Chapterبەش 4 · Lectureوانە 4.5

The Axioms of Probability and the Complement Ruleبەڵگەنەویستەکانی ئەگەر و یاسای تەواوکەر

The three axioms every probability obeys (non-negativity, additivity, normalization), why $P(A) \le 1$ is a theorem, the theorems that follow with four short proofs, checking a probability model, the complement $A' = A^c = \bar{A}$ with the rule $P(A') = 1 - P(A)$ , Example (18) and the "at least one" trick.

ئەو سێ کە هەموو پەیڕەویان دەکات (نانەرێنی، کۆکراوەیی، بە یەکەکردن)، بۆچی $P(A) \le 1$ ، ئەو لێیانەوە دێن لەگەڵ چوار کورت، پشکنینی مۆدێلێکی ، $A' = A^c = \bar{A}$ و یاسای $P(A') = 1 - P(A)$ ، نموونەی ⁦(18)⁩ و فێڵی «لانیکەم یەک».

11 min read12 خولەک خوێندنەوە · 13 stepsهەنگاو

What you will learnچی فێر دەبیت

State the three axioms of probability and check whether a probability model is valid.
Explain why $P(A) \le 1$ and $P(\varnothing) = 0$ are theorems, and prove the complement rule.
Use the complement rule, including for "at least one" questions.

سێ بنووسە و بپشکنە ئایا مۆدێلێکی دروستە.
ڕوونی بکەرەوە بۆچی $P(A) \le 1$ و $P(\varnothing) = 0$ دەسەلمێنرێن و بسەلمێنە.
بەکاربهێنە، بۆ پرسیارەکانی «لانیکەم یەک»ـیش.

Three rules every probability must obeyسێ یاسا کە هەموو ئەگەرێک دەبێت پەیڕەویان بکات

You have met three ways to get a probability: count equally likely outcomes, repeat an experiment and use the relative frequency, or make a careful personal judgement (Three ways to get a probability). They give different numbers for different situations, but they all behave the same way. In 1933 the mathematician Andrey Kolmogorov wrote down the few rules that every probability must follow. These rules are called the axioms of probability.

سێ ڕێگات بۆ دۆزینەوەی بینیوە: ژماردنی ، دووبارەکردنەوەی تاقیکردنەوەیەک و بەکارهێنانی ، یان بڕیارێکی کەسیی وردبینانە (سێ ڕێگا بۆ دۆزینەوەی ئەگەر). بۆ دۆخی جیاواز ژمارەی جیاواز دەدەن، بەڵام هەموویان بە هەمان شێوە ڕەفتار دەکەن. لە ساڵی ⁦1933⁩ بیرکاریزان ئەندرێی کۆلمۆگۆرۆڤ ئەو چەند یاسایەی نووسی کە هەموو دەبێت پەیڕەویان بکات. ئەم یاسایانە پێیان دەوترێت .

A probability is a function P: it takes an event A (a subset of the sample space $\Omega$ ) and gives back a number $P(A)$ . The axioms say which numbers are allowed. Everything else you will use (the complement rule, the addition rule, conditional probability) is proved from them.

P، واتە ، : A وەردەگرێت ( $\Omega$ ) و ژمارەی $P(A)$ دەداتەوە. دەڵێن کام ژمارانە ڕێگە پێدراون. هەموو ئەوانەی تر کە بەکاریان دەهێنیت (، ، ) لێیانەوە دەسەلمێنرێن.

Three rules every probability must obeyسێ یاسا کە هەموو ئەگەرێک دەبێت پەیڕەویان بکات

Axioms are agreed starting rulesبەڵگەنەویستەکان یاسای دەستپێکی ڕێککەوتوون

Definitionپێناسە

A basic statement accepted without proof; other results () are proved from axioms.

ڕستەیەکی بنەڕەتییە کە بەبێ سەلماندن قبووڵ دەکرێت؛ ئەنجامەکانی تر لە بەڵگەنەویستەکانەوە دەسەلمێنرێن.

In probability the axioms are not proved; they are the agreed starting point, chosen because counting and long-run frequencies both obey them.

لە ناسەلمێنرێن؛ خاڵی دەستپێکی ڕێککەوتوون و هەڵبژێردراون چونکە هەم ژماردن و هەم دووبارەبوونەوەی درێژخایەن پەیڕەویان دەکەن.

The rules of a football matchیاساکانی یارییەکی تۆپی پێ

Before a match, everyone accepts a few rules: the ball must cross the whole line to be a goal, a team has 11 players. Nobody proves these rules; they are agreed. Tactics, results and league tables then follow from them. Axioms are the agreed rules of probability; theorems are what follows.

پێش یارییەک هەمووان چەند یاسایەک قبووڵ دەکەن: تۆپەکە دەبێت بە تەواوی هێڵەکە ببڕێت تا ببێتە گۆڵ و هەر تیمێک ⁦11⁩ یاریزانی هەیە. کەس ئەم یاسایانە ناسەلمێنێت؛ لەسەریان ڕێککەوتوون. پاشان تاکتیک، ئەنجام و خشتەی خاڵەکان لێیانەوە دێن. یاسا ڕێککەوتووەکانی ؛ ئەوەن کە لێیانەوە دێن.

Where the analogy stops workingسنووری ئەم نموونەیە

Football rules can be changed by a committee. The probability axioms are not arbitrary: any other choice would disagree with counting and with long-run frequencies.

یاساکانی تۆپی پێ لیژنەیەک دەتوانێت بیانگۆڕێت. هەڕەمەکی هەڵنەبژێردراون: هەر هەڵبژاردنێکی تر لەگەڵ ژماردن و دووبارەبوونەوەی درێژخایەندا ناگونجێت.

Quick checkپشکنینی خێراWhat is the difference between an axiom and a theorem?جیاوازیی نێوان و چییە؟An axiom is accepted without proof; a theorem is proved from the axioms.بەڵگەنەویست بەبێ سەلماندن قبووڵ دەکرێت؛ سەلمێنراو لە بەڵگەنەویستەکانەوە دەسەلمێنرێت.An axiom is a guess; a theorem is a fact.بەڵگەنەویست مەزەندەیەکە؛ سەلمێنراو ڕاستییەکە.There is no difference.هیچ جیاوازییەک نییە.

The three axiomsسێ بەڵگەنەویستەکە

For every event A of a sample space $\Omega$ , a probability P must satisfy:

بۆ هەر A لە $\Omega$ ، P دەبێت ئەم سێ مەرجە بپارێزێت:

Axiom	Formula	In wordsبە وشە	Die exampleنموونەی بەردەزار
1. Non-negativity1. نانەرێنی	$P(A) \ge 0$	A probability is never negative.هیچ نەرێنی نییە.	$P(\{4\}) = \tfrac16 \ge 0$
2. Additivity2. کۆکراوەیی	$A \cap B = \varnothing \Rightarrow P(A \cup B) = P(A) + P(B)$	For events that cannot happen together, probabilities add.بۆ کە ناتوانن پێکەوە ڕوو بدەن، کۆ دەکرێنەوە.	$P(\{1, 2\}) = \tfrac16 + \tfrac16 = \tfrac26$
3. Normalization3. بە یەکەکردن	$P(\Omega) = 1$	Something in the sample space certainly happens.شتێک لە بە دڵنیاییەوە ڕوو دەدات.	$P(\{1,\dots,6\}) = 1$

P(A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup \cdots) = P(A_1) + P(A_2) + P(A_3) + \cdots

Axiom 1 is only

P(A) \ge 0

بەڵگەنەویستی 1 تەنها

P(A) \ge 0

ـە

The notes print axiom 1 as $0 \le P(A) \le 1$ . Kolmogorov's axiom says only $P(A) \ge 0$ . The upper limit $P(A) \le 1$ does not need to be assumed: it is proved from the other axioms (theorem 2 on the next screens). Books also number the axioms differently (some put $P(\Omega) = 1$ second); the three rules are the same.

تێبینییەکان 1 وەک $0 \le P(A) \le 1$ دەنووسن. کۆلمۆگۆرۆڤ تەنها دەڵێت $P(A) \ge 0$ . سنووری سەرەوە $P(A) \le 1$ پێویست ناکات وەک گریمانە دابنرێت: لە ترەوە دەسەلمێنرێت ( 2 لە شاشەکانی داهاتوودا). کتێبەکان بە ژمارەی جیاواز دەنووسن (هەندێکیان $P(\Omega) = 1$ دەکەنە دووەم)؛ سێ یاساکە هەمان شتن.

The three axiomsسێ بەڵگەنەویستەکە

Is this a valid probability model?ئایا ئەمە مۆدێلێکی دروستی ئەگەرە؟

The axioms let you test any assignment of probabilities. For a finite sample space it is enough to check two things: every outcome gets a number $\ge 0$ , and the numbers add up to 1. Additivity then gives every event's probability.

ڕێگەت پێ دەدەن هەر دابەشکردنێکی تاقی بکەیتەوە. بۆ کۆتادار بەسە دوو شت بپشکنیت: هەر ژمارەیەکی نانەرێنی ( $\ge 0$ ) وەربگرێت و کۆی ژمارەکان 1 بێت. پاشان کۆکراوەیی هەموو دەدات.

Model for one dieمۆدێل بۆ یەک بەردەزار	1, 2, 3, 4, 5, 61، 2، 3، 4، 5، 6	Sumکۆ	Valid?دروستە؟
fair dieبەردەزاری دادپەروەر	$\tfrac16$ eachهەر یەکەیان $\tfrac16$	$1$	yesبەڵێ
loaded dieبەردەزاری قورسکراو	$0.1, 0.1, 0.1, 0.1, 0.1, 0.5$	$1$	yes: unfair, but allowedبەڵێ: دادپەروەر نییە، بەڵام ڕێگە پێدراوە
broken modelمۆدێلی هەڵە	$0.2$ eachهەر یەکەیان $0.2$	$1.2$	no: $P(\Omega)$ would be 1.2نەخێر: $P(\Omega)$ دەبێتە ⁦1.2⁩
broken modelمۆدێلی هەڵە	$0.5, 0.3, 0.3, -0.1, 0, 0$	$1$	no: a negative probabilityنەخێر: نەرێنی

Quick checkپشکنینی خێراA and B are mutually exclusive. Someone claims

P(A) = 0.7

and

P(B) = 0.5

. Why is that impossible?A و B . کەسێک دەڵێت

P(A) = 0.7

و

P(B) = 0.5

. بۆچی ئەمە ئەستەمە؟

P(A \cup B)

would be 1.2, more than

P(\Omega) = 1

P(A \cup B)

دەبێتە ⁦1.2⁩، زیاتر لە

P(\Omega) = 1

Probabilities must be equalئەگەرەکان دەبێت یەکسان بن0.7 is not allowed for any event⁦0.7⁩ بۆ هیچ ڕووداوێک ڕێگە پێنەدراوە

What follows from the axiomsئەوەی لە بەڵگەنەویستەکانەوە دێت

The notes list seven theorems that are proved from the axioms. Six of them are below; theorem 6, the general addition rule, has its own lesson: Mutually Exclusive Events and the Addition Rule.

تێبینییەکان حەوت دەنووسن کە لە دەسەلمێنرێن. شەشیان لە خوارەوەن؛ 6، بە شێوە گشتییەکەی، وانەی تایبەتی خۆی هەیە: ڕووداوی جیا و یاسای کۆکردنەوەی ئەگەر.

Theorem	Statementدەق	Die exampleنموونەی بەردەزار
1	If $A_1 \subset A_2$ , then $P(A_1) \le P(A_2)$ : a smaller event is never more likely.گەر $A_1 \subset A_2$ ، ئەوا $P(A_1) \le P(A_2)$ : بچووکتر هەرگیز زیاتر نییە.	$\{6\} \subset \{2, 4, 6\}$ : $\tfrac16 \le \tfrac12$ $\{6\} \subset \{2, 4, 6\}$ : $\tfrac16 \le \tfrac12$
2	$0 \le P(A) \le 1$ for every event A. $0 \le P(A) \le 1$ بۆ هەموو A.	every answer lies between 0 and 1هەموو وەڵامێک لە نێوان 0 و 1دایە
3	$P(\varnothing) = 0$ : the impossible event has probability 0. $P(\varnothing) = 0$ : 0ـە.	$P(7) = 0$ $P(7) = 0$
4	Complement rule: $P(A^c) = 1 - P(A)$ .: $P(A^c) = 1 - P(A)$ .	$P(\{6\}^c) = 1 - \tfrac16 = \tfrac56$
5	If $A = A_1 \cup \cdots \cup A_n$ with mutually exclusive parts, $P(A) = P(A_1) + \cdots + P(A_n)$ .گەر $A = A_1 \cup \cdots \cup A_n$ و بەشەکانی بن، $P(A) = P(A_1) + \cdots + P(A_n)$ .	odd: $\{1\} \cup \{3\} \cup \{5\}$ , $3 \times \tfrac16 = \tfrac12$ تاک: $\{1\} \cup \{3\} \cup \{5\}$ ، $3 \times \tfrac16 = \tfrac12$
7	$P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap B^c)$ : split A into the part inside B and the part outside B. $P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap B^c)$ : A بکە بە دوو بەش، ئەو بەشەی لە ناو Bـدایە و ئەو بەشەی لە دەرەوەی Bـیە.	A = even numbers, $B = \{1, 2, 3\}$ : $\tfrac16 + \tfrac26 = \tfrac12$ A = ژمارە جووتەکان، $B = \{1, 2, 3\}$ : $\tfrac16 + \tfrac26 = \tfrac12$

Quick checkپشکنینی خێراA = "roll a 6" and B = "roll more than 4". Which theorem tells you

P(A) \le P(B)

without any counting?A = «هێنانی 6» و B = «هێنانی زیاتر لە 4». کام بەبێ ژماردن پێت دەڵێت

P(A) \le P(B)

؟Theorem 1, because

A \subset B

سەلمێنراوی 1، چونکە

A \subset B

Theorem 4سەلمێنراوی 4Theorem 3سەلمێنراوی 3

Four short proofsچوار سەلماندنی کورت

The notes give the theorems without proof. The proofs are short and show how much follows from three small rules. Each step uses only an axiom or an earlier step.

تێبینییەکان بەبێ دەنووسن. کورتن و پیشان دەدەن چەندە شت لە سێ یاسای بچووکەوە دێت. هەر هەنگاوێک تەنها یان هەنگاوێکی پێشوو بەکاردەهێنێت.

Complement rule (theorem 4)یاسای تەواوکەر (سەلمێنراوی ⁦4⁩)
A and $A^c$ do not overlap and together make $\Omega$ . By additivity and normalization: $P(A) + P(A^c) = P(\Omega) = 1$ , so $P(A^c) = 1 - P(A)$ .
A و $A^c$ یەکتر نابڕن و پێکەوە $\Omega$ پێک دەهێنن. بە کۆکراوەیی و بە یەکەکردن: $P(A) + P(A^c) = P(\Omega) = 1$ ، بۆیە $P(A^c) = 1 - P(A)$ .
The impossible event (theorem 3)ڕووداوی ئەستەم (سەلمێنراوی ⁦3⁩)
The empty set is the complement of $\Omega$ : $\varnothing = \Omega^c$ . So $P(\varnothing) = 1 - P(\Omega) = 1 - 1 = 0$ .
$\Omega$ ـیە: $\varnothing = \Omega^c$ . بۆیە $P(\varnothing) = 1 - P(\Omega) = 1 - 1 = 0$ .
Never above 1 (theorem 2)هەرگیز سەرووی 1 نییە (سەلمێنراوی ⁦2⁩)
$P(A) = 1 - P(A^c)$ and $P(A^c) \ge 0$ by axiom 1, so $P(A) \le 1$ . With axiom 1 again, $0 \le P(A) \le 1$ .
$P(A) = 1 - P(A^c)$ و بە 1 $P(A^c) \ge 0$ ، بۆیە $P(A) \le 1$ . دیسان بە 1، $0 \le P(A) \le 1$ .
Splitting an event (theorem 7), then theorem 1دابەشکردنی ڕووداوێک (سەلمێنراوی ⁦7⁩)، پاشان سەلمێنراوی 1
$A \cap B$ and $A \cap B^c$ do not overlap and together make A, so additivity gives $P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap B^c)$ . If $A_1 \subset A_2$ , use it with $A = A_2$ , $B = A_1$ : $P(A_2) = P(A_1) + P(A_2 \cap A_1^c) \ge P(A_1)$ .
$A \cap B$ و $A \cap B^c$ یەکتر نابڕن و پێکەوە A پێک دەهێنن، بۆیە کۆکراوەیی دەدات $P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap B^c)$ . گەر $A_1 \subset A_2$ ، بە $A = A_2$ ، $B = A_1$ بەکاری بهێنە: $P(A_2) = P(A_1) + P(A_2 \cap A_1^c) \ge P(A_1)$ .

Quick checkپشکنینی خێراIn the proof of the complement rule, why may we add

P(A)

and

P(A^c)

?لە ، بۆچی دەتوانین

P(A)

و

P(A^c)

کۆ بکەینەوە؟Because

P(A)

is always

1/2

چونکە

P(A)

هەمیشە

1/2

ـەBecause they are equally likelyچونکە ئەگەرەکانیان یەکساننBecause A and

A^c

cannot happen together (axiom 2)چونکە A و

A^c

ناتوانن پێکەوە ڕوو بدەن (بەڵگەنەویستی ⁦2⁩)

The complement of an eventڕووداوی تەواوکەر

The complement of an event A is everything in the sample space that is not in A. It is written $A'$ , $A^c$ or $\bar{A}$ ; all three mean the same. An event and its complement never happen together, and one of them always happens.

A هەموو ئەو شتانەیە لە کە لە A دا نین. بە $A'$ ، $A^c$ یان $\bar{A}$ دەنووسرێت؛ هەر سێکیان یەک واتایان هەیە. و هەرگیز پێکەوە ڕوو نادەن و یەکێکیان هەمیشە ڕوو دەدات.

Event and complement together always make the whole sample space. و پێکەوە هەمیشە هەموو پێک دەهێنن.
Experimentتاقیکردنەوە	Event A A	Complement $A'$ $A'$
toss a coinهەڵدانی دراو	headsشێر	tailsخەت
pick a day of the weekهەڵبژاردنی ڕۆژێکی هەفتە	{Monday, Wednesday}{دووشەممە، چوارشەممە}	{Tuesday, Thursday, Friday, Saturday, Sunday}{سێشەممە، پێنجشەممە، هەینی، شەممە، یەکشەممە}
draw a card from a 52-card deckدەرهێنانی کارتێک لە دەستەیەکی ⁦52⁩ کارتی	hearts ♥دڵ ♥	spades ♠, clubs ♣ or diamonds ♦♠، ♣ یان ♦
roll a dieهەڵدانی بەردەزار	{5, 6}{5، 6}	{1, 2, 3, 4}{1، 2، 3، 4}

Rolling "5 or 6" and its complement.هێنانی «5 یان 6» و .CêIT

P(A) + P(A') = 1 \qquad P(A') = 1 - P(A) \qquad \tfrac13 + \tfrac23 = 1

بیرکاری پۆلی 11 وێژەیی وانەی (۱-۳) یاسای ئەگەر فیدیۆی دووەمم / شهاب بیرکاری · Kurdish (Sorani)کوردی (سۆرانی) · 18K viewsبینین · 470 likesلایک · Partبەشی 0:00–10:10 (ofلە 23:20)
A Kurdish teacher explains complementary events and P(Ā) = 1 − P(A), then reads probabilities from a three-circle Venn diagram.
مامۆستایەکی کورد و $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$ ڕوون دەکاتەوە، پاشان لە سێ بازنەیی دەخوێنێتەوە.
Plays 0:00-10:10 in Sorani: complementary events with a coin tossed twice and a die.
لە ⁦0:00⁩ تا ⁦10:10⁩ بە سۆرانی پەخش دەبێت: بە دراوێک کە دوو جار هەڵدەدرێت و بەردەزارێک.

The complement of an eventڕووداوی تەواوکەر

Example (18): graduating or notنموونەی ⁦(18)⁩: دەرچوون یان نا

Example (18). The probability that a student, Hana, graduates is 0.80. What is the probability that she does not graduate?

نموونەی ⁦(18)⁩. ئەوەی قوتابییەک بە ناوی هانا دەربچێت ⁦0.80⁩ـە. ئەوە چەندە کە دەرنەچێت؟

A bar of area 1 is split into a green part A and an orange part A′. A grows from 0.2 to 0.4, 0.6 and 0.8 while A′ shrinks from 0.8 to 0.2; the line P(A) + P(A′) = 1 stays the same. The last frame: Example 18, a student graduates with P = 0.8, so P(does not graduate) = 1 − 0.8 = 0.2. — Whatever A covers, $A'$ covers the rest; together always 1.A هەرچی دابپۆشێت، $A'$ ئەوەی تر دادەپۆشێت؛ پێکەوە هەمیشە 1.CêIT

P(G) = 0.80 \;\Rightarrow\; P(G^c) = 1 - 0.80 = 0.20

The note under the theorems, repairedتێبینییەکەی ژێر سەلمێنراوەکان، چاککراو

The notes contain a broken sentence: "The probability that event A will occur is equal to 1 means that the probability that event A will not occur". What it means: if $P(A) = 1$ , A is certain, so the probability that A does not occur is $1 - P(A) = 0$ . In general $P(A) = 1 - P(A^c)$ .

تێبینییەکان ڕستەیەکی ناتەواوی تێدایە: « ڕوودانی A یەکسانە بە 1 واتە ڕوونەدانی A». مەبەستەکەی: گەر $P(A) = 1$ ، A دڵنیایە، بۆیە ئەوەی A ڕوو نەدات $1 - P(A) = 0$ ـە. بە گشتی $P(A) = 1 - P(A^c)$ .

The complement trick: "at least one"فێڵی ڕووداوی تەواوکەر: «لانیکەم یەک»

"At least one" questions have many cases (one, two, three, …) but their complement has only one: none. So count the complement and subtract from 1.

پرسیارەکانی «لانیکەم یەک» حاڵەتی زۆریان هەیە (یەک، دوو، سێ، …) بەڵام تەنها یەک حاڵەتە: هیچ. بۆیە بژمێرە و لە 1 دەری بکە.

At least one head in 3 tossesلانیکەم یەک شێر لە 3 هەڵداندا
The complement is "no head" = TTT, one of the 8 equally likely outcomes. $P = 1 - \tfrac18 = \tfrac78$ .
«هیچ شێرێک» = TTTـە، یەکێک لە 8 کە هەموویان هەمان هەیە. $P = 1 - \tfrac18 = \tfrac78$ .
At least one six in 4 rolls of a dieلانیکەم یەک 6 لە 4 جار هەڵدانی بەردەزار
"No six" means 1 to 5 on every roll: $5^4 = 625$ of the $6^4 = 1296$ outcomes. $P = 1 - \tfrac{625}{1296} = \tfrac{671}{1296} \approx 0.518$ , a little more than a half.
«هیچ 6ـێک» واتە 1 تا 5 لە هەموو هەڵدانێکدا: $5^4 = 625$ لە $6^4 = 1296$ . $P = 1 - \tfrac{625}{1296} = \tfrac{671}{1296} \approx 0.518$ ، کەمێک زیاتر لە نیوە.

The rolls do not affect each other (they are independent), which is why the counts multiply ( $5^4$ , $6^4$ ). Independence is explained in Conditional Probability and Independence.

هەڵدانەکان کار لە یەکتر ناکەن ()، هەر بۆیە ژمارەکان لێک دەدرێن ( $5^4$ ، $6^4$ ). سەربەخۆیی لە ئەگەری مەرجدار و سەربەخۆیی ڕوون دەکرێتەوە.

Common mistakesهەڵە باوەکان

Mistakeهەڵە	Why it is wrongبۆچی هەڵەیە	Do this insteadلەبری ئەوە ئەمە بکە
An answer above 1 or below 0وەڵامێک سەرووی 1 یان خوارووی 0	Theorem 2: every probability lies in $[0, 1]$ . 2: هەموو لە $[0, 1]$ دایە.	Treat it as an alarm: something was counted twice or a case is missing.وەک ئاگادارکردنەوە سەیری بکە: شتێک دوو جار ژمێردراوە یان حاڵەتێک کەمە.
Adding probabilities of events that overlapکۆکردنەوەی کە یەکتر دەبڕن	Axiom 2 is only for mutually exclusive events. 2 تەنها بۆ .	Check $A \cap B = \varnothing$ first, or use the general addition rule.سەرەتا $A \cap B = \varnothing$ بپشکنە، یان یاسای کۆکردنەوەی ئەگەر بە شێوە گشتییەکەی بەکاربهێنە.
Complement of "at least one" taken as "at most one" «لانیکەم یەک» وەک «لانیزۆر یەک» وەرگیراوە	"At most one" includes "exactly one", which is also in the event.«لانیزۆر یەک» «ڕێک یەک»ـیش دەگرێتەوە کە لە .	The complement of "at least one" is "none". «لانیکەم یەک» «هیچ»ـە.
Writing $P(A') = P(A) - 1$ نووسینی $P(A') = P(A) - 1$	That number is negative or zero.ئەو ژمارەیە نەرێنییە یان سفرە.	$P(A') = 1 - P(A)$ . $P(A') = 1 - P(A)$ .

Quick checkپشکنینی خێراWhich statement is false?کام ڕستە هەڵەیە؟The complement of "at least two heads" in 3 tosses is "at most two heads".ڕووداوی تەواوکەری «لانیکەم دوو شێر» لە 3 هەڵداندا «لانیزۆر دوو شێر»ـە.A loaded die can still be a valid probability model.بەردەزاری قورسکراو هێشتا دەتوانێت مۆدێلێکی دروستی ئەگەر بێت.

P(\varnothing) = 0

can be proved from the axioms.

P(\varnothing) = 0

لە بەڵگەنەویستەکانەوە دەسەلمێنرێت.

Exercisesڕاهێنانەکان

ExerciseڕاهێنانValid or not?دروستە یان نا؟

A spinner has four colours. Which of these is a valid probability model? (a) red 0.4, blue 0.3, green 0.2, yellow 0.1; (b) red 0.5, blue 0.5, green 0.1, yellow $-0.1$ ; (c) red 0.3, blue 0.3, green 0.3, yellow 0.3.

سووڕێنەرێک چوار ڕەنگی هەیە. کامیان مۆدێلێکی دروستی ؟ (أ) سوور ⁦0.4⁩، شین ⁦0.3⁩، سەوز ⁦0.2⁩، زەرد ⁦0.1⁩؛ (ب) سوور ⁦0.5⁩، شین ⁦0.5⁩، سەوز ⁦0.1⁩، زەرد $-0.1$ ؛ (ج) سوور ⁦0.3⁩، شین ⁦0.3⁩، سەوز ⁦0.3⁩، زەرد ⁦0.3⁩.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

(a) Valid: no number is negative and the sum is 1.
(b) Not valid: the sum is 1, but $-0.1$ breaks axiom 1.
(c) Not valid: the sum is 1.2, so $P(\Omega)$ would not be 1.

(أ) دروستە: هیچ ژمارەیەک نەرێنی نییە و کۆکەی 1ـە.
(ب) دروست نییە: کۆکەی 1ـە، بەڵام $-0.1$ 1 دەشکێنێت.
(ج) دروست نییە: کۆکەی ⁦1.2⁩ـە، بۆیە $P(\Omega)$ نابێتە 1.

ExerciseڕاهێنانUse a theoremسەلمێنراوێک بەکاربهێنە

For two events, $P(A \cap B) = 0.15$ and $P(A \cap B^c) = 0.35$ . Find $P(A)$ and $P(A^c)$ .

بۆ دوو ، $P(A \cap B) = 0.15$ و $P(A \cap B^c) = 0.35$ . $P(A)$ و $P(A^c)$ بدۆزەرەوە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap B^c) = 0.15 + 0.35 = 0.50 \qquad P(A^c) = 1 - 0.50 = 0.50

ExerciseڕاهێنانTwo diceدوو بەردەزار

Two dice are rolled. Use the complement to find the probability that the two numbers are not the same.

دوو بەردەزار هەڵدەدرێن. بەکاربهێنە بۆ دۆزینەوەی ئەوەی دوو ژمارەکە وەک یەک نەبن.

Hintئاماژە

Count the doubles first.

سەرەتا جووتە وەک یەکەکان بژمێرە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

P(D) = \frac{6}{36} = \frac16 \qquad P(D^c) = 1 - \frac16 = \frac56

ExerciseڕاهێنانAt least one sixلانیکەم یەک 6

A die is rolled twice. What is the probability of at least one six? Check your answer by listing.

بەردەزارێک دوو جار هەڵدەدرێت. لانیکەم یەک 6 چەندە؟ وەڵامەکەت بە نووسینی هەمووی بپشکنە.

Show answerوەڵامەکە پیشان بدە

Complement: no six on either roll, $5 \times 5 = 25$ of 36 pairs. $P = 1 - \tfrac{25}{36} = \tfrac{11}{36}$ . Listing: 6 pairs have a six first, 6 have a six second, and (6, 6) was counted in both: $6 + 6 - 1 = 11$ .

: هیچ 6ـێک لە هیچ هەڵدانێکدا، $5 \times 5 = 25$ لە ⁦36⁩ جووت. $P = 1 - \tfrac{25}{36} = \tfrac{11}{36}$ . بە نووسین: 6 جووت 6ـیان لە یەکەمدایە، 6 جووت 6ـیان لە دووەمدایە و (⁦6⁩، ⁦6⁩) لە هەردووکیاندا ژمێردراوە: $6 + 6 - 1 = 11$ .

Summaryپوختە

Three axioms: $P(A) \ge 0$ ; for mutually exclusive events probabilities add; $P(\Omega) = 1$ .
$P(A) \le 1$ is a theorem, not an axiom.
Proved from them: $P(\varnothing) = 0$ , $A_1 \subset A_2 \Rightarrow P(A_1) \le P(A_2)$ , $P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap B^c)$ .
Complement rule $P(A') = 1 - P(A)$ ; $A'$ , $A^c$ and $\bar{A}$ are the same event.
The probability of "at least one" is 1 minus the probability of "none".

سێ : $P(A) \ge 0$ ؛ بۆ کۆ دەکرێنەوە؛ $P(\Omega) = 1$ .
$P(A) \le 1$ ، نەک .
لێیانەوە دەسەلمێنرێن: $P(\varnothing) = 0$ ، $A_1 \subset A_2 \Rightarrow P(A_1) \le P(A_2)$ ، $P(A) = P(A \cap B) + P(A \cap B^c)$ .
$P(A') = 1 - P(A)$ ؛ $A'$ ، $A^c$ و $\bar{A}$ هەمان .
«لانیکەم یەک» یەکسانە بە 1 لێدەرکردنی «هیچ».

Review questionsپرسیارەکانی پێداچوونەوە

Why is

P(A) \le 1

not needed as an axiom?بۆچی

P(A) \le 1

وەک بەڵگەنەویست پێویست نییە؟

Because $P(A) = 1 - P(A^c)$ and $P(A^c) \ge 0$ , so $P(A) \le 1$ follows.

چونکە $P(A) = 1 - P(A^c)$ و $P(A^c) \ge 0$ ، بۆیە $P(A) \le 1$ لێیەوە دێت.

The probability of graduating is 0.8. What is the probability of not graduating?گەر ئەگەری دەرچوون ⁦0.8⁩ بێت، ئەگەری دەرنەچوون چەندە؟

By the complement rule, $1 - 0.8 = 0.2$ .

بە ، $1 - 0.8 = 0.2$ .

Videoڤیدیۆ

Watch a videoسەیری ڤیدیۆیەک بکە

A video that viewers liked a lot and praised in their comments, chosen for this lesson.ڤیدیۆیەک کە بینەران زۆریان پێ خۆش بووە و لە کۆمێنتەکانیاندا ستایشیان کردووە، بۆ ئەم وانەیە هەڵبژێردراوە.

Probability, Sample Spaces, and the Complement Rule (6.1)Simple Learning Pro · Englishئینگلیزی · 204K viewsبینین · 4K likesلایک · Partبەشی 4:50–7:30 (ofلە 7:50)
What a sample space is, how a tree diagram lists every outcome of two coin flips, the basic rules every probability obeys, and the complement rule.
چییە، چۆن هەموو دوو جار هەڵدانی دراو دەنووسێت، یاسا بنەڕەتییەکانی و .
Plays 4:50-7:30: the rules every probability obeys (always between 0 and 1, all outcomes add up to 1), then the complement rule P(Aᶜ) = 1 − P(A) with a two-coin practice question.
لە ⁦4:50⁩ تا ⁦7:30⁩ پەخش دەبێت: ئەو یاسایانەی هەموو پەیڕەویان دەکات (هەمیشە لە نێوان 0 و 1ـدایە، کۆی هەموو دەکاتە ⁦1⁩)، پاشان $P(A^c) = 1 - P(A)$ لەگەڵ پرسیارێکی ڕاهێنان بە دوو دراو.

Lesson complete!وانەکە تەواو بوو!

Well done. Review the key terms, then go on to the next lesson.دەستخۆش. سەیرێکی زاراوە سەرەکییەکان بکەرەوە، پاشان بڕۆ بۆ وانەی داهاتوو.

Key termsزاراوە سەرەکییەکان

Next lessonوانەی داهاتوو

Mutually Exclusive Events and the Addition Ruleڕووداوی جیا و یاسای کۆکردنەوەی ئەگەر

Related lecturesوانە پەیوەندیدارەکان

References and further readingسەرچاوەکان و خوێندنەوەی زیاتر

This lecture is a first edition. The Kurdish text and terminology are waiting for review by Kurdish IT teachers.ئەم وانەیە چاپی یەکەمە. دەقە کوردییەکە و زاراوەکانی چاوەڕێی پێداچوونەوەی مامۆستایانی کوردی بواری IT ن.