 10 fair coins. What is the probability of 4, 5 or 6 heads?⁦10⁩ دراوی دادپەروەر هەڵبدە. 4، 5 یان 6 شێر چەندە؟

\tfrac{672}{1024} \approx 0.656

\tfrac{672}{1024} \approx 0.656

\tfrac{3}{11} \approx 0.273

\tfrac{3}{11} \approx 0.273

\tfrac{252}{1024} \approx 0.246

\tfrac{252}{1024} \approx 0.246

How the shape depends on $p$ شێوەکە چۆن پشت بە $p$ دەبەستێت

Keep $n = 10$ and change the success probability from 0.1 to 0.9. Watch the bars move:

$n = 10$ وەک خۆی بهێڵەرەوە و سەرکەوتن لە ⁦0.1⁩ـەوە بۆ ⁦0.9⁩ بگۆڕە. سەیری جووڵەی ستوونەکان بکە:

Animation in nine frames: the bar chart of B(10, p) for p = 0.1, 0.2, up to 0.9. At p = 0.1 the tallest bars are at 0 and 1 and a long tail runs to the right. As p grows the bars slide right; at p = 0.5 they are symmetric around 5; at p = 0.9 the tallest bars are at 9 and 10 with a tail to the left. A triangle under the axis marks the mean np, and the text shows μ = np and σ = √(npq), largest (1.58) at p = 0.5. — $B(10, p)$ as $p$ goes from 0.1 to 0.9: right-skewed, then symmetric, then left-skewed. The mean $np$ moves with $p$ . $B(10, p)$ کاتێک $p$ لە ⁦0.1⁩ـەوە بۆ ⁦0.9⁩ دەچێت: لار بەرەو ڕاست، پاشان هاوجێ، پاشان لار بەرەو چەپ. $np$ لەگەڵ $p$ دەجووڵێت.CêIT

$p < 0.5$ : most bars are on the left and the tail points right (positive skewness).
$p = 0.5$ : the bars are symmetric around $n/2$ .
$p > 0.5$ : the mirror image. Counting failures instead of successes turns $B(10, 0.8)$ into $B(10, 0.2)$ .
The tallest bar is always near the mean $np$ .

$p < 0.5$ : زۆربەی ستوونەکان لە چەپن و کلکەکە بەرەو ڕاستە (ناهاوجێبوونی موجەب).
$p = 0.5$ : ستوونەکان لە دەوری $n/2$ هاوجێن.
$p > 0.5$ : وێنەی ئاوێنەیی. ژماردنی شکستەکان لە جیاتی سەرکەوتنەکان $B(10, 0.8)$ دەکات بە $B(10, 0.2)$ .
بەرزترین ستوون هەمیشە لە نزیک $np$ ـە.

Mean $np$ and variance $npq$ ناوەندی $np$ و لێکنەچوونی $npq$

You could find the mean of $B(n, p)$ by adding $x\,P(x)$ over $n + 1$ values. There is a much shorter way. X is a sum of $n$ Bernoulli variables, one per trial (1 for a success, 0 for a failure). Each has mean $p$ and variance $pq$ , so:

دەتوانیت $B(n, p)$ بە کۆکردنەوەی $x\,P(x)$ بەسەر $n + 1$ نرخدا بدۆزیتەوە. ڕێگایەکی زۆر کورتتر هەیە. $X$ کۆی $n$ گۆڕاوی بێرنۆلییە، یەک بۆ هەر کارێک (⁦1⁩ بۆ سەرکەوتن، 0 بۆ شکست). هەریەکەیان $p$ و $pq$ ـی هەیە، بۆیە:

\mu = E(X) = np, \qquad \sigma^2 = \operatorname{Var}(X) = npq, \qquad \sigma = \sqrt{npq}

Mean and spread of some binomial counts و بڵاوبوونەوەی چەند ژماردنێکی دووڕادەیی
Situationبارودۆخ	$n,\ p$	$\mu = np$	$\sigma^2 = npq$	$\sigma$
Heads in 3 fair coinsشێر لە 3 دراوی دادپەروەردا	$3,\ 0.5$	$1.5$	$0.75$	$0.866$
Goals from 5 penaltiesگۆڵ لە 5 پەنالتیدا	$5,\ 0.8$	$4$	$0.8$	$0.894$
Right answers when guessing 10 questions with 4 optionsوەڵامی ڕاست کاتێک تەخمینی ⁦10⁩ پرسیاری 4 وەڵامی دەکەیت	$10,\ 0.25$	$2.5$	$1.875$	$1.369$
Heads in 10 fair coinsشێر لە ⁦10⁩ دراوی دادپەروەردا	$10,\ 0.5$	$5$	$2.5$	$1.581$

Check the first row the long way: $E(X) = 0\cdot\tfrac18 + 1\cdot\tfrac38 + 2\cdot\tfrac38 + 3\cdot\tfrac18 = \tfrac{12}{8} = 1.5 = 3 \times 0.5$ .

ڕیزی یەکەم بە ڕێگا درێژەکە بپشکنە: $E(X) = 0\cdot\tfrac18 + 1\cdot\tfrac38 + 2\cdot\tfrac38 + 3\cdot\tfrac18 = \tfrac{12}{8} = 1.5 = 3 \times 0.5$ .

Quick checkپشکنینی خێراA factory makes bulbs with 5% faulty. A box holds 20 bulbs (independent). What are the mean and standard deviation of the number of faulty bulbs?کارگەیەک گڵۆپ دروست دەکات کە ⁦5%⁩یان تێکچوون. سندووقێک ⁦20⁩ گڵۆپی تێدایە (سەربەخۆ). و ژمارەی گڵۆپە تێکچووەکان چەندە؟

\mu = 1,\ \sigma = 0.95

\mu = 1,\ \sigma = 0.95

\mu = 5,\ \sigma \approx 2.24

\mu = 5,\ \sigma \approx 2.24

\mu = 1,\ \sigma \approx 0.97

\mu = 1,\ \sigma \approx 0.97

"At least" and "at most"«لانیکەم» و «لانیزۆر»

Questions often ask about several values at once. Add their bars, or, when that is long, use the complement rule: $P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0)$ .

پرسیارەکان زۆر جار چەند نرخێکی پێکەوە داوا دەکەن. ستوونەکانی ئەو نرخانە کۆ بکەرەوە، یان کاتێک درێژە، یاسای تەواوکەر بەکاربهێنە: $P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0)$ .

Guessing a whole testتەخمینکردنی تاقیکردنەوەیەکی تەواو
A test has 10 questions with 4 options each; Dilan guesses every answer, so $X \sim B(10, 0.25)$ . To pass she needs at least 5 right:
تاقیکردنەوەیەک ⁦10⁩ پرسیاری هەیە، هەریەکە 4 وەڵام؛ دیلان هەموو وەڵامەکان تەخمین دەکات، بۆیە $X \sim B(10, 0.25)$ . بۆ دەرچوون لانیکەم 5 وەڵامی ڕاستی پێویستە:
$P(X \ge 5) = P(5) + P(6) + \cdots + P(10) \approx 0.0584 + 0.0162 + 0.0031 + 0.0004 + 0.0000 + 0.0000 \approx 0.078$
At least one six in four rollsلانیکەم یەک 6 لە چوار فڕێداندا
Roll a die 4 times: $X \sim B(4, \tfrac16)$ . "At least one" is everything except "none":
بەردەزارێک 4 جار فڕێ بدە: $X \sim B(4, \tfrac16)$ . «لانیکەم یەک» هەموو شتێکە جگە لە «هیچ»:
$P(X \ge 1) = 1 - \left(\tfrac56\right)^4 = 1 - \tfrac{625}{1296} = \tfrac{671}{1296} \approx 0.518$
A box of bulbsسندووقێکی گڵۆپ
20 bulbs, each faulty with probability 0.05: $X \sim B(20, 0.05)$ . A shop accepts the box if at most one bulb is faulty:
⁦20⁩ گڵۆپ، هەریەکە بە ⁦0.05⁩ تێکچووە: $X \sim B(20, 0.05)$ . دوکانێک سندووقەکە قبووڵ دەکات گەر لانیزۆر یەک گڵۆپ تێکچوو بێت:
$P(X \le 1) = 0.95^{20} + 20(0.05)(0.95)^{19} \approx 0.3585 + 0.3774 = 0.7358$

Quick checkپشکنینی خێراWith

X \sim B(10, 0.25)

, what is the chance of getting at least one answer right by guessing?بە

X \sim B(10, 0.25)

، چانسی ئەوە چەندە کە بە تەخمین لانیکەم یەک وەڵام ڕاست بێت؟about 0.944نزیکەی ⁦0.944⁩

0.25

0.25

about 0.056نزیکەی ⁦0.056⁩

Binomial Distribution EXPLAINED in UNDER 15 MINUTES!zedstatistics · Englishئینگلیزی · 386K viewsبینین · 7.6K likesلایک · Partبەشی 2:36–8:56 (ofلە 13:29)
A worked binomial example by hand: 10 men, 8% colour-blind; exactly 2, none, all, and at least 2 of them.
نموونەیەکی بە دەست: ⁦10⁩ پیاو، ⁦8%⁩ـیان کوێری ڕەنگن؛ ڕێک 2، هیچیان، هەموویان و لانیکەم 2 لەوان.
Chapter 'Calculating by hand' (2:36-8:56): (a) all 10, (b) none, (c) exactly 2, (d) at least 2.
بەشی «ژماردن بە دەست» (⁦2:36⁩ تا ⁦8:56): (a⁩) هەر ⁦10⁩ کەسەکە، ⁦(b)⁩ هیچیان، ⁦(c)⁩ ڕێک 2، ⁦(d)⁩ لانیکەم 2.

The binomial distribution in Pythonدابەشبوونی دووڕادەیی لە Pythonـدا

math.comb(n, x) gives $\binom{n}{x}$ , so the whole formula fits in one line. This program prints the guessing-test distribution and checks the mean against $np$ :

math.comb(n, x) ژمارەی $\binom{n}{x}$ دەدات، بۆیە هەموو فۆرمولەکە لە یەک دێڕدا جێی دەبێتەوە. ئەم دابەشبوونی تاقیکردنەوەی تەخمین چاپ دەکات و لەگەڵ $np$ بەراورد دەکات:

Binomial probabilities for a guessed testئەگەرەکانی دووڕادەیی بۆ تاقیکردنەوەیەکی تەخمینکراوbinomial.pyPYTHONType in a terminalلە تێرمیناڵدا بینووسە

from math import comb

def binom_pmf(x, n, p):
    """P(X = x) when X ~ B(n, p)."""
    return comb(n, x) * p**x * (1 - p)**(n - x)

n, p = 10, 0.25            # 10 questions, 4 options each, pure guessing
probs = [binom_pmf(x, n, p) for x in range(n + 1)]
for x, pr in enumerate(probs):
    print(f"P(X = {x:2}) = {pr:.4f}")

print("sum of P(x) =", round(sum(probs), 10))
print("mean        =", round(sum(x * pr for x, pr in enumerate(probs)), 10), "  np  =", n * p)
print("P(X >= 5)   =", round(sum(probs[5:]), 4))

Explain the codeڕوونکردنەوەی کۆدەکە

Lineدێڕی 3-5

The binomial formula: $\binom{n}{x} p^x (1 - p)^{n-x}$ .

فۆرمولەی دووڕادەیی: $\binom{n}{x} p^x (1 - p)^{n-x}$ .

Lineدێڕی 8

A list comprehension builds all $n + 1$ probabilities at once.

لیستێک هەموو $n + 1$ پێکەوە دروست دەکات.

Lineدێڕی 12-14

Checks: the probabilities total 1, the mean equals $np$ , and the tail from 5 upwards is about 0.078.

پشکنینەکان: کۆی 1ـە، یەکسانە بە $np$ و کلکەکە لە 5 بەرەو سەرەوە نزیکەی ⁦0.078⁩ـە.

No tables neededخشتە پێویست نییە

Older books print long binomial tables. With math.comb (Python 3.8+; the output above is from Python 3.13) or a spreadsheet function such as BINOM.DIST, you compute any value directly. From Python 3.15 comb also lives in math.integer; from math import comb still works (more). A ready-made version is scipy.stats.binom in the SciPy library, if it is installed.

کتێبە کۆنەکان خشتەی دووڕادەیی درێژ چاپ دەکەن. بە math.comb (⁦Python 3.8+⁩؛ دەرچووی سەرەوە لە ⁦Python 3.13⁩ـەوەیە) یان وەک BINOM.DIST، هەر نرخێک ڕاستەوخۆ دەژمێریت. لە ⁦Python 3.15⁩ـەوە comb لە math.integerیشدا هەیە؛ from math import comb هێشتا کار دەکات (زیاتر). وەشانێکی ئامادە scipy.stats.binomـە لە SciPy، گەر دامەزرابێت.

Putting back or not: binomial vs hypergeometricگەڕاندنەوە یان نا: دووڕادەیی بەرامبەر هایپەرجیۆمەتری

Go back to H.W 10: a box of 12 items, 3 defective, and you take 3. The course takes them without replacement, so X is hypergeometric. If you put each item back before the next draw, every draw has the same $p = \tfrac{3}{12} = \tfrac14$ and the draws are independent: then $X \sim B(3, \tfrac14)$ .

بگەڕێوە بۆ ئەرکی ماڵەوەی ⁦10⁩: سندووقێکی ⁦12⁩ کەرەستە کە 3یان بێکەڵکن و 3 دانە دەردەهێنیت. کۆرسەکە دەریان دەهێنێت، بۆیە X . گەر هەر کەرەستەیەک پێش دەرهێنانی داهاتوو بگەڕێنیتەوە، هەموو دەرهێنانێک هەمان $p = \tfrac{3}{12} = \tfrac14$ ـی هەیە و دەرهێنانەکان سەربەخۆن: ئەو کاتە $X \sim B(3, \tfrac14)$ .

The defective-items box, both waysسندووقی کەرەستە بێکەڵکەکان، بە هەردوو ڕێگا
$x$	Without replacement (hypergeometric) ()	With replacement (binomial) (دووڕادەیی)
$0$	$\tfrac{84}{220} = 0.3818$	$\tfrac{27}{64} = 0.4219$
$1$	$\tfrac{108}{220} = 0.4909$	$\tfrac{27}{64} = 0.4219$
$2$	$\tfrac{27}{220} = 0.1227$	$\tfrac{9}{64} = 0.1406$
$3$	$\tfrac{1}{220} = 0.0045$	$\tfrac{1}{64} = 0.0156$
Mean	$0.75$	$0.75$
Variance	$\tfrac{81}{176} \approx 0.460$	$\tfrac{9}{16} = 0.5625$

The means agree, $3 \times \tfrac14 = 0.75$ , because each single draw is defective with probability $\tfrac14$ either way. The spread does not: without replacement the box "remembers" what is gone, extreme results become less likely and the variance is smaller. When the box is huge compared with the sample the difference disappears. With 1,200 items of which 300 are defective, taking 3 without replacement gives 0.4215, 0.4225, 0.1405, 0.0155, almost the binomial 0.4219, 0.4219, 0.1406, 0.0156.

یەک دەگرنەوە، $3 \times \tfrac14 = 0.75$ ، چونکە هەر دەرهێنانێک بە تەنها بە هەردوو ڕێگا بە $\tfrac14$ بێکەڵکە. بڵاوبوونەوە یەک ناگرێتەوە: سندووقەکە «لەبیری دەمێنێت» چی ڕۆیشتووە، ئەنجامە توندەکان کەمتر دەبێت و بچووکترە. کاتێک سندووقەکە بە بەراورد بە نموونەکە زۆر گەورەیە، جیاوازییەکە نامێنێت. بە ⁦1,200⁩ کەرەستە کە ⁦300⁩یان بێکەڵکن، دەرهێنانی 3 دانە دەدات ⁦0.4215⁩، ⁦0.4225⁩، ⁦0.1405⁩، ⁦0.0155⁩، نزیکەی هەمان ژمارەکانی دووڕادەیی ⁦0.4219⁩، ⁦0.4219⁩، ⁦0.1406⁩، ⁦0.0156⁩.

Quick checkپشکنینی خێراWhy is the number of defective items in H.W 10 not binomial?بۆچی ژمارەی کەرەستە بێکەڵکەکان لە ئەرکی ماڵەوەی ⁦10⁩ دووڕادەیی نییە؟The items are not put back, so

p

changes after each draw and the draws are not independentکەرەستەکان ناگەڕێنرێنەوە، بۆیە

p

دوای هەر دەرهێنانێک دەگۆڕێت و دەرهێنانەکان سەربەخۆ نینThere are more than two outcomesزیاتر لە دوو ئەنجام هەیەThe number of draws is not fixedژمارەی دەرهێنانەکان جێگیر نییە

Common mistakesهەڵە باوەکان

Mistakeهەڵە	Why it is wrongبۆچی هەڵەیە	Correctڕاست
Forgetting $\binom{n}{x}$ لەبیرکردنی $\binom{n}{x}$	$p^x q^{n-x}$ is one order only $p^x q^{n-x}$ تەنها یەک ڕیزبەندییە	$\binom{n}{x}p^x q^{n-x}$
Using the binomial without replacementبەکارهێنانی دووڕادەیی	$p$ changes, draws are dependent $p$ دەگۆڕێت، دەرهێنانەکان سەربەخۆ نین	Hypergeometric (unless the population is huge) (مەگەر زۆر گەورە بێت)
Thinking two outcomes means $p = \tfrac12$ وابزانیت دوو واتە $p = \tfrac12$	A six on a die has $p = \tfrac16$ بۆ 6 لە بەردەزاردا $p = \tfrac16$ ـە	Find $p$ from the situation $p$ لە بارودۆخەکەوە بدۆزەرەوە
Writing $\sigma = npq$ نووسینی $\sigma = npq$	$npq$ is the variance $npq$	$\sigma = \sqrt{npq}$
Adding the bars for "at least one"کۆکردنەوەی ستوونەکان بۆ «لانیکەم یەک»	Slow and easy to miss a termهێواشە و ئاسانە بەشێک لەبیر بچێت	$1 - P(X = 0)$
Treating $x > n$ as possible $x > n$ وەک شتێکی ڕوودەر	You cannot have more successes than trialsناتوانیت لە ژمارەی کارەکان زیاتر سەرکەوتنت هەبێت	$x = 0, 1, \dots, n$

Quick checkپشکنینی خێراKarwan says: "The chance of exactly 2 heads in 4 coin tosses is

0.5^2 \times 0.5^2 = 0.0625

." What did he forget?کاروان دەڵێت: «چانسی ڕێک 2 شێر لە 4 هەڵدانی دراودا

0.5^2 \times 0.5^2 = 0.0625

ـە.» چی لەبیر کرد؟The

\binom42 = 6

orders: the answer is

6 \times 0.0625 = 0.375

\binom42 = 6

ڕیزبەندییەکە: وەڵامەکە

6 \times 0.0625 = 0.375

ـەTo add instead of multiplyکۆکردنەوە لە جیاتی لێکدانNothing, 0.0625 is rightهیچ، ⁦0.0625⁩ ڕاستە

Exercisesڕاهێنانەکان

ExerciseڕاهێنانBinomial or not?دووڕادەییە یان نا؟

Which of these are binomial? (a) The number of goals from 8 penalties, $p = 0.7$ each, independent. (b) The number of cards drawn from a deck until the first ace. (c) The number of red cards among 5 cards dealt from one deck. (d) The number of sixes in 12 rolls of a die.

کامیان دووڕادەیین؟ (أ) ژمارەی گۆڵەکان لە 8 پەنالتیدا، هەریەکە $p = 0.7$ ، سەربەخۆ. (ب) ژمارەی ئەو کارتانەی لە دەستەیەک دەردەهێنرێن تا یەکەم ئاس. (ج) ژمارەی کارتە سوورەکان لە 5 کارتدا کە لە یەک دەستە دابەش دەکرێن. (د) ژمارەی 6ـەکان لە ⁦12⁩ فڕێدانی بەردەزاردا.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

(a) Yes: $B(8, 0.7)$ .
(b) No: the number of trials is not fixed.
(c) No: dealing is without replacement (hypergeometric).
(d) Yes: $B(12, \tfrac16)$ .

(أ) بەڵێ: $B(8, 0.7)$ .
(ب) نەخێر: ژمارەی کارەکان جێگیر نییە.
(ج) نەخێر: دابەشکردن ().
(د) بەڵێ: $B(12, \tfrac16)$ .

ExerciseڕاهێنانPenalties againدیسان پەنالتی

For 5 penalties with $p = 0.8$ , find $P(X \ge 4)$ and $P(X \le 3)$ .

بۆ 5 پەنالتی بە $p = 0.8$ ، $P(X \ge 4)$ و $P(X \le 3)$ بدۆزەرەوە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

P(X \ge 4) = 0.4096 + 0.32768 = 0.73728, \qquad P(X \le 3) = 1 - 0.73728 = 0.26272

ExerciseڕاهێنانSixes in four rolls6 لە چوار فڕێداندا

Write the whole distribution of the number of sixes in 4 rolls of a fair die, and its mean and variance.

هەموو دابەشبوونی ژمارەی 6ـەکان لە 4 فڕێدانی بەردەزارێکی دادپەروەردا بنووسە، لەگەڵ و .

Hintئاماژە

Use $\binom4x (1/6)^x (5/6)^{4-x}$ ; the numerators are $\binom4x 5^{4-x}$ .

$\binom4x (1/6)^x (5/6)^{4-x}$ بەکاربهێنە؛ $\binom4x 5^{4-x}$ ـن.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

$x$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$
$P(x)$	$\tfrac{625}{1296}$	$\tfrac{500}{1296}$	$\tfrac{150}{1296}$	$\tfrac{20}{1296}$	$\tfrac{1}{1296}$

\mu = 4 \times \tfrac16 = \tfrac23 \approx 0.667, \qquad \sigma^2 = 4 \times \tfrac16 \times \tfrac56 = \tfrac59 \approx 0.556

ExerciseڕاهێنانA quality checkپشکنینی جۆری

A machine makes 5% faulty bulbs. In a box of 20, what is the probability that more than one bulb is faulty?

ئامێرێک ⁦5%⁩ گڵۆپی تێکچوو دروست دەکات. لە سندووقێکی ⁦20⁩ دانەییدا، ئەوە چەندە کە زیاتر لە یەک گڵۆپ تێکچوو بێت؟

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

P(X > 1) = 1 - P(X \le 1) = 1 - 0.7358 = 0.2642

Summaryپوختە

A Bernoulli trial has two outcomes: success with probability $p$ , failure with $q = 1 - p$ . Mean $p$ , variance $pq$ .
Binomial setting: fixed $n$ , two outcomes, same $p$ , independent trials. $X$ is the number of successes, $X \sim B(n, p)$ .
$P(X = x) = \binom{n}{x}p^x q^{n-x}$ : one order's probability times the number of orders.
$\mu = np$ , $\sigma^2 = npq$ , $\sigma = \sqrt{npq}$ . Right-skewed for $p < \tfrac12$ , symmetric at $p = \tfrac12$ , left-skewed for $p > \tfrac12$ .
"At least one" is $1 - P(X = 0)$ . The course's coin pmfs and $0.75/(x!(3 - x)!)$ are $B(n, \tfrac12)$ ; the defective-items box is hypergeometric (no replacement), with the same mean as $B(3, \tfrac14)$ but a smaller variance.

دوو هەیە: سەرکەوتن بە $p$ ، شکست بە $q = 1 - p$ . $p$ ، $pq$ .
بارودۆخی دووڕادەیی: $n$ ـی جێگیر، دوو ، هەمان $p$ ، کاری سەربەخۆ. $X$ ژمارەی سەرکەوتنەکانە، $X \sim B(n, p)$ .
$P(X = x) = \binom{n}{x}p^x q^{n-x}$ : لێکدانی یەک ڕیزبەندی لە ژمارەی ڕیزبەندییەکان.
$\mu = np$ ، $\sigma^2 = npq$ ، $\sigma = \sqrt{npq}$ . بۆ $p < \tfrac12$ لار بەرەو ڕاست، لە $p = \tfrac12$ هاوجێ، بۆ $p > \tfrac12$ لار بەرەو چەپ.
«لانیکەم یەک» دەکاتە $1 - P(X = 0)$ . دراوەکانی کۆرسەکە و $0.75/(x!(3 - x)!)$ بریتین لە $B(n, \tfrac12)$ ؛ سندووقی کەرەستە بێکەڵکەکان (بێ گەڕاندنەوە)، بە هەمان $B(3, \tfrac14)$ بەڵام بچووکتر.

Next: when $n$ is large the bars of $B(n, p)$ line up along a smooth bell-shaped curve, the normal distribution.

داهاتوو: کاتێک $n$ گەورەیە، ستوونەکانی $B(n, p)$ بە درێژایی چەماوەیەکی لووس و زەنگوڵەئاسا ڕیز دەبن، دابەشبوونی ئاسایی.

Videoڤیدیۆ

Watch a videoسەیری ڤیدیۆیەک بکە

A video that viewers liked a lot and praised in their comments, chosen for this lesson.ڤیدیۆیەک کە بینەران زۆریان پێ خۆش بووە و لە کۆمێنتەکانیاندا ستایشیان کردووە، بۆ ئەم وانەیە هەڵبژێردراوە.

Binomial Distribution EXPLAINED with ExamplesAce Tutors · Englishئینگلیزی · 597K viewsبینین · 12K likesلایک
When a count is binomial (two outcomes, independent trials, fixed n, same p), the binomial formula, and its mean and standard deviation.
کەی ژمارەی سەرکەوتنەکان پەیڕەو دەکات (دوو ، سەربەخۆ، $n$ جێگیر، هەمان $p$ )، ، هەروەها و .
Whole video: the idea, the four conditions as 'BINS' (2:12), the formula, and the mean np and standard deviation (7:30).
هەموو ڤیدیۆکە: بیرۆکەکە، چوار مەرجەکە بە ناوی «BINS» ⁦(2:12)⁩، ، هەروەها $np$ و ⁦(7:30)⁩.

Lesson complete!وانەکە تەواو بوو!

Well done. Review the key terms, then go on to the next lesson.دەستخۆش. سەیرێکی زاراوە سەرەکییەکان بکەرەوە، پاشان بڕۆ بۆ وانەی داهاتوو.

Key termsزاراوە سەرەکییەکان

Next lessonوانەی داهاتوو

The Normal Distribution (Supplementary)دابەشبوونی ئاسایی (زیادە)

Related lecturesوانە پەیوەندیدارەکان

References and further readingسەرچاوەکان و خوێندنەوەی زیاتر

This lecture is a first edition. The Kurdish text and terminology are waiting for review by Kurdish IT teachers.ئەم وانەیە چاپی یەکەمە. دەقە کوردییەکە و زاراوەکانی چاوەڕێی پێداچوونەوەی مامۆستایانی کوردی بواری IT ن.

The Binomial Distribution (Supplementary)دابەشبوونی دووڕادەیی (زیادە)

What you will learnچی فێر دەبیت

Trials with two outcomesکارە هەڕەمەکییەکان بە دوو ئەنجام

Counting successes: the binomial settingژماردنی سەرکەوتنەکان: بارودۆخی دووڕادەیی

A binomial model for penaltiesمۆدێلێکی دووڕادەیی بۆ پەنالتی

The binomial formulaفۆرمولەی دووڕادەیی

Coins: the course's pmfs were binomialدراوەکان: نەخشەی بارستەی ئەگەری کۆرسەکە دووڕادەیی بوو

How the shape depends on pppشێوەکە چۆن پشت بە ppp دەبەستێت

Mean npnpnp and variance npqnpqnpqناوەندی npnpnp و لێکنەچوونی npqnpqnpq

"At least" and "at most"«لانیکەم» و «لانیزۆر»

The binomial distribution in Pythonدابەشبوونی دووڕادەیی لە Pythonـدا

Putting back or not: binomial vs hypergeometricگەڕاندنەوە یان نا: دووڕادەیی بەرامبەر هایپەرجیۆمەتری

Common mistakesهەڵە باوەکان

Exercisesڕاهێنانەکان

Summaryپوختە

Watch a videoسەیری ڤیدیۆیەک بکە

Lesson complete!وانەکە تەواو بوو!

Key termsزاراوە سەرەکییەکان

Related lecturesوانە پەیوەندیدارەکان

How the shape depends on $p$ شێوەکە چۆن پشت بە $p$ دەبەستێت

Mean $np$ and variance $npq$ ناوەندی $np$ و لێکنەچوونی $npq$