Chapterبەش 6 · Lectureوانە 6.8

Partitioned (Block) Matricesماتریکسە بلۆکییەکان

The chapter's advanced lesson: cutting a matrix into blocks, adding and scaling block by block, the block product with conformable cuts (keeping the order), and the inverse by partitioning with the Schur complement $E = A_{22} - A_{21}A_{11}^{-1}A_{12}$ — the notes' example checked, and a new homework matrix.

وانەی پێشکەوتووی ئەم بەشە: بڕینی بۆ بلۆک، کۆکردنەوە و لێکدان لە ژمارە بلۆک بە بلۆک، لێکدانی بلۆکی بە بڕینی گونجاو (بە پاراستنی ڕیزبەندی) و پێچەوانە بە دابەشکردن لەگەڵ $E = A_{22} - A_{21}A_{11}^{-1}A_{12}$ — نموونەکەی تێبینییەکان پشکنراوە و ئەرکێکی نوێ.

12 min read13 خولەک خوێندنەوە · 12 stepsهەنگاو

What you will learnچی فێر دەبیت

Partition a matrix and name its blocks and their sizes.
Add, scale and multiply block matrices, checking that the cuts are conformable.
Find an inverse by partitioning with the Schur complement and check it.

دابەش بکەیت و ناو و قەبارەی بلۆکەکانی بنووسیت.
کۆ بکەیتەوە و لێکیان بدەیت و بپشکنیت کە بڕینەکان گونجاون.
پێچەوانەیەک بە دابەشکردن و بدۆزیتەوە و بیپشکنیت.

Why cut a matrix into blocks?بۆچی ماتریکسێک دەکەینە بلۆک؟

A big matrix can be cut by horizontal and vertical lines into smaller matrices called blocks. The result is a (the notes say a partitioned matrix). Blocks can then be handled almost like single numbers, so one big calculation becomes a few small ones.

گەورە دەکرێت بە هێڵی ئاسۆیی و ستوونی ببڕدرێت بۆ چەند بچووکتر بە ناوی بلۆک. ئەنجامەکە (تێبینییەکان دەڵێن دابەشکراو). پاشان بلۆکەکان نزیکەی وەک ژمارەی تاک مامەڵەیان لەگەڵ دەکرێت، بۆیە ژمێریارییەکی گەورە دەبێتە چەند ژمێریارییەکی بچووک.

A digital picture is a matrix of ; programs often work on it tile by tile.
A very large product can be shared out: each processor core multiplies a few blocks at the same time.

وێنەیەکی لە ؛ زۆر جار پارچە بە پارچە کاری لەسەر دەکەن.
لێکدانێکی زۆر گەورە دەکرێت دابەش بکرێت: هەر لە هەمان کاتدا چەند بلۆکێک لێک دەدات.

Partitioning: names and sizes of blocksدابەشکردن: ناو و قەبارەی بلۆکەکان

The notes' example cuts a $4 \times 5$ matrix after row 3 and after column 3. The block in block-row $i$ and block-column $j$ is called $A_{ij}$ — row first, as for entries.

نموونەکەی تێبینییەکان $4 \times 5$ دوای ڕیزی 3 و دوای ستوونی 3 دەبڕێت. ئەو بلۆکەی لە ڕیزی بلۆکیی $i$ و ستوونی بلۆکیی $j$ دایە پێی دەگوترێت $A_{ij}$ — سەرەتا ڕیز، وەک ژمارەکان.

Four blocks:

A = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{bmatrix}

.چوار بلۆک:

A = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{bmatrix}

.CêIT

A_{11} = \begin{bmatrix} 5 & 6 & -7 \\ -3 & 10 & -2 \\ 5 & -6 & 4 \end{bmatrix}_{3\times3} \quad A_{12} = \begin{bmatrix} 4 & 5 \\ 8 & 3 \\ 0 & -2 \end{bmatrix}_{3\times2} \quad A_{21} = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 8 \end{bmatrix}_{1\times3} \quad A_{22} = \begin{bmatrix} -2 & 4 \end{bmatrix}_{1\times2}

Adding blocks and multiplying by a numberکۆکردنەوەی بلۆکەکان و لێکدان لە ژمارە

If two matrices of the same order are cut in the same way, add them block by block: $A + B = \begin{bmatrix} A_{11} + B_{11} & A_{12} + B_{12} \\ A_{21} + B_{21} & A_{22} + B_{22} \end{bmatrix}$ . The notes' exercise, cut $2 \mid 2$ both ways:

ئەگەر دوو بە هەمان قەبارە بە هەمان شێوە ببڕدرێن، بلۆک بە بلۆک کۆیان بکەرەوە: $A + B = \begin{bmatrix} A_{11} + B_{11} & A_{12} + B_{12} \\ A_{21} + B_{21} & A_{22} + B_{22} \end{bmatrix}$ . ڕاهێنانەکەی تێبینییەکان، هەردوو لا $2 \mid 2$ بڕدراون:

\left[\begin{array}{cc|cc} 2 & 3 & 4 & 8 \\ 3 & -6 & 3 & 0 \\ \hline 8 & -4 & 3 & 2 \\ -5 & 8 & -9 & 1 \end{array}\right] + \left[\begin{array}{cc|cc} -3 & -8 & -2 & 5 \\ 4 & -3 & 9 & 7 \\ \hline 6 & 8 & -3 & -2 \\ -1 & 6 & 4 & 9 \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc|cc} -1 & -5 & 2 & 13 \\ 7 & -9 & 12 & 7 \\ \hline 14 & 4 & 0 & 0 \\ -6 & 14 & -5 & 10 \end{array}\right]

A number times a block matrix multiplies every block, so every entry: $cA = \begin{bmatrix} cA_{11} & cA_{12} \\ cA_{21} & cA_{22} \end{bmatrix}$ . The notes' example:

لێکدانی ژمارەیەک لە هەموو بلۆکێک لەو ژمارەیە دەدات، واتە هەموو ژمارەیەکی ناوی: $cA = \begin{bmatrix} cA_{11} & cA_{12} \\ cA_{21} & cA_{22} \end{bmatrix}$ . نموونەکەی تێبینییەکان:

c\begin{bmatrix} 5 & 0 & 2 & -4 \\ -3 & 4 & -2 & -1 \\ 5 & -2 & -6 & -4 \\ 7 & 6 & -3 & 9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5c & 0 & 2c & -4c \\ -3c & 4c & -2c & -c \\ 5c & -2c & -6c & -4c \\ 7c & 6c & -3c & 9c \end{bmatrix}

Quick checkپشکنینی خێرا

A

is cut

2 \mid 2

and

B

(same order) is cut

3 \mid 1

. Can you add them block by block?

A

بە

2 \mid 2

و

B

(هەمان قەبارە) بە

3 \mid 1

بڕدراوە. دەتوانیت بلۆک بە بلۆک کۆیان بکەیتەوە؟No — the blocks have different sizes; cut both the same way firstنەخێر — بلۆکەکان قەبارەی جیاوازیان هەیە؛ سەرەتا هەردووکیان بە یەک شێوە ببڕەYes, alwaysبەڵێ، هەمیشەOnly if the matrices are squareتەنها ئەگەر ماتریکسە چوارگۆشەییەکان بن

Multiplying block matricesلێکدانی ماتریکسە بلۆکییەکان

Treat the blocks as if they were entries and use the row-times-column rule: $C_{ij} = A_{i1}B_{1j} + A_{i2}B_{2j}$ . Two things are new compared with numbers:

بلۆکەکان وەک ژمارە دابنێ و یاسای ڕیز جاران ستوون بەکاربهێنە: $C_{ij} = A_{i1}B_{1j} + A_{i2}B_{2j}$ . دوو شت بە بەراورد لەگەڵ ژمارەکان نوێن:

Keep the order. Each piece is a matrix product, so $A_{12}B_{21}$ must not be written $B_{21}A_{12}$ .
The cuts must be conformable: the way the columns of $A$ are cut must be the way the rows of $B$ are cut. Then every block product $A_{ik}B_{kj}$ has matching inner sizes. The notes do not say this; it is the condition that makes the method work.

ڕیزبەندی مەگۆڕە. هەر پارچەیەک لێکدانی ، بۆیە $A_{12}B_{21}$ نابێت بنووسرێت $B_{21}A_{12}$ .
بڕینەکان دەبێت گونجاو بن: شێوەی بڕینی ستوونەکانی $A$ دەبێت هەمان شێوەی بڕینی ڕیزەکانی $B$ بێت. ئەوکات هەموو لێکدانێکی بلۆکی $A_{ik}B_{kj}$ قەبارە ناوەکییەکانی یەک دەگرنەوە. تێبینییەکان ئەمە نالێن؛ ئەمە ئەو مەرجەیە کە ڕێگەکە کار پێدەکات.

The block product: a

2 \times 2

“matrix of matrices”.لێکدانی بلۆکی: « »ی

2 \times 2

.CêIT

The notes' short form: with one block-row and one block-column, $\begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} B_1 \\ B_2 \end{bmatrix} = A_{11}B_1 + A_{12}B_2$ .

شێوە کورتەکەی تێبینییەکان: بە یەک ڕیزی بلۆکی و یەک ستوونی بلۆکی، $\begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} B_1 \\ B_2 \end{bmatrix} = A_{11}B_1 + A_{12}B_2$ .

Quick checkپشکنینی خێرا

A

is

3 \times 5

with its columns cut

3 \mid 2

. How must the rows of

B

(

5 \times 4

) be cut?

A

3 \times 5

ـە و ستوونەکانی بە

3 \mid 2

بڕدراون. ڕیزەکانی

B

(

5 \times 4

) دەبێت چۆن ببڕدرێن؟Any wayبە هەر شێوەیەک

2 \mid 3

2 \mid 3

3 \mid 2

3 \mid 2

A block product, step by stepلێکدانێکی بلۆکی، هەنگاو بە هەنگاو

The notes' exercise: multiply the partitioned $A$ ( $3 \times 4$ ) and $B$ ( $4 \times 3$ ). Cut the columns of $A$ $2 \mid 2$ and the rows of $B$ $2 \mid 2$ (conformable), and also the rows of $A$ $2 \mid 1$ and the columns of $B$ $2 \mid 1$ :

ڕاهێنانەکەی تێبینییەکان: $A$ ( $3 \times 4$ ) و $B$ ( $4 \times 3$ )ـی دابەشکراو لێک بدە. ستوونەکانی $A$ بە $2 \mid 2$ و ڕیزەکانی $B$ بە $2 \mid 2$ ببڕە (گونجاو)، هەروەها ڕیزەکانی $A$ بە $2 \mid 1$ و ستوونەکانی $B$ بە $2 \mid 1$ :

A = \left[\begin{array}{cc|cc} 6 & 3 & -1 & 0 \\ 5 & 2 & -2 & 3 \\ \hline -1 & 8 & 0 & -2 \end{array}\right] \qquad B = \left[\begin{array}{cc|c} 5 & 3 & 1 \\ 0 & -2 & 4 \\ \hline -1 & 8 & -2 \\ 2 & 0 & -2 \end{array}\right]

Five frames. Frame 1: A (3 × 4, cut after row 2 and column 2) and B (4 × 3, cut after row 2 and column 2) with an empty result C. Each next frame lights up one block-row of A and one block-column of B and fills one block of C: C11 = A11B11 + A12B21 gives (31, 4; 33, −5); C12 = A11B12 + A12B22 gives (20; 11); C21 = A21B11 + A22B21 gives (−9, −19); C22 = A21B12 + A22B22 gives 35. The last frame says all four blocks give the same C as ordinary multiplication. — Each block of $C = AB$ is a sum of two block products.هەر بلۆکێکی $C = AB$ کۆی دوو لێکدانی بلۆکییە.CêIT

\begin{aligned} C_{11} &= \begin{bmatrix} 6 & 3 \\ 5 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 5 & 3 \\ 0 & -2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -1 & 0 \\ -2 & 3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} -1 & 8 \\ 2 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 30 & 12 \\ 25 & 11 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & -8 \\ 8 & -16 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 31 & 4 \\ 33 & -5 \end{bmatrix} \\ C_{12} &= \begin{bmatrix} 18 \\ 13 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 2 \\ -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 20 \\ 11 \end{bmatrix}, \quad C_{21} = \begin{bmatrix} -5 & -19 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -4 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -9 & -19 \end{bmatrix}, \quad C_{22} = 31 + 4 = 35 \end{aligned}

Method 4: the inverse by partitioningڕێگەی 4: پێچەوانە بە دابەشکردن

Cut a square matrix $A$ and its inverse $B = A^{-1}$ in the same way, with square diagonal blocks $A_{11}$ and $A_{22}$ . Then $AB = I$ in blocks gives four equations:

$A$ و پێچەوانەکەی $B = A^{-1}$ بە هەمان شێوە ببڕە، بە بلۆکی چوارگۆشەیی لەسەر تیرەکە $A_{11}$ و $A_{22}$ . ئەوکات $AB = I$ بە بلۆک چوار دەدات:

\begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} I & 0 \\ 0 & I \end{bmatrix} \;\Longrightarrow\; \begin{aligned} A_{11}B_{11} + A_{12}B_{21} &= I \\ A_{11}B_{12} + A_{12}B_{22} &= 0 \\ A_{21}B_{11} + A_{22}B_{21} &= 0 \\ A_{21}B_{12} + A_{22}B_{22} &= I \end{aligned}

Solving them (if $A_{11}$ is invertible) brings in one key block, the $E$ :

شیکارکردنیان (ئەگەر $A_{11}$ بێت) بلۆکێکی سەرەکی دەهێنێتە ناوەوە، $E$ :

E = A_{22} - A_{21}A_{11}^{-1}A_{12} \qquad \begin{aligned} B_{22} &= E^{-1} & B_{12} &= -A_{11}^{-1}A_{12}E^{-1} \\ B_{21} &= -E^{-1}A_{21}A_{11}^{-1} & B_{11} &= A_{11}^{-1} + A_{11}^{-1}A_{12}E^{-1}A_{21}A_{11}^{-1} \end{aligned}

The identity blocks have different sizesبلۆکەکانی ماتریکسی یەکە قەبارەی جیاوازیان هەیە

The notes write both identity blocks as $I_m$ , the size of the whole matrix. In fact the top-left $I$ has the size of $A_{11}$ and the bottom-right $I$ the size of $A_{22}$ (in the next example $I_2$ and $I_1$ ). The notes also do not say that $A_{11}$ and $E$ must be invertible; without that the formulas cannot be used.

تێبینییەکان هەردوو بلۆکی بە $I_m$ دەنووسن، قەبارەی هەموو . لە ڕاستیدا $I$ ی سەرەوەی چەپ قەبارەی $A_{11}$ ـی هەیە و $I$ ی خوارەوەی ڕاست قەبارەی $A_{22}$ (لە نموونەی داهاتوودا $I_2$ و $I_1$ ). تێبینییەکان هەروەها نالێن کە $A_{11}$ و $E$ دەبێت بن؛ بێ ئەوە بەکارنایەن.

Method 4: the inverse by partitioningڕێگەی 4: پێچەوانە بە دابەشکردن

Where the formulas come fromفۆرمولەکان لە کوێوە دێن

The four formulas are not magic: they come from the four block equations, solved like a system of two equations in two unknowns — but the unknowns are matrices, so the order of every product is kept.

چوار جادوو نین: لە چوار بلۆکییەکەوە دێن کە وەک سیستەمێکی دوو بە دوو نەزانراو شیکار دەکرێن — بەڵام نەزانراوەکان ، بۆیە ڕیزبەندیی هەموو لێکدانێک دەپارێزرێت.

From equation 2لە هاوکێشەی 2ەوە
$B_{12} = -A_{11}^{-1}A_{12}B_{22}$ .
$B_{12} = -A_{11}^{-1}A_{12}B_{22}$ .
Into equation 4دەیخەینە هاوکێشەی 4ەوە
$(A_{22} - A_{21}A_{11}^{-1}A_{12})B_{22} = I$ , that is $EB_{22} = I$ , so $B_{22} = E^{-1}$ and $B_{12} = -A_{11}^{-1}A_{12}E^{-1}$ .
$(A_{22} - A_{21}A_{11}^{-1}A_{12})B_{22} = I$ ، واتە $EB_{22} = I$ ، بۆیە $B_{22} = E^{-1}$ و $B_{12} = -A_{11}^{-1}A_{12}E^{-1}$ .
Equations 1 and 3 the same wayهاوکێشەکانی 1 و 3 بە هەمان شێوە
Equation 1 gives $B_{11} = A_{11}^{-1}(I - A_{12}B_{21})$ ; put it into equation 3: $EB_{21} = -A_{21}A_{11}^{-1}$ , so $B_{21} = -E^{-1}A_{21}A_{11}^{-1}$ , and then $B_{11}$ as above.
1 دەدات $B_{11} = A_{11}^{-1}(I - A_{12}B_{21})$ ؛ بیخە 3ەوە: $EB_{21} = -A_{21}A_{11}^{-1}$ ، بۆیە $B_{21} = -E^{-1}A_{21}A_{11}^{-1}$ و پاشان $B_{11}$ وەک سەرەوە.

Quick checkپشکنینی خێراEquation 2 gives

B_{12} = -A_{11}^{-1}A_{12}B_{22}

. Into which equation is it put to find

B_{22}

? 2 دەدات

B_{12} = -A_{11}^{-1}A_{12}B_{22}

. دەخرێتە ناو کام بۆ دۆزینەوەی

B_{22}

؟Equation 4, which then reads

EB_{22} = I

هاوکێشەی 4، کە دەبێتە

EB_{22} = I

Equation 3هاوکێشەی 3Equation 1هاوکێشەی 1

The notes' example, checkedنموونەکەی تێبینییەکان، پشکنراو

Find the inverse of $A = \begin{bmatrix} -3 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$ , cut after row 2 and column 2:

پێچەوانەی $A = \begin{bmatrix} -3 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$ بدۆزەرەوە، کە دوای ڕیزی 2 و ستوونی 2 بڕدراوە:

The blocksبلۆکەکان
$A_{11} = \begin{bmatrix} -3 & 2 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}$ , $A_{12} = \begin{bmatrix} 1 \\ 5 \end{bmatrix}$ , $A_{21} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \end{bmatrix}$ , $A_{22} = [3]$ .
$A_{11} = \begin{bmatrix} -3 & 2 \\ -1 & 1 \end{bmatrix}$ ، $A_{12} = \begin{bmatrix} 1 \\ 5 \end{bmatrix}$ ، $A_{21} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \end{bmatrix}$ ، $A_{22} = [3]$ .
Invert $A_{11}$ with the shortcutپێچەوانەی $A_{11}$ بە ڕێگە کورتەکە
$\det A_{11} = -3 + 2 = -1$ , so $A_{11}^{-1} = \frac{1}{-1}\begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 1 & -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}$ .
$\det A_{11} = -3 + 2 = -1$ ، بۆیە $A_{11}^{-1} = \frac{1}{-1}\begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 1 & -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ -1 & 3 \end{bmatrix}$ .
The Schur complementتەواوکەری شوور
$A_{21} = 0$ , so $E = 3 - 0 = [3]$ and $E^{-1} = [\tfrac13]$ .
$A_{21} = 0$ ، بۆیە $E = 3 - 0 = [3]$ و $E^{-1} = [\tfrac13]$ .
The four blocksچوار بلۆکەکە
$A_{11}^{-1}A_{12} = \begin{bmatrix} -1 + 10 \\ -1 + 15 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 \\ 14 \end{bmatrix}$ , so $B_{12} = -\tfrac13\begin{bmatrix} 9 \\ 14 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 \\ -\frac{14}{3} \end{bmatrix}$ . Because $A_{21} = 0$ : $B_{21} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \end{bmatrix}$ and $B_{11} = A_{11}^{-1}$ . Finally $B_{22} = \tfrac13$ .
$A_{11}^{-1}A_{12} = \begin{bmatrix} -1 + 10 \\ -1 + 15 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9 \\ 14 \end{bmatrix}$ ، بۆیە $B_{12} = -\tfrac13\begin{bmatrix} 9 \\ 14 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 \\ -\frac{14}{3} \end{bmatrix}$ . چونکە $A_{21} = 0$ : $B_{21} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \end{bmatrix}$ و $B_{11} = A_{11}^{-1}$ . لە کۆتاییدا $B_{22} = \tfrac13$ .
Put the blocks togetherبلۆکەکان پێکەوە دابنێ
$A^{-1} = \begin{bmatrix} -1 & 2 & -3 \\ -1 & 3 & -\frac{14}{3} \\ 0 & 0 & \frac13 \end{bmatrix}$ . Check: this is exactly the inverse that sympy (or Gauss–Jordan) gives; $\det A = -3$ .
$A^{-1} = \begin{bmatrix} -1 & 2 & -3 \\ -1 & 3 & -\frac{14}{3} \\ 0 & 0 & \frac13 \end{bmatrix}$ . پشکنین: ئەمە ڕێک ئەو پێچەوانەیەیە کە sympy (یان ) دەیدات؛ $\det A = -3$ .

Quick checkپشکنینی خێراIn this example, why is

B_{21}

a block of zeros?لەم نموونەیەدا، بۆچی

B_{21}

بلۆکێکی سفرە؟Because

\det A_{11} = -1

چونکە

\det A_{11} = -1

Because

E = [3]

is a

1 \times 1

blockچونکە

E = [3]

بلۆکێکی

1 \times 1

ـەBecause

A_{21} = 0

, and

B_{21} = -E^{-1}A_{21}A_{11}^{-1}

contains

A_{21}

چونکە

A_{21} = 0

و

B_{21} = -E^{-1}A_{21}A_{11}^{-1}

A_{21}

ـی تێدایە

In computing: blocks in practiceلە کۆمپیوتەردا: بلۆکەکان لە کردەوەدا

Cutting matrices in codeبڕینی ماتریکسەکان لە کۆددا

In MATLAB a block is cut out by its rows and columns: A(1:2, 1:2) is $A_{11}$ of a $3 \times 3$ matrix and A(3, 3) is $A_{22}$ (see Rows, columns and blocks); in Python with NumPy the same block is A[0:2, 0:2] (counted from 0). Libraries for large matrices multiply block by block, because a small block fits in the processor's fast and different blocks can be computed at the same time.

لە MATLAB بلۆکێک بە ڕیز و ستوونەکانی دەبڕدرێت: A(1:2, 1:2) $A_{11}$ ـی $3 \times 3$ ـە و A(3, 3) $A_{22}$ ـە (بڕوانە ڕیز، ستوون و پارچە)؛ لە Python بە NumPy هەمان بلۆک A[0:2, 0:2]ـە (لە 0ـەوە دەژمێردرێت). گەورەکان بلۆک بە بلۆک لێک دەدەن، چونکە بلۆکێکی بچووک لە خێرای جێی دەبێتەوە و بلۆکی جیاواز دەکرێت لە هەمان کاتدا بژمێردرێن.

Common mistakesهەڵە باوەکان

Mistakeهەڵە	What is trueڕاستییەکە
Writing $B_{21}A_{12}$ instead of $A_{12}B_{21}$ نووسینی $B_{21}A_{12}$ لە جیاتی $A_{12}B_{21}$	Blocks are matrices: keep the order $A_{ik}B_{kj}$ .بلۆکەکان : ڕیزبەندیی $A_{ik}B_{kj}$ بپارێزە.
Cutting the columns of $A$ and the rows of $B$ differentlyبڕینی ستوونەکانی $A$ و ڕیزەکانی $B$ بە شێوەی جیاواز	The cuts must be conformable, or the block products are not defined.بڕینەکان دەبێت گونجاو بن، دەنا لێکدانە بلۆکییەکان پێناسە نەکراون.
Adding matrices that are cut differently, block by blockکۆکردنەوەی بلۆک بە بلۆکی کە بە جیاوازی بڕدراون	Block addition needs the same cut.کۆکردنەوەی بلۆکی پێویستی بە هەمان بڕینە.
Writing $\frac{1}{A_{11}}$ for $A_{11}^{-1}$ نووسینی $\frac{1}{A_{11}}$ بۆ $A_{11}^{-1}$	There is no matrix division; find $A_{11}^{-1}$ by a method (unless the block is $1 \times 1$ ).دابەشکردنی نییە؛ $A_{11}^{-1}$ بە ڕێگەیەک بدۆزەرەوە (مەگەر بلۆکەکە $1 \times 1$ بێت).
Using partitioning when $A_{11}$ is singularبەکارهێنانی دابەشکردن کاتێک $A_{11}$	Choose another cut, or use Gauss–Jordan.بڕینێکی تر هەڵبژێرە، یان بەکاربهێنە.

Exercisesڕاهێنانەکان

ExerciseڕاهێنانExercise 1: add by blocksڕاهێنانی 1: بە بلۆک کۆی بکەرەوە

Cut $U = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & -1 \\ 0 & 4 & 2 \end{bmatrix}$ and $V = \begin{bmatrix} 2 & 5 & -1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 1 & -2 & 4 \end{bmatrix}$ after row 2 and column 2. Find $U + V$ block by block, and $3U$ .

$U = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 2 & 1 & -1 \\ 0 & 4 & 2 \end{bmatrix}$ و $V = \begin{bmatrix} 2 & 5 & -1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 1 & -2 & 4 \end{bmatrix}$ دوای ڕیزی 2 و ستوونی 2 ببڕە. $U + V$ بلۆک بە بلۆک بدۆزەرەوە، هەروەها $3U$ .

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

U_{11} + V_{11} = \begin{bmatrix} 3 & 5 \\ 2 & 4 \end{bmatrix},\; U_{12} + V_{12} = \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \end{bmatrix},\; U_{21} + V_{21} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \end{bmatrix},\; U_{22} + V_{22} = [6] \;\Rightarrow\; U + V = \left[\begin{array}{cc|c} 3 & 5 & 2 \\ 2 & 4 & 0 \\ \hline 1 & 2 & 6 \end{array}\right], \quad 3U = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 9 \\ 6 & 3 & -3 \\ 0 & 12 & 6 \end{bmatrix}

ExerciseڕاهێنانExercise 2: a product by blocksڕاهێنانی 2: لێکدانێک بە بلۆک

Let $K = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 2 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ with its columns cut $2 \mid 1$ , and $W = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$ . How must $W$ be cut? Find $KW = K_1W_1 + K_2W_2$ .

با $K = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 3 \\ 2 & 0 & 1 \end{bmatrix}$ بێت بە ستوونی بڕدراوی $2 \mid 1$ و $W = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$ . $W$ دەبێت چۆن ببڕدرێت؟ $KW = K_1W_1 + K_2W_2$ بدۆزەرەوە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \\ 2 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 2 & 1 \\ 2 & 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 9 \\ 1 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 5 \\ 5 & 10 \\ 3 & 3 \end{bmatrix}

ExerciseڕاهێنانExercise 3: block-diagonal matricesڕاهێنانی 3: ماتریکسە بلۆکییە تیرەییەکان

$X = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 3 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix}$ and $Y = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$ have zero blocks off the diagonal. Find $XY$ and $X^{-1}$ block by block.

$X = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 3 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix}$ و $Y = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$ لە دەرەوەی تیرەکە بلۆکی سفریان هەیە. $XY$ و $X^{-1}$ بلۆک بە بلۆک بدۆزەرەوە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

XY = \begin{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} & 0 \\ 0 & 5 \cdot 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 2 & 0 \\ 10 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 10 \end{bmatrix}, \qquad X^{-1} = \begin{bmatrix} -2 & 1 & 0 \\ \tfrac32 & -\tfrac12 & 0 \\ 0 & 0 & \tfrac15 \end{bmatrix}

ExerciseڕاهێنانExercise 4 (the notes' homework, with a new matrix)ڕاهێنانی 4 (ئەرکی تێبینییەکان، بە ماتریکسێکی نوێ)

The notes' homework repeats the example's matrix, so use a new one: find the inverse of $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix}$ by partitioning after row 2 and column 2. Here $A_{21} \ne 0$ , so all four formulas are needed.

ئەرکەکەی تێبینییەکان نموونەکە دووبارە دەکاتەوە، بۆیە نوێ بەکاربهێنە: پێچەوانەی $A = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 3 \end{bmatrix}$ بدۆزەرەوە بە دابەشکردن دوای ڕیزی 2 و ستوونی 2. لێرەدا $A_{21} \ne 0$ ، بۆیە هەر چوار پێویستن.

Hintئاماژە

$\det A_{11} = 2 - 1 = 1$ : use the $2 \times 2$ shortcut for $A_{11}^{-1}$ .

$\det A_{11} = 2 - 1 = 1$ : بۆ $A_{11}^{-1}$ ڕێگە کورتەکەی $2 \times 2$ بەکاربهێنە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

\begin{aligned} A_{11}^{-1} &= \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix},\; A_{11}^{-1}A_{12} = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix},\; A_{21}A_{11}^{-1} = \begin{bmatrix} -1 & 3 \end{bmatrix} \\ E &= 3 - A_{21}A_{11}^{-1}A_{12} = 3 - (-1) = 4, \quad E^{-1} = \tfrac14 \\ B_{11} &= \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} + \tfrac14\begin{bmatrix} -1 & 3 \\ 1 & -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \tfrac34 & -\tfrac14 \\ -\tfrac34 & \tfrac54 \end{bmatrix} \\ B_{12} &= -\tfrac14\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix},\quad B_{21} = -\tfrac14\begin{bmatrix} -1 & 3 \end{bmatrix},\quad B_{22} = \tfrac14 \\ A^{-1} &= \frac14\begin{bmatrix} 3 & -1 & -1 \\ -3 & 5 & 1 \\ 1 & -3 & 1 \end{bmatrix} \end{aligned}

ExerciseڕاهێنانExercise 5: spot the mistakeڕاهێنانی 5: هەڵەکە بدۆزەرەوە

Karwan wrote the top-left block of $AB$ as $A_{11}B_{11} + B_{21}A_{12}$ . What is wrong?

کاروان بلۆکی سەرەوەی چەپی $AB$ ـی وا نووسی $A_{11}B_{11} + B_{21}A_{12}$ . چی هەڵەیە؟

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

The second product is in the wrong order. Blocks do not commute: it must be $A_{12}B_{21}$ (block (1, 2) of $A$ times block (2, 1) of $B$ ).

لێکدانی دووەم ڕیزبەندییەکەی هەڵەیە. بلۆکەکان ئاڵوگۆڕ ناکەن: دەبێت $A_{12}B_{21}$ بێت (بلۆکی (⁦1⁩، ⁦2⁩)ی $A$ جاران بلۆکی (⁦2⁩، ⁦1⁩)ی $B$ ).

Summaryپوختە

Partitioning cuts a matrix into blocks $A_{ij}$ ; blocks in one block-row share their rows, in one block-column their columns.
Add and scale block by block (same cut for addition).
Multiply blocks like entries, keeping the order: $C_{ij} = \sum_k A_{ik}B_{kj}$ ; the column cut of $A$ must match the row cut of $B$ .
Inverse by partitioning: $E = A_{22} - A_{21}A_{11}^{-1}A_{12}$ (the Schur complement), $B_{22} = E^{-1}$ , and three more formulas; $A_{11}$ and $E$ must be invertible.

دابەشکردن دەکاتە بلۆکی $A_{ij}$ ؛ بلۆکەکانی یەک ڕیزی بلۆکی ڕیزەکانیان هاوبەشە، هی یەک ستوونی بلۆکی ستوونەکانیان.
بلۆک بە بلۆک کۆ بکەرەوە و لێک بدە (هەمان بڕین بۆ کۆکردنەوە).
بلۆکەکان وەک ژمارە لێک بدە بە پاراستنی ڕیزبەندی: $C_{ij} = \sum_k A_{ik}B_{kj}$ ؛ بڕینی ستوونەکانی $A$ دەبێت لەگەڵ بڕینی ڕیزەکانی $B$ یەک بگرێتەوە.
پێچەوانە بە دابەشکردن: $E = A_{22} - A_{21}A_{11}^{-1}A_{12}$ ()، $B_{22} = E^{-1}$ و سێ تر؛ $A_{11}$ و $E$ دەبێت بن.

Review questionsپرسیارەکانی پێداچوونەوە

When is the block product allowed?لێکدانی بلۆکی کەی ڕێگەپێدراوە؟

When the cuts are conformable: every block product $A_{ik}B_{kj}$ has matching inner sizes.

کاتێک بڕینەکان گونجاو بن: هەموو لێکدانێکی بلۆکیی $A_{ik}B_{kj}$ قەبارە ناوەکییەکانی یەک بگرنەوە.

Why learn inverse by partitioning if Gauss–Jordan works?بۆچی پێچەوانە بە دابەشکردن فێر ببین ئەگەر لابردنی گاوس–جۆردان کار دەکات؟

Because it reuses work: if $A_{11}^{-1}$ is already known (or a block is 0), the big inverse comes from small pieces.

چونکە کار دووبارە بەکاردەهێنێتەوە: ئەگەر $A_{11}^{-1}$ پێشتر زانراو بێت (یان بلۆکێک 0 بێت)، پێچەوانە گەورەکە لە پارچە بچووکەکانەوە دێت.

This is the last lesson of the chapter “Matrices and Determinants” and of the whole course. For all six chapters at a glance and what comes later in calculus, see the course so far and what comes next.

ئەمە دوایین وانەی بەشی « و » و دوایین وانەی هەموو کۆرسەکەیە. بۆ هەر شەش بەشەکە بە یەک سەیرکردن و ئەوەی دواتر لە کالکولەسدا دێت، بڕوانە کۆرسەکە تا ئێرە و هەنگاوی داهاتوو.

Lesson complete!وانەکە تەواو بوو!

Well done. Review the key terms, then go on to the next lesson.دەستخۆش. سەیرێکی زاراوە سەرەکییەکان بکەرەوە، پاشان بڕۆ بۆ وانەی داهاتوو.

Key termsزاراوە سەرەکییەکان

Back to the courseگەڕانەوە بۆ کۆرسەکە

Related lecturesوانە پەیوەندیدارەکان

References and further readingسەرچاوەکان و خوێندنەوەی زیاتر

This lecture is a first edition. The Kurdish text and terminology are waiting for review by Kurdish IT teachers.ئەم وانەیە چاپی یەکەمە. دەقە کوردییەکە و زاراوەکانی چاوەڕێی پێداچوونەوەی مامۆستایانی کوردی بواری IT ن.